TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN
-----------------------

LƯƠNG THỊ DIỆU LINH

SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN TIN

-----------------------

LƯƠNG THỊ DIỆU LINH

SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Lưu Thị Thu Huyền

Phú Thọ, 2018

i 
 

LỜI CẢM ƠN 
Khóa luận này được hồn thành tại trường Đại học Hùng Vương dưới 
sự  hướng  dẫn  khoa  học  của  ThS.Lưu  Thị  Thu  Huyền.  Để  hồn  thành  khóa 
luận tốt nghiệp, ngồi sự nỗ lực của bản thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban 
giám hiệu, các thầy cơ trong khoa Tốn – Tin trường Đại học Hùng Vương đã 
tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong q trình nghiên cứu 
và thực hiện đề tài khóa luận. 
Đặc biệt, emxin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cơgiáo hướng dẫn của 
mình là ThS.Lưu Thị Thu Huyền đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong 
suốt q trình nghiên cứu và hồn thiện khóa luận. 
Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức xong do thời gian có hạn cùng với 
khối  lượng  kiến  thức  lớn  và  khó nên  khóa  luận  khó  tránh khỏi  những  thiếu 
sót. Em rất mong nhận được sự góp ý các thầy giáo, cơ giáo cùng các bạn đọc 
để khố luận được hồn thiện hơn. 
Em xin chân thành cảm ơn! 
 
Việt Trì, ngày    tháng     năm 2018 
                                                                                              Sinh viên 
 
 
                                                                                        Lương Thị Diệu Linh 
 

 



ii 
 

MỤC LỤC 

Trang 
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài khóa luận. ..................................................................... 1
2. Mục tiêu khóa luận. .................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. .............................................................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu. ......................................................................... 2
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ............................................................ 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn. ................................................................. 2
Chương 1. Kiến thức cơ sở ........................................................................... 3
1.1. Hàng điểm điều hịa ............................................................................... 3
1.1.1. Tỉ số kép ........................................................................................ 3
1.1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 3
1.1.1.2. Các tính chất của tỉ số kép ........................................................... 3
1.1.2. Hàng điểm điều hịa ....................................................................... 4
1.1.2.1. Định nghĩa ................................................................................... 4
1.1.2.2. Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm đìểu hịa ............................... 5
1.2. Chùm điều hịa ...................................................................................... 6
1.3. Tứ giác tồn phần .................................................................................. 9
1.4. Đường trịn trực giao ........................................................................... 10
1.5. Cực và đối cực ..................................................................................... 13
1.5.1. Đường đối cực của một điểm với hai đường thẳng cắt nhau ......... 13
1.5.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường trịn .................. 16
1.5.3. Các tính chất của cực và đối cực với một đường trịn ................... 20



iii 
 

1.5.4. Cách xác định cực và đường đối cực ............................................ 23
Chương 2: SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN 
HÌNH HỌC PHẲNG .................................................................................... 26
2.1. Một số bài tốn chứng minh vng góc ............................................... 26
2.2. Một số bài tốn chứng minh song song ................................................ 37
2.3. Một số bài tốn chứng minh thẳng hàng .............................................. 41
2.4. Một số bài tốn chứng minh đồng quy ................................................. 46
2.5. Một số bài tốn chứng minh điểm cố định ........................................... 53
KẾT LUẬN ................................................................................................ 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 62
 

 


1 
 

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận.
Tốn học là mơn khoa học có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển 
năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận logic, tính độc lập sáng tạo, có 
khả  năng ứng dụng rộng  rãi trong  nhiều khoa học  và  rất cần thiết trong đời 
sống. Chính vì thế, tốn học cần được khai thác để góp phần phát triển năng 
lực trí tuệ chung và hình thành nhiều phẩm chất đáng q chongười học.
Trong bộ  mơn tốn, hình học giữ vị trí quan trọng trong suốt chương 

