UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

BẠCH VĂN TUẤN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGƠN NGỮ
TỐN HỌC CHO HỌC SINH THPT THƠNG QUA
DẠY HỌC GIẢI TÍCH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trịnh Thị Phương Thảo

PHÚ THỌ, 2018


i
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, đƣợc hồn
thành với sự hƣớng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số liệu, kết
quả đƣợc trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa học của luận
văn chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ cơng trình nghiên cứu nào khác.
Phú Thọ, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Bạch Văn Tuấn


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của TS. Trịnh
Thị Phƣơng Thảo - Giảng viên trƣờng ĐHSP Thái Nguyên. Em xin đƣợc bày tỏ lời
cảm ơn sâu sắc đến cô, ngƣời đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt quá trình
thực hiện luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Tốn, Phịng Đào tạo sau
Đại học trƣờng Đại học Hùng Vƣơng đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt
quá trình học tập và làm luận văn.
Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Toán và các em HS
khối 11 trƣờng THPTPhong Châu, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ đã giúp đỡ tạo
điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị
học viên lớp K1 – Cao học khóa 1 chuyên ngành Lý luận và Phƣơng pháp dạy học
bộ mơn Tốn - Đại học Hùng Vƣơng đã ln động viên khích lệ, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Do khả năng và thời gian có hạn, mặc dù đã cố gắng trong nghiên cứu đề tài
và trình bày luận văn, song luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất
mong nhận đƣợc sự góp ý của Hội đồng phản biện khoa học, quý thầy cô giáo và
các bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện.
Em xin chân thành cảm ơn!
Phú Thọ, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Bạch Văn Tuấn


iii

MỤC LỤC


LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. ii
MỤC LỤC .................................................................................................................. iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ..................................... v
DANH MỤC BẢNG ................................................................................................. vi
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ............................................................................................ vii
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................... 5
1.1. Ngơn ngữ tốn học ............................................................................................... 5
1.1.1. Quan niệm về ngơn ngữ tốn học ..................................................................... 5
1.1.2. Chức năng của ngơn ngữ tốn học .................................................................... 6
1.2. Năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học ................................................................ 11
1.2.1. Quan niệm về năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học ....................................... 11
1.2.2. Biểu hiện của năng lực sử dụng ngôn ngữ tốn học ở học sinh trung học phổ
thơng .......................................................................................................................... 11
1.2.3. Các cấp độ sử dụng ngơn ngữ tốn học của học sinh ..................................... 14
1.3. Khái quát về nội dung, chƣơng trình Giải tích lớp 11 ở trƣờng Trung học phổ
thơng .......................................................................................................................... 16
1.3.1. Nội dung chƣơng trình giải tích lớp 11 ........................................................... 16
1.3.2. Hệ thống thuật ngữ toán học trong chƣơng trình lớp giải tích 11 ................... 17
1.4. Thực trạng việc phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học ở các trƣờng
trung học phổ thông .................................................................................................. 18
1.4.1. Mục đích điều tra ............................................................................................ 18
1.4.2. Phƣơng pháp và đối tƣợng điều tra ................................................................. 18
1.4.3. Kết quả điều tra ............................................................................................... 18
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1............................................................................................ 26


iv
CHƢƠNG 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TỐN

HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI TÍCH LỚP 11 ......... 27
2.1. Định hƣớng đề xuất biện pháp sƣ phạm phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ
tốn học cho học sinh thơng qua dạy học giải tích lớp 11 ........................................ 27
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học
cho học sinh thơng qua dạy học giải tích lớp 11 ....................................................... 27
2.2.1. Biện pháp 1: Tổ chức cho học sinh các hoạt động nhận biết, hiểu và sử dụng
đúng ngôn ngữ về các đối tƣợng, quan hệ và các bƣớc biến đổi toán học ............... 27
2.2.2. Tăng cƣờng các hoạt động nghe hiểu, đọc hiểu (các văn bản, mô hình, sơ đồ,
hình vẽ,..) và ghi chép (nội dung nghe hiểu, đọc hiểu) bằng ngơn ngữ tốn học ..... 35
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ......................................................... 50
3.1. Mục đích và kế hoạch thực nghiệm sƣ phạm ..................................................... 50
3.1.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................... 50
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm .................................................................................... 50
3.2.1 Nội dung thực nghiệm ...................................................................................... 51
3.2.2. Nội dung đánh giá ........................................................................................... 51
3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ........................................................................ 58
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3............................................................................................ 70
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................
PHỤ LỤC


