TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------------------

PHAN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HẠNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Tốn học

Phú Thọ, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------------------

PHAN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HẠNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Tốn học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm

Phú Thọ, 2019


i

LỜI CẢM ƠN
Trong q trình thực hiện nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự cố
gắng của bản thân, em được nhận rất nhiều sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn.
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cơ giáo Nguyễn
Thị Thanh Tâm, là người trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ và chỉ bảo em
trong suốt q trình thực hiện khóa luận này. Cô là người giúp đỡ em lĩnh hội
và nắm vững các kiến thức chuyên môn cũng như rèn luyện khả năng nghiên
cứu khoa học.
Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô là giảng
viên của khoa Khoa học tự nhiên trường Đại học Hùng Vương, cùng gia đình,
bạn bè là những người luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho em trong
suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện và hồn chỉnh khóa
luận.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng khóa luận khơng tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy
cơ giáo và các bạn để khóa luận được hồn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Việt Trì, tháng 05 năm 2019
Sinh viên
Phan Thị Hường


ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... i
MỤC LỤC ........................................................................................................ ii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1.Tính cấp thiết của đề tài .............................................................................. 1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn.................................................................... 2
3. Mục tiêu nghiên cứu.................................................................................... 2

Chương 1. HẠNG CỦA HỆ VECTƠ ............................................................ 3
1.1. Một số khái niệm liên quan ..................................................................... 3
1.1.1. Không gian vectơ .................................................................................... 3
1.1.2. Hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ....................................... 3
1.1.3. Cơ sở của một khơng gian vectơ ............................................................ 5
1.1.4. Số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh .......................................... 6
1.2. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại ............................................................ 8
1.4. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ ........................................................... 10
1.5. Tìm cơ sở, số chiều của khơng gian sinh bởi một hệ vectơ bằng máy
tính điện tử ..................................................................................................... 11
1.6. Một số bài toán về hạng của hệ vectơ ................................................... 14
CHƯƠNG 2. HẠNG CỦA ĐỒNG CẤU VÀ MA TRẬN ......................... 21
2.1. Định nghĩa đồng cấu .............................................................................. 21
2.2. Định nghĩa ma trận ................................................................................ 22
2.3. Hạng của ma trận ................................................................................... 22
2.4. Cách tìm hạng của ma trận ................................................................... 27
2.4.1 Tìm hạng của một ma trận bằng phương pháp định thức ...................... 27
2.4.2. Tìm hạng của một ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến
đổi sơ cấp......................................................................................................... 29
2.5. Một số bài toán về hạng của đồng cấu và ma trận.............................. 31
CHƯƠNG 3. NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HẠNG .................... 38
3.1. Hạng và hệ phương trình tuyến tính .................................................... 38
3.2. Hạng của dạng toàn phương ................................................................. 47


iii
3.2.1.Các định nghĩa........................................................................................ 47
3.2.2. Hạng và hạch của dạng toàn phương................................................. ... 50
KẾT LUẬN....................................................................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................59



iv
CÁC KÍ HIỆU
M mn 



Tập hợp các ma trận cấp m  n trên

rank  A 

Hạng của ma trận A

dimV

Số chiều của không gian V

t

Ma trận chuyển vị của ma trận A

A

A  (a ij )

Ma trận A với i dòng và j cột

AB


Tổng của hai ma trận A và B

AB

Tích của hai ma trận A và B

f g

tổng của hai hàm f và g

f .g

Tích của hai hàm f và g

Imf

Ảnh của không gian V hay ảnh của ánh
xạ tuyến tính f

Kerf

Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f



Vectơ, một phần tử của không gian vectơ

A

Định thức của ma trận A


min  m, n 

Giá trị nhỏ nhất của m và n

E

Ma trận đơn vị

Dk

Định thức con cấp k khác không

Aij

Phần phụ đại số của phần tử a ij

Abs

Ma trận bổ sung của ma trận A

Mat(n,  )

Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các
thành phần thuộc trường 

f :V  W

Ánh xạ tuyến tính đi từ không gian V đến
không gian W


WZ

tổng trực tiếp của W, Z

W Z

tổng trực tiếp trực giao của W, Z


v

C1

Ma trận nghịch đảo của ma trận C

char  K 

Đặc số của trường K


1
MỞ ĐẦU
1.Tính cấp thiết của đề tài
Đại số tuyến tính là một nội dung nghiên cứu về không gian vectơ, hệ
phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Nó được
đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường đại học và cao đẳng như môn học cơ
sở cần thiết để tiếp thu những môn học khác. Ở hầu hết các trường đại học ở
Việt Nam và trên thế giới, Đại số tuyến tính là một trong những môn nền tảng
bắt buộc học ở giai đoạn đại cương. Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều

trong Tốn học như Đại số đại cương, Giải tích hàm, Hình học giải tích,… Nó
là mơn cơ bản, mơn thi bắt buộc đối với mọi sinh viên trong đại học ngành
Tốn.
Nhắc tới Đại số tuyến tính, chúng ta khơng thể không nhắc tới khái
niệm hạng và bài tập liên quan đến hạng. Hạng là một trong những nội dung
quan trọng của Đại số tuyến tính. Hạng trong Đại số tuyến tính là cơng cụ cơ
bản để giải quyết các bài tốn về Đại số tuyến tính nói chung và các bài tốn
về hệ vectơ, ma trận, hệ phương trình tuyến tính nói riêng. Ngồi ra, nó là một
trong các nội dung không thể thiếu trong các kỳ thi sinh viên giỏi, đặc biệt là
kỳ thi Olympic Toán. Tuy nhiên, đa số sinh viên năm đầu ở Việt Nam cảm
thấy khá bỡ ngỡ khi lần đầu tiếp xúc với hạng, vì nhiều lý do khác nhau
nhưng chủ yếu là do lý thuyết của nó khá mới lạ, tương đối dài và mang tính
trừu tượng cao.
Với mong muốn chia sẻ những trở ngại với các sinh viên năm thứ nhất
khi học Đại số tuyến tính, hiểu được trở ngại các bạn đang gặp phải, thêm vào
đó là niềm u thích đối với Đại số tuyến tính, để giúp đỡ các bạn đến gần và
u thích mơn học này hơn, tơi chọn viết khóa luận tốt nghiệp: “Một số vấn
đề về hạng trong Đại số tuyến tính” với mong muốn tìm hiểu về hạng trong
Đại số tuyến tính, các kiến thức liên quan và vận dụng để giải một số bài toán
Đại số.


2
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Ý nghĩa khoa học:
Khóa luận đã phân tích và làm rõ khái niệm của hạng trong Đại số tuyến tính,
khai thác một số bài toán về hạng của hệ vectơ, của ma trận và các vấn đề liên
quan đến hạng trong Đại số tuyến tính.
- Ý nghĩa thực tiễn:
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành

Toán trường Đại học Hùng Vương, đặc biệt là những bạn đam mê thi
Olympic Toán và học Toán Cao cấp.
Với bản thân, qua việc nghiên cứu khóa luận tơi đã hệ thống cũng như ôn tập
lại những kiến thức đã học về định nghĩa và một số tính chất về hạng, các
phương pháp tính hạng, đặc biệt có được cái nhìn tổng quan về hạng, về
những ứng dụng của nó.
3. Mục tiêu nghiên cứu

 Phân tích và làm rõ khái niệm hạng trong Đại số tuyến tính.

 Khai thác một số bài toán về hạng của hệ vectơ, của ma trận và các vấn đề
liên quan đến hạng trong Đại số tuyến tính.


3
Chương 1. HẠNG CỦA HỆ VECTƠ
1.1. Một số khái niệm liên quan
1.1.1. Không gian vectơ
Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: , , ,..., K là một
trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z,...
Trên V ta có hai phép tốn:
• Phép cộng hai phần tử của V :

:VV  V

(, )    
• Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K :

.: K  V  V


 x, a   x.a
Giả sử đối với mọi , ,   V, mọi x, y  K các điều kiện sau được thỏa
mãn:
1.               ,

2. Tồn tại vectơ  sao cho         ,
3. Với mỗi  có một phần tử  ' sao cho         ,

4.       ,
5. x.       x.  x.,
6.  x  y  .  x.  y.,

7.  xy  .  x.  y.  ,

8. 1.  , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K (hoặc V là K
−khơng gian vectơ). Ta cũng nói V là khơng gian tuyến tính trên trường K.
1.1.2. Hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 1.1.
Cho m vectơ 1 ,  2 ,...,  m của không gian vectơ V trên trường K, m  1.