trình  tốn  phổ  thơng.  Đặcbiệt  trong  hình  học  phẳng,  cực  và  đối  cực  là  một 
cơng cụ mạnh giúpchúng ta chứng minh các bài tốn về quan hệ vng góc, 
song song, tínhđồng quy, thẳng hàng,…Nhờ các kiến thức vềcực và đối cực 
màchúng ta có thể giải các bài tốn khó, phức tạp, thậm chí có những bài tốn 
chỉ giảiđược khi sử dụng cực và đối cực. Việc vận dụng cực và đối cực vào 
giải một số dạng tốn hình học phẳng sẽ giúp học sinh tăng cường khả năng 
tư duy sáng  tạo,  góp phần  phát huy  tính tích  cực,  chủ động  trong giải tốn. 
Bên cạnh đó, cực và đối cực cịn đem lại cho người học một phương pháp tốt, 
nâng cao hứng thú học tập, rèn luyện khả năng tìm tịi nghiên cứu. Do đó, cực 
và đối cực là một nội dung được sử dụng nhiều trong việc bồi dưỡng học sinh 
giỏi. Bằng cách sử dụng kiến thức về cực và đối cực, chúng tasẽ đưa ra được 
hướng giải quyếtmột số dạng tốn hình học sơ cấp tối ưu hơn mà các phương 
pháp thơng thường mất nhiều cơng sức mới giải quyết được.Tuy nhiên, việc 
vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu và  
giải quyết một số dạng tốn hình học phổ thơng địi hỏi học sinh phải có khả 
năng tư duy cao mà lại có ít tài liệu tham khảo,học sinh chưa được tiếp xúc 
nhiều, vì vậy khi tiếp cận vấn đề này học sinh cịn gặp nhiều khó khăn. 
Vì những lí do trên mà emquyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Sử
dụng cực và đối cực trong giải tốn hình học phẳng”cho  khóa  luận  tốt 
nghiệpcủa mình.  
 


2 
 

2. Mục tiêu khóa luận.
Xây  dựngđược hệ  thống cácbài tốn hình  học phẳngvề  chứng minh quan 
hệ  vng  góc,  song  song,  tínhđồng  quy,  thẳng  hàngvàđiểm 
cốđịnhcósửdụngcựcvàđối cực để giải. 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
-Tìm hiểu các kiến thức liên quan đến đề tài và phân loại các nội dung đó.
- Tuyển  chọn  và  giới  thiệu  các  bài  tốn  sửdụngcực  và  đối  cực,so 
sánhđượcưu điểm khi sửdụngcực và đối cực so với các phương pháp khác. 
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, sách có liên 
quan  đến  sử  dụng  cực  và  đối  cực  trong  giải  tốn  hình  học  phẳng  rồi  phân 
dạng, hệ thống hóa kiến thức.
- Phương pháp lấy ý kiến chun gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp 
hướng dẫn, các giảng viên khác để hồn thiện về mặt nội dung và hình thức 
của khóa luận. 
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng:  nghiên cứu kiến  thứcvà  một sốdạng tốn hình học  phẳng sử 
dụngcực và đối cực.
- Phạm vi: ứng dụng của cực và đối cực trong giải một số dạng tốn hình 
học phẳng. 
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Khóa  luận trình  bày  những  kiến thức  cơ  bản  về  cực  và  đối  cực  trong 
mặt phẳng và sử dụng chúng trong việc giải một số dạng tốn hình học phẳng. 
Qua  đó  cho  thấy  sự  linh  hoạt,  sáng  tạo và  có  một  phương  pháp  tốt  khi  giải 
tốn là rất quan trọng. Đồng thời khóa luận cịn là tài liệu tham khảo hữu ích 
giúp bản thân emcũng như các bạn học sinh và sinh viên ngành tốn học tập 
tốt hơn. 
 


