TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————————–

LÊ QUANG TRUNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

Phú Thọ, 2020


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————————–

LÊ QUANG TRUNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: Th.S Nguyễn Thị Thanh Tâm

Phú Thọ, 2020

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Th.S Nguyễn Thị Thanh Tâm đã
truyền thụ kiến thức, động viên giúp đỡ và hướng dẫn tận tình cho em trong
suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện và hồn thành khóa luận.

Sinh viên

Lê Quang Trung

2


BẢNG KÝ HIỆU, VIẾT TẮT

STT Kí hiệu
1
2
3
4

Ý nghĩa

[[I]]
Tập các đơn thức chứa trong I
lcm(f, g) Bội chung nhỏ nhất của hai đơn thức f và g
rad(I)
Ideal căn của ideal I
red(f )

Rút gọn của đơn thức f

3


Mục lục
Mục lục

1

LỜI CẢM ƠN

2

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
7

PHẦN NỘI DUNG

8

Chương 1 IDEAL ĐƠN THỨC
1.1 Tính chất cơ bản của ideal đơn thức . . . . . . . .

1.1.1 Ideal đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phần tử sinh của ideal đơn thức . . . . . .
1.2 Các phép toán trên ideal đơn thức . . . . . . . . .
1.2.1 Giao của các ideal đơn thức . . . . . . . . .
1.2.2 Ideal căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Ideal chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Lũy thừa hình thức của một ideal đơn thức

.
.
.
.
.
.
.
.

8
8
8
14
18
18
23
27
30

Chương 2 PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IDEAL ĐƠN
THỨC
2.1 Ideal đơn thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Phân tích bất khả quy của ideal đơn thức . . . . . . . . . . . .
2.3 Phân tích bất khả quy của lũy thừa hình thức của một ideal .
2.4 Phân tích bất khả quy của ideal căn . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Phân tích bất khả quy của tổng . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Phân tích bất khả quy của ideal chia . . . . . . . . . . . . . .

35
35
37
41
43
44
46

4

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.


5

Chương 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM COCOA ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN VỀ IDEAL ĐƠN THỨC
3.1 Giới thiêu về phần mềm CoCoA . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Các phép toán trên ideal đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Giao của các ideal đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ideal căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Ideal chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Lũy thừa hình thức của ideal . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Phân tích bất khả quy của ideal căn . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Phân tích bất khả quy của tổng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Phân tích bất khả quy của ideal chia . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Một số bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50
51
51

54
56
57
59
60
63
63

KẾT LUẬN

67

Tài liệu tham khảo

68


PHẦN MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong thời đại cơng nghệ thơng tin phát triển nhanh chóng như hiện nay,
tất cả các ngành kinh tế xã hội đều ứng dụng cơng nghệ thơng tin trong quản
lí cũng như trong sản xuất và ngành giáo dục khơng nằm ngồi xu thế trên.
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, hàng loạt các phần mềm hỗ
trợ dạy học đã ra đời tạo ra những bước đột phá mới trong cơng tác giảng
dạy các mơn học, trong đó có mơn tốn.
Đại số là một phân nhánh lớn của tốn học cùng với lý thuyết số, hình
học và giải tích. Theo nghĩa chung nhất, đại số là việc nghiên cứu các ký hiệu
toán học và các quy tắc cho những thao tác đối với các ký hiệu đó. Đại số
giao hoán là một phân nhánh của đại số trừu tượng nghiên cứu các vành giao

hoán, ideal của chúng và các module trên các vành như vậy. Có rất nhiều
phương pháp để nghiên cứu các khía cạnh liên quan đến vành đa thức. Trong
luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về ideal đơn thức trong một vành đa thức
A, tức là ideal được sinh bởi các đơn thức trong A, bao gồm các tính chất cơ
bản và các phép tốn đối với ideal đơn thức. Việc thực hiện tính tốn trên
các ideal đơn thức, chẳng hạn phép lấy giao của các ideal, phép lấy lũy thừa,
lấy căn của một ideal,... hoàn tồn có thể thực hiện được một cách thủ cơng
nhờ sử dụng các định nghĩa, định lý, tính chất. Tuy nhiên, cơng việc này sẽ
trở nên rất khó khăn nếu chúng ta làm việc trên các ideal phức tạp hoặc trên
nhiều ideal cùng một lúc. Trong trường hợp đó, việc sử dụng các cơng cụ để
hỗ trợ cho việc tính toán là rất cần thiết.
Phần mềm CoCoA (viết tắt của Computations in Commutative Algebra)
6


7

là một trong những phần mềm đại số máy tính hỗ trợ lập trình và tính tốn
hình thức miễn phí với khả năng thao tác với các số và đa thức tương tự như
các tính tốn thủ cơng truyền thống. Ứng dụng chính của CoCoA là trong
đại số giao hốn và hình học đại số, tính tốn trong các vành đa thức nhiều
biến trên các tập số hữu tỷ và số nguyên, cũng như trên các ideal và module
của chúng. Một trong những ưu điểm của phần mềm này là miễn phí, được
thiết kế tự nhiên và trực quan, ngơn ngữ, cú pháp giống như Pascal, vì vậy
nó dễ học và rất phù hợp với việc giảng dạy.
Phần mềm CoCoA là một phần mềm có tính ứng dụng cao với khả năng
hỗ trợ việc dạy và học các nội dung liên quan đến đại số giao hốn nói chung,
các vấn đề về ideal đơn thức nói riêng một cách hiệu quả. Với những lí do
trên đây, tơi quyết định chọn đề tài làm khóa luận tốt nghiệp: “Ứng dụng
phần mềm CoCoA để giải một số bài toán về ideal đơn thức”.


