BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

HỒNG TRỌNG NHÂN

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG BẬC HAI Ở LỚP 10 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Phú Thọ, năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

UBND TỈNH PHÚ THỌ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

HỒNG TRỌNG NHÂN

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG BẬC HAI Ở LỚP 10 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã ngành: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Bùi Văn Nghị

Phú Thọ, năm 2020


i
LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn GS.TS Bùi Văn Nghị đã dạy dỗ và hướng dẫn em tận
tình, giúp em hoàn thành luận văn này.
Em xin cảm ơn các thầy cơ giáo đã dạy lớp Cao học, các cán bộ
phịng ban trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện cho em hồn
thành khóa học.
Tác giả luận văn

Hồng Trọng Nhân


ii
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng được
cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Hoàng Trọng Nhân


iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. ii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .................................................................. v
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................ 1
2. Tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu ................................................................ 4
3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................. 7
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 7
5. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 7
6. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu ................................................... 8
7. Ý nghĩa lí luận và thực tiễn ........................................................................... 8
8. Bố cục luận văn ............................................................................................. 8
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 9
1.1. Năng lực học sinh ....................................................................................... 9
1.1.1. Quan niệm về năng lực ........................................................................... 9
1.1.2. Các đặc trưng của năng lực ................................................................... 10
1.1.3. Các dạng năng lực ................................................................................. 11
1.1.4. Những năng lực cần phát triển cho học sinh ......................................... 12
1.2. Năng lực biểu diễn toán ........................................................................... 13
1.2.1. Quan niệm về biểu diễn Toán ............................................................... 13
1.2.2. Những hình thức biểu diễn Tốn .......................................................... 14
1.2.3. Vai trị của biểu diễn toán ..................................................................... 16
1.2.4. Năng lực biểu diễn toán ........................................................................ 17
1.2.5. Một số dạng biểu diễn toán ................................................................... 18
1.3. Cơ hội phát triển năng lực biểu diễn toán cho học sinh trong dạy học nội
dung phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 .............................. 21
1.3.1. Cơ hội trong dạy học Hình học 10 ........................................................ 21
1.3.1. Cơ hội trong dạy học Đại số 10 ............................................................ 24



iv
1.4. Khảo sát thực tiễn dạy học nội dung phương trình đường thẳng, đường
bậc hai ở trường THPT theo hướng phát triển năng lực biểu diễn toán cho học
sinh .................................................................................................................. 24
1.4.1. Tổ chức khảo sát ................................................................................... 24
1.4.2. Kết quả khảo sát .................................................................................... 25
Chƣơng 2. BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
VÀ ĐƢỜNG BẬC HAI Ở LỚP 10 THEO HƢỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN CHO HỌC SINH.................................. 28
2.1. Biện pháp 1. Kết hợp biểu diễn đường thẳng, biểu thức, sơ đồ và biẻu
diễn nghiệm của phương trình, bất phương trình bậc nhất trong dạy học
phương trình đường thẳng ............................................................................... 28
2.2. Biện pháp 2. Khai thác và sử dụng những tình huống thực tiễn biểu diễn
đường bậc hai trong q trình dạy Tốn 10 .................................................... 38
2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện cho học sinh biểu diễn động thông qua phần mềm
động. ................................................................................................................ 44
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 54
3.1. Mục đích, tổ chức, kế hoặch thực nghiệm sư phạm ................................ 54
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................ 54
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm .............................................................. 54
3.1.3. Xây dựng kế hoạch giảng dạy thực nghiệm sư phạm ........................... 55
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................... 56
3.2.1. Giáo án 1 “Phương trình tham số của đường thẳng” ............................ 56
3.2.2. Giáo án 2. Parabol ................................................................................. 60
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................... 64
3.3.1. Đánh giá định tính ................................................................................. 64
KẾT LUẬN .................................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 74
PHỤ LỤC



v

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

BDT

Biểu diễn toán

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NL

Năng lực


NXB

Nhà xuất bản

THCS

Trung học cơ sở

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông


1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
1.1. Điểm mới trong chương trình giáo dục phổ thơng năm 2018 là dạy
học theo hướng phát triển năng lực học sinh.
Trong Nghị quyết số 29 nghị quyết Hội nghị trung ương 8 khóa XI ngày
4 tháng 11 năm 2013 “Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo,
đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị
trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" đã nêu ra tình hình

và nguyên nhân, định hướng chỉ đạo và đề ra các mục tiêu và giải pháp cho
nền giáo dục Việt Nam trong thời gian tới. Với mục tiêu cụ thể của cấp trung
học phổ thông (THPT) là: “Đối với giáo dục phổ thơng, tập trung phát triển
trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi
dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất
lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức,
lối sống, ngoại ngữ, tin học và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào
thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt
đời”. [3]
Theo Luật giáo dục 2005 và sửa đổi bổ sung năm 2009 tại khoản 4 điều
27 quy định “Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và
phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn
phổ thơng và có những hiểu biết thơng thường về kỹ thuật và hướng nghiệp,
có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hướng phát triển, tiếp tục
học đại học, cao đẳng, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”,
khoản 2 điều 28 “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo
nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. [25]