3 
 

Chương 1. Kiến thức cơ sở

1.1. Hàng điểm điều hòa
1.1.1. Tỉ số kép
1.1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa1.1.Cho một tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm A,B, C, D phân biệt 
cùng nằm trên một đường thẳng đã được địnhhướng.Ta gọi tỉ số 

CA DA
:
là tỉ
CB DB

số kép  của  bốn  điểm  A, B, C, D  (Hình  1.1)  vàđược  kí  hiệu  là  (ABCD).  Ta 
có:(ABCD) =

CA DA
:
CB DB  
 
 
 
D

  C 

O 

 

A 


B 

Hình 1.1 

Trên đường thẳng đó nếu chọn O là gốc tọa độ và giả sử a, b, c, d lần 
lượt là tọa độ các điểm A, B, C, D ta dễ dàng suy ra: 
 
(ABCD) =

ac ad
:
      (1) 
bc bd

1.1.1.2. Các tính chất của tỉ số kép
1) Tỉ số kép của 4 điểm là không đổi trong các trường hợp sau:
- Nếu ta hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa là: 
 

(ABCD) = (CDAB). 

- Nếu ta đồng thời hoán vị 2 điểm đầu và 2 điểm cuối, nghĩa là: 
(ABCD) = (BADC).

 


4 
 


- Nếu ta viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là: 
(ABCD) = (DCBA).
2) Tỉ số kép của 4 điểm thay đổi trong các trường hợp:
- Nếu ta hốn vị 2 điểm đầu hoặc 2 điểm cuối thì tỉ số kép của 4 điểm 
trở thành sốđảo ngược của nó nghĩa là: 
(BACD) = (ABCD) =

 

1
 
( ABCD)

- Nếu ta hốn vị 2 điểm ở giữa, hoặc 2 điểm đầu và cuối thì tỉ số kép 
của 4 điểm trở thành phần bù của 1 nghĩa là: 
(ABCD) = (DBCA) = 1 - (ABCD).
1.1.2. Hàng điểm điều hịa
1.1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa1.2.Nếu  (ABCD) = - 1  thì  ta  nói  rằng  bốn  điểm  A, B, C, D
lậpthành một hàng điểm điều hịa. 
Lúc đó ta có 

CA
DA

 nghĩa  là các điểm C, D chia đoạnAB theo các tỉ số 
CB
DB

đối nhau. Mặt khác, ta cũng có thể viết tỉ số trên dưới dạng


AC
BC

 nghĩa 
AD
BD

là các điểm A và B chia đoạn CD theo các tỉ số đối nhau. Dựa vào các biểu 
thức trên đây ta nhận thấyvai trị bình đẳng của A, B và C, D. 
Chú ý: Khi nói tới tỉ số kép cũng như nói tới hàng điểm điều hịa,chúng 
ta cần viết đúng thứ tự của các điểm. Dựa vào các tính chất nêu trên, ta biết 
được  khi  thay  đổi  thứ  tự  các  điểm  nào  thì  giá  trị  của  tỉ  số  kép  được  giữ 
ngun và khi thay đổi thứ tự các điểm nào thì giá trị của tỉ số kép đó thay đổi 
theo những quy luật nào. Do đó nếu (ABCD) = -1 ta suy ra: 
(CDAB) = (BADC) = (DCBA) = -1
Mặt khác nếu (ABCD) = -1 thì 

1
 1  do đó ta có: 
(ABCD)

(BACD) = (ABDC) = -1.


5 
 

1.1.2.2. Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm đìểu hịa 
Ta hãy định hướng đường thẳng ABCD, chọn trên đó một điểmO làm 

gốc  và  một  vectơ  đơn  vị.  Giả  sử  OA  a , OB  b , OC  c , OD  d thì  vì 
(ABCD)= - 1nên ta có: 
 
CA
DA
ac
ad

 và  do  đó  

 ,  ta  có  Hình  1.2  
CB
DB
bc
bd
 
1) (ABCD )  1 

ac
ad

hay 2(ab+cd ) = (a+b)(c+d ) (2) 
bc
bd

A 
D

O 


C 

B 

Hình 1.2 

2) Nếu ta chọn điểm O trùng với điểm A thì khi đó a = 0 và hệ thức 
(2)trở thành 2cd = bc + bd hay 

(ABCD )  1 

 

2 1 1
 
( Hình 1.3) 
b d c

2 1 1
  (3) 
b d c

 
Từ hệ thức (3) ta suy ra 
 

 

(ABCD )  1 


 

2
1
1


(3’)  
AB AC AD

 
A 
D

O 

C 

B 

Hình 1.3 

Hệ thức (3’) được gọi là hệ thức Descartes.

