UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

ĐỖ THỊ HƯƠNG

RÈN LUYỆN THAO TÁC TRÍ TUỆ ĐẶC BIỆT HỐ VÀ
KHÁI QT HĨA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
GIẢI TỐN CHƯƠNG “TỨ GIÁC” Ở LỚP 8 THCS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học:PGS.TS. Bùi Văn Nghị

PHÚ THỌ, 2018


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong q trình dạy học mơn tốn ở trường THCS, việc giải các bài tập là
một phương tiện rất có hiệu quả để học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực
tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Rèn luyện
các thao tác trí tuệ cho học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng trong
dạy học giải tốn.
Chúng ta biết rằng, khơng phải bài tốn nào cũng được giải một cách dễ
dàng, có những bài tốn việc giải nó đơi khi gặp rất nhiều khó khăn. Trong những
trường hợp này chúng ta có thể xét trường hợp đặc biệt của bài tốn có khi lại dễ
giải hơn. Việc giải bài toán ở trường hợp đặc biệt có thể giúp chúng ta tìm ra lời
giải cho bài toán ban đầu. Ngược lại, từ một vài trường hợp cụ thể khái quát để

mở rộng kết quả bài tốn. Kết quả khái qt ln có giá trị rộng hơn vì sự mở rộng
phạm vi của nó. Như vậy, khái quát hóa và đặc biệt hóa là một trong những
phương pháp suy nghĩ giúp ta tìm ra lời giải bài tốn thơng qua các hoạt động trí
tuệ: mị mẫm, dự đốn, đào sâu, mở rộng, hệ thống hóa kiến thức và góp phần
quan trọng trong việc hình thành, rèn luyện các thao tác trí tuệ cho học sinh. Đặc
biệt hố và khái qt hóa là hai thao tác trí tuệ thường gặp trong mơn Tốn và có
tác dụng lớn trong giải toán.
Thực tiễn cho thấy hiện nay, một bộ phận học sinh thường tiếp thu kiến
thức một cách bị động, phát hiện, vận dụng kiến thức một cách dập khn, máy
móc, khơng linh hoạt và cịn lúng túng khi giải quyết một vấn đề đã học nhưng
được biến đổi dưới dạng khác hoặc đứng trước vấn đề mới. Nguyên nhân của tình
trạng này một phần là do cách học của các em chưa phù hợp, nhưng một nguyên
nhân khác là trong q trình dạy có một số giáo viên toán ở trường THCS chưa
quan tâm đúng mức đến nhiệm vụ, nhằm rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hố và
khái qt hóa cho học sinh.


2
Đối với cấp THCS các bài toán trong chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS có
nhiều cơ hội rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái qt hóa cho học
sinh.
Hiện nay, các nhà giáo dục đang rất quan tâm nghiên cứu và đã có những
đề tài nghiên cứu về rèn luyện một số thao tác trí tuệ cho học sinh, nhưng chưa có
đề nào trùng lặp với đề tài này.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hố và
khái qt hóa cho học sinh trong dạy học giải tốn chương “Tứ giác”ở lớp 8
THCS.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu là khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn
luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái qt hóa; đề xuất quy trình rèn luyện

thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán trong
chương “Tứ giác”ở lớp 8 THCS.
+ Nhiệm vụ nghiên cứu là trả lời các câu hỏi khoa học sau đây:
- Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái
qt hóa cho học sinh trong dạy học giải tốn là gì?
- Rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái qt hóa cho học sinh trong
dạy học giải toán trong chương “Tứ giác” ở lớp 8 THCS theo hệ thống bài tập
nào? quy trình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và khái qt hóa cho học sinh trong
dạy học giải tốn trong chương “Từ giác” ở lớp 8 THCS được thực hiện như thế
nào?
- Hệ thống bài tập đã đề xuất và quy trình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và khái
qt hóa cho học sinh có tính khả thi và hiệu quả hay không?
3. Giả thuyết khoa học
Nếu khai thác và thiết kế được hệ thống bài tập đã đề xuất trong luận văn về
rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hố - khái qt hóa và đề xuất được quy
trình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và khái qt hóa cho học sinh thì vừa góp


3
phần nâng cao chất lượng dạy học chương “Tứ giác” ở lớp 8, vừa tăng cường rèn
luyện hai thao tác trí tuệ này cho học sinh.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tập trung vào hai thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái qt hóa trong mơn tốn,
thơng qua dạy học chương “Tứ giác” ở lớp 8 THCS.
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề
liên quan đến đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát thực trạng dạy học chương “Tứ giác”
lớp 8 ở một số trường THCS tỉnh Phú Thọ.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tiến hành thực nghiệm sư phạm một số tiết

dạy dựa trên những tình huống dạy học để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của hệ
thống bài tập và quy trình rèn luyện thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học
sinh đã được đề xuất.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn có ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn của rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hố và
khái qt hóa cho học sinh trong dạy học giải toán
Chương 2. Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện các thao tác
trí tuệ đặc biệt hóa và khái qt hóa cho học sinh trong dạy học giải toán trong
chương “Tứ giác” ở lớp 8 THCS
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm


4
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA RÈN LUYỆN THAO TÁC
TRÍ TUỆ ĐẶC BIỆT HĨA VÀ KHÁI QT HĨA CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC GIẢI TỐN
1.1. Nhiệm vụ rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ khái quát hóa, đặc biệt
hóa cho học sinh
Để có tri thức và kỹ năng, học sinh cần tiến hành các hoạt động trí tuệ nói
chung, khái qt hóa - đặc biệt hóa nói riêng. Do đó, nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho
học sinh qua mơn tốn vừa là mục đích, lại vừa là phương tiện để đạt được mục
đích về tri thức và kỹ năng toán học. Đồng thời, mục đích phát triển trí tuệ gắn liền
với mục đích phát triển nhân cách và phẩm chất cho học sinh nói chung và cho học
sinh trung học cơ sở nói riêng.
Chính vì vậy, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ khái qt hóa, đặc biệt hóa
có ý nghĩa vơ cùng quan trọng trong việc hình thành tư duy cho học sinh và cũng là
một trong những mục tiêu quan trọng của dạy học tốn.
Trong tốn học, đặc biệt hóa - khái qt hóa là phương pháp suy nghĩ tích

cực và sáng tạo, là nguồn gốc của tri thức toán học sơ cấp cũng như trong toán học
cao cấp. Khái quát hóa - đặc biệt hóa được vận dụng để giải nhiều bài tốn, để mị
mẫm hoặc dự đốn kết quả, tìm phương hướng giải bài tốn, để mở rộng, đào sâu và
hệ thống hóa kiến thức.
Trong [12] Polya (1976) khẳng định: “khái quát hóa - đặc biệt hóa chuyển
hóa và gắn bó hữu cơ với nhau trong việc giải quyết những vấn đề tốn học và các
phép khái qt hóa - đặc biệt hóa thường kết hợp với nhau một cách tự nhiên trong
khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài tốn.”
Có nhiều khi để giải một bài tốn, ta phải tìm cách đưa bài tốn cần giải về
một bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn, khi giải được bài tốn này thì sẽ giải được
bài tốn đã cho. Khái quát hóa và đặc biệt hóa có nhiều tác dụng về mặt này.


5
Cũng có nhiều trường hợp giải bài tốn trong trường hợp đặc biệt chưa giúp
chúng ta giải được bài toán ban đầu nhưng điều đó cũng khơng sao vì như vậy
chúng ta đã giải được một phần của bài toán, đối với những bài tốn khó việc giải
được một phần như vậy nhiều khi rất có giá trị.
Khi đưa ra cho học sinh một bài tập, giáo viên cần cân nhắc sao cho bài tập
đó có nhiều phần với yêu cầu, mức độ khó khác nhau sao cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh trong cùng một lớp. Cần khuyến khích các em có lực học ở mức khá
giải được hết các phần của bài tập, cịn nếu khơng cũng cần có sự động viên kịp
thời, trân trọng kết quả bài làm của các em, tránh sự chê bai, không khen ngợi các
em làm cho các em tự ti, khơng có ý chí phấn đấu trong các bài tập sau đó.
Đối với bậc trung học cơ sở, khái quát hóa - đặc biệt hóa đã thâm nhập vào
mọi khâu của quá trình dạy học, là một yếu tố quan trọng giúp học sinh hình thành
khái niệm và các tri thức lí thuyết; đào sâu, mở rộng, hệ thống hóa kiến thức; hơn
nữa chúng đã trở thành một trong những phương pháp suy nghĩ khoa học giúp học
sinh chủ động học tập và làm quen với nghiên cứu toán học.
Trong [5], Nguyễn Bá Kim (1996) khẳng định: “Trong số các năng lực trí tuệ

thì năng lực khái qt hóa tài liệu toán học là thành phần cơ bản của năng lực tốn
học. Do đó, năng lực này cần được đặc biệt chú ý trong dạy học toán” và “những
hoạt động sau đây cần chú ý khi tập luyện hoạt động khái qt hóa: phân tích, tổng
hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa và hệ thống hóa”.
1.2. Thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái qt hóa trong giải tốn
1.2.1. Các hoạt động trí tuệ
Trong giải tốn thường có các hoạt động trí tuệ sau: dự đốn, so sánh, phân
tích - tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể
hóa.
Theo Nguyễn Bá Kim (2015) [6]:


6
“Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một
vật thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ ngược
nhau nhưng là hai mặt của q trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ
bản của q trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng Phân
tích và tổng hợp.
Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất ra khỏi những đặc điểm
không bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất và không bản chất ở đây mang
ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động. Trừu tượng hóa là tách ra
cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát những cái chung này, gạt
qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú
ý tới những cái riêng biệt.
Cụ thể hóa là q trình minh họa hay giải thích những khái niệm hay định
luật khái quát, trừu tượng bằng ví dụ.
Khái qt hóa là chuyển từ một tập đối tượng sang một tập lớn hơn chứa tập
hợp ban đầu bằng cách nêu bật một đặc điểm chung của tập hợp trong một tập xuất

phát. Như vậy, trừu tượng hóa là một điều kiện cần của khái quát hóa.
Đặc biệt hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập đối tượng sang một
tập đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập ban đầu.
Tương tự hóa là từ hai đối tượng giống nhau ở một dấu hiệu ta rút ra kết luận
rằng hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Dự đoán là khi đứng trước một tình huống, một vấn đề cần giải quyết, như
một phản xạ tự nhiên, chúng ta thường liên tưởng đến các tình huống , vấn đề mà
chúng ta đã gặp xem có những điểm chung nào, điểm nào tương tự, từ đó huy động
vốn kiến thức, kinh nghiệm đã có đề xuất hướng giải quyết.