2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Làm rõ được sự cần thiết và những ưu điểm, hiệu quả của phần mềm CoCoA
trong quá trình học tập, nghiên cứu môn đại số.
- Đưa ra được những hướng dẫn cụ thể sử dụng phần mềm.
- Khóa luận có thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành toán
quan tâm tới những phần mềm hỗ trợ cho quá trình học tập và nghiên cứu.

3. Mục tiêu nghiên cứu
Đưa ra và hướng dẫn sử dụng phần mềm CoCoA để thực hành các phép
toán trên ideal đơn thức và phân tích một ideal thành các ideal bất khả quy.


PHẦN NỘI DUNG

Chương 1
IDEAL ĐƠN THỨC
Nội dung chương này được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [1], [3],
[4], [5], [9].
Trong chương này, ta luôn giả sử A là một vành giao hốn khác khơng và
có đơn vị.

1.1. Tính chất cơ bản của ideal đơn thức
1.1.1. Ideal đơn thức
Định nghĩa 1.1.1. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Một ideal
đơn thức của R là một ideal của R được sinh bởi các đơn thức theo các biến
x1 , ..., xd .
Ví dụ 1.1.2. Xét vành đa thức hai biến R = A[x, y]. Ideal I = (x2 , y 3 )R
là một ideal đơn thức. Chú ý rằng I bao gồm cả đa thức x2 − y 3 , do đó các
ideal đơn thức có thể chứa nhiều hơn các đơn thức. Ideal J = (y 2 − x3 , x3 )R

8


9

là một ideal đơn thức do J = (y 2 , x3 )R. Các ideal tầm thường 0 và R là các
ideal đơn thức do 0 = (∅)R và R = 1R R = x01 ...x0d R.
Định nghĩa 1.1.3. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Với mỗi
ideal I ⊆ R, ký hiệu [[I]] là tập hợp gồm tất cả các đơn thức chứa trong I .
Một chú ý quan trọng, với mỗi ideal đơn thức khác không I ⊆ R, tập
[[I]] ∈ R là một tập vô hạn và không là một ideal. Từ định nghĩa chúng ta
có đẳng thức [[I]] = I ∩ [[R]]. Bổ đề sau chỉ ra rằng tập hợp này là tập sinh
của I .
Bổ đề 1.1.4. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Với mỗi ideal
đơn thức I ⊆ R ta có I = ([[I]])R.
Chứng minh. Gọi S là tập hợp các đơn thức sinh ra I . Điều này kéo theo
S ⊆ [[I]] ⊆ I , do đó I = (S)R ⊆ ([[I]])R ⊆ I , dẫn đến đẳng thức cần chứng
minh.
Mệnh đề 1.1.5. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Gọi I và J
là các ideal đơn thức của R. Khi đó:
(a) I ⊆ J khi và chỉ khi [[I]] ⊆ [[J]].
(b) I = J khi và chỉ khi [[I]] = [[J]].
Chứng minh. (a) Nếu I ⊆ R thì [[I]] = I ∩[[R]] ⊆ J ∩[[R]] = [[J]]. Ngược lại,
nếu [[I]] ⊆ [[J]] thì khi đó theo Bổ đề 1.1.4 ta có I = ([[I]])R ⊆ ([[J]])R = J .
(b) Suy ra trực tiếp từ mệnh đề (a).
Định nghĩa 1.1.6. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến.
(a) Gọi f và g là các đơn thức trong R. Khi đó f là một bội của g nếu có
một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh.
(b) Với mỗi đơn thức f = xn ∈ R, vectơ gồm d thành phần n ∈ Nd được
gọi là vectơ lũy thừa của f .

Do các đơn thức trong vành R = A[x1 , ..., xd ] là độc lập tuyến tính trên
A, các vectơ lũy thừa của mỗi đơn thức f ∈ R được định nghĩa tốt. Do đó,
với 2 vectơ m, n ∈ Nd , ta có xm = xn khi và chỉ khi m = n.
Kết quả dưới đây nói rằng tích của một đơn thức với một nhân tử khơng
là đơn thức thì không là một đơn thức. Điều này về trực giác có vẻ đúng,
nhưng chúng tơi vẫn bổ sung thêm phần chứng minh để đảm bảo tính đầy
đủ. Điểm chính của chứng minh là tính độc lập tuyến tính của các đơn thức


10

trong vành R = A[x1 , ..., xd ]. Quan hệ trong Nd được định nghĩa như sau:
Cho số nguyên dương d, khi đó (a1 , ..., ad ) (b1 , ..., bd ) nếu với i = 1, ..., d ta
có ai ≥ bi .
Bổ đề 1.1.7. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Gọi f = xm ,
g = xn là các đơn thức trong R. Nếu h là một đa thức trong R sao cho
f = gh, thì m n và h = xp với pi = mi − ni .

ap xp ∈ R và Λ ⊂ Nd là tập hợp con

Chứng minh. Giả sử f = gh với h =
p∈Λ

hữu hạn thỏa mãn ap = 0A với mỗi p ∈ Λ. Khi đó, đẳng thức f = gh được
viết thành:
xm = xn
ap x p =
ap xn+p
p∈Λ


p∈Λ

Do các đơn thức trong R là độc lập tuyến tính dẫn đến:

0 , khi n + p = m
A
ap =
1 , khi n + p = m
A
Do ta giả sử mỗi hệ số ap đều khác 0, nên hạng tử khác khơng có thể có duy
nhất của h là ap xp khi n + p = m. Nói cách khác, tập hợp Λ bao gồm một
phần tử Λ = {p}. Do ap = 1A nên h = xp , do đó từ đẳng thức f = gh dẫn
đến f là một bội của g theo định nghĩa.
Bổ đề 1.1.8. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Gọi f = xm , g =
xn là các đơn thức trong R. Khi đó các điều kiện sau tương đương:
(i) f ∈ gR;
(ii) f là bội của g ;
(iii) f là bội đơn thức của g ;
(iv) m n;
(v) m ∈ [n], [n] = {m ∈ Nd | m ≥ n} = n + Nd .
Chứng minh. Các tương đương (i) ⇔ (ii) và (iv) ⇔ (v) có được bằng định
nghĩa, kéo theo (ii) ⇒ (iii) có thể dễ dàng chứng tỏ được, kéo theo (ii) ⇒
(iii) suy ra từ Bổ đề 1.1.7 .
(iii) ⇒ (iv): Giả sử f = gh với h = xp . Điều này dẫn đến:

xm = xn xp = xn+p


11


Do tính định nghĩa tốt của các các vectơ lũy thừa của một đơn thức, dẫn
đến m = n + p, mi = ni + pi với i = 1, ...d. Do mỗi pi ≥ 0 dẫn đến
mi = ni + pi ≥ ni với mọi i, do đó m n theo định nghĩa.
(iv) ⇒ (iii): Giả sử m n. Từ định nghĩa dẫn đến mi − ni ≥ 0 với mỗi
i. Đặt pi = mi − ni , ta có p ∈ Nd và theo như trên f = gh với h = xp . Điều
này chứng tỏ f là một bội của g .
Bổ đề trên chỉ ra rằng "thứ tự chia hết" trên tập các đơn thức [[R]] là thứ
tự bộ phận. Thật vậy, quan hệ thứ tự trên Nd là quan hệ thứ tự bộ phận.
Do đó điều cần chứng minh kéo theo từ Bổ đề 1.1.8 do các đơn thức trong
[[R]] nằm trong một song ánh với các phần tử của Nd , và từ Bổ đề 1.1.8 dẫn
đến xm xn khi và chỉ khi m n.
Kết quả dưới đây cung cấp cho ta điều kiện để một đơn thức thuộc vào
một ideal đơn thức. Trong kết quả này giả sử ideal được sinh bởi một tập
hữu hạn các đơn thức. Ta chỉ ra trong Định lý 1.1.12 rằng mọi ideal đơn thức
đều được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức, do đó kết quả này áp dụng
cho mọi ideal đơn thức.
Định lý 1.1.9. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Gọi f, f1 , ..., fm
là các đơn thức trong R. Khi đó f ∈ (f1 , ..., fm )R khi và chỉ khi f ∈ fi R với
một vài chỉ số i.
Chứng minh. ⇐=: Do fi ∈ {f1 , ..., fm }, ta có fi R = (fi )R ⊆ (f1 , ..., fm )R.
m

=⇒: Giả sử f ∈ (f1 , ..., fm )R và viết f =

fi gi với gi ∈ R. Từ giả thiết
i=1

n

ni


ta có f = x và fi = x

với một vài n, n1 , ..., nm ∈ Nd . Bằng định nghĩa ta

có thể viết mỗi gi =

ai,p xp với mỗi ai,p ∈ A, do đó:

∞

p∈Nd
m
n

x =f =

x 
i=1



∞

ni

f i gi =
i=1




m

p∈Nd

ai,p x

p

m

∞

ai,p xni +p .

=
i=1 p∈Nd

Do các đơn thức trong R là độc lập tuyến tính trên A, đơn thức xn phải xuất
hiện trong tổng cuối cùng của đẳng thức trên. (Lưu ý ta không cho rằng các
đơn thức xuất hiện trong tổng cuối cùng là phân biệt. Do đó, đơn thức xn có
thể xuất hiện nhiều hơn một lần). Nói cách khác, ta có xn = xni +p với một


12

vài i và p. Điều này dẫn đến:

f = xn = xni +p = xni xp = fi xp ∈ fi R
với một vài i.

Định nghĩa 1.1.10. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Đồ thị
của một ideal đơn thức I là

Γ(I) = {n ∈ Nd | xn ∈ I}.
Định lý dưới đây giải thích mối liên hệ giữa các phần tử sinh của ideal đơn
thức và một vài tập con cơ bản của Nd . Nó đơn giản hóa việc xác định Γ(I).
Định lý 1.1.11. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Nếu I =
(xn1 , ..., xnm )R thì Γ(I) = [n1 ] ∪ ... ∪ [nm ].
Chứng minh. ⊇: Lấy m ∈ [n1 ] ∪ ... ∪ [nm ]. Khi đó ta có m ∈ [ni ] với một vài
i và do đó m ni . Từ Bổ đề 1.1.8 dẫn đến

xm ∈ xni R ⊆ (xn1 , ..., xnm )R = I
và kéo theo m ∈ Γ(I) từ định nghĩa.
⊆: Giả sử p ∈ Γ(I). Khi đó xp ∈ I = (xn1 , ..., xnm )R, do đó từ Định lý 1.1.9
dẫn đến xp ∈ xnj R với j nào đó.
Từ Bổ đề 1.1.8 ta kết luận rằng p ∈ [nj ] ⊆ [n1 ] ∪ ... ∪ [nm ].
Ta xét hai ví dụ trên vành đa thức R = A[x, y]. Với I = (x4 , x3 y, y 2 )R ta
có Γ(I) = [(4, 0)] ∪ [(3, 1)] ∪ [(0, 2)] ⊆ N2 được biểu diễn dưới đây


13

Tiếp theo, xét ideal J = (x2 )R và K = (y 3 )R. Khi đó J + K = (x2 , y 3 )R.
Định lý 1.1.11 chỉ ra rằng Γ(J) = [(2, 0)], Γ(K) = [(0, 3)] và

Γ(J + K) = [(2, 0)] ∪ ([0, 3)] = Γ(J) ∪ Γ(K).
Ta có minh họa bằng đồ thị như sau:

gggggg
Γ(J)


