TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - TIN
-----------------------

NGƠ THỊ NGỌC LOAN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - TIN

-----------------------

NGƠ THỊ NGỌC LOAN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. NGUYỄN VĂN NGHĨA

Phú Thọ, 2018

LỜI CẢM ƠN

Trong q trình nghiên cứu thực hiện khóa luận cùng với sự nỗ lực cố gắng

của bản thân, tơi cịn nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy giáo, cơ giáo
trong khoa Tốn – Tin, Trường Đại học Hùng Vương đã tận tình chỉ bảo tơi trong
suốt thời gian thực hiện khóa luận này.

Đặc biệt tơi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS. Nguyễn Văn

Nghĩa đã giành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tơi trong suốt thời

gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tơi lĩnh hội được những kiến
thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học.

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, cơ

giáo trong khoa Tốn – Tin, tới gia đình, bạn bè những người ln sát cánh, giúp
đỡ, chia sẻ, động viên tơi trong suốt q trình học tập cũng như nghiên cứu thực
hiện khóa luận này.

Do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu làm

quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi những thiếu sót.
Tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cơ và các bạn
để khóa luận của tơi hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

Việt Trì, tháng 04 năm 2018
Sinh viên


Ngô Thị Ngọc Loan


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN.................................................................. 4

1.1. Vành và iđêan ............................................................................................ 4
1.2. Module ..................................................................................................... 13

1.3. Sự phân tích ngun sơ ............................................................................ 19

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN ..... 21

2.1. Điều kiện dây chuyền .............................................................................. 21

2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether ........................................... 30
2.3. Một số tính chất của vành giao hoán Artin.............................................. 32

CHƯƠNG 3. BÀI TẬP VỀ VÀNH GIAO HOÁN ARTIN .............................. 38
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................. 51


1

1. Tính cấp thiết của đề tài.


MỞ ĐẦU

Trong những năm vừa qua, khi xu thế tồn cầu hóa, hội nhập với thế

giới, đất nước ta đang chuyển mình trong cơng cuộc đổi mới sâu sắc và toàn diện,

từ một nền kinh tế tập trung quan liêu bao cấp sang nền kinh tế nhiều thành phần
vận hành theo cơ chế thị trường. Song song với sự đổi mới đó thì Tốn học cũng
ngày một phát triển hơn. Sở dĩ nói được như vậy là vì Tốn học được coi là cần

thiết cho bất kỳ nghiên cứu khoa học hay kỹ thuật nào cũng như các ứng dụng
khác như các ngành y học, ngành kinh tế,....

Ngày nay nhu cầu học hỏi toán nói chung và đại số nói riêng của sinh

viên khoa Tốn ngày càng tăng. Trong đó Đại số là một ngành chiếm vị trí quan

trọng, là một phân nhánh lớn của Tốn học, nó góp phần thúc đẩy sự phát triển
của Toán học. Theo nghĩa chung nhất, Đại số là việc nghiên cứu về ký hiệu toán

học và các quy tắc cho thao tác các ký hiệu trên, nó là một chủ đề thống nhất của
hầu hết tất cả lĩnh vực của Toán học. Như vậy, Đại số bao gồm tất cả mọi thứ từ
giải phương trình cấp tiểu học cho đến các nghiên cứu trừu tượng như nhóm,

vành và trường. Tuy nhiên để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu
biết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số.

Hiện nay, khi nghiên cứu về Đại số người ta coi đối tượng chủ yếu của

Đại số là các cấu trúc đại số như: Nhóm, vành, trường, module,.... Trong đó vành


là một phần kiến thức quan trọng của Đại số hiện đại. Đặc biệt là vành giao hoán
Artin đã xuất hiện và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà tốn học. Trên vành

Artin có rất nhiều những tính chất và đặc trưng riêng biệt. Vì vậy, việc nghiên
cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê Tốn học mà cịn được lơi cuốn
bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào các ngành khoa học khác. Lý thuyết vành
đã xuất hiện hơn một thế kỷ nay và ngày càng phát triển một cách phong phú

trong bối cảnh này. Mục đích chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc vành.
Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta khơng thể đưa ra được


2

điều gì nhiều hơn là các tính chất chung chung. Chính vì vậy, muốn nghiên cứu

cấu trúc vành một cách sâu sắc người ta phải đặt ra các điều kiện cụ thể và tìm
cách mơ tả chúng trên cơ sở các cấu trúc đã biết. Do sự đề xuất của các “điều

kiện cụ thể” này mà đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ bản như: Vành Artin, vành

Noether, vành Goldie,.... Trong đó, vành giao hốn Artin cũng là một vấn đề
được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà tốn học.

