Xây dựng kế hoạch bài học chủ đề hình học giải tích trong không gian theo định hướng tăng cường trắc nghiệm khách quan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (911.38 KB, 100 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN
-----------------------
KHUẤT HẢI YẾN
XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI HỌC CHỦ ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán
Phú Thọ, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN
-----------------------
KHUẤT HẢI YẾN
XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI HỌC CHỦ ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. Đặng Thị Phương Thanh
Phú Thọ, 2018
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài khóa luận
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện đổi mới hình thức và phương pháp
dạy học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo và rèn luyện phương
pháp tự học; tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải
quyết các vấn đề thực tiễn. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện
thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học nặng về truyền thụ kiến thức
sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng
lực và phẩm chất.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo
dục và đào tạo: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ
năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy
móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để
người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”.
Bên cạnh việc đổi mới hình thức và phương pháp dạy học, chúng ta cịn tập
trung mạnh mẽ vào đổi mới căn bản hình thức và phương pháp thi, kiểm tra và
đánh giá kết quả giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, khách quan. Do đó,
chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011-2020 ban hành kèm theo Quyết
định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 của Thủ tướng Chính phủ nêu: "Tiếp tục đổi
mới phương pháp dạy học và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người
học"; "Đổi mới kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, kỳ thi tuyển sinh đại học,
cao đẳng theo hướng đảm bảo thiết thực, hiệu quả, khách quan và công bằng;
kết hợp kết quả kiểm tra đánh giá trong quá trình giáo dục với kết quả thi".
Đi đầu trong công cuộc đổi mới đó là việc đổi mới nội dung, phương pháp, cách
thức dạy và học đối với mơn Tốn trong nhà trường THPT. Khơng chỉ vậy,
chúng ta cịn tiến một bước dài trong việc đánh giá, kiểm tra chất lượng học sinh
và đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia với hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn và
bài thi tổng hợp với các môn khối ngành khoa học và xã hội. Trong xu hướng thi
2
trắc nghiệm khách quan như vậy, nhà trường và các thầy cơ giáo cần có những
kế hoạch học tập phù hợp để học sinh thích nghi và đạt kết quả học tập cao nhất.
Người giáo viên sẽ là người quan trọng nhất có thể giúp các em học sinh thích
nghi được với các thay đổi trong giáo dục thông qua việc xây dựng kế hoạch,
giáo án môn học theo định hướng tăng cường trắc nghiệm khách quan.
Kế hoạch môn học là tồn bộ những điều vạch ra một cách có hệ thống về
những công việc dự định làm trong một thời hạn nhất định, cùng với mục tiêu,
cách thức, trình tự, thời hạn tiến hành của một môn học. Đây sẽ là kim chỉ nam
cho người giáo viên khi chuẩn bị và tiến hành các giờ dạy học của một mơn học
nào đó. Giáo viên là người giữ vai trị chủ đạo nhưng học sinh mới là nhân tố
quyết định của quá trình dạy học và giáo dục. Một điều chắc chắn là bài học
phải phù hợp với trình độ, năng lực thì học sinh mới có thể tiếp thu kiến thức và
phát triển năng lực cá nhân. Để làm được điều đó thì việc xây dụng kế hoạch
mơn học là vô cùng quan trọng và là việc đầu tiên mà mỗi giáo viên phải làm
trước khi băt đầu dạy một mơn học nào đó, trong đó có mơn Tốn. Theo sự cải
cách giáo dục của Bộ GD-ĐT về cả nội dung và phương pháp dạy học, việc xây
dụng kế hoạch bài học theo định hướng đổi mới và tăng cường trắc nghiệm
khách quan cần thiết hơn bao giờ hết.
Trong chương trình Tốn THPT, hình học giải tích trong khơng gian là một
mảng kiến thức rất quan trọng, kết nối giữa hình học và giải tích, đặc biệt là kiến
thức liên quan đến hình học giải tích xuất hiện rất nhiều trong đề thi THPT.