v
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
STT

Viết tắt

Viết đầy đủ


1

ĐC

Đối chứng

2

GV

Giáo viên

3

HĐ

Hoạt động

4

HS

Học sinh

5

NL

Năng lực


6

NNTN

Ngôn ngữ tự nhiên

7

NNTH

Ngôn ngữ toán học

8

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

9

SBT

Sách bài tập

10

SGK

Sách giáo khoa


11

STK

Sách tham khảo

12

TN

Thực nghiệm

13

TVTH

Từ vựng tốn học

14

THPT

Trung học phổ thơng

15

VD

Ví dụ



vi

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.4: Những vấn đề khó khăn của GV khi dạy học phát triển NL sử dụng
NNTH ........................................................................................................................ 20
Bảng 1.5: Một số biện pháp đề suất của GV trong việc dạy học phát triển NNTH.. 21
Bảng 1.6: Các sai lầm HS thƣờng mắc phải khi sử dụng NNTH ............................. 21
Bảng 2.1: Mức độ hiểu về NNTH của HS ................................................................ 22
Bảng 2.2: Em hãy đánh giá về mức độ hiểu về các TVTH của em trong chƣơng
trình giải tích lớp 11 .................................................................................................. 23
Bảng 2.3. Trong các tiết học em đã thấy các thầy( cô) tổ chức các hoạt động nào sau
đây ............................................................................................................................. 23
Bảng 2.4. Những khó khăn của em trong việc sử dụng NNTH ................................ 23
Bảng 2.5. Em có kiến nghị gì về vấn đề phát triển NNTH trong nhà trƣờng THPT 24
Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng .......... 59
Bảng 3.2 : Bảng phân bố tần suất kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng ......................................................................................................................... 59
Bảng 3.3 Phân loại kết quả học tập ........................................................................... 60


vii
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Quan điểm của GV về vấn đề phát triển khả năng sử dụng NNTH ..... 19
Biểu đồ 1.2. Trong quá trình dạy học GV đã có quan tâm tới sự phát triển NL sử
dụng NNTH cho HS hay chƣa .................................................................................. 19
Biểu đồ 1.3. Những vấn đề GV quan tâm khi dạy học phát triển ngôn ngữ cho HS 20
Biểu đồ 3.1 So sánh tần suất điểm kiêm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 59



1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc đổi mới của đất nƣớc hiện nay, ngành Giáo dục và Đào tạo
đang đứng trƣớc những nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề một trong những nhiệm
vụ đó là tạo ra những con ngƣời toàn diện về cả tri thức và nhân cách đáp ứng đƣợc
yêu cầu của sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc. Để thực hiện nhiệm
vụ này, giáo dục không chỉ cần quan tâm tới việc đổi mới mục tiêu, nội dung
chƣơng trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta cũng quan tâm nhiều đến
đổi mới phƣơng pháp dạy học. Từ các cấp lãnh đạo Đảng, Nhà nƣớc, lãnh đạo các
cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các nhà giáo đều khẳng
định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới phƣơng pháp dạy học nhằm
nâng cao chất lƣợng của giáo dục toàn diện của nhà trƣờng. Điều này đã đƣợc đƣa
ra trong Luật giáo dục: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, tư duy sáng tạo của người học; phát triểncho người học năng lực tự học,
khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên". Chính vì vậy, hơn lúc
nào hết, giáo dục cần nỗ lực để bắt kịp với yêu cầu đổi mới của đất nƣớc, nhằm tạo
ra con ngƣời phát triển về mọi mặt, khơng những có kiến thức mà còn biết sử dụng,
diễn đạt kiến thức đó vào thực tế và cơng việc. Với nhiệm vụ đó, ở các trƣờng
THPT, đi đơi với việc phát triển nhân cách con ngƣời, khả năng tƣ duy cho học
sinh thì việc phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ phù hợp với từng chun ngành
cũng đóng vai trị quan trọng.
Ngơn ngữ tốn học đóng vai trị là cơng cụ kết nối trực tiếp từ kiến thức, kĩ
năng, kĩ xảo, là cầu nối của tri thức toán học tới học sinh và là công cụ để học sinh
đƣa ra sáng kiến, kinh nghiệm của bản thân trong bộ mơn tốn. Đã có nhiều cơng
trình nghiên cứu về ngơn ngữ tốn học, chức năng của ngơn ngữ tốn trong việc
giảng dạy mơn tốn. Trong các chức năng của ngơn ngữ tốn, chức năng giao tiếp
toán học và biểu diễn toán học đã đƣợc khai thác trong quá trình dạy học và nghiên
cứu các phƣơng pháp dạy học.



2
Vấn đề bồi dƣỡng và phát triển khả năng sử dụng ngơn ngữ tốn học đã đƣợc
nhiều tác giả trong nƣớc và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu.
Theo Hoàng Chúng [6]: "Dạy học Tốn, xét về mặt nào đó là dạy học một
ngơn ngữ, một ngơn ngữ đặc biệt, có tác động to lớn trong việc diễn tả các sự kiện,
các phƣơng pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực
tiễn". Tác giả Nguyễn Bá Kim [11] cho rằng: “Trong toán học, ngƣời ta phân biệt
cái kí hiệu và cái đƣợc kí hiệu, cái biểu diễn và cái đƣợc biểu diễn. Nếu xem xét
phƣơng diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và
những qui tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phƣơng diện cú
pháp. Nếu xem xét phƣơng diện những cái đƣợc kí hiệu, những cái đƣợc biểu diễn,
tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó
là phƣơng diện ngữ nghĩa”. Ngoài ra các tác giả trong nƣớc nhƣ Phạm Văn Hồn,
Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình.. cũng có những đóng góp nghiên cứu về đề tài
ngơn ngữ.
Tuy nhiên thực tế hiện nay, đa số các GV chƣa thật sự quan tâm đến năng lực
sử dụng ngơn ngữ tốn học của học sinh, còn thiên vị về cung cấp tri thức mà chƣa
quan tâm những học sinh đó có thực sự hiểu, diễn đạt đƣợc các tri thức đó một cách
trọn vẹn hay không. Dẫn đến học sinh học một cách rập khuân, máy móc, bị động
lúng túng khi gặp một số bài tốn sử dụng nhiều kí hiệu tốn học.
NNTH có mối liên hệ chặt chẽ với mơn tốn, là cơng cụ để học tập, nghiên
cứu mơn tốn trong nhà trƣờng phổ thông. Tuy nhiên trong SGK cũng nhƣ trong
dạy học Giải tích lớp 11 hiện nay chƣa chú ý đúng mức và quan tâm tới việc làm rõ
mối liên hệ NNTH với DH toán, nhằm phát triển cho học sinh ý thức và năng lực
vận dụng NL sử dụng NNTH vào việc học tập, nghiên cứu, giải quyết các tình
huống đƣợc đặt ra trong quá trình DH. Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Giải tích
lớp 11 ở nhà trƣờng THPT cho thấy rằng, đa số các GV chỉ quan tâm tới việc truyền
thụ lý thuyết mà chƣa thật sự quan tâm đúng mức tới sự phát triển NL sử dụng
NNTH của HS.