7
Các hoạt động trí tuệ trên thường có mối quan hệ mật thiết với nhau, trong
khi sử dụng thao tác trí tuệ này, có thể có thao tác trí tuệ khác. Trong một hoạt
động, nếu hoạt trí tuệ nào là chủ yếu, ta sẽ gắn cho hoạt động đó theo thao tác trí
tuệ đó. Trong q trình phân tích để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố của bài tốn,
có khi ẩn chứa thao tác so sánh ở trong đó, trong q trình phân tích có thể dựa vào
tổng hợp và ngược lại khi tổng hợp có thể dựa vào phân tích. Chẳng hạn như: khi
phân tích để tìm lời giải bài tốn ta phải xem có bao nhiêu cách giải bài toán đã biết
(do tổng hợp mà có).
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện
tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích dấu hiệu, các thuộc
tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại
xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì giống và khác nhau.”
Các bài tập toán học ở nhà trường phổ thơng có thể chia làm hai loại: loại có
thuật tốn để giải và loại chưa có thuật tốn để giải. Để tìm cách giải dạng tốn
chưa có thuật giải ta có thể hướng dẫn học sinh tìm tịi, phát hiện nhờ những suy
nghĩ có tính chất tìm đốn: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài
toán cần giải với một bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, mị mẫm dự đốn thử
xét một vài trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài tốn đặc biệt

nào đó liên quan. Những thao tác trí tuệ đó giúp học sinh tìm ra lời giải của bài
toán, đồng thời rèn luyện được khả năng tư duy và thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và
khái qt hóa.
Sau đây, hai hoạt động trí tuệ đặc biệt hóa và khái qt hóa sẽ được trình bày
cụ thể hơn.
1.2.2. Đặc biệt hóa
Theo Polya [12]: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối
tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã
cho”.


8
Chúng ta có thể hiểu đây là một q trình ngược lại của khái quát hóa. Chẳng
hạn, ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu tứ
giác, sau đó là tam giác (tam giác là một đa giác đặc biệt, có số cạnh bằng ba) và
tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển từ tam giác sang tam giác đều (là tam giác đặc biệt,
có các cạnh bằng nhau). Trong các bước đặc biệt hóa trên đã tiến hành theo các
hướng khác nhau. Trong lần đầu (từ đa giác sang tứ giác - tam giác) ta thay biến bởi
một hằng (cụ thể thay n – giác bởi 4, 3 (4, 3 – giác); trong lần thứ hai (từ tam giác
sang tam giác đều) chúng ta đã quy định những điều hạn chế (tam giác phải có các
cạnh bằng nhau).
Theo Nguyễn Bá Kim (2017) [7]: “Những dạng đặc biệt hóa thường gặp
trong mơn tốn có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Đặc biệt hóa
Đặc biệt hóa từ cái tổng
quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ cái riêng đến
cái riêng hơn


Đặc biệt hóa đến cái riêng
lẻ đã biết

Đặc biệt hóa đến cái riêng lẻ
chưa biết
Sơ đồ 1.1

Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái
niệm, kết luận tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt hóa
thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh bài tập,...”
* Những cơ hội có thể khai thác hiệu quả thao tác trí tuệ đặc biệt hoá và
khái quát trong giải toán để rèn luyện và phát triển cho học sinh:
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để có cơ hội tìm ra lời giải bài toán.


9
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài tốn nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để có cơ hội tìm ra lời giải bài tốn.
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để tìm điểm cố định của bài tốn hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của đoạn thẳng
hoặc nhiều đoạn thẳng.
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để dự đốn quỹ tích hoặc kiểm nghiệm dự đoán.
+ Khai thác và thiết kế hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện thao tác đặc biệt hóa
để phát hiện ra những tính chất mới hoặc bài tốn mới.
Trong chương 2 của luận văn, Chúng tơi sẽ trình bày rõ hơn về những cơ
hội này, thơng qua hệ thống những bài toán cụ thể trong chương “Tứ giác” ở lớp 8
THCS.

1.2.3. Khái qt hóa
Theo Pơlya (1975) [13]: “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một
tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một đối tượng lớn hơn, bao gồm cả
tập hợp ban đầu”.
Trong “Phương pháp dạy học mơn Tốn”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ
Dương Thụy (1992) [6] có nêu rõ hơn: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối
tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc
điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát.” Chẳng hạn, chúng ta khái quát
hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam giác sang nghiên cứu tứ giác, rồi đa giác bất
kì với số cạnh bất kì, từ hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu
hệ thức lượng trong tam giác thường. Chúng ta có thể chuyển từ việc nghiên cứu bất
đẳng thức cho hai số sang bất đẳng thức cho n số tùy ý... Trong các ví dụ này cho
thấy chúng ta thường khái qt hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng,
sang xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó.
Theo Nguyễn Bá Kim (2017) [7], “Những dạng khái quát hóa thường gặp
trong mơn Tốn có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:


10
Khái quát hóa
Khái quát hóa từ cái riêng lẻ
đến cái tổng quát

Khái quát hóa từ cái tổng
quát đến cái tổng quát
hơn

Khái quát hóa đến cái tổng
quát đã biết


Khái quát hóa đến cái
tổng quát chưa biết
Sơ đồ 1.2

Có hai con đường tiến hành hoạt động khái quát hóa:
 Con đường thứ nhất:
Dựa trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ.
 Con đường thứ hai:
Không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong
hàng loạt hiện tượng giống nhau. Cách khái quát hóa này địi hỏi năng lực khái qt
hóa đã được phát triển tới mức độ nhất định, có khả năng phân tích được những đặc
điểm chung, đặc điểm bản chất, những mối liên hệ bên trong của hiện tượng chỉ
bằng cách phân tích một hiện tượng đó.”
1.3. Khảo sát thực tiễn việc rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái
quát hóa cho học sinh trong dạy học giải toán ở trường trung học cơ sở
Như chúng ta đã biết: "Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát
triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm
hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và
trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống
lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục, Chương 2, mục 2,
điều 23).


11
Mơn Tốn cũng như mọi mơn học, xuất phát từ đặc điểm, vai trị, vị trí, ý
nghĩa của nó, phối hợp cùng môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà
trường, góp phần thực hiện mục tiêu trên. Như vậy, phát triển tư duy (phát triển trí
tuệ) cho học sinh cũng chính là một mục tiêu quan trọng của giáo dục phổ thơng.
Tốn học có tính chất trừu tượng cao độ. Do đó, mơn Tốn có khả năng to lớn góp
phần phát triển tư duy cho học sinh. Chính vì mục tiêu này, cần thiết phải được

thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải là tự phát.
Ở tiểu học, kiến thức hình học được xây dựng riêng lẻ xen kẽ vào số học
bằng phương pháp trực giác thực nghiệm. Khi khảo sát tính chất các hình, học
sinh tự rút ra tính chất chung và các hệ thức liên hệ, rồi áp dụng chúng để giải các
bài tập, tính tốn hoặc giải quyết các bài tập thực tiễn. Hình học ở bậc tiểu học là
cái tồn thể khơng chia cắt, sự diễn đạt ngơn ngữ về khái niệm và tính chất được
mơ tả bằng hình ảnh mà học sinh quan sát được và không chứng minh.
Ở trung học cơ sở chương trình hình học có Sách giáo khoa riêng, được thể
hiện theo hệ thống lôgic chặt chẽ, được diễn đạt theo con đường suy diễn là chủ
yếu, trong đó các quy tắc suy luận được sử dụng ẩn tàng. Vì thế, một trong những
yêu cầu quan trọng của việc dạy học hình học là dạy cho học sinh biết suy luận.
Do đó, những khó khăn trong dạy học ở bậc trung học cơ sở nói chung,
chương “Tứ giác” nói riêng bắt nguồn từ những thay đổi đó. Bản chất của những
khó khăn là do giai đoạn chuyển giao tư duy trong tâm lí lứa tuổi. Khi học sinh từ
bậc tiểu học lên bậc trung học cơ sở, tư duy học sinh có bước tiến cơ bản, chuyển
từ tư duy cơ bản sang giai đoạn tư duy hình thức. Đó là sự nhảy vọt về chất lượng
là nguồn gốc của những khó khăn trong dạy học Hình học ở trung học cơ sở nói
chung, chương “Tứ giác” Hình học 8 nói riêng.
1.3.1. Chương “Tứ giác” trong chương trình Hình học Tốn 8 ở trung học
cơ sở
Ở cấp tiểu học, các em đã làm quen, nhận biết với các loại tứ giác thông
dụng: hình chữ nhật, hình vng, hình thang, hình bình hành thơng qua những hình
ảnh là đồ dùng dạy học hay hình ảnh thực tế.


12
Trong chương trình trung học cơ sở ban hành theo quyết định số
03/2002/QĐ-BGD&ĐT ngày 24/01/2002 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo,
kiến thức Hình học được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy luận.
Phân mơn Hình học khơng xây dựng như một khoa học suy diễn thuần tuý (tức là

không xuất phát từ một hệ tiên đề rồi bằng các chứng minh chặt chẽ để đi đến các
định lý, tính chất) đồng thời giảm nhẹ chứng minh (đặc biệt ở lớp 6, lớp 7). Nhưng
yêu cầu rèn luyện suy luận chứng minh được tăng dần từ lớp 7 đến lớp 9, sớm cung
cấp các kết quả có nhiều ứng dụng trong thực hành tính tốn và trong thực tiễn.
Hình học cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu về một số phương pháp
Toán học như: dự đoán và chứng minh, quy nạp và suy diễn, phân tích và tổng hợp,
rèn luyện khả năng suy luận lôgic, khả năng quan sát. Điều này đã khẳng định vai
trị của trực giác và trí tưởng tượng trong việc dạy học Hình học, bước chuyển biến
lớn từ hình học quan sát sang hình học suy diễn là trang bị mị mẫm, dự đốn, suy
luận lơgic cho học sinh. Trong dạy học, chương trình đảm bảo khoảng 60% thời
lượng dành cho phần luyện tập, thực hành và giải toán; chú trọng rèn luyện cho học
sinh khả năng thực hành, đưa thêm nhiều bài tập có nội dung thực tiễn; tránh đưa ra
các bài tập cồng kềnh hoặc quá đòi hỏi nhiều bước suy diễn; nâng cao kỹ năng giải
tốn và ứng dụng tốn học vào các mơn học khác (tốn học là mơn học cơng cụ);
rèn luyện cho học sinh biết cách giải quyết vấn đề, cân nhắc các giải pháp cũng như
xét đốn tính hợp lý của giải pháp và của lời giải. Đối với học sinh khá, giỏi, ngồi
sách giáo khoa cịn có nội dung nâng cao trong sách bài tập, tài liệu bổ sung, giáo
trình tự chọn và các bài tập được phân bậc từ thấp đến cao, có bài tập tự luận và bài
tập trắc nghiệm.
Học sinh trung học cơ sở được cung cấp một hệ thống các kiến thức về đa
giác và đường tròn. Riêng ở lớp 8, các em biết thêm một số loại tứ giác khác như:
hình thang cân, hình thang vng, hình thoi và biết được tính chất của các loại tứ
giác, biết được dấu hiệu nhận biết một tứ giác nào đó cũng như các khái niệm - bài
tập về đường trung bình của tam giác, của hình thang, đối xứng tâm và đối xứng
trục.