 


6 
 


3) Gọi I là trung điểm của đoạn AB và nếu chọn O trùng với I thì  
b = - a. Khi đó hệ thức (2) trở thành 2(-a² + cd) = 0 hay a² = cd. 
 
Vậy   (ABCD )  1  IA2  IC .ID (4) 
 
VớiI là trung điểm của đoạn AB (Hình 1.4). 
 
I 

A 

 
 

C 

D

B 

O 

 
 

Hình 1.4 

Hệ thức (4) được gọi là hệ thức Newton. 
(4)GọiJlà trung điểm của đoạn CD và chọn O ≡ A trên trục là gốc. 
 

 

A 

 

D 

J 

O 

B 
C 

 
Hình 1.5 

 
Khi đó từ hệ thức (3’), ta có: 
(ABCD) = -1 

2
1
1


 
AB AC AD


AC  AD
   
 
2
 AC. AD  AB. AJ         (5)
 AC. AD  AB.

 
Hệ thức (5) được gọi là hệ thức Macloranh

1.2. Chùm điều hòa


7 
 

Định nghĩa 1.3.Người gọi chùm đường thẳng là  một tậphợp gồm tất cả các 
đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua một điểm và điểm đó được gọi là 
tâm của chùm.
Định lí 1.1. Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thayđổi theo một 
hàng điểm có tỉ số kép khơng đổi. 
Chứng minh
 

Giả sử bốn đường thẳng a, b, c, d của chùm tâm Ocắt hai cáttuyến m và 

m’ bất kì khơng đi qua tâm O theo các hàng điểm A,B, C, D và A’, B’, C’, D’. 
Ta cần chứng minh (ABCD) = (A'B'C’D’)(Hình 1.6) 
 
 


O 

 

 

N 
D 

 

A

m 

C 

B 

 

 
N

M 
m’ 

B’ 
A’ 


D’ 

 

C

’ 

b 

d 

a 
M’ 

c 

Hình 1.6 

Qua điểm B ta dựng đường thẳng MBN song song với đường thẳnga cắt 
c vàd tạiM vàN. 
Ta có: 

CA OA DA OA


,
CB MB ' DB NB  


Chia từng vế hai đẳng thức trên ta có: 
CA DA NB
CA DA
:

:
 ( ABC D )  
mà
CB DB MB
CB DB
 

Nên  ( ABCD ) 

NB
. 
MB


8 
 

Tương tự, qua điểm B’ ta dựng đường thẳng B’M’N’ song songvới a cắt 
c và d ở M’ và N’ thì ta cũng có (A’B’C’D’) =

N 'B'
M 'B'

 


NB N ' B '

Vì BN // B’N’ nên 
hay (ABCD) = (A’B’C’D’). 
MB M ' B '

Định nghĩa 1.4. Tỉ số kép khơng đổi nói trên gọi là tỉ số képcủa chùm đường 
thẳng a, b, c, d và được kí hiệu là (abcd). 
Nếu (abcd) = - 1 thì ta nói rằng chùm đã cho là chùm điều hịa. Người 
ta cịn nói rằng cặp đường thẳng a, bchia điều hòa cặpđường thẳng c, dhoặc a,
b và c, d là hai cặp đường thẳng liên hiệp điều hòa với nhau. 
Địnhlý1.2.Trongmặtphẳngchochùmbốn đường thẳng đồng quy. Điều kiện cần 
và  đủđể  chùm  đó  lập  thành  một  chùm  điều  hồ  là:  Một  đường  thẳng bất kì 
song song với một trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng cịn lại chia 
thành hai đoạn thẳng bằng nhau. 
Chứng minh.
S 

 

l 

 

N 

 
B 

 

 
 

a 

 

M  c 

b 

Hình 1.7 

 

Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M,B, N.
Theo định lý trên, ta có: 
 

(abcd ) 

NB
NB
   và (abcd) = -1 
 1      NB   MB  
MB
MB

 B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.7). 