2
Do đó việc dạy học ở cấp THPT đặc biệt là dạy mơn tốn thì giáo viên
(GV) cần trang bị cho học sinh (HS) hệ thống tri thức, kĩ năng, phương pháp
học tốn, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát triển NL trí tuệ, phát triền tư duy
sáng tạo thơng qua việc giải quyết các vấn đề trong toán học và trong thực
tiễn; Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực tự học, năng
lực hợp tác; Tạo cơ sở tiền đề để HS tiếp tục học cao đẳng, đại học, trung học
chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.

1.2. Biểu diễn toán là một trong những năng lực cần được phát triển cho
học sinh phổ thơng hiện nay.
Mỗi vấn đề tốn học có thể có nhiều cách diễn đạt, nhiều cách biểu diễn
khác nhau; Có thể biểu diễn bằng lời nói, bằng kí hiệu, bằng hình vẽ, bằng sơ
đồ, bằng cơng thức....
Biểu diễn tốn học có vai trị rất quan trọng trong giải tốn; Sử dụng biểu
diễn thành cơng sẽ giúp học sinh hiểu bài toán hơn và lập luận logic hơn. Bài
viết trình bày một số cơ sở lý thuyết về biểu diễn toán học và đi sâu vào các
hoạt động chuyển đổi giữa các dạng của biểu diễn toán học được vận dụng
trong giải tốn có lời văn ở tiểu học. (Ngô Trúc Phương, 2019)[22]
Việc sử dụng nhiều cách biểu diễn trong mơn tốn khơng phải là cơng
việc xa lạ; GV và HS có thể đã sử dụng khơng ít trong các giờ học tốn. Tuy
nhiên, quan tâm đến vai trị của các cách biểu diễn khác nhau cũng như quan
tâm đến việc làm thế nào để sử dụng chúng một cách hiệu quả trong dạy và
học cũng chưa được đông đảo các thầy cơ giáo dạy tốn để ý một cách đầy
đủ. “Vai trò của biểu diễn bội cũng đã được khẳng định, vấn đề đặt ra là sử
dụng biểu diễn bội như thế nào để phát huy tốt nhất vai trị của nó. Điều này
khơng phải dễ dàng, nhất là trong bối cảnh hiện nay khi chương trình và SGK
chưa thể hiện được một sự quan tâm đúng mức với hệ lụy là lối dạy học chỉ
tập trung trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng để đạt điểm cao trong các kì
thi quan trọng. Hậu quả là HS biến thành những người học thụ động, thiếu tư
duy, thiếu sáng tạo và sợ thuyết trình.” (Lê Đức Hải, 2011, [12])


3
Mặc dù BDT đã ngày càng được quan tâm nhưng hiện nay ở nước ta
chưa có nghiên cứu nào tập trung vào các biện pháp bồi dưỡng NL BDT cho
HS thông qua các hoạt động BDT đặc thù trong quá trình dạy học mơn tốn.
Vấn đề về BDT được xem xét dưới góc độ là một trong những yếu tố tác động
để phát triển một NL toán học khác (NL tốn học hóa, NL hiểu biết định

lượng) hoặc bồi dưỡng NL BDT qua dạy học giải một số dạng toán (bài tốn
kết thúc mở, tốn học hóa). Bởi vậy, bồi dưỡng NL BDT cho HS THPT nói
chung và HS lớp 10 nói riêng theo hướng xác định và tổ chức cho HS thực
hiện hiệu quả các hoạt động BDT đặc thù trong q trình dạy học mơn tốn
cịn nhiều vấn đề cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu.
1.3. Ở lớp 10 THPT, đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 là một trong
những nội dung có nhiều cơ hội phát triển năng lực biểu diễn toán cho học sinh.
Đường bậc hai ở lớp 10 bao gồm đường tròn, elip, parabol và hypecbol.
Đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 có thể tiếp cận bằng hình học tổng
hợp (mối quan hệ giữa các yếu tố, đại lượng hình học) hoặc bằng đại số
(thơng qua phương trình). Đơi khi ta phải kết hợp cả hai cách tiếp cận để giải
quyết vấn đề được đơn giản hơn. Việc giải các bài toán cũng có thể có nhiều
phương pháp lựa chọn và phương pháp giải khác nhau, tùy theo khả năng
nhận thức của học sinh và dữ kiện của bài toán.
“Thực tế ở trường THPT cho thấy, học sinh chưa chú trọng vào việc biểu
diễn chính xác các vấn đề tốn học thơng qua ngơn ngữ, ký hiệu tốn học,
mối quan hệ giữa các đại lượng và cách trình bày lập luận logic, chặt chẽ,
khoa học. Đối với giáo viên, chưa có nhiều thầy cô giáo chú ý liên hệ nội
dung dạy học với việc phát triển năng lực biẻu diễn tốn nói riêng cho học
sinh.” (Trần Vui, 2009) [ 34]
Tham khảo những cơng trình đã cơng bố, chưa có nghiên cứu nào đi
sâu tìm kiếm các biện pháp phát triển năng lực biểu diễn tốn trong dạy học
phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10; Vì vậy, chúng tơi chọn


4
tên đề tài của luận văn là “Dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc
hai ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực biểu diễn toán cho học sinh”.
2. Tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu
2.1. Những công trình ở nƣớc ngồi

Các kết quả nghiên cứu về BDT trên các phương diện: mô tả khái niệm,
phân loại, biểu diễn và các cách thức phát triển năng lực biểu diễn cho HS
trong dạy học mơn tốn trong các tài liệu của Abraham Arcavi (2003) [36],
Ainsworth S., Bibby P., and Wood D. (1997) [37], Albert A. Cuoco (2001)
[38], Athanasios Gagatsis, Constantinos Christou and Iliada Elia (2004)
[39]... đã khẳng định tầm quan trọng của biểu diễn trong giảng dạy toán
học phổ thơng.
Năm 2000, Hội đồng quốc gia các giáo viên Tốn của Mỹ (National
Council of Teachers of Mathematics , viết tắt là NCTM) đã xác dịnh: “BDT
(Mathematics Representation) cùng với giao tiếp toán (Mathematics
Communication) là hai trong năm mục tiêu cơ bản của chương trình tốn học
phổ thơng. Từ đó, BDT được nghiên cứu đầy đủ hơn, được cụ thể hóa thành
các tiêu chí trong chương trình mơn tốn từ mẫu giáo đến lớp 12, là chuẩn
bắt buộc trong giảng dạy và đánh giá tốn học phổ thơng ở Mỹ và một số
nước trên thế giới.” (NCTM, 2000) [47]
J. Bruner (1966) đã chỉ ra ba hình thức biểu diễn của một chủ đề: Biểu
diễn bằng vật cụ thể, biểu diễn bằng hình tượng, biểu diễn tượng trưng. [40]
Chẳng hạn, để biểu diễn hai hình trịn tiếp xúc ngồi nhau, ta có thể dùng
hai chiếc đĩa đặt sát nhau (biểu diễn bằng vật cụ thể), vẽ hai hình trịn tiếp xúc
ngồi (biểu diễn bằng hình tượng) hoặc mơ tả: Hai hình trịn (O; r) và (O’; r’)
có tính chất r + r’ = OO’ (biểu diễn tượng trưng, dựa trên ngôn ngữ).
Sau này, một số nhà nghiên cứu đã bổ sung thêm một số dạng biểu diễn
khác, chẳng hạn Tadao Nakahara (2007) đã xác định 5 dạng biểu diễn: Biểu
diễn thực tế; Biểu diễn bằng mơ hình thao tác được; Biểu diễn minh họa bằng


5
hình ảnh (biểu diễn trực quan); Biểu diễn bằng ngơn ngữ; Biểu diễn bằng kí
hiệu. [50]
Albert A. Cuoco (2001) đã nghiên cứu về vai trị của biểu diễn tốn

trong chương trình tốn phổ thơng; [38]
Athanasios Gagatsis, Constantinos Christou and Iliada Elia (2004) đã
nghiên cứu bản chất của nhiều biểu diễn trong việc phát triển các mối quan hệ
tốn học. [39]
Nhóm tác giả Marten W. van Someren, Peter Reimann, Henny P.A.
Boshuizen và Ton de Jong (1998) đã nghiên cứu việc học với nhiều sự biểu
diễn.[45]
Abraham Arcavi (2003), nghiên cứu về vai trị của hình ảnh biểu diễn
trong việc học tốn. Theo tác giả: Sự trực quan, vừa là sản phẩm vừa là q
trình tạo ra, giải thích và phản ánh trên tranh ảnh và hình ảnh, đang tăng khả
năng hiển thị trong toán học và giáo dục toán học. Tác giả đã nỗ lực xác định
trực quan và phân tích thơng qua một số ví dụ và phản ánh về nhiều vai trị
khác nhau và phong phú mà nó có thể và nên đóng trong việc học và làm
tốn. Đồng thời, các hạn chế và các nguồn khó khăn có thể có của việc hình
dung có thể gây ra cho học sinh và giáo viên. [36]
Các kết quả nghiên cứu về biểu diễn tốn trên các phương diện: mơ tả
khái niệm, phân loại biểu diễn và các cách thức phát triển biểu diễn cho học
sinh trong dạy học mơn tốn được tập hợp trong nhiều chuyên khảo đã khẳng
định tầm quan trọng của biểu diễn trong giảng dạy toán học phổ thơng.
2.2. Những cơng trình trong nƣớc
Những nghiên cứu về BDT liên quan đến những nghiên cứu về ngơn ngữ
tốn, giao tiếp toán và dạy học trực quan.
Tác giả Phan Anh (2012) [2] cho rằng năng lực sử dụng ngôn ngữ tự
nhiên và ngơn ngữ tốn học là tiền đề cho các năng lực thành phần của năng
lực tốn học hóa tình huống thực tiễn của học sinh THPT. Trần Ngọc Bích


6
(2013) [7], Thái Huy Vinh (2014) [33] đề cập đến các kĩ năng giao tiếp toán
học như là một trong những biện pháp nâng cao hiệu quả sử dụng ngôn ngữ

toán học cho học sinh tiểu học. Hoa Ánh Tường (2014) [30] quan tâm đến
“Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học cho
học sinh THCS”. Trong đó, xác định biểu diễn tốn là một trong những
phương thức cơ bản của giao tiếp toán học và đề xuất các cách tổ chức dạy
học bài tốn kết thúc mở để thúc đẩy q trình giao tiếp toán học. Nguyễn Thị
Tân An (2014) [1] sử dụng tốn học hóa để phát triển năng lực hiểu biết định
lượng, qua đó phát triển năng lực biểu diễn tốn.
Vũ Thị Bình (2014) nghiên cứu về giao tiếp tốn học và biểu diễn tốn
học trong dạy học mơn Tốn phổ thơng [8] và bồi dưỡng năng lực biểu diễn
tốn học và năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học mơn Tốn
lớp 6. [9]
Nghiên cứu dạy học hình thành và phát triển NL BDT cho HS đã thu hút
được sự quan tâm của nhiều tác giả ở những mức độ và tầng bậc khác nhau.
Có thể kể đến một số kết quả nghiên cứu sau:
Ngô Trúc Phương (2019) nghiên cứu về vai trị của biểu diễn tốn học
trong giải tốn có lời văn ở bậc tiểu học. [22]
Trần Vui (2009) đã nghiên cứu về vai trò của biểu diễn trực quan động
và lợi ích tích cực của nó khi sử dụng trong dạy học tốn; vai trị của biểu
diễn bội trong phát triển NL suy luận thống kê.[34]
Nguyễn Danh nam (2013), đã trình bày về vai trị của lý thuyết đa trí tuệ
và biểu diễn bội (Multiple Representations) trong dạy học mơn Tốn ở trường
phổ thơng. [17]
Nguyễn Danh Nam và Mã Thị Hiềm (2014), trong bài báo “Biểu diễn
bội trong dạy học khái niệm Hàm số” [18]
Bùi Văn Nghị (2009) đã quan tâm tới sự phối hợp của ba cách BDT
thơng qua ngơn ngữ Giải tích, Đại số và Hình học.[19]


7
Lê Đức Hải (2011), nghiên cứu về vai trò của biểu diễn bội trong nâng

cao năng lực suy luận về tính khơng chắc chắn.[12]
Như vậy đã có một số nghiên cứu ở trong và ngoài nước về biểu diễn
một vấn đề nói chung, BDT nói riêng. Tuy nhiên, chưa thầy cơng trình nào về
dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở trường THPT theo
hướng hướng phát triển NL BDT cho HS.
3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục tiêu
Đề xuất biện pháp dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở
lớp 10 theo hướng phát triển NL BDT cho HS, góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học mơn Tốn ở trường THPT.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về dạy học phương trình đường thẳng và
đường bậc hai ở lớp 10 theo hướng phát triển NL BDT cho HS.
- Đề xuất biện pháp dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai
ở lớp 10 theo hướng phát triển NL BDT cho HS.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính
thực tiễn của những biện pháp dạy học đã đề xuất.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là những biện pháp dạy học phương trình đường
thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 theo hướng phát triển NL BDT cho HS.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là hệ thống các bài toán về phương trình đường
thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 theo hướng phát triển NL BDT cho HS.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học những tình huống về phương trình đường thẳng và đường
bậc hai ở lớp 10 theo những biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì học sinh vừa


8

có kết quả học tập tốt hơn về nội dung này, vừa góp phần phát triển được NL BDT
cho HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường THPT.
6. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các giáo trình, tài liệu
(sách báo, tạp chí, tư liệu, các cơng trình nghiên cứu) về các vấn đề có liên
quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát
Khảo sát thực trạng dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai
ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực BDT cho HS.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm ở một số trường THPT để đánh giá tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp dạy học đã đề xuất.
7. Ý nghĩa lí luận và thực tiễn
Về mặt lí luận:
Xác định rõ quan niệm về biểu diễn toán, đưa ra một số biện pháp cần
thiết nhằm bồi dưỡng cho học sinh trong dạy học mơn Tốn ở trường THPT
và các điều kiện sư phạm nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh ở
THPT.
Đề ra các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực biểu diễn toán cho học
sinh trong dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10.
Về thực tiễn:
Luận văn có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy
và học nội dung phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10.
8. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Biện pháp dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai
ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực biểu diễn toán cho học sinh
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm



9
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực học sinh
1.1.1. Quan niệm về năng lực
Khái niệm “năng lực” đã được phát biểu theo nhiều cách khác nhau:
“Năng lực là sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá
nhân khác nhau như hứng thú, niềm tin, ý chí …để thực hiện một loại cơng
việc”. (Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, năm 2018, ban hành bởi Bộ
Giáo dục và Đào tạo) [4]
“Năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng
hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”. (Từ điển tiếng
Việt, 1996) [20]
Theo các nhà tâm lý học: “Năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc
đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động
nhất định, nhằm đảm bảo việc hồn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt
động ấy”. (Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn, 2004) [30], [31]
Cùng với khái niệm năng lực là khái niệm “năng lực cốt lõi” (key
competences) bao gồm một số năng lực được coi là nền tảng. Dựa trên những
năng lực cốt lõi này, người học có thể thực hiện được yêu cầu của học tập
cũng như các yêu cầu khác trong bối cảnh và tình huống khác nhau khi đạt
được những năng lực thứ cấp.
Theo [4] “Năng lực cốt lõi bao gồm những năng lực nền tảng như năng
lực đọc hiểu, năng lực tính tốn, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao
tiếp và khái niệm năng lực có một định hướng thống nhất, con người với tất
cả các mặt nhân cách cơ bản của nó đều là tâm điểm của hai khái niệm này,
vấn đề xoay quanh tri thức, kỹ năng, thái độ và giá trị”.



10
Như vậy, tuy cách phát biểu định nghĩa năng lực khơng hồn tồn giồng
nhau, nhưng các nhà nghiên cứu của Việt Nam và thế giới đã có cách hiểu
tương tự nhau về khái niệm năng lực.
Chúng tôi quan niệm: Năng lực là sự kết hợp của khả năng, phẩm chất,
thái độ của một cá nhân hoặc tổ chức để thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ.
1.1.2. Các đặc trưng của năng lực
+ Năng lực được thể hiện qua hành động
Năng lực cá nhân được bộc lộ ở hoạt động (hành động, công việc)
nhằm đáp ứng những yêu cầu cụ thể trong bối cảnh/ điều kiện cụ thể.
Đây là đặc trưng phân biệt “Năng lực” với “Tiềm năng” (potential) –
khả năng ẩn giấu bên trong, chưa bộc lộ ra, chưa phải là hiện thực.
Vì năng lực được thể hiện qua hoạt động nên ta có thể xem kĩ năng
(skill) là một thành tố của năng lực. “Mỗi năng lực gắn với một loại hoạt
động, chẳng hạn như: Năng lực giao tiếp, năng lực tư duy, năng lực hợp tác.
Các năng lực này được thể hiện ở những kĩ năng gắn với những hoạt động cụ
thể, như kĩ năng nói, kĩ năng đặt câu hỏi, kĩ năng làm việc nhóm”. (Vũ Thị
Bình, 2016) [9]
+ Năng lực được thể hiện ở hiệu quả
Năng lực được thể hiện rõ qua tính “Hiệu quả”, “Thành cơng” hoặc
“Chất lượng cao” của hoạt động.
Năng lực có thể thể hiện ở ba tầng bậc:
- Năng lực nhận biết/ tìm kiếm thơng tin được xem là bậc thấp (sơ cấp),
- Năng lực kết nối thông tin được xem là năng lực trung bình (trung
cấp),
- Năng lực khái quát, phân tích, đánh giá thơng tin được xem là năng
lực bậc cao (cao cấp).
Như vậy, năng lực của cá nhân thể hiện qua hoạt động (có thể quan sát
được ở các tình huống, hồn cảnh khác nhau) và có thể đo lường/ đánh giá



11
được; Năng lực được hình thành, phát triển ở trong và ngồi nhà trường;
Năng lực được hình thành và biến đổi liên tục.
1.1.3. Các dạng năng lực
Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục và các Bộ trưởng Giáo dục - Đào tạo Việc làm của các nước, tại Australia tháng 9 năm1992) đã đưa ra một kiến
nghị về bảy năng lực cơ bản (key-competencies) của người lao động cần có
được đề ra là:
(1) Năng lực thu thập, phân tích và tổ chức thông tin,
(2) Năng lực giao tiếp/truyền đạt ý tưởng và thông tin,
(3) Năng lực lập kế hoạch và tổ chức hoạt động,
(4) Năng lực làm việc với đối tác và theo nhóm,
(5) Năng lực sử dụng tư duy toán học và kỹ thuật,
(6) Năng lực giải quyết vấn đề,
(7) Năng lực sử dụng cơng nghệ. (Dẫn theo Hồng Hịa Bình, 2015) [6]
Năng lực được chia thành ba nhóm: Nhóm năng lực cơ bản; Nhóm
năng lực chung; Nhóm năng lực cụ thể. Số lượng và những năng lực chung
được đặt ra khác nhau ở các nước. Nhưng có thể thấy một số năng lực được
hầu hết các nước quan tâm là năng lực về thông tin liên lạc, năng lực làm việc
với những người khác và năng lực giải quyết vấn đề.
“Singapo đề ra tám nhóm năng lực thiết yếu của học sinh là: Năng lực
phát triển tính cách; Năng lực tự điểu khiển bản thân; Năng lực xã hội và hợp
tác; Năng lực đọc viết; Năng lực giao tiếp; Năng lực xử lý thông tin; Năng
lực suy nghĩ và sáng tạo; Năng lực ứng dụng kiến thức.” (Dẫn theo Hà Xuân
Thành, 2017), [27], [28]
“Phần Lan đề ra tám năng lực của học sinh gồm: Năng lực giao tiếp tiếng mẹ
đẻ; Năng lực toán học và khoa học cơ bản; Năng lực sáng tạo và lãnh đạo;


12

Năng lực sử dụng công nghệ; Năng lực thực hiện nghĩa vụ công dân và xã
hội; Năng lực nhận thức và thể hiện văn hóa; Năng lực sử dụng cơng nghệ
số; Năng lực học cách học.” (Dẫn theo Phan Anh Tài, 2014) [29]
1.1.4. Những năng lực cần phát triển cho học sinh
Năng lực của học sinh phổ thông không chỉ là khả năng tái hiện tri thức,
thông hiểu tri thức, mà quan trọng là khả năng hành động, ứng dụng/vận dụng
tri thức để giải quyết những vấn đề của cuộc sống, càng sáng tạo càng tốt.
Theo Đỗ Đức Thái (2018) “Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể năm
2018 được xác định là chương trình theo định hướng phát triển năng lực
người học, trong đó có năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn. Năng
lực chung, cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển
năng lực chuyên môn. Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng ở những
lĩnh vực nhất định, như “Năng lực tốn học”, “Năng lực ngơn ngữ”. Tuy
nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không thể tách rời mà
quan hệ chặt chẽ với nhau”. [26]
Mục tiêu chung Chương trình mơn Tốn năm 2018 là góp phần hình
thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung; giúp
học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: Hình thành và phát triển năng lực toán
học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận tốn học;
năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực
giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học tốn.
Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, năm 2018 [5] đã giải thích
về những năng lực cần phát triển cho học sinh qua mơn Tốn như sau:
- Năng lực tư duy và lập luận Toán học được thể hiện qua các thao tác chủ
yếu như phân tích, tổng hợp, so sánh và tương tự, đặc biệt hóa và khái qt
hóa, suy luận chứng minh, dự đốn, tìm tịi, trực giác và tưởng tượng không
gian.


13

- Năng lực mơ hình hóa tốn học là khả năng chuyển hóa một vấn đề thực tiễn
sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn
học bằng cách thiết lập, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn.
- Năng lực tính tốn, năng lực giải quyết vấn đề toán học là khả năng cá nhân
sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động, thái độ, động cơ, xúc
cảm để giải quyết những tình huống có vấn đề mà ở đó khơng có sẵn quy
trình, thủ tục, giải pháp thơng thường.
- Năng lực giao tiếp tốn học là khả năng sử dụng các ngơn ngữ nói, viết, biểu
diễn tốn học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học.
- Năng lực sử dụng các cơng cụ, phương tiện tốn học là khả năng tận dụng
và liên kết với những phương tiện và cơng cụ của tốn học, bước đầu làm
quen với cơng nghệ thơng tin.
1.2. Năng lực biểu diễn tốn
1.2.1. Quan niệm về biểu diễn Toán
+ Biểu diễn
Theo nghĩa từ điển: “Biểu là bày ra ngồi; Diễn là trình bày; Biểu diễn
là trình bày ra ngồi một cái gì đó; Trong Tốn: biểu diễn là diễn tả bằng
cơng thức hoặc hình vẽ.” [11]
“Biểu diễn là một cách mã hóa một ý tưởng hoặc một mối quan hệ có thể
cả ở bên trong và bên ngồi; Do đó biểu diễn là cách để tượng trưng, mô tả
và đề cập đến cùng một lúc thực thể toán học” (Goldin, Gerald A., 2014) [41]
Biểu diễn là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm
tốn học nhằm cung cấp cùng một thơng tin ở những dạng khác nhau. Chẳng
hạn, để biểu diễn một chuyển động thẳng đều ta có thể dùng hình vẽ là một
đường thẳng, dùng biểu thức s = vt, dùng bảng giá trị với một dòng trên là
thời gian cách đều và dòng dưới là quãng đường đi được cách đều....(Lê Đức
Hải, 2011) [12]


14

Theo Hegarty, M., and Kozhevnikov, M. (1999) [42]: Biểu diễn Toán
(Multiple Representation) bao gồm các dạng phổ biến sau đây: Biểu diễn
bằng đồ thị (động và tĩnh), bằng bảng, biểu đồ, sơ đồ, biểu diễn bằng kí hiệu,
cơng thức, thuật tốn, bằng ngơn ngữ, hình ảnh thực tế.…
Theo Moseley B. and Brenner M., (1997) [46]: Có nhiều định nghĩa khác
nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục
toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài.
- Biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu
đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ….
- Biểu diễn trong là các mơ hình nhận thức mà một người có được trong trí óc
họ.
1.2.2. Những hình thức biểu diễn Tốn
Nhà tâm lý học nhận thức Mỹ J. Bruner (1966) đã chỉ ra rằng “Sự hiểu
biết về khái niệm có thể nâng cao nếu học sinh được tiếp xúc với nhiều cách
biểu diễn khác nhau của khái niệm đó”. Theo ơng, có ba hình thức biểu diễn
của một chủ đề:
- Biểu diễn cụ thể, thông qua hoạt động (Enactive representation, actionbased)
- Biểu diễn hình tượng, dựa trên hình ảnh (Iconic representation, imagebased)
- Biểu diễn tượng trưng, dựa trên ngôn ngữ (Symbolic representation,
language-based) [40]
Chẳng hạn, để biểu diễn hai hình trịn tiếp xúc ngồi nhau, ta có thể dùng
hai chiếc đĩa đặt sát nhau (biểu diễn bằng vật cụ thể), vẽ hai hình trịn tiếp xúc
ngồi (biểu diễn bằng hình tượng) hoặc mơ tả: Hai hình trịn (O; r) và (O’; r’) có
tính chất r + r’ = OO’ (biểu diễn tượng trưng, dựa trên ngơn ngữ).
Từ đó, có ba hành động học tập tương ứng của người học: hành động
phân tích sự vật cụ thể (bằng tay), hành động mơ hình hóa và hành động biểu


15
tượng (kí hiệu). Ý tưởng này trở thành yếu tố chủ yếu trong giảng dạy tốn

học, các giáo viên ln biết rằng học sinh phải bắt đầu với kinh nghiệm cụ
thể, chuyển tiếp đến biểu tượng, tranh ảnh và cuối cùng tiến đến sự hiểu biết
ký tự trừu tượng.
Tương ứng, có ba hành động học tập của người học là: hành động phân
tích sự vật cụ thể (bằng tay), hành động mơ hình hóa và hành động biểu tượng
(kí hiệu). Ý tưởng này trở thành yếu tố chủ yếu trong giảng dạy tốn học, các
GV ln biết rằng HS phải bắt đầu với kinh nghiệm cụ thể, chuyển tiếp đến biểu
tượng, tranh ảnh và cuối cùng tiến đến sự hiểu biết kí tự trừu tượng.
Stephen J. Pape and Mourat A. Tchoshanov (2001) đã trình bày một loạt
các hoạt động trong dạy học chủ đề tam thức bậc hai. Tam thức bậc hai là tích
hai nhị thức được biểu diễn dưới dạng diện tích hình chữ nhật với hai cạnh có
số đo là hai nhị thức đó. Các tác giả đã đưa ra ví dụ sau:
(x + 1)(x – 2) = x2 – 2x + x – 2 được biểu diễn như hình 1

Hình 1
Theo hình này: (x + 1)(x – 2) là diện tích hình chữ nhật gạch sọc có hai
cạnh là (x + 1) và (x – 2). Diện tích này bằng diện tích hình vng cạnh x
(bằng x2) trừ đi hai diện tích hình chữ nhật cạnh x và 1 (tức – 2x), cộng phần
diện tích hình chữ nhật cạnh x và 1 (bằng 1x) ở bên phải bớt đi hai hình
vng cạnh 1 (bằng 1).


16
Trên cơ sở các nghiên cứu của J. Bruner, Tadao (2007) đã xác định 5
dạng biểu diễn có mối liên hệ đan xen trong q trình dạy học tốn:
- Biểu diễn thực tế;
- Biểu diễn bằng mơ hình thao tác được;
- Biểu diễn minh họa bằng hình ảnh (biểu diễn trực quan);
- Biểu diễn bằng ngôn ngữ;
- Biểu diễn bằng kí hiệu.

Tadao Nakahara (2007) chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai
đoạn phát triển của biểu diễn, từ cụ thể đến trừu tượng; Đó là: Biểu diễn thực
tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. [50]
- Biểu diễn thực tế: Thao tác được trên các mơ hình ba chiều thực hoặc mơ
hình cho phép thao tác, dựa trên các trạng thái thực của đối tượng.
- Biểu diễn biểu tượng: Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị trên
mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính.
- Biểu diễn ký hiệu: Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu tốn.
Trong [19], Bùi Văn Nghị (2009) nói tới sự phối hợp của ba cách BDT
thông qua ngôn ngữ Giải tích, Đại số và Hình học, chẳng hạn: “Bằng ngơn
ngữ giải tích, ta nói f(x) đồng biến trên khoảng (a; b); bằng ngơn ngữ đại số,
ta nói với mọi x1, x2 thuộc khoảng (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2); bằng
ngơn ngữ hình học, ta nói đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (a; b)...”
1.2.3. Vai trị của biểu diễn tốn
Các kết quả nghiên cứu về biểu diễn tốn trên các phương diện: mơ tả
khái niệm, phân loại biểu diễn và các cách thức phát triển biểu diễn cho học
sinh trong dạy học mơn tốn được tập hợp trong nhiều chuyên khảo đã khẳng
định tầm quan trọng của biểu diễn trong giảng dạy toán học phổ thơng.
Leonard T. Malinowski (2002) đã đề xuất vai trị của các biểu diễn trong
dạy học toán như sau: “Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú
vị hơn. Biểu diễn như là một công cụ của tư duy; Chúng ta biểu diễn một vấn


17
đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy; Hơn nữa biểu diễn còn
được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông
tin.” [44]
Chẳng hạn, chúng ta dùng đồ thị để đưa đến khái niệm tiếp tuyến của
đường cong tại một điểm như là giới hạn của các cát tuyến đi qua điểm đó.
Đồ thị sẽ giúp ta đưa đến biểu thức lấy giới hạn và từ đó đưa ra định nghĩa

khái niệm tiếp tuyến.
Abraham Arcavi (2003), nghiên cứu về vai trò của hình ảnh biểu diễn
trong việc học tốn. Theo tác giả: Sự trực quan, vừa là sản phẩm vừa là q
trình tạo ra, giải thích và phản ánh trên tranh ảnh và hình ảnh, đang tăng khả
năng hiển thị trong toán học và giáo dục toán học. Tác giả đã nỗ lực xác định
trực quan và phân tích thơng qua một số ví dụ và phản ánh về nhiều vai trị
khác nhau và phong phú mà nó có thể và nên đóng trong việc học và làm
tốn. Đồng thời, các hạn chế và các nguồn khó khăn có thể có của việc hình
dung có thể gây ra cho học sinh và giáo viên.[36]
Ngô Trúc Phương (2019) nghiên cứu về vai trị của biểu diễn tốn học
trong giải tốn có lời văn ở bậc tiểu học. Theo tác giả: “Biểu diễn tốn học có
vai trị rất quan trọng trong giải tốn; Sử dụng biểu diễn thành công sẽ giúp
học sinh hiểu bài toán hơn và lập luận logic hơn. Trong bài báo, tác giả trình
bày một số cơ sở lý thuyết về biểu diễn toán học và đi sâu vào 5 hoạt động
chuyển đổi giữa các dạng của biểu diễn toán học được vận dụng trong giải
tốn có lời văn ở tiểu học.” [22]
1.2.4. Năng lực biểu diễn toán
Theo Marten W. van Someren, Peter Reimann, Henny P.A. Boshuizen và
Ton de Jong (1998). Năng lực BDT bao gồm các khả năng:
- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin tốn học cần thiết được
trình bày dưới dạng văn bản tốn học hay do người khác nói hoặc viết ra;
- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp


18
toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy
đủ, chính xác);
- Sử dụng hiệu quả ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ
thị, các liên kết logic,...) kết hợp với ngơn ngữ thơng thường hoặc động tác
hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự

tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác.[45]
1.2.5. Một số dạng biểu diễn toán
Trong các cơng trình đã cơng bố, các nhà khoa học đề cập đến ba dạng
biểu diễn toán sau đây: Biểu diễn trực quan, Biểu diễn trực quan động, Biểu
diễn bội.
a) Biểu diễn trực quan
Biểu diễn trực quan là biểu diễn dựa trên hình ảnh thực tế, sơ đồ… để có
thể hình dung được các đối tượng trừu tượng.
Theo Johan Lithner (2010): Biểu diễn trực quan là khả năng, quá trình và
sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình
vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên
các công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mơ tả và giao tiếp thơng tin, tư
duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu tốn. [43]
Trần Vui (2009) [34] cho rằng “Biểu diễn trực quan không những là
phương tiện để minh họa những vấn đề toán học, theo cách dạy học truyền
thống, mà cịn là cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình tư duy của HS.... Biểu
diễn trực quan cần được thừa nhận như là thành phần chính của suy luận và
cần tiếp tục nghiên cứu trong dạy học tốn ở phổ thơng”. Tác giả cũng khẳng
định vai trò của biểu diễn trực quan động và lợi ích tích cực của nó khi sử
dụng trong dạy học tốn; vai trị của biểu diễn bội trong phát triển NL suy
luận thống kê.
b) Biểu diễn trực quan động