BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

KHOUNLAVANH PHOLYKHAM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN THƠNG QUA DẠY HỌC
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ CHO HỌC SINH LỚP 9
HỌC YẾU TẠI TỈNH LUÔNG NẬM THÀ (LÀO)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Phú Thọ, năm 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

KHOUNLAVANH PHOLYKHAM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN THƠNG QUA DẠY HỌC
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ CHO HỌC SINH LỚP 9
HỌC YẾU TẠI TỈNH LUÔNG NẬM THÀ (LÀO)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn tốn
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS. Đỗ Tùng

Phú Thọ, năm 2021


i

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu .......................................................................................3
3. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................4
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................4
5. Giả thuyết khoa học .................................................................................................5
6. Nhiệm vụ nghiên cứu ...............................................................................................5
7. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................5
8. Cấu trúc của luận văn...............................................................................................6
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..............................................................7
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán ...............................................................................7
1.1.1. Kĩ năng ...........................................................................................................7
1.1.1.1. Một số quan niệm về kĩ năng ..................................................................7
1.1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng ..............................................................................8
1.1.1.3. Sự hình thành kĩ năng ..............................................................................8
1.1.1.4. Các yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành kĩ năng ...................................9
1.1.2. Kĩ năng giải toán ............................................................................................9
1.1.2.1. Kĩ năng giải toán .....................................................................................9
1.1.2.2. Phân loại kĩ năng giải tốn ....................................................................11
1.1.2.3. Vai trị của kĩ năng giải toán .................................................................15
1.1.3. Một số phƣơng pháp cơ bản trong giải tốn chủ đề phƣơng trình vơ tỉ.......16
1.1.3.1. Giải phƣơng trình vơ tỉ dựa vào phƣơng trình vơ tỉ cơ bản ..................16
1.1.3.2. Giải phƣơng trình vơ tỉ bằng cách đặt ẩn phụ .......................................19
1.1.3.3. Giải phƣơng trình vơ tỉ dựa vào hằng đẳng thức ...................................20

1.1.3.4. Vấn đề kết hợp nghiệm, đối chiếu điều kiện trong giải phƣơng trình vô
tỉ ..........................................................................................................................22
1.2. Một số đặc điểm của học sinh học yếu mơn Tốn ..............................................23
1.2.1. Về học sinh học yếu mơn Tốn ....................................................................23
1.2.2. Đặc điểm của học sinh học yếu mơn Toán ..................................................24


ii

1.2.3. Ngun nhân học sinh học yếu mơn Tốn ...................................................24
1.2.3.1. Nguyên nhân khách quan ......................................................................24
1.2.3.2. Nguyên nhân chủ quan ..........................................................................25
1.3. Thực trạng việc dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ cho học sinh học yếu trong dạy
mơn Tốn lớp 9 tại tỉnh Lng Nậm Thà (Lào) ........................................................25
1.3.1. Mục đích khảo sát ........................................................................................25
1.3.2. Nội dung và phƣơng pháp khảo sát ..............................................................25
1.3.3. Đối tƣợng và địa bàn khảo sát ......................................................................26
1.3.4. Kết quả khảo sát ...........................................................................................26
1.4. Kết luận chƣơng 1 ...............................................................................................33
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH HỌC YẾU THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ ...........34
2.1. Định hƣớng đề xuất biện pháp sƣ phạm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh học yếu trong dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ ...................................................34
2.1.1. Định hƣớng 1 ...............................................................................................34
2.1.2. Định hƣớng 2 ...............................................................................................34
2.1.3. Định hƣớng 3 ...............................................................................................34
2.1.4. Định hƣớng 4 ...............................................................................................34
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh học
yếu thơng qua dạy học giải phƣơng trình vô tỉ ..........................................................35
2.2.1.Biện pháp 1. Tăng cƣờng củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh trong dạy

học giải toán phƣơng trình vơ tỉ .............................................................................35
2.2.1.1. Mục đích của biện pháp.........................................................................35
2.2.1.2. Cơ sở của biện pháp ..............................................................................35
2.2.1.3. Nội dung và cách thực hiện ...................................................................35
2.2.2. Biện pháp 2: Hƣớng dẫn học sinh thực hiện các bƣớc giải toán theo gợi ý
của G.Polya ............................................................................................................41
2.2.2.1. Mục đích của biện pháp.........................................................................41
2.2.2.2. Cơ sở của biện pháp ..............................................................................41
2.2.2.3. Nội dung và cách thực hiện ...................................................................42


iii

2.2.3. Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống bài tập và tổ chức cho học sinh rèn kỹ
năng giải toán phù hợp với học sinh học yếu .........................................................46
2.2.3.1. Mục đích của biện pháp.........................................................................46
2.2.3.2. Cơ sở của biện pháp ..............................................................................46
2.2.3.3. Nội dung và cách thực hiện ...................................................................47
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh thơng qua sửa chữa
những sai lầm thƣờng gặp khi giải phƣơng trình vơ tỉ ...........................................53
2.2.4.1. Mục đích của biện pháp.........................................................................53
2.2.4.2. Cơ sở của biện pháp ..............................................................................54
2.2.4.3. Nội dung và cách thực hiện ...................................................................54
2.3. Thiết kế một số kế hoạch dạy học theo hƣớng rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh học yếu theo đúng kế hoạch phân phối chƣơng trình..................................59
2.3.1. Kế hoạch dạy học 1: .....................................................................................59
2.3.2. Kế hoạch bài học 2: ......................................................................................65
2.4. Kết luận chƣơng 2 ...............................................................................................70
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .....................................................................71
3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................71