4
1. Hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m
phần tử x1 , x 2 , ..., x m  K không đồng thời bằng 0 sao cho:

x11  x2 2  ...  xm m   .
2. Hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  m được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó khơng phụ
thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương x11  x 2  2  ...  x m  m   kéo
theo x1  x 2  ...  x m  0.

3. Tập S  V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S
đều độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.1.
1. Trong khơng gian hình học 3
• Hệ hai vectơ cùng phương là phụ thuộc tuyến tính.
• Hệ hai vectơ khơng cùng phương là độc lập tuyến tính.
• Hệ ba vectơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính.
• Hệ ba vectơ khơng đồng phẳng là độc lập tuyến tính.
• Hệ bốn vectơ bất kỳ là phụ thuộc tuyến tính.
2. Trong khơng gian vectơ

3

, hệ vectơ:

1  1;  2; 0  ,  2   0; 1; 2  , 3   1; 4; 4 

là phụ thuộc tuyến tính vì:

1.1;  2; 0   2. 0; 1; 2   1.  1; 4; 4 
 1;  2; 0    0;  2;  4    1; 4; 4 
 1  0  1;  2  2  4; 0  4  4    0; 0; 0 .
+ Hệ vectơ:
1  1; 0; 0  , 2  1; 1; 0  , 3  1; 1; 1

là độc lập tuyến tính.
Thật vậy, nếu:

x11  x 22  x 33  
thì: x1 1; 0; 0   x 2 1;1; 0   x 3 1; 1; 1  .

hay  x1  x 2  x 3 ; x 2  x 3 ; x 3    0; 0; 0 .


5

 x1  x 2  x 3  0

Từ đó suy ra:  x 2  x 3  0
x  0
 3
Dođó: x1  x 2  x 3  0.
3. Trong

 không gian vectơ Pn  x  các đa thức hệ số thực một biến gồm đa

thức khơng và các đa thức có bậc khơng vượt quá n, hệ các đa thức

1; x; x 2 ;...; x n là độc lập tuyến tính.
Thật vậy, giả sử có:
a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a n x n  ,

trong đó  là đa thức không của Pn  x .
Bằng cách đồng nhất hệ số ở hai vế ta được a1  a 2  ...  a n  0.
1.1.3. Cơ sở của một không gian vectơ
Định nghĩa 1.2.
Giả sử V là K  không gian vectơ.
Một hệ vectơ trong V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V
đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K −khơng gian
vectơ hữu hạn sinh.

Định nghĩa 1.3.
Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ V được gọi là một cơ
sở của V.
Ví dụ 1.2.
1. Trong khơng gian vectơ hình học 3 tập ba vectơ không đồng phẳng tùy ý
lập thành một cơ sở.
2. Trong

−không gian vectơ

n

, hệ gồm các vectơ:

1  1; 0;...; 0  , 2   0; 1;...; 0  ,..., n   0; 0;...; 1

là một cơ sở.
Thật vậy, mỗi vectơ    a1 ; a 2 ;...; a n  

n

đều viết được dưới dạng:


6
 

 a1 ;

0;...; 0    0; a 2 ;...; 0   ...  0; 0;...; a n 

 a11  a 2  2  ...  a n  n .

Hơn nữa, hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  n độc lập tuyến tính vì:
Nếu: x11  x 2  2  ...  x n  n   thì:  x1 ; x 2 ; ... ; x n    0; 0; ... ; 0 
hay x1  x 2  ...  x n  0.
Cơ sở 1 ;  2 ;...;  n được gọi là cơ sở chính tắc của

n

.