Γ(K)

Γ(J+K)=Γ(J)∪Γ(K)

Tổng
 quáthơn, ta thấy rằng nếu I1 , ..., In là các ideal trong A[x1 , ..., xd ] thì
n

Γ

n

Ij  =
j=1

Γ(Ij ).
j=1

Thật đơn giản để xác định các tập con của Nd xuất hiện dưới dạng đồ thị
của ideal đơn thức: một tập con khác rỗng Γ ⊆ Nd có dạng γ = Γ(I) với ideal
đơn thức I ⊆ A[x1 , ..., xd ] nào đó khi và chỉ khi với mỗi m ∈ Γ và mỗi n ∈ Nd
ta có m + n ∈ Γ. Chẳng hạn, đồ thị dưới đây khơng có dạng γ = Γ(I):


14

1.1.2. Phần tử sinh của ideal đơn thức
Định lý 1.1.11 chỉ phát biểu cho ideal đơn thức I sinh bởi một số hữu hạn
các đơn thức. Kết quả sau đây chỉ ra rằng điều này là đúng với mọi ideal đơn

thức.
Định lý 1.1.12. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Khi đó mọi
ideal đơn thức của R đều là hữu hạn sinh; hơn nữa, chúng được sinh bởi một
tập hữu hạn các đơn thức.
Chứng minh. Gọi I ⊆ R là một ideal đơn thức. Khơng mất tính tổng qt,
giả sử I = 0. Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo d.
Với d = 1, ta có R = A[x]. Đặt r = min{e 0 | xe ∈ I}.
Khi đó xr ∈ I và do đó xr R ⊆ I . Ta sẽ giải quyết xong trường hợp này khi
đã chỉ ra được xr R ⊇ I . Do I sinh bởi các đơn thức của nó, nên xr R ⊇ [[I]].
Lưu ý rằng nếu xs ∈ I thì s ≥ r và do đó bằng Bổ đề 1.1.8 ta có xs ∈ xr R.
Giả sử d ≥ 2 và mọi ideal đơn thức của vành R = A[x1 , ..., xd−1 ] là hữu
hạn sinh. Với ideal đơn thức I , xây dựng tập hợp

S = { đơn thức z ∈ R | zxed ∈ I với một vài e ≥ 0}
và J = (S)R . Theo định nghĩa J là một ideal đơn thức trong R , do đó theo
giả thiết quy nạp J là hữu hạn sinh, J = (z1 , ..., zn )R với z1 , ..., zn ∈ S .
Với mọi i = 1, ..., n tồn tại số nguyên ei ≥ 0 sao cho zi xedi ∈ I . Với e =
max{e1 , ..., en }, dẫn đến zi xed ∈ I với i = 1, ..., n.
Với m = 0, ..., e − 1 ta đặt

Sm = { đơn thức w ∈ R | wxm
d ∈ I} và Jm = (Sm )R .


15

Theo định nghĩa Jm là một ideal đơn thức trong R , do đó theo giả thiết quy
nạp Jm là hữu hạn sinh, Jm = (wm,1 , ..., wm,nm )R với wm,1 , ..., wm,nm ∈ Sm .
Đặt I là ideal trong R sinh bởi zi xed và wm,i xm
d :


I = ({zi xed | i = 1, ..., n} ∪ {wm,i xm
d | m = 0, ..., e − 1; i = 1, ..., nm }) R.
Bằng cách xây dựng này, ta có I là một ideal đơn thức hữu hạn sinh của R.
Bằng định nghĩa, mỗi zi xed , wm,i xm
d ∈ I , do đó ta có I ⊆ I .
Ta cần chứng minh: I = I (sau khi đã chứng minh được điều này, ta
sẽ kết luận rằng I được sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức của nó).
Hiển nhiên I ⊇ I . Do I sinh bởi các đơn thức của nó, nên I ⊇ [[I]], đặt
pd−1 pd
xp = xp11 ...xd−1
xd ∈ [[I]].
pd−1
Trường hợp 1: pd ≥ e. Ta có xp11 ...xd−1
∈ S ⊆ J = (z1 , ..., zn )R . Do
pd−1
p1
đó, theo Định lý 1.1.9 ta có x1 ...xd−1 ∈ zi R với chỉ số i nào đó. Viết
pd−1
xp11 ...xd−1
= zi z với z ∈ R nào đó ta có:
d−1 pd
xp = xp11 ...xd−1
xd = zi zxed xpdd −e = (zi xed ) zxpdd −e ∈ (zi xe ) R ⊆ I .

p

p

d−1

Trường hợp 2: pd < e. Đơn thức xp11 ...xd−1
nằm trong tập Spd ⊆ Jpd =
pd−1
p1
(wpd ,1 , ..., wpd ,npd )R . Định lý 1.1.9 dẫn đến x1 ...xd−1
∈ wpd ,i R với chỉ số i
pd−1
p1
nào đó. Viết x1 ...xd−1 = wpd ,i w với w ∈ R nào đó ta có:

p

d−1 pd
xp = xp11 ...xd−1
xd = wpd ,i wxpdd = (wpd ,i xpdd ) (w) ∈ (wpd ,i xpdd ) R ⊆ I .

Hệ quả 1.1.13. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Lấy S ⊆ [[R]]
và đặt I = (S)R. Khi đó có một dãy hữu hạn s1 , ..., sn ∈ S sao cho I =
(s1 , ..., sn )R.
Định nghĩa 1.1.14. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. I là
một ideal đơn thức của R. Cho z1 , ..., zm ∈ I sao cho I = (z1 , ..., zm )R. Dãy
z1 , ..., zm được gọi là một dãy sinh thu gọn của I nếu zi không là một bội của
zj với mọi i = j . Dãy này được gọi là dãy sinh thừa nếu nó khơng thu gọn.
Ví dụ 1.1.15. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Dãy x3 , x2 y, x2 y 2 , y 5 là một
dãy sinh thừa của ideal (x3 , x2 y, x2 y 2 , y 5 )R do x2 y | x2 y 2 . Dãy x3 , x2 y, xy 2 , y 5
là một dãy sinh thu gọn của ideal (x3 , x2 y, xy 2 , y 5 )R do khơng có đơn thức
nào trong các đơn thức x3 , x2 y, xy 2 , y 5 là bội của các đơn thức còn lại.