Ngồi ra, hình học giải tích đối với học sinh là một phần kiến thức khá là khó.
Do vậy việc xây dựng kế hoạch bài học chủ đề hình học giải tích trong khơng
gian theo định hướng trắc nghiệm khách quan là một việc rất quan trọng.
Từ những lí do trên, đồng thời để nâng cao kiến thức chuyên môn và tăng
cường nghiệp vụ sư phạm cho bản thân, em mạnh dạn lựa chọn nội dung: “Xây
dựng kế hoạch bài học chủ đề hình học giải tích trong khơng gian theo định
hướng tăng cường trắc nghiệm khách quan” làm hướng nghiên cứu cho khóa
luận của mình.
3
2. Mục tiêu khóa luận
Mục tiêu của khóa luận là xây dựng được hệ thống kế hoạch bài học chủ
đề hình học giải tích trong khơng gian theo định hướng tăng cường trắc nghiệm
khách quan.
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Khóa luận hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức và xây dựng hệ
thống kế hoạch bài học về hình học giải tích trong khơng gian. Đồng thời, khóa
luận cũng đưa ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan về hình học giải tích
trong khơng gian.
- Khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Tốn,
giáo viên dạy mơn Tốn ở trường THPT và học sinh lớp 12.
4
CHƯƠNG 1. XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI HỌC NỘI DUNG
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.1. Kế hoạch bài học: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hệ tọa độ
• Trong khơng gian, cho ba trục
xOx, yOy, zOz vng góc với nhau
từng đơi một được gọi là hệ trục tọa
độ Đề-các vng góc Oxyz trong
khơng gian hay là hệ tọa độ Oxyz.
• i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị
trên các trục xOx, yOy, zOz.
• Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Chú ý:
2 2 2
i j k 1 và i. j j.k k .i 0.
2. Tọa độ của một điểm
• Trong khơng gian Oxyz , cho một điểm M tùy ý. Vì ba vectơ i, j , k khơng
đồng phẳng nên có một bộ ba số x; y; z duy nhất sao cho: OM xi y j zk .
• Ta gọi bộ ba số x; y; z là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã
cho và viết: M x; y; z hoặc M x; y; z .
3. Tọa độ của vecto
• Trong khơng gian Oxyz, cho vectơ a khi đó ln tồn tại duy nhất bộ ba số
a1;a 2 ; a3 sao cho: a a1i a2 j a3 k .
• Ta gọi bộ ba số a1;a 2 ; a3 là tọa độ của vectơ a đối với hệ Oxyz.
Nhận xét: Trong hệ tọa độ Oxyz tọa độ của điểm M chính là tọa độ của
5
vectơ OM . Ta có: M x; y; z OM ( x; y; z ).
4. Biểu thức tọa độ của các phép tốn vectơ
• Định lý: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a a1; a2 ; a3 và
b b1; b2 ; b3 . Ta có:
a b a1 b1; a 2 b2 ; a 3 b3
ka k a1; a2 ; a3 ka1; ka2 ; ka3 với k là một số thực.
• Hệ quả:
i) Cho hai vectơ a a1; a2 ; a3 và b b1; b2 ; b3 .
a1 b1
Ta có: a b a2 b2 .
a3 b3
ii) Vectơ 0 có tọa độ là 0;0;0 .
iii) Với b 0 thì hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi có một số
k sao cho: a1 kb1, a 2 kb2 , a 3 kb3.
iv) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A x A ; y A ; z A ,
B xB ; yB ; zB , C xC ; yC ; xC và D xD ; yD ; zD , khi đó:
+ AB xB x A ; yB y A ; z B z A .
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
x xB y A y B z A z B
M A
;
;
.
2
2
2
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì :
x xB xC y A yB yC z A zB zC
G A
;
;
3
3
3
.
Nếu K là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
x xB xC xD y A yB yC yD z A z B zC z D
K A
;
;
.