3.2. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm .....................................................................71
3.3. Nội dung và phƣơng pháp thực nghiệm .............................................................71
3.4. Tổ chức thực nghiệm ..........................................................................................72
3.5. Kết quả thực nghiệm ...........................................................................................73
3.5.1. Phân tích quan sát.........................................................................................73
3.5.2. Phân tích định lƣợng ....................................................................................74
3.6. Kết luận chƣơng 3 ...............................................................................................78
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................79
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................80
PHỤ LỤC ..........................................................................................................................


iv

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HSY

Học sinh học yếu


KN

Kĩ năng

THCS

Trung học cơ sở


v

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU, BIỂU ĐỒ
Bảng 1.1. Đánh giá của giáo viên khi dạy học chủ đề giải giải phƣơng trình vơ tỉ

26

Bảng 1.2. Những vấn đề giáo viên quan tâm khi dạy học giải bài tập cho học sinh

26

Bảng 1.3. Các sai lầm học sinh hay mắc phải khi giải tốn giải phƣơng trình vơ tỉ

27

Bảng 1.4. Ngun nhân sai lầm của học sinh trong giải phƣơng trình vô tỉ

27

Bảng 1.5. Ý kiến về các giải pháp giúp học sinh học yếu mơn Tốn


28

Bảng 3.1: Kết quả kiểm tra của học sinh

67

Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất kết quả đầu ra

67

Biểu đồ 1.1. Hứng thú học tập của HSY trong chủ đề giải phƣơng trình vơ tỉ

29

Biểu đồ 1.2. Nhận định của HSY về chủ đề giải phƣơng trình vơ tỉ

29

Biểu đồ 1.3. Tài liệu tham khảo

31


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Luật Giáo dục nƣớc Cộng hòa Dân chủ nhân dân Lào số 133/ngày 28 tháng 8
năm 2015 đã quy định: “Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác,

chủ động, tƣ duy sáng tạo của ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lịng say mê học
tập và ý chí vƣơn lên” “phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi
dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của HS trong nhà
trƣờng”[lào].Những quy định trên phản ánh nhu cầu đổi mới phƣơng pháp giáo dục để
giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời mới với thực trạng lạc hậu nói
chung của phƣơng pháp giáo dục hiện nay. Mâu thuẫn này đã làm nảy sinh và thúc đẩy
đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục với định hƣớng đổi mới PPDH đó
là hƣớng vào việc tổ chức cho ngƣời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Định hƣớng này có thể gọi là học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động hay hoạt động hóa ngƣời học.
Đổi mới PPDH mơn Tốn theo hƣớng tích cực hóa hoạt động học tập của HS
nhằm khơi dậy và phát triển khả năng tự học, hình thành cho HS tƣ duy tích cực, độc
lập, sáng tạo, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Có thể kể ra một số
định hƣớng đổi mới PPDH mơn Tốn ở trƣờng phổ thơng hiện nay là: Phát triển tƣ
duy và rèn luyện các hoạt động trí tuệ; Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; Sử dụng đa phƣơng tiện để giải quyết vấn đề, minh họa cho HS tìm tịi từ tình
huống nghiên cứu, phát hiện vấn đề; Bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, phƣơng pháp đọc
sách; Đổi mới phƣơng pháp đánh giá, kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của
trò; Tăng cƣờng các hoạt động hỗ trợ: tự học, chuyên đề, hội thảo, báo cáo, thực hành;
Rèn luyện phong cách hịa nhập với cộng đồng. Nhìn chung tƣ tƣởng chủ đạo của đổi
mới PPDH là: tập trung vào các hoạt động của trị; trị tự nghiên cứu, tìm tịi, khám
phá; tăng cƣờng giao lƣu trao đổi giữa trò và trò. Các định hƣớng này phù hợp với
quan điểm tâm lý học cho rằng hoạt động có ảnh hƣởng trực tiếp tới sự hình thành và