9 
 

Hệ quả 1. Trong một chùm điều hồ nếu có hai đường liên hợp vng góc với 
nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường 
(Hình 1.8a). 
Hệ quả 2. Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hồ hai cạnh của 
góc  đó  (Hình  1.8b).  Chùm  đường  thẳng  gồm  hai  cạnh  của  một  góc  vàhai 
đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác 
 

S 

S 

 

 

 

 

 

 

B 


 

 

 
 

b 
c 

A 

 
 

d 

a 

D 

C 

 

 
a) 

b) 


 
Hình 1.8 

 

Trong  mặt phẳng, tập hợp  các  đường thẳng  đồng quy tại  một điểm S, 
được gọi là một chùm đường thẳng tâm S. 
Cho  chùm  bốn đường thẳng a, b, c, d.  Một đường thẳng  bất kỳ  cắt 
a,b, c, d theo thứtựtạiA,B, C,D.Khiđó(ABCD)khơngphụthuộcvàovịtrícủa. 
Giátrịkhơng đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm 
bốn đường thẳng a, b, c, dký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến 
tâm của chùm. 
1.3. Tứ giác tồn phần
Định nghĩa 1.5.Trong mặt phẳng hình gồm bốn đường thẳng trong đó khơng 
có  3  đường  thẳng  nào  đồng  quyđược  gọi  là  tứ giác tồn phần.  Mỗi  đường 
thẳng đó gọi là một cạnh,giao điểm của 2 cạnh được gọi là một đỉnh, hai đỉnh 
khơng nằm  trên  cùng  một  cạnh  gọi  là  hai  đỉnh  đối diện, đường  thẳng  nối 2 


10 
 

đỉnh  đối  diện  được  gọi  là  đường  chéo,  giao  của  hai  đường  chéo  gọi  là 
điểmchéo. 
Định lí 1.3. Trong hình bốn cạnh tồn phần, hai đường chéo đi qua một điểm 
chéo nào đó chia điều hịa hai đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh 
nằm trên đường chéo thứ ba.
Chứng minh 
Giả sử A, B, C, D, E, F là sáu đỉnh của tứ giác tồn phần với các đường 
chéo AB, CD, EF và các điểm chéo I, J, K. 

K

 
 
 
F 

 
 

J 
D

 
A

 
 

I 
C 

E 

 

B

 
Theo cách dựng đường đối cực đã nêu ở trên thì FI là đường đối cực 

của E đối với hai cạnh FAC và FDB. 
Vì vậy, F(CBIE) là một chùm điều hịa, từ đó suy ra (ABIJ) = -1 hay 
AB bị hai đường chéo cịn lại chia điều hịa. 
Chứng minh tương tự ta suy ra được hai đường chéo CD và EF cũng bị 
hai đường chéo cịn lại chia điều hịa.  
1.4. Đường trịn trực giao
Định nghĩa 1.6. Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tạimột điểm chung 
A  của  chúng,  nếu  hai  tiếp  tuyến  ở  A của  hai  đường  trịn  đó  vng  góc  với 
nhau (Hình 1.9) 


11 
 

A
R
R'
O

O'

Hình 1.9 

 

 

Khi haiđường trịnđã cắt nhau tại 1 điểm A thì chúng cịn cắt nhau tại 1 
điểm thứ hai B và vì lídođối xứng qua đường nối tâm nên các tiếp tuyến tạiB 
cũng vng góc với nhau. 

 

Rõ  ràng  là khi  2  đườngtrịn  trực  giao  với  nhau  thì  tạiđiểm  chung  của 

chúng,  tiếp  tuyến  củađườngtròn  nàyđi  qua  tâm  củađườngtròn  kia.  Do  đó, 
ápdụngđịnh lí Pitago ta có cácđịnh lí sau: 
Định lí 1.4.Điều  kiện  cần  vàđủđể  hai  đườngtrịn  trực  giao  với  nhau  là  bình 
phương  khoảng  cách  giữa  2  tâm  bằng  tổng  bình  phương  của  bán  kính  của 
chúng. 
Nếu  gọi  O, O’  là  các  tâm  và  R, R' là  bán  kính  của  các  đườngtrịn  thì 
điều kiện trực giao nói trên có thể viết thành hệ thức: 
 
