TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN
-----------------------

ĐÀO THỊ DUNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
THEO ĐỊNH HƯỚNG TÍCH HỢP LIÊN MƠN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN

-----------------------

ĐÀO THỊ DUNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
THEO ĐỊNH HƯỚNG TÍCH HỢP LIÊN MƠN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Nguyễn Huyền Trang

Phú Thọ, 2018

1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài.
Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm nghiệm tính chân lý
của mọi khoa học nói chung và tốn học nói riêng. Khoa học phát triển được là
nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn, mối quan hệ giữa khoa học và thực
tiễn có tính chất phổ dụng, tồn bộ và nhiều tầng. Đánh giá được vai trị quan
trọng của mối liên hệ biện chứng giữa khoa học và thực tiễn, giữa bản thân các
môn khoa học với nhau Bộ GD&ĐT đã rất quan tâm đến việc vận dụng kiến
thức liên mơn, kiến thức từ chính thực tiễn cuộc sống vào trong dạy học, cuộc
thi “dạy học theo chủ đề tích hợp và vận dụng kiến thức liên môn vào giải quyết
vấn đề thực tiễn” được tổ chức hàng năm chính là minh chứng rõ nét cho sự
quan tâm ấy.
Trong những năm gần đây, dạy học theo phương pháp tích hợp kiến thức
liên mơn như Tốn - Lý - Hoá - Sinh; Ngữ văn - Địa lý - Lịch sử,... đã giúp học
sinh có kiến thức bao quát rộng hơn về nội dung được học trong bài. Toán học
được xem như là một môn khoa học trung tâm và là nền tảng cho các môn khoa
học khác đặc biệt là các mơn khoa học tự nhiên, có ứng dụng hầu hết trong các
lĩnh vực của cuộc sống. Chính vì vậy việc vân dụng kiến thức liên mơn là việc
làm cần thiết trong dạy học bộ mơn tốn, việc làm này không chỉ giúp học sinh
dễ dàng hơn trong tiếp thu kiến thức tốn học mà cịn giúp họ ôn tập, củng cố
nhiều kiến thức đã được học của các môn học khác. Tuy nhiên việc vận dụng
phương pháp dạy học theo hướng tích hợp kiến thức liên mơn trong mơn Tốn
cịn gặp nhiều khó khăn. Chúng ta phải vận dụng phương pháp dạy học này như
thế nào để học sinh học tốn say mê, hứng thú với mơn học được coi là khơ
khan và khó này? Đó là điều trăn trở đối với nhiều giáo viên.
“Xác suất thống kê” là một phần kiến thức thuộc chương trình mơn Tốn

THPT, nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của đời sống thực tiễn: Quản
trị kinh doanh, y học, vật lý, hoá học,....Tuy nhiên nội dung “Xác suất thống kê”
là một trong những nội dung khó học đối với học sinh. Làm thế nào để học sinh
có thể hiểu, nắm vững, vận dụng và yêu thích nội dung “Xác suất thống kê” là


2

một yêu cầu và thách thức với giáo viên dạy tốn ở THPT. Chính vì vậy mà
chúng ta cần có sự đổi mới trong phương pháp dạy học, cần phải khéo léo tích
hợp kiến thức liên mơn trong các bài tập, các hoạt động cụ thể thì mới giúp
người học dễ dàng tiếp cận, yêu thích và học tốt nội dung “Xác suất thống kê”.
Từ những lí do đóem quyết định chọn “Xây dựng hệ thống bài tập xác suất
thống kê theo định hướng tích hợp liên mơn” làm đề tài nghiên cứu khố luận
của mình.
2. Mục tiêu khóa luận.
Xây dựng hệ thống bài tập xác suất thống kê theo định hướng tích hợp liên
mơn.
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Đề tài xây dựng hệ thống bài tập xác suất thống kê tích hợp liên mơn học.
Đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên sư phạm toán của
trường Đại học Hùng Vương, Phú Thọ.


3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.Lý luận về phương pháp dạy học tích hợp các kiến thức liên mơn.
1.1.1.Cơ sở lý luận.
Dạy học tích hợp các kiến thức liên mơn là một trong những xu thế dạy

học hiện đại đang được quan tâm nghiên cứu và áp dụng vào nhà trường ở nhiều
nước trên thế giới. Ở nước ta, từ thập niên 90 của thế kỷ XX trở lại đây, vấn đề
xây dựng mơn học tích hợp với những mức độ khác nhau mới thực sự tập trung
nghiên cứu, thử nghiệm và áp dụng vào nhà trường phổ thông.
Hiện nay, xu hướng tích hợp vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu, thử
nghiệm và áp dụng vào đổi mới chương trình cho học sinh các cấp học. Giữa
mơn Tốn và các mơn học khác có mối liên quan mật thiết chặt chẽ. Kiến thức
của các mơn có thể bổ sung, hỗ trợ cho nhau giúp cho kiến thức của mơn Tốn
được mở rộng, phong phú và sinh động hơn.
1.1.2. Cơ sở thực tiễn.
* Khó khăn:
- Đối với giáo viên:
+ Giáo viên phải tìm hiểu sâu hơn những kiến thức thuộc các môn học
khác.
+ Vấn đề tâm lý chủ yếu vẫn quen dạy theo chủ đề đơn môn nên khi dạy
theo chủ đề tích hợp, liên mơn, các giáo viên sẽ vất vả hơn, phải xem xét, rà
sốt nội dung chương trình, sách giáo khoa (SGK) hiện hành để loại bỏ những
thông tin cũ, lạc hậu, đồng thời bổ sung, cập nhật những thông tin mới, phù hợp.
Nội dung của phương pháp dạy tích hợp, liên mơn cũng u cầu GV cấu trúc,
sắp xếp lại nội dung dạy học trong chương trình hiện hành theo định hướng phát
triển năng lực học sinh nên khơng tránh khỏi làm cho giáo viên có cảm giác ngại
thay đổi.
+ Điều kiện cơ sở vật chất (thiết bị thông tin ,truyền thông) phục vụ cho
việc dạy học trong nhà trường còn nhiều hạn chế nhất là các trường ở nông
thôn.
- Đối với học sinh:


4


+ Dạy tích hợp là cả một q trình từ tiểu học đến THPT nên giai đoạn
đầu này, đặc biệt là thế hệ HS hiện tại đang quen với lối mòn cũ nên khi đổi mới
học sinh thấy lạ lẫm và khó bắt kịp.
+ Do xu thế chọn ngành nghề theo thực tế xã hội nước ta hiện nay và việc
quy định các mơn thi trong các kì thi tuyển sinh nên đa số các học sinh và phụ
huynh kém mặn mà (coi nhẹ) với các mơn khơng thi, ít thi (môn phụ).
* Thuận lợi:
- Đối với giáo viên:
+Trong quá trình dạy học mơn học của mình, giáo viên vẫn thường xuyên
phải dạy những kiến thức có liên quan đến các mơn học khác và vì vậy đã có sự
am hiểu về những kiến thức liên mơn đó hay nói cách khác đội ngũ giáo viên
chúng ta đã dạy tích hợp liên môn từ lâu rồi nhưng chúng ta chưa đi sâu và chưa
có khái niệm tên gọi cụ thể mà thôi .
+ Với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, vai trị của giáo viên
khơng là người truyền thụ kiến thức mà là người tổ chức, kiểm tra, định hướng
hoạt động học của học sinh cả ở trong và ngồi lớp học; vì vậy, giáo viên các bộ
mơn liên quan có điều kiện và chủ động hơn trong sự phối hợp, hỗ trợ nhau
trong dạy học.
+ Trong những năm qua giáo viên cũng đã được trang bị thêm nhiều kiến
thức mới về phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực: như phương pháp bàn tay
nặn bột hoặc kĩ thuật khăn trải bàn, dạy học theo dự án, ...
+ Môi trường “Trường học kết nối rất thuận lợi để giáo viên đổi mới trong
dạy tích hợp, liên môn”.
+ Nhà trường đã đầu tư nhiều phương tiện dạy học có thể đáp ứng một
phần đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
+ Sự phát triển của CNTT, sự hiểu biết của đội ngũ giáo viên của nhà
trường là cơ hội để chúng ta triển khai tốt dạy học tích hợp, liên mơn.
- Đối với học sinh:
Học sinh có hứng thú tìm hiểu kiến thức các bộ mơn nhất là các bộ môn
tự nhiên ngày càng nhiều hơn, sách giáo khoa được trình bày theo hướng



5

“mở”nên cũng tạo điều kiên, cơ hội cũng như môi trường thuận lợi cho học sinh
phát huy tư duy sáng tạo.
Một trong những nguyên tắc chỉ đạo khi xây dựng chương trình sách giáo
khoa theo hướng tích hợp là: Chương trình và sách giáo khoa phổ thơng phải là
cơng trình khoa học sư phạm trong đó phải lựa chọn được các nội dung cơ bản,
phổ thông, cập nhật được các tiếnbộ mới của khoa học công nghệcủa kinh tếxã
hội, gần gũi với đời sống và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh trong từng
giai đoạn học tập, gắn bó với thực tế phát triển của đất nước, tích hợp nhiều mặt
giáo dục trong từng nội dung, nâng cao chất lượng hoạt động thực hành, vận dụng
theo năng lực từng đối tượng học sinh.
1.1.3.Quan niệm về dạy học tích hợp, liên mơn.
Dạy học tích hợp liên mơn là dạy học những nội dung kiến thức liên quan
đến hai hay nhiều mơn học. "Tích hợp" là nói đến phương pháp và mục tiêu của
hoạtđộng dạy học cịn "liên mơn" là đề cập tới nội dung dạy học. Đã dạy học
"tích hợp"thì chắc chắn phải dạy kiến thức "liên mơn" và ngược lại, để đảm bảo
hiệu quả của dạy liên mơn thì phải bằng cách và hướng tới mục tiêu tích hợp. Ở
mức độ thấp thìdạy học tích hợp mới chỉ là lồng ghép những nội dung giáo dục
có liên quan vào qtrình dạy học một mơn học như: Lồng ghép giáo dục đạo
đức, lối sống; giáo dụcpháp luật; giáo dục chủ quyền quốc gia về biên giới, biển,
đảo; giáo dục sử dụngnăng lượng tiết kiệm và hiệu quả, bảo vệ mơi trường, an
tồn giao thơng... Mức độtích hợp cao hơn là phải xử lí các nội dung kiến thức
trong mối liên quan với nhau,bảo đảm cho học sinh vận dụng được tổng hợp các
kiến thức đó một cách hợp lí đểgiải quyết các vấn đề trong học tập, trong cuộc
sống, đồng thời tránh việc học sinhphải học lại nhiều lần cùng một nội dung
kiến thức ở các môn học khác nhau. Chủđề tích hợp liên mơn là những chủ đề
có nội dung kiến thức liên quan đến hai haynhiều môn học, thể hiện ở sự ứng

dụng của chúng trong cùng một hiện tượng, quá trình tự nhiên hay xã hội. Ví dụ:
Kiến thức Vật lí và Cơng nghệ trong động cơ, máy phát điện; kiến thức Vật lí và
Hóa học trong nguồn điện hóa học; kiến thứcLịch sử và Địa lí trong chủ quyền