16


Mệnh đề 1.1.16. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Gọi I là
một ideal đơn thức của R, z1 , ..., zm ∈ [[I]] sao cho I = (z1 , ..., zm )R. Các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) Dãy sinh z1 , ..., zm là thu gọn.
(ii) Với i = 1, ..., m ta có zi ∈
/ (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R.
(iii) Với i = 1, ..., m ta có (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R I .
Chứng minh. (i) =⇒ (ii): Giả sử rằng dãy sinh z1 , ..., zm là thu gọn. Nếu

zi ∈ (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R
thì theo Định lý 1.1.9 ta có zi ∈ zj R với một vài i = j và theo Bổ đề 1.1.8 ta
có zi là một bội của zj , mâu thuẫn với tình thu gọn của dãy sinh.
(ii) =⇒ (iii): Nếu zi ∈
/ (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R, thì zi nằm trong I mà
không nằm trong (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R, do đó (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R
I.
(iii) =⇒ (i): Giả sử rằng (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R I với i = 1, ..., m.
Giả sử rằng dãy z1 , ..., zm không là thu gọn và lấy cố định các chỉ số i, j sao cho
i = j và zi là một bội của zj . Khi đó zi ∈ zj R ⊆ (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R.
Dẫn đến:

I = (z1 , ..., zi−1 , zi , zi+1 , ..., zm )R ⊆ (z1 , ..., zi−1 , zi+1 , ..., zm )R
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Định lý 1.1.17. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến, I là một ideal
đơn thức của R.
(a) Mọi tập sinh đơn thức của I bao gồm một dãy sinh đơn thức thu gọn của
I.
(b) Ideal I có một dãy sinh đơn thức thu gọn.
(c) Các dãy sinh đơn thức thu gọn là duy nhất tùy thuộc vào cách sắp xếp.

Chứng minh. (a) Khơng mất tính tổng quát, giả sử rằng S = 0. Từ Hệ
quả 1.1.13 dẫn đến rằng I có thể sinh bởi một dãy hữu hạn các đơn thức
z1 , ..., zm ∈ S . Nếu dãy này khơng thu gọn thì theo Mệnh đề 1.1.16 có một chỉ
số i sao cho (z1 , ..., zi−1 , zi , zi+1 , ..., zm )R = I ; vì thế, dãy z1 , ..., zi−1 , zi , zi+1 , ..., zm
sinh ra I . Lặp lại quá trình này với dãy mới, loại bỏ các phần tử khỏi dãy
cho đến khi còn lại các phần tử tạo thành một dãy sinh thu gọn của I . Quá
trình này sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước do dãy ban đầu là hữu hạn.


17

(b) Theo định nghĩa ideal I có một tập sinh đơn thức, do đó điều cần
chứng minh suy ra từ (a).
(c) Giả sử rằng z1 , ..., zm và w1 , ..., wn là hai dãy sinh thu gọn, ta chỉ ra
rằng m = n và có một phép thế σ ∈ Sn mà zi = wσ(i) với i = 1, ..., n.
Cố định một chỉ số i. Do zi nằm trong I = (w1 , ..., wn )R, từ Định lý 1.1.9
chỉ ra rằng zi là một bội của wi với chỉ số j nào đó. Tương tự, có một chỉ số
k sao cho wj là một bội của zk . Do tính bắc cầu của quan hệ thứ tự chia hết
trên tập các đơn thức [[R]], dẫn đến zi là bội của zk ; do đó, zi là bội của zk .
Do dãy sinh z1 , ..., zm là thu gọn nên i = k . Dẫn đến zi | wj và wj | zi , suy
ra zi = wj .
Một cách tóm tắt, ta thấy rằng, với mỗi chỉ số i = 1, ..., m, tồn tại một chỉ
số j = σ(i) sao cho zi = wj = wσ(i) . Do các zi là phân biệt và các wj là phân
biệt, ta kết luận rằng hàm số σ : {1, ..., m} −→ {1, ..., n} là 1-1. Khi đó tồn
tại hàm số 1-1 δ : {1, ..., n} −→ {1, ..., m} sao cho wi = zδ(i) với i = 1, ..., n.
Dẫn đến m ≤ n ≤ m và do đó m = n. Hơn nữa, do σ là 1-1 và m = n, theo
nguyên lí Dirichlet ta có σ là tồn ánh. Đây là điều cần chứng minh.
Dưới đây là thuật tốn tìm dãy sinh thu gọn.
Thuật toán 1.1.18. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Lấy cố
định các đơn thức z1 , ..., zm ∈ [[R]] và đặt J = (z1 , ..., zm )R. Giả sử m ≥ 1.