1.1.4. Số chiều của khơng gian vectơ hữu hạn sinh
Bổ đề 1.1.
Trong không gian vectơ V cho hai hệ vectơ:
1 ;  2 ;...;  r , 1.1
1 ; 2 ;...; s . 1.2 

Nếu hệ (1.1) độc lập tuyến tính và mỗi vectơ của hệ (1.1) là tổ hợp tuyến tính
của hệ (1.2) thì r  s.
Chứng minh.
Theo giả thiết ta có:

1  x11  x 22  ...  x ss .
Do hệ (1.1) độc lập tuyến tính nên 1   từ đó suy ra các vô hướng x i không
đồng thời bằng 0.
Giả sử x1  0, khi đó:

1 

x

x
1
1  2 2  ...  s s
x1
x1
x1

(1.3)

Thay 1 trong (1.2) bởi 1 , ta được hệ:

1 ; 2 ;...; s .

(1.4)

Theo giả thiết mọi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ
của hệ (1.2), theo công thức (1.3) mỗi vectơ của hệ (1.2) đều biểu thị tuyến
tính qua các vectơ của hệ (1.4). Từ đó mỗi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị
tuyến tính qua các vectơ của hệ (1.4). Do đó:

 2  y11  y 22  ...  yss .


7
Hệ (1.1) độc lập tuyến tính nên trong số các hệ số y 2 ;...; ys phải có một số
khác 0, giả sử y 2  0. Khi đó:

2  

y

y
y1
1
1  2  3 3  ...  s s
y2
y2
y2
y2

(1.5)

Ta lại thay  2 trong hệ (1.4) bởi  2 và được hệ:

1 ;  2 ; 3 ;...; s .

(1.6)

Từ (1.3) và (1.5) suy ra mọi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ
(1.6).
Nếu r  s thì tiếp tục quá trình trên sau một số hữu hạn bước, hệ (1.2) sẽ được
thay thế bởi hệ:

1 ;  2 ;...; s ,

(1.7)

trong đó mọi vectơ của hệ (1.1) đều biểu thị tuyến tính qua hệ (1.7).
Điều này trái với giả thiết hệ (1.1) độc lập tuyến tính.
Do đó: r  s.
Định nghĩa 1.4.

Số các vectơ của một cơ sở của không gian vectơ hữu hạn sinh V được gọi là
số chiều của V, ký hiệu là: dimV.
Nếu dimV  n thì V được gọi là khơng gian vectơ n chiều.
Khơng gian chỉ gồm có một vectơ  khơng có cơ sở, quy ước: dim    0.
Ví dụ 1.3.
1. dimK n  n vì Kn có một cơ sở là:
1  1; 0;...;0  , 2   0; 1;...;0  , ..., n  (0; 0;...; 1).

2. dim Pn  x   n  1 vì Pn  x  có một cơ sở là 1; x; x 2 ;...; x n .
3. dim E 2  2 vì E 2 có một vectơ cơ sở là hai vectơ đơn vị:
i  1; 0  và j   0; 1.

dim E3  3 vì E 3 có một vectơ cơ sở là ba vectơ đơn vị:
i  1; 0; 0  , j   0; 1; 0  , k   0; 0; 1.


8
1.2. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
− Cho hệ  gồm m vectơ (m  1) của không gian vectơ V trên trường K.
Hệ  gồm r vectơ của hệ  được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu

 độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ  đều biểu thị tuyến tính được qua
hệ .
Hệ quả 1.1.
+ Hệ quả 1: Nếu thêm vào một hệ hữu hạn vectơ đã cho một tổ hợp
tuyến tính của hệ thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho.
+ Hệ quả 2: Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương có cùng hạng.
Định nghĩa 1.5.
Hai hệ hữu hạn vectơ của một không gian vectơ V được gọi là tương đương
nếu mỗi vectơ của hệ này biểu thị tuyến tính được qua hệ kia.

1.3.Hạng của hệ vectơ
Định nghĩa 1.6.
Hạng của một hệ vectơ 1 ;  2 ;...;  m trong không gian vectơ V là số chiều
của không gian vectơ con sinh bởi 1 ;  2 ;...;  m .
Nhận xét 1.1.
Ký hiệu W là không gian con sinh bởi hệ vectơ:

1 ;  2 ;...;  m . (1.8)
Ta có thể tìm được một hệ con của hệ (1.8) mà là cơ sở của W.
Đó là một hệ con độc lập tuyến tính có tính chất mọi vectơ của hệ (1.8) đều
biểu thị tuyến tính qua nó.
Một hệ con như thế được gọi là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ
(1.8).
Như vậy, để tìm hạng của một hệ vectơ, ta tìm số vectơ độc lập tuyến tính tối
đại của hệ đó.
Ví dụ 1.4.
Tìm hạng của hệ vectơ:

1  (1; 3; 4),  2  (0; 2; 5), 3  (2; 4; 3),  4  (1;  1; 1)


9
trong không vectơ

3

.
Lời giải.