 

 
OO’² = R² +

(1) 

Điều kiện (1) tương đương với điều kiệnOO’²-R² = R’² vàđó là phương 
tích của điểm O’ đối với đường trịn tâm O.  
Mặt khác ta cũng có: OO’² - R’² = R² và đó là phương tích của điểm O 
đối với đường trịn tâm O’ (Hình 1.9) 
Do đó ta có P(O’)/(O)= R’²và P(O)/(O’)= R². Ta suy ra: 


12 
 

Định lí 1.5.  Điều  kiện 

ện  cần 
c và  đủ  để  hai  đường  trịn  trực 
ực  giao  vớinhau  llà 
phương tích của tâm của một trong hai đ
ủa một trong hai đường trịn đó đốivới đ
ốivới đường trịn thứ 
hai bằng bình phương b
ương bán kính của đường trịnthứ nhất. 

O

Hình 1.10 

 
Giả sử đường kính
ờng kính CDcủađường trịn tâm O’ cắt đường tr
ờng trịn tâm O tại 
A và B (Hình 1.10) 
Ta có :  

P(O’)/(O)

= R’² hayOO’²
hay
= OA.OB  

Đây làđiều kiện c
ện cần và đủ để hai điểm A và B chia điều h
hịa hai điểm C 
vàD (hệ thức Newton) ngh

n) nghĩa là(ABCD) = -1. Vậy ta có: 
Định lí 1.6. Điều kiện c
ện cần và đủ để hai đường trịn (O, R) và(O’,
(O’, R’)trực giao 
R’)
vớinhau  khi  và  chỉ  khi  một  đường  thẳng  qua  tâm  cuả  1đường 
ờng  tr
trịncắt  cả 
2đường trịn theo 2 cặp
ặpđiểm liên hợp điều hịa. 
Định lí 1.7. Điều kiện c
ện cần và đủ để hai đường trịn (O, R) và(O’,
(O’, R’)trực giao 
R’)
vớinhau  tại A khi  và  ch
chỉ  khi  tiếp  tuyến  tạiA  củađường  tròn  nnàyđi  qua  tâm 
củađường tròn kia. 
Định nghĩa 1.7. Người ta gọi 
ời ta gọi chùm đường trịn là một tập hợp các đ
ột tập hợp các đường trịn 
kể 
ể  từng  đơi  một,  nhận  một  đ
đường  thẳng  duy  nhất  làm  trục 
ục  đẳng  phương. 
ph
Đường thẳng đó gọi là 
à trục đẳng phương của chùm. 
Nhận xét.



13 
 

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tâm các đường trịn của một chùm phải 
nằm trên một đường thẳng gọi là  đường chứa tâm  của chùm và đường thẳng 
này vng góc với trụcđẳng phương của chùm. 
Từ định nghĩa chùm đường trịn ta suy ra hai định lí sau: 
Định lí 1.8. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường trịn lập thành một 
chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả các 
đường trịn của tập hợp đó. 
 

Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai điểm đã nói trên. 

Định lí 1.9. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường trịn có tâm thẳng 
hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả 
các đường trịn của tập hợp đó. 
 

Trục  đẳng  phương  của  chùm  là  đường  thẳng  đi  qua  điểm  nói  trên  và 

vng góc với đường chứa tâm. 
1.5. Cực và đối cực
1.5.1. Đường đối cực của một điểm với hai đường thẳng cắt nhau
Định nghĩa 1.8.
Hai điểm M và N gọi là liênhợp với nhauđối với haiđường thẳng đồng 
quy  Ox, Oy  nếu  đường  thẳng  MNcắt  hai  đường  thẳng  đó  tạihaiđiểmA,
Bsaocho(MNAB) = - 1, (Hình 1.11).



14 
 

Hình 1.11 

Chú ý :  
Nếu ta có(MNAB)
(MNAB) = - 1 thì ta suy ra(ABMN) = - l vàkhiđó hai điểm A 
vàkhiđó hai đi
và B cũngliên hợp với nhau đối với 
ợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy OM,
OM, ON
ON. 
 