3
Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài:"Phát triển năng lực sử dụng ngơn
ngữ tốn học cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải tích lớp 11".
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về năng lực sử dụng NNTH, thực trạng sử dụng NNTH
của học sinh THPT từ đó đề xuất một số biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển NL sử
dụng NNTH cho học sinh thơng qua dạy học giải tích lớp 11.
3. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ tốn
học cho học sinh thơng qua dạy học Giải tích lớp 11.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 11 trên địa bàn tỉnh Phú Thọ.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc một số biện pháp sƣ phạm phù hợp nhằm rèn luyện kĩ
năng sử dụng NNTH cho HS trong dạy học Giải tích lớp 11 THPT thì có thể nâng
cao năng lực sử dụng NNTH cho HS, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn
Tốn lớp 11 ở trƣờng THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực sử dụng ngơn
ngữ tốn học.
- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển năng lực sử dụng ngơn
ngữ tốn học cho học sinh THPT thơng qua dạy học giải tích lớp 11.
- Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sƣ phạm đề xuất.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học, năng lực sử dụng ngơn
ngữ tốn học.
6.2. Phương pháp điều tra và khảo sát thực tiễn

- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn
học nhằm phát hiện vấn đề nghiên cứu.


4
- Trao đổi với giáo viên có nhiều kinh nghiệm để tìm hiểu về cách thức phát
triển năng lực ngơn ngữ tốn học trong q trình dạy học.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Nghiên cứu trường hợp: Theo dõi, phân tích và đánh giá năng lực ngơn ngữ
tốn học của một số HS tham gia thực nghiệm sƣ phạm để thấy rõ tác động của các
tác động sƣ phạm đối với các đối tƣợng HS.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để kiểm chứng tính
khả thi và hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung chính của luận văn đƣợc trình bày trong ba chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ tốn học cho học sinh thơng
qua dạy học giải tích lớp 11.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.


5
CHƢƠNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Ngôn ngữ tốn học
1.1.1. Quan niệm về ngơn ngữ tốn học
Một số quan niệm về ngơn ngữ tốn học
Theo Raymond Duval và cộng sự [17], NNTH bao gồm ngơn ngữ, các kí hiệu
tƣợng trƣng, hình ảnh trực quan. Cùng quan điểm đó Phạm Văn Hồn [7], Hà Sĩ Hồ
[8] mơ tả NNTH đƣợc tạo bởi các ký hiệu toán học (chữ số, chữ cái, dấu phép tính,

dấu quan hệ) và ngơn ngữ viết.
Theo Hoàng Chúng [6], Nguyễn Bá Kim [13] trong dạy học mơn tốn các
hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, cơng thức là một dạng NNTH cần đƣợc hình thành và
có vai trị rất lớn trong việc rèn luyện HS.
Theo Trần Ngọc Bích [4] “ NNTH bao gồm các thuật ngữ (từ, cụm từ), kí
hiệu, biểu tƣợng và các quy tắc kết hợp giữa chúng. Dùng làm phƣơng tiện để diễn
đạt nội dung tốn học một cách chính xác, rõ ràng và lơgic. Kí hiệu gồm chữ số,
chữ cái, dấu các phép tốn, dấu quan hệ, kí tự alphabetic, và các dấu ngoặc đƣợc
dùng trong toán học. Biểu tƣợng gồm hình vẽ, sơ đồ , hình ảnh, hoặc mơ hình của
đối tƣợng cụ thể”.
Từ quan niệm về NNTH nhƣ trên, có thể cho rằng: NNTH bao gồm mơ hình
trực quan (hình ảnh, hìnhvẽ, sơ đồ, biểu bảng,...), các kí hiệu toán học; thuật ngữ
toán học; biểu thị các nội dung toán học; các từ, cụm từ của NNTN
đƣợc kết hợp theo các ngun tắc nào đó để biểu đạt chính xác nội dung tốn học.
Trong đó :
- Mơ hình trực quan là hình ảnh, hình vẽ, biểu đồ, sơ đồ hoặc mơ hình biểu
hiện đối tƣợng cụ thể
- Kí hiệu tốn học là chữ số, chữ cái dấu phép tính, dấu quan hệ, ...
- Thuật ngữ toán học là các từ, cụm từ tên gọi các khái niệm, định nghĩa,.. có
tính hệ thống, đơn nghĩa và tính quốc tế.
Ngơn ngữ tốn học là sự cải tiến ngơn ngữ tự nhiên theo những đặc điểm sau :
- Khắc phục sự cồng kềnh của NNTH;