4
4
4
6
Nếu E chia đoạn AB theo tỉ số k EA k EB thì:
x kxB y A kyB z A kzB
E A
;
;
.
1 k
1 k
1 k
B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP
1. Khởi động
Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:
Trước khi
Các mệnh đề
Sau khi học
học
Tích của một số thực với một vectơ tùy ý luôn
thu được kết quả là một số thực.
u, v cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số
m sao cho u mv.
Trong không gian Oxyz , cho vectơ a khi đó
ln tồn tại vơ số bộ ba số a1;a 2 ; a3 sao
cho: a a1i a2 j a3 k .
Cho A x A ; y A ; z A , B xB ; yB ; zB , khi đó:
AB x A xB ; y A yB ; z A z B .
2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài
Ví dụ 1:Trong khơng gian Oxyz , cho vectơ OM i j 2k .
Tìm tọa độ điểm M .
Hướng dẫn:
Trong hệ tọa độ Oxyz tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ OM .
Ta có: OM i j 2k M 1; 1;2 .
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u i 2k và v i j k . Tính:
a) m 2u 5v j.
b) n u 2v j.
7
Hướng dẫn:
a) Ta có: u 1;0; 2 , v 1; 1;1 , j 0;1;0 nên ta tính được:
m 2u 5v j 3; 6;1 .
b)Ta có: u 1;0; 2 , v 1; 1;1 , j 0;1;0 nênta tính được:
n u 2v j 1;3; 4 .
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho tứ giác ABCD có A 1;1;4 , B 2;4;6 ,
C 0;0;3 và D 3; 7;1 . Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của tứ giác
ABCD.
Hướng dẫn:
Gọi I a; b; c là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.
a 1 k1
a 1 k1
Ta có AI và AC cùng phương nên b 1 k1 b 1 k1 .
c 4 k1 c 4 k1
a 2 2k2 a 2 2k2
Tương tự ta có BI và BC cùng phương nên b 4 4k2 b 4 4k2 .
c 6 3k2
c 6 3k2
2 2k2 1 k1
Từ đó ta có hệ 4 4k2 1 k1 k2 1, k1 1 I 0;0;3 .
6 3k2 4 k1
3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp
a. Bài tập tự luận
Bài tự luyện số 1: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính:
a) Trọng tâm tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm của đoạn BC.
Bài tự luyện số 2: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;0 ,
C 3; 2;2 . Tìm điểm M thỏa mãn MA 2 MB 3MC 0.
8
Bài tự luyện số 3: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a m 2; n 5;0 và
b m; n 6;0 . Tìm tất cả các cặp giá trị m; n để a và b cùng phương.
b. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho vectơ u k 2i. Tọa độ của vectơ u là:
A: 0;1; 2
B: 2;1; 0
C: 2; 0;1
D: 0; 2;1
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ OM 3i j , ON 2 j k .
Tọa độ của MN là:
A: 3; 3; 1
B: 3;1; 1
C: 3; 3;1
D: 3;1; 1
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 1;2; 1 và v 2u j k .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A: v 2i 5 j 3k .
C: v 3i 3 j k .
B: v 2i 3 j 2k .
D: v i 5 j 2k .
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 2 x; y 1;3 và
v 1 y; 1 x; z . Biết v 2u, giá trị của x, y, z lần lượt là:
A: 1;1; 6.
B: 1; 1; 6.
C: 1; 2; 3.
D: 2;1; 3.
Câu 5:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;5 , B 3;6;1 . Tọa độ trung
điểm M của đoạn thẳng AB là:
A: M 2;4;3 .
B: M 2; 4;3 .
C: M 2;4;3 .
D: M 2;4; 3 .
C- BÀI TẬP VỀ NHÀ
1. Bài tập tự luận
Bài tập 1: Cho các vectơ a 2;1;3 , b 3;1;4 , c 3; 3; 1 . Tìm tọa độ
của vectơ x 2 a 3b c.