Bài tốn 1. Cho một điểm 
ột điểm M khơng thuộc hai đường thẳng Ox,
Ox, Oy. Hãy tìm 
Oy
tập hợp các điểm N liên h
liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho.
ã cho. 
Giải
Qua M ta  kẻ 
ẻ  một đường 
một đ
thẳng lần lượt  cắt  Ox, Oy  tại A
A và B. Ta  lấy 
trên đường thẳng đó một điể
ờng thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = - 1 (Hình 1..12). 
Nếu kẻ đường thẳng Oz

Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM,
(OM, Oz, Ox, Oy)
Oy) là 
một  chùm  điều  hịa 
ịa  và  do  đó  nói  chung  mọi  điểm  của  đường 
ờng  thẳng  Oz  đều 
liên hợp với điểm M đối với hai đ
ối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy.  
Riêng đối với hai điể
ối với hai điểm P vàQ thuộcOz màMP//Ox vàMQ//Oy
MQ//Oy ta phải 
loại ra vì lúcđó cácđường thẳng 
ờng thẳng MP vàMQđều khơng cắt cả hai 
hai đườngthẳng 
Ox, Oy. 

P 


15 
 

 
 
Ngược lại, nếuN1là một điểm khơng thuộc đường thẳng Oz nói trên thì 
khơng liên hợp với Mthì khi đó nếu đường thẳng MN1cắtOx, Oy, Oz lần lượt 
tại A’, B’, N’ thì ta có 
(MN’A’B') = -1 cịn (MN1A’B’) ≠ (MN’A’B’) 
nên (MN1A’B') ≠ -1. Do đó N1 khơng liên hợp với M đối với haiđường thẳng 
Ox, Oy. 

Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đườngthẳng 
Ox, Oy là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên. 
Định nghĩa1.9.  Đường  thẳng  Oz  trong  bài  tốn 1 nói  trên gọi  là  đường đối
cựccủa điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy.  Còn  điểm  M  gọi  là  cực
củađường thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó.
Nhận xét. 
Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đườngthẳng Ox,
Oy cho trướcdựa vào tính chất của tứ giác tồn phầngiác tồn phần ta tìm hai 
điểmP và Q phân biệt đều cùngliênhợp với M đối với Ox, Oy nóitrên. Ta có 
PQ là đường đối cựccủa điểm M đối với Ox, Oy vàPQ ln ln đi qua điểm
O (Hình 1.13). 
 
 
O 


16 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 

1.5.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn
Định nghĩa 1.10.Hai  điểmM vàN  liên  hợp  với  nhau  đối  cựcđường 
trịn(O),nếuđường trịnđường kínhMN trực giao vớiđường trịn(O) (Hình 1.14) 

M

 
O 
A

  

N  

 
B

Hình 1.14 

Hệ quả. 
Nếu đường thẳng MN cắt đường trịn (O) tại hai điểm A và B thì điều 
kiệncần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đường trịn (O) là (MNAB)
= - 1 

Nhận xét. 


17 

 

Hai  điểm  M, N  có  thể  liên  hợp  với  nhau  đối  với  đường  trịn  (O) mà 
đường thẳng MN khơng cắt đường trịn này. 
 
Bài tốn 2. Cho đường trịn (O) và một điểm M khơng trùng với tâm O của 
đường trịn đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường 
trịn (O) đã cho. 
Giải
Nếu  N  là  điểm  liên  hợp  của  M  đối  với  đường  trịn  (O)  thì  theo  định 
nghĩa,  đường  trịn  đường  kính  MN  trực  giao  với  đường  trịn  (O).  Khi  đó 
đường kính AB đi qua M của đường trịn (O) bị đường trịn đường kính MN 
chia điều hịa. Gọi H là giao điểm thứ hai của đường trịn đường kính MN với 
đường thẳng AB. Ta có (ABMH) = - 1 (Hình 1.15) 
m

A
M

N

H

O

Hình 1.15 

B

 


 
Trong hàng điểm điều hịa A, B, M, H điểm H hồn tồn được xác định 
vì ba điểm A, B, M đã được xác định. Mặt khác do MN là đường kính nên  
MH  HN.
Nói cách khác, điểm N nằm trên đường thẳng m vng góc với đường 
thẳng MO tại H. 