6
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của NNTH;
- Loại bỏ sự đa nghĩa của NNTH.
Theo các tác giả Phạm Văn Hồn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình [10]
NNTH khác với NNTH ở chỗ:
“Thứ nhất, trong NNTH một dấu, chữ số, chữ cái, dấu phép tính, hay dấu

quan hệ biểu thị điều mà NNTH phải dùng đến từ hay một kết hợp từ mới biểu thị
đƣợc, điều đó làm cho NNTH gọn gàng hơn so với NNTH.
Thứ hai, mỗi ký hiệu toán học hoặc một kết hợp các ký hiệu đều có một nghĩa
duy nhất, điều đó làm cho NNTH có khả năng diễn đạt chính xác tƣ tƣởng tốn học
hơn hẳn NNTH (đơi khi ta gặp những từ hoặc cụm từ có nhiều nghĩa).
Thứ ba, trong NNTH có dùng đến ngôn ngữ biến (biểu thị nhiều đối tƣợng
trong một quan hệ nào đó) điều đó cho phép ngơn ngữ tốn học rất thích hợp để
diễn đạt khái qt các quy luật chung”.
Ngơn ngữ tốn học có tính quốc tế nên rất thuận lợi trong giao lƣu toán học
giữa các nƣớc trên thế giới.
1.1.2. Chức năng của ngôn ngữ tốn học
NNTH có hai chức năng cơ bản của ngơn ngữ: chức năng giao tiếp và chức
năng tƣ duy.
a) Chức năng giao tiếp
Chức năng giao tiếp của NNTH đã giúp con ngƣời hiểu biết hơn về toán học,
sáng tạo kiến thức toán học và đƣa ra phƣơng pháp giải quyết các vấn đề tốn học
mà khơng có sự hạn chế nào về ngơn ngữ, khơng gian, hình thức giao tiếp.
Ví dụ 1.1. Xét tình huống HS thảo luận nhóm, lập luận để tìm hướng giải
quyết cho bài tốn sau:
“Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh (3 nam,
3 nữ) để ghép thành 3 đơi để biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép?”
Pha 1: Các nhóm đƣa ra kết quả của nhóm


7
Hoạt động 1: Các nhóm tiến hành thảo luận và đưa ra kết quả
Nhóm 1

A123 . A103 (cách)


Nhóm 2

3

C123 . C10

1
(cách)
2

Nhóm 3

3

3

Nhóm 4

3

3

3!.3!. C12 . C10 (cách) 3!. C12 . C10 (cách)

Pha 2: Do có nhiều kết quả khác nhau nên ta tiến hành thảo luận giữa các
nhóm để tìm ra kết quả đúng
Các nhóm đƣa ra kết quả

Nhận xét của các nhóm


Nhóm 1: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Nhóm 2 lập luận nhóm 1 đã quan tâm tới
3
là A12 (cách)

3
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là A10

việc sắp thứ tự cho 3 bạn nam và 3 bạn
nữ nên gặp sai lầm trong tính tốn

(cách)
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là:

A123 . A103 (cách)
Nhóm 2:Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Nhóm 4 cho rằng nhóm 2 chƣa quan tâm
3
là C12 (cách)
3
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C10

tới sự hốn đổi vị trí của các cặp nhảy
trong số các bạn đƣợc chọn nên lời giải
của nhóm 2 là chƣa chính xác

(cách)
Vậy số cách chọn 3 đơi nam nữ là:

C123 . C103 (cách)
Trong số 3 cặp nam nữ vẫn có thể đổi
chỗ cho nhau nên chúng ta phải tính

thêm số cách chọn trong 3 cặp năm nữ
3
3
này bằng phép tính: C12 . C10 ( cách)

Nhóm 3:Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Nhóm 2,4 chỉ ra rằng trong số các kết


8
3
là C12 (cách)
3
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C10

(cách)
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3
3
12

3
10

nữ là: C . C (cách)

quả của việc hoán vị giữa các cặp đã có
sự trùng lặp
Giả sử trong số 3 bạn nam: A; B; C và 3
bạn nữ: (a; b; c) thì khi hốn vị cả 3 nam
(C; A; B) và 3 nữ (c; a; b) thì ắt hẳn sẽ
trùng với cách ban đầu (Aa; Bb; Cc)


Trong 6 học sinh chọn ra thì có có 3 nam nên kết quả của nhóm 3 cũng chƣa chính
và 3 nữ, sau đó ta hốn đổi vị trí cho 3 xác
nam và 3 nữ.
Vậy số cách chọn thoả mãn là:
3
3
3!.3!. C12 . C10 (cách)

Nhóm 4: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ Sau khi xem phân tích và lời giải của
3
là C12 (cách)
3
Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C10

nhóm 4 các nhóm cịn lại đều thấy đƣợc
sự thiếu xót trong tính tốn và thiếu
chính xác trong lập luận của mình

(cách)
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3
3
3
nữ là: C12 . C10 (cách)

Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách)
ghép giữa các đơi nhảy với nhau (là
hoán vị của 3 học sinh nam hoặc 3 học
sinh nữ)
Vậy số cách chọn thoả mãn là:

3

3

3!. C12 . C10 (cách)
Nhận xét: Nếu nhƣ khơng trình bày bằng ngơn ngữ một cách rõ ràng thì
nhìn vào cách nào cũng nghe có vẻ hợp lý. Nhƣng khi trình bày 4 lời giải, một số
nhóm khơng đƣa ra đƣợc sự chính xác về lập luận,nhóm có lập luận đúng đắn và
khả năng trình bày bằng ngơn ngữ tốt sẽ có thể lập luận tốt nhất để thuyết phục các


9
nhóm cịn lại. Ở đây chức năng giao tiếp của NNTH đƣợc thể hiện qua việc các
nhóm đã dùng NNTH để thể hiện lời giải của mình, dùng NNTH để lập luận đƣa ra
sự thiếu chính xác hay sai lầm trong lời giải của nhóm khác.
b) Chức năng tƣ duy
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ Dƣơng Thụy [11] ''Do đặc điểm của
khoa học Tốn học, mơn Tốn có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn
luyện cho học sinh tƣ duy lôgic. Nhƣng tƣ duy khơng thể tách rời ngơn ngữ, nó phải
diễn ra dƣới hình thức ngơn ngữ, và đƣợc hồn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của
con ngƣời và ngƣợc lại, ngôn ngữ đƣợc hình thành nhờ có tƣ duy''
NNTH là phƣơng tiện, cơng cụ tƣ duy của tốn học. NNTH tham gia vào
việc tƣ duy tốn học. Các hình thức cơ bản của tƣ duy tốn học đều đƣợc biểu đạt
thơng qua NNTH. Chính vì vậy để thực hiện đƣợc tƣ duy tốn học ta cần có NNTH.
Các thao tác tƣ duy toán học đƣợc hiểu là các thao tác tƣ duy tiến hành trên
đối tƣợng toán học, quan hệ toán học và nội dung toán học. Các thao tác tƣ duy bao
gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự hóa, khái qt hóa, ... [14], Thơng qua
NNTH HS mới có thể thể hiện các thao tác tƣ duy.
Ví dụ 1.2. Xét tình huống HS tìm lời giải cho bài toán sau:
Hoạt động của GV


Hoạt động của HS

Biểu hiện của các thao tác
tƣ duy thông qua NNTH

Em hãy giải bài tốn sau:
Cho

tập

Gọi số tự nhiên có 5 chữ Trong lời giải bài toán HS

hợp số khác nhau đƣợc lập từ cần thể hiện các thao tác

A  0;1;2;3;4;5 ,từ A có tập A là: a1a2 a3a4 a5 , a1  0
thể lập đƣợc bao nhiêu số Số cách chọn a1 có 5 cách
tự nhiên gồm 5 chữ số Số cách chọn a a a a là
2 3 4 5
khác nhau , trong đó nhất
số chỉnh hợp chập 4 của 5
thiết phải có mặt chữ số 0
4
có A5 (cách)
và 3?
4

Suy ra : có 5. A5 = 600

tƣ duy nhƣ phân tích đề

bài, so sánh, tổng hợp...


10
(số)
Trong 600 số trên thì:
Số khơng có chữ số 0
đƣợclập

từ

A1  1;2;3;4;5

tập
là

số

hốn vị của 5 có:

P5 = 120 (số)
Vậy theo u cầu bài tốn
ta có :
600 - (120 + 96) = 384
(số)
Nhận xét: Trong ví dụ trên HS cần phân tích đƣợc u cầu của bài tốn là từ
6 số tự nhiên phân biệt cho trƣớc cần lập ra tất cả các số có 5 chữ số khác nhau.
HS cần tổng hợp lại thế nào là số có 5 chữ số khác nhau, phân biệt giữa số có
5 chữ số khác nhau và số có 5 chữ số. Theo bài làm trên ta thấy HS đã tƣ duy nhƣ
sau: thay vì phải xét các trƣờng hợp riêng lẻ nhƣ số có số 0 đứng đầu, số có số 3 và

số 0 HS đã lựa chọn phƣơng pháp loại trừ. Tức là các em xét có tất cả bao nhiêu số
có 5 chữ số đƣợc lập nên bởi 6 chữ số. Sau đó chỉ cần xem xét trƣờng hợp số khơng
có chữ số 0 và chữ số 3. Cách làm này đã thể hiện tƣ duy sáng tạo của HS ( khơng
đi vào lối mịn), ngồi ra ta cịn thấy cịn có các thao tác khác nhƣ tƣơng tự hóa,
khái quát hóa( tổng qt lại cách giải bài tốn với mục đích sử dụng trong việc giải
các bài tốn tƣơng tự).
1.1.3. Các hoạt động sử dụng ngơn ngữ tốn học
Có nhiều cách phân dạng các hoạt động sử dụng NNTH, trong luận văn này
chúng tôi quan niệm các hoạt động sử dụng NNTH bao gồm:
a) Sử dụng NNTH trong giao tiếp, học tập Tốn
- Sử dụng NNTH để tóm tắt đƣợc ý chính khi nghe thầy hoặc bạn trình bày;