2

phát triển nhân cách, phù hợp với luận điểm cơ bản của giáo dục học Macxít: Con

ngƣời phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động.
Toán học có vị trí quan trọng trong nhà trƣờng và trong cuộc sống. Tất cả các
môn khoa học khác nhau đều nghiên cứu dựa trên nền tảng của toán học. Hiện nay,
đầu tƣ sâu cho bộ mơn Tốn là một trong những mục tiêu giáo dục của nhiều nƣớc trên
thế giới, trong đó có nƣớc Cộng hịa Dân chủ nhân dân Lào.
Toán học là kho tàng tài nguyên phong phú và quý giá; nếu ai đã tìm hiểu, khai
thác sẽ say mê, ham muốn khám phá và hiểu biết nhiều hơn bộ môn này. Những kiến
thức, kĩ năng của môn toán giúp HS phát triển năng lực tƣ duy nhƣ phân tích, tổng
hợp, trừu tƣợng hóa, khái qt hóa,… và rèn luyện những phẩm chất nhƣ tính cẩn
thận, chính xác, kỉ luật, phê phán, sáng tạo… qua đó góp phần hình thành và phát triển
nhân cách cho HS.
Một trong những vấn đề rất cơ bản của Đại số khối THCS là nắm đƣợc các
phƣơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phƣơng trình đó đối với đối tƣợng là
học sinh đại trà. Do vậy, phát triển năng lực giải phƣơng trình vơ tỉ cho HS là một việc
làm rất cần thiết. Tuy nhiên trong thực tế dạy học có nhiều đối tƣợng HS. Với HS khá
giỏi, việc phát triển năng lực giải phƣơng trình vơ tỉ rất thuận lợi; với học sinh học yếu
(HSY) thì việc phát triển năng lực giải phƣơng trình vơ tỉ gặp rất nhiều khó khăn.
Trong chƣơng trình Đại số lớp 9, phƣơng trình vô tỉ là phần nội dung quan
trọng nhƣng không dễ đối với HS trung học cơ sở đặc biệt là với HSY. Vậy làm thế
nào để HSY có thể tiếp thu và thích học tốn? Làm thế nào để giờ học tốn thật sự có
hiệu quả, đem lại niềm say mê, hứng thú cho HS, phát huy đƣợc tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và phát triển năng lực giải tốn của tất cả các em HS nói chung và HSY
nói riêng?
Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê với
bộ môn Tốn, bản thân mỗi ngƣời giáo viên phải tự mình tìm ra PPDH phù hợp với
từng đối tƣợng học sinh, kích thích lịng ham muốn học tập của các em, từ đó giúp các
em HSY có kĩ năng giải phƣơng trình vơ tỉ cơ bản. Vì vậy, tơi chọn Rèn luyện kĩ
năng giải tốn thơng qua dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ cho học sinh lớp 9 học
yếu tại tỉnh Luông Nậm Thà (Lào) làm đề tài luận văn của mình.



3

2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1. Những cơng trình của thế giới và Việt Nam
Một số nghiên cứu về kĩ năng giải toán cho học sinh đã đƣợc đề cập trong các
tác phẩm của nhà Toán học và nhà Giáo dục nổi tiếng G. Polya nhƣ trong cuốn Sáng
tạo toán học (bản dịch), Nxb Giáo dục HàNội (1997) G. Polya có viết: “Trong tốn
học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân
tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhậnđƣợc”. vì vậy việc rèn luyện kĩ năng
giải tốn cho học sinh là rất cần thiết”. G.Polia khẳng định rằng: “Kĩ năng trong toán
học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [20].
Cuốn sách Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục HàNội (1997). Tác giả
G. Polya cũng đề cập đến vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS. Ơng cho rằng:
“Để nắm bắt những khái niệm tốn, HS cần nhiều thời gian hơn, cần số lần lặp lại
nhiều hơn; Nếu đƣợc phát hiện và hỗ trợ kịp thời của GV thì có thể thành cơng trong
học tập mơn tốn. Ở HS yếu Tốn, các kỹ năng mang tính lập luận thƣờng diễn ra
chậm, làm cho việc học toán và nắm bắt, vận dụng những khái niệm mới trở nên khó
khăn”.
Những nghiên cứu của các tác giả về phƣơng pháp dạy học ở Việt Nam cũng rất chú
trọng đến việc hình thành kĩ năng giải tốn cho học sinh yếu kém. Trong cuốn “Phương
pháp dạy học mơn Tốn” của Nguyễn Bá Kim, tác giả đã chia kĩ năng theo các cấp độ khác
nhau (Kỹ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin, Kỹ năng giao tiếp sử dụng các thơng tin
đã có, Kỹ năng áp dụng các thơng tin vào tình huống mới mà khơng cần sự gợi ý, Kỹ
năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng,
Kỹ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu mới,
Kỹ năng phán đoán về giá trị của một tƣ tƣởng, phƣơng pháp, tài liệu nào đó) [5].
Ngồi ra khi nghiên cứu việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh yếu
chúng ta còn bắt gặp rất nhiều những bài báo khoa học nhƣ tác giả Trịnh Thị Phƣơng
Thảo, Hoàng Trọng Duẩn (2018) có bài Ứng dụng mạng xã hội học tập Edmodo hỗ trợ

học sinh yếu học tập toán trong Hội nghị Khoa học Trẻ 2018 Trƣờng ĐH Sƣ Phạm Hà
Nội2 và tác giả Nguyễn Thụy Phƣơng Trâm (2018) có bài Nghiên cứu về học sinh học
chậm ở nước ngoài và những gợi ý áp dụng trong dạy học đối tượng học sinh học