13
Tứ giác là loại hình cơ bản, rất hay gặp và các dạng bài tập trong chương
tứ giác ẩn chứa nhiều hoạt động giúp giáo viên có thể rèn luyện thao tác trí tuệ nói

chung, thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh nói riêng.
1.3.2. Một số thực trạng về việc rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hố và khái
qt hóa cho học sinh trong dạy học giải toán cho học sinh trung học cơ sở ở Hạ
Hòa phú thọ
Hạ Hòa là tỉnh miền núi phía bắc Phú Thọ, mới được tái lập năm 1996,
nằm ở phía Tây Bắc tỉnh Phú Thọ, gồm 33 xã, 1 thị trấn nằm ở hai bên sơng
Thao. Huyện có diện tích 339,34 km2 ; thị trấn huyện Hạ Hịa cách thành phố Việt
Trì 70km. Trong những năm gần đây, được sự quan tâm của đảng và các cấp chính
quyền, Hạ Hịa đang có những sự thay đổi trên các lĩnh vực kinh tế - văn hóa - xã
hội. Cùng với sự phát triển chung của tỉnh Phú Thọ, ngành giáo dục cũng có những
bước tiến vững chắc về giáo dục toàn diện ở tất cả các cấp học kể cả về quy mô và
chất lượng. Tuy nhiên, bên cạnh đó do điều kiện kinh tế xã hội, điều kiện tự nhiên
cịn nhiều khó khăn đã ảnh hưởng đến sự phát triển mọi mặt cũng như sự phát triển
sự nghiệp giáo dục và đào tạo Hạ Hịa.
Ngồi việc dự giờ, phỏng vấn một số đồng nghiệp và học sinh trong một
số trường trung học cơ sở thuộc huyện Hạ Hịa, chúng tơi cịn thiết kế và sử dụng
phiếu hỏi (mẫu phiếu xin xem ở phụ lục 1) cho thấy việc rèn luyện thao tác trí tuệ
trong chương “Tứ giác” của chương trình hình học 8 cịn hạn chế. Học sinh cịn gặp
rất nhiều khó khăn trong các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái qt hóa, nhiều em
khơng biết đặc biệt hóa, khái qt hóa là gì và để làm gì?!
Cụ thể, qua khảo sát 20 giáo viên và 150 em học sinh bằng phiếu kết quả
hoạt động trí tuệ khái qt hóa - đặc biệt hóa được rèn luyện như sau:
Kết quả khảo sát giáo viên cho ta thấy trong giảng dạy đa số giáo viên
(18/20) cho rằng việc rèn luyện tao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái quát hóa cho học
sinh là rất quan trọng. Tuy nhiên, thực tế cho thấy giáo viên còn chưa quan tâm


14
đúng mức tới hoạt động rèn luyện hoạt động khái quát hóa - đặc biết hóa cho học
sinh, quan tâm thường xuyên rất ít chỉ chiếm 4/20 (chiếm 20%) trong tổng số giáo

viên được hỏi.
Tóm lại qua khảo sát, hầu hết các thầy cô đều đánh giá cao tầm quan
trọng và ý nghĩa của việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh, tuy nhiên
trên thực tế các thầy cơ cịn chưa chú ý đến việc rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc
biệt hóa và khái qt hóa cho học sinh.
Kết quả khảo sát 150 học sinh cho ta thấy trong học tập đa số các em học
sinh (123/150) cho rằng việc rèn luyện tao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái quát hóa là
rất quan trọng. Tuy nhiên, thực tế các em còn chưa quan tâm hoặc không quan tâm
tới hoạt động rèn luyện hoạt động khái quát hóa - đặc biết hóa, quan tâm thường
xuyên rất ít chỉ chiếm 24/150 ( chiếm 16%) trong tổng số các em được hỏi.
Nguyên nhân là nhiều giáo viên trong dạy học giải bài tập đã đưa ra được lời
giải hay cho học sinh, tuy nhiên chưa quan tâm phân tích cách thức sử dụng thao tác
trí tuệ để tìm lời giải và khơng dành thời gian để phân tích lí do có được lời giải đó,
nên nhiều học sinh chưa biết vận dụng hoặc vận dụng máy móc mà khơng hiểu về
bản chất dẫn đến khơng giải được bài toán hoặc sai lầm trong giải toán. Giáo viên
chưa ý thức được cùng với dạy tri thức cần phải rèn luyện thao tác trí tuệ cho học
sinh và để HS nắm vững, vận dụng tốt tri thức cần thiết phải thường xuyên rèn
luyện và bồi dưỡng thao tác trí tuệ nói chung, thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái
quát hóa nói riêng.
Bên cạnh đó, đặc điểm cũng là hạn chế lớn nhất của học sinh Hạ Hịa hiện nay q
thụ động trong q trình học tập, chưa có thói quen tìm hiểu mà ln trơng chờ vào
giáo viên đưa lời giải hướng dẫn rồi chép lời giải, đáp số. Qua khảo sát cho thấy
trên 70% số học sinh khơng thích học mơn tốn vì khó tiếp thu hoặc khó phát hiện
vấn đề, việc sử dụng ngơn ngữ, ký hiệu toán học hoặc các thuật ngữ toán học... diễn
tả nội dung toán học.