6

biển, đảo; kiến thức Ngữ văn và Giáo dục côngdân trong giáo dục đạo đức, lối
sống…
1.1.4. Mục tiêu của dạy học tích hợp liên mơn
Dạy học tích hợp là một phương thức phát triển năng lực học sinh. Thông qua
dạy học tích hợp, học sinh phát triển khả năng sử dụng kiến thức, kĩ năng ở các
tình huống khác nhau trong cuộc sống. Dạy học tích hợp giúp thiết lập mối liên
hệ giữa các khái niệm đã học trong cùng một môn học và giữa các môn học khác
nhau. Đồng thời, dạy học tích hợp tránh sự trùng lặp về những kiến thức, kĩ
năng khi nghiên cứu riêng rẽ từng mơn học, nhưng lại có những nội dung, kỹ
năng mà nếu theo mơn học riêng rẽ sẽ khơng có được. Do đó, dạy học tích hợp
vừa tiết kiệm thời gian, vừa có thể phát triển kĩ năng, năng lực cho học sinh
thông qua giải quyết các vấn đề phức hợp.Thực hiện dạy học tích hợp giúp xác
định rõ mục tiêu, phân biệt cái tốt cái yếu và cái ít quan trọng hơn khi lựa chọn
nội dung.
Thực tiễn ở nhiều nước đã chứng tỏ rằng, việc thực hiện quan điểm tích
hợp trong giáo dục và dạy học sẽ giúp phát triển những năng lực giải quyết vấn
đề phức tạp và làm cho việc học tập trở nên có ý nghĩa hơn đối với học sinh so
với việc các môn học, các mặt giáo dục được thực hiện riêng rẽ.
Như vậy, dạy học tích hợp là một trong những quan điểm giáo dục hiện đại
nhằm nâng cao năng lực của người học, giúp người học có đủ phẩm chất và
năng lực để giải quyết các vấn đề của cuộc sống. Dạy học theo hướng tích hợp
phát huy được tính tích cực của học sinh, gắn nhà trường với xã hội, góp phần
đổi mới nội dung và phương pháp dạy học, đáp ứng được nhu cầu đa dạng của

xã hội đang thay đổi nhanh chóng.
1.1.5.Các quan điểm tích hợp trong dạy học
Dạy học ngày nay cho học sinh cách tìm tịi sang tạo và cách vận dụng
kiến thức vào các tình huống khác nhau. Tức là, dạy cho học sinh biết cách sử
dụng các kiến thức và kĩ năng của mình để giải quyết các tình huống cụ thể, có ý
nghĩa nhằm mục đích hình thành, phát triển năng lực. Đồng thời chú ý xác lập
mối liên hệ giữa các kiến thức, kĩ năng khác nhau của môn học này hay các môn


7

học khác nhau để đảm bảo cho học sinh khả năng huy động hiệu quả những kiến
thức và năng lực của mình vào giải quyết các tình huống tích hợp. Do vậy, nói
đến dạy học tích hợp với việc hình thành, phát triển năng lực người học đồng
nghĩa với việc người học là trung tâm của hoạt động học.
Khi nói đến dạy học tích hợp, cần hiểu rõ các dạng tích hợp trong chương
trình học. Có thể tồn tại nhiều quan điểm khác nhau về tích hợp, nhiều cách
trình bày khác nhau về tích hợp.
Dưới đây là một số quan điểm trong dạy học tích hợp:
Quan điểm “đơn mơn”: Có thể xây dựng chương trình học tập theo hệ thống
mỗi môn học riêng biệt. Các môn học được tiếp cận một cách riêng rẽ.
Quan điểm “đa môn”: Thực chất là những tình huống, những “đề tài” được
nghiên cứu theo những quan điểm khác nhau, nghĩa là theo những môn học khác
nhau.
Quan điểm “liên mơn”: Trong dạy học những tình huống chỉ có thể được tiếp
cận hợp lý qua sự soi sáng của nhiều mơn học.
Quan điểm “xun mơn”: Có thể phát triển những kỹ năng mà học sinh có thể
sửdụng trong tất cả các môn học, trong tất cả các tình huống.
1.1.6. Ưu điểm của việc dạy học theo chủ đề tích hợp liên mơn
Đối với học sinh, trước hết, các chủ đề liên mơn, tích hợp có tính thực tiễn

nên sinh động, hấp dẫn, có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập
chohọc sinh. Học các chủ đề tích hợp, liên mơn học sinh được tăng cường vận
dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết các tình huống thực tiễn, ít phải ghi nhớ
kiếnthức một cách máy móc. Điều quan trọng hơn là các chủ đề tích hợp, liên
mơn giúpcho học sinh khơng phải học lại nhiều lần cùng một nội dung kiến thức
ở các mônhọc khác nhau, vừa gây quá tải, nhàm chán, vừa khơng có được sự
hiểu biết tổngqt cũng như khả năng ứng dụng của kiến thức tổng hợp vào thực
tiễn.
Đối với giáo viên thì ban đầu có thể có chút khó khăn do việc phải tìm
hiểusâu hơn những kiến thức thuộc các mơn học khác. Tuy nhiên khó khăn này