4

chậm mơn Tốn trong nhà trường phổ thơng ở Việt Nam trong Tạp chí khoa học
giáodục.
2.2. Những cơng trình trong nƣớc CHDC Nhân Dân Lào.
Ở nƣớc CHDCND Lào vấn đề nghiên cứu về rèn kĩ năng giải toán cho học sinh
vẫn vơ cùng mới mẻ, hiện nay mới chỉ có một số ít tác giả đề cập đến vấn đề này nhƣ:
Tác giả Phouthong Vongphankham (2016) lại có đề tài nghiên cứu “Rèn luyện
kỹ năng giải bài tập giải tích cho sinh viên trường Cao đẳng Bách Khoa nước
CHDCND Lào”, Luận văn Thạc sỹ Khoa học Giáo dục, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà
Nội. Với mục đích rèn kĩ năng giải tốn Giải tích cho sinh viên Cao đẳng Bách Khoa
nƣớc CHDCND Lào. Trên thực tế việc nghiên cứu về vấn đề này tại nƣớc CHDCND
Lào còn rất hạn chế.
Nhƣ vậy, Trên thế giới và ở nƣớc CHDCND Lào việc rèn kĩ năng giải tốn cho
học sinh là vơ cùng quan trọng trong mỗi nhà trƣờng, mỗi cá nhân giáo viên, học sinh
chính vì vậy hằng ngày vẫn liên tục xuất hiện nhiều nghiên cứu mới về rèn kĩ năng giải
toán. Tuy nhiên, việc đi sâu nghiên cứu về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải tốn thơng
qua dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ cho học sinh lớp 9 học yếu tạinƣớc Cộng hòa Dân
chủ Nhân dân Lào đến nay vẫn chƣa có tác giả nào đề cập một cách chính thức. Đây
cũng chính là cơ hội để chúng tơi khám phá, nghiên cứu nội dung này.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm nhằm bồi dƣỡng kĩ năng giải toán cho HS
lớp 9 học yếu thơng qua dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ, từ đó góp phần nâng chất
lƣợng dạy học mơn Tốn ở các trƣờng THCS tại Lào.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

4.1. Đối tượng nghiên cứu
Các biện pháp nhằm rèn luyện KN giải tốn thơng qua dạy học giải giải phƣơng
trình vơ tỉ cho HS lớp9 học yếu trên địa bàn tỉnh Luông Nậm Thà (nƣớc CHDC Nhân
Dân Lào).
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu tập trung vào việc rèn luyện KN giải tốn thơng qua giải


5

giải phƣơng trình vơ tỉ cho HS lớp 9 học yếu trên địa bàn tỉnh Luông Nậm Thà (nƣớc
CHDC Nhân Dân Lào)
5. Giả thuyết khoa học
Nếu GV chỉ ra đƣợc các kĩ năng giải tốn và có các biện pháp rèn luyện các kĩ
năng trên một cách phù hợp trong dạy học giải giải phƣơng trình vơ tỉ cho HS lớp 9
học yếu thì sẽ giúp các em có hứng thú hơn trong học tốn, góp phần nâng cao chất
lƣợng dạy học trên địa bàn tỉnh Luông Nậm Thà (nƣớc CHDC Nhân Dân Lào).
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về kĩ năng, kĩ năng giảitoán.
- Chỉ ra các kĩ năng giải giải phƣơng trình vơ tỉ cần rèn luyện cho HS.
- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm theo hƣớng rèn luyện kĩ năng giải toán
trong dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ cho HS lớp9 học yếu trên địa bàn tỉnh Luông
Nậm Thà (nƣớc CHDC Nhân Dân Lào).
- Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sƣ phạm đềxuất.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên
cứu, các tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu các vấn đề đổi mới phƣơng pháp dạy học.

- Nghiên cứu nội dung chủ đề giải phƣơng trình vơ tỉ trong mơn tốn lớp 9.
7.2. Phương pháp điều tra và khảo sát thực tiễn
- Trao đổi với GV có nhiều kinh nghiệm trong việc tổ chức các hoạt động dạy
học tốn lớp 9
- Khảo sát, tìm hiểu thực tế dạy học mơn Tốn lớp 9 ở các trƣờng phổ thông tại
tỉnh Luông Nậm Thà
7.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp


6

Nghiên cứu một số trƣờng hợp HS học yếu cụ thể trong khi dạy học giải
phƣơng trình vơ tỉ lớp 9.

7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ở một số tiết học trong chủ đề giải phƣơng trình
vơ tỉ nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phụ lục, luận văn đƣợc cấu trúc thành ba chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh học yếu
thơng qua dạy học giải phƣơng trình vơ tỉ
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm


7

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Kĩ năng

1.1.1.1. Một số quan niệm về kĩ năng
Từ điển Tiếng Việt [1] thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu
nhận đƣợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.
- Theo giáo trình tâm lý học [7] “kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri
thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản
chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác
định”
- Các nhà giáo dục cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin
kiến thức thuần túy và một phần là kĩ năng” [7].
- Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có đƣợc ở bạn để
đạt đƣợc mục đích của mình, kĩ năng cịn có thể đặc trƣng nhƣ tồn bộ thói quen nhất
định, kĩ năng là khả năng làm việc có phƣơng pháp.
Theo Nguyễn Bá Kim [5], kĩ năng có các cấp độ sau:
- Kĩ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin (kĩ năng biết).
- Kĩ năng giao tiếp sử dụng các thơng tin đã có (kĩ năng thông hiểu).
- Kĩ năng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà khơng cần sự gợi ý (kĩ
năng vận dụng).
- Kĩ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa chúng (kĩ năng phân tích).
- Kĩ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên
mẫu mới (kĩ năng tổng hợp).
- Kĩ năng phán đoán về giá trị của một tƣ tƣởng, phƣơng pháp, tài liệu nào đó
(kĩ năng đánh giá).
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức
đã học để đƣợc hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kĩ năng là
khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở
hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi.