Vì vậy từ những lý do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Một số

tính chất của vành giao hốn Artin” với mong muốn được nghiên cứu và tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu
khoa học.


2. Mục tiêu nghiên cứu

Tổng hợp và hệ thống một số tính chất đặc trưng của vành giao hoán

Artin, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập trên vành giao hoán Artin.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tổng hợp và hệ thống một số kiến thức cơ bản, tính chất của vành giao
hốn Artin.

 Hệ thống một số ví dụ, bài tập minh họa nhằm làm rõ và củng cố lại lý
thuyết về vành Artin.

4. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của khóa luận là nghiên cứu lý thuyết, phân

tích, tổng hợp và đánh giá. Sử dụng các kỹ thuật liên quan đến vành, iđêan cũng
như các kỹ thuật khác đã được vận dụng trong mỗi chứng minh.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Vành giao hoán Artin.

Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất trên vành giao hốn Artin.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu


biết về lớp vành giao hoán Artin, hiểu rõ hơn về các khái niệm cơ bản trên vành


3

cũng như các tính chất để vận dụng cho nhiều bài toán cũng như những nghiên

cứu liên quan. Đặc biệt, các kết quả trên lớp vành giao hoán Artin hy vọng sẽ
góp phần nào đó làm sáng tỏ giả thuyết Faith.

Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về một số tính chất của vành giao hốn

Artin, khóa luận là một trong những tài liệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu,
học viên, cao học, sinh viên.
7. Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo nội dung

chính của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1. Các kiến thức cơ bản.

1.1.

Vành và iđêan.

1.3.

Sự phân tích nguyên sơ.


1.2.

Module.

Chương 2. Một số tính chất của vành giao hốn Artin.

2.1. Điều kiện dây chuyền.

2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether.
2.3. Một số tính chất của vành giao hoán Artin.

Chương 3. Bài tập về vành giao hoán Artin.


4

1.1. Vành và iđêan

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa 1.1.1. Một vành A là một tập hợp với hai phép tốn hai ngơi (phép
cộng và phép nhân) thỏa mãn:

1) A là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử trung hịa là phần tử
khơng (ký hiệu 0).

2) Phép nhân có tính kết hợp: (ab )c  a(bc) , và phân phối đối với phép
cộng: a(b  c)  ab  ac,(b  c)a  ba  ca .

3) Ta chỉ xét những vành có tính giao hốn.


4) ab  ba với mọi a, b  A , và có phần tử đơn vị (ký hiệu 1).
5)  1  A sao cho a.1  1.a  a với mọi a  A .

Ví dụ 1.1:

1) Tập hợp các số nguyên  với phép cộng và phép nhân thông thường là
một vành.

2) Tập hợp ma trận vuông cùng cấp n với phép cộng và nhân ma trận là
một vành.

3) Tập các đa thức với hệ số trên trường số thực là một vành.

Ghi chú:

 Khái niệm “vành” được dùng ở đây là “vành giao hốn có đơn vị”,
nghĩa là một vành thỏa mãn các tiên đề từ (1) đến (4) cho ở trên.

 Nếu trong vành A ta có 1  0 thì A chỉ có một phần tử là 0. Ta gọi A là
vành không, ký hiệu 0.

Mệnh đề 1.1.2. Cho vành A . Khi đó:

 Phần tử đơn vị của vành là duy nhất.
 a.0  0 với mọi a  A .

 (a )b  a (b )  (ab) với mọi a, b  A .
 (a )(b)  ab với mọi a, b  A .



5

 (na )b  a(nb )  n (ab) với mọi a, b  A , mọi n   .
n
m
 n   m 


  ai   bj     aibj với mọi a1,..., an , b1,..., bm  A .
 i 1  j 1  i 1 j 1

 ab   a nb n với mọi a, b  A , mọi n   .
n

 a  b  
n

n

C a
i 0

i
n

b với mọi a, b  A , mọi n   . ■

n i i


Định nghĩa 1.1.3. Một tập con S của vành A được gọi là vành con của A nếu
thỏa mãn:

i) a  b  S với mọi a,b  S ;
ii) ab  S với mọi a,b  S ;
iii) 1  S .