Bài tập 2: Cho vectơ a 1; 2;3 , b 2; 2; 1 , c 4; 0; 4 . Tìm toạ độ của
vectơ y sao cho 2a b c 3 y 0.
9
Bài tập 3: Cho ba điểm A 1;1;1 , B 5;1; 2 , C 7;9;1 là đỉnh của tam giác
ABC.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện AM 3 AB 2CB 4OM .
2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 2i 3 j 2k . Tọa
độ của vectơ u là:
A: 2;3;2 .
B: 2;3; 2 .
C: 2; 3;2 .
D: 3; 2;2 .
Câu 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 2i k . Tọa độ của
vectơ u là:
A: 0;1;2 .
B: 2;1;0 .
C: 2;0;1 .
D: 0;2;1 .
Câu 3:Cho vectơ a 3; 5; 6 có toạ độ điểm đầu là 0; 6; 2 . Toạ độ điểm cuối
của vectơ a là:
A: 3;2;8 .
B: 3;1;8 .
C: 4;1;6 .
D: 5;2;3 .
Câu 4:Trong các vectơ sau a 6i 8 j 4k ,b 4 j 2k ,c i 4 j 2k , vectơ
nào cùng phương với vectơ x có điểm đầu là A 1; 1;3 và điểm cuối là
B 2; 3; 5 .
A: a
B: c
C: b
D: A,B đều đúng.
Câu 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
A 1; 2; 1 ,B 2;1; 3 và C 3; 0;1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tọa độ của điểm G là:
A: 3; 0;1 .
B: 6;3; 3 .
C: 1; 0; 3 .
D- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN
1. Bài tập trên lớp
Bài tự luyện số 1:
a) Gọi G x, y, z là trọng tâm tam giác ABC.
D: 3;1; 1 .
10
x xB xC y A yB yC z A z B zC
;
;
Ta có: G x; y; z A
3
3
3
1 2
1; ; .
3 3
b) Do M là trung điểm của BC nên:
x xC yB yC zB zC
M B
;
;
2
2
2
1
1; ;1 .
2
Bài tự luyện số 2:
Gọi điểm M x; y; z , ta tính được
MA 2MB 3MC 14 6 x; 3 6 y;7 6 z .
7
1
7
7 1 7
Vì MA 2MB 3MC 0 x ; y ; z hay M ; ; .
3
2
6
3 2 6
Bài tự luyện số 3:
Hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi
m 2 km
n 5 k n 6 .
0 k .0
Vì m, n nguyên âm nên m 0, ta xét các trường hợp sau:
TH1: n 6 để hai vectơ cùng phương thì b 0 m 0 (loại).
TH2: n 5 để hai vectơ cùng phương thì a 0 m 2 (thỏa mãn).
TH3: n 6 và n 5, ta có
m2
m
biến đổi được 2n m 12.
n5 n6
Với m, n nguyên âm nên 0 2n 12 0 n 6.
Vì thế ta tìm được n 5; 4; 3; 2; 1.
Bài tập trắc nghiệm
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
C
C
A
A
C
2.Bài tập về nhà
Bài tập 1: Ta có: a 2;1;3 , b 3;1;4 , c 3; 3; 1 nên ta tính được
x 2a 3b c 8; 4; 7 .
11
Bài tập 2: Ta có: a 1; 2;3 , b 2; 2; 1 , c 4; 0; 4 .
Mặt khác: 2a b c 3 y 0 với 2a b c 0; 6;9 và ta gọi y a;b;c .
3a 0
a 0
Ta có hệ phương trình: 6 3b 0 b 2 .
9 3c 0
c 3
Vậy: y 0; 2; 3 .
Bài tập 3:
a) Ta có: A 1;1;1 , B 5;1; 2 , C 7;9;1 thì trọng tâm G có tọa độ là:
x xB xC y A yB yC z A zB zC
G A
;
;
3
3
3
13 11
; ;0 .
3 2
b) Gọi M a;b;c là tọa độ điểm M cần tìm.