11
- Sử dụng NNTH để trình bày một vấn đề hấp dẫn nhờ sử dụng các loại ngôn
ngữ và các phƣơng tiện kĩ thuật;
- Sử dụng NNTH để trình bày sáng sủa một bài tốn nhờ sử dụng chính xác
thuật ngữ, kí hiệu, liên kết logic, các quy tắc suy luận;
- Sử dụng NNTH để phát biểu một định nghĩa, một định lí theo các ngơn
ngữ, các cách khác nhau;
- Sử dụng NNTH để vẽ hình, vẽ đồ thị, vẽ biểu đồ, lập bảng một cách trực
quan và đẹp;
b) Sử dụng NNTH để chuyển đổi NNTN và ngược lại
- Sử dụng NNTH để mơ hình hóa các vấn đề thực tế và giải quyết vấn đề đó.
- Chuyển đổi đƣợc từ NNTH sang NNTN.
1.2. Năng lực sử dụng ngôn ngữ tốn học
1.2.1. Quan niệm về năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học
Trong luận văn này chúng tơi sử dụng theo quan điểm của Thái Huy Vinh
[16] NL sử dụng NNTH có thể đƣợc thể hiện qua các kỹ năng nhƣ:
+ Có vốn TVTH (hay cịn gọi là vốn từ toán học) tối thiểu để đáp ứng nhu

cầu học tập;
+ Nắm vững ngữ nghĩa, cú pháp của các vốn TVTH;
+ Sử dụng chính xác NNTH trong giao tiếp, học tập Tốn; có kĩ năng nghe
Tốn, nói Tốn, đọc Tốn, viết Toán một cách thành thạo theo yêu cầu chuẩn kiến
thức, kĩ năng, mức độ quy định;
+ Vận dụng chuyển đổi linh hoạt NNTH sang NNTN và ngƣợc lại;
+ Tăng cƣờng, mở rộng và phát triển vốn TVTH đã có của mình;
+ NNTH từng bƣớc trở thành vốn tri thức tốn học, phẩm chất, năng lực toán
học của mỗi HS.
1.2.2. Biểu hiện của năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học ở học sinh trung học
phổ thông
Nhƣ vậy, theo chúng tôi NL sử dụng NNTH gồm các biểu hiện sau:
+ HS có vốn từ vựng tốn học tối thiểu để đáp ứng nhu cầu học tập; đồng


12
thời nắm vững ngữ nghĩa, cú pháp của các vốn TVTH đó;
+HS có NL sử dụng chính xác NNTH trong giao tiếp tốn học:
HS mơ tả, trình bày bài giải, cách giải quyết vấn đề.
HS sử dụng chính xác thuật ngữ, kí hiệu, liên kết logic, các quy tắc suy luận
để trình bày lời giải.
HS trình bày bằng NNTH cho cả lớp các lập luận trong lời giải.
HS tranh luận bằng ngơn ngữ nói và các kí hiệu, quy tắc toán học để bảo vệ
cách giải quyết vấn đề của mình hay bác bỏ cách giải quyết vấn đề của nhóm, bạn
khác.
HS đƣa ra đƣợc ví dụ để bảo vệ cách giải quyết vấn đề của mình hay bác bỏ
cách giải quyết vấn đề của nhóm, bạn khác.
HS đƣa ra các câu hỏi, trả lời các câu hỏi của các bạn, các nhóm.
HS chứng minh bằng việc sử dụng thuật ngữ, kí hiệu, liên kết logic, các quy
tắc, định lí tốn học đã học.

+ HS có thể vận dụng chuyển đổi linh hoạt NNTH sang NNTN và ngƣợc lại;
+ HS thƣờng xuyên tăng cƣờng, mở rộng và phát triển vốn TVTH đã có của
mình;
Ví dụ 1.3. Xét tình huống HS thảo luận nhóm, lập luận để tìm hướng giải
quyết cho bài toán thực tế sau:
“Trong một chuyến tham quan du lịch, Thầy Tuấn có cơ hội đƣợc chụp ảnh
lƣu niệm tại Tháp Bình Sơn tỉnh Vĩnh Phúc. Trong lúc chụp ảnh thầy đứng cách
tháp này 10m nhìn thấy cái tháp dƣới góc 650và đƣợc phân tích nhƣ hình vẽ. Tuy
nhiên vì thời gian tham quan có hạn nên thầy chƣa kịp tìm hiểu về thơng tin của
tháp.Với số liệu đƣợc thầy cung cấp trong quá trình chụp ảnh ở trên, các em hãy
giúp Thầy tính xem chiều cao của tháp đó là bao nhiêu?”
Một số biểu hiện có thể quan sát đƣợc trong quá trình thảo luận nhƣ sau:


13
Hoạt động của HS

Quan sát các biểu hiện của
NL sử dụng NNTH

Hoạt động 1:
Phân tích tình huống và đưa về bài tốn tốn học + HS chuyển đổi từ mơ hình
như sau:

hóa thành bài tốn tốn học.

Cho hình thang vng ABDE, tam giác ABC + HS sử dụng vốn TVTH
vuông tại C( C là chân đƣờng vng góc hạ từ A của mình để xây dựng đề
tới BD). Biết cạnh ED = AC = 10m;
BAC


550,CAD

bài

100. Tính cạnh BD?

Hoạt động 2:

HS mơ tả, trình bày bài giải,

Lập luận tìm hướng giải quyết cho bài toán

cách giải quyết vấn đề

Xét thấy cạnh BD = BC + CD
Do đó chuyển hƣớng sang tính cạnh BC, CD bằng
việc sử dụng các hệ thức lƣợng trong tam giác
vng. Từ đó đi đến kết luận chiều cao của tháp
Bình Sơn.
Hoạt động 3: Trình bày lời giải trong nhóm

HS sử dụng các khái niệm,
thuật ngữ, ký hiệu để trình
bày lời giải
HS chứng minh bằng việc
sử dụng các kí hiệu tốn
học, các quy tắc, định lí
tốn học đã học.