15
Thực trạng dạy và học ở một số trường ở cấp trung học cơ sở Hạ Hòa với
những ưu điểm cũng như hạn chế hay nguyên nhân trên đã đặt ra các vấn đề cần

quan tâm cùng khắc phục và giải quyết các vấn đề đó nhằm nâng cao chất lượng
giáo dục ở các trường trung học cơ sở miền núi hiện nay.
1.4. Tiểu kết chương I
Qua nghiên cứu tổng quan các tài liệu và tìm hiểu thực tế mơn toán ở
trường trung học cơ sở cho thấy những vấn đề nổi bật sau:
- Vấn đề rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái qt hóa cho học
sinh được rất nhiều nhà tâm lý, nhà giáo dục học trong và ngoài nước quan tâm
nghiên cứu.
- Trong dạy học hình học nói chung, chương “Tứ giác” ở lớp 8 trung học
cơ sở nói riêng có nhiều cơ hội để rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái
quát hóa cho học sinh.
- Qua khảo sát thực tiễn cho thấy hầu hết các thầy cô đều đánh giá cao
tầm quan trọng và ý nghĩa của việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh.
Nhưng trên thực tế các thầy cơ cịn chưa chú ý đến việc rèn luyện các thao tác trí
tuệ đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh.
Từ việc tham khảo và kế thừa các kết quả nghiên cứu của các cơng trình
đã có, ở chương này đã trình bày những vấn đề cơ bản về hoạt động trí tuệ và rèn
luyện hoạt động trí tuệ nói chung, hoạt động đặc biệt hóa - khái quát hóa nói riêng
cho học sinh trong dạy học mơn tốn. Từ đó, hình thành ý tưởng và tạo điều kiện để
nghiên cứu rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa - khái qt hóa cho học sinh trong
giải toán chương “Tứ giác” ở lớp 8 trung học cơ sở.
Ở chương sau, là hệ thống các bài tốn Hình học được xây dựng, khai thác
và thiết kế nhằm rèn luyện các thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái qt hóa; đề
xuất quy trình rèn luyện thao tác trí tuệ đặc biệt hóa và khái qt hóa cho học sinh
trong dạy học giải tốn trong chương “Tứ giác” ở lớp 8 trung học cơ sở.


16
Chương 2
KHAI THÁC VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG CÁC BÀI TỐN NHẰM RÈN

LUYỆN CÁC THAO TÁC TRÍ TUỆ ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT
HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN TRONG
CHƯƠNG “TỨ GIÁC” Ở LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ
2.1. Khai thác và thiết kế hệ thống các bài tốn nhằm rèn luyện thao tác đặc
biệt hóa để có cơ hội tìm ra lời giải bài tốn
Để tìm ra cách giải bài toán trong trường hợp tổng quát theo Polya (1976)
[12]: “Nếu bạn chưa giải được bài toán trong trường hợp tổng quát, bạn hãy giải
bài toán trong trường hợp đặc biệt để có thể nảy ra ý giải bài tốn tổng qt”.
Đặc biệt hóa có thể giúp chúng ta có cơ hội tìm ra lời giải bài tốn. Với
những bài tốn cơ bản, ta có thể tìm ra được lời giải với các thao tác trí tuệ như
thao tác phân tích - tổng hợp, tương tự hóa hoặc so sánh. Tuy nhiên, với các bài
tốn khó, hay với các bài tốn để tìm được lời giải hay và độc đáo ta cần sử dụng
thao tác đặc biệt hóa. Chẳng hạn ta xét các bài tốn sau:
Bài tốn 2.1.1: Cho ABC cân. Từ D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C kẻ DH  AC
(H  AC). Chứng tỏ rằng A  2 HDC .
Hướng dẫn
Đặc biệt hóa bài tốn tìm ra cách giải, giảm tính trừu tượng của bài tốn
Thơng thường với bài tốn khơng có số liệu cụ thể, khi đọc đề học sinh sẽ
thường có suy nghĩ bài tốn rất khó, trong trường này ta có thể hướng dẫn học
sinh tìm lời giải bài toán trong trường hợp đặc biệt. Từ đặc biệt hóa bài tốn, giáo
viên có thể hướng dẫn học sinh giải bài tốn trong trường hợp góc A là một số cụ
thể, chẳng hạn A  700 , ta có thể tính góc CDH và từ đó có thể tính được góc

A   bất kỳ.
Bài tốn đã cho bởi bài tốn sau: Cho ABC cân có A  700 . Từ D là điểm bất kỳ
nằm giữa B và C kẻ DH  AC (H  AC).