8

chỉ là bước đầu và có thể khắc phục dễ dàng bởi hai lý do: Một là, trong quá
trình dạyhọc mơn học của mình, giáo viên vẫn thường xun phải dạy những
kiến thức cóliên quan đến các mơn học khác và vì vậy đã có sự am hiểu về
những kiến thứcliên mơn đó; Hai là, với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện
nay, vai trò của 2 giáo viên khơng cịn là người truyền thụ kiến thức mà là người
tổ chức, kiểm tra,định hướng hoạt động học của học sinh cả ở trong và ngồi lớp
học; vì vậy, giáoviên các bộ mơn liên quan có điều kiện và chủ động hơn trong
sự phối hợp, hỗ trợ nhau trong dạy học. Như vậy, dạy học theo các chủ đề liên
môn không những giảm tải cho giáo viên trong việc dạy học các mơn học của
mình mà cịn có tác dụng bồi dưỡng, nâng cao kiến thức và kĩ năng sư phạm cho
giáoviên, góp phần phát triển đội ngũ giáo viên bộ mơn hiện nay.
1.1.7. Tổ chức dạy học tích hợp
a. Những nguyên tắc lựa chọn chủ đề dạy học tích hợp
● Đảm bảo mục tiêu giáo dục, hình thành và phát triển các năng lực cần thiết
cho người học.
● Đáp ứng được yêu cầu phát triển của xã hội, mang tính thiết thực, có ý nghĩa

với người học.
● Đảm bảo tính khoa học và tiếp cận những thành tựu của khoa học kĩ thuật,
đồng thời vừa sức với học sinh.
● Đảm bảo tính giáo dục và giáo dục vì sự phát triển bền vững.
● Tăng tính thực tiễn, quan tâm tới những vấn đề mang tính xã hội của địa
phương
● Việc xây dựng các bài học/ chủ đề tích hợp dựa trên chương trình hiện hành
b. Quy trình thiết kế chủ đề dạy học tích hợp
Bước 1: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa hiện hành của các bộ
mơn liên quan để lựa chọn chủ đề, xây dựng mục tiêu dạy học của chủ đề.
Bước 2: Xác định các nội dung giáo dục cần tích hợp. Căn cứ vào mối liên
hệ giữa kiến thức môn học và các nội dung giáo dục cần tích hợp. Cụ thể giáo
viên cần phải trả lời các câu hỏi: Tích hợp nội dung nào là hợp lý? Liên kết các
kiến thức như thế nào? Thời lượng thực hiện chủ đề là bao nhiêu?


9

Bước 3: Lựa chọn các phương pháp dạy học, phương tiện dạy học phù hợp,
trong đó cần quan tâm sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, các phương
tiện dạy học có hiệu quả cao để tăng cường tính trực quan và hứng thú học tập
của học sinh.
Bước 4: Xây dựng tiến trình dạy học chủ đề dạy học tích hợp. Để tránh sự
trùng lặp nội dung cũng như sự quá tải cho chủ đề, khi thực hiện quy trình này
cần có sự trao đổi giữa các giáo viên cùng bộ môn, giáo viên của các bộ môn
liên quan.
Bước 5: Áp dụng vào thực tiễn dạy học, đánh giá, tổng kết chủ đề dạy học
tích hợp, rút kinh nghiệm khi vận dụng vào thực tiễn dạy học.
1.2.Một số kiến thức xác suất thống kê.
1.2.1. Một số kiến thức về xác suất.

1.2.1.1. Phép thử và biến cố
* Phép thử, không gian mẫu
- Phép thử: Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào
đó,... được hiểu là phép thử.
Chẳng hạn, gieo một đồng tiền kim loại (gọi tắt là đồng tiền), rút một quân bài
từ cỗ bài tú lơ khơ (cỗ bài 52 lá) hay bắn một viên đạn vào bia,... là những ví dụ
về phép thử.
- Phép thử ngẫu nhiên: Là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của
nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
- Khơng gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi
là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là W.
* Biến cố:
- Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
a. Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể
khơng xảy ra khi phép thử ngẫu nhiên được thực hiện. Kí hiệu: A, B ,C ...
b. Biến cố chắc chắn: Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử
được thực hiện. Kí hiệu: W.