8


1.1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng
Khái niệm kĩ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì,
cấu trúc của kĩ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều
kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc
tính bản chất của đối tƣợng, đƣợc thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức
với tƣ cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ
tầm quan trọng của kĩ năng.
- Kĩ năng chỉ có thể đƣợc hình thành và phát triển trong hoạt động.
1.1.1.3. Sự hình thành kĩ năng
Sự hình thành các kĩ năng là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao
tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu đƣợc từ đối
tƣợng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động.
Sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trƣớc hết nhƣ là những sản phẩm của
những tri thức ngày càng đƣợc đào sâu. Các kĩ năng đƣợc hình thành trên cơ sở lĩnh
hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đối tƣợng đang đƣợc
nghiên cứu. Để hình thành kĩ năng trƣớc hết cần phải có kiến thức làm cơ sở cho việc
hiểu biết, tập luyện từng thao tác riêng lẻ cho đến khi thực hiện đƣợc hành động theo
đúng mục đích, yêu cầu. Kĩ năng chỉ đƣợc hình thành thơng qua q trình tƣ duy của
HS để giải quyết vấn đề, nhiệm vụ đặt ra. Có hai cách để thực hiện hình thành kĩ năng
cho học sinh, đó là:
-

Truyền thụ cho HS những tri thức cần thiết rồi sau đó giao cho các em các
nhiệm vụ, các bài toán để vận dụng những tri thức đó. Các em HS sẽ phải
tìm cách giải các bài tốn đó, trong q trình đó có thể gặp nhiều khó khăn,
phức tạp, có thể giải sai nhƣng thông qua thực hiện các nhiệm vụ này, HS
dần tiếp thu và hình thành các kĩ năng giải tốn


-

Dạy cho HS nhận biết các dấu hiệu để từ đó có thể các định đƣợc đƣờng lối
giải một dạng tốn nào đó, một vấn đề nào đó để trên cơ sở đó, các em có


9

thể giải các dạng toán tƣơng tự hay vận dụng đƣờng lối, cách thức thức đó
trong các tình huống khác, vấn đề khác một cách sáng tạo.
Có thể thấy con đƣờng chính của sự hình thành các kĩ năng đó là dạy cho HS
nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối tƣợng, vận dụng vào đối tƣợng những khái
niệm muôn hình, mn vẻ diễn đạt các quan hệ đa dạng của đối tƣợng này trong khái
niệm. Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kĩ năng cho HS bằng nhiều con đƣờng
khác nhau. Chẳng hạn: Con đƣờng dạy học nêu vấn đề, con đƣờng dạy học Algơrit hố
hay dạy học trên cơ sở định hƣớng phát triển năng lực học sinh, dạy học thông qua các
hoạt động giáo dục, …
1.1.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng
Theo các nghiên cứu của các nhà tâm lí học [10, 47], sự hình thành kĩ năng chịu
ảnh hƣởng của các yếu tố sau đây:
- Ảnh hƣởng bởi nội dung các bài tập, các nhiệm vụ đặt ra. Yếu tố này đƣợc
trừu tƣợng hoá sẵn hay bị che phủ bởi các yếu tố phụ gây cho chủ thể gặp khó khăn
trong q trình tƣ duy từ đó ảnh hƣởng đến việc hình thành kĩ năng.
- Ảnh hƣởng bởi tâm thế và thói quen của chủ thể tƣ duy. Nếu chủ thể của hoạt
động có tâm thế khơng tốt, khơng sẵn sàng và tích cực tham gia các hoạt động để từ đó
hình thành các kĩ năng thì việc có đƣợc các kĩ năng mong muốn là điều rất khó.Chính
vì vậy, cần tạo ra tâm thế thuận lợi, sự hứng khởi, sự ham thích để HS có thể dễ dàng
tiếp cận và hình thành kĩ năng.
- Có khả năng khái qt nhìn đối tƣợng một cách tồn thể. Tìm đƣợc mối liên

hệ giữa các yếu tố, sự liên quan giữa các đối tƣợng để thực hiện nhiệm vụ nào đó.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
1.1.2.1. Kĩ năng giải toán
Bàn về kĩ năng giải toán, nhiều tác giả đã đƣa ra quan điểm của mình. Có thể kể
đến một số quan điểm chính nhƣ sau:
- Kĩ năng giải tốn là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài
tập toán (bằng suy luận, chứng minh).
- KN giải bài tập toán học (KN giải toán) là khả năng sử dụng những tri thức
toán học đã học để giải những bài tập toán học.


10

- G.Polia khẳng định rằng: “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài
toán, thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận đƣợc” [20].
Có thể hiểu là: Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức khoa học để
giải các bài toán cụ thể.
Trong các nghiên cứu về kĩ năng giải toán, các tác giả đều thống nhất quan
điểm chung: Trong dạy học toán việc hình thành và phát triển kỹ năng giải tốn là vấn
đề cơ bản và quan trọng. Trong cuốn “Sáng tạo tốn học” của G.Polya có viết: “Kĩ
năng trong tốn học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin
trơn”[20].
Trong luận văn này, trên cơ sở nghiên cứu lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải tốn,
chúng tơi tập trung làm rõ một số kĩ năng thành tố của kĩ năng giải tốn trong q trình
giải phƣơng trình vơ tỉ ở trƣờng phổ thơng. Đó là các kĩ năng:
- Kĩ năng vận dụng lý thuyết: Trên cơ sở các bƣớc giải tốn nói chung, giải
phƣơng trình vơ tỉ nói riêng để HS vận dụng đƣợc vào trong q trình giải các phƣơng
trình vơ tỉ, từ các phƣơng trình cơ bản đến các phƣơng trình phức tạp, từ mức độ đơn
giản đến các mức độ phức tạp, khó hơn; học sinh cũng cần đƣợc rèn luyện để phân