17
a) Chứng tỏ rằng A  2 HDC .

b) Hãy chứng minh hệ thức trên không phụ thuộc vào độ lớn của A .

1
2

Biết A  700 nên B  C  (1800  700 )

 B  550
D  3600  (A  B  H1 )

 360 0  (70 0  550  90 0 )  D  1450
Hình 2.1
0

HDC  180  D (Hai góc kề bù)
= 1800 - 1450 = 350  HDC  350
Ta có: A  1700 ; HDC  350  A  2HDC

1
2

Tổng quát: Ta có: B  (1800  A)  900 

A
2

Chứng minh hệ thức không phụ thuộc vào độ lớn góc A, với góc A có số đo tùy ý

HDB  3600  (900  A  B)  3600  (900  A  900 


A
)
2

mà: HDC  1800  HDB  HDB  1800  (3600  1800 

A
A
)
2
2

 A  2HDC (đẳng thức này đúng với mọi góc A).
Bài tốn 2.1.2: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M bất kì bên trong tam
giác đều, kể cả khi M ở trên cạnh của tam giác, đến ba cạnh của tam đều luôn luôn
không đổi.


18
Hướng dẫn
Đặc biệt hóa bài tốn để tìm ra tổng khoảng cách không đổi bằng bao nhiêu?
* Ta xét trường hợp đặc biệt khi M trùng với một trong ba đỉnh của tam giác đều
đã cho (M trùng với A). Khi ấy, trong ba khoảng cách từ M đến ba cạnh có hai
khoảng cách bằng 0 và một khoảng cách bằng chiều cao của tam giác đều (h. 2.2).
Đây là điều dự đoán và là điều gợi cho ta các trường hợp khác.
A

Hình 2.2
B


H

C

* Ta xét trường hợp đặc biệt khác là M nằm trên một cạnh của tam giác đều (M
thuộc AB). Lúc này chỉ có một khoảng cách từ M đến một cạnh bằng 0 (M cách
AB một khoảng bằng 0) và bằng cách vẽ thêm đường phụ MN// BC. Khi đó, tổng
khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đều ABC bằng MH + MK. Mặt khác
MK lại bằng chiều cao của tam giác đều AMN.
Ta suy ra được tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đều ABC
bằng chiều cao của tam giác đều ABC (có giá trị khơng đổi).
A
K
M

B

N

C

H

Hình 2.3


19
Khi M nằm trong tam giác đều ABC, từ hai trường hợp trên điều kiện dự
đoán đã được khẳng định dần. Từ đó, việc đi tìm lời giải chung cho bài toán được
định hướng rõ ràng hơn (h. 2.4).

Chứng minh trong mọi trường hợp tổng khoảng cách không phụ thuộc vị trí điểm
M.
Qua M ta kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC và AB lần lượt tại N và
N’. Khi đó tam giác AN’N là một tam giác đều có M thuộc cạnh NN’. Tương tự
như trường hợp hai ta chứng minh được:
MH + MK +ML có giá trị không đổi và bằng chiều cao của tam giác đều AB.
A

K
L
N'

N
M

B

H

C

Hình 2.4
Bài tốn 2.1.3: Cho tam giác ABC vng cân tại A .Điểm M thuộc cạnh BC .Gọi E và
F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB ,AC.Chứng minh rằng khi M chuyển động
trên BC thì
a) Chu vi của tứ giác MEAF không đổi.
b) Đường thẳng đi qua M và vng góc với EF ln đi qua điểm K cố định.
c) Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC.
Hướng dẫn
a) Chu vi của tứ giác MEAF không đổi



20
Đặc biệt hóa bài tốn để tìm chu vi tứ giác và tìm ra cách giải:
Xét trương hợp đặc biệt, cho M là trung điểm AC suy ra chu vi tứ giác là 2AC. Ta
nghĩ đến việc chứng minh như sau:
Chứng minh trong mọi trường hợp chu vi tứ giác MEAF không đổi bằng 2AC
Xét MEAFL : A  E  F  900 là hình chữ nhật.

 ME  AF;

Q

C

K

MF  AE

Mặt khác : ABC vuông cân nên CFM vuông cân F

 CF  FM  AE

M

P

H

Nên chu vi MEAF = AE + EM + FM + AF

= 2( AF + FM) = 2( AF + FC)

A

= 2AC không đổi vì AC khơng đổi.

E
Hình 2.5

b) Đường thẳng đi qua M và vng góc với EF ln đi qua điểm K cố định
Đặc biệt hóa bài tốn để tìm điểm cố định
Xét trường hợp đặc biệt M trùng B và C, thì đường thẳng qua M vng góc EF là
KB và KC. M là trung điểm BC, khi đó đường thẳng đi qua M chính là KM. Do đó
K cố định.
Chứng minh trong mọi trường hợp điểm có định là điểm K
Ta có điểm K cố định, do đó ta có cách chứng minh như sau:
Gọi K là điểm đối xứng của A qua BC.
Vì ABC vng cân nên AK cũng là đường trung trực của BC
Suy ra : ABKC là hình vng.
Gọi P  FM  BK ; Q  ME  CK ; H là hình chiếu của M xuống EF.