Ví dụ 1.2:

Cho A là một vành. Ta ln có hai vành con là 0 và A được gọi là các

vành con tầm thường của vành A . Riêng A còn được gọi là vành con không thực
sự của vành A .

Định nghĩa 1.1.4. Một đồng cấu vành là một ánh xạ f từ vành A vào vành B
thỏa mãn:
i)

f (a  b )  f (a )  f (b ) với mọi a, b  A ;

ii) f (ab )  f (a )f (b ) với mọi a, b  A ;
iii) f (1)  1 .

Ví dụ 1.3:

Cho vành A và End A là vành các tự đồng cấu của nhóm A,  . Với

mỗi phần tử x  A , xác định ánh xạ hx : A  A mà hx y   xz , z  A . Ta
có x  A thì hx  End A và ánh xạ  : A  End A mà  x   hx ,
x  A là đồng cấu vành.



6

Ghi chú:

 Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh
xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.

 Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A
và B đẳng cấu nhau, ký hiệu A  B .

Mệnh đề 1.1.5. Cho đồng cấu vành f : A  B . Khi đó:
 f (0)  0 .

 f (a )  f (a ) với mọi a  A .

 f (a  b )  f (a )  f (b) với mọi a, b  A . ■

Mệnh đề 1.1.6. Nếu f : A  B , g : B  C là hai đồng cấu vành thì tích ( ánh
xạ hợp) g  f : A  C cũng là một đồng cấu vành. ■

Định nghĩa 1.1.7. Một iđêan m của vành A là một tập con của A thỏa mãn:
i) m   ;

ii) x  y  m với mọi x , y  m ;

iii) ax  m với mọi a  A và mọi x  m .

Ví dụ 1.4:


1) Bộ phận 0 và bộ phận A là hai iđêan của vành A .

2) Trong vành  thì n là iđêan của vành  với mọi n   .

Định nghĩa 1.1.8. Cho m là một iđêan của một vành A . Quan hệ hai ngôi 
xác định trên A :

a  b  a  b  m với mọi a, b  A

là một quan hệ tương đương. Tập thương A/  được ký hiệu A / m , lớp tương
đương với a  A được ký hiệu a  m .

Khi đó, tập thương A / m có cấu trúc vành với hai phép toán:


7

 Phép cộng: với mọi x  m, y  m  A / m :
(x  m )  (y  m )  (x  y )  m

 Phép nhân: với mọi x  m, y  m  A ̸ m : (x  m )(y  m )  (xy )  m

Ta gọi đó là vành thương của vành A trên iđêan m .
Ví dụ 1.5:

Trong vành  thì n là iđêan của vành  với mọi n   . Khi đó vành

 / n   x  n | x   với hai phép toán:


+ x  n   y  n   x  y  n  với mọi x, y   .
+ x  n y  n   xy  n  với mọi x, y   .

là vành thương của vành  .
Mệnh đề 1.1.9. Ánh xạ

 : A  A/m

x  x m

là một toàn cấu vành. Ta gọi đó là tồn cấu chính tắc từ A lên vành thương

A / m . Hơn nữa, Ker   m . ■

Mệnh đề 1.1.10. Nếu f : A  B là một đồng cấu vành bất kì thì Kerf  f 1(0)

là một iđêan của A , Im f  f (A) là một vành con của B và f cảm sinh một
đẳng cấu vành: A / Kerf  Im f . ■
Định nghĩa 1.1.11.

 Một phần tử x của vành A được gọi là ước của không nếu trong A tồn

tại phần tử y  0 sao cho xy  0 . Nếu x là ước của không và x  0 thì

x được gọi là ước thực sự của khơng.

 Vành khác khơng và khơng có ước thực sự của không được gọi là miền
nguyên.



8

 Một phần tử x của vành A được gọi là lũy linh nếu có một số nguyên
dương n sao cho x n  0 .

 Một phần tử x của vành A được gọi là phần tử khả ngịch nếu trong A

tồn tại phần tử y sao cho xy  1 . Phần tử y được xác định duy nhất bởi

x và được viết là x 1 .