Ta có: AM a 1; b 1; c 1 , AB 4;0; 3 , CB 2; 8; 3 và
OM a; b;c .
Mà: AM 3 AB 2CB 4OM hay ta có hệ phương trình:
17
a 3
a 1 12 4 4a
17
17 17 2
b
M
;
; .
b 1 16 4b
3
3 3
3
c 1 9 6 4c
2
c 3
Bài tập trắc nghiệm
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
B
C
B
A
D
12
1.2. Kế hoạch bài học: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG
DỤNG
A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
Định lý:Trong khơng gian Oxyz , tích vơ hướng của hai vectơ a a1; a2 ; a3 và
b b1; b2 ; b3 được xác định bởi công thức: a.b a1b1 a2b2 a3b3
2. Ứng dụng
• Độ dài của một vectơ. Cho vectơ a a1; a2 ; a3 Khi đó: a a12 a22 a32 .
• Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điểm A x A; y A; z A và B xB ; yB ; z B .
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ AB.
2
2
2
Do đó ta có: AB AB xB x A yB y A z B z A .
• Góc giữa hai vectơ. Nếu là góc giữa hai vectơ a a1; a2 ; a3 và
a.b
b b1; b2 ; b3 với a và b khác 0 thì cos . Do đó:
a.b
cos cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3
a12
a22
a32 .
b12
b22
b32
.
Từ đó suy ra: a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
3. Hình chiếu của điểm lên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ
• Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M x; y; z , khi đó:
+ Hình chiếu của M trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: M1 x;0;0 , M 2 0; y;0
và M 3 0;0; z .
+ Hình chiếu của M lên ba mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx) lần lượt là:
M 4 x; y;0 , M 5 0; y; z , M 6 x;0; z .
13
B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP
1. Khởi động
Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:
Trước khi
Các mệnh đề
Sau khi
học
học
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A x A; y A; z A và B xB ; yB ; zB .
Khi đó:
AB AB
xB x A 2 y B y A 2 z B z A 2 .
Tích vơ hướng của hai vectơ tùy ý luôn thu được
kết quả là một số dương.
Hai vectơ vng góc khi và chỉ khi u kv, k .
Góc giữa hai vectơ luôn nhỏ hơn 90 .
2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài
Ví dụ 1: Với hệ tọa độ Oxyz , cho a 3;0;1 , b 1; 1; 2 , c 2;1; 1 .
Hãy tính a. b c và a b .
Hướng dẫn:
Ta có: a 3;0;1 , b 1; 1; 2 , c 2;1; 1 .
a. b c a.b a.c 3.1 0. 1 1. 2 3.2 0.1 1. 1 6.
Lại có: a b 3 1; 0 1; 1 2 4; 1; 1 .
Nên: a b 16 1 1 18 3 2.
Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxyz , tính góc giữa hai vectơ a và b trong các
trường hợp sau:
14
a) a 2; 3; 1 , b 6; 4; 2 .
b) a 3; 2; 2 , b 5; 1; 0 .
Hướng dẫn:
a.b
2
1
.
a) Ta có: cos a, b
4 9 1. 36 16 4 14
a.b
1
Vậy: a, b arccos .
14
a.b
1
1
.
b) Ta có: cos a, b
2. 2 2
a.b
Vậy: a, b 120.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;2;3 và B 5;4; 3 . Gọi M
là điểm thuộc đoạn AB và H , I , K lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên
ba mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx). Tìm giá trị nhỏ nhất của MH MI MK .
Hướng dẫn:
Gọi M x; y; z thuộc đoạn AB.
x 1 4k
x 4k 1
Vì AM và AB cùng phương nên y 2 2k y 2k 2 .
z 3 6k z 6k 3
H là hình chiếu của M trên Oxy nên H 4k 1;2k 2;0 MH 3 6k .
I là hình chiếu của M trên Oyz nên I 0;2k 2; 6k 3 MI 4k 1 .
K là hình chiếu của M trên Ozx nên I 4k 1;0; 6k 3 MK 2k 2 .