14
Các biểu hiện cịn lại có thể quan sát thơng quá quá trình HS trao đổi, thống
nhất kết quả trong nhóm; HS trình bày kết quả của nhóm mình với các nhóm khác;
Thảo luận chung tồn lớp để đi đến thống nhất cuối cùng.
1.2.3. Các cấp độ sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh
Các mức độ sử dụng NNTH của HS đƣợc xây dựng theo bảng biểu hiện các
mức độ thể hiện năng lực giao tiếp toán học [15].
Mức độ 1: Nhận biết ban đầu từ vựng toán học qua thực tiễn (tên gọi thông
thƣờng trong cuộc sống).
Ở THPT những TVTH cần trang bị cho HS một số ít HS đã nghe, đã nói,đã
viết, đã dùng theo NNTN trong cuộc sống hàng ngày qua giao tiếp, qua truyền hình,
qua báo chí,… cịn đa số là các thuật ngữ toán học khá trừu tƣợng với học sinh nhƣ
vi phân, tích phân, giới hạn... bằng cách chỉ ra mối liên hệ của các thuật ngữ toán
học với cuộc sống sẽ dễ ghi nhớ hơn đối với các TVTH đó.
Mức độ 2: Diễn đạt thành lời trọn vẹn chính xác TVTH ( tên gọi, cách đọc,
cách viết theo NNTN, biết liên kết chính xác vốn TVTH ở dạng đơn giản).
Mức độ 3: Nhận biết và phân biệt TVTH; nắm đƣợc ngữ nghĩa và cú
phápTVTH; biết diễn đạt (nói, viết) TVTH theo nhiều cách khác nhau, biết liên kết
các từ vựng toán học ở dạng phức; diễn đạt trọn vẹn các tính chất, cơng thức, qui
tắc, kết luận tốn học,…biết chuyển đổi NNTN sang NNTH và ngƣợc lại trong học
tập Toán.
Mức độ 4: Thực hành ứng dụng, HS ghi nhớ đƣợc vững chắc các dạng cơ
bản;áp dụng và giải các bài toán dạng cơ bản theo đúng qui trình; kĩ năng nghe, nói,
đọc, viết Tốn khá thành thạo theo u cầu chuẩn kiến thức, kĩ năng,..
Mức độ 5: Có kĩ năng vận dụng vốn từ toán học để giải quyết các bài toántổng
hợp; tăng cƣờng, mở rộng và phát triển TVTH, vốn từ tốn học trở thành cơng cụ,
phƣơng tiện “tác chiến”,“kiến thiết” để chiếm lĩnh kiến thức toán học mới tiếp theo;
kĩ năng nghe, nói, đọc, viết Tốn thành thạo theo chuẩn kiến thức, kĩ năng.
Mức độ 6: Tính bền vững của vốn từ toán học trong học tập Toán và trở thành

vốn tri thức toán học, năng lực, phẩm chất, VHTH của mỗi một HS.


15
Ví dụ 1.4. Thuật ngữ “Xác suất” [1]
Mức độ 1 : HS nhận biết ban đầu từ “Xác suất” qua việc đánh giá khả năng
xảy ra khi thực hiện một hành động nào đó trong cuộc sống hàng
ngày, bƣớc đầu nhận ra hình ảnh của xác suất và nghe thuật ngữ “Xác suất”
trong thực tế, “ xác suất trúng sổ số”, “ xác suất bị gọi lên kiểm tra bài cũ”.
Mức độ 2: HS nêu đƣợc tên gọi, kí hiệu: chẳng hạn; diễn đạt thành lời trọn
vẹn: “Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với khơng gian mẫu  chỉ có
một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
biến cố A, kí hiệu là P(A) hay P(A) =

n( A)
là xác suất của
n()

n( A)
”
n()

Mức độ 3: HS hiểu đƣợc bản chất tốn học của xác suất, phân tích các yếu tố
của xác suất: phép thử, biến cố, xác suất của biến của biến cố, không gian mẫu, biến
cố đối, biến cố độc lập, và cơng thức tính xác suất liên quan.
Mức độ 4: HS biết thực hành, vận dụng giải các bài tập về nhận biết, phân biệt
xác suất của biến cố; xác định các yếu tố trong công thức tính tốn về xác suất; tìm
đƣợc khơng gian mẫu; tìm đƣợc số kết quả thuận lợi cho biến cố A, vận dụng cơng
thức tính xác suất thành thạo…
Mức độ 5: Sử dụng chính xác NNTH giải các bài tốn tổng hợp. Từ định

nghĩa xác suất; tăng cƣờng, mở rộng, phát triển vốn từ xung quanh thuật ngữ
“xác suất”, nhƣ là “công thức cộng xác suất”, “công thức nhân xác suất”, biến cố
độc lập ,…Từ việc hiểu ngữ nghĩa và công thức tính của xác suất GV có thể hƣớng
dẫn cho HS xây dựng công thức cộng xác xuất và công thức nhân xác suất chiếm
lĩnh các kiến thức mới liên hệ với khái niệm xác suất...
Mức độ 6: Xác suất của biến cố bao gồm các yếu tố của nó có trong đầu HS
trở thành vốn từ bền vững, giao tiếp quen thuộc gắn liền với việc ứng dụng cuộc
sống. Dần dần HS hiểu đƣợc tại sao khi chơi sổ xố thì giải thƣởng đƣa ra rất cao
nhƣng cơng ty sổ xố vẫn thu lãi rất lớn...
Ví dụ 1.5. Thuật ngữ “ giới hạn” [1]