 Những bội số ax của phần tử x thuộc vành A lập thành một iđêan chính,
kí hiệu Ax hoặc x . Iđêan khơng 0 thường được kí hiệu 0 .

 Vành A được gọi là trường nếu A  0 và mọi phần tử khác không đều
khả nghịch.

Mệnh đề 1.1.12. Một phần tử x của vành A là phần tử khả nghịch khi và chỉ
khi x  A . ■

Mệnh đề 1.1.13. Cho A là một vành khác 0. Khi đó những phát biểu sau là
tương đương:

i) A là một trường;

ii) Chỉ có hai iđêan trong A là 0 và 1 ;

iii) Mọi đẳng cấu từ A vào vành B khác 0 là đơn ánh. ■

Định nghĩa 1.1.14.


 Một iđêan p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu p  1 và
nếu xy  p thì suy ra x  p hoặc y  p .

 Một iđêan m của vành A được gọi là iđêan tối đại nếu m  1 và chỉ
có hai iđêan của A chứa m là m và A .

Mệnh đề 1.1.15. Cho a là iđêan của vành A , khi đó:

 a là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A / a là miền nguyên.
 a là iđêan tối đại khi và chỉ khi A / a là trường.


9

Hệ quả 1.1.16.

 Mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.

 Iđêan 0 của vành A là nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên. ■

Mệnh đề 1.1.17. Nếu f : A  B là một đồng cấu vành và q là một iđêan
nguyên tố của B thì f 1(q ) là một iđêan nguyên tố của A . ■

Định lý 1.1.18. Mọi vành A khác không đều chứa ít nhất một iđêan tối đại. ■
Hệ quả 1.1.19.

 Nếu a  1 là một iđêan của vành A thì tồn tại một iđêan tối đại của A
chứa a .


 Mỗi phần tử không khả nghịch của vành A luôn được chứa trong một
iđêan tối đại. ■

Định nghĩa 1.1.20. Vành A chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành
địa phương.

Mệnh đề 1.1.21. Tập ẞ gồm tất cả lũy linh của vành A là một iđêan và A / ẞ

không chứa lũy linh nào khác 0. ■

Định nghĩa 1.1.22. Iđêan ẞ được gọi là căn lũy linh của vành A .

Mệnh đề 1.1.23. Căn lũy linh của vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên
tố của A . ■

Định nghĩa 1.1.24. Căn Jacobson J của vành A là giao của tất cả iđêan tối đại
của A .

Mệnh đề 1.1.25. Giao
iđêan của vành A . ■

m
i I

i

của một họ iđêan mi 

i I


của vành A là một


10

Định nghĩa 1.1.26. Cho m và n là hai iđêan của vành A .

 Tổng của m và n , kí hiệu m  n , là tập gồm tất cả các phần tử x  m ,
y  n . Tổng quát, tổng

tổng

x
i I

i

m
i I

i

của họ iđêan mi 

i I

là tập gồm tất cả các

với x i  mi i  I  và hầu hết x i  0 trừ một số hữa hạn.


 Tích của m và n , kí hiệu mn , là tập gồm tất cả các tổng hữa hạn

x y

i j

với x i  m , y j  n . Tổng quát, tích của n iđêan m1, m2,..., mn là
m1m2 ...mn . Nói riêng, ta có khái niệm lũy thừa của iđêan m : m 0 : A

, m 1 : m  , m 2 , m 3 ,..., m n ,...

 Thương của m và n , kí hiệu m : n  , là tập gồm tất cả các phần tử x  A
thỏa mãn xn  m . Nói riêng, 0 : n  là tập gồm tất cả các phần tử x  A

thỏa mãn xn  0 , được gọi là linh hóa tử của n , ký hiệu Ann n  . Nếu

n là iđêan chính x thì có thể viết n : x  thay cho a : x .





 Căn của m , kí hiệu rad m  , là tập gồm tất cả các phần tử x  A thỏa
mãn có số nguyên dương n sao cho x n  m .