18 
 

 

Ngược lại nếu N’ là một điểm bất kì của đường thẳng m thì đường trịn 

đường kính MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đường trịn đường kính 
MN’ trực giao với đường trịn (O). Vậy điểm N’ liên hợp với M đối với đường 
trịn (O). 
Vậy  tập  hợp  những  điểm  N  liên  hợp  với  điểm  M  đối  với  một  đường 

 

trịn (O) cho trước là một đường thẳng m vng góc với đường thẳng MO tại 
H  với  (MHAB) = -1,  trong  đó  A, B  là  giao  điểm  của  đường  thẳng  MO  với 
đường trịn tâm O. 
Định nghĩa 1.11. Đường thẳng m trong bài tốn 2 nói trên gọi là đường đối
cựccủa điểm M đối với đường tròn (O).  Còn  điểm  M  gọi là  cực của đường
thẳngm đối với đường trịn (O) nói trên. 
 


Như vậy mỗi điểm M khơng trùng với điểm O của đường trịn tâm O có 

một đường đối cực xác định và ngược lại ta cũng thấy rằng mỗi đường thẳng 
khơng đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đường trịn tâm O cho 
trước. 
Chú ý.  
Vì (ABMH) = -1 nên đường đối cực m của điểm M đối với đường trịn 
(O) sẽ cắt, khơng cắt hay tiếp xúc với đường trịn (O) tùy theo M ở ngồi, ở 
trong hay ở trên đường trịn tâm O (Hình 1.16 a, b, c) 
 
 
 

m

m

 

 

R

I

 
 
 


H

M
A

H
O 

B

M 
A 

O

 
 

K 

S 

 
 
 

a) 

b) 


B


19 
 
 

m 

 
 
H 

 

Hình 1.16

M 

A 

O 

 
 

B 

c) 


Nhận xét
Muốn  dựng  đường  đối  cực  của  một  điểm  M đối  với  một  đường  trịn  tâm  O 
cho trước, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 1.17). Gọi P và Q lần 
lượt là các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1. Ta 
suy ra PQ là đường đối cực của điểm M.

B 
A 

M 

 
C 

P 

Q 

O 
D 

Hình 1.17 

Ta có thể dựa vào tính chất của hình tứ giáctồn phần để tìm các điểm 
P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D. Đặc biệt khi các cát tuyến đó trở 
thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng trùng 
nhau. 


20 

 

Do đó muốn dựng đường đối cực của 1 điểm M ta thường làm như sau: 
- Nếu điểm M nằm ngồi đường trịn (O) thì từ M ta vẽ hai đường tiếp 
tuyến MI, MK với đường trịn I và K là hai tiếp điểm. Khi đó đường thẳng IK
là đường đối cực của điểm M cho trước(Hình 1.16a). 
- Nếu điểm M nằm trong đường trịn thì ta vẽ đường thẳng vng góc 
với  MO  tại  M.  Đường  thẳng  này  cắt  đường  tròn  tại  hai  điểm  R  và  S  (Hình 
1.16b). Các cát tuyến của đường trịn tại R và S cắt nhau tại H. Đường thẳng 
m  vng  góc với  đường thẳng MO  tại H là đường  đối cực  của  điểm M  cho 
trước. 
- Nếu điểm M nằm trên đường trịn thì tiếp tuyến tại M của đường trịn 
chính là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.16c). 
1.5.3. Các tính chất của cực và đối cực với một đường trịn
Định lí 1.10. Đối với mộtđường trịn cho trước, nếuđườngđối cực củađiểmAđi 
qua điểm B thìđườngđối cực củađiểmBđi qua điểmA. 
Chứng minh
 
B 

 
 
 
 

b 

 
 
 


A 

 
 
 

a 

 
Hình 1.18