biệt, nhận dạng các bài tốn từ đó tìm đƣợc các phƣơng pháp giải phù hợp.
- Kĩ năng tính tốn: Rèn cho HS kĩ năng tính tốn, xử lí các thơng tin, dữ liệu
để tìm đƣợc nghiệm của bài tốn;
- Kĩ năng biến đổi: Rèn cho HS kĩ năng biến đổi để đƣa phƣơng trình đã cho
thành phƣơng trình tƣơng đƣơng (biến đổi tƣơng đƣơng), tránh các sai lầm mà HS có
thể dễ gặp phải.
Các KN này nằm trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống. Các KN
đều có mối liên hệ chặt chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; KN này là cơ sở hình thành KN kia và
ngƣợc lại; việc hình thành KN sau lại củng cố rèn luyện KN trƣớc đó.
Ví dụ 1.1: Giải phương trình

x2  8x  3  x  3

Học sinh có thể giải bài tốn nhƣ sau
Ta có:
x2  8x  3  x  3  x2  8x  3  x  3


11
 x0
 x2  9x  0  x  x  9   0  
 x  9

Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  0;9
Nhƣ vậy HS đã hiểu sai bản chất về phƣơng trình tƣơng đƣơng. Ta nhận thấy
ngay phƣơng trình x2  8x  3  x  3 chỉ là phƣơng trình hệ quả của phƣơng trình
x2  8x  3  x  3 . Do đó, x  9 là nghiệm của phƣơng trình hệ quả nhƣng khơng

phải là nghiệm của phƣơng trình đã cho, khơng thỏa mãn phƣơng trình phƣơng trình
này.

Để giải quyết bài tốn này u cầu các em phải có KN vận dụng lý thuyết về
phƣơng trình tƣơng đƣơng để phân biệt phƣơng trình tƣơng đƣơng và phƣơng trình hệ
quả. Đồng thời, biết xử lý bài tốn giải phƣơng trình khi trong đó có bƣớc biến đổi
khơng tƣơng đƣơng.
Nhƣ vậy thầy giáo có thể nhấn mạnh lại rằng hai phƣơng trình tƣơng đƣơng là
hai phƣơng trình có cùng tập nghiệm. Và khi giải phƣơng trình trên để xử lý việc biến
đổi khơng tƣơng đƣơng ta có thể đặt điều kiện của căn thức để loại nghiệm hoặc ta sử
dụng việc thử lại, kiểm tra lại để loại đi các nghiệm không thỏa mãn.
1.1.2.2. Phân loại kĩ năng giải tốn
Có nhiều cách phân loại kỹ năng giải tốn nhƣ: Phân loại theo loại bài tập: Kĩ
năng giải bài tập toán học cơ bản, kĩ năng giải bải tập toán tổng hợp. Phân loại theo
mức độ: Mức độ biết làm, mức độ làm thành thạo, mức độ làm một cách mềm dẻo,
linh hoạt, sáng tạo. Ngồi ra ta có thể phân loại KN giải toán theo các mức độ: Chƣa
có kỹ năng, kĩ năng yếu và kĩ năng cơ bản.
Trong luận văn, chúng tơi chia kỹ năng giải tốn thành hai loại, tƣơng ứng với
hai loại bài tập toán học: KN giải bài tập toán học cơ bản và KN giải bài tập toán tổng
hợp.
► Kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản
Kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản có thể hiểu là kỹ năng vận dụng tri thức
vào hoạt động giải các bài toán cơ bản, đã có sẵn các dạng, có sẵn phƣơng pháp giải.
HS chỉ cần áp dụng chính xác các định nghĩa, định lý, tính chất... vào giải quyết các
dạng bài tốn cơ bản đó.


12

x 1  x 1

Ví dụ 1.2. Giải phương trình


Đây là bài tốn dạng cơ bản, đã có sẵn dạng và cơng thức giải, HS chỉ cần có
KN nhận dạng bài tốn và KN trình bày lại lời giải của giải phƣơng trình vơ tỉ cơ bản
là có thể làm đƣợc. Cụ thể HS có thể biến đổi nhƣ sau:
x  1  0
x 1  x 1  
2
x  1  (x  1)
x  1
x  1
 2

x  3x  0 x  3

x3
Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  3
► Kĩ năng giải bài tập toán tổng hợp
Kĩ năng giải bài tập toán tổng hợp đƣợc hiểu là kĩ năng vận dụng tri thức vào
hoạt động giải các bài toán tổng hợp. Lúc này vấn đề then chốt là HS cần có khả năng
lựa chọn các phƣơng pháp giải và các kĩ thuật giải khi thực hiện khi giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.3: Giải phương trình

x  2  3 x2  4  0

Với bài toán này, HS cần biết quan sát, lựa chọn các cách biến đổi để đƣa
phƣơng trình đã cho về giải phƣơng trình vơ tỉ dạng cơ bản. Chẳng hạn nhƣ HS cần
phải có KN tìm điều kiện xác định của phƣơng trình, kĩ năng sử dụng các công thức
biến đổi căn thức.
Cụ thể nhƣ sau:
x  2  0
x2