Mệnh đề 1.1.27. Cho m và n là hai iđêan của vành A . Khi đó m  n , mn ,

m : n  , m  đều là iđêan của A . ■

Mệnh đề 1.1.28. Cho m , n , p , mi 

 m  n  mn

 m n  p   mn  mp
 m  m : n 

 m : n  n  m

i I

là những iđêan của vành A . Ta có:


11



m : n  : p   m : np  m : p : n 



  mi : m    mi : m 
i I
 i I

 m : n  p   m : n   m : p 
 rad m   m

 rad rad m   rad m 






 rad mn  = rad m  n  = rad m  + rad n 
 rad m   A  m  A

 n.rad m  n  = rad rad m   rad n 





Định nghĩa 1.1.29. Hai iđêan m và n của vành A được gọi là nguyên tố cùng
nhau nếu m  n  1 .

Mệnh đề 1.1.30. Hai iđêan m và n của vành A nguyên tố cùng nhau khi và chỉ
khi tồn tại x  m và y  n sao cho x  y  1 . ■

Mệnh đề 1.1.31. Nếu m và n iđêan nguyên tố cùng nhau thì m  n  mn . ■

Định nghĩa 1.1.32. Cho A1, A2,..., An là vành. Khi đó, tích trực tiếp của chúng

A   Ai là tập tất cả các dãy x  x 1, x 2,..., x n  với x i  Ai 1  i  n  cùng
n

i 1

với hai phép toán theo thành phần:

 x  y  x 1, x 2,..., x n   y1, y2,..., yn  : x 1  y1, x 2  y 2,..., x n  yn  .

 xy  x 1, x 2,..., x n . y1, y2,..., yn  : x 1y1, x 2y2,..., x nyn  .

là một vành giao hoán đơn vị 1  1,1,...,1 . Vành A này được gọi là vành tích

của A1, A2,..., An .


12

Mệnh đề 1.1.33.

 Cho A1, A2,..., An là vành và A   Ai là tích của chúng. Những phép
n

i 1

chiếu fi : A  Ai được xác định bởi fi (x )  x i là những đồng cấu vành.

 Cho

là

m1, m2,..., mn

những
xác

n

 : A   A / mi 

i 1

iđêan

định

của

vành

bởi

A.

Ánh

quy

xạ

tắc

 x   x  m1, x  m2,..., x  mn  là một đồng cấu vành. ■

Mệnh đề 1.1.34. Cho m1, m2,..., mn là những iđêan của vành A và đồng cấu
vành  : A   A / mi  ,  x   x  m1, x  m2,..., x  mn  . Khi đó:
n

i 1






Nếu mi , m j nguyên tố cùng nhau với mọi i  j thì m1...mn   mi
n

 là toàn ánh  mi , m j nguyên tố cùng nhau với mọi i  j

i 1

 là đơn ánh   mi  0 . ■
n

i 1

Định lý 1.1.35. (Định lý tránh nguyên tố)

 Cho p1,..., pn là những iđêan nguyên tố và m là một iđêan chứa trong

 p . Khi đó m  p
n

i 1

i

i

với i nào đó.


 Cho m1,..., mn là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố chứa

m .
n

i 1

i

Khi đó mi  p với i nào đó. Nếu p   mi thì mi  p với i nào đó. ■
n

i 1

Mệnh đề 1.1.36. Cho m là một iđêan của vành A . Khi đó căn của iđêan m là
giao của tất cả iđêan nguyên tố chứa m . ■


13

Mệnh đề 1.1.37. Cho m, n là hai iđêan của vành A . Khi đó rad m  , rad n 
nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi m, n nguyên tố cùng nhau. ■
1.2. Module

Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành. Một A – module là một tập hợp M với
phép nội toán  : M  M  M và phép ngoại toán : A  M  M thỏa mãn:

1) M là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử khơng (ký hiệu 0).
2) a(x  y )  ax  ay với mọi a  A và mọi x , y  M .

3)

a  b  x  ax  bx

với mọi a, b  A và mọi x  M .

4) a bx   ab  x với mọi a, b  A và mọi x  M .

5) 1x  x với mọi x  M (1 là phần tử đơn vị của vành A ).

Khi đó, vành A được gọi là vành hệ tử của module.
Ví dụ 1.6:

Mỗi nhóm Abel cộng M đều được coi là   module với phép tốn nhân

ngồi được xác định như sau:

Với mỗi x  M và n   , thì nx  x  x  ...  x (tổng gồm n phần tử

x ) với n nguyên dương; 0x  0M ; nx  n x  nếu n nguyên âm.