Nhận thấy hệ 1 ,  2 độc lập tuyến tính.

Thật vậy, từ x11  x 2  2  , tacó:

  x1  0

3x1  2x 2  0
4x  5x  0
2
 1
Suy ra x1  x 2  0 .
Mặt khác  3  21   2 và  4  1   2 nên 1 ,  2 là hệ con độc lập tuyến
tính tối đại của hệ 1 ,  2 , 3 ,  4 .
Do đó hạng của hệ này bằng 2.
Mệnh đề 1.1.
Nếu thêm vào một hệ vectơ một tổ hợp tuyến tính của hệ thì hạng của hệ mới
bằng hạng của hệ đã cho.
Chứng minh.





Giả sử A  1 ;  m ;...;  m , rank  A   n.
Thêm vào A vectơ   b1 1  b 2  2  ...  b m  m , ta được hệ:





B  1 ;  2 ;...;  m ; 


Gọi W, W' lần lượt là những không gian sinh bởi hệ A và hệ B.
Vì A  B nên W  W'. Ngược lại, giả sử   W'.
Khi đó  là một tổ hợp tuyến tính của hệ B, chẳng hạn:

  r1 1  ...  rm  m  r  r1 1  ...  rm  m  r(b1 1  ...  b m  m )
  r1  rb1  1  ...   rm  rbm  m  W'.

Do đó: W'  W.
Vậy: W  W'.
Suy ra: rank  B  dim(W')  dim(W)  rank  A .


10
Ta có điều phải chứng minh.
1.4. Hạng của một hệ hữu hạn vectơ
Định nghĩa 1.7.
Cho một hệ gồm m vectơ của không gian vectơ V, m  1. Số vectơ của hệ
con độc lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của hệ vectơ đã cho.
Ví dụ 1.5.
Tìm hạng của hệ vectơ sau:
1  1; 1; 1; 1 , 2  1;  1; 1;  1 , 3  1; 3; 1; 3 , 4  1; 2; 0; 2 , 5  1; 2; 1; 2 .

Lời giải.
Cách 1: Dùng định nghĩa:
Ta có 1 , 2 khơng tỉ lệ nên độc lập tuyến tính.
Nếu 3  x 1  y2 thì:

x  y  1
x  y  3



x  y  1

x  y  3
Vậy 3  21  2 , nghĩa là 1 , 2 , 3 phụ thuộc tuyến tính.
Nếu 4  x1  y2 thì:

x  y  1
x  y  2


x  y  0
 x  y  2
Khi đó khơng tồn tại giá trị của x và y thỏa mãn hệ trên.
Từ đó: 1 , 2 , 4  độc lập tuyến tính.
Nếu 5  x 1  y2  z3 thì:

x  y  z  1
 x  y  2z  2


 x  y  0z  1
 x  y  2z  2


11

3
1
3

1
 x  , y   5  1  2  1 , 2 , 4 , 5  phụ thuộc tuyến tính.
2
2
2
2
Vậy hạng của hệ đã cho bằng 3.
Cách 2:

1 1
1 1

1 1

1 1

1
3
1
3

1
2
0
2

1
1
0
d1  d 2

2  dd32 
d1  d3


d 4 d 2  d 4
0
1


2
0

1 1 1 1
2 2 1 1
0 0 1 0

0 0 0 0

Vậy hạng của hệ đã cho bằng 3.
Tính chất 1.1.
Cho hệ vectơ S  1 ; 2 ;

; m  trong

n

+ Nếu rank S  r thì mọi vectơ của S đều biểu thị tuyến tính qua hệ con bất
kì (của S ) có r vectơ độc lập tuyến tính.
m


+ Nếu u    i i thì rank S  rank (S'), trong đó S'  S  u.
i 1

+ Nếu mọi vectơ của hệ 1 ; 2 ;