Từ đó: MH MI MK 3 6k 4k 1 2k 2 6.
3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp
a. Bài tập tự luận
Bài tự luyện số 1: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 1 và
B 1; 1; 2 .
a) Tính OA.OB.
b) Tính OA, OB .
15
Bài tự luyên số 2: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính:
a) cosA.
b) Độ dài trung tuyến AM .
c) Diện tích tam giác ABC.
Bài tự luyện số 3: Trong khơng gian Oxyz , cho hình thang ABCD có AB CD
và AB 2CD. Biết A 1;0;1 , B 2;1;2 và D 1; 1;1 . Tìm tọa độ đỉnh C .
b. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho vectơ u i 2 j k . Khi đó, u bằng:
A: 2 6.
B: 6 .
C:
6.
D: 6.
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3; 2;1 . Gọi N là điểm đối xứng
với M qua gốc tọa độ O. Tọa độ của vectơ MN bằng:
A: 2; 6; 4 .
B: 6; 4; 2 .
C: 6; 4; 2 .
D: 2; 4; 6 .
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;2; 1 , B 2;1; 3
và C 3;0;1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A: BG AG 2.
B: OG CG.
C: CG BG 3.
D: AG 2 BG 2 CG 2 .
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;3; 1 , B 1; 1;2 . Gọi A, B
lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục Ox và Oz. Tọa độ của AB bằng:
A: 2; 0; 2 .
B: 2; 0; 2 .
C: 2; 0; 2 .
D: 2; 0; 2 .
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 3i 2 j mk và
v mi 3 j 2k . Nếu u.v 4 thì giá trị của tham số thực m bằng:
A: 3.
B: 3.
C- BÀI TẬP VỀ NHÀ
1. Bài tập tự luận
C: 4.
D: 2.
16
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 2 , B 3;2;1 . Tìm
điểm C thuộc trục hồnh sao cho tam giác ABC cân tại C .
Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD có
A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính diện tích hình bình hành ABCD.
Bài tập 3: Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;1 và
C 3; 2;1 . Gọi N là điểm thuộc trục hồnh. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P NA 2 NB 3 NC .
2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz , u 3i 4 j mk . Để độ dài u 5 thì giá trị của
m bằng:
A: 6.
B: 4 2.
D: 1.
C: 0.
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a 2;1;2 , b 1; 2;2 . Khi đó tích
vơ hướng của hai vectơ a, b là:
A: 4.
B: 0.
C: 1.
D: 4.
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và
P 1; m 1;2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A: m 6.
B: m 0.
C: m 4.
D: m 2.
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;1;0 , B 3;2; 2
và
C 2; 1;0 . Giá trị sin BAC bằng:
1
A: .
2
B:
3
.
2
C:
3
.
2
D:
1
.
2
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6;2 và
C 1;2; 1 . Gọi M m; m; m là điểm sao cho MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn
nhất, giá trị m bằng:
A: 4.
B: 3.
C: 2.
D: 1.
17
D- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN
1. Bài tập trên lớp
Bài tự luyện số 1:
a) Ta có: OA 1; 2; 1 , OB 1;1;2 .
OA.OB 1 2 2 1.
OA.OB
1
1
.
b) Ta có: cos OA, OB
6
1 4 1. 1 1 4
OA . OB
OA, OB arccos 1 .
6
a.b
Bài tự luyện số 2: A 1;0;0 , B 0;0;1 và C 2;1;1 . Tính: cos .
a .b
AB. AC
0
a) Ta có: AB 1;0;1 , AC 1;1;1 nên cosA
0.
2. 3
AB . AC
b) Ta có điểm M là trung điểm của AB nên
1
5
1 1
M 1; ;1 AM 0; ;1 AM
1
.
4
2
2
2
c) Từ cosA 0 sinA 1.
Áp dụng công thức: S ABC
1
6
AB. AC.sin A
.
2
2
Bài tự luyện số 3:
Gọi C a; b; c , vì ABCD là hình thang có đáy lớn AB 2CD nên AB 2CD.