10

c. Biến cố không thể: Biến cố không thể là biến cố nhất định không xảy ra khi
phép thử được thực hiện. Kí hiêu: f .
d. Mối quan hệ giữa các biến cố:
+ Biến cố thuận lợi: Biến cố A được gọi là thuận lợi (thích hợp) đối với
biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Kí hiệu: A Ì B .
+ Biến cố bằng nhau: Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu biến
cố A là thuận lợi với biến cố B và biến cố B là thuận lợi đối với biến cố A:

ìï A Ì B

A = B Û ïí B Ì A
ïïỵ
1.2.1.2 Các phép tốn về biến cố
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.Tập W| A được gọi là biến cố
đối của biến cố A , kí hiệu là A .
Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa
sau:
+ Phép giao: Giao của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi A và B cùng
xảy ra. Kí hiệu: A Ç B
Nếu A Ç B = f thì ta nói A và B xung khắc. A và B xung khắc khi và chỉ
khi chúng không khi nào cùng xảy ra.
Tổng quát: Giao của n biến cố A1, A2,..., An là một biến cố xảy ra khi
n

A1, A2,..., An đồng thời xảy ra. Kí hiệu:

I

Ai .

i= 1

+ Phép hợp: Hợp của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A
hoặc B xảy ra. Kí hiệu: A È B .
Tổng quát: Hợp của n biến cố A1, A2,..., An là một biến cố nó xảy ra khi ít nhất
n

một trong n biến cố A1, A2,..., An xảy ra. Kí hiệu:

UA .

i

i= 1

+ Hiệu của hai biến cố: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra
khi A xảy ra và B khơng xảy ra. Kí hiệu: A \ B .


11

+ Biến cố đối lập: A, B là hai biến cố xung khắc và hợp của hai biến cố
A, B là biến cố chắc chắn thì A được gọi là biến cố đối lập của biến cố B.

ìï A Ç B = f
A, B đối lập Û ïí A È B = W
ïïỵ
Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A C hoặc A .
+ Biến cố độc lập: Là hai biến cố mà sự xuất hiện của biến cố này không
ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
P (A .B ) = P (A ).P (B ) với A, B là 2 biến cố độc lập.

* Một số tính chất của phép tốn về biến cố:
c

a. (A c ) = A .
b. A Ç A c = f ; A È A c = W.
c. A Ç B = B Ç A ; A È B = B È A .
d. (A Ç B ) Ç C = A Ç (B Ç C ) ; (A È B ) È C = A È (B È C ) .
e. A È (B Ç C ) = (A È B ) Ç (A È C ) ; A Ç (B È C ) = (A Ç B ) È (A Ç C ).
f. A Ì B Þ B c Ì A c .

g. A È B = A È (B Ç A c ).
n

n

h. ( I Ai )c =
i= 1

n

n

U(Ai )c ; (UAi )c =

I

i= 1

i= 1

i= 1

(Ai )c .

Đặc biệt Khi n = 2 ta có:
(A Ç B )c = A c È B c
(A È B )c = A c Ç B c

1.2.1.3. Nhắc lại một số kiến thức về tổ hợp, nhị thức Newton
a. Một số kiến thức về tổ hợp.

+ Hốn vị: Cho tập hợp A có n phần tử ( n ³ 1 ). Mỗi kết quả của sự sắp
xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Số các hốn vị của X là: Pn = n !


12

+ Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ³ 1 ). Kết quả của việc
lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một
thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 £ k £ n ).
Ta có: Ank = n (n - 1)...(n - k + 1) .
Chú ý:
- Với quy ước 0! = 1 , ta có: Ank =

n!
,1 £ k £ n .
(n - k ) !

- Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần
tử đó. Vì vậy: Pn = Ann .
+ Tổ hợp: Giả sử tập A có n phần tử ( n ³ 1 ). Mỗi tập con gồm k phần
tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu C nk là số tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 £ k £ n ).
Ta có: C nk =

n!
.
k!(n - k )!


b. Nhị thức Newton.
Công thức nhị thức:

(a + b)n = C n0a n + C n1a n - 1b + ... + C nka n - kbk + ... + C nn - 1abn - 1 + C nnbn .
1.2.1.5. Xác xuất của biến cố.
●Các định nghĩa về xác suất.
Định nghĩa 1.1. (Xác suất của một biến cố): Xác suất là một con số không âm
biểu thị khả năng xuất hiện khách quan của biến cố đó. Kí hiệu: P (A ).
Định nghĩa 1.2.
Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển: Nếu A là biến cố có n (A ) biến cố
sơ cấp thích hợp với nó trong một khơng gian biến cố sơ cấp gồm n (W) biến cố
cùng khả năng xuất hiện thì tỉ số P (A ) =
A.

n (A )
được gọi là xác suất của biến cố
n (W)


13

Nhận xét:
-

Trong chương trình THPT khơng gian biến cố sơ cấp chính là khơng gian

mẫu W , n (W) = W và n (A) = WA . Khi đó xác suất của A được xác định bởi:
P (A ) =

WA

W

.

Định nghĩa 1.3.
Định nghĩaxác suất theo quan điểm thống kê:
Giả sử khi lặp lại n lần một phép thử, có k lần xuất hiện biến cố A . Ta gọi
tỉ số là tần suất của biến cố A . Khi n thay đổi, tần suất k cũng thay đổi. Bằng
thực nghiệm người ta chứng tỏ được rằng tần suất luôn dao động xung quanh
một số cố định, khi n càng lớn thì nó càng gần với số cố định đó. Ta gọi số cố
định đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê và kí hiệu là P (A ) .
Định nghĩa 1.4.
Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học:
Giả sử một điểm rơi ngẫu nhiên vào một miền D , A là miền con của D .
Khi đó xác suất để điểm rơi vào miền A là:

P (A ) =

sd (A )
.
sd (D )

(Trong đó sd (A ) ; sd (D) : Độ đo của miền A , D .
Nếu: D là đoạn thẳng thì số đo miền D là độ dài.
D là hình phẳng thì số đo miền D là diện tích.
D là khơng gian thì số đo miền D là thể tích.