; m  đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ





của hệ W1 ; W2 ; ; Wp  thì rank 1 ; 2 ; ; m   rank W1 ; W2 ; ; Wp  .
1.5. Tìm cơ sở, số chiều của không gian sinh bởi một hệ vectơ bằng máy
tính điện tử
Muốn tìm cơ sở và số chiều của không gian W sinh bởi một hệ vectơ H
ta chỉ cần tìm một định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận A thiết lập
bởi hệ vectơ đã cho.
Nếu dimW  rank  A  và định thức con cấp cao nhất khác 0 nằm ở những
dịng nào thì những vectơ dịng ấy lập thành một cơ sở.
Nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, máy tính điện tử có thể thực hiện
các phép biến đổi ấy để biến một ma trận đã cho thành một ma trận cùng hạng
mà ta có thể nhận ra ngay định thức cấp cao nhất khác 0.
Từ đó suy ra hạng của ma trận, cũng là hạng của hệ vectơ và số chiều cần tìm.


12
Ví dụ 1.6.
Tìm số chiều của khơng gian W sinh bởi hệ vectơ:
H


1   1;  1; 2; 0;  1 ,  2   2; 2; 0; 0;  2  , 3   2;  1;  1; 0; 1 ,  4   1;  1; 1; 2; 2  ,
5  1;  2; 2;  2; 0 

Lời giải.
Để tạo ma trận đánh lệnh:
A  1;  1; 2; 0;  1 ,2; 2; 0; 0;  2, 2;  1;  1; 0; 1,

1;  1; 1; 2; 2 ,1;  1;  1; 0; 1 .
Trên màn hình xuất hiện:
Out[1]: 1;  1; 2; 0;  1 ,2; 2; 0; 0;  2 ,2;  1;  1; 0; 1 ,

1;  1; 1; 2; 2 ,1;  1;  1; 0; 1
Để lập ma trận thu gọn đánh tiếp lệnh:
RowReduce  A  / /MatrixForm

Màn hình xuất hiện:

Out  2 : MatrixForm

1
0

0

0
0


0
1

0
0
0

0 2 0 
0 2 0 
1 2 0 

0 0 1
0 0 0 

Trong ma trận này ta thấy ngay định thức con cấp cao nhất khác 0 là:

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0

1 0
0
1

Vậy hạng của ma trận bằng 4.
Nhưng các phép biến đổi mà máy thực hiện cho ta một ma trận cùng hạng với
ma trận A nên rank  H   rank  A   4  dimW.
Để tìm cơ sở của khơng gian ta cần chú ý rằng khi biến đổi ma trận,
theo chương trình Mathematica 4.0, máy tính có thể đổi chỗ các dịng do đó


13
thứ tự các dịng bị thay đổi. Vì thế nhìn vào ma trận thu được trên màn hình ta
khơng biết được cơ sở gồm những vectơ nào trong các vectơ đã cho.
Tuy nhiên máy tính khơng thay đổi cột. Để tránh phải lập một ma trận cột ở
giấy nháp, ta vẫn lập ma trận dòng rồi lấy ma trận chuyển vị.
Ví dụ 1.7.
Tìm cơ sở của khơng gian W sinh bởi hệ vectơ:
H  1   2; 4; 2; 5  ,  2   3; 1; 0; 7  , 3   1; 9; 4; 17  ,  4  1; 0; 2; 1

Lời giải.
Đánh lệnh tạo ma trận:

A  2; 4; 2; 5,3; 1; 0; 7,1; 9; 4; 17,1; 0; 2; 1 
Màn hình xuất hiện:
Mat  n, K  , A   a ij  , B   bij .

Để lập ma trận chuyển vị, đánh lệnh:

Out  2  2; 3;  1; 1,4; 1; 9; 0,2; 0; 4; 2,5; 7; 17; 1

Để tìm ma trận thu gọn, đánh lệnh:
RowReduce  tA / /MatrixForm

Màn hình xuất hiện: Out 3  MatrixForm

1
0

0

0

0
1
0
0

2
1
0
0

0
0 
1

0

Ma trận này cho ta định thức con cấp cao nhất khác 0 là:
1 0 0

0 1 0
0 0 1

Vậy hạng của ma trận bằng 3: rank  t A   rank  A   rank  H  .
Định thức con cấp cao nhất khác 0 nằm ở các cột thứ nhất, thứ hai, thứ tư, do
đó các vectơ cột 1 ;  2 ;  4 lập thành một cơ sở.