Bước 1 : Dựa vào định nghĩa, kiểm tra xem dãy sinh z1 , ..., zm có là thu gọn
hay không
Bước 1a: Nếu với mọi chỉ số i và j mà i = j , ta có zj ∈
/ (zi )R, thì khi đó
dãy sinh là thu gọn. Thuật toán kết thúc.
Bước 1b: Nếu tồn tại một chỉ số i và j mà i = j , ta có zj ∈ (zi )R thì khi
đó dãy sinh là không thu gọn. Ta chuyển tiếp sang bước 2.
Bước 2 : Thu gọn dãy sinh bằng cách loại bỏ các phần tử thuộc dãy làm cho
nó thừa. Theo giả thiết, tồn tại các chỉ số i và j sao cho i = j và zj ∈ (zi )R.
Không mất tính tổng qt, giả sử j = m. Do đó ta có i < m và zm ∈ (zi )R,
dẫn đến J = (z1 , ..., zm )R = (z1 , ..., zm−1 )R. Sau đó áp dụng bước 1 đối với
dãy mới nhận được z1 , ..., zm−1 .
Thuật toán sẽ kết thúc sau khi thực hiện nhiều nhất m − 1 bước bởi chỉ
có thể loại bỏ nhiều nhất m − 1 đơn thức khỏi dãy cho đến khi thu được một
ideal khác 0.
Ví dụ 1.1.19. Xét vành đa thức hai biến R = A[x, y].


18

Sử dụng Thuật tốn 1.1.18, ta tìm được dãy x3 , x2 y, y 5 là một dãy sinh thu
gọn của ideal (x3 , x2 y, x2 y 2 , y 2 )R.
Mệnh đề 1.1.20. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Lấy cố định
một tập hợp các đơn thức khác rỗng S ⊆ [[R]] và đặt J = (S)R. Với mỗi
z ∈ S , ta viết z = xnz với nz ∈ Nd . Đặt ∆ = {nz | z ∈ S} ⊆ Nd và xét quan
hệ thứ tự
trên Nd . Kí hiệu ∆ là tập các phần tử tối tiểu của ∆ đối với
quan hệ thứ tự này.
(a) Khi đó S = {z | nz ∈ ∆ } là một tập sinh đơn thức thu gọn của J .
(b) Tập ∆ là hữu hạn.

Chứng minh. (a) Do tính tối tiểu của các phần tử của ∆ , nên với mỗi nz ∈ ∆,
tồn tại một phần tử nw ∈ ∆ sao cho nz nw ; dẫn đến z ∈ (w)R. Từ đây ta
kết luận
J = (S)R ⊆ ({w ∈ S | nw ∈ ∆ })R ⊆ (S)R = J
do đó J = ({w ∈ S | nw ∈ ∆ })R = (S )R.
Với các phần tử phân biệt w, z ∈ S ta có nw
nz do nw và nz đều là
tối tiểu trong số các phần tử của ∆ và chúng là phân biệt. Điều này dẫn đến
w∈
/ (z)R. Từ Định lý 1.1.17(a) dẫn đến S bao gồm một dãy sinh đơn thức
thu gọn s1 , ..., sn ∈ S của J . Ta khẳng định rằng S = {s1 , ..., sn } (từ đây dẫn
đến S là một tập sinh đơn thức thu gọn của J ). Ta biết rằng {s1 , ..., sn } ⊆ S ,
do đó giả sử phản chứng {s1 , ..., sn }
S , và lấy s ∈ S \ {s1 , ..., sn }. Dẫn
đến s ∈ J = (s1 , ..., sn )R do đó s ∈ (si )R với chỉ số i nào đó theo Định lý
1.1.9, từ đó suy ra s = si ∈ {s1 , ..., sn }, mâu thuẫn với giả thiết.
(b) Giữa hai tập hợp ∆ và S tồn tại một song ánh, S là tập hữu hạn.

1.2. Các phép toán trên ideal đơn thức
1.2.1. Giao của các ideal đơn thức
Định lý 1.2.1. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Nếu I1 , ..., In
là các ideal đơn thức của R thì giao của chúng I1 ∩ ... ∩ In được sinh bởi tập
các ideal đơn thức trong I1 ∩ ... ∩ In . Đặc biệt, ideal I1 ∩ ... ∩ In là một ideal
đơn thức của R và [[I1 ∩ ... ∩ In ]] = [[I1 ]] ∩ ... ∩ [[In ]].
n

Chứng minh. Kí hiệu S là tập các đơn thức

[[Ij ]] và đặt J = (S)R. Bằng
j=1



19
n

n

cách xây dựng này J là một ideal đơn thức thỏa mãn J ⊆

Ij , do S ⊆
j=1

Ij .
j=1

n

Ta khẳng định rằng J =
j=1
∞

n

f ∈

Ij . Để chỉ ra điều này ta lấy một phần tử cố định
an xn . Với j = 1, ..., n ta có f ∈ Ij . Vì thế, nếu

Ij và viết f =
j=1


n∈Nd

n

n

n

an = 0, thì x ∈ [[Ij ]] với mỗi j , có nghĩa là, nếu an = 0 thì x ∈

[[Ij ]] = S .
j=1

Do đó, ta có f ∈ (S)R = J .
I1 ∩ ... ∩ In là một ideal đơn thức của R và nó được sinh bởi tập đơn thức
n

[[Ij ]]. Ta có:
j=1





n



n


Ij  = 


j=1



n

Ij  ∩ [[R]] =

j=1

n

(Ij ∩ [[R]]) =
j=1

[[Ij ]]
j=1

Vậy Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét 1.2.2. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Đặt I1 , ..., In
là các ideal đơn thức của R. Do giao của chúng I1 ∩ ... ∩ In là một ideal đơn
thức thỏa mãn [[I1 ∩ ... ∩ In ]] = [[I1 ]] ∩ ... ∩ [[In ]] dẫn đến Γ(I1 ∩ ... ∩ In ) =
Γ(I1 ) ∩ ... ∩ Γ(In ).
Dưới đây đưa ra cách tìm một dãy sinh đơn thức của giao của các ideal.
Định nghĩa 1.2.3. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Đặt f = xm
và g = xn với một vài m, n ∈ Nd . Với i = 1, ..., d đặt pi = max{mi , ni }. Ta