Điều kiện:  2
x  4  0

Ta có:

x  2  3 x2  4  0
 x  2  3 (x  2)(x  2)  0





 x  2. 1  3 x  2  0


13
x  2
 x2 0


 x  17
 1 3 x  2  0

9







Kết hợp với điều kiện ta đƣợc x  2 .
Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  2
Sau khi đƣa đƣợc phƣơng trình đã cho về phƣơng trình tích tức là sử dụng các
phép biến đổi để đƣa phƣơng trình ban đầu về giải phƣơng trình vơ tỉ cơ bản. Trong
bài tốn này HS cịn cần có KN phân tích nhân tử khi sử dụng công thức biến đổi căn
thức và KN đặt điều kiện sao cho phù hợp, từ đó giải và kết luận đƣợc đúng nghiệm
của phƣơng trình đã cho.
Có thể chia kĩ năng giải toán theo ba mức độ khác nhau:
+ Biết làm: Nắm đƣợc quy trình giải một bài tập tốn học cơ bản nào đó tƣơng
tự nhƣ mẫu nhƣng chƣa nhanh.
+ Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải nhƣ bài mẫu.
+ Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đƣa ra đƣợc những cách giải
ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu dó biết vận dụng vốn kiến thức, KN đã học không
chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả những bài tập tốn học mới.
Ví dụ 1.4. Giải phương trình:√
Với bài tốn này, HS có kĩ năng giải phƣơng trình, biết cách giải sẽ có 2 cách
để thực hiện: Áp dụng công thức để giải hoặc dùng phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ
tỉ cơ bản
Cách 1:
{

√
{
{
{

[

x=1



14

Vậy, x =1 là nghiệm của phƣơng trình
Cách 2. Điều kiện xác định của phƣơng trình: 2 – x ≥ 0  x ≤ 2 (*)


Khi đó: √

[

Đối chiếu với điều kiện (*) ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình là x=1
Học sinh thực hiện đƣợc các bƣớc giải nhƣ trên, thể hiện việc các em biết làm (biết
giải) phƣơng trình vơ tỉ ở mức độ cơ bản.

Ví dụ 1.5. Giải phương trình

x  2  3 x2  4  0

Với bài toán này, HS quan sát, lựa chọn các cách biến đổi, sử dụng bất đẳng
thức để đƣa phƣơng trình đã cho về giải phƣơng trình vơ tỉ dạng cơ bản. Cụ thể nhƣ
sau:
x  2  0
x2
Điều kiện:  2
x  4  0

Ta có:

x  2  3 x2  4  0  x  2  3 (x  2)(x  2)  0






x  2

 x  17
 1 3 x  2  0

9

 x2 0

 x  2. 1  3 x  2  0  





Kết hợp với điều kiện ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình là x =2.
Trong bƣớc tìm lời giải của phƣơng trình, HS nhận biết đƣợc hằng đẳng thức và
thấy đƣợc mối liên hệ giữa hai biểu thức đại số dƣới dấu căn từ đó tách, nhóm các số
hạng để chuyển phƣơng trình đã cho về dạng tích, từ đó chuyển về phƣơng trình cơ
bản đã có cách giải. Điều này thể hiện sự thành thạo trong kĩ năng giải tốn của học
sinh trong q trình giải tốn.
Ví dụ 1.6. Giải phương trình


15


√

√

(1)

Giải phƣơng trình trên:
ĐKXĐ:
Với bài tốn này, HS nếu tuần tự theo các bƣớc bình phƣơng 2 vế để khử căn
thì rất khó khăn, phức tạp, làm xuất hiện phƣơng trình với bậc cao của ẩn x. Chính vì
vậy, cần biết quan sát, lựa chọn các cách làm phù hợp để có thể giải đƣợc phƣơng trình
đã cho. Chẳng hạn nhƣ HS có thể thực hiện theo cách đổi biến nhƣ sau:
Đặt

√

thì

= y ≥0
.

Ta có phƣơng trình
√

(1) 

=2




√
Do y ≥ 0 nên chọn
√
Do đó,

√ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy, nghiệm của phƣơng trình đã cho là

√

Mặc dù, kĩ năng giải tốn chia thành các mức biết làm, làm thành thạo, làm
sáng tạo, mềm dẻo nhƣng trong luận văn này, đối với đối tƣợng nghiên cứu là các
HSY, chúng tôi chỉ hƣớng tới mức độ biết làm và chia nhỏ mức độ biết làm trong KN
giải toán theo ba mức độ nhỏ hơn là: Chƣa có kỹ năng, kĩ năng yếu và kĩ năng cơ bản
để tổ chức dạy học cho phù hợp.
1.1.2.3. Vai trị của kĩ năng giải tốn


16

Dạy học nói chung, dạy học Tốn nói riêng khơng phải chỉ hƣớng tới mục tiêu
trang bị kiến thức cho các em học sinh. Trong dạy học cũng nhƣ trong dạy học tốn sẽ
khơng đạt kết quả nhƣ mong muốn nếu HS chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định
nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng khơng thành thạo các kiến thức
đó vào việc giải bài tập hay vận dụng vào trong thực tiễn. Có thể thấy các bài tập tốn
chính là các vấn đề, các tình huống tốt để GV rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học
sinh, từ đó góp phần hình thành và phát triển tƣ duy cho các em. Và để rèn luyện kỹ
năng giải toán cho các em học sinh, GV cần tăng cƣờng tổ chức các hoạt động trong