14
1.6. Một số bài toán về hạng của hệ vectơ
Bài tốn 1.1.
Tìm điều kiện của tham số thực m để hệ vectơ dưới đây trong

4

có hạng

lớn nhất:
1  1; 2; 2; 1 , 2   2; 5; 6; 5  , 3   4; 9; 10; m 

Lời giải.
Xét ma trận A mà 1 , 2 , 3 lần lượt là các dòng 1, 2, 3 rồi biến đổi sơ cấp ta
được:
1 2 2 1
1 2 2
1
1 2 2
1
A2 5 6 5 0 1 2
3 0 1 2

3 ( Bậc thang)
4 9 10 m
0 1 2 m4
0 0 0 m7

Rõ ràng:
2 khi m  7
;
rank  A   
3 khi m  7

Vậy rank  1 , 2 , 3   rank  A   3 là lớn nhất và đạt được khi và chỉ khi

m  7.
Bài toán 1.2.
Cho hai ma trận A và B thuộc Mat  n, K  , A   a ij  , B   bij .
Khi đó: A  B   a ij  bij  được gọi là tổng hai ma trận A và B.
Chứng minh rằng:
1) rank(A)  rank(B)  rank  A  B  rank(A)  rank(B)
2) rank(A)  rank(B)  n  rank  AB   min  rank(A), rank(B) 

3) Nếu A2  E, thì rank  E  A   rank (E A)  n.
(ở đó E là ma trận đơn vị cấp n ).
Lời giải.
1) Giả sử f , g là hai phần tử của End  K n  , có ma trận A, B tương ứng trong
một cơ sở   (  i) đã cho.


15
Khi đó: f  g có ma trận A  B.

Vì Im  f  g   Imf  Img, nên:

dim  Im  f  g    dim  Imf  Img   dimImf  dimImg.
Từ đó suy ra: rank  A  B  rank(A)  rank(B).
Mặt khác: rank(A)  rank (A  B  B)  rank  A  B   rank (B)
suy ra: rank(A)  rank  A  B  rank(B)
Từ đó:

rank(A)  rank(B)  rank(A  B)
Tương tự: rank(B)  rank(A)  rank(A  B).
Vì vậy ta có:
rank(A)  rank(B)  rank(A  B)

2) Tacó: f :  n   n , g :  n   n là hai ánh xạ tuyến tính.



Im  f og   Im f

Im g

  Imf nên rank  AB  rank  A 

Mặt khác:
rank  AB  dim  f o g   dimImf  rank(B)

Do vậy: rank  Ao B  min  rank  A  , rank  B 
Bây giờ ta chứng minh:

rank(A) + rank(B)  n  rank(AB)

Ta có: dim K n  n  dim Im  f o g   dim Ker  f o g 
Mặt khác xét ánh xạ  : Ker  f o g  / Kerg  Kerf  Img
ở đó   x   g  x  , với x  Ker  f o g .
Dễ thấy  là đẳng cấu tuyến tính.
Vì vậy:
dimKer  f o g   dimg  dim  Kerf  Img .

Từ đó :
dimIm  fo g   n  dimKer  f o g   dimImg  dim  Kerf  Img 


16
Như vậy:
rank  AB  rank(B)  dim  Kerf  Img   rank(B)  dimKerf
 rank  AB  rank(B)  rank(A)  n

3) Vì A2  E ( E là ma trận đơn vị ), nên:

 A  E  (A  E)  0
Vì vậy, theo phần (2) ta có:
rank  A  E   rank  A  E   n  0

hay rank  A  E   rank  A  E   n
Mặt khác, theo phần (1) ta có:
rank  A  E   rank  A  E   rank(2A)  rank(A)  n

Do vậy:
rank  A  E   rank  A  E   n.

Bài toán 1.3.