định nghĩa bội chung nhỏ nhất của f và g là đơn thức lcm(f, g) = xp .
Ví dụ 1.2.4. Xét vành đa thức R = A[x, y, z]. Ta sẽ tìm bội chung nhỏ
nhất của f = xy 4 z 8 và g = x3 z 5 . Theo Định nghĩa 1.2.3 ta có m = (1, 4, 8),
n = (3, 0, 5) và do đó p = (3, 4, 8). Vậy lcm(xy 4 z 8 , x3 z 5 ) = x3 y 4 z 8 .
Ví dụ 1.2.5. Tiếp theo ta xét vành đa thức R = A[x, y] để chỉ ra mối
liên hệ giữa giao của các ideal đơn thức với bội chung nhỏ nhất. Ta sẽ tìm
(xy 2 )R ∩ (x2 y)R. Từ Định lý 1.2.1 và Nhận xét 1.2.2, ta cần chỉ ra

Γ((xy 2 )R ∩ (x2 y)R) = Γ((xy 2 )R) ∩ Γ((x2 y)R).


20

Trong đó:
Các điểm biểu diễn Γ((xy 2 )R).
Các điểm biểu diễn Γ((x2 y)R).
Các điểm biểu diễn Γ((x, y 2 )R) ∩ Γ((x2 y)R).
Ta nhận thấy (xy 2 )R ∩ (x2 y)R = (x2 y 2 )R = (lcm(xy 2 , x2 y))R. Nói cách
khác, giao của các ideal chính sinh bởi xy 2 và x2 y là ideal chính sinh bởi
lcm(xy 2 , x2 y). Bổ đề sau chỉ ra điều này đúng với bất kì hai ideal đơn thức
chính nào. Mệnh đề tiếp theo đó xét trường hợp các ideal khơng là ideal
chính.
Bổ đề 1.2.6. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Với các đơn thức
f, g ∈ [[R]], ta có (f )R ∩ (g)R = (lcm(f, g))R.
Mệnh đề 1.2.7. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Giả sử I
được sinh bởi tập các ideal đơn thức {f1 , ..., fm } và J được sinh bởi bởi tập
các ideal đơn thức {g1 , ..., gn }. Khi đó I ∩ J được sinh bởi tập các đơn thức

{lcm(fi , gi )} | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
Chứng minh. Đặt K = ({lcm(fi , gi )} | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n})R. Đây là

ideal đơn thức trong R do mỗi phần tử lcm(fi , gi ) là một đơn thức trong R.
Đối với bao hàm thức I ∩ J ⊆ K , đủ để chỉ ra rằng mỗi đơn thức sinh
z ∈ [I ∩ J] đều nằm trong K . z là một đơn thức nằm trong I = (f1 , ..., fm )R
nên theo Định lý 1.1.9 ta có z ∈ (fi )R với chỉ số j nào đó. Tương tự, do
z ∈ J = (g1 , ..., gn )R nên z ∈ (gj )R với chỉ số j nào đó. Do đó, từ Bổ đề
1.2.6 ta có z ∈ (fi )R ∩ (gj )R = (lcm(fi , gj ))R ⊆ K .
Đối với bao hàm thức I ∩J ⊇ K , có thể chỉ ra mỗi phần tử sinh lcm(fi , gj )


21

của K nằm trong I ∩ J . Từ Định lý 1.1.9 dẫn đến

lcm(fi , gj ) ∈ (lcm(fi , gj ))R = (fi )R ∩ (gj )R ⊆ I ∩ J

Ví dụ 1.2.8. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Ta sẽ tìm một dãy sinh của
ideal I = (x2 , y 3 )R ∩ (x3 , y)R.

ggg
Γ((x2 ,y 3 )R)

ggg
Γ((x3 ,y)R)

Từ Định lý 1.2.1 ta có [[I]] = [[(x2 , y 3 )R]] ∩ [[(x3 , y)R]], do đó đồ thị của I
được biểu diễn như sau:

Sử dụng Mệnh đề 1.1.20 và đồ thị, ta kết luận rằng dãy sinh đơn thức thu
gọn của I là y 3 , x2 y, x3 .
Bây giờ ta sử dụng Mệnh đề 1.2.7 và Thuật tốn 1.1.18 để tìm dãy sinh đơn

thức thu gọn của I . Từ Mệnh đề 1.2.7 ta có f1 = x2 , f2 = y 3 , g1 = x3 , g2 = y .
Ta tìm được các bội chung nhỏ nhất sau:


22

lcm(f1 , g1 ) = x3
lcm(f1 , g2 ) = x2 y

lcm(f2 , g1 ) = x3 y 3
lcm(f2 , g2 ) = y 3

Từ Mệnh đề 1.2.7 dẫn đến dãy x3 , x3 y 3 , x2 y, y 3 sinh ra ideal I . Bây giờ ta
sử dụng Thuật tốn 1.1.18 để tìm dãy sinh đơn thức thu gọn của ideal này.
Xét dãy x3 , x3 y 3 , x2 y, y 3 . Đơn thức x3 y 3 là bội của của x3 , do đó loại bỏ x3 y 3
khỏi dãy, được dãy x3 , x2 y, y 3 . Không đơn thức nào trong dãy này là bội của
các đơn thức cịn lại do khơng thể so sánh các vectơ lũy thừa (3, 0), (2, 1) và
(0, 3). Do đó dãy x3 , x2 y, y 3 là một dãy sinh đơn thức thu gọn của I .
Ví dụ 1.2.9. Xét vành đa thức R = A[x, y]. Đặt I = (x3 , x2 y, y 3 )R. Đồ thị
Γ(I) có dạng như sau:

Từ đó gợi ý cho ta phân tích sau:

ggg
Γ((x2 ,y 3 )R)

ggg
Γ((x3 ,y)R)

Phương pháp này có thể áp dụng cho ba hoặc nhiều hơn các ideal đơn

thức. Chẳng hạn, để tìm dãy sinh đơn thức của I ∩ J ∩ K , trước hết ta tìm
dãy sinh đơn thức của I ∩ J , sau đó tìm dãy sinh đơn thức của (I ∩ J) ∩ K .


