TRƯ Ờ NG ĐẠ I HỌ C HÙNG VƯ Ơ NG
KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ
---------

NGUYỄ N TIẾ N LÂM

KHỐ LUẬ N TỐ T NGHIỆ P

BỒ I DƯ Ỡ NG TƯ

DUY THUẬ T GIẢ I CHO HỌ C SINH THPT THÔNG

QUA DẠ Y GIẢ I BÀI TỐN HÌNH HỌ C BẰ NG PHƯ Ơ NG PHÁP
VECTƠ

PHÚ THỌ

- 2012


Mụ c Lụ c
Mở đầ u..............................................................................................................

1

1. Lí do chọ n đề tài khóa luậ n............................................................................ 1
2. Mụ c tiêu củ a khóa luậ n.................................................................................. 2
3. Nhiệ m vụ nghiên cứ u..................................................................................... 2
4. Giả thuyế t khoa họ c ......................................................................................

2

5. Phư ơ ng pháp nghiên cứ u...............................................................................

3

6. Đố i tư ợ ng và phạ m vi nghiên cứ u ................................................................. 3
7. Cấ u trúc củ a khóa luậ n................................................................................... 3
Chư ơ ng I: CƠ

SỞ

LÍ LUẬ N VÀ THỰ C TIỄ N............................................. 4

1.1. Quan điể m hoạ t độ ng trong phư ơ ng pháp dạ y họ c..................................... 4
1.2. Tư duy thuậ t giả i......................................................................................... 5
1.2.1. Khái niệ m tư duy...................................................................................... 5
1.2.2. Khái niệ m tư duy thuậ t giả i...................................................................... 7
1.2.3. Quy trình thuậ t giả i................................................................................... 9
1.3. Các hoạ t độ ng hình thành tư duy thuậ t giả i................................................. 12
1.3.1. Các hoạ t độ ng hình thành tư duy thuậ t giả i.............................................. 12
1.3.2. Mố i quan hệ giữ a các tình huố ng diể n hình trong dạ y họ c tốn.............. 13
1.4. Vị trí vai trị củ a thuậ t giả i trong chư ơ ng trình Tốn họ c ở phổ thơng....... 15
1.4.1. Đố i vớ i bộ mơn Tốn họ c......................................................................... 15
1.4.2. Mộ t số vấ n đề thuậ t giả i trong các lĩnh vự c khác..................................... 17
1.5. Nhữ ng đị nh hư ớ ng đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c Toán nhằ m phát triể n
tư duy thuậ t giả i.................................................................................................. 18
Kế t luậ n chư ơ ng I............................................................................................. 20
Chư ơ ng II: BỒ I DƯ Ỡ NG TƯ

DUY THUẬ T GIẢ I THÔNG QUA DẠ Y


GIẢ I CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌ C BẰ NG PHƯ Ơ NG PHÁP VECTƠ .... 21
2.1. Vị trí vectơ trong chư ơ ng trình phổ thơng..................................................

21

2.2. Cơ sở lý thuyế t vectơ ..................................................................................

22

2.2.1. Ư u điể m, hạ n chế củ a việ c sử dụ ng công cụ vectơ trong hoạ t độ ng giả i
tốn..................................................................................................................... 22
2.2.2. Khơng gian vectơ ..................................................................................... 26
2.2.3. Hệ các vectơ độ c lậ p tuyế n tính và phụ thuộ c tuyế n tính......................... 28

1


2.2.4. Tích vơ hư ớ ng củ a hai vectơ .................................................................... 30
2.2.5. Tích có hư ớ ng củ a hai vectơ .................................................................... 32
2.2.6. Tích hỗ n tạ p.............................................................................................. 32
2.3. Các dạ ng bài toán ứ ng dụ ng phư ơ ng pháp vectơ ........................................ 32
2.3.1. Dạ ng toán chứ ng minh........................................................................................... 32
2.3.2. Các bài tốn quỹ tích dự ng hình............................................................... 33
2.3.3. Các bài tốn tính tốn............................................................................................. 33
2.3.4. Các bài tốn về bấ t đẳ ng thứ c và cự c trị .................................................. 33
2.4. Đị nh hư ớ ng về phư ơ ng pháp....................................................................... 33
2.5. Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh thông qua dạ y giả i mộ t số dạ ng
bài toán............................................................................................................... 34
2.5.1. Hệ thố ng các bài toán............................................................................... 34

2.5.2. Bồ i dư ỡ ng tư

duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i mộ t số dạ ng bài

toán..................................................................................................................... 37
2.5.2.1. Dạ ng toán chứ ng minh.......................................................................... 37
2.5.2.2. Các bài tốn quỹ tích dự ng hình............................................................ 50
2.5.2.3. Các bài tậ p về tính tốn......................................................................... 56
2.5.2.4. Các bài tốn về bấ t đẳ ng thứ c và cự c trị ................................................

65

Kế t luậ n chư ơ ng II........................................................................................... 69
Chư ơ ng 3: THỬ

NGHIỆ M SƯ

PHẠ M.......................................................... 70

3.1. Mụ c đích thử nghiệ m..................................................................................

70

3.2. Nộ i dung thử nghiệ m................................................................................... 70
3.3. Tổ chứ c thử nghiệ m..................................................................................... 70
3.3.1. Chọ n đố i tư ợ ng thử nghiệ m...................................................................... 70
3.3.2. Tiế n hành thử nghiệ m............................................................................... 71
3.3.3. Đánh giá kế t quả thử nghiệ m...................................................................

74


3.3.4. Kế t luậ n chung về thử nghiệ m.................................................................

76

KẾ T LUẬ N CHUNG....................................................................................... 78
TÀI LIỆ U THAM KHẢ O.................................................................................

79

PHỤ LỤ C .......................................................................................................... 80

2


LỜ I CẢ M Ơ N
Trong suố t thờ i gian thự c hiệ n khóa luậ n tố t nghiệ p ngoài sự nỗ lự c củ a bả n
thân, tơi cịn nhậ n đư ợ c sự giúp đỡ , chỉ bả o tậ n tình củ a các thầ y giáo, cơ giáo
trong Khoa Tốn – Cơng nghệ , Trư ờ ng Đạ i họ c Hùng Vư ơ ng.
Đặ c biệ t tôi xin bày tỏ lòng biế t ơ n sâu sắ c tớ i thầ y giáo ThS. Hồng Cơng
Kiên – Giả ng viên Trư ờ ng Đạ i họ c Hùng Vư ơ ng. Thầ y đã dành nhiề u thờ i gian
quý báu tậ n tình hư ớ ng dẫ n tơi trong suố t q trình thự c hiệ n khóa luậ n tố t nghiệ p,
đồ ng thờ i thầ y cịn là ngư ờ i giúp tơi lĩnh hộ i đư ợ c nhữ ng kiế n thứ c chuyên môn và
rèn luyệ n cho tôi tác phong nghiên cứ u khoa họ c.
Qua đây, tôi xin gử i lờ i cả m ơ n chân thành và sâu sắ c tớ i các thầ y giáo, cô
giáo trong Khoa Tốn – Cơng nghệ , tớ i gia đình, bạ n bè là nhữ ng ngư ờ i luôn sát
cánh bên tơi, đã nhiệ t tình giúp đỡ , chia sẻ , độ ng viên tôi trong suố t q trình họ c
tậ p cũng như khi tơi thự c hiệ n và hồn chỉ nh khóa luậ n này.
Mặ c dù đã rấ t cố gắ ng xong khóa luậ n khơng khỏ i có nhữ ng thiế u sót. Vì vậ y,
tơi rấ t mong nhậ n đư ợ c sự góp ý củ a các thầ y giáo, cơ giáo và các bạ n để khóa

luậ n đư ợ c hồn thiệ n hơ n.
Tơi xin chân thành cả m ơ n!
Việ t trì, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễ n Tiế n Lâm

