TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - TIN
-----------------------

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC
VÀ CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG

TĨM TẮT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - TIN

-----------------------

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC
VÀ CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. LƯU THỊ THU HUYỀN

Phú Thọ, 2018

i

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hồn thành tại trường Đại học Hùng Vương dưới sự 
hướng dẫn khoa học của ThS.Lưu Thị Thu Huyền. Để hồn thành khóa luận tốt 
nghiệp, ngồi sự nỗ lực của bản thân, em xin gửi lời cảm ơn đến ban giám hiệu, 
các thầy cơ trong khoa Tốn – Tin trường  Đại học Hùng Vương đã tận tình giúp 
đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong q trình nghiên cứu và thực hiện đề 
tài khóa luận. 
Đặc  biệt,  emxin  bày  tỏ  lịng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  cơgiáo  hướng  dẫn  của 
mình là ThSLưu Thị Thu Huyền đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt 
q trình nghiên cứu và hồn thiện khóa luận. 
Mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức xong do thời gian có hạn cùng với 
khối lượng kiến thức lớn và khó nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót. 
Em  rất  mong  nhận  được  sự  góp  ýcác  thầy  giáo,  cơ  giáo  cùng  các  bạn  đọc  để 
khố luận được hồn thiện hơn. 
Em xin chân thành cảm ơn! 

Việt Trì, ngày    tháng     năm 2018 
                                                                Sinh viên 

Vũ Thị Ngọc Ánh 
 

 


ii

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................................... i 
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1 
1. Lý do chọn đề tài khóa luận. ......................................................................................... 1 
2. Mục tiêu khóa luận. .......................................................................................................... 2 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ..................................................................................................... 2 
4. Phương pháp nghiên cứu. .............................................................................................. 2 
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................................................. 2 
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ..................................................................................... 2 
CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ....................... 4 
1.1.Định nghĩa về tứ giác. Phân loại tứ giác ............................................................... 4 
1.1.1.Định nghĩa về tứ giác ................................................................................................ 4 
1.1.2. Phân loại tứ giác ......................................................................................................... 4 
1.1.3.Ký hiệu và các hệ thức cơ bản ............................................................................... 4 
1.2.Định lý Ptoleme và một số mở rộng ....................................................................... 6 
1.1.2.  Định lý Ptoleme ...................................................................................................... 6 
1.2.2. Bất đẳng thức Ptoleme ............................................................................................. 8 
1.2.3. Định lý Bretschneider .............................................................................................. 9 
1.2.4.Định lý Casey ............................................................................................................. 10 
1.2.5.Định lý Carnot ............................................................................................................ 12 
1.3.Định lý Bramagupta..................................................................................................... 14 
1.4 Định lý Brokard ............................................................................................................. 15 
1.5. Tứ giác đặc biệt ............................................................................................................ 16 
1.5.1. Tứ giác nội tiếp đường trịn ................................................................................. 16 
1.5.2. Tứ giác ngoại tiếp đường trịn............................................................................ 22 
1.5.3. Tứ giác đồng thời nội tiếp và ngoại tiếp ........................................................ 31 
1.5.4. Tứ giác với những đường chéo vng . .......................................................... 32 
CHƯƠNG 2: .......................................................................................................................... 36 
CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ................................................ 36 
LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC ........................................................................................ 36 



iii
2.1 Bài tập áp dụng định lý Ptoleme và một số mở rộng ..................................... 36 
2.2.  Bài tập áp dụng định lý Brocard .......................................................................... 57 
2.3. Bài tập áp dụng định lý Bramagupta ................................................................... 62 
KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 70 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 71 


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận.
Tốn học là một bộ mơn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, khơng 
gian và các phép biến đổi. Là mơn học cơ bản có vai trị quan trọng trong đời 
sống và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một mơn học tương đối 
khó, mang tính tư duy cao, địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi khám phá và 
say mê nghiên cứu. Chính vì thế tốn học được khai thác để góp phần phát triển 
năng lực trí tuệ chung và hình thành các phẩm chất trí tuệ cho học sinh như tính 
linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo. 
Hình học là một ngành khoa học của Tốn học. Hình học được đưa vào 
chương trình tốn từ rất sớm. Với mỗi học sinh hình học ln là một mơn học 
khó, bởi để học  mơn  này học sinh cần tích cực, biết hệ thống kiến thức và có 
khả năng tư duy sáng tạo. 
 Trong hình học phẳng, Tứ giác là một trong những hình cơ bản mà chúng 
ta cần phải nắm được khi học về hình học. Là nền tảng cho học sinh tiếp cận với 
những kiến thức về hình sơ cấp. Chính vì thế các khái niệm cơ bản về tứ giác đã 
được đưa vào chương trình ngay từ cấp 1 học sinh đã được nhận diện tứ giác và 
lên các  cấp cao hơn  thì được học  kĩ  hơn. Cụ thể là ngay  chương đầu  tiên  của 
tốn lớp 8 đã giành 1 chương về tứ giác. Muốn giải các bài tốn sau này về hình 

học  thì trước hết  chúng ta phải nắm  vững  được những kiến thức  cơ bản về tứ 
giác. Khi học về tứ giác ta có một số định lý quan trọng có nhiều ứng dụng để 
giải các bài tập.  
Các định lý trong tứ giác được áp dụng rất nhiều và rất quan trọng. Tuy 
nhiên, thực tế cho thấy rằng học sinh của chúng ta đơi khi cịn chủ quan và chưa 
nắm hết được tầm quan trọng của các định lý này chính vì thế dẫn đến sự bối dối 
trong việc giải các bài tập áp dụng.  
Các định lý được trình bày trong khóa luận chủ yếu là những định lý chưa 
được đề cập đến trong sách giáo khoa. Những định lý này chủ yếu áp dụng giải 


2
những bài tốn nâng cao và bài tốn thi học sinh giỏi. Do đó việc tìm hiểu sâu 
những định lý này rất cần thiết. 
Nhận thấy được tầm quan trọng của các định lý trong tứ giác và các bài 
tập áp dụng tơi quyết định chọn: “Một số định lý liên quan đến tứ giác và các
bài tốn áp dụng ” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp của mình.   
2. Mục tiêu khóa luận.
Tuyển chọn và giới thiệu được những bài tốn từ đơn giản đến phức tạp 
có  sử  dụng  những  định  lý:  Định  lý  Ptoleme  và  một  số  mở  rộng,  định  lý 
Bramagupta, định lý Brocard, để giải các bài tập liên quan. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
  Tìm hiểu về tứ giác và các định lý trong tứ giác  
  Nghiên cứu tổng hợp các bài tập áp dụng định lý trong tứ giác, các bài tập 
đưa ra phù hợp với năng lực học sinh. 
4. Phương pháp nghiên cứu.
  Phương  pháp  nghiên cứu lý luận:  Đọc  và  nghiên  cứu  tài  liệu,  giáo trình có 
liên quan đến các định lý trong tứ giác. 
  Phương  pháp  lấy  ý  kiến  chun  gia:  Lấy  ý  kiến  của  giảng  viên  trực  tiếp 
hướng dẫn, các giảng viên khác để hồn thiện về mặt nội dung và hình thức của 

khóa luận. 
  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu, 
giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu. 
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng: Một số định lý liên quan đến tứ giác và bài tập áp dụng. 
b) Phạm vi: Tập trung nghiên cứu định lý: Định lý Ptoleme và một số mở rộng, 
định lý Bramagupta, định lý Brocard. 
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận trình bày khá chi tiết về các định lý trong tứ giác. Những định 
lý được đề cập trong khóa luận là những định lý khơng có trong sách giáo khoa 
tuy nhiên lại hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, chính vì vậy khi khóa luận hồn 


3
thành sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho việc dậy và học. khóa ln xây dựng 
được hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, phù hợp với năng lực học sinh nhằm 
giúp học sinh áp dụng tốt các định lý trong tứ giác đồng thời phát triển tư duy 
tốn học. 


4
CHƯƠNG 1. TỨ GIÁC VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN
1.1Định nghĩa về tứ giác. Phân loại tứ giác
1.1.1. Định nghĩa về tứ giác
Định nghĩa 1.1
 

Tứ giác  ABCD  là hình gồm bốn đoạn thẳng  AB, BC, CD, DA  trong đó bất 

kì hai đoạn thẳng nào cũng khơng cùng nằm trên một đường thẳng. 

Định nghĩa 1.2  
 

Hình  tứ  giác là  một  đa  giác  có  4  cạnh  và  4  đỉnh. Tứ  giác có  thể  là tứ 

giácđơn (khơng có cặp cạnh đối nào cắt nhau), hoặc tứ giác kép (có hai cặp cạnh 
đối cắt nhau). Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm. Tổng các góc của tứ giác là 360 
độ. 
1.1.2. Phân loại tứ giác

i ) Tứ giác đơn: Tứ giác đơn là bất kỳ tứ giác nào khơng có cạnh nào cắt nhau. 

ii) Tứ  giác  lồi: Tứ  giác  lồi là  tứ  giác  mà  tất  cả  các  góc  trong  nó  đều  nhỏ  hơn 
180° và hai đường chéo đều nằm bên trong tứ giác. Hay dễ hiểu hơn thì tứ giác
lồi là tứ giác ln nằm gọn trong một nửa mặt phẳng có chứa bất kỳ cạnh nào. 

iii ) Tứ  giác  lõm: Tứ giác  lõm là  tứ giác  chứa  một góc trong có số đo lớn hơn 
180° và một trong hai đường chéo nằm bên ngồi tứ giác. 

iv ) Tứ giác khơng đều: Là tứ giác mà nó khơng có cặp cạnh nào song song với 
nhau. Tứ  giác  khơng  đều thường  được  dùng  để  đại  diện  cho tứ  giác  lồi nói 
chung (khơng phải là tứ giác đặc biệt). 
1.1.3. Ký hiệu và các hệ thức cơ bản


5
 

Ta ký hiệu  ABCD  là tứ giác lồi với các đỉnh là  A, B, C , D được vẽ theo một 


chiều nhất định nào đó (cùng chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ). 
Để đơn giản, độ lớn của góc tương ứng với các đỉnh  A, B, C , D cũng được kí 
hiệu tương ứng là A, B, C , D .  
Độ dài các cạnh của tứ giác:  AB  a, BC  b, CD  c, DA  d .  
Nửa chu vi của tứ giác:  p 

abcd
 
2

Độ dài các đường chéo  AC  m, BD  n.  
Diện tích của tứ giác: S  SABCD   ABCD . 
Hệ thức về góc:  A  B  C  D  3600  2  .  
Hệ thức về cạnh: a < b + c + d,  b < c + d + a,  c < d + a + b,  d < a + b + c.  
Hệ thức giữa các cạnh và đường chéo: Trong một tứ giác, tổng các độ dài hai 
cạnh đối diện nhỏ hơn tổng hai đường chéo: 

a + c < m + n, b + d < m + n  
Định nghĩa 1.3. Tứ giác có hai cạnh song song được gọi là hình thang. Hai cạnh 
song song được gọi là hai cạnh đáy, hai cạnh cịn lại được gọi là hai cạnh bên. 
Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên được gọi là đường trung bình của 
hình  thang.  Hình  thang  được  gọi  là  hình  thang  cân,  nếu  các  góc  kề  cạnh  đáy 
bằng nhau. 
Mệnh đề 1.1. Độ dài đường trung bình của hình thang bằng một nửa tổng độ dài 
hai cạnh đáy  MN 

AB  DC
 
2


Định nghĩa 1.4. Tứ giác có các cạnh đối song song được gọi là hình bình hành. 
Mệnh đề 1.2. Đối với tứ giác lồi  ABCD  các phát biểu sau đây là tương đương. 


6
a)  ABCD là hình bình hành.  
b) AB  DC  và  AD  BC.  
c)  AB / / DC  và  AB  DC.  
d)  A  C  và  B  D . 
e) Các đường chéo  AC và  BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 
Định nghĩa 1.5. Tứ giác có bốn góc vng là hình chữ nhật, có bốn cạnh bằng 
nhau là hình thoi, có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vng là hình vng. 
Mệnh đề 1.3.  Đối  với  hình  bình hành  ABCD ,  các  phát biểu  sau  đây  là  tương 
đương. 
a)  ABCD  là hình chữ nhật.  
b)  A  900.  
c)  AC  BD.  
Mệnh đề 1.4.  Đối  với  hình  bình hành  ABCD ,  các  phát biểu  sau  đây  là  tương 
đương 
a)  ABCD  là hình thoi. 
b)  AB  BC.  
c)  AC  BD.  
d)  AC  là phân giác của  A . 
1.2.Định lý Ptoleme và một số mở rộng
1.1.2. Định lý Ptoleme
Định lý 1.1


7
Hay  cịn  gọi  là   Đẳng  thức  Ptoleme là  đẳng  thức  trong hình  học 

Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác 
nội  tiếp  đường  trịn. Định  lý  này  mang  tên nhà  tốn  học và thiên  văn 
học người Hy Lạp cổ đại Ptoleme (Claudius Ptolemaeus). 
Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường trịn thì: 

AC . BD  AB . CD  BC . AD  
với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài của các cạnh. 
Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo: 
Thuận:Nếu  một  tứ  giác  nội  tiếp  trong  một  đường  trịn  thì  tích  của  hai 
đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện. 
Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh 
đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường trịn. 
B
A

C

D

Chứng minh:
Gọi  ABCD là tứ giác nội tiếp đường trịn. 
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp  BAC  BDC và trên cung AB, 

ADB  ACB  
Lấy 1 điểm  K  trên  AC  sao cho  ABK  CBD ; 


8
Từ  ABK  CBK  ABC  CBD  ABD  CBK  ABD  
Do vậy  ABK


Suy ra: 

DBC , và tương tự có  ABD

KBC  

CK DA
AK CD


 và 
 ; 
BC BD
AB BD
 AK .BD  AB.CD  và  CK .BD  BC.DA  

 

Cộn

g các vế của 2 đẳng thức trên:  

AK .BD  CK .BD  AB.CD  BC.DA   AK  CK  .BD  AB.CD  BC.DA;  
Mà  AK  CK  AC , nên AC.BD  AB.CD  BC.DA;  
(điều phải chứng minh) 
1.2.2.Bất đẳng thức Ptoleme
Bất đẳng thức Ptolemelà  trường  hợp  tổng  quát  của  định  lý  Ptoleme  đối 
với một tứ giác bất kỳ. Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì:
AB.CD  BC.DA  AC.BD  


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và 
trở thành định lý Ptoleme.
Chứng minh:


9

 
Dựng thêm điểm  E  sao cho 2 tam giác 
sao cho 2 tam giác  BCD  và  BEA  đồng dạng.
ồng dạng. 
Đối với một tứ giác khơng nội tiếp trong đ
ối với một tứ giác khơng nội tiếp trong đường trịn khi đó ta có b
đó ta có bất đẳng thức 
Ptoleme. 
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng v
ử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
ất đẳng thức tam giác. 
Dựng điểm  E  sao cho   BCD  đồng dạng với   BEA . Khi đó, theo tính chất của 
. Khi đó, theo tính ch
tam giác đồng dạng, ta có
ồng dạng, ta có: 

BA.CD  EA.BD
Suy ra:  BACD

BA BD

 

EA CD

1  

Mặt khác,  EBC và  ABD  cũng đồng dạng do có: 

BA BE

 và  EBC  ABD  
BD BC
Từ đó:

EC AD

 AD.BC  EC.BD  2   
BC BD

Cộng (1) và (2) ta suy ra
à (2) ta suy ra: AB.CD  AD.BC  BD. EA  EC   
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra
ụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra: 
AB.CD  BC.DA  AC.BD  

1.2.3. Định
nh lý Bretschneider
Định lý 1.2


10
Cho  tứ  giác  ABCD có  độ  dài  các  cạnh  AB, BC , CD, DA của  tứ  giác  lần 

lượt là  a, b, c, d và độ dài các đường chéo  AC , BD là  m, n. Khi đó ta có: 
m 2 n 2  a 2c 2  b 2 d 2  2abcd .cos  A  C  .  

Chứng minh:
N
A
M
B

D

C

Trên cạnh  AB  ra phía ngồi dựng tam giác  ABN đồng dạng với tam giác 

CAD, và  dựng  ra  phía ngồi  cạnh  AD tam  giác  ADM đồng  dạng với  tam  giác 
CAB.  

Khi đó dễ thấy  AN 

ac
bd
ad
; AM 
; NB  DM 
 và  BDMN  là hình 
m
m
m


bình hành. 
Đồng thời ta có  NAM  A  C.  Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác 
NAM  ta có: 
2

2

 ac   bd 
 ac   bd 
n        2   .  .cos  A  C 
m m
mm
 m 2 n 2  a 2c 2  b 2 d 2  2abcd .cos  A  C  .
2

 

1.2.4. Định lý Casey
Định lý 1.3
Cho  O   là  một đường trịn bán kính  R .  Cho  O1 , O2 , O3 , O4   là  bốn đường 
trịn  theo  thứ tự  khơng  cắt  nhau  cùng  ở  trong  (  hoặc  ở  ngoài)  và  tiếp  xúc  với 


11
đường  tròn  O .  Định  nghĩa  tij   là  độ  dài  tiếp  tuyến  ngồi  của  cách  đường  trịn 

Oi , O j .  
Khi đó:    t12 .t34  t41.t23  t13 .t24  
Trong trường hợp các đường trịn  O1 , O2 , O3 , O4  suy biến thành một điểm 
định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme. 


t14
t

O4

24
O1

t
34

t
12

t
13
O2

O3
t
23

Chứng minh:
Gọi  bán  kính  của  đường  trịn  Oi  là  Ri và  các  đường  tròn  này  tiếp  xúc 
với  O  tại  K i . Gọi  là tâm của các đường tròn này. 
2

2


Theo định lý Pytago: tij 2  OiO j   Ri  R j   
Trong tam giác  OOO
i
j  áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của  Ki , K j : 
2

2

2

OiO j  OOi  OO j  2OOi .OO j cos OiOO j  
Vì các đường trịn  O , Oi  tiếp xúc nhau:  

OOi  R  Ri , OiOO j  KiOK j  


12
Gọi  C  là một điểm trên đường trịn  O . Theo định lý sin trong tam giác 

KiCK j  ta có: K i K j  2 R.sin K iCK j  2 R.sin

K iOK j
2

 .  

Do đó: 

cos KiOK j  1  2sin


2

KiOK j
2

KK
 1  2. i j
 2R


2

2


Ki K j
 
  1 
2
2
R


Từ các đẳng thức trên ta có: 
2

2

2


2

2

2

Oi O j   R  Ri    R  R j 

 KK 2
i
j
 2  R  Ri   R  R j  1 
2
2R








Oi O j   R  Ri    R  R j   2  R  Ri   R  R j    R  Ri   R  R j 
2

Oi O j 

 R  R    R  R 
i


j

2

  R  Ri   R  R j 

Ki K j

Ki K j
R2

2

 

2

R2

Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là: 
2

2

tij  OiO j   Ri  R j  

R  Ri . R  R j .K i K j
R

 


 

Áp 

dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp  K1 K 2 K 3 K 4  vế trái đẳng thức trên ta 
có: 

1
. R  R1 . R  R2 . R  R3 . R  R4 K1 K 2 .K3 K 4  K1 K 4 .K 2 K3
R2
1
 2 R  R1 . R  R2 . R  R3 . R  R4 K1 K3 .K 2 K 4
 
R
 t13t24

t12 t34  t14t23 





Định lý được chứng minh 
1.2.5. Định lý Carnot
Định lý 1.4.







13
Cho tam giác nhọn  ABC  nội tiếp trong đường tròn   O, R   và ngoại tiếp 
đường tròn   I , r   Gọi  x, y , z  lần lượt là khoảng cách từ O  tới các cạnh tam giác. 
Chứng minh rằng  x  y  z  R  r.  

Chứng minh

A

P

B

N
O
M

C

Gọi  M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB .  
Giả 

sử x  OM , y  ON , z  OP, BC  a, CA  b, AB  c . 

Tứ 

giác 


OMBP nội tiếp, theo đẳng thức Ptoleme ta có  OB.PM  OP.MB  OM .PB . Do 

đó: 

b
a
c
R.  z.  x.
2
2
2
c
a
b
c
a
b
Tương tự ta cũng có  R.  y.  x. ; R.  y.  z. ;
2
2
2
2
2
2
Mặt khác: 

 *  
**  



14

a b c
r.       ABC   OBC   OCA  OAB 
 2 2 2
a
b
c
 x.  y.  z.
2
2
2

***
 

Từ  * , ** , ***  ta có: 

abc
abc
   x  y  z  .

2
2



 
Rr  x yz


 R  r  .

1.3.Định lý Bramagupta
Định lý 1.5
Cho  có  hai  đường  chéo  vng  góc  với  nhau  tại  I .Chứng  minh  rằng 
đường  thẳng  đi  qua  I và  trung  điểm  của  một  cạnh  của  tứ  giác  vng  góc  với 
cạnh đối diện.  
Chứng minh:

 
 
 
Khơng mất tính tổng qt, giả sử tứ giác  ABCD   nội tiếp có  AC  BD  ; lấy  E
là trung điểm của  BC , ta chứng minh rằng  IE  AD .   
Thật vậy, gọi  F  là giao điểm của  IE   với  AD .   
Tam giác  BIC vng tại  I có  E là trung điểm của  BC  nên  EIC  ECI  


15

BCA  BDA  (cùng chắn cung  AB ) 
Mặt khác  EIC  AIF (đối đỉnh)  BCA  AIF ;  vì  AIF  DIF  900  
 DIF  BDA  900 nghĩa là  IE  AD.

1.4Định lý Brokard
Định lý 1.6
Cho tứ giác lồi  ABCD nội tiếp đường tròn tâm  O . AD  giao  BC  tại  M ,
AB   giao CD  tại  N , AC giao  BD  tại  I . Chứng  minh rằng  O  là trực tâm của 

tam giác  MIN .  


 
Chứng minh:
Gọi H là giao thứ 2 của hai đường trịn ngoại tiếp các tam giác  AID  và 
BIC  

Xét tứ giác  DOHC  ,ta có: 

DHC  3600  DHI  CHI  DAC  DBC  DOC  
  tứ giác  DOHC  nội tiếp. 

Tương tự ta cũng suy ra: tứ giác  AOHB  nội tiếp. 
Dễ thấy: NA.NB  NC .ND  


16
 N nằm trên trục đẳng phương của hai đường trịn  O, H , N  thẳng hàng. 

Ta có: 

IHO  IHD  OHD  ADC  ACD  OCD

 

0

 OCA  ODA  ODC  90  IM  ON
Tương tự ta có  IN  OM  
Suy ra O là trực tâm tam giác  MIN (đpcm) 
1.5. Tứ giác đặc biệt

1.5.1. Tứ giác nội tiếp đường trịn
Định nghĩa1.6. Tứ giác nội tiếp đường trịn là tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên 
một đường trịn. Đường trịn đó được gọi là đường trịn ngoại tiếp tứ giác. Tính 
chất.  
Tính chất 1. Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 1800 .  
Tính chất 2. Tứ giác  ABCD  có  AC cắt  BD tại  I và  IA.IC  IB.ID thì nội tiếp.  
Tính chất 3. Tứ giác  ABCD  có  AB cắt  CD tại  I và  IA.IB  IC .ID thì nội tiếp.  
Tính chất 4. Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn xuống một cạnh cịn lại dưới một 
góc bằng nhau thì nội tiếp.  
Tính chất 5.Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cho trước thì nội tiếp.  
Tính chất 6. Góc ngồi tại một đỉnh của một tứ giác bằng góc trong đối diện với 
đỉnh đó của tứ giác ấy thì nội tiếp. 
Cơng thức tính diện tích:

S
 

 p  a  p  b  p  c  p  d   

Kí  hiệu  S   là  diện  tích  của  tứ  giác  nội  tiếp  ABCD   với  độ  dài  các  cạnh  là 

a, b, c, d  và  p  là nửa chu vi. 


17
Bài tốn 1:Cho tam  giác ABC có  A  700 . Đường phân giác của góc  BAC  cắt 
đường tròn ngoại tiếp tam giác tại  I . Vẽ hai dây cung  IE , IF  lần lượt cắt cạnh 
BC tại  M , N .  

a)  Tính  BIC  

b)  Chứng minh rằng tứ giác  MNEF  nội tiếp. 
A
F

E

B

Lời giải:

M

N

I

C

 

a)  Tứ giác  ABIC  nội tiếp được nên:  BAC  BIC  1800.  
Suy ra:  BIC  1800  BAC.  
Với  BAC  700  suy ra  BIC  1100.  

b) Theo tính chất góc nội tiếp, góc có đỉnh trong đường trịn ta có: 

EFN  EMB  (chắn những cung bằng nhau) 
Mà  EMB  EMN  1800  EFN  EMN  1800 .  
Vậy tứ giác  MNFE  nội tiếp. 
Bài tốn 2: Tỉ số giữa những đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường trịn 

bằng tỉ số tổng những tích các cạnh có chung điểm cuối với đường chéo tương 
ứng, nghĩa là:  


18

m ad  bc

n ab  cd  

Lời giải:
 

C
B

E
D

A
F

Trên đường ngoại tiếp tứ giác  ABCD  cho  E , F  thoả mãn tính chất: 
CDB  ADE , BDA  FCD. 1  

Khi đó ta có  AE  b; FD  a, EC  c, BF  d .  
Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác  AECD  và tứ giác  BCDF  ta nhận được:  
m.ED  ad  bc ,  n.CF  cd  ab.  2   

Từ  1  ta có  CDE  CDB  BDE  ADE  BDE  ADB  FCD , 

Nghĩa là  FC  ED.  Vì thế từ   2   ta tìm được đẳng thức cần chứng minh. 


19
Bài tốn 3: Cho đường trịn có bán kính R  1 . Trên tiếp tuyến tại một điểm  A
của đường trịn, lấy điểm  T với  AT  1.  Đường thẳng d quay quanh T cắt đường 
trịn tại B và C. Xác định góc nhọn α giữa đường thẳng d và tiếp tuyến AT sao 
cho tam giác  ABC  có diện tích lớn nhất. 

Lời giải:
A
1

T

c 1
B
a

b

C

 

Ta  có  TA  R  1 với  TA   là  tiếp  tuyến.  Suy  ra  đường  thẳng  d  qua  T  và  cắt 

đường trong tại  B, C.  Khi góc    giữa d và  TA  là nhọn.  ABC  có  B    C ,  

A     B  C       2C  .  

Theo định lý hàm số sin thì: 
a  2 R sin A  2sin   2C 

 

c  2 R sin C  2sin C.

Ngoài ra  ATB  cho: 
c
AT
2 R sin C
1
  (Do  ABT  B   ) 



sin  sin ABT
sin 
sin   C 


20
 sin   2 R.sin C .sin   C   2sin C.sin(  C )  cos   cos   2C 
 cos   2C   cos   sin 

 

Diện tích  ABC  là: 

S   ATC    ATB 

1
1
1
 TATC
. .sin   TATB
. .sin   TC  TB  TA.sin 
2
2
2

1
1
  BC  sin   doTA  1  .2.sin   2C  .sin   
2
2

 

 S 2  sin 2   2C  .sin 2 
2
 sin 2  1   cos  sin     


3
 2sin  .cos

 S 4  6sin 6  cos 2   4sin 6  1  sin 2  
 
4
 sin 2  .sin 2  .sin 2  . 3  3sin 2   .

3
4

4  sin 2   sin 2   sin 2   3  3sin 2  
S  

3
4
  
27
 S4 
64
4

Vậy max  S 

4

27
 đạt được khi: 
64
sin 2   3  3sin 2   sin  

3

 
2
3 

Bài tốn 4:Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa đỉnh 


DCB 
A, lấy điểm D sao cho DB = DC và 

1
ACB
2