23

1.2.2. Ideal căn
Chú ý rằng căn của một ideal đơn thức không nhất thiết phải là một ideal
đơn thức. Thật vậy, trong vành đa thức một biến R = Z4 [x], ideal J = (x)R
là một ideal đơn thức. Tuy nhiên, ideal rad(J) = (2, x)R không là một ideal
đơn thức.
Định nghĩa 1.2.10. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. J là một
ideal đơn thức trong R. Ideal căn của J là ideal đơn thức m-rad(J) = (S)R
với
S = rad(J) ∩ [[R]] = {z ∈ [[R]] | z n ∈ J, n ≥ 1}
Ví dụ 1.2.11. Trong vành đa thức R = A[x, y], ta có m-rad((x3 , y 2 )R) =
(x, y)R và m-rad((x3 y 2 )R) = (xy)R (có thể chứng tỏ được điều này nhờ sử
dụng Định lý 1.2.18).
Mệnh đề dưới đây giải thích mối quan hệ giữa rad(J) và m-rad(J).
Mệnh đề 1.2.12. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến, J là một
ideal đơn thức trong R. Khi đó ta có
(a) m-rad(J) ⊆ rad(J).
(b) m-rad(J) = rad(J) khi và chỉ khi rad(J) là một ideal đơn thức.
(c) Nếu A là một trường, thì m-rad(J) = rad(J).
Chứng minh. (a) Ideal m-rad(J) sinh bởi tập S = rad(J) ∩ [[R]] ⊆ rad(J),
do đó ta có m-rad(J) ⊆ rad(J).
(b) Nếu rad(J) là một ideal đơn thức thì

rad(J) = ([[rad(J)]])R = (S)R = m-rad(J)
Ngược lại, nếu rad(J) = m-rad(J), thì do m-rad(J) là một ideal đơn thức

dẫn đến rad(J) là một ideal đơn thức.
(c) Giả sử R là một trường, thì rad(J) là một ideal đơn thức, chứng minh
phần (b) dẫn đến m-rad(J) = rad(J).
Mệnh đề 1.2.13. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến, J là một
ideal đơn thức trong R. Khi đó:
(a) J ⊆ m-rad(J).
(b) [[m-rad(J)]] = rad(J) ∩ [[R]].
(c) Nếu I ⊆ J thì m-rad(I) ⊆ m-rad(J).


24

(d) m-rad(J) = m-rad(m-rad(J)).
(e) m-rad(J) = R khi và chỉ khi J = R.
(f) m-rad(J) = 0 khi và chỉ khi J = 0.
(g) Với mỗi số nguyên n ≥ 1, m-rad(J) = m-rad(J n ) = m-rad(J (k) ).
Chứng minh. (a) Tập hợp S = rad(J) ∩ [[R]] ⊇ J ∩ [[R]] = [[J]] sinh ra
m-rad(J), do đó ta có m-rad(J) = (S)R ⊇ ([[I]])R = J .
(b) Do S = rad(J) ∩ [[R]] là tập sinh đơn thức của m-rad(J), ta có
[[m-rad(J)]] ⊇ rad(J) ∩ [[R]]. Để chứng minh chiều ngược lại, từ điều kiện
m-rad(J) ⊆ red(J) dẫn đến [[m-rad(J)]] = m-rad(J) ∩ [[R]] ⊆ rad(J) ∩ [[R]].
(c) Giả sử rằng I ⊆ J . Ta có rad(I) ⊆ rad(J), do đó rad(I) ∩ [[R]] ⊆
rad(J) ∩ [[R]] và
m-rad(I) = (rad(I) ∩ [[R]])R ⊆ (rad(J) ∩ [[R]])R = m-rad(J)
(d) Từ chứng minh phần (a), ta có m-rad(J) ⊆ m-rad(m-rad(J)).Đối với
bao hàm thức ngược lại, đủ để chỉ ra rằng [[m-rad(J)]] ⊇ [[m-rad(m-rad(J))]].
Lấy f ∈ [[m-rad(m-rad(J))]] = rad(m-rad(J)) ∩ [[R]] và cố định một số mũ
n ≥ 1 sao cho f n ∈ m-rad(J). Khi đó

f n ∈ m-rad(J) ∩ [[R]] = [[m-rad(J)]] = rad(J) ∩ [[R]]

do đó có một số mũ m ≥ 1 sao cho f mn = (f n )m ∈ J . Điều này dẫn đến
f ∈ rad(J) ∩ [[R]] = [[m-rad(J)]].
Mệnh đề 1.2.14. Cho R = A[x1 , ..., xd ] là vành đa thức d biến. Cho số
nguyên dương n và I, J, I1 , I2 , ..., In là các ideal đơn thức của R.
(a) m-rad(IJ) = m-rad(I ∩ J)
 = m-rad
 (I) ∩ m-rad(J).
n

(b) m-rad(I1 I2 ...In ) = m-rad 

n

Ij  =

j=1

m-rad(Ij ).
j=1

(c) m-rad(I
 + J) =
 m-rad(I) + m-rad(J).
n

n

Ij  =

(d) m-rad 

j=1

m-rad(Ij ).
j=1

Chứng minh. (a) Ta có m-rad(IJ) ⊆ m-rad(I ∩ J) ⊆ m-rad(I) ∩ m-rad(J).
Đối với bao hàm thức m-rad(I) ∩ m-rad(J) ⊆ m-rad(IJ), đủ để chỉ ra được