3


MỘ T SỐ

Chữ viế t tắ t

CỤ M TỪ

VIẾ T TẮ T

Giả i nghĩa

THPT

Trung họ c phổ thơng

S

Diệ n tích

V

Thể tích


mp

Mặ t phẳ ng

SL

Số lư ợ ng

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tậ p

ĐLTT

Độ c lậ p tuyế n tính

PTTT

Phụ thuộ c tuyế n tính

ĐC

Đố i chứ ng

TN


Thự c nghiệ m

4


MỞ

ĐẦ U

1. Lý do chọ n đề tài khóa luậ n
Trong giai đoạ n hiệ n nay, khi khoa họ c cơng nghệ có nhữ ng bư ớ c tiế n nhả y
vọ t, ngành giáo dụ c và đào tạ o phả i đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c mộ t cách mạ nh
mẽ nhằ m đào tạ o nhữ ng con ngư ờ i có đầ y đủ phẩ m chấ t như năng độ ng, sáng tạ o,
tự chủ , có tính tổ chứ c, tính kỷ luậ t và có ý thứ c suy nghĩ tìm giả i pháp tố i ư u khi
giả i quyế t công việ c.
Nghị quyế t hộ i nghị lầ n thứ IV Ban chấ p hành Trung ư ơ ng Đả ng cộ ng sả n
Việ t Nam (Khóa IV, 1993) chỉ rõ: “Mụ c tiêu giáo dụ c đào tạ o phả i hư ớ ng vào việ c
đào tạ o nhữ ng con ngư ờ i lao độ ng tự chủ , sáng tạ o, có năng lự c giả i quyế t nhữ ng
vấ n đề thư ờ ng gặ p, qua đó góp phầ n tích cự c thể hiệ n mụ c tiêu lớ n củ a đấ t nư ớ c là
dân giàu, nư ớ c mạ nh, xã hộ i công bằ ng, dân chủ , văn minh”.
Về phư ơ ng pháp giáo dụ c đào tạ o, Nghị quyế t Hộ i nghị lầ n thứ II Ban chấ p
hành Trung ư ơ ng Đả ng Cộ ng Sả n Việ t Nam (Khóa VIII, 1997) tiế p tụ c khẳ ng
đị nh: “Phả i đổ i mớ i phư ơ ng pháp đào tạ o, khắ c phụ c lố i truyề n đạ t mộ t chiề u, rèn
luyệ n thành nế p tư duy sáng tạ o củ a ngư ờ i họ c. Từ ng bư ớ c áp dụ ng nhữ ng phư ơ ng
pháp tiên tiế n và phư ơ ng tiệ n hiệ n đạ i vào quá trình dạ y họ c, đả m bả o điề u kiệ n và
thờ i gian tự họ c, tự nghiên cứ u”.
Điề u 24 Luậ t giáo dụ c (2005) quy đị nh: “Phư ơ ng pháp giáo dụ c phổ thơng
phả i phát huy tính tích cự c, tự giác chủ độ ng, tư duy sáng tạ o củ a họ c sinh,..., bồ i
dư ỡ ng phư ơ ng pháp tự họ c, rèn luyệ n kỹ năng vậ n dụ ng kiế n thứ c vào thự c tiễ n,

tác độ ng đế n tình cả m, đem lạ i niề m vui, hứ ng thú họ c tậ p cho họ c sinh”.
Muố n đạ t đư ợ c điề u đó, mộ t trong nhữ ng việ c cầ n thiế t phả i thự c hiệ n trong
quá trình dạ y họ c là bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh.
Tư duy thuậ t giả i có vai trị quan trọ ng trong nhà trư ờ ng phổ thông đặ c biệ t
trong dạ y họ c toán. Trong thự c tế giả ng dạ y nhữ ng bài toán, nhữ ng dạ ng toán có
thuậ t giả i, có quy tắ c giả i, có sự phân chia thành các bư ớ c để giả i thì họ c sinh dễ
tiế p thu lĩnh hộ i. Thông qua các bư ớ c hoạ t độ ng, yêu cầ u bài toán đư ợ c giả m dầ n
phù hợ p vớ i khả năng củ a họ c sinh.
Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i trong các hoạ t độ ng giả i toán, đặ c biệ t là trong
quá trình dạ y tốn sẽ thúc đẩ y sự phát triể n các thao tác trí tuệ khác cho họ c sinh
như : Phân tích, tổ ng hợ p, so sánh, khái quát hoá, tư ơ ng tự hoá. Hơ n nữ a cịn hình
thành cho họ c sinh nhữ ng phẩ m chấ t trí tuệ như : Tính cẩ n thậ n chi tiế t, tính linh
hoạ t, tính độ c lậ p, sáng tạ o,... Qua đó từ ng bư ớ c giúp họ c sinh thích nghi đư ợ c yêu
cầ u củ a xã hộ i, củ a đấ t nư ớ c đang trên con đư ờ ng cơng nghiệ p hố, hiệ n đạ i hoá.
5


Tuy nhiên ở trư ờ ng phổ thông hiệ n nay, vấ n đề bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy
thuậ t giả i chư a đư ợ c quan tâm đúng mứ c. Do đó, giáo viên chư a khai thác tố t các
tình huố ng và các nộ i dung dạ y họ c nhằ m bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c
sinh. Khi giả i toán, họ c sinh thư ờ ng bộ c lộ nhữ ng sai sót về tri thứ c tốn họ c như
về phư ơ ng pháp suy luậ n, chứ ng minh trong hoạ t độ ng toán họ c, thuậ t giả i hay quy
trình tìm ra thuậ t giả i.
Qua thự c tế dạ y và họ c giả i toán bằ ng phư ơ ng pháp vectơ trong chư ơ ng
trình hình họ c lớ p 10 và lớ p 12 - THPT cho thấ y họ c sinh có nhữ ng khó khăn trong
khi vậ n dụ ng, nhiề u khi dạ y bài toán nế u giả i bằ ng nhữ ng phư ơ ng pháp hình họ c
thơng thư ờ ng thì khá phứ c tạ p. Mộ t phầ n vì lí do là các em chư a nắ m rõ kiế n thứ c
cơ bả n, mộ t phầ n vì họ c sinh chư a biế t cách tư duy tìm ra thuậ t giả i hay quy trình
thuậ t giả i để giả i các bài toán, cụ thể là thuậ t giả i các bài toán bằ ng phư ơ ng pháp
vectơ .

Vì vậ y, trong nhà trư ờ ng, việ c bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy thuậ t giả i cho
họ c sinh là việ c làm cầ n thiế t.
Vớ i nhữ ng lí do trên nên chúng tơi lự a chọ n đề tài nghiên cứ u: “Bồ i dư ỡ ng
tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh THPT thơng qua dạ y giả i bài tốn hình họ c bằ ng
phư ơ ng pháp vectơ ”.
2. Mụ c tiêu củ a khoá luậ n
Xây dự ng quy trình tự a thuậ t giả i theo các dạ ng bài tốn để góp phầ n giả i
quyế t khó khăn và bỡ ngỡ củ a họ c sinh trong q trình giả i các bài tốn hình họ c
bằ ng phư ơ ng pháp vectơ nhằ m bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh.
3. Nhiệ m vụ nghiên cứ u
- Nghiên cứ u cơ sở lí luậ n và tư duy thuậ t giả i, quy trình tự a thuậ t giả i.
- Lự a chọ n và hệ thố ng các dạ ng bài tốn hình họ c giả i bằ ng phư ơ ng pháp
vectơ và xây dự ng quy trình giả i từ ng dạ ng bài tốn đó. Thơng qua đó hình thành
phát triể n và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh.
- Tiế n hành thử nghiệ m sư phạ m để kiể m nghiệ m tính khả thi và hiệ u quả
củ a khóa luậ n.
4. Giả thuyế t khoa họ c
Nế u xây dự ng mộ t quy trình tự a thuậ t giả i trong q trình dạ y giả i bài tốn
hình họ c bằ ng phư ơ ng pháp vectơ thì có thể nâng cao khả năng giả i toán cho họ c
sinh giúp các em vậ n dụ ng tố t trong việ c giả i toán và mở rộ ng bài toán theo nhữ ng
hư ớ ng giả i khác nhau và góp phầ n phát triể n, bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c
sinh. Qua đó nâng cao hiệ u quả dạ y họ c tốn ở trư ờ ng phổ thơng.
5. Phư ơ ng pháp nghiên cứ u

6


- Phư ơ ng pháp nghiên cứ u lí luậ n: Nghiên cứ u lí thuyế t dạ y họ c mơn tốn,
sách giáo khoa hình họ c lớ p 10, lớ p 12, sách giáo viên, các đề tài khoa họ c đã đư ợ c
công bố liên quan đế n tư duy thuậ t giả i và nộ i dung phư ơ ng pháp vectơ trong hình họ c.

- Phư ơ ng pháp phân tích tổ ng hợ p: Từ việ c nghiên cứ u tài liệ u, giáo trình
tổ ng hợ p và hệ thố ng hóa các kiế n thứ c mộ t cách đầ y đủ và khoa họ c.
- Phư ơ ng pháp điề u tra quan sát: Dự giờ , trao đổ i vớ i mộ t số giáo viên THPT.
- Phư ơ ng pháp thố ng kê: Thu thậ p các số liệ u, xử lý và đánh giá số liệ u.
- Phư ơ ng pháp thử nghiệ m sư phạ m: Soạ n thả o mộ t số giáo án mẫ u theo
phư ơ ng pháp giả i bằ ng thuậ t giả i, chuyể n cho các giáo viên trự c tiế p giả ng dạ y
mơn tốn ở trư ờ ng THPT nghiên cứ u và so sánh vớ i cách giả ng dạ y thông thư ờ ng,
cho ý kiế n nhậ n xét để đư a ra kế t luậ n sư phạ m.
6. Đố i tư ợ ng, phạ m vi nghiên cứ u
- Đố i tư ợ ng nghiên cứ u: Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh THPT.
- Phạ m vi nghiên cứ u: Dạ y giả i bài tốn hình họ c bằ ng phư ơ ng pháp vectơ .
7. Cấ u trúc củ a khóa luậ n
Ngồi phầ n mở đầ u, kế t luậ n và phụ lụ c khóa luậ n bao gồ m 3 chư ơ ng:
Chư ơ ng 1. Cơ sở lý luậ n và thự c tiễ n
Chư ơ ng 2. Bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i bài tốn hình họ c
bằ ng phư ơ ng pháp vectơ
Chư ơ ng 3. Thử nghiệ m sư phạ m

7


CƠ

SỞ

CHƯ Ơ NG I
LÝ LUẬ N VÀ THỰ C TIỄ N

1.1. Quan điể m hoạ t độ ng trong phư ơ ng pháp dạ y họ c
Chúng ta biế t rằ ng quá trình dạ y họ c là mộ t quá trình điề u khiể n hoạ t độ ng

giao lư u củ a họ c sinh nhằ m thự c hiệ n nhữ ng mụ c đích dạ y họ c. Còn họ c tậ p là mộ t
q trình xử lý thơng tin. Q trình này có các chứ c năng: đư a thông tin vào, ghi
nhớ thông tin, biế n đổ i thông tin, đư a thông tin ra và điề u phố i. Họ c sinh thự c hiệ n
các chứ c năng này bằ ng nhữ ng hoạ t độ ng củ a mình. Thông qua hoạ t độ ng thúc đẩ y
sự phát triể n về trí tuệ ở họ c sinh làm cho họ c sinh họ c tậ p mộ t cách tự giác, tích
cự c.
Xuấ t phát từ mộ t nộ i dung dạ y họ c ta cầ n phát hiệ n nhữ ng hoạ t độ ng liên hệ
vớ i nó rồ i căn cứ vào mụ c đích dạ y họ c mà lự a chọ n để tậ p luyệ n cho họ c sinh mộ t
số nhữ ng hoạ t độ ng đã phát hiệ n. Việ c phân tích mộ t hoạ t độ ng thành nhữ ng hoạ t
độ ng thành phầ n giúp ta tổ chứ c cho họ c sinh tiế n hành nhữ ng hoạ t độ ng vớ i độ
phứ c hợ p vừ a sứ c.
Việ c tiế n hành hoạ t độ ng nhiề u khi đòi hỏ i nhữ ng tri thứ c nhấ t đị nh, đặ c biệ t
là tri thứ c phư ơ ng pháp. Nhữ ng tri thứ c này lạ i là kế t quả củ a mộ t quá trình hoạ t
độ ng khác. Trong hoạ t độ ng, kế t quả rèn luyệ n đư ợ c ở mộ t mứ c độ nào đó có thể
lạ i là tiề n đề để tậ p luyệ n và đạ t kế t quả cao hơ n. Do đó cầ n phân bậ c nhữ ng hoạ t
độ ng theo nhữ ng mứ c độ khác nhau làm cơ sở cho việ c chỉ đạ o quá trình dạ y họ c.
Trên cơ sở việ c phân tích trên về phư ơ ng pháp dạ y họ c theo quan điể m hoạ t độ ng.
Đề tài đư ợ c nghiên cứ u trong khuôn khổ củ a lý luậ n dạ y họ c, lấ y quan điể m hoạ t
độ ng làm nề n tả ng tâm lý họ c và nhữ ng quan điể m về nhu cầ u, đị nh hư ớ ng trong
đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c. Nộ i dung củ a quan điể m này đư ợ c thể hiệ n mộ t
cách tóm tắ t qua nhữ ng tư tư ở ng chủ đạ o sau (theo PGS - Tiế n sĩ Vư ơ ng Dư ơ ng
Minh):
* Cho họ c sinh thự c hiệ n và tậ p luyệ n nhữ ng hoạ t độ ng và hoạ t độ ng tư ơ ng
thích vớ i nộ i dung và mụ c đích dạ y họ c.
* Hư ớ ng đích và gợ i độ ng cơ cho các hoạ t độ ng.
* Truyề n thụ tri thứ c, đặ c biệ t là nhữ ng tri thứ c phư ơ ng pháp, như phư ơ ng
tiệ n và kế t quả củ a hoạ t độ ng.
* Phân bậ c hoạ t độ ng làm căn cứ cho việ c điề u khiể n quá trình dạ y họ c.
1.2. Tư duy thuậ t giả i
1.2.1. Khái niệ m về tư duy

8


Từ điể n Tiế ng Việ t đị nh nghĩa: “Tư duy là giai đoạ n cao củ a quá trình nhậ n
thứ c, đi sâu vào bả n chấ t và phát hiệ n ra tính quy luậ t củ a sự vậ t bằ ng nhữ ng hình
thứ c như biể u tư ợ ng, khái niệ m, phán đoán và suy lý”.
Tư duy là mộ t quá trình tâm lý phả n ánh nhữ ng thuộ c tính bả n chấ t, nhữ ng
mố i quan hệ và liên hệ bên trong có tính quy luậ t củ a sự vậ t, hiệ n tư ợ ng trong hiệ n
thự c khách quan.
* Đặ c điể m củ a tư duy:
+ Thứ nhấ t là tính “có vấ n đề ”, muố n kích thích đư ợ c tư duy cầ n có hai điề u
kiệ n: Trư ớ c hế t là phả i gặ p tình huố ng có vấ n đề , tứ c là ở hoàn cả nh chứ a đự ng
mụ c đích mớ i, cách thứ c mớ i mà nhữ ng hiể u biế t cũ không đủ khả năng giả i quyế t.
Sau nữ a vấ n đề đó phả i đư ợ c cá nhân nhậ n thứ c đầ y đủ và đư ợ c chuyể n thành
nhiệ m vụ củ a cá nhân.
+ Thứ hai là tính gián tiế p: Tư duy phát hiệ n đư ợ c bả n chấ t nhờ các phư ơ ng
tiệ n, công cụ , kế t quả nhậ n thứ c, kinh nghiệ m củ a chủ thể đư ợ c biể u thị qua ngơn
ngữ .
+ Ngồi ra ngơn ngữ cịn mang tính khái qt (phả n ánh nhữ ng thuộ c tính
chung, nhữ ng mố i quan hệ có tính quy luậ t củ a hàng loạ t sự vậ t, hiệ n tư ợ ng), tính
trừ u tư ợ ng (thốt ly nộ i dung có tính chấ t đặ c thù củ a sự vậ t và hiệ n tư ợ ng). Tư
duy có quan hệ mậ t thiế t vớ i nhậ n thứ c cả m tính mà nả y sinh tình huố ng có vấ n đề .
Ngư ợ c lạ i tư duy và nhữ ng kế t quả củ a nó chi phố i khả năng phả n ánh củ a cả m
giác, tri giác, làm cho khả năng cả m giác củ a con ngư ờ i tinh vi, nhạ y bén hơ n, làm
cho tri giác củ a con ngư ờ i mang tính lự a chọ n, tính ý nghĩa.
* Con ngư ờ i chủ yế u dùng ngôn ngữ để nhậ n thứ c vấ n đề , để tiế n hành các
thao tác trí tuệ và để biể u đạ t kế t quả củ a tư duy, vì vậ y ngơn ngữ đư ợ c xem như là
phư ơ ng tiệ n củ a tư duy.
* Sả n phẩ m củ a tư duy là nhữ ng khái niệ m, phán đoán, suy luậ n đư ợ c biể u
đạ t bằ ng từ ngữ , câu,…, ký hiệ u, công thứ c.

* Các giai đoạ n củ a tư duy: Tư duy là hoạ t độ ng trí tuệ vớ i mộ t quá trình bao
gồ m 4 bư ớ c cơ bả n:
+ Xác đị nh đư ợ c vấ n đề , biể u đạ t nó thành nhiệ m vụ tư duy (tứ c là tìm đư ợ c
câu hỏ i cầ n giả i đáp).
+ Huy độ ng tri thứ c, vố n kinh nghiệ m, liên tư ở ng, hình thành giả thiế t về cách giả i
quyế t vấ n đề , cách trả lờ i câu hỏ i.
+ Xác minh giả thiế t trong thự c tiễ n. Nế u giả thiế t đúng thì qua bư ớ c sau,
nế u sai thì phủ đị nh nó và hình thành giả thiế t mớ i.
+ Quyế t đị nh đánh giá kế t quả , đư a ra sử dụ ng.

9


K.K Platonov đư a ra sơ đồ sau:
Nhậ n thứ c vấ n đề

Đặ c biệ t hóa

Sàng lọ c các liên tư ở ng, hình thành
giả thuyế t

Khẳ ng đị nh

Phủ đị nh

Giả i quyế t vấ n đề

Hành độ ng tư duy mớ i

Chính xác hóa


* Các thao tác tư duy: Có nhiề u thao tác tư duy; phân tích, tổ ng hợ p, so
sánh, khái qt hóa, đặ c biệ t hóa, tư ơ ng tự hóa,….Theo G.Polya: “Khái quát hóa là
chuyể n từ việ c nghiên cứ u mộ t tậ p hợ p đố i tư ợ ng đã cho đế n việ c nghiên cứ u mộ t
tậ p lớ n hơ n, bao gồ m cả tậ p hợ p ban đầ u”. Như vậ y có thể hiể u khái quát hóa là
thao tác tư duy nhằ m phát hiệ n nhữ ng quy luậ t phổ biế n củ a mộ t lớ p các đố i tư ợ ng
hoặ c hiệ n tư ợ ng từ mộ t hoặ c mộ t số các trư ờ ng hợ p riêng lẻ .
Cũng theo G.Polya: “Đặ c biệ t hóa là chuyể n từ việ c nghiên cứ u mộ t tậ p hợ p
đã cho sang việ c nghiên cứ u mộ t tậ p hợ p nhỏ hơ n chứ a trong tậ p hợ p đó”. Đặ c biệ t
hóa có thể hiể u là q trình minh họ a hoặ c giả i thích nhữ ng khái niệ m, đị nh lý khái
quát bằ ng nhữ ng trư ờ ng hợ p riêng lẻ , cụ thể .
G.Polya cho rằ ng: “Hai hệ là tư ơ ng tự nế u chúng phù hợ p vớ i nhau trong các
mố i quan hệ xác đị nh rõ ràng giữ a nhữ ng bộ phậ n tư ơ ng ứ ng”. Cầ n chú ý rằ ng,
cùng hai yế u tố hoặ c hai đố i tư ợ ng có thể xác lậ p đư ợ c nhữ ng sự tư ơ ng tự khác
nhau tùy thuộ c vào vấ n đề chúng ta cầ n nghiên cứ u.
1.2.2. Khái niệ m tư duy thuậ t giả i
a. Thuậ t giả i

10


Hàng ngày con ngư ờ i tiế p xúc vớ i rấ t nhiề u bài toán từ đơ n giả n đế n phứ c
tạ p. Đố i vớ i mộ t số bài toán, tồ n tạ i nhữ ng quy tắ c xác đị nh mô tả q trình giả i.
Từ đó, ngư ờ i ta đi đế n khái niệ m trự c giác về thuậ t giả i và khái niệ m này đã đư ợ c
dùng từ lâu, kéo dài suố t mấ y nghìn năm trong Tốn họ c.
Thuậ t giả i theo nghĩa trự c giác đư ợ c hiể u như mộ t dãy hữ u hạ n nhữ ng chỉ
dẫ n thự c hiệ n đư ợ c mộ t cách đơ n trị , kế t thúc sau mộ t số hữ u hạ n bư ớ c và đem lạ i
kế t quả là biế n đổ i thông tin vào (INPUT) củ a mộ t lớ p bài tốn thành thơng tin ra
(OUTPUT) mơ tả lờ i giả i củ a lớ p bài tốn đó.
Đây chư a là mộ t đị nh nghĩa chính xác mà chỉ là mộ t cách phát biể u, giúp ta

hình dung khái niệ m thuậ t giả i mộ t cách trự c giác.
* Tính chấ t củ a thuậ t giả i
- Tính đơ n trị : Tính đơ n trị đòi hỏ i các thao tác trong thuậ t giả i phả i đơ n trị ,
nghĩa là nhữ ng lầ n thự c hiệ n cùng mộ t thao tác trên cùng mộ t đố i tư ợ ng phả i cho
cùng mộ t kế t quả . Nói mộ t cách tổ ng quát, thuậ t giả i cho phép thự c hiệ n đúng các
thao tác, theo đúng trình tự thì đư ợ c kế t quả hoàn toàn xác đị nh duy nhấ t. Tính chấ t
này cho phép tự độ ng hóa thuậ t giả i khi lậ p trình cho thiế t bị giả i quyế t bài tốn.
Ví dụ : Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c hai ax 2

bx c 0

a

0

- Tính dừ ng: Tính dừ ng địi hỏ i thuậ t giả i phả i có hữ u hạ n bư ớ c thự c hiệ n để
đư ợ c kế t quả như mong muố n (khi mơ tả thuậ t giả i, có thể có các bư ớ c vẫ n chư a
xác đị nh, như ng khi thự c hiệ n không đư ợ c lặ p lạ i mãi).
Ví dụ : Thuậ t tốn Euclide tìm ư ớ c số chung lớ n nhấ t củ a hai số A và B.
Quy trình giả i:
+ Bư ớ c 1: Phân tích hai số A, B thành tích các thừ a số nguyên tố .
+ Bư ớ c 2: Tìm thừ a số nhỏ nhấ t củ a số thứ nhấ t.
+ Bư ớ c 3: Kiể m tra trong số thứ hai có thừ a số nào bằ ng thừ a số nhỏ nhấ t
củ a số thứ nhấ t không. Nế u có thì sang bư ớ c 4, nế u khơng thì sang bư ớ c 5.
+ Bư ớ c 4: Viế t riêng thừ a số đó.
Xóa thừ a số đó trong cả hai số .
+ Bư ớ c 5: Xóa thừ a số nhỏ nhấ t khỏ i số thứ nhấ t.
+ Bư ớ c 6: Kiể m tra trong số thứ nhấ t có cịn lạ i thừ a số nào chư a xóa khơng.
Nế u có thì trở lạ i Bư ớ c 2


Bư ớ c 3

Bư ớ c 4

Bư ớ c 5

Bư ớ c 6. Nế u

khơng thì sang bư ớ c 7.
+ Bư ớ c 7: Nhân tấ t cả các thừ a số đã viế t riêng. Tích đó là ư ớ c chung lớ n
nhấ t củ a hai số A và B.

11


- Tính đúng đắ n: Thuậ t giả i phả i đúng đắ n không đư ợ c phép cho kế t quả sai
hay không đầ y đủ , tứ c là phả i giả i quyế t đư ợ c đúng đắ n vấ n đề đã đặ t ra, là đư ợ c
đúng công việ c mà ta mong muố n.
Ví dụ : Tính diệ n tích tam giác ABC theo 3 cạ nh củ a nó.
+ Bư ớ c 1: Đư a vào 3 số thự c dư ơ ng a, b, c ứ ng vớ i 3 cạ nh củ a tam giác.
+ Bư ớ c 2: Tính giá trị củ a biể u thứ c P

a b c
.
2

+ Bư ớ c 3: Tính giá trị củ a biể u thứ c S

p p a


p b

p c .

+ Bư ớ c 4: Diệ n tích tam giác có 3 cạ nh a, b, c là S.
+ Bư ớ c 5: Kế t thúc.
Quy tắ c nêu ở trên đã vi phạ m tính đúng đắ n vì 3 số thự c dư ơ ng bấ t kỳ
không phả i bao giờ cũng biể u thị số đo 3 cạ nh củ a tam giác. Theo cách này thì vớ i
mọ i a, b, c là nhữ ng số thự c dư ơ ng thì ta ln tính đư ợ c diệ n tích tam giác.
Đây là thuậ t giả i tính giá trị biể u thứ c S, chứ không phả i là thuậ t giả i tính
diệ n tích củ a tam giác theo 3 cạ nh như ta mong muố n. Để nó trở thành thuậ t giả i
như đã đị nh ta phả i bổ sung thêm thao tác kiể m tra điề u kiệ n a, b, c biể u thị số đo 3
cạ nh củ a tam giác.
- Tính phổ dụ ng: Thuậ t giả i phả i áp dụ ng đư ợ c cho mộ t lớ p các bài tốn chứ
khơng phả i cho mộ t bài riêng lẻ . Nói cách khác, tấ t cả các bài tốn cùng loạ i, cùng
kiể u phả i đư ợ c giả i bở i thuậ t giả i.
Ví dụ : Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c nhấ t ax b 0 , phư ơ ng trình bậ c hai
ax 2

bx c 0 a

0 ,...

- Tính hiệ u quả : Thuậ t giả i cho kế t quả tố i ư u, cụ thể là:
Thự c hiệ n nhanh, tố n ít thờ i gian.
Tố n ít thiế t bị trung gian.
Đáp ứ ng nhu cầ u thự c tiễ n.
b. Tư duy thuậ t giả i
Tư duy tốn họ c là hình thứ c biể u lộ củ a tư duy biệ n chứ ng trong quá trình con
ngư ờ i nhậ n thứ c khoa họ c tốn họ c hay thơng qua hình thứ c áp dụ ng toán họ c vào

các khoa họ c khác. Như vậ y, tư duy toán họ c là tư duy biệ n chứ ng.
Tư duy thuậ t giả i là mộ t loạ i hình thứ c tư duy tốn họ c. Nó là phư ơ ng thứ c
tư duy biể u thị khả năng tiế n hành các hoạ t độ ng sau:
T1: Thự c hiệ n nhữ ng thao tác theo mộ t trình tự xác đị nh phù hợ p vớ i mộ t
thuậ t giả i.

12


T2: Phân tích mộ t q trình thành nhữ ng thao tác đư ợ c thự c hiệ n theo nhữ ng
trình tự xác đị nh.
T3: Khái qt hóa mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t số đố i tư ợ ng riêng lẻ thành
mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t lớ p đố i tư ợ ng.
T4: Mơ tả chính xác q trình tiế n hành mộ t hoạ t độ ng.
T5: Phát hiệ n thuậ t giả i tố i ư u để giả i quyế t bài tốn.
Trong đó, (T1) thể hiệ n năng lự c thự c hiệ n thuậ t giả i, (T2 - T5 ) thể hiệ n năng
lự c xây dự ng thuậ t giả i.
Giáo viên trong quá trình dạ y họ c cầ n phả i có ý thứ c thơng qua việ c dạ y họ c
các quy tắ c mà rèn luyệ n cho họ c sinh mộ t loạ i hình tư duy quan trọ ng đó là thuậ t
giả i.
1.2.3. Quy trình thuậ t giả i (quy tắ c tự a thuậ t giả i)
Trong quá trình dạ y họ c, ta cũng thư ờ ng gặ p mộ t số quy tắ c tuy chư a mang
đủ các đặ c điể m đặ c trư ng cho thuậ t giả i như ng có mộ t số trong các đặ c điể m khác
và đã tỏ ra có hiệ u lự c trong việ c chỉ dẫ n hành độ ng và giả i tốn. Đó là nhữ ng quy
tắ c tự a thuậ t giả i đư ợ c hiể u như mộ t dãy hữ u hạ n nhữ ng chỉ dẫ n thự c hiệ n đư ợ c
theo mộ t trình tự xác đị nh nhằ m biế n đổ i thông tin vào củ a mộ t lớ p bài tốn thành
thơng tin ra mơ tả lờ i giả i củ a lớ p bài tốn đó.
Ví dụ : Theo quy trình 4 bư ớ c củ a G.Polya để tìm ra lờ i giả i củ a mộ t bài toán.
+ Bư ớ c 1: Tìm hiể u đề tốn.
+ Bư ớ c 2: Xây dự ng chư ơ ng trình giả i.

+ Bư ớ c 3: Thự c hiệ n chư ơ ng trình giả i.
+ Bư ớ c 4: Kiể m tra và nghiên cứ u lờ i giả i.
Mỗ i quy trình có thể chia thành các bư ớ c, mỗ i bư ớ c là mộ t hoạ t độ ng nhằ m
mộ t mụ c đích nhấ t đị nh. Mộ t hoạ t độ ng có nhiề u thao tác như hoạ t độ ng tìm hiể u
nộ i dung đề tốn có thao tác sau: Vẽ hình, chọ n kí hiệ u, phân tích giả thiế t, kế t luậ n
bài tốn,…
Quy trình 4 bư ớ c củ a G.Polya đư ợ c mỗ i ngư ờ i vậ n dụ ng theo mộ t cách khác
nhau và đạ t đư ợ c mứ c độ thành công khác nhau, nên đây chư a phả i là mộ t thuậ t giả i.
Quy tắ c tự a thuậ t giả i phân biệ t vớ i thuậ t giả i như sau:
+ Mỗ i chỉ dẫ n trong quy tắ c có thể chư a mơ tả hành độ ng mộ t cách xác đị nh.
+ Kế t quả thự c hiệ n mỗ i chỉ dẫ n có thể khơng đơ n trị .
+ Quy tắ c không bả o đả m chắ c chắ n rằ ng sau mộ t số hữ u hạ n bư ớ c thì đem
lạ i kế t quả là lờ i giả i củ a lớ p bài toán.
Mặ c dầ u có mộ t số hạ n chế nói trên so vớ i thuậ t giả i, quy tắ c tự a thuậ t giả i
cũng vẫ n là nhữ ng tri thứ c phư ơ ng pháp có ích cho q trình hoạ t độ ng và giả i toán.

13


Sau đây ta đư a ra mộ t ví dụ minh họ a về quy tắ c tự a thậ t giả i để thấ y đư ợ c
sự phân biệ t giữ a quy tắ c tự a thuậ t giả i vớ i thuậ t giả i.
Ví dụ : Quy tắ c tìm đạ o hàm củ a mộ t hàm số y
+ Bư ớ c 1: Cho x số gia x , tính y

f x

f x
x

f x .


y
.
x

+ Bư ớ c 2: Lậ p tỉ số

y
.
x 0
x
Giớ i hạ n (nế u có) củ a hàm số trên là đạ o hàm củ a hàm số tạ i x .

+ Bư ớ c 3: Tìm lim

y
. Vì vậ y, có nhữ ng
x 0
x
họ c sinh tuy áp dụ ng quy tắ c nêu trong ví dụ này như ng vẫ n khơng tính đư ợ c đạ o
hàm củ a mộ t hàm số cụ thể nào đó, mặ c dầ u đạ o hàm này tồ n tạ i.
Quy trình thuậ t giả i là quy trình gồ m mộ t số hữ u hạ n các hoạ t độ ng có mụ c
đích rõ ràng, cụ thể , đư ợ c sắ p xế p theo mộ t trình tự nhấ t đị nh, nhằ m đi đế n kế t quả
là giả i đư ợ c mộ t loạ i công việ c nào đó theo đúng yêu cầ u đã đị nh.

Bư ớ c 3 không mô tả mộ t cách xác đị nh việ c tìm lim

Ví dụ : Giả i phư ơ ng trình bậ c hai ax 2

bx c 0 a


0

+ Bư ớ c 1: Xác đị nh a, b, c.
+ Bư ớ c 2: Tính
+ Bư ớ c 3: Nế u

b 2 4ac .
0 thì phư ơ ng trình vơ nghiệ m.
0 thì phư ơ ng trình có nghiệ m kép: x1

Nế u

x2

b
2a

Nế u
0 thì chuyể n sang bư ớ c 4.
+ Bư ớ c 4: Phư ơ ng trình có 2 nghiệ m phân biệ t là
x1

b

,

x2

b


2a
2a
Quy trình trên để giả i cho tấ t cả các phư ơ ng trình bậ c hai, gồ m các đặ c điể m sau:
+ Là mộ t dãy hữ u hạ n các bư ớ c sắ p xế p theo trình tự nhấ t đị nh.

+ Mỗ i bư ớ c là mộ t hoạ t độ ng nhằ m mộ t mụ c đích cụ thể , có bư ớ c là mộ t
thao tác sơ cấ p, có bư ớ c chỉ là gợ i ý đị nh hư ớ ng suy nghĩ hoặ c là hư ớ ng dẫ n thao
tác đư ợ c lự a chọ n trong mộ t số hữ u hạ n trư ờ ng hợ p.
+ Sau khi thự c hiệ n xong tấ t cả các bư ớ c thì đi đế n kế t quả . Quy trình thuậ t
giả i đư ợ c thể hiệ n dư ớ i nhiề u hình thứ c như : Ngơn ngữ tự nhiên, ngơn ngữ phỏ ng
trình, ngơn ngữ lậ p trình,...
Ví dụ : Giả i phư ơ ng trình bậ c hai ax 2

bx c 0 a

0

Dạ ng 1: Ngôn ngữ tự nhiên (Trình bày ở trên)
14


Dạ ng 2: Sơ đồ khố i.
Bắ t đầ u

Hỏ i giá trị a, b, c

b2

4ac


0

0

Có 2 nghiệ m
phân biệ t x1 , x2

Có nghiệ m kép xo

b

x1,2

x

2a

0

Vơ nghiệ m

b
2a

Kế t thúc
Dạ ng 3: Ngơn ngữ phỏ ng trình.
Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c hai
Biế n a, b, c, , x1 , x2


b 2 4ac ;
0 thì phư ơ ng trình vơ nghiệ m;
0
Phư ơ ng trình có nghiệ m kép:

* Bắ t đầ u:
Nế u
Nế u

x1

b
2a

x2

Kế t thúc
Nế u
0 thì bắ t đầ u trả lờ i:
Phư ơ ng trình có hai nghiệ m phân biệ t:
x1

b
2a

;

x2

b

2a
15


Kế t thúc
* Kế t thúc.
1.3. Các hoạ t độ ng hình thành và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i
1.3.1. Các hoạ t độ ng hình thành và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i
Tư duy thuậ t giả i là mộ t loạ i hình thứ c tư duy tốn họ c. Nó là phư ơ ng thứ c
tư duy biể u thị khả năng tiế n hành các hoạ t độ ng sau:
a. Thự c hiệ n nhữ ng thao tác theo mộ t trình tự xác đị nh phù hợ p vớ i mộ t
thuậ t giả i cho trư ớ c, hay chính là thự c hiệ n thuậ t giả i theo quy tắ c tự a thuậ t giả i đã
biế t.
b. Phân tích mộ t quá trình thành nhữ ng thao tác đư ợ c thự c hiệ n theo nhữ ng
trình tự xác đị nh.
c. Khái qt hóa mộ t q trình diễ n ra trên mộ t số đố i tư ợ ng riêng lẻ thành
mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t lớ p đố i tư ợ ng.
d. Mơ tả chính xác q trình tiế n hành mộ t hoạ t độ ng.
e. Phát hiệ n thuậ t giả i tố i ư u để giả i quyế t bài toán.
Thành phầ n đầ u thể hiệ n khả năng thự c hiệ n thuậ t giả i có sẵ n.
Bố n thành phầ n sau thể hiệ n khả năng xây dự ng thuậ t giả i mớ i. Các thành
phầ n này có thể đư ợ c phát biể u vắ n tắ t như sau:
a. Thự c hiệ n thuậ t giả i đã biế t.
b. Phân tách hoạ t độ ng.
c. Tư ờ ng minh hóa thuậ t giả i.
d. Khái quát hóa hoạ t độ ng.
e. Chọ n con đư ờ ng tố i ư u.
Trong đó, (a) thể hiệ n năng lự c thự c hiệ n thuậ t giả i, (b - e) thể hiệ n năng lự c
xây dự ng thuậ t giả i.
1.3.2. Mố i quan hệ giữ a các tình huố ng điể n hình trong dạ y họ c toán vớ i việ c và

bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy thuậ t giả i
Rèn luyệ n tri thứ c, rèn luyệ n kỹ năng, phát triể n tư duy cho họ c sinh đó là
nhữ ng nhiệ m vụ chủ yế u trong dạ y họ c Toán. Nế u chia tri thứ c thành hai dạ ng:
+ Tri thứ c thự c vậ t (trong Toán họ c thư ờ ng là nhữ ng khái niệ m, đị nh lí…).
+ Tri thứ c phư ơ ng pháp: Nhữ ng phư ơ ng pháp có tính thuậ t tốn (thuậ t giả i),
nhữ ng phư ơ ng pháp có tính tìm đốn…
Thì trong dạ y họ c Toán cầ n coi trọ ng đúng mứ c cả hai dạ ng tri thứ c đó, tạ o
cơ sở cho việ c giáo dụ c toàn diệ n. Tuy nhiên cầ n hiể u rằ ng tri thứ c phư ơ ng pháp
ả nh hư ở ng trự c tiế p đế n rèn luyệ n kỹ năng, tri thứ c phư ơ ng pháp (nổ i bậ t là

16


phư ơ ng pháp có tính thuậ t giả i) đóng vai trị đặ c biệ t quan trọ ng vì chúng là cơ sở
đị nh hư ớ ng trự c tiế p cho mọ i hoạ t độ ng.
Trong dạ y họ c mơn Tốn có các tình huố ng điể n hình sau:
+ Dạ y họ c khái niệ m.
+ Dạ y họ c đị nh lí.
+ Dạ y họ c giả i bài tậ p.
Mặ c dù mỗ i tình huố ng có nhữ ng đặ c điể m khác nhau như ng thự c ra khơng
hồn toàn độ c lậ p vớ i nhau, mà chúng có liên quan mậ t thiế t vớ i nhau, hỗ trợ nhau
trong quá trình dạ y họ c.
* Phát triể n tư duy thuậ t giả i trong khi dạ y họ c khái niệ m: Để nhậ n dạ ng và thể
hiệ n khái niệ m ta có thể hư ớ ng dẫ n họ c sinh vậ n dụ ng tư duy thuậ t giả i.
- Trong trư ờ ng hợ p các dấ u hiệ u đặ c trư ng củ a khái niệ m có cấ u trúc hộ i củ a
nhiề u thuộ c tính, các phả n ví dụ thư ờ ng đư ợ c xây dự ng khi có mộ t thành phầ n
trong cấ u trúc hộ i không đư ợ c thỏ a mãn và do đó đố i tư ợ ng đang xét khơng thuộ c
vào khái niệ m.
Ví dụ : Dạ y khái niệ m cấ p số cộ ng (Đạ i số và giả i tích 11)
“Mộ t cấ p số cộ ng là mộ t dãy số , trong đó mỗ i số hạ ng đứ ng sau bằ ng số

hạ ng đứ ng trư ớ c nó cộ ng vớ i mộ t số d không đổ i” (d là công sai củ a cấ p số cộ ng).
+ Ta có thể hư ớ ng dẫ n họ c sinh như sau:
+ Để xây dự ng mộ t cấ p số cộ ng ta làm các bư ớ c:
Bư ớ c 1: Chọ n mộ t số làm số hạ ng đầ u tiên u1 .
Bư ớ c 2: Chọ n mộ t số (khác không) làm công sai.
Bư ớ c 3: Viế t dãy số : u1 , u1 d , u1 2d , u1 3d ,...
Dãy số đó là mộ t cấ p số cộ ng.
* Phát triể n tư duy thuậ t giả i trong dạ y họ c các đị nh lí.
Theo GS.TSKH Nguyễ n Bá Kim “Dạ y họ c các đị nh lí tốn họ c nhằ m đạ t
đư ợ c các yêu cầ u sau đây:
- Họ c sinh nắ m đư ợ c hệ thố ng đị nh lí và nhữ ng mố i liên hệ giữ a chúng, từ
đó có khả năng vậ n dụ ng chúng vào hoạ t độ ng giả i toán, cũng như giả i quyế t
nhữ ng vấ n đề trong thự c tiễ n…”
Ví dụ : Khi dạ y đị nh lí dấ u tam thứ c bậ c hai, ta thư ờ ng hư ớ ng dẫ n họ c sinh
xét dấ u f x

ax 2

bx c a

0 theo quy tắ c thuậ t giả i như sau:

+ Bư ớ c 1: Xác đị nh hệ số a, b, c và dấ u củ a hệ số a
+ Bư ớ c 2: Tính
b 2 4ac
+ Bư ớ c 3: Áp dụ ng đị nh lí dấ u củ a tam thứ c bậ c hai cho các trư ờ ng hợ p sau:
Nế u a > 0
17



0 thì f x

0 f x

0

x2 thì f x

b
2a

x

0

x1 , x2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình f x

0 : Giả sử

thiế t x1

x

x

x1

x

x2


0

x

0 vớ i

; f x

0 vớ i x1

0 vớ i giả

x2 .

x

Nế u a < 0
0 thì f x
0: f x

x1 , x2 là nghiệ m củ a phư ơ ng trình f x

0 : Giả sử

thiế t x1

x2 thì f x

b

2a

x

0

0 vớ i

x

x1

x

x2

; f x

0 vớ i x1

0 vớ i giả

x2 .

x

Vớ i quy trình thuậ t giả i thể hiệ n nộ i dung đị nh lí sẽ giúp họ c sinh áp dụ ng
đị nh lí để làm bài tậ p mộ t cách dễ dàng.
* Phát triể n tư duy thuậ t giả i trong dạ y họ c giả i các bài toán.
Giả i toán là mộ t hoạ t độ ng chủ yế u củ a hoạ t độ ng tốn họ c, thơng qua dạ y

họ c giả i các bài toán sẽ giúp họ c sinh nắ m vữ ng tri thứ c, rèn luyệ n kỹ năng kỹ xả o,
phát triể n năng lự c tư duy, năng lự c ứ ng dụ ng toán họ c vào thự c tiễ n. Khơng có
mộ t thuậ t giả i tổ ng quát nào để giả i mọ i bài tốn. Chúng ta chỉ có thể thơng qua
dạ y họ c giả i các bài tốn cụ thể mà dầ n dầ n truyề n cho họ c sinh nhữ ng kinh
nghiệ m để tiế n tớ i nghệ thuậ t trong việ c suy nghĩ, tìm tịi lờ i giả i các bài tốn.
Ví dụ : Hư ớ ng dẫ n giả i bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABC, các cạ nh bên đề u bằ ng a và cùng tạ o vớ i đáy mộ t góc
, đáy ABC là tam giác vng tạ i A và có cạ nh AB bằ ng a. Tính thể tích V củ a
hình chóp đó.
+ Phân tích: Sau khi đã xác đị nh chân đư ờ ng cao H củ a hình chóp là trung
điể m củ a cạ nh BC, hư ớ ng dẫ n họ c sinh phân tích:
Muố n tính V ta phả i tính diệ n tích đáy S

ABC

và SH

Muố n tính SH ta phả i giả i tam giác SHB.
Muố n tính S

ABC

ta phả i tính AC.

Muố n tính AC ta phả i tính BC.
Muố n tính BC ta phả i tính HB.
Muố n tính HB ta phả i giả i tam giác SHB.
+ Từ sự phân tích trên ta có thuậ t giả i tính thể tích V.
18



Bư ớ c 1: Giả i tam giác SHB để tính SH và HB.
Bư ớ c 2: Tính BC.
Bư ớ c 3: Tính AC.
Bư ớ c 4: Tính S

ABC

.

Bư ớ c 5: Tính V.
1.4. Vị trí vai trị củ a thuậ t giả i trong chư ơ ng trình Tốn họ c ở phổ thông
cũng như trong các lĩnh vự c khác
1.4.1. Đố i vớ i bộ mơn Tốn họ c
Trong chư ơ ng trình Tốn họ c nói chung, chư ơ ng trình tốn họ c ở bậ c THPT
nói riêng thuậ t giả i có vai trị rấ t quan trọ ng. Không chỉ các nhà nghiên cứ u, các
giáo viên giả ng dạ y mà các em họ c sinh đề u quan tâm và tìm hiể u về vấ n đề này.
Thuậ t giả i gúp các em phát triể n năng lự c trí tuệ , kỹ năng, kỹ xả o. Giúp các em có
mộ t cái nhìn khái quát hơ n về cách giả i bài toán. Thuậ t giả i gúp các em đị nh
hư ớ ng đư ợ c quy trình giả i bài tậ p và qua đó tạ o niề m tin cho các em về việ c tìm ra
kế t quả củ a bài tốn. Quy trình thuậ t giả i hay tự a tuậ t giả i sẽ giúp các em tư duy
ngắ n gọ n, logic, chính xác trong khi giả i toán.
Đố i vớ i bộ mơn tốn thuậ t giả i đư ợ c sử dụ ng rấ t nhiề u như môn đạ i số , mơn
hình họ c, mơn giả i tích,...., nhấ t là trong mơn hình họ c thuậ t giả i đư ợ c áp dụ ng để
xây dự ng quy trình giả i mộ t lớ p các bài toán vớ i mộ t phư ơ ng pháp xác đị nh. Tùy
vào từ ng dạ ng bài tậ p mà ta dự a vào các kiế n thứ c có liên quan để xây dự ng thuậ t
giả i phù hợ p thuậ n tiệ n cho ngư ờ i tham gia giả i bài toán và ngư ờ i đọ c.
Ví dụ : Thuậ t giả i phư ơ ng trình bậ c nhấ t ax b 0 ; vớ i a, b

:


- Bư ớ c 1: Chuyể n b sang vế phả i và đổ i dấ u: ax
b
- Bư ớ c 2: Nế u a 0 thì: 0x
b
Nế u b 0
Kế t luậ n: Phư ơ ng trình vơ số nghiệ m.
Nế u b 0
Kế t luậ n: Phư ơ ng trình vơ nghiệ m.
Nế u a 0 thì sang bư ớ c 3.
- Bư ớ c 3: Chia cả hai vế cho a, ta đư ợ c x

b
a

b
a
Thuậ t giả i trên giúp các em rèn luyệ n cách giả i phư ơ ng trình vớ i quy trình
chặ t chẽ , tránh sai lầ m về các trư ờ ng hợ p vô nghiệ m, vơ số nghiệ m, có nghiệ m.
Ví dụ : Quy trình xác đị nh giao tuyế n qua hai điể m chung củ a hai mặ t phẳ ng:
- Bư ớ c 1: Tìm điể m chung sẵ n có củ a hai mặ t phẳ ng đã cho.

Kế t luậ n: Phư ơ ng trình có nghiệ m duy nhấ t là x

19


Điể m chung sẵ n có củ a hai mặ t phẳ ng đã cho thư ờ ng đư ợ c biể u hiệ n bở i các
trư ờ ng hợ p sau:
+ Là điể m đã cho củ a hai mặ t phẳ ng.

+ Là điể m củ a mặ t phẳ ng này lạ i thuộ c mộ t đư ờ ng thẳ ng củ a mặ t
phẳ ng kia.
+ Là điể m củ a mặ t phẳ ng này, thuộ c mặ t phẳ ng kia.
- Bư ớ c 2: Tìm hai đư ờ ng thẳ ng củ a hai mặ t phẳ ng đã cho, cùng thuộ c mặ t
phẳ ng thứ ba.
- Bư ớ c 3: Xác đị nh giao điể m củ a hai đư ờ ng thẳ ng đã tìm đư ợ c ở bư ớ c 2 để
đư ợ c mộ t điể m chung.
- Bư ớ c 4: Xác đị nh đư ờ ng thẳ ng qua hai điể m chung tìm đư ợ c để tìm giao
tuyế n củ a hai mặ t phẳ ng đã cho.
Ví dụ : Từ đồ thị hàm số
y

x3 6 x 2

y

x3 6 x 2

2 x 3 suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

2 x 3 . Từ đồ thị (C) củ a hàm số

(C’) củ a hàm số y

y

f x suy ra cách vẽ đồ thị

f x .


Xuấ t phát từ sự phân tích y

f x

f x

khi f x

0

f x

khi f x

0

Ta có quy trình cách vẽ đồ thị (C’) như sau:
- Bư ớ c 1: Giữ nguyên phầ n đồ thị củ a (C) thuộ c nử a mặ t phẳ ng phía trên
giớ i hạ n bở i Ox .
- Bư ớ c 2: Lấ y đố i xứ ng qua Ox phầ n đồ thị củ a (C) thuộ c nử a mặ t phẳ ng phía
dư ớ i giớ i hạ n bở i Ox .
- Bư ớ c 3: Kế t luậ n: Đồ thị (C’) bao gồ m phầ n đồ thị củ a (C) đư ợ c giữ
nguyên và phầ n đồ thị củ a (C) đã đư ợ c lấ y đố i xứ ng qua Ox .
Qua nhữ ng ví dụ trên cho ta thấ y vị trí, vai trị to lớ n củ a bộ mơn Tốn trong
việ c phát triể n tư duy thuậ t giả i củ a họ c sinh. Nế u biế t khai thác mộ t cách đúng
đắ n thì sẽ góp phầ n nâng cao chấ t lư ợ ng dạ y họ c Toán trong nhà trư ờ ng phổ thông.
1.4.2. Mộ t số vấ n đề thuậ t giả i trong các lĩnh vự c khác
* Trong cuộ c số ng hằ ng ngày nhiề u hoạ t độ ng mang tính chấ t thuậ t giả i như .
- Xây dự ng mộ t ngôi nhà.
- Điề u khiể n xe máy, ôtô.

- Cách lắ p ráp mộ t chiế c laptop,…
Vậ y, phát triể n tư duy thuậ t giả i trong nhà trư ờ ng phổ thông là rấ t cầ n thiế t, vì:
- Tư duy thuậ t giả i giúp họ c sinh hình dung đư ợ c việ c tự độ ng hóa trong
nhữ ng lĩnh vự c hoạ t độ ng khác nhau củ a con ngư ờ i, góp phầ n khắ c phụ c sự ngăn
20


cách giữ a nhà trư ờ ng và xã hộ i tự độ ng hóa. Nó giúp họ c sinh thấ y đư ợ c nề n tả ng
củ a việ c tự độ ng hóa, cụ thể là nhậ n thứ c rõ đặ c tính hình thứ c, thuầ n túy máy móc
củ a q trình thự c hiệ n thuậ t giả i, đó là cơ sở cho việ c chuyể n giao mộ t số chứ c
năng củ a con ngư ờ i cho máy thự c hiệ n.
- Tư duy thuậ t giả i giúp họ c sinh làm quen vớ i cách làm việ c trong khi giả i
bài tốn bằ ng máy tính điệ n tử . Thậ t vậ y, thiế t kế thuậ t giả i là mộ t khâu rấ t cơ bả n
củ a việ c lậ p trình tư duy thuậ t giả i tạ o điề u kiệ n cho họ c sinh thự c hiệ n tố t khâu đó.
- Tư duy thuậ t giả i giúp họ c sinh họ c tậ p tố t nhữ ng môn họ c ở nhà trư ờ ng
phổ thơng, rõ nét nhấ t là mơn Tốn. Nó tạ o điề u kiệ n thuậ n lợ i cho họ c sinh lĩnh
hộ i kiế n thứ c và rèn luyệ n kỹ năng, kỹ xả o khi họ c các phép tính trên nhữ ng tậ p
hợ p số , giả i phư ơ ng trình bậ c nhấ t, bậ c hai v.v…
- Tiế n hành các hoạ t độ ng tư duy thuậ t giả i có thể dẫ n đế n hình thành tri
thứ c phư ơ ng pháp để giả i quyế t mộ t số vấ n đề , góp phầ n hình thành năng lự c giả i
quyế t vấ n đề ở họ c sinh trong họ c tậ p cũng như ngoài cuộ c số ng
- Tư duy thuậ t giả i cũng góp phầ n phát triể n nhữ ng năng lự c trí tuệ chung
như phân tích, tổ ng hợ p, khái qt hóa,...và hình thành nhữ ng phẩ m chấ t củ a ngư ờ i
lao độ ng mớ i như : tính ngăn nắ p, kỉ luậ t, tính phê phán và thói quen tự kiể m tra…
Như vậ y việ c phát triể n tư duy thuậ t giả i trong mơn Tốn nhằ m góp phầ n
nâng cao chấ t lư ợ ng dạ y họ c mơn Tốn mộ t cách tồn diệ n.
1.5. Nhữ ng đị nh hư ớ ng đổ i mớ i phư ơ ng pháp dạ y họ c Toán nhằ m bồ i dư ỡ ng
và phát triể n tư duy thuậ t giả i
* Đị nh hư ớ ng 1: Thông qua dạ y họ c các quy tắ c, phư ơ ng pháp toán họ c để hình
thành khái niệ m thuậ t giả i và bồ i dư ỡ ng tư duy thuậ t giả i cho họ c sinh và đư ợ c thể

hiệ n qua các cấ p họ c và các môn họ c.
* Đị nh hư ớ ng 2: Phân tích các hoạ t độ ng tư ơ ng thích trên mộ t nộ i dung tốn họ c
để có thể mô tả , sắ p xế p các hoạ t độ ng theo mộ t trình tự xác đị nh thuậ t giả i hay tự a
thuậ t giả i.
Theo GS.TSKH Nguyễ n Bá Kim, tư duy thuậ t giả i liên hệ chặ t chẽ vớ i khái
niệ m thuậ t giả i, nó đư ợ c thể hiệ n ở nhữ ng khả năng và đó cũng là các hoạ t độ ng
hình thành tư duy thuậ t giả i (5 hoạ t độ ng).
Ví dụ : Cho đư ờ ng thẳ ng d và mặ t phẳ ng (P)
x x0 y y0 z z0
a
b
c
Xét vị trí tư ơ ng đố i củ a d và (P)
- Quy trình giả i:
+ Quy trình 1:
d:

P : Ax By Cz

D 0

21


Bư ớ c 1: Tìm tọ a độ vectơ chỉ phư ơ ng củ a đư ờ ng thẳ ng d và tọ a độ vectơ
pháp tuyế n củ a P . Ta có u

a; b; c , n

Bư ớ c 2: Tính k


u. n

Bư ớ c 3: Nế u k

0 thì d cắ t P .

A; B; C

0 thì chuyể n sang bư ớ c 4.

Nế u k

Bư ớ c 4: Thay tọ a độ điể m M 0 x0 ; y0 ; z0 vào P :
Nế u điể m M 0 x0 ; y0 ; z0 thỏ a mãn phư ơ ng trình mặ t phẳ ng P

d

nằ m trong P .
Nế u điể m M 0 x0 ; y0 ; z0
P

không thỏ a mãn phư ơ ng trình mặ t phẳ ng

d song song vớ i P .

+ Quy trình 2:
Bư ớ c 1: Viế t phư ơ ng trình đư ờ ng thẳ ng dư ớ i dạ ng tham số :
x
y

z

x0 at
y0 bt
x0 ct

Bư ớ c 2: Thay tọ a độ điể m M x0

at ; y0

bt ; z0

ct

d vào phư ơ ng

trình tổ ng quát củ a mặ t phẳ ng P .
Ta có A x0
dạ ng mt

n

at

B y0

bt

c z0


Ct

D 0 , đư a phư ơ ng trình về

.

Bư ớ c 3: Nế u phư ơ ng trình trên vơ nghiệ m thì d khơng cắ t P .
Nế u phư ơ ng trình trên vơ số nghiệ m thì d

( P) .

Nế u phư ơ ng trình trên có mộ t nghiệ m t