B


21
Suy ra : + MPKQ là hình chữ nhật.
+ MFCQ; MEBP là hình vng.
Xét MFE và KPM :
FM = KP ( = MQ); ME = MP ( 2 cạnh của hình vng MEBP); EMF  P  900
Nên MFE = KPM ( c - g - c)

Suy ra: MEF  KMP
Mặt khác : MEF  EMH  900
Nên MEF  EMH  EMP  1800 hay M; H và K thẳng hàng.
Vậy HM luôn đi qua điểm K cố định hay đường thẳng đi qua M vng góc với EF
ln đi qua điểm K cố định.
c) S KEF  S ABCD   S AEF  SCKF  S BEK 
mà SCKF  S BEK 

1
 CK  CF  KB  EB  =
2

1
1
S
KB   EB  CF   KB  AB  ABCD
2
2
2
Vậy S KEF nhỏ nhất khi S AEF lớn nhất.
Mặt khác: S AEF =

1
AE  AF đạt giá trị lớn nhất khi AE = AF (bất đẳng thức Cô si)
2

Hay Max S AEF =

1
1 AB AB S ABCD

Nên
AE  AF= 


2
2 2 2
8
 S ABCD S ABCD  3S ABCD


8 
8
 2

Min S KEF  S ABCD   S AEF  SCKF  S BEK  = S ABCD  


22
Bài toán 2.1.4: Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi A’,
B’,C’ lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) MA’+MB’+MC’ không đổi.
b) AC’+BA’+CB’ không đổi.
Hướng dẫn
a) MA’+MB’+MC’ khơng đổi
Đặc biệt hóa bài tốn để tìm tổng khoảng cách và định hướng chứng minh:
Xét các trường hợp đặc biệt:
- M trùng A,B,C thì MA’+MB’+MC’ = h (h là chiều cao của tam giác đều).
- M trùng trọng tâm tam giác ABC, thì MA’+MB’+MC’ = h (h là chiều cao
của tam giác đều).
Chứng minh trong mọi trường hợp tổng khoảng cách khơng đổi:

Do đó, để chứng minh bài toán ta nghĩ ngay đến việc kẻ đường cao AH, và
vì 3 đường cao của tam giác đều là bằng nhau nên ta dự đốn chứng minh theo
diện tích tam giác.

Hình 2.6

Đặt AB = BC = CA = a. Kẻ đường cao AH = h. Ta có:
SABC  SMAB  SMBC  SAC


23
Suy ra:

1
1
1
1
1
ah  a.MA ' a.MB ' a.MC '  a.( MA ' MB ' MC ') hay
2
2
2
2
2

MA’+MB’+MC’ = h (h là chiều cao của tam giác đều).
b) AC’+BA’+CB’ không đổi
Đặc biệt hóa bài tốn để tìm tổng khoảng cách và định hướng chứng minh:
Xét các trường hợp đặc biệt:
- M trùng A,B,C thì AC’+BA’+CB’ =


3
a (a là độ dài cạnh của tam giác
2

đều).
- M trùng trọng tâm tam giác ABC, thì MA’+MB’+MC’ =

3
a (a là độ dài
2

cạnh của tam giác đều).
Tổng độ dài trên liên quan đến độ dài cạnh của tam giác. Do đó, để chứng
minh bài tốn ta nghĩ ngay đến việc kẻ qua M các đường thẳng song song với
cạnh của tam giác.
Chứng minh trong mọi trường hợp tổng khoảng cách khơng đổi

Hình 2.7
Qua M kẻ các cạnh song song với các cạnh của tam giác. Dễ thấy tam giác MIJ có
đường cao MA’, tam giác MKL có đường cao MB’, tam giác MPQ có đường cao
MC’. Gọi x,y,z lần lượt là cạnh của các tam giác đều: MIJ, MKL và MPQ ta có:


24
a  AB  AP PQ QB  ML QP MI  x  y z

Do đó ta có: AC ' BA ' CB '  ( AP  PC ')  ( BI  IA ')  (CK  KB ')
z
x

y 3
3
 (y )  (z  )  (x  )  ( x  y  z )  a
2
2
2 2
2

Vậy, MA’+MB’+MC’ =

3
a (a là độ dài cạnh của tam giác đều).
2

Bài tốn 2.1.5: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 . Trên các cạnh AD và
CD, lấy các điểm M, N sao cho AM+CN=AD.
a) Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
b) Gọi P là điểm đối xứng với N qua BC. Chứng minh MP song song với CD.
Hướng dẫn
a) Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
Đặc biệt hóa bài tốn để dự đốn tính chất tam giác:
Xét các trường hợp đặc biệt:
- Khi M trùng A thì N trùng D, tam giác BMN là tam giác BAD đều.
- Khi M trùng D thì N trùng C, tam giác BMN là tam giác BCD đều.
- Khi M trùng trung điểm AD thì N trùng trung điểm CD, tam giác BMN
có BN = BM và góc B bằng 600 nên tam giác BMN đều.
Do đó ta chỉ cần chứng minh tam giác BMN đều bằng cách chứng minh
BN = BM và B bằng 600 .