Định nghĩa 1.2.2. Cho M , N là hai A  module. Một ánh xạ f : M  N là một
đồng cấu A – module (hay A – tuyến tính) nếu :
i)

f x  y   f (x )  f (y ) với mọi x , y  M ;

ii) f (ax )  a  f (x ) với mọi a  A và mọi x  M .

Ghi chú:


 Nếu A là trường thì một đồng cấu A – module giống như phép biến đổi
tuyến tính của khơng gian vectơ.

 Đồng cấu A – module được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu
ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.


14

 Nếu có một đẳng cấu A – module từ M đến N thì ta nói M và N đẳng
cấu nhau, ký hiệu M  N .

Mệnh đề 1.2.3. Nếu f : M  N , g : N  L là hai đồng cấu A – module thì tích
(ánh xạ hợp) g  f : M  L cũng đồng cấu A – module. ■

Định nghĩa 1.2.4. Cho A – module M và N là tập con của M . Khi đó, N

được gọi là module con của M nếu:
i)

ii)

N  ;

x  y  N với mọi x , y  N ;

iii) ax  N với mọi x  N , a  A .

Ví dụ 1.7:


1) Mỗi A  module M luôn chứa hai module con tầm thường là module
con không 0 và M .

2) Cho A  module M và x là một phần tử của M . Khi đó tập hợp
Ax  ax | a  A là một module con của M , gọi là module con cyclic

sinh bởi x .

3) Mọi nhóm con của nhóm Abel M đều là một   module con của M .

Ghi chú:




Module con cũng là một A – module với các phép toán cảm sinh.

Iđêan m của vành A cũng là một A – module. Đặc biệt, bản thân A
cũng là một A – module.

Nếu A là một trường K thì A – module là một K - không gian vectơ.

Định nghĩa 1.2.5. Cho N là module con của A – module M . Tập thương
M / N có cấu trúc A – module với hai phép toán :

 Với mọi x  N , y  N  M / N : x  N   y  N   x  y   N .
 Với mọi x  N  M / N , a  A : a x  N   ax  N .

Ta gọi đó là module thương của module M trên module con N .



15

Ví dụ 1.8:

1) Vành thương của một vành A cũng là một A  module thương của A

2) Trường các số hữu tỉ  là một   module và  chính là một  

module con của  . Ta nhận được   module thương  /  , là một
module chỉ bao gồm các phần lẻ của các số hữu tỉ.

Mệnh đề 1.2.6. Ánh xạ

 :M  M /N
x  x N

là một toàn cấu A  module. Ta gọi đó là tồn cấu chính tắc từ module M lên
module thương M / N . ■

Mệnh đề 1.2.7. Cho N là module con của A  module M . Có một sự tương

ứng 1–1 bảo tồn thứ tự giữa những module con của M mà chứa N với những
module con của M / N .

Mệnh đề 1.2.8. Nếu f : M  N

là một đồng cấu A  module thì:


Kerf  f 1(0) là một module con của M , Im f  f (M ) là một module con

của N và f cảm sinh một đẳng cấu A  module : M / Ker f  Im f . ■
Mệnh đề 1.2.9. Cho f : M  N là một đồng cấu A  module. Khi đó :



Nếu M  là module con của M thì f M  là module con của N .

Nếu N  là module con của N thì f 1 N  là module con của M .

Mệnh đề 1.2.10. Giao

M
i I

i

của một họ module con M i 

module M là một module con của M . ■

i I

của A 

Định nghĩa 1.2.11. Cho M 1, M 2 là hai module con của A  module M và m
là một iđêan của A .





16

Tổng của M 1 và M 2 , ký hiệu M 1  M 2 là tập gồm tất cả các phần tử
x  y với x  M 1, y  M 2 . Tổng quát, tổng

của M i 

i I




M
i I

i

của họ module con

của A  module M là tập gồm tất cả các tổng

x i  M i i  I  và hầu hết x i  0 trừ một số hữu hạn.

x
i I

i


với

Tích của m và M , kí hiệu mM , là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn

a x

i i

với ai  m, x i  M .

Thương của M 1 và M 2 , kí hiệu M 1 : M 2  , là tập gồm tất cả các phần

tử a  A thỏa mãn aM 2  M 1 . Đặc biệt, thương 0 : M  là tập gồm
các phần tử a  A thỏa mãn aM  0 , được gọi là linh hóa tử của A 
module M và kí hiệu Ann M  .