16
Mức độ 1: HS đã làm quen với khái niệm giới hạn trong thực tế. Trƣớc khi
đƣợc nghiên cứu về khái niệm này HS đã đƣợc nghe thấy, đƣợc sử dụng rất nhiều
trong cuộc sống và biết đƣợc rằng giới hạn chỉ một sự việc, hiện tƣợng có kết thúc
tại một điểm nào đó, “ Giới hạn dân số”, “ giới hạn kinh tế vĩ mô’
Mức độ 2: HS nêu đƣợc khái niệm, kí hiệu. Diễn đạt đƣợc thành lời văn, ví dụ:
“Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0 },
ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì,
xn  K \  x0  , ta có f ( xn )  L .

Kí hiệu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x0 ”
x  x0

Mức độ 3: HS hiểu đƣợc bản chất toán học của giới hạn, biết đƣợc các định lý
về giới hạn, cơng thức tính giới hạn, hiểu đƣợc nhƣ thế nào là giới hạn một bên.
Phân biệt giữa giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số.
Mức độ 4: HS biết thực hành, vận dụng giải các bài tập về nhận biết, phân
biệt các loại giới hạn. Biết cách tính đƣợc giơi hạn hữu hạn, giới hạn vơ cực , cách

tính giới hạn vơ cực.
Mức độ 5: Sử dụng chính xác NNTH giải các bài tốn tổng hợp. Từ định
nghĩa giới hạn; tăng cƣờng, mở rộng, phát triển vốn từ xung quanh thuật ngữ
“ giới hạn”, nhƣ là “liên tục”, “ gián đoạn”,…Từ việc hiểu ngữ nghĩa và cơng thức
tính GV có thể HD cho HS xây dựng cách xác định hàm số liên tục tại điểm, liên
tục trên khoảng hay gián đoạn tại điểm nào đó.
Mức độ 6: giới hạn bao gồm các yếu tố của nó có trong đầu HS trở thành vốn
từ bền vững, giao tiếp quen thuộc gắn liền với việc ứng dụng cuộc sống.
1.3. Khái qt về nội dung, chƣơng trình Giải tích lớp 11 ở trƣờng Trung học
phổ thông
1.3.1. Nội dung chƣơng trình giải tích lớp 11
Giải tích lớp 11 đƣợc đƣa vào chƣơng trình mơn Tốn trong nhà trƣờng
THPT với những nội dung chính sau:


17
Chƣơng ''Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân'', chƣơng ''Giới hạn'' và
chƣơng ''Đạo hàm'' là ba chƣơng cuối cùng nằm cạnh nhau trong chƣơng trình SGK
mơn Đại số và Giải tích lớp 11 hiện hành. Cụ thể:
- Chƣơng III: Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân: Bao gồm định nghĩa,
những tính chất của dãy số và hai dãy số đặc biệt là Cấp số cộng và Cấp số nhân.
- Chƣơng IV: Giới hạn: Bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số
và hàm số liên tục.
- Chƣơng V: Đạo hàm: Bao gồm định nghĩa, ý nghĩa và các quy tắc tính đạo
hàm; Đạo hàm của hàm số lƣợng giác; Vi phân; Đạo hàm cấp hai.
Nhìn vào nội dung của ba chƣơng ta nhận thấy kiến thức ở chƣơng sau có
mối liên hệ mật thiết với kiến thức ở chƣơng trƣớc và chúng có vị trí quan trọng để
nghiên cứu các khái niệm tiếp theo cũng nhƣ ứng dụng trong chƣơng trình Giải tích
12 nói riêng và mơn Tốn THPT nói chung.
1.3.2. Hệ thống thuật ngữ tốn học trong chƣơng trình lớp giải tích 11

Để thấy đƣợc vai trị của kiến thức Giải tích lớp 11, chúng tơi xét trên các
khía cạnh: Mối liên hệ giữa các khái niệm của Giải tích lớp 11 trong mơn Giải tích
và với các khái niệm trong phân mơn khác của tốn học.
+ Từ thế kỉ XVII, khái niệm giới hạn đã đƣợc coi là một khái niệm cơ bản
của tốn học. Trong đó phải kể đến tầm quan trọng của các khái niệm về giới hạn
chính là nhiều khái niệm tốn học khác phụ thuộc vào nó và nó cịn đóng một vai
trị vơ cùng lớn trong việc áp dụng các lí thuyết tốn học khác nhau nhƣ: Tổng của
một cấp số nhân lùi vô hạn, tính liên tục của hàm số, đạo hàm của hàm số, tích phân
của hàm số,...Tất cả đều liên quan đến khái niệm của giới hạn trong việc định nghĩa
chúng. Hay nói một cách khác, ''chủ đề giới hạn có vai trị hết sức quan trọng của
Giải tích tốn học THPT, vì khái niệm giới hạn là nền tảng, là cơ sở của Giải tích,
hàm số liên tục là nền tảng để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân''[16].
Khái niệm đạo hàm đƣợc xây dựng từ khái niệm giới hạn, ngƣợc lại khái
niệm đạo hàm có tác động trở lại là cơng cụ giúp tính giới hạn. Chẳng hạn, với các