Chứng minh rằng nếu mỗi vectơ v1 ,..., v r biểu diễn được tuyến tính qua các
vectơ u1 ,..., u s thì hạng của v1 ,..., v r không vượt quá hạng của u1 ,...,u s .
Lời giải.
Xét các không gian con V và U sinh bởi các hệ đã cho.
Khi đó:
V  U và dimV  rank  v1 ,..., vr   dimU  rank  u1 ,...,u s .

Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 1.4.
Chứng minh rằng hệ vectơ v biểu diễn tuyến tính được qua v1 ,..., v r khi và chỉ
khi hạng của v1 ,..., v r bằng hạng của v1 ,..., v r , v.
Lời giải.
Chú ý rằng hạng của hệ vectơ v1 ,..., v r  bằng số phần tử của một tập con S
độc lập tuyến tính cực đại bất kì chứa trong hệ đó.
Cố định một S như vậy.


17
Khi đó mọi v i biểu diến được tuyến tính qua S.
Nếu v biểu diễn được qua v1 ,..., v r thì v cũng biểu diễn được qua S.
Do đó S cũng là tập độc lập tuyến tính cực đại của hệ v1 ,..., v r , v.
Vì vậy, hạng của hệ này chính là hạng của S và bằng hạng của  v1 ,..., v r .
Ngược lại, nếu hạng của v1 ,..., v r , v bằng hạng của

 v1 ,..., vr ,

thì S v

phải là phụ thuộc tuyến tính.
Nhưng vì S là độc lập tuyến tính, nên v phải biểu diễn tuyến tính được qua


S, và do đó v biểu diễn được qua v1 ,..., vr .
Bài toán 1.5.
a) Hai tự đồng cấu u, v End K  V  được gọi là tương đương nếu có các đẳng
cấu p, q của V sao cho u p  q v.
Chứng tỏ rằng u và v tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng hạng.
b) Từ a) suy ra rằng nếu X Mat  n, K  , rank (X)  r, thì tồn tại các ma trận
không suy biến P, Q Mat  n, K  sao cho:
I
X  Q r
0

0
P, ở đó
0 

 Ir
0


0
0 

là ma trận vng cấp n có góc bên trái là ma trận đơn vị I r , cấp r.
Lời giải.
a) Dễ thấy u, v tương đương thì có cùng hạng.
Ngược lại, nếu rank(u)  rank(v)  r,
Ta có: Trong V có các cơ sở:

e1 ,e2 ,...,en , e'1,e'2 ,...,e'n 

để u  ei   e’  i  ,  i  1,..., r  ; u  e j   0,  j  r 
và có các cơ sở:

1 , 2 ,..., n ,  '1,  '2 ,...,  'n 

để v(i )  'i với I  1,...,r ; v( j )  0, j  r.
Xét p End  V  sao cho p(i )  ei với mọi i  1,..,n;


18
Xét q  End  V  sao cho q( 'i )   'i với mọi i  1,..,n;
Khi đó: u p  q v
b) Suy ra từ a).
Bài tốn 1.6.
Cho V là khơng gian vectơ n chiều trên trường K và u, v End  V  sao cho

u v  0. Chứng minh rằng:
rank  u   rank  v   n.

b)Chứng minh rằng với mọi tự đồng cấu u  End  V  đều tồn tại tự đồng cấu
v End  V  sao cho u v  0 và rank  u   rank  v   n.

Lời giải.
a) Dễ dàng chứng minh được rank  u   rank  v   n do Imv  Keru và

dim(Imu)  dim(keru)  dim(V).
b) Xét cơ sở:

e1 ; e2 ;...; en  và 1 ; 2 ;...; n 
của V sao cho u  ei   ei ,  i  1,..., r  ; v  e j   e j với r  1  j  n.

Khi đó v u  0 và rank  u   rank  v   n.
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 1.7.
Chứng minh rằng:



a) Nếu hệ các vectơ 1 ,  2 ,...,  n





và 1 , 2 ,..., m

 của K  không gian

vectơ mà mỗi vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua hệ kia thì hai hệ đó
cùng hạng.





b) Hạng của hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  n ,  n  2  trong V không đổi khi:
i) Đổi chỗ các vectơ của hệ.
ii) Nhân một vectơ của hệ với   K \ 0 tùy ý.
iii) Cộng vào một vectơ của hệ với một vectơ khác của hệ, nhân với
một phần tử tùy ý của K.