Ghi chú: Nếu iđêan a  Ann M  thì A  module M sẽ có cấu trúc A / a module nhờ phép nhân ngoài a  m  x  ax (a  A, x  M ) .

Mệnh đề 1.2.12. Cho M 1, M 2 là hai module con của A  module M và m là
một iđêan của A . Khi đó, M 1  M 2 , mM là hai module con của M và

M

1

: M 2  là một iđêan của A . ■

Mệnh đề 1.2.13. Nếu x là một phần tử của A  module M thì tập tất cả các

bội số ax với a  A là một module con của M , ký hiệu Ax hoặc x và gọi

là module con của M sinh bởi x . ■


17

Định nghĩa 1.2.14. Cho A  module M .
 Nếu M   Ax i thì x i 

được gọi là hệ sinh của M , có nghĩa là mọi

i I

i I

phần tử của M có thể biểu diễn (khơng nhất thiết duy nhất) dưới dạng tổ
hợp tuyến tính hữu hạn của x i 

i I

với hệ số trong A .

 M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
 Hệ sinh x i 

i I

của M được gọi là cơ sở của M nếu phần tử 0 được biểu

diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của họ x i 
nếu


 0 thì ai  0 với mọi i  I .

a x
i I

i I

i i

, tức là

Định nghĩa 1.2.15.

 Nếu M , N là các A  module thì tổng trực tiếp của chúng, kí hiệu
M  N , là tập gồm tất cả các cặp x , y  với x  M , y  N . Tổng quát,

nếu M i 

i I

, là một họ bất kỳ các A  module thì tổng trực tiếp  M

là tập gồm tất cả các họ x i 
hết x i  0 .

 Nếu M i 

i I


i I

i I

thỏa mãn x i  M i với mỗi i  I và hầu

là một họ bất kỳ các A  module thì tích trực tiếp của

chúng, ký hiệu
với mỗi i  I .

M
i I

i

, là tập gồm tất cả các họ x i 

i I

thỏa mãn x i  M i

Ghi chú: Khi tập chỉ số I  1, 2,..., n  là một tập hữu hạn thì tổng trực tiếp
 M  M 1  M 2  ...  M n và tích trực tiếp

i I

M
i I


i

 M 1  M 2  ...  M n

hiển nhiên trùng nhau. Cịn nếu I là tập vơ hạn thì tổng trực tiếp và tích trực
tiếp hồn tồn khác nhau.


18

Mệnh đề 1.2.16. Nếu M , N là các A  module thì tổng trực tiếp M  N là
một A  module nếu ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng :
 x 1, y1   x 2, y2   x 1  x 2, y1  y2  .
 a x , y   ax , ay  .

Mệnh đề 1.2.17. M là một A  module hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng

cấu với thương của An  A  ...  A (n số hạng) với số nguyên dương n nào
đó. ■

Mệnh đề 1.2.18. (Bổ đề Nakayama). Cho M là một A  module hữu hạn sinh
và m là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson J của A . Khi đó nếu

mM  M thì suy ra M  0 . ■

Ghi chú: Nếu A là một vành địa phương, m là iđêan tối đại của nó, M là một

A  module hữu hạn sinh. Khi đó M / nM được linh hóa bởi m , do đó là một

A / m  module, nghĩa là A / m - không gian vectơ hữu hạn chiều.


Mệnh đề 1.2.19. Cho x 1,..., x n là những phần tử của M mà ảnh của chúng

trong M / mM tạo thành một cơ sở của không gian vectơ này. Khi đó, x i sinh
ra M . ■

Định nghĩa 1.2.20.


Một dãy các A  module và A  đồng cấu :

i 1
i
...  M i 1 
M i 
 M i 1  ... được gọi là khớp

f




f

tại M i nếu Im fi  Kerfi 1 .

Một dãy được gọi là dãy khớp nếu dãy đó khớp tại mọi M i .

f
g

Dãy khớp dạng 0  M  
M 
M   0 được gọi

là dãy khớp ngắn.


19

Mệnh đề 1.2.21.



f
Dãy 0  M  
M là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu.

g
Dãy M 
 M   0 là khớp khi và chỉ khi g tồn cấu. ■

1.3. Sự phân tích ngun sơ

Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ nếu
q A

và nếu

xy  q, x  q


thì suy ra

yn  q

với

n

nào đó.

Nói cách khác, một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ khi

và chỉ khi A / q  0 và mọi ước của 0 trong vành thương A / q đều là lũy linh.
Mệnh đề 1.3.2. Cho p, q là hai iđêan của vành A và p  q . Khi đó q nguyên
sơ khi và chỉ khi q / p

nguyên sơ trong vành thương A / p . ■

Mệnh đề 1.3.3. Nếu q là một iđêan nguyên sơ của vành A thì rad q  là iđêan
nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả những iđêan nguyên tố của A mà chứa q . ■

Định nghĩa 1.3.4. Cho q là một iđêan nguyên sơ của vành A . Nếu p  rad q 
thì q được gọi là p – nguyên sơ.

Mệnh đề 1.3.5. Nếu rad q  là tối đại thì q là nguyên sơ. Đặc biệt, lũy thừa của
một iđêan tối đại m là m – nguyên sơ. ■

Mệnh đề 1.3.6. Nếu q1,..., qn là p – nguyên sơ thì q   qi là p – nguyên sơ. ■
n


i 1

Định nghĩa 1.3.7. Một sự phân tích nguyên sơ của một iđêan p của vành A là
sự biểu diễn p dưới dạng giao hữu hạn những iđêan nguyên sơ: p   qi
n

i 1

Ngoài ra, nếu tất cả rad qi  đều phân biệt và không qi nào chứa giao của

những cái còn lại ( tức qi   q j với i  1,..., n ) thì sự phân tích nguyên sơ
được gọi là tối tiểu.

j i


20

Định lý 1.3.8. Cho m là iđêan có sự phân tích nguyên sơ và m   qi là một
n

i 1

sự phân tích nguyên sơ tối tiểu của m . Đặt pi  rad q i  , i  1,..., n . Khi đó pi

là những iđêan nguyên tố xuất hiện trong tập những iđêan rad m : x  x  A và
không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ của m . ■
Định nghĩa 1.3.9.




Những iđêan nguyên tố pi ở trên dược gọi là liên kết với m .

Những phần tử tối thiểu của tập p1,..., pn  ở trên được gọi là iđêan
nguyên tố cô lập liên kết với m .

Hệ quả 1.3.10. Những thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố cô
lập pi là xác định duy nhất bởi m . ■

Định nghĩa 1.3.11. Một iđêan m của vành A được gọi là bất khả quy nếu nó
khơng phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự.

Nói cách khác, iđêan m của vành A là bất khả quy khi và chỉ khi

m  A và với mọi iđêan n, p nếu m  n  p thì m  n hoặc m  p .


21

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HỐN ARTIN

2.1. Điều kiện dây chuyền

Mệnh đề 2.1.1. Những điều kiện sau đây là tương đương:

i) Mọi dãy giảm các module con M 1  M 2  ... của M đều dừng (nghĩa
là, tồn tại n thỏa mãn M n  M n 1  ... );

ii) Mọi họ khác rỗng những module con của M , sắp thứ tự theo quan hệ
bao hàm  , đều có phần tử tối tiểu.


Chứng minh:

i)  ii) Giả sử ii) sai, tức có một họ khác rỗng T các module con của M khơng

có phần tử tối tiểu. Lấy M 1  T , khi đó tồn tại M 2  T sao cho M 1  M 2 . Lập
luận tương tự ta xây dựng được dãy vô hạn giảm nghiêm ngặt
M 1  M 2  M 3  ... nên trái với giả thiết i).

ii)  i) Họ M m 

ta được i). ■

m 1

có một phần tử tối tiểu, chọn phần tử tối tiểu đó làm M n

Ghi chú:


i) được gọi là điều kiện dây chuyền giảm và ii) được gọi là điều kiện tối



Nếu tập những module con của module M được sắp thứ tự theo quan

tiểu.

hệ bao hàm  thì i) được gọi là điều kiện dây chuyền tăng và ii) được
gọi là điều kiện tối đại.


Định nghĩa 2.1.2.


Module M thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương: điều kiện

dây chuyền giảm hoặc điều kiện tối tiểu, gọi là module Artin (đặt theo
tên Emil Artin).