dạy học giải toán. Cụ thể hơn, rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS trong dạy học toán
cần quan tâm chú trọng đến một số vấn đề sau:
- Cần hƣớng dẫn cho HS biết cách tìm tịi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hƣớng cho các em biết cách phân
tích đặc điểm, nhận dạng bài tốn.
- Hƣớng cho HS hình thành mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập, các đối
tƣợng cùng loại, cùng dạng.
- Phát hiện và xác lập đƣợc mối liên quan giữa bài tập mơ hình khái qt và các
kiến thức tƣơng ứng gắn liền với mơ hình đó.
1.1.3. Một số phương pháp cơ bản trong giải tốn chủ đề phương trình vơ tỉ
1.1.3.1. Giải phương trình vơ tỉ dựa vào phương trình vơ tỉ cơ bản
Trong khi giải giải phƣơng trình vơ tỉ, thì việc nắm đƣợc các phƣơng trình vơ tỉ
cơ bản là việc hết sức cần thiết, từ đó ta biến đổi phƣơng trình vơ tỉ đã cho về dạng các
phƣơng trình cơ bản và giải chúng. HS sẽ cần sử dụng đến kĩ năng này khi gặp những
bài tốn mà sau khi biến đổi hay phân tích nhân tử sẽ xuất hiện phƣơng trình vơ tỉ cơ
bản. Muốn giải đƣợc các phƣơng trình dạng đó, bắt buộc HS cần tìm cách đƣa về các
phƣơng trình vơ tỉ cơ bản để giải.
Kĩ năng giải toán chủ đề giải phƣơng trình vơ tỉ dựa vào phƣơng trình vơ tỉ cơ
bản có thể đƣợc nhận biết bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ đƣợc các cách giải của các phƣơng trình vơ tỉ cơ bản (Có 2 dạng phƣơng
trình cơ bản là f  x   g  x  và f  x   g  x  ).


17

- Có khả năng quan sát, nhận biết những phƣơng trình có thể “đƣa về” phƣơng
trình vơ tỉ cơ bản bằng cách sử dụng các công thức biến đổi căn thức.
Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau:
Cấp độ


Biểu hiện
Không biết các giải phƣơng trình vơ tỉ cơ bản, khơng biết

Chƣa có kĩ năng

cách giả những dạng PT này, không biết các công thức biến đổi
căn thức.

Kĩ năng yếu

Có thể nhận ra các giải phƣơng trình vơ tỉ cơ bản. Tuy nhiên
cịn thƣờng xun nhầm lẫn trong q trình biến đổi, tính tốn.
Có thể nhận ra các giải phƣơng trình vơ tỉ cơ bản. Nắm đƣợc

Kĩ năng cơ bản

cách giải các dạng PT này. Biến đổi tính tốn thành thạo, ít nhầm
lẫn.

Ví dụ 1.7: Giải phương trình:

2x  1  2  x

Nhậnxét: Phƣơng trình trên là một phƣơng trình vơ tỉ cơ bản, với bài tốn này
học sinh yếu chƣa có kĩ năng thƣờng không biết cách làm, hoặc nếu biết cách làm thì
khơng thuộc hằng đẳng thức trong khi khai triển
Đối với học sinh có kĩ năng yếu thì nắm đƣợc cách giải phƣơng trình này tuy
nhiên khi biến đổi cịn nhầm, khi kết luận nghiệm còn quên chƣa đối chiếu.
Đây là dạng giải phƣơng trình vơ tỉ f  x   g  x  với cách giải tổng quát nhƣ sau:
2


f  x   g  x 
f  x  g x  

 g  x  0

Nếu ta chỉ bình phƣơng 2 vế thì sau khi tìm đƣợc nghiệm ta cần có thêm bƣớc
thử lại để loại nghiệm.
Lời giải chuẩn của bài toán nhƣ sau
2x  1   2  x 2
2x  1  4  4x  x 2
2x  1  2  x  

x2

2x 0



18


 x  1
x 2  6x  5  0  

 x  5  x  1
x2


x2



Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là S  1

x  7  8  2x  1 (1)

Ví dụ 1.8: Giải phƣơng trình:

Phân tích và trình bày lời giải:
Đây là một bài tốn u cầu giải phƣơng trình vơ tỉ
► Nhận xét 1: Ta nhận thấyphƣơng trình vơ tỉ này chƣa có dạng giải phƣơng
trình vơ tỉ cơ bản cần phải có những bƣớc biến đổi căn thức để đƣa về đƣợc phƣơng
trình cơ bản.
► Nhận xét 2: Phƣơng trình này nếu chuyển vế của

8  2x ta sẽ đƣợc một

phƣơng trình với 2 vế cùng dƣơng và dễ dàng bình phƣơng 2 vế.
Phƣơng trình sẽ đƣợc giải nhƣ sau:
 x7  0
x  7

 7  x  4
8  2x  0
 x4

Trước hết ta có Đkxđ của phương trình là 

(1) x  7  8  2x  1  x  7  1  8  2x





x7

  1 
2

8  2x



2

 x  7  1  8  2x  2 8  2x

 3x  2  2 8  2x
đây là một phƣơng trình cơ bản.
Sau khi đã đƣa đƣợc về phƣơng trình cơ bản ta sẽ giải tiếp nhƣ sau



2

 3x  2   2 8  2x
 3x  2  2 8  2x  

3x  2  0





2

9x 2  12x  4  4  8  2x  9x 2  4x  28  0




2
2
x
x


3

3