Cơng thức cộng xác suất:


-

Nếu A và B xung khắc, thì: P (A È B ) = P (A ) + P (B ).

-

Nếu A và B bất kỳ, thì: P (A È B ) = P (A ) + P (B ) - P (A Ç B ) .



Xác suất có điều kiện:


14

Định nghĩa 1.5. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã
xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P (A / B ) hoặc

P (A / B ) =

P (A B )
.
P (B )

● Mệnh đề 1.1. (Công thức nhân xác suất)
Giả sử {A1, A2,..., An }là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho:
P (A1A2 ...An ) > 0 , khi đó:
P (A1A2 ...An ) = P (A1 )P (A2 / A1 )P (A 3 / A1A2 )... P (A n / A1 A2 ...An )

● Mệnh đề 1.2.(Cơng thức xác suất tồn phần)

Giả sử {B 1, B 2,... Bn } là họ đầy đủ các biến cố ngẫu nhiên có xác suất
dương. Khi đó ta có:
n

P (A) =

å

P (B i )P (A/ Bi )

i= 1

● Mệnh đề 1.3. (Công thức Bayes)
Nếu A là biến cố bất kì, dãy { B 1, B 2,..., Bn } lập thành hệ đầy đủ các biến cố thì:

P (Bk / A ) =

P (B k )P (A / B k )
n

å

P (B i )P (A / B i )

i= 1

được gọi là cơng thức Bayes.
Trong đó P (B i ), i = 1, ..., n được gọi là xác suất tiền nghiệm.
P (B k / A ) được gọi là xác suất hậu nghiệm.


● Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Định nghĩa 1.6. Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Wvà nhận các
giá trị x 1, x 2,..., x n , ... trong tập số thực R được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu
tập [ w : X ( w) = x n ], n=1,..., là biến cố ngẫu nhiên.
Ta thường kí hiệu các biến ngẫu nhiên bằng chữ in X, Y,...giá trị của nó
thường được kí hiệu bằng những chữ nhỏ x i , y i .


15

Ta gọi dãy P [X= x i ]= p i , i = 1, 2, ... là phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên X.
Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
● Phương sai
Định nghĩa 1.7. Ta gọi E (X - EX )2 là phương sai của biến ngẫu nhiên X và kí
hiệu DX = E (X- EX )2
● Xác suất nhị thức:
Định nghĩa 1.8.Dãy n phép thử G 1, G 2, ..., G n được gọi là dãy n phép thử
Bernoulli nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
a. Dãy đó độc lập;
b. Trong mỗi phép thử G i có 2 biến cố A, A có thể xảy ra, i = 1, n ;
c. Xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử không thay đổi và bằng p
1.2.2. Một số kiến thức về thống kê toán.
● Tổng quan về thống kê.
Thống kê là một ngành khoa học lớn, mang tính liên ngành và có phạm vi
ứng dụng rất rộng lớn. Đây là một môn khoa học,một công nghệ cấp cho ta
những công cụ hữu ích để thu thập dữ liệu, hiểu dữ liệu, tạo dữ liệu, xử lý phân
tích dữ liệu rút ra từ dữ liệu những thơng tin tri thức hữu ích. Thống kê nằm giữa
trừu tượng và cụ thể, giữa lý thuyết và ứng dụng. Nó mang hương vị tốn học
nhưng khơng đơn giản là một ngành của toán. Các bài toán cốt lõi của nó pha

trộn với các bài tốn của nhiều lĩnh vực nhằm đi sâu tìm hiểu bản chất của trí tuệ
và tư duy. Trong bài “Qúa khứ, hiện tại và tương lai của Thống kê” Giáo sư
C.R.Rao viết: “Không giống như các ngành khoa học khác, khoa học thống kê
khơng chỉ phát triển từ thống kê. Nó cần sự thúc đẩy từ những bài toán mới phát
sinh trong tất cả các hoạt động của con người. Tương lai của thống kê nằm ở sự
giao tiếp trao đổi hợp tác giữa nhà thống kê với các nhà nghiên cứu trong các
lĩnh vực khác.”


16

Thống kê có vai trị quan trọng trong đời sống. Nó xuất hiện ở mọi nơi,
mọi lúc, trong mọi cơng việc ta làm. Ví dụ:
- Trong gia đình sử dụng thống kê để quản lí tài sản.
- Trong xã hội hiện đại, chính quyền sử dụng thống kê như là một phương
tiện quản lí kinh tế - xã hội.
+ Bất cứ chính quyền nào cũng có các cơ quan thống kê chuyên thu thập
và xử lí các dữ liệu về dân số, giáo dục, tình hình phát triển kinh tế... để rút ra
các thơng tin và dựa vào đó mà hoạch định chính sách.
+ Khơng có dữ liệu thống kê, nhà nước sẽ khơng có đủ thơng tin để đánh
giá đúng tình hình, đưa ra các chính sách quản lí phù hợp...
- Đặc biệt, kĩ năng từ nội dung thống kê có mặt trong mọi mơn học. Các
mơn Khoa học tự nhiên đều sử dụng đến Tốn học, nhưng khơng phải phần kiến
thức nào của Toán học cũng được vận dụng nhiều trong cả lí thuyết lẫn thực
hành như phần thống kê.
+ Trong sinh học: Thống kê để tạo phả hệ nghiên cứu sự di truyền của
người.
+ Trong vật lý, Công nghệ: Khi làm các bài thực hành (khảo sát, đo
đạc,...) đều phải dùng để thu thập số liệu.
+ Trong mơn Địa lý thống kê để có các số liệu, xử lý số liệu: Thống kê

