TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRẦN THỊ HỒNG DUYÊN

HỆ SINH CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: ĐHSP Toán

Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Tiến Mạnh

.

Phú Thọ, 2019

Phú Thọ, 2019


LỜI CẢM ƠN
Đề tài “ Hệ sinh của một số cấu trúc đại số” là nội dung tôi chọn để
nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp sau bốn năm theo học chƣơng trình đại học
ngành sƣ phạm Tốn tại trƣờng đại học Hùng Vƣơng.
Để hồn thành q trình nghiên cứu và hồn thiện khóa luận này, lời đầu
tiên tơi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy Ts. Nguyễn Tiến Mạnh. Thầy đã
trực tiếp chỉ bảo và không tiếc thời gian q báu của mình hƣớng dẫn tơi trong
suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thiện khóa luận này. Ngồi ra, tơi xin chân
thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Khoa học Tự nhiên đã đóng góp những ý
kiến q báu cho khóa luận.
Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo nhà trƣờng, lãnh đạo khoa Khoa học Tự

nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt khóa luận của mình.
Mặc dù đã rất cố gắng nỗ lực nhƣng khóa luận cũng khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp, phê bình của
q thầy cơ và các bạn để khóa luận đƣợc hồn thiện hơn.
Trân trọng cảm ơn!

Việt Trì, ngày 6 tháng 05 năm 2019
Sinh viên thực hiện

Trần Thị Hồng Duyên


MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài khóa luận. ............................................................................. 1
2. Mục tiêu khóa luận. ........................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ....................................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................... 2
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu..................................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn........................................................................... 2
7. Bố cục của khóa luận ........................................................................................ 3
PHẦN II: NỘI DUNG .......................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ ...................................... 4
1.1. Hệ sinh của không gian vectơ ........................................................................ 4
1.2. Không gian hữu hạn sinh ............................................................................. 11
1.3. Không gian vectơ chiều vô hạn .................................................................... 13
1.4. Không gian thƣơng ....................................................................................... 13
1.5. Bài tập .......................................................................................................... 15
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1...................................................................................... 27
CHƢƠNG II: HỆ SINH CỦA NHĨM ............................................................... 28

2.1. Hệ sinh của nhóm ......................................................................................... 28
2.2. Nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic ................................................................ 28
2.3. Bài tập .......................................................................................................... 36
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2...................................................................................... 47
CHƢƠNG III: HỆ SINH CỦA IĐÊAN .............................................................. 48
3.1. Hệ sinh của iđêan ......................................................................................... 48
3.2. Iđêan hữu hạn sinh ....................................................................................... 51
3.3. Bài tập .......................................................................................................... 56
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3...................................................................................... 62
PHẦN III: KẾT LUẬN ....................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 64


1
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận.
Cấu trúc đại số là một môn học quan trọng của sinh viên khoa Tốn. Nó giúp
chúng ta hiểu biết lí thuyết tổng qt về phép tốn, biết đƣợc rằng: Số tự nhiên,
số nguyên, số hữu tỷ...cùng với các phép tốn trên nó chỉ là các mơ hình của
những cấu trúc đại số tổng qt.
Ở chƣơng trình phổ thơng, học sinh đƣợc tiếp cận với cấu trúc đại số thông
qua các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức cùng với các
phép tốn trên nó. Ở trƣờng Cao đẳng, Đại học sinh viên ngành toán đƣợc hiểu
rõ hơn về cấu trúc đại số thông qua: Tập hợp và quan hệ, nửa nhóm và nhóm,
vành và trƣờng, vành đa thức trong quyển “Đại số đại cƣơng” của tác giả Hồng
Xn Sính. Cuốn sách đó đƣợc làm tài liệu chính của sinh viên ngành Tốn
trƣờng Đại học Hùng Vƣơng và một số trƣờng Đại học Sƣ phạm khác. Ngồi ra
cịn rất nhiều cuốn sách khác viết về vấn đề này nhƣ: “Cấu trúc đại số” của tác
giả Đậu Thế Cấp; “Đại số và số học” của giáo sƣ Ngô Thúc Lanh,....
Khi nhắc đến cấu trúc đại số chúng ta không thể nào không nhắc đến hệ sinh

trong cấu trúc đại số đó, vì hệ sinh ln xuất hiện trong mọi cấu trúc. Hệ sinh
cho phép xác định các đối tƣợng khác trong cấu trúc đang xét, cơ sở để xây
dựng cấu trúc, cơ sở để xây dựng các đồng cấu giữa hai cấu trúc đại số. Ngoài ra
việc giải quyết một bài toán liên quan đến đối tƣợng thuộc một nhóm cấu trúc
đại số nào đó thƣờng liên quan đến việc lựa chọn hệ sinh nhƣ: Để nghiên cứu về
tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức dùng hệ sinh là cơ sở
tƣơng ứng với khai triển Taylor, để nghiên cứu về đa thức số học cần hệ sinh là
các đa thức số học cơ bản liên quan đến các số tổ hợp, khi nghiên cứu về đa thức
đối xứng cần hệ sinh là các đa thức đối xứng cơ bản,....
Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về ý nghĩa khoa học và vai trò của hệ sinh đồng
thời để tăng cƣờng khả năng vận dụng linh hoạt hệ sinh khi nghiên cứu các cấu
trúc đại số nên em chọn đề tài: “Hệ sinh của một số cấu trúc đại số”.


2
2. Mục tiêu khóa luận.
 Phân tích, làm rõ một số vấn đề liên quan đến hệ sinh (tính hữu hạn sinh,
không hữu hạn sinh, ứng dụng của hệ sinh trong xây dựng đồng cấu...) trong
ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ, iđêan.
 Giải và khai thác những bài toán liên quan đến hệ sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
 Nghiên cứu các kiến thức cơ sở liên quan đến ba cấu trúc đại số: Nhóm,
khơng gian vectơ và iđêan.
 Nghiên cứu về hệ sinh của ba cấu trúc đại số: Nhóm, khơng gian vectơ và
iđêan.
 Nghiên cứu những bài toán liên quan đến ba cấu trúc đại số có ứng dụng của
hệ sinh.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
 Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có
liên quan đến hệ sinh trong cấu trúc đại số: Nhóm, Iđêan, khơng gian vectơ.

 Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức về
vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ khoa học đồng thời tìm các ví dụ minh
họa từ quá trình học và nghiên cứu.
 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hƣớng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức
khóa luận.
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tƣợng: Hệ sinh của nhóm, hệ sinh của iđêan, hệ sinh của không gian
vectơ.
 Phạm vi: Nghiên cứu trên nhóm giao hốn, iđêan trong vành giao hốn,
khơng gian vectơ trên trƣờng có đặc số 0.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể xem nhƣ một tài liệu tham khảo về chủ đề “hệ sinh của
một số cấu trúc đại số”. Qua nội dung của khóa luận, chúng ta thấy rõ hơn vai
trị của hệ sinh trong nhóm, khơng gian vectơ và iđêan. Đó là khi nghiên cứu


3
một bài toán gắn với những cấu trúc đại số cụ thể nói trên, chúng ta ln phải
lựa chọn và xét trên hệ sinh phù hợp. Nhờ hệ sinh ban đầu và mối quan hệ với
hệ sinh của các phần tử tổng qt, chúng ta có thể tìm đƣợc hƣớng giải quyết
của bài tốn đó.
7. Bố cục của khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận đƣợc chia làm 3
chƣơng:
 Chƣơng 1: Hệ sinh của không gian vectơ
1.1. Hệ sinh của không gian vectơ.
1.2. Không gian vectơ hữu hạn sinh.
1.3. Không gian vectơ chiều vô hạn.
1.4. Không gian thƣơng

1.5. Bài tập.
 Chƣơng 2: Hệ sinh của nhóm
2.1. Hệ sinh của nhóm.
2.2. Nhóm đơn sinh, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn sinh.
2.3. Bài tập.
 Chƣơng 3: Hệ sinh của iđêan
3.1. Hệ sinh của iđêan.
3.2. Iđêan hữu hạn sinh.
3.3. Bài tập


4
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ
1.1. Hệ sinh của không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1
Cho { x1, x2 ,..., xn } là một hệ vectơ thuộc không gian vectơ V trên trƣờng K .
Ngƣời ta gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ { x1, x2 ,..., xn } là một vectơ x V có
dạng: x  1x1  2 x2  ...  n xn , với 1, 2 ,..., n  K
Định nghĩa 1.1.2
Ta nói rằng hệ n vectơ x  x1, x2 ,..., xn của không gian vectơ V tạo thành một hệ
sinh (hệ các phần tử sinh) của V nếu bất kì vectơ x nào của V cũng là tổ hợp
tuyến tính của hệ đó, tức là tồn tại 1, 2 ,..., n  K sao cho:
x  1x1  2 x2  ...  n xn

Ví dụ 1.1.1. Trong khơng gian vectơ

cho hệ vectơ E  e1  (1,0); e2  (0,1)

2


Khi đó hệ vectơ E là hệ sinh của khơng gian vectơ
Thật vậy , x 

2

2

: x  ( a, b)

Khi đó x  (a, b)  a(1,0)  b(0,1)  ae1  be2
Vậy E là hệ sinh của không gian vectơ
Ví dụ 1.1.2. Trong khơng gian vectơ

2
2

cho hệ vectơ

E '  e1  (1,0); e2  (0,1); e3  (2,5)

Khi đó hệ vectơ E ' là hệ sinh của không gian vectơ
Thật vậy x 

2

2

: x  (a, b)


Hay x  (a, b)  a(1,0)  b(0,1)  0(2,5)  ae1  be2
Ví dụ 1.1.3. Trong khơng gian vectơ

3

, cho hệ vectơ

E  e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)

Khi đó hệ vectơ E là hệ sinh của không gian vectơ
Thật vậy x 

3

: x  (a, b, c)

Hay: a(1,0,0)  b(0,1,0)  c(0,0,1)  (a, b, c)

3


5
ae1  be2  ce3  x

Ví dụ 1.1.4. Trong không gian V =

n

xét các vectơ


e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1)

Ta thấy ngay

1e1  (1,0,0,...,0)
2e2  (0, 2 ,0,...,0)
….…..

nen  (0,0,0,..., n )

i  K , i  1, n
Cộng các kết quả trên theo từng vế ta đƣợc

1e1  2e2  ...  nen  (1, 2 ,..., n )
Nhƣ vậy mỗi phần tử V =

n

đều là tổ hợp tuyến tính của hệ { e1, e2 ,..., en }; với

vectơ x cho trƣớc thuộc K n bao giờ cũng tồn tại duy nhất một hệ các vô
hƣớng 1, 2 ,..., n sao cho x  1x1  2 x2  ...  n xn
Ví dụ 1.1.5. K  X  có hệ sinh 1, X ,..., X n ,...
Định nghĩa 1.1.3. Không gian vectơ con sinh bởi S là không gian con nhỏ nhất
theo quan hệ bao hàm chứa S . Kí hiệu S
Chú ý:
i)

Cho V là một không gian vectơ, S  V . Nếu V  S thì S là hệ sinh của
V.



 0

ii)

S   khi đó S  0  0 : Không gian vectơ không

iii)

S  0 khi đó S

iv)

S  x1, x2 ,..., xn  khi đó S  1 x1  2 x2  ....  n xn , i  K , i  1, n

v)



S   xi | i  I  khi đó S   i xi | i  K  , i  0 hầu hết trừ một số
 iI






hữu hạn.





6
Định lí 1.1.1. Cho V là khơng gian vectơ, V1 ,V2 là khơng gian vectơ con của V .
Khi đó nếu V1  S và S  V2 thì V1  V2 .
Chứng minh
m

Xét x V1 bất kì. Khi đó x   Sii , Si  S , i  Z
i 1

Vì S  V2 nên Si V2 , i  1, m
m

Do V2 là một không gian vectơ nên

 S  V ; S  S ,   Z
i

i

i 1

2

i

i


Vậy V1  V2
Định nghĩa 1.1.4. Hệ vectơ { x1, x2 ,..., xn } thuộc K- không gian vectơ V gọi là
độc lập tuyến tính nếu với mọi vô hƣớng 1, 2 ,..., n  K sao cho

1x1  2 x2  ...  n xn  0
Thì suy ra : 1  2  ...  n  0
Trƣờng hợp ngƣợc lại thì hệ vectơ { x1, x2 ,..., xn } là phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 1.1.6. Xét họ n  1 hàm số: 1, x, x2 ,..., xn và giả sử
cho 0  1x  2 x 2  ...  n x n  0 x  R
Thì trong đó i là hằng số với i  0, n ,vì có vơ số x thỏa mãn phƣơng trình bậc
n đối với x nên 1  2  ...  n  0

Vậy trong không gian các đa thức đối với x thì hệ các đa thức {1, x, x 2 ,..., x n } là
hệ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.1.7. K  X  có hệ sinh 1, X ,..., X n ,...
Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi cơ sở của không gian vectơ là một hệ sinh độc lập
tuyến tính.
Nhƣ thế một hệ vectơ x1, x2 ,..., xn là một hệ cơ sở của khơng gian V thì phải có
hai điều kiện
n

1. x  V, tồn tại 1 , 2 ,..., n  K : x   i xi
i 1

2. 1x1  2 x2  ...  n xn  0  1  2  ...  n  0


7
Ví dụ 1.1.8. Hệ vec tơ E  e1  (1,0); e2  (0,1) là cơ sở của không gian vectơ
2


.

Cơ sở này đƣợc gọi là cơ sở chính tắc của không gian vectơ

2

Thật vậy E là hệ sinh theo 1 và từ đẳng thức:

1e1  2e2  
1 (1,0)  2 (0,1)  (0,0)
 1  0, 2  0
Nên hệ E là độc lập lập tuyến tính.
Ví dụ 1.1.9. Hệ vec tơ E '  e1  (1,0); e2  (0,1); e3  (2,5) không là cơ sở của
khơng gian vectơ

2

Vì hệ E ' là hệ sinh nhƣng khơng độc lập lập tuyến tính
Thật vậy, xét hệ thức:
2(1,0)  5(0,1)  (2,5)  (0,0)

Hay: 2e1  5e2  e3  
Nên hệ E ' không phải là cơ sở của

2

Ví dụ 1.1.10. Hệ vec tơ E  e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) là cơ sở của
không gian vec tơ


3

Cơ sở này đƣợc gọi là cơ sở chính tắc của khơng gian vec tơ

3

Thật vậy, E là hệ sinh (theo ví dụ 1.1.3) và từ đẳng thức :

1e1  2e2  3e3  
1 (1,0,0)  2 (0,1,0)  3 (0,0,1)  (0,0,0)
 1  0, 2  0, 3  0
Nên hệ E độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.1.11. Trong khơng gian R n , ta xét hệ { e1, e2 ,..., en } đƣợc biểu diễn nhƣ
sau: e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1) là hệ cơ
sở của

n

.

Qua ví dụ 1.1.4 ta đã thấy nó là một hệ sinh. Bây giờ ta chứng minh nó là hệ độc
lập tuyến tính.


8
Thât vậy:
Nếu 1x1  2 x2  ...  n xn  0 tức là :
(1 ,0,0,,,0)  (0, 2 ,0,,,0)  ...  (0,0,0,,, n )  0
 (1 , 2 ,..., n )  0
 1  2  ...  n


Vậy {e1, e2 ,,, en }là cơ sở của R n .
Ví dụ 1.1.12. Gọi J n ( x) là tập hợp tất cả các đa thức đối với biến x có một bậc
khơng lớn hơn n hệ các đa thức {1, x, x 2 ,..., x n } là hệ độc lập tuyến tính (ví dụ
1.1.5) Ta thấy đó là hệ sinh của J n ( x) vì bất kỳ một đa thức bậc n nào cũng có
dạng:

0  1x  2 x2  ...  n x n  0 với i  R, i  0, n vậy hệ {1, x, x 2 ,..., x n } là hệ cơ sở
của không gian vectơ J n ( x)
Mệnh đề 1.1.1
Hệ vectơ { x1, x2 ,..., xn } tạo thành hệ cơ sở của không gian vectơ V khi và chỉ khi
với bất kỳ vectơ x thuộc V đều tồn tại dạng duy nhất (1, 2 ,..., n ), i  K , i  1, n
sao cho
x  1x1  2 x2  ...  n xn (1.1 )

Chứng minh
Giả sử hệ  x1, x2 ,..., xn  là hệ cơ sở của V, vectơ x V biểu diễn bởi hai cách
x  1x1  2 x2  ...  n xn

Và x   '1x1   '2 x2  ...   'n xn
Khi đó ta có :
(1  1' ) x1  (2  2' ) x2  ...  (n  n ' ) xn  0

Vì {x1, x2 ,..., xn } là hệ độc lập tuyến tính nên 1  1' , 2  2' ,..., n  n'
Vậy đối với bất kỳ x V cách biểu diễn là duy nhất.
Ngƣợc lại: Nếu mỗi x V đều biểu diễn duy nhất dƣới dạng (1) thì x1, x2 ,..., xn
là hệ sinh của V .
Thật vậy, giả sử 1x1  2 x2  ...  n xn  0



9
Mà ta lại có:
0 x1  0 x2  ...  0 xn  0

Vì cách biểu diễn vectơ 0 qua hệ {x1, x2 ,..., xn } là duy nhất , cho nên

1  2  ...  n  0 .
Trong (1.1) các vô hƣớng 1, 2 ,..., n đƣợc gọi là các tọa độ hoặc các thành
phần của x theo cơ sở x1, x2 ,..., xn
Nhƣ vậy trên một hệ cơ sở thì để cộng hai vectơ ta cộng các tọa độ cùng thứ
hạng của chúng, để nhân vectơ vô hƣớng  ta nhân các tọa độ với 
Ngƣời ta chứng minh đƣợc kết quả sau:
là một vectơ thuộc V




Hệ 1 độc lập tuyến tính.
Nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này thì đó là một cơ sở của
V


 
 



Ngƣợc lại, trong V có  2 khơng biểu thị tuyến tính qua  1 thì hệ vectơ 1 ,  2
độc lập tuyến tính



Nếu hệ này khơng phải là một cơ sở thì trong V có một  3 khơng biểu thị tuyến

 
   
 

tính đƣợc qua hệ 1 ,  2
Vậy hệ vectơ

 

1, 2 ,



3

độc lập tuyến tính.

Tiếp tục bổ sung nhƣ thế ta đƣợc những hệ vectơ độc lập tuyến tính của V
Vì V có một hệ sinh gồm m vectơ nào đó (có thể ta khơng biết hệ sinh ấy) lên


theo bổ đề, q trình này phải kết thúc ở vectơ  n nào đó với n  m



 




Lúc đó ta đƣợc hệ vectơ độc lập tuyến tính   1 ,  2 ,...,  n



Mà mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua hệ 


10



 





Vậy   1 ,  2 ,...,  n là một cơ sở của V .
Nhận xét: Trong không gian vec tơ thấy mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính bất kì
đều có thể bổ sung thành một cơ sở.
Ý nghĩa của nhận xét trên là: Dù cho không biết trƣớc hệ sinh của không gian
vectơ ta vẫn có thể dựng đƣợc một cơ sở của nó. Xong khi đã biết một hệ sinh
của khơng gian vectơ thì Định lí sau đây cho thấy có thể chọn một cơ sở trong
hệ sinh này.





Định lí 1.1.3. Từ một hệ sinh của một khơng gian vec tơ khác 0 có thể chọn ra
một cơ sở.











Định lí 1.1.4. Giả sử A  1 , 2 ,..., m là một hệ vectơ của K - khơng gian
vectơ V. Khi đó tập hợp











W= r11  r2 2 ,..., rm  m ri  K , i  1, m là một không gian con của V.
W được gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ A, còn A dược gọi là hệ sinh của W.
Chứng minh









Rõ ràng w   vì 0  01  0 2 ,...,0 m W




Giả sử  ,   W và t∈K, chẳng hạn:












  r1 1  r2  2 ,..., rm  m





  s1 1  s2  2  ...  sm  m
Từ các điều kiện trong định nghĩa của không gian vectơ, ta suy ra:
















    r1 1  r2  2 ,..., rm  m  s1 1  s2  2 ,..., sm  m






 (r1  s1 )1  (r2  s2 ) 2 ,...,(rm  sm ) m  W















t   t (r1 1  r2  2  ...  rm  m )  (tr1 )1  (tr2 ) 2  ...  (trm ) m  W

Vậy W là một không gian con của V.


11




Chú ý: Không gian sinh bởi một vectơ  thường được kí hiệu bởi K  .












m



Nếu W là khơng gian sinh bởi hệ vectơ 1 , 2 ,..., m thì W   K  i
i 1

1.2. Khơng gian hữu hạn sinh
Không gian W trên đây sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ.
Ngƣời ta gọi nó là khơng gian hữu hạn sinh.






Ví dụ 1.2.1. Tập hơp V các vec tơ OA, OB, OC ,... chung gốc O trong không
gian (mà ta đã học hồi phổ thông) cùng với phép cộng hai vectơ và phép nhân
một vectơ với một số thực là một khơng gian vectơ. Nó đƣợc gọi là khơng gian
vectơ hình học.










+) Nếu O  I thì tập U  r OI | r  R chỉ chứa vectơ O , là một không gian con
tầm thƣờng của V.







+) Nếu O  I thì tập U  r OI | r  R gồm các vectơ gốc O, nằm trên đƣờng
thẳng OI .






Giả sử vec tơ OJ là vectơ khơng cùng phƣơng với vectơ OI .









Khi đó, tập W  r1 OI  r2 OJ | r1 , r2  R








Là một không gian con của V gồm các OA, OB, OC ,... nằm trong mặt phẳng
(OIJ).






 Giả sử vectơ OK không đồng phẳng với vectơ OI , vec tơ OJ .






Thế thì { OI , OJ , OK }là một hệ sinh của V .


Thật vậy nhƣ ta đã biết mỗi vec tơ OA trong không gian đều có dạng :









OA  r1 OI  r2 OJ  r3 OK
e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1)


12
Ví dụ 1.2.2. Xét khơng gian vec tơ

4

và khơng gian con




W= a1, a2 ,0,0  | ai  R . Hệ hai vec tơ, 1  (1,0,0,0) ;  2  (0,1,0,0) của

4

là

một hệ sinh của W


Để chứng minh điều này ta phải chứng tỏ rằng mỗi   W đƣợc biểu diễn dƣới









dạng.   r1 1  r2  2 Biết rằng mỗi vectơ trong W có dạng   (a1, a2 ,0,0)  W .
Theo phép cộng và phép nhân với một số trong

4

Ta có:


  (a1, a2 ,0,0)  (a1,0,0,0)  (0, a2 ,0,0)




 a1 (1,0,0,0)  a2 (0,1,0,0)  a1 1  a2  2

 
 

Vậy 1 ,  2 là hệ sinh của W .

 
 




Ta hãy thử thêm vectơ    2,3,0,0  vào hệ vec tơ 1 ,  2 và xét không gian con





  









W ' sinh bởi hệ vectơ 1 ,  2 ,  .Mỗi   a1 1  a2  2  a3  3 đều có thể viết thành


 = a1 1,0,0,0  a2  0,1,0,0   a3  2,3,0,0 
= a1 (1,0,0,0) + a2 (0,1,0,0) + a3 [(2,0,0,0) + (0,3,0,0)]
= a1 (1,0,0,0) + a2 (0,1,0,0) +2 a3 (1,0,0,0) + 3 a3 (0,1,0,0)
= ( a1 +2 a3 )(1,0,0,0) + ( a2 +3 a3 )(0,1,0,0)




=  a1  2a3  1   a2  3a3   2
Đó là một vectơ trong W . Nhƣ vậy W ’  W







Ngƣợc lại, mỗi vectơ   b1 1  b2  2  W đều có thể viết dƣới dạng :








  b1 1  b2  2  0 .
Đó là một vectơ thuộc W ' .


13

  
 



  

Vậy W ’  W ; nghĩa là hai hệ 1 ,  2 và 1 ,  2 ,  đều là hệ sinh của không gian
vectơ W .
1.3. Không gian vectơ chiều vô hạn

Định nghĩa: Một không gian vectơ đƣợc gọi là không gian vectơ chiều vơ hạn
nếu nó có một cơ sở gồm vơ hạn phần tử.
Ví dụ 1.3.1. Đa thức

 X  là không gian các đa thức chiều vô hạn

Thật vậy: Cơ sở của

 X  là 1, x, x2 ,...

1.4. Không gian thƣơng
Giả sử W là một không gian vectơ con của không gian. Ta định nghĩa quan
hệ

trên V nhƣ sau:


Dễ dàng kiểm tra lại rằng

      W.

là một quan hệ tƣơng đƣơng, tức là một quan hệ

có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
đƣợc kí hiệu V

Tập thƣơng của V theo quan hệ

W


. Lớp tƣơng đƣơng của

phần tử  V đƣợc kí hiệu là   , hoặc   W.
Ta trang bị cho V

W

hai phép toán sau đây:

          ,  ,  V ,
a     a , a  K , V
Định nghĩa 1.4.1. Không gian vectơ V

W

đƣợc gọi là không gian thƣơng của V

theo không gian con W .
Mệnh đề 1.4.1: Hai phép tốn nói trên được định nghĩa không phụ thuộc vào
việc chọn đại biểu. Hơn nữa , V

W

được trang bị hai phép tốn đó là một

K - không gian vectơ.

Chứng minh
Giả sử     '  ,      '  , nghĩa là   a'  W,    '  W
Khi đó, vì W là một khơng gian vectơ con, cho nên



14

     ( '   ' )     '   (   ' )  W
Điều này chứng tỏ rằng         '   '  .
Tƣơng tự, nếu     '  , tức là    '  W , thì
a  a '  a(   ' )  W .

Điều này có nghĩa rằng  a    a '  .
Phần tử tập trung của phép cộng trong V

W

chính là 0  0  W . Phần tử đối

của   chính là    . Dễ dàng kiểm tra rằng các tiên đề khác về không gian
vectơ đƣợc thỏa mãn cho không gian V

W

.

Hai trƣờng hợp đặc biệt của không gian thƣơng là:
V / V  0,
V / 0  V

Định lí 1.4.1. dimV / W  dimV  dimW .
Chứng minh
Giả sử (1,..., r ) là một cơ sở của W . (Nếu W= 0 thì ta coi r  0 ).Ta bổ

sung hệ vectơ nói trên để có một cơ sở (1,..., r , 1,...,  s ) của V .
Ta sẽ chứng minh rằng ( 1 ,...,  s ) là một cơ sở của V / W .
Giả sử có một ràng buộc tuyến tính:
b1  1   ...  bs   s   0 .

Điều này có nghĩa là b11  ...  bs  s  W .Vì thế vectơ đó biểu thị tuyến tính qua
cơ sở đã chọn của W :
b11  ...  bs  s  a11  ...  ar r

Vì hệ (1,..., r , 1,...,  s ) độc lập tuyến tính, nên a1  ...  ar  b1  ...  bs  0
Nhƣ thế , hệ ( 1 ,...,  s ) độc lập tuyến tính.
Mặt khác, rõ ràng ( 1 ,...,  s ) là một hệ sinh của không gian V / W . Thật vậy,
mỗi vectơ  V biểu thị tuyến tính qua (1,..., r , 1,...,  s ) :

  c11  ...  cr r  d11  ...  d s  s

(c i , di  K )


15
Vì c11  ...  cr r  W , cho nên

   d11  ...  ds s   d1  1   ...  ds s 
Nhƣ vậy, mỗi vectơ   V

W

.

đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua ( 1 ,...,  s ) .


Đếm số vectơ của các cơ sở đã xây dựng cho W,V , V
dimV

W

W

ta có:

 s  (r  s)  r  dimV  dimW

Ta định nghĩa ánh xạ:

 :V  V W
 ( )     a  W.
và gọi nó là phép chiếu từ V lên V

W

. Phép chiếu có tính chất sau đây:

 (   )   ( )   ( )
 (a )  a ( ),

 ,  V ,
a  K,  V.

Trong chƣơng sau chúng ta sẽ nghiên cứu một cách có hệ thống những ánh xạ
có hai tính chất nhƣ thế. Chúng đƣợc gọi là ánh xạ tuyến tính.

1.5. Bài tập
Dạng 1: Chứng minh hệ v1, v2 ,..., vn  là hệ sinh của V
Để chứng minh v  v1, v2 ,..., vn  là một hệ sinh của V ta có thể sử dụng một
trong các phƣơng pháp sau:
Phƣơng pháp 1:
Chứng minh với mọi vectơ v thuộc V thì có các số a1, a2 ,..., an thuộc trƣờng K
sao cho:
v  a1v1  a2v2  ...  anvn

Trong không gian vectơ K m điều kiện cần là n  m điều này tƣơng đƣơng với
hệ phƣơng trình:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
a x  a x  ...  a x  b
mn n
3
 m1 1 m 2 2

Ln có nghiệm với v  (b1, b2 ,..., bm )  K m


16
Trong đó vi  (a1i , a2i ,..., ami ), i  1, n
Kết luận: Nếu trong V đã có một cơ sở thì sử dụng tọa độ của các vectơ ta ln
có thể đƣa bài tốn chứng minh v1, v2 ,..., vn là một hệ sinh về việc xét hệ phƣơng
trình vừa nêu
Phƣơng pháp 2:
Nếu biết trƣớc 1 hệ sinh u1, u2 ,..., un của V thì cần chứng tỏ mỗi vectơ
ui , i  1, m biểu diễn đƣợc qua các vectơ v1, v2 ,..., vn .


Phƣơng pháp 3:
Điều kiện cần và đủ để m vectơ dòng của ma trận A  M (m; n; k ) với (m  n)
sinh ra k n là A có định thức con cấp n khác 0. Tƣơng tự, n vectơ cột của ma
trận A  M (m; n; k ) (n  m) sinh ra k m nếu A có định thức cấp m khác 0.
Bài 1.1.1: Chứng minh rằng hệ 4 vectơ:
u=(1,2,3); v=(0,2,1); w=(0,0,4); z=(2,4,5) là hệ sinh của không gian vectơ

3

Giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp 1
Xét hệ phƣơng trình:
1.x1  0.x2  0.x3  2.x4  b1

2.x1  2.x2  0.x3  4.x4  b2
3.x  1.x  4.x  5.x  b
2
3
4
3
 1

Hệ phƣơng trình này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma
trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phƣơng trình là:
 x1  b1

 x2  b2  1

2


 x  (b3  3b1 )
 3
4
x  0
 4

Vậy u, v,w, z là hệ sinh

Cách 2: Sử dụng phương pháp 2
Ta thấy : l1 

w
w
v w
, l2   , l3  u  v 
4
2
2 8


17
Vì l1 , l2 , l3 là hệ sinh trong

3

, nên u, v, w, z là hệ sinh trong

3


Cách 3: Sử dụng phương pháp 3
1 0 0
Định thức 2 2 0  8 , nên u, v, w, z là hệ sinh trong
3 1 4

Bài 1.1.2: Xem trong

3

3

các hệ vectơ nào là hệ sinh

a) u  (1,2,3); v  (2, 5,6), w  (0,0,0)
b) u  (2, 5,1); v  (1,0,3);w  (4,3,2), z  (1, 1, 1)
c) Các vectơ có đúng 2 thành phần bằng nhau và khác 0
Giải
1 2 0
a) Xét định thức : 2 5 0 =0
3 6 0

Nên hệ vectơ u, v, w không là hệ sinh trong

3

b) Tƣơng tự a): hệ vectơ u, v, w,z là hệ sinh trong
c) Không phải là hệ sinh trong

3


3

Bài 1.1.3: Tìm điều kiện trên (a, b, c) 

3

để nó thuộc không gian con sinh bởi

các vectơ u  (2,1,0), v  (1, 3,2) và w  (0,7, 4)
Giải
Vectơ cần tìm phải thỏa mãn hệ thức:
(a, b, c)  x(2,1,0)  y(1, 3,2)  z(0,7, 4)

Với x, y, x  R . Khử dần biến x,y,z. Ta suy ra : 2a  4b  7c  0
Bài 1.1.4: Tìm khơng gian vectơ V và S V . Chứng tỏ rằng E ( S ) bằng giao
của các không gian con chứa S . Từ đó suy ra E ( E (S ))  E (S )
Giải
Nếu S  U và U là khơng gian con thì mọi v1,..., vm  S suy ra v1,..., vm U . Do
đó 1v1  ...   mvm U 1,..., m  K , tức là E ( S )  U . Nhƣ vậy E ( S ) chứa


18
trong giao. Nhƣng bản thân E ( S ) là không gian con chứa S nên giao này chứa
trong E ( S )
Do E ( S ) cũng là không gian con bé nhất chứa E ( S ) nên E ( E (S ))  E (S )
Bài 1.1.5: Chứng minh rằng
a) Nếu S  T thì E (S )  E (T )
b) Nếu S là hệ sinh của không gian con V1 và T là hệ sinh của khơng gian con
V2 thì S


T là hệ sinh của V1  V2 . Nói cách khác E (S

T )  E (S )  E (T )

Giải
a) Ta có S  T hiển nhiên bao tuyến tính của S chứa trong bao tuyến tính của
T. Hay E (S )  E (T ) .
T ) . Mỗi phần tử v của V1  V2 có dạng

b) Từ câu a  V1  V2  E (S )  E (S

v1  v2 , trong đó v1 , v2 tƣơng ứng là tổ hợp tuyến tính của S và T . Từ đó suy

ra bao hàm thức cịn lại.
Bài 1.1.6: Chứng minh rằng từ mọi hệ sinh của V luôn tìm đƣợc một tập hợp
con là hệ sinh tối tiểu
Giải
Giả sử S là hệ sinh. Chọn trong S một tập độc lập tuyến tính cực đại T. Khi đó
T là hệ sinh. Thật vậy, nếu E (T )  V ,thì tồn tại v  E (T ) . Giả sử s1,..., sn  S
Và 1,..., n  K để

v  1s1  ...   n sn . Khi đó có ít nhất một si  E (T ) , và vì

vậy si  E (T ) và T độc lập tuyến tính.
T

Si  độc lập tuyến tính.

Trái với tính cực đại của T . Vậy T là hệ sinh vì T độc lập tuyến tính, nên nó là
hệ sinh tối tiểu.

Bài 1.1.7: Hãy chứng minh mọi hệ sinh của không gian hữu hạn sinh đều chứa
một hệ hệ sinh con hữu hạn.
Giải
Giả sử f1 ,... f n là một hệ sinh hữu hạn của V và S là một hệ sinh tùy ý. Khi đó
với mọi i  1,..., n, fi là tổ hợp tuyến tính của các phần tử sij  S ; j  1,..., mi (có
thể trùng nhau)


19
 Tập hợp các phần tử sij  S ; i  1,..., n, j  1,..., mi  S là tập con của V

Bài 1.1.8: Cho K là một trƣờng có đặc số khác 2. Chứng minh rằng tập hợp

e  e ;1  i  j  n là hệ sinh của K
i

j

n

(n  3) .Khi đặc số bằng 2 thì sao?

Giải
Ta kí hiệu hệ đã cho S .
Khi đó:
2(e1  ...  en )  (e1  e2 )  (e2  e3 )  ...  (en  e1)  E( S )

Do đó (e1  ...  en )  E (S ) .
Tƣơng tự: 2(e1  ...  en1 )  (e1  e2 )  ...  (en2  en1 )  (en1  e1 )  E( S )
Do đó e1  ...  en1  E (S ) và en  e1  ...  en  (e1  ...  en1 )  E (S )

Do vai trò của các ei là nhƣ nhau , từ đó ta suy ra ei  E ( S ) với mọi ei  1,..., n
Vì e1 ,..., en là hệ sinh, suy ra E ( S )  K n ,
Tức S là hệ sinh nếu char( K )=2 thì ta thấy ei  e j có tổng các thành phần ( tọa
độ) bằng 0.
Do đó mọi tổ hợp tuyến tính của chúng cũng có tính chất nhƣ này.Tuy nhiên ei
khơng có tính chất đó, nên khơng thuộc E ( S ) .Vậy S không phải là hệ sinh.
Bài 1.1.9: Cho L là trƣờng con của trƣờng K và v1,..., vm , v  Ln . Chứng minh v
biểu diễn tuyến tính đƣợc qua v1 ,..., vm xét nhƣ các phần tử của Ln khi và chỉ khi

v biểu diễn tuyến tính đƣợc qua v1 ,..., vm xét nhƣ các phần tử của K n
Giải
Điều kiện cần là hiển nhiên. Để chứng minh điều kiện đủ ta cần sử dụng kiến
thức của hệ phƣơng trình tuyến tính: một hệ phƣơng trình tuyến tính với hệ số
trên L có nghiệm trên K thì cũng có nghiệm trên L .
Bài 1.1.10: Tìm ví dụ chứng tỏ các tính chất độc lập tuyến tính và trở thành hệ
sinh phụ thuộc vào đặc số của trƣờng
Giải


20
Hệ hai vec tơ (1,2),(2,1) của K 2 là độc lập tuyến tính và do đó nó cũng là hệ
sinh nếu char ( K )  3 .Chúng phụ thuộc tuyến tính: (1,2)  (2,1)  (0,0) khi
char( K )  3 ,và do đó cũng khơng là hệ sinh.
Bài 1.1.11: Cho S1  V1 và S2  V2 , trong đó V1 ,V2 là hai khơng gian vectơ trên
K. Chứng minh rằng
a) ( S1.0

0.S2 ) là hệ sinh của V1.V2

khi và chỉ khi S1 , S 2 tƣơng ứng là các hệ


sinh của V1 , V2
b) ( S1.0

0.S2 )

độc lập tuyến tính trong V1.V2 khi và chỉ khi S1 , S 2 độc lập

tuyến tính
Giải
a) Điều kiện cần : các vectơ (v1,0), v1 V1 , phải biểu diễn tuyến tính đƣợc qua S1
x 0 và (0, v2 ), v2 V2 . Phải biểu diễn tuyến tính đƣợc qua S 2 x 0 ,
Điều kiện đủ dễ thấy.
b) Suy trực tiếp từ định nghĩa là hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
S1 , S2 phụ thuộc tuyến tính.

Bài 1.12: Cho L là trƣờng con của trƣờng K và v1,..., vm , v  Ln . Chứng minh
rằng v1 ,..., vm là độc lập tuyến tính xét nhƣ các phần tử của Ln khi và chỉ khi
v1 ,..., vm là độc lập tuyến tính xét nhƣ các phần tử của K n

Dạng 2: Tìm cơ sở
Để kiểm tra hệ U  u1, u2 ,..., un   V là một cơ sở của không gian vectơ ta cần
chứng minh:
- U là hệ sinh của V
- U độc lập tuyến tính
Chú ý :
- Nếu biết, ta chỉ cần kiểm tra một trong hai điều kiện trên.
- Để tìm một cơ sở của V , đầu tiên ta tìm một hệ sinh của V rồi kiểm tra hệ sinh
đó là độc lập tuyến tính



21
- Số vectơ trong một cơ sở bất kì dimV  n chính là số chiều của khơng gian
vectơ.
- Ta đã kiểm tra đƣợc hệ

e1  (1,0,...,0), e2  (0,1,...,0),..., en  (0,0,...,1) là một cơ sở của không gian
và gọi là cơ sở chính tắc của

n

. Do đó dim

n

n

n

- Để tìm tọa độ của vectơ x đối với cơ sở U  e1, e2 ,..., en  . Ta biểu thị x dƣới
dạng x  x1e1  x2e2  ...  xnen , xi  , i  1, n
Khi đó ( x1, x2 ,..., xn ) là tọa độ của x đối với cơ sở U .
Bài 1.2.1: Xét xem mỗi hệ vectơ sau có là cơ sở của

3

không

a) u1  (1,1,2); u2  (0,1,1); u3  (2, 1,3)
b) u1  (1, 1,1);u2  (1,2, 2);u3  (1,4, 4)

Giải
Ta đã biết dim

3

 3 do đó để kiểm tra hệ trên có là cơ sở của

kiểm tra hệ trên là hệ sinh của

3

3

ta chỉ cần

.

Thật vậy
1 0 2
a) Xét định thức A  1 1 1  3  0
2 1 3

Nên hệ u1 , u2 , u3 là hệ sinh của

3

1 1 1
b) Xét định thức B  1 2 4  3  0
1 2 4


Nên hệ u1 , u2 , u3 là hệ sinh của

3

Chú ý: Trong bài này ta có thể kiểm tra hệ vectơ là độc lập tuyến tính và kết
luận hệ vectơ là cơ sở

3

Bài 1.2.2: Chứng minh hệ P   p0  1, p2  x, p3  x 2 ,..., pn  x n  là một cơ sở
của Pn  x 
Giải


22
Hiển nhiên P là hệ sinh của Pn  x  .Do đó ta chỉ cần kiểm tra P là hệ độc lập
tuyến tính . Xét phƣơng trình vectơ :
a0 p0  a1 p1  ...  an pn  
 a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  
 a0  a1  ...  an  0

Do đó hệ độc lập tuyến tính nên P là một cơ sở của Pn  x  . P đƣợc gọi là cơ sở
chính tắc của không gian vectơ dim Pn  x  n  1
Bài 1.2.3: Cho W  ( x1, x2 , x3 ) 

3

: x1  2 x2  x3  0

Tìm cơ sở và số chiều của W

Giải
x  ( x1, x2 , x3 )  W thì x có dạng (2 x2  x3 , x2 , x3 ) và
(2 x2  x3 , x2 , x3 )  x2 (2,1,0)  x3 (1,0,1)

Do đó (2,1,0),(1,0,1) là hệ sinh của W , dễ dàng kiểm tra (2,1,0),(1,0,1)
độc lập tuyến tính nên nó là cơ sở của W
Bài 1.2.4: Trong không gian

3

cho các hệ vectơ sau:

u1  (1, 1,2), u2  (1,1, 2), u3  (2, 1,1), u  (1,0,1)

Chứng minh U  u1, u2 , u3 là cơ sở của

3

Giải
Ta thấy dim

3

3

Ta chứng minh hệ vectơ u1 , u2 , u3 là hệ sinh của

3

1 1 2

Xét định thức: 1 1 2  2  0
2 1 1

Vậy hệ vectơ U  u1, u2 , u3 là cơ sở của
Bài 1.2.5: Trong

3

3

cho hai cơ sở:

U  u1  (1,0,2), u2  (0,1,0), u3  (1,0,1)
V  v1  (1, 1,1), v2  (0,1, 1), v3  (2,0,1)