Ta có: AB 1;1;1 , CD 1 a; 1 b;1 c .
3
a 2
1 2 1 a
1
3 1 3
Ta có hệ phương trình: 1 2 1 b b C ; ; .
2
2 2 2
1 2 1 c
3
c
2
18
Bài tập trắc nghiệm
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
C
C
C
B
D
2. Bài tập về nhà
Bài tập 1:
Gọi C x;0;0 là điểm thuộc trục hoành.
Mặt khác, tam giác ABC cân tại C nên CA CB, từ đó tìm ra được C 1;0;0 .
Bài tập 2:
Nhận xét AB 1;0;1 và AC 1;1;1 AB. AC 0.
Từ đó ta có tam giác ABC vng tại A và tính được:
S ABCD 2 S ABC AB. AC 6.
Bài tập 3:
7 1
Gọi P là điểm thỏa mãn PA 2 PB 3PC 0 P ; ;1 .
6 2
Ta có: m NA 2 NB 3 NC 6 NP đạt giá trị nhỏ nhất khi N là hình chiếu
7
của P trên trục Ox hay N ;0;0 , khi đó m 3 5.
6
Bài tập trắc nghiệm
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
C
D
B
B
A
19
1.3. Kế hoạch bài học: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG
DỤNG
A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tích có hướng của hai vectơ
• Định nghĩa:Trong khơng gian Oxyz , cho hai vectơ u a1; b1; c1 và
v a2 ; b2 ; c2 . Tích có hướng của u và v là một vectơ, kí hiệu là u, v và có
tọa độ được xác định như sau:
u, v b1 c1 ; c1 a1 ; a1 b1 b1c2 b2c1; c1a2 c2a1; a1b2 a2b1 .
b2 c2 c2 a2 a2 b2
• Tính chất:
i) u, v cùng phương khi và chỉ khi
u, v 0.
u , v u
ii)
u, v v
iii) u, v u v sin u; v .
iv) Ba vecto u, v và w đồng phẳng khi và chỉ khi u , v .w 0.
2. Ứng dụng của tích có hướng
• Tính diện tích hình phẳng
i) Cơng thức tính diện tích hình bình hành ABCD : S AB, AD .
ii) Cơng thức tính diện tích tam giác ABC : S
1
2
AB, AC .
• Tính thể tích vật thể
i) Cơng thức tính thể tích khối hộp ABCD. ABC D : V = AB, AD . AA .
ii) Cơng thức tính thể tích tứ diện ABCD : V
1
AB, AC AD .
6
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB , AC 0.
20
• Chứng minh bốn điểm đồng phẳng
Bốn diểm A, B, C , D đồng phẳng khi và chỉ khi AB, AC . AD 0.
B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP
1. Khởi động
Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:
Trước khi
Các mệnh đề
Sau khi học
học
Trong không gian Oxyz , với i, j , k là các
vectơ đơn vị trên các trục xOx , yOy, zOz ta
có: k , i j.
Cho tam giác ABC , khi đó diện tích:
S ABC
1
BA, BC .
2
Cho tứ diện ABCD, khi đó thể tích:
1
AB, AC AD .
6
Với a, b là các vectơ tùy ý ta có:
a, b b, a .
V
2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài
Ví dụ 1: Trong Oxyz , cho vectơ u 1;0;2 , v 3;2; 4 , w 2; 1;0 . Tính:
a) u , v .
b) v, u .
c) u, v .w.
d) w, v .u.
Hướng dẫn:
u
a) , v 4;2; 2 .
b) v, u 4; 2;2 .
c) Ta có: u, v 4;2; 2 và w 2; 1;0 .
21
Nên u, v .w 4.2 2. 1 . 2 .0 10.
d) Ta có: w, v 4;8;7 và u 1;0;2 .
Nên w, v .u 4. 1 8.0 7.2 10.
Mở rộng: u , v v, u .
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho ba vectơ u 2; 1;1 , v m;3; 1 và
w 1;2;1 . Tìm tham số thực m để u, v và w đồng phẳng.
Hướng dẫn:
Ta có: u , v 3; 1;5 . Để u, v và w đồng phẳng khi
u , v .w 0.
8
Từ đó tìm được m .
3
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD. ABCD có các
đỉnh A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 và C 1;1;1 . Trên cạnh AA, BC , C D lần
lượt lấy các điểm M , N , I sao cho AM BN CI . Tìm tọa độ của M để diện
tích tam giác MNI đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Gọi độ dài AM BN CI x.
Chọn hê tọa độ với điểm A là gốc tọa độ, lần lượt AB Ox, AD Oy, AA Oz.
Từ đó ta tính được M 0;0;1 x , N 1; x;0 , I 1 x;1;1 .
Ta có: SMNI
1
2
MN , MI 3 x 2 x 1 3 3 .
2
8
Dấu " " xảy ra khi x
1
1
hay M 0;0; .
2
2
3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp
a. Bài tập tự luận
22
Bài tự luyện số 1: Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ u 1;2;3 , v 1;1;1
và w 2;1;1 . Tính:
a) u , v .
b) v, u .
c) u, v .w.
d) w, v .u.
Bài tự luyện số 2: Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm đồng phẳng
A1; 2;1 , B 2;0;1 , C x; 5; x và D 1; 1; x ( với x là tham số thực dương).
Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài tự luyện số 3: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;1;0 và
B 2; 1;1 . Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ
nhất.
b. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;1;1 , B 2; 1;1 , C 1;1;3 .
Điểm nào sau đây đồng phẳng với các điểm A, B, C ?
C: P 2;0;0 .
D: Q 3; 1; 2 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho bốn vectơ a 3;2; 1 , b 2;1;1 , c 4;1;7
và u 3; 5; 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai:
A: a, b cùng phương với c, b .
B: b, c không cùng phương với a, c .
C: a, b không cùng phương với u , c .
D: a, b, c là ba vecto đồng phẳng.
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 1;1;0 và v x;1;0 , biết
u, v 1;3;1 . Khi đó giá trị của x là:
A: M 1;0;2 .
B: N 1;0; 1 .
A: 2.
B: 2.
C: 3.
D: 1.
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;1;3 , B 2;0; 1 và C 0;0;1 .
Vectơ nào sau đây vng góc với cả hai vecto AB, AC ?
23
C: n3 (1;0;1).
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 2;1;1 và
không đồng phẳng với hai vectơ u, v ?
A: w1 1;1; 1 .
B: w 2 2;5;11 .
C: w 3 (3;6; 12).
A: n1 0;1;1 .
B: n 2 1;1;0 .
D: n4 1;0;0 .
v 1;0;2 . Vectơ nào
D: w 4 1;2;4 .
C- BÀI TẬP VỀ NHÀ
1. Bài tập tự luận
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm
A 0;0;1 , B 1;0;2 , C 1;1;0 và D 2;1;2 . Tính:
a) Diện tích tam giác ABC , đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác và bán kính
đường trịn nội tiếp tam giác đó.
b) Giá trị sin của góc giữa AB và CD.
c) Thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D.
Bài tập 2: Tìm điều kiện của tham số thực m để ba vectơ
u 1;2;3 , v 2;1; m và w 2; m;1 không đồng phẳng.
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;0 , B 2; 1;1 và
C 2;1;1 . Tìm điểm M thuộc trục Oz sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 2.
2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 1;1;2 , v 2;1; 1 . Tọa độ
của vectơ u , v bằng:
A: 1; 3; 5 .
B: 3; 5; 1 .
C: 5; 1; 3 .
D: 1; 5; 3 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1;0;0, , B 0;1;0 , C 0;0;1 và
D 1;1;1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A: Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện.
B: Tam giác ABD là tam giác đều.
C: Tam giác BCD là tam giác vuông.
D: Tam giác ABC là tam giác vuông.