dân số Việt Nam theo nhóm tuổi qua các năm để rút ra cơ cấu dân số, thống kê
GDP của Mỹ và các châu lục khác để so sánh được vị thế kinh tế Mỹ, Thống kê
số liệu và tính xác suất thời tiết,...
+ Trong môn Ngữ văn: Thống kê tác phẩm theo mốc thời gian để tìm hiểu
sự phát triển qua các thời kì.
Thống kê được chia làm hai lĩnh vực:
Thống kê mô tả: Bao gồm các phương pháp thu thập số liệu, mô tả và
trình bày số liệu, tính tốn đặc trưng đo lường.
Thống kê suy diễn: Bao gồm các phương pháp phân tích, kiểm định và
dự đốn.
Trong chương trình trung học phổ thông, học sinh chỉ học thống kê mô tả.


17

Sau đây là một số kiến thức cơ bản nhất của thống kê được dựa vào
chương trình trung học phổ thông.
● Mẫu số liệu
a. Tổng thể
Là tập hợp tất cả các phần tử thuộc hiện tượng nghiên cứu cần được quan
sát, thu thập và phân tích. Hay nói cách khác, khi nghiên cứu một vấn đề, ta
thường quan tâm vào một dấu hiệu cụ thể, các dấu hiệu này thể hiện trên nhiều
phần tử. Tập hợp tất cả các phần tử mang dấu hiệu này được gọi là tổng thể.
b. Mẫu
Một tập hợp hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu. Số phần tử
của mẫu được gọi là kích thước mẫu. Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu
được gọi là mẫu số liệu (mỗi giá trị như thế còn được gọi là giá trị của mẫu).
c. Phương pháp lấy mẫu
Lấy mẫu có hồn lại: Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hồn lại từng phần tử
từ tổng thể để quan sát các dấu hiệu. Khi đó số lần lấy chính là kích thước mẫu.

Vậy cách lấy này mỗi phần tử có thể lấy nhiều lần. Cách này thường áp dụng
trên tổng thể nhỏ.
 Lấy mẫu khơng hồn lại: Là lấy ngẫu nhiên lần lượt khơng hồn lại các
phần tử của tổng thể. Khi đó số phần tử lấy ra là kích thước mẫu. Với cách này,
mỗi phần tử của tổng thể chỉ được chọn nhiều nhất một lần. Cách này thường áp
dụng trên tổng thể lớn.
d. Mẫu ngẫu nhiên.
Ta nói rằng một mẫu là mẫu ngẫu nhiên nếu trong phép lấy mẫu đó mỗi
cá thể được chọn một cách độc lập và có xác suất được chọn như nhau.
Giả sử các cá thể của tổng thể được nghiên cứu thông qua dấu hiệu X .
Với mẫu ngẫu nhiên kích thước n , gọi X i là dấu hiệu X của phần tử thứ i
của mẫu ( i  1, n ). Bằng cách đồng nhất mẫu ngẫu nhiên với các dấu hiệu nghiên
cứu của mẫu ta có định nghĩa về mẫu ngẫu nhiên như sau:


18

Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là một dãy gồm n biến ngẫu nhiên:
X 1, X 2, ..., X n độc lập cùng phân bố với X , ký hiệu W = (X 1, X 2,..., X n ) .

● Các phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên
 Tần số, tần suất
Số lần xuất hiện của giá trị x 1 trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá
trị x 1 . Ta kí hiệu tần số của x i . Ta kí hiệu tần số của x i là n i .
Tần suất fi của giá trị x i là tỉ số giữa tần số n i và kích thước mẫu N của mẫu:

fi =

ni
.

N

 Tần suất thường được viết dưới dạng %: fi =


ni
%.
N

Bảng phân phối tần số, tần suất

Ta thường trình bày mẫu số liệu trong một bảng gồm 2 cột: giá trị và tần số gọi
là bảng phân bố tần số – tần suất. Bảng phân phối tần số, tần suất có dạng:



Giá trị của x

Tần số (n )

Tần suất ( f )

x1

n1

f1

x2


n2

f2

x3

n3

f3

...

...

...

xm

nm

fm

Tổng: N

Tổng: 100%

Bảng phân phối tần số - tần suất ghép lớp
Khi trong một mẫu số liệu có rất nhiều số liệu, ta thực hiện việc ghép

những số liệu thống kê vào một lớp [x i , x i + 1 ) .

Giá trị ai =

xi + xi+ 1
2

là giá trị đại diện của lớp thứ i .


19

Tần số n i của lớp thứ i là số dữ liệu trong lớp đó.
Bảng mẫu số liệu gọi là bảng phân phối tần số - tần suất ghép lớp.
Bảng phân phối tần số - tần suất ghép lớp có dạng:
Giá trị của x

Giá trị trung

Tần số (n)

Tần suất (f)

tâm (của lớp)
[x 0, x 1 )

a1

n1

f1


[x 1, x 2 )

a2

n2

f2

[x 2, x 3 )

a3

n1

f3

...

...

...

...

