TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ KIM PHƯỢNG

GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành Sư phạm Toán

Phú Thọ, 2019


i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ KIM PHƯỢNG

GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành Sư phạm Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH

Phú Thọ, 2019

ii
Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp ngồi sự nỗ lực lực của
bản thân, tơi cịn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo
trong khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại Học Hùng Vương.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Tiến Mạnh –
Trưởng khoaGiáo dục tiểu học, trường Đại học Hùng Vương. Thầy đã dành nhiều
thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện khóa luận
tốt nghiệp, đồng thời thầy cịn là người giúp tơi lĩnh hội được những kiến thức
chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo
trong khoa Khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè là những người ln sát cánh
bên tơi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tơi trong suốt q trình học tập
cũng như khi tơi thực hiện và hồn thành khóa luận này.
Mặc dù, đã rất cố gắng xong khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì
vậy, tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cơ giáo và các bạn để khóa
luận được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
Việt trì, ngày 07 tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Kim Phượng


iii
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................................ 1
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn............................................................................... 2
3. Mục tiêu nghiên cứu .............................................................................................. 2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ........................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu. ...................................................................................... 2
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 2
CHƯƠNG 1............................................................................................................... 4
SƠ LƯỢC VỀ CÁC BƯỚC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT BÀI TỐN ................ 4
1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề tốn ....................................................................................... 4
1.2. Khai thác đề tốn ................................................................................................ 4
1.3. Tìm tịi lời giải.................................................................................................... 5
1.4. Trình bày lời giải ................................................................................................ 7
1.5.Kiểm tra, đánh giá lời giải và khai thác bài toán ................................................ 7
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................................... 9
CHƯƠNG 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐA THỨC ............................................................................................................... 10
2.1. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 1 .................................................. 10
2.2. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 2 .................................................. 20
2.3. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 3 .................................................. 37
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................................ 50
CHƯƠNG 3 : GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN BẤT PHƯƠNG
TRÌNH ĐA THỨC .................................................................................................. 51
3.1. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 1 ............................................ 51
3.2. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 2 ............................................ 56
3.3. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 3 ............................................ 61
3.4. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 4 ............................................ 66
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................................ 71


iv
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 73


`


1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Phương trình và bất phương trình đa thức là chủ đề khá phổ biến và quen
thuộc trong tốn phổ thơng, khơng những thế nó cịn là chủ đề trọng tâm xun
suốt lĩnh vực Đại số sơ cấp là nền tảng để người học tiếp cận với các kiến thức
toán học phức tạp hơn. Tuy nhiên ở phổ thông người giáo viên chỉ bước đầu
hướng dẫn học sinh giải bài tập mà thường bỏ qua cơng đoạn cuối cùng của giải
một bài tốn đó là khai thác bài tốn. Việc tìm ra lời giải một bài tốn nhiều khi
khơng phải q khó nhưng sau mỗi bài tốn đó cịn bao điều lí thú vẫn chưa
được khám phá. Có thể thấy rằng khai thác bài tốn giúp phát triển tính sáng tạo
của người học và người dạy. Đó là yêu cầu quan trọng thể hiện sự khác biệt giữa
người thiết kế tổ chức quá trình dạy học – giáo viên với người thực hiện các hoạt
động học tập – học sinh. Do đó, khi giải một bài tốn khơng chỉ dừng lại ở bước
hiểu lời giải mà cần phát triển khả năng tư duy cho học sinh. Phát triển kĩ năng
thực hành giải và khai thác các bài toán cho học sinh, sinh viên.
Hiện nay cũng đã có những tài liệu viết về việc giải và khai thác bài tốn
phương trình và bất phương trình đa thức như : “Đại số sơ cấp và Thực hành
giải tốn” của Hồng Kỳ đã trình bày khá nhiều các dạng tốn về phương trình
và bất phương trình đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vơ
tỉ,...), dạng tốn về bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình,...;
“Phương pháp giải phương trình và bất phương trình” của Nguyễn Văn
Mậu; “Chuyên đề phương trình và bất phương trình” của Mẫn Ngọc Quang trình
bày các phương pháp giải phương trình và bất phương trình, hay trong khóa luận
tốt nghiệp của Phan Thị Qun – K34C Toán (ĐHSP Hà Nội II) đã nghiên cứu
đề tài “Dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông”. Tuy
nhiên hầu hết các tài liệu chỉ chú trọng việc giải tốn, trong khi đó việc khai thác

các bài tốn cịn hạn chế.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung để có một cái nhìn hệ thống và
cụ thể hơn đồng thời muốn nghiên cứu để làm rõ thêm những phương pháp giải


2
tốn hiện có trên cơ sở đó cải tiến đề xuất thêm những điểm mới đối với chủ đề
Phương trình và bất phương trình đa thức. Nên chúng tơi chọn đề tài “Giải và
khai thác những bài tốn phương trình và bất phương trình đa thức”.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông, sinh
viên các nghành đặc biệt là ngành sư phạm Toán. Giúp họ hiểu thêm về phương
trình, bất phương trình, biết cách khai thác một số dạng tốn. Đồng thời rèn
luyện thói quen phân tích và tìm hiểu mối quan hệ giữa các vấn đề trong q
trình giải tốn cho học sinh
3. Mục tiêu nghiên cứu
Phân loại, đưa ra lời giải và khai thác cho những bài tốn về phương trình
và bất phương trình đa thức theo các hướng : tương tự hóa, khái quát hóa và đặc
biệt hóa.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.


Nghiên cứu những kiến thức cơ sở liên quan về phương trình và bất

phương trình đa thức.


Phân loại bài tập và xây dựng lời giải các dạng bài tốn đó.




Nghiên cứu quy trình giải và khai thác bài tốn, tập trung vào ba hướng

khai thác: tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa.


Đưa ra hướng khai thác các dạng tốn từ các bài toán cho trước trong mỗi

dạng.
5. Phương pháp nghiên cứu.
 Phương pháp nghiên cứu lí luận : Tổng hợp, phân tích tài liệu, sách báo, một
số cơng trình nghiên cứu có liên quan.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu
và giải toán.
 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia : Với sự tham gia góp ý và hướng dẫn của
Tiến sĩ Nguyễn Tiến Mạnh.
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


3
 Đối tượng : Phương trình và bất phương trình
 Phạm vi nghiên cứu : Giải và khai thác phương trình và bất phương trình bậc
1 tới bậc 4


4
CHƯƠNG 1
SƠ LƯỢC VỀ CÁC BƯỚC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT BÀI TỐN
Thơng thường để giải một bài tốn, cần qua nhiều công đoạn khác nhau.
Trong [1] đã đưa ra một số cơng đoạn như sau: Tìm hiểu sơ lược bộ đề, khai

thác đề bài, tìm tịi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải,
đề xuất bài tốn mới. Tất nhiên khơng phải bài tốn nào cũng trải qua đủ các
cơng đoạn đó, xong chúng giúp ích rất nhiều trong việc giải các bài toán và đối
với các bài toán được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kỹ theo trình tự đó để
rèn luyện các thao tác tư duy.
1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề tốn
Khi chọn bài tốn, khơng nên chọn bài q khó, mà cũng khơng nên chọn
bài q dễ. Cần trình bày bài tốn sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho
người học.
Để giải quyết một bài toán trước hết ta phải đọc kĩ đề toán để thấy được
“tồn cảnh” của bài tốn, càng sáng sủa, càng rõ ràng càng hay, không vội đi
vào chi tiết nhất là các chi tiết rắc rối.
Cần cố gắng khoanh vùng phạm vi kiến thức của đề toán: bài toán này
thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được
thì sẽ giải quyết được vấn đề gì?
1.2. Khai thác đề tốn
Nếu là bài tốn về tìm tịi cần xác định rõ đâu là ẩn? Cần phải tìm các gì?
Đâu là các dữ kiện? Đã cho biết những gì? Mối tương quan giữa cái cần tìm, cái
chưa biết (Các điều kiện ràng buộc). Nếu là bài tốn chứng minh thì cần nêu rõ
giả thiết, kết luận.
Nếu bài tốn cần có hình vẽ thì phải vẽ hình. Đối với các bài tốn đại số
và số học, đó có thể là các đồ thị, đoạn thẳng hoặc các hình học. Cảm nhận trực
giác trên hình vẽ có thể giúp chúng ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung ghi
trong đề toán.


5
1.3. Tìm tịi lời giải
Đây là bước quan trọng trong việc giải bài tốn. Khơng có một thuật tốn
tổng qt nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ đưa ra những lời khuyên, những

kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tịi lời giải được đúng hướng hơn, nhanh
hơn, thuận lợi hơn và có nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn. Tùy trường
hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt càng nhuần nhuyễn
thì càng dễ tới thành công. Càng giải quyết được nhiều bài tốn thì chúng càng
trở thành của mình, thành những kinh nghiệm sống chứ không phải là những chỉ
dẫn khô khan.
1.3.1. Nhận dạng và tập hợp kiến thức
Như đã nói trong bước tìm hiểu đề tốn, cần khoanh vùng bài tốn và
vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dạng được bài toán thuộc loại
nào. Khi đã nhận dạng, đã phân loại được bài tốn thì trong óc phải nhanh chóng
huy động và tổ chức các kiến thức đã học, đã biết từ trước; phải nhớ lại để chuẩn
bị vận dụng một loạt yếu tô cần thiết để giải loại bài tốn này. Q trình đó có
thể là “tự phát” nhất là khi đã quen với việc giải toán.
1.3.2. Phân tích bài tốn để đưa về những bài tốn đơn giản hơn.
Một bài toán, nhất là bài toán tổng hợp, bài tốn khó được xây từ những
bài tốn đơn giản hơn. Cần phải xem có thể phân tích bài tốn đang xét thành
những bài tốn đơn giản hơn khơng, rồi giải từng bài tốn nhỏ ấy, sau đó kết
hợp chúng lại để có lời giải bài tốn đã cho.
1.3.3. Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải.
Thật khó mà đặt ra một bài tốn hồn tồn mới, khơng giống bất kì bài
tốn nào, hoặc khơng liên quan gì tới các bài tốn khác. Vì thế khi gặp một bài
toán, ta cố gắng nhớ lại xem đã gặp một bài toán tương tự hoặc gần giống với
bài toán cần giải chưa và nhớ lại con đường đi đến lời giải của bài tốn đã biết.
Điều đó giúp ta rút ngắn việc tìm tịi lời giải của bài tốn mới này và tạo thêm
rất nhiều thuận lợi.


6
Việc nhớ được một hay một số bài toán tương tự bài tốn đang xét, có thể
về dạng, phương pháp, về vấn đề đặt ra,...ta đã lợi dụng được những điểm tương

đồng về phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,...
1.3.4. Mị mẫm, dự đốn
Trong khi tìm tịi lời giải cho bài tốn, ta có thể thử nghiệm với một số
trường hợp đặc biệt, nhiều khi sẽ cho ta những gợi ý để giải quyết trong trường
hợp tổng quát. Việc này cũng là nội dung của phương pháp đặc biệt hóa, nhưng
ở đây được sử dụng để gợi ý, để tìm tịi lời giải và phương pháp đi tới kết quả.
1.3.5. Bản gợi ý của Pôlya


Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng

tương tự.


Bạn có biết một bài tốn nào liên quan khơng? Một định lý nào có thể sử

dụng ở đây được không?


Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc cùng ẩn hay có

ẩn tương tự.


Đây là một bài tốn liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng nó

khơng? Có thể sử dụng kết quả, phương pháp của nó khơng? Có cần phải đưa
thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được khơng?



Có thể phát biểu bài tốn một cách khác khơng?



Nếu bạn vẫn chưa giải được bài tốn đã cho thì hãy thử giải một bài tốn

liên quan mà dễ hơn khơng? Một bài tốn tổng quát hơn? Một trường hợp đặc
biệt? Một bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số
điều kiện, bỏ qua các điều kiện khác. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng
mực nào, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ liệu rút ra được một số
yếu tố có ích khơng? Có thể nghĩ ra các dữ liệu khác giúp bạn xác định được ẩn
khơng? Có thể thay đổi ẩn hoặc các dữ liệu sao cho các ẩn mới và các dữ liệu
mới gần nhau hơn không?


Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa?

Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?


7
1.4. Trình bày lời giải
Khi đã tìm ra được lời giải rồi thì việc trình bày lời giải khơng cịn khó
khăn nữa, song tính chất hai cơng việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là
văn bản để đánh giá kết quả hoạt động tìm tịi lời giải bài tốn.
Khi đang tìm tịi lời giải, ta có thể mị mẫm, dự đốn hoặc có thể dùng lập
luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lý
luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi
tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong
từng đoạn của lời giải và trong tồn bộ lời giải. Khơng có chi tiết nào bỗng dưng

xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà
ta trình bày trước đó. Khi trình bày lời giải, để cho ngắn gọn ta thường dùng
những phương pháp tổng hợp.
Lời giải được trình bày gọn gàng, sáng sủa, dễ đọc.
1.5.Kiểm tra, đánh giá lời giải và khai thác bài tốn
Cơng việc này rất cần thiết trong học tốn nhưng thường hay bị bỏ qua.
Việc nhìn nhận lại tồn bộ cách giải một bài tốn có thể giúp chúng ta phát hiện
được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Việc nhìn
nhận lại tồn bộ lời giải sẽ gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài
toán vừa xét chỉ là một trường hợp đặc biệt. Công đoạn này được gọi là khai
thác bài tốn.
Có thể khai thác một bài tốn theo các hướng như sau:
a) Hướng 1: Phát biểu bài tốn tương tự, bài tốn này có giải được khơng?
b) Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu bài tốn tổng qt được khơng? Bài
tốn tổng qt có cịn đúng nữa khơng? Trái lại với khái qt hóa là đặc biệt hóa
ln ln đưa đến kết quả đúng, thậm chí có thể mạnh hơn.
c) Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được một bài toán mới. Phương pháp để giải
một bài toán khác.
d) Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp giải một bài toán
khác.


8

Ví dụ 1.5.1.Từ bài tốn “Chứng minh rằng tồn tại số có dạng:
20032003...200300...0 chia hết cho 2002”, ta có thể khai thác thành các bài tốn
sau:
Bài tốn tương tự: Có hay khơng một số có dạng 19911991...199100...0 chia
hết cho 1990 ?
Bài tốn tổng qt hóa: Có hay khơng một số có dạng:


(n  1)(n  1)...(n  1)00...00 chia hết cho n
Ví dụ 1.5.2. Từ bài tốn “Bên trong một cái sân hình chữ nhật có chiều dài là
4m và chiều rộng là 3m có 6 con gà đang ăn. Chứng minh rằng phải có ít nhất là
2 con gà mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2”, ta có bài tốn tương tự sau:
Bài tốn tương tự: “Trong hình trịn có đường kính 5cm có 10 điểm. Chứng
minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc
bằng 2.
Ví dụ 1.5.3: Từ bài tốn “Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết
cho 2”, ta có thể khai thác thành các bài tốn như sau:
Bài tốn 1: Chứng minh rằng tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Bài tốn 2: Chứng minh rằng tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5.
Bài tốn đặc biệt hóa: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài tốn tổng qt hóa: Chứng minh rằng tích của n số tự nhiên liên tiếp chia
hết cho n


9
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, khóa luận trình bày hệ thống lý thuyết về các bước để giải một
bài toán như thế nào và cách khai thác một bài tốn có 4 hướng để sử dụng
trong chương 2, chương 3.


10
CHƯƠNG 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐA THỨC
2.1. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 1
2.1.1.Kiến thức:
Phương trình đa thức bậc nhất một ẩn trên trường số K là phương trình có

dạng ax + b = 0, a K trong đó x là ẩn, trường số K có thể là ,
phương trình, ta thực hiện các bước :
 Nếu a  0, phương trình có nghiệm duy nhất là x =
 Nếu a = 0 thì :
Nếu b  0: phương trình vơ nghiệm
Nếu b = 0: phương trình có vơ số nghiệm (  x K).
2.1.2.Giải và biện luận phương trình
Ví dụ 2.1.1: Giải và biện luận phương trình
(m2  m)x  m  1 (*)

Lời giải
Ta xét các trường hợp
m  0
 m2  m  0  
m  1

Ta có: (*)  x 

1
m

m  0
 m2  m  0  
m  1

Với m = 0:
Ta có: (*)  0 x  1 : phương trình vơ nghiệm
Với m = 1:
Ta có: (*)  0x  0  x


b
a

,

. Để giải


11
Kết luận:

1
m  0
Với 
thì x 
m
m  1
Với m = 0 thì phương trình vơ nghiệm
Với m = 1 thì x
Ví dụ 2.1.2: Giải và biện luận phương trình

xm x2

(*)
x 1 x 1
Lời giải
Điều kiện : x  1
Ta có (*)  (x  m)(x  1)  (x  2)(x  1)
 mx = m + 2


Ta xét các trường hợp:
 m  0:
Ta có (*)  x 

m2
m

Kết hợp điều kiện:

x 1 

m2
 1  m  2  m  2  0 (thỏa mãn)
m

x  1 

m2
 1  m  2  m  m  -1
m

 m=0
Ta có: (*)  0x = 2 vô nghiệm
Kết luận :
m  0 và m  -1 thì x 

m2
m

m = 0 thì vơ nghiệm

Khai thác
Ngồi những phương trình chứa một tham số thì ta có thể đưa ra những bài toán
chứa nhiều tham số hay một biểu thức chứa tham số phức tạp hơn


12

Bài tốn 1: Giải và biện luận phương trình
a) (m3 – 1)x – n = ( n3 -1)x –m (1)
b) a(ax + 2b2 )  a 3  b2 (x  a)
c) (a  b)2 x  2a 2  2a(a  b)  (a 2  b2 )x
Lời giải
a) Phương trình (1) tương đương với:( m3 – 1 – n3 + 1)x = n – m
 ( m3 – n3)x = n – m

(5)

+ Nếu m3 – n3  0 thì (5) tương đương
x=

(m  n)
= 2 1
2
2
(m  n)(m  mn  n ) (m  mn  n 2 )

+ Nếu m3 – n3 = 0  m = n
Phương trình (5) có dạng 0x = 0 nghiệm đúng với x 
Kết luận
+ Nếu m3 – n3  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

+ Nếu m3 – n3 = 0 thì x 

là nghiệm.

Đáp số:
b) a   b : x  a
a  b : x 

c) a  0  b  0 : x  1
a  0  b  0: x

Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình:

b  x x  b b(x  1)  2


x 1 1 x
1  x2
Đáp số: b  2 thì x 

\ 1

b  2 thì phương trình có nghiệm x = 1

Bài toán 3: Điều kiện để phương trình có tập hợp nghiệm là
m2 (x  1)  2(mx  2)

1
(m  mn  n 2 )
2



13
Hướng dẫn: Ta vẫn đi xét các trường hợp của phương trìnhvà kết hợp vớiđiều
kiện đề bài sau đó kết luận phương trình có tập nghiệm trên

là m =2

Bài tốn 4: Tìm điều kiện k để đường thẳng y  kx  2 cắt 2 trục tọa độ thành
tam giác có diện tích bằng 1
Giải:
Đường thẳng cắt hai trục hồnh tại A (

2
;0) và cắt trục tung tại B(0;2)
k

1
Ta có SOAB  OA.OB  1
2
 OA.OB  1
1 2
 .2.
1
2
k


2
1

k

 2
 k 1
 k  2


k  2
 2  1
 k

Vậy k = 2 hoặc k = -2 thỏa mãn đề bài
2.1.3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
Ví dụ 2.1.3: Giải phương trình sau:
a)

3x  7 2 x  1

;
5
3

b)

4x  7
3x
x
12
8


c)

x  5 x  9 5x  3


2 ;
6
4
8

d)

x 1 x  2 x  3


 3
5
4
3

Phân tích: Để giải các phương trình trên ta cần sử dụng các phép rút gọn, quy
đồng... để đưa về dạng phương trình bậc nhất
Lời giải
a)

3x  7 2 x  1

 3( 3x-7 ) = 5(2x – 1)
5
3



14
 9x – 21 = 10x -5  x = -16

Vậy x = -16 là nghiệm của phương trình
b)

4x  7
3x
x
 2( 4x + 7) + 24x = 9x
12
8

 23x = -14

14
23

x=

14
là nghiệm của phương trình
23

Vậy x =
c)

x  5 x  9 5x  3



2
6
4
8

 4( x+ 5) – 6( x – 9) = 3( 5x + 3) + 48
 17x = 17
 x=1

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình
d)

x 1 x  2 x  3


 3
5
4
3

 12( x  1)  15( x  2)  20( x  3)  3 .60

x

76
47

Vậy x 


76
là nghiệm của phương trình
47
Khai thác

Các bài tốn trên nếu ta thay số bởi các tham số a,b,c thì ta sẽ có bài tốn mới
với cách giải tương tự
Bài tốn 1: Giải các phương trình sau:
a)

xa xb xc
x a x b x c


 3 ; b)


3
bc ac ba
bc ac ba

Lời giải:
a)


15

xa xb xc



 3
bc ac ba
 x  a 1 x  b 1 x  c 1  0

bc

ac

ba

 xabc  xabc  xabc 0

bc

ac

 ( x+ a+ b+c ) (

ba

1
1
1


) =0
bc ac ba

Nếu


1
1
1


 0 thì phương trình có vơ số nghiệm
bc ac ba

Nếu

1
1
1


 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - a–b-c
bc ac ba

b)

x a x b x c


3
bc ac ba
 x  a 1 x  b 1 x  c 1  0

bc


ac

ba

 x a bc  x a bc  x a bc  0

bc

 ( x – a – b - c )(

ac

ba

1
1
1


) =0
bc ac ba

Nếu

1
1
1


 0 thì phương trình có vơ số nghiệm

bc ac ba

Nếu

1
1
1


 0 thì phương trình có nghiệm duy nhấtx = a + b + c
bc ac ba

Ví dụ 2.1.4 :
Một ơ tơ đi từ A đến B cùng một lúc, ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng

2
vận tốc ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng
3
đường mất bao lâu?


16
Lời giải
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (h).( x > 0);
Ta có vận tốc ô tô đi từ A đến B là :
Vận tốc ô tô đi từ B đến A là :

AB
( km/h);
x


2 AB
.
( km/h);
3 x

Sau 5 giờ ô tô đi từ A đến B đi được quãng đường là : 5.

AB
( km)
x

2 AB
Sau 5 giờ ô tô đi từ B đến A đi được quãng đường là : 5. .
( km)
3 x
Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phương trình : 5.
Giải phương trình ta được : x =

AB
2 AB
+ 5. .
= AB;
x
3 x

25
3

Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là


25
25
(h), thời gian ô tô đi từ B đến A là
(h)
3
2
Khai thác

Ta có thể thay đổi mốc của quãng đường và vận tốc thì ta được bài tốn mới.
Bài tốn 1:
Một ơ tơ du lịch đi từ A đến C. Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên đọan AC có
một ơ tơ vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai ô tô gặp nhau tại C. Hỏi ô tô du
lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ô tô tải bằng
ô tô du lịch.
Lời giải
Gọi thời gian ô tô du lịch đi từ A đến B là x (h). ( 0 Ta có thời gian ô tô du lịch đi từ B đến C là ( 5 –x) (h).
Vận tốc xe ô tô du lịch là:

BC
( km/h).
5x

3
vận tốc của
5


17

Ta có vận tốc xe tải là:

BC
( km/h).
5

Vì vận tốc của ơ tơ tải bằng
Ta có phương trình:

3
vận tốc của ô tô du lịch
5

BC 3 BC
= .
5 5 5x

Giải phương trình trên ta được: x = 2 (h)
Vậy ơ tơ du lịch đi từ A đến B mất 2 giờ.
Bài tốn 2:
Hai ơ tơ khởi hành đồng thời từ A đến B. Ơ tơ thứ nhất đi nửa qng đường đầu
với vận tốc v1 và đi nửa quãng đường sau với vận tốc v2. Ơ tơ thứ hai đi nửa thời
gian đầu với vận tốc v2 và trong nửa thời gian sau với vận tốc v1. Hỏi ô tô nào
đến trước?
Lời giải
Gọi nửa quãng đường đầu của ô tô là s1, nửa quãng đường sau của ô tô là s2.
Thời gian ô tô 1 đi nửa quãng đường đầu là: t1 = s1 = s
v1

2v1

Thời gian ô tô 1 đi nửa quãng đường sau là: t2 = s2 = s
v2

Vận tốc trung bình của ơ tơ 1 là : vtb1 

Đối với ô tô thứ 2:

S1 = v 2 .

2v 2

s
s
2v1v 2


s
s
t1  t 2
v1  v 2

2v1 2v 2

t
t
; S2 = v1.
2
2

Vận tốc trung bình của ơ tơ thứ 2 là:
vtb2 =

s1  s 2 v1  v 2
=
t
2

Ta lấy vận tốc trung bình của ơ tơ 1 trừ cho ơ tơ 2 thì :

2v1v 2 v1  v 2 4v1v 2  (v1  v 2 ) 2 (v1  v2 )2
=
=
v1  v 2
2(v1  v 2 )
2(v1  v2 )
2


18
2
2
Do (v1  v 2 ) ≥ 0 nên - (v1  v 2 ) < 0

Từ đó suy ra vận tốc trung bình của ơ tơ 1 bé hơn vận tốc trung bình của ơ tơ 2
nên ơ tơ 2 sẽ đến trước.
Bài tốn 3: Ơng A đến của hàng mua tủ lạnh có dung tích 150 lít. Ơng được cửa
hàng giới thiệu hai loại tủ lạnh dung tích 150l có chất lượng như nhau với thời
hạn sử dụng là 10 năm:
Loại 1: Giá 2,5 triệu đồng, tiêu thụ 1,7 KWh điện trên một ngày.

Loại 2: Giá 3 triệu đồng, tiêu thụ 1,5 KWh điện trên một ngày.
Giả sử 1KWh điện có giá 1000 đồng.
Hỏi ơng A nên mua loại nào để tiết kiệm chi phí sử dụng tủ lạnh( kể cả tiền tủ
lạnh)?

Lời giải:
Giả sử giá điện hiện nay là 1000 đồng trên 1KWh.Vậy trong x ngày (x > 0)
Tacó:
Chi phí sử dụng tủ lạnh loại 1 là: f(x) = 2500 + 1,7x (nghìn đồng)
Chi phí sử dụng tủ lạnh loại 2 là: g(x) = 3000 + 1,5x (nghìn đồng)
Khi đó, chi phí sử dụng hai loại tủ lạnh bằng nhau trong x0 ngày là nghiệm của
phương trình: f(x) = g(x)  2500 + 1,7x = 3000 + 1,5x
 0,2x = 500

 x = 2500 (ngày)

2500ngày= 6 năm 310 ngày ( tính theo 1 năm 365 ngày)


19

Hình 1
Quan sát đồ thị trên ta thấy:
Trường hợp 1: Nếu ông A sử dụng tủ lạnh dưới 7 năm thì ơng mua tủ lạnh loại
1để tiết kiệm chi phí.
Trường hợp 2: Nếu ông A sử dụng tủ lạnh trên 7 năm thì ơng mua tủ lạnh loại 2
để tiết kiệm chi phí.
2.1.4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 2.1.5: Giải phương trình
x3  1

x3  1
+
+ 2x + 3 = 0
3. 2
x2  x  1
x  x 1

Phân tích: Nếu ta quy đồng để khử mẫu thì sẽ rất phức tạp nên ta cần rút gọn
các phân thức để giảm bậc xuống
Lời giải
x3  1
x3  1
+
+ 2x + 3 = 0
x2  x  1
x2  x  1
2
 x  1) (x  1)(x 2  x  1)
 (x  1)(x
+
+ 2x + 3 = 0
2
2

x  x 1

x  x 1

 x – 1  x  1  2x  3  0
 4x  3  0

20
x 

3
4
Khai thác

+) Nếu ta thay 2 vế các biểu thức của x có thể rút gọn được thì ta cũng có các
bài tốn mới mà cách giải tương tự.
Bài tốn 1: Giải phương trình
x5  1
x7 1
+x–1=0

x 4  x3  x 2  x  1 x6  x5  x 4  x3  x 2  x  1
4
 x 3  x 2  x  1) (x  1)(x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1)
 (x  1)(x
+ x – 1 =0

4
3
2
6
5
4
3
2

x  x  x  x 1

x  x  x  x  x  x 1

x–1+x–1+x–1=0
 3x = 3  x = 1

Bài tốn 2: Giải phương trình sau với m, n là các số tự nhiên lẻ, m, n > 1, k là
tham số
xm 1
xn 1
+ (k+1)x + 1 = 0

k
x m1  x m2  ...  x  1
x n 1  x n 2  ...  x  1

Lời giải
xm 1
xn 1
+ (k+1)x + 1 = 0
 k n 1
x m1  x m2  ...  x  1
x  x n 2  ...  x  1
m 1
 x m2  ...  x  1)
(x  1)(x n 1  x n 2  ...  x  1)
 (x  1)(x
+(k+1)x +1=0


k
m 1
m2
n 1
n 2

x

x

 ...  x  1

x

x

 ...  x  1

 x – 1 + k(x – 1) + (k+1)x + 1=0
 2(k+1)x – k = 0
x=

k
2(k  1)

2.2. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 2
2.2.1. Kiến thức
Phương trình đa thức bậc hai một ẩn có dạng: ax2 + bx +c = 0, trong đó a,
b,c là các tham số thực, a  0.

Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai:

  b2  4.a.c