[x m - 1, x m )

am

nm


fm

Tổng: N

Tổng: 100%

Ví dụ 1.1. Bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp của sản lượng thủy
sản:



Các lớp sản lượng

Tần số

Tần suất

[25; 325)

15

50%

[325; 625)

6

20%

[625; 925)


4

13,4%

[925; 1225)

1

3,3%

[1225; 1525)

1

3,3%

[1525; 1825)

1

3,3%

[1825; 2125)

2

6,7%

Tổng: 30


100%

Biểu đồ

a. Biểu đồ tần số tần suất hình cột
Vẽ hai đường thẳng vng góc: trên trục nằm ngang ta ghi các khoảng
xác định lớp ghép, trên trục đứng ta ghi tần số hay tần suất. Vẽ các hình chữ


20

nhật có đáy bằng khoảng ghép lớp và chiều cao bằng tần số hay tần suất của lớp
tương ứng.
b. Đường gấp khúc tần suất
Ta cũng có thể mơ tả bảng phân phối thực nghiệm bằng đường gấp khúc:
Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các điểm (x i0 ; fi ) với i = 1, 2, 3,...
Rồi vẽ các đoạn thẳng nối tiếp các điểm này với nhau ta được đường gấp
khúc. Đường gấp khúc này được gọi là đường gấp khúc tần suất.
c. Biểu đồ hình quạt
Hình trịn được chia thành những hình quạt. Mỗi lớp tương ứng với một
hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất nhóm đó. Hình thu được được gọi
là biểu đồ hình quạt.
● Các số đặc trưng của mẫu số liệu
a. Số trung bình cộng.
Để đại diện cho một mẫu số liệu người ta hay dùng số trung bình cộng.
Cơng thức tính:
+ Trường hợp bảng phân phối thực nghiệm rời rạc:
1
1 k

x tb = (n 1x 1 + n 2x 2 + ... + n k x k ) = å n i x i
n
n i= 1

Vì tần suất fi =

ni
nên ta có cơng thức:
n
k

x tb = f1x 1 + f 2 x 2 + ... + fk x k =

å

fi x i

i= 1

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
1 k
x tb = å n i x i0 =
n i= 1

k

å

fi x i0


i= 1

Trong đó x ii ; n i ; fi lần lượt là các giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i và
k

n là số các số liệu thống kê n =

å
i= 1

ni .


21

Ý nghĩa của số trung bình: Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm
đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một đặc trưng quan trọng của mẫu số
liệu.
b. Mốt
Mốt M 0 là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân phối số liệu thống
kê.
c. Số trung vị
Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệch rất lớn với nhau thì số trung
bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một hệ số khác thích hợp
hơn trong trường hợp này là số trung vị. Nói một cách đơn giản số trung vị là số
đứng giữa trong một dãy số liệu đã được sắp thứ tự không giảm.
Số trung vị M của một mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm:
x 1 £ x 2 £ ... £ x N được tính như sau:

+ Nếu N lẻ thì M =


xN + 1
2

.


1
+ Nếu N chẵn thì M   x N  x N  .
1
2  2

2 
Chú ý: Khi các số liệu trong mẫu không có sự chênh lệch q lớn thì số
trung bình và số trung vị sấp xỉ nhau.
d. Phương sai và độ lệch chuẩn


Phương sai:

Định nghĩa 1.9.Độ lệch của một số là hiệu số giữa số đó và trung bình cơng.
Bình phương các độ lệch cộng lại rồi lấy trung bình cộng được gọi là phương
sai.
Phương sai của mẫu số liệu thống kê có kích thước {x 1; x 2 ;...; x n } được tính bởi
cơng thức:
S2 =

1
N


N

å

(x i - x tb )2 .

i= 1

Trong đó x tb được gọi là giá trị trung bình của mẫu số liệu.


22



Độ lệch chuẩn:

Định nghĩa 1.10.
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn.
Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn: Phương sai và độ lệch chuẩn
được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với trung
bình cộng).
Khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng độ lệch chuẩn.


23

CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ THEO
ĐỊNH HƯỚNG TÍCH HỢP LIÊN MƠN
2.1. Hệ thống bài tập xác suất theo định hướng tích hợp liên mơn.

2.1.1. Hệ thống bài tập xác suất liên môn sinh học
●Ứng dụng xác suất – thống kê vào giải toán di truyền học.
Đặt vấn đề:
Hẳn chúng ta đều biết đến bài toán xác suất “tung đồng xu”, xác suất của
hai mặt sấp và ngửa đều bằng

1
. Bài toán xác suất này đã được MenDel vận
2

dụng một cách sáng tạo, chính ơng là người đã đặt nền tảng cho di truyền học
đánh dấu một bước ngoặt lớn trong lịch sử lồi người.
Các thí nghiệm của ông được tiến hành trên đậu hà lan, và khơng có gì
ngồi tốn học đã giúp ơng đạt được những thành công.
Khi học về di truyền trong môn sinh học, có nhiều câu hỏi có thể đặt ra:
Xác suất sinh con trai hay con gái là bao nhiêu? Khả năng để sinh được những
người con theo mong muốn về giới tính hay khơng mắc bệnh, tật di truyền dễ
hay khó thực hiện?... Các bài tập liên mơn tốn về xác suất và sinh học về di
truyền học sẽ giúp chúng ta giải quyết những vấn đề này.
Thí nghiệm bất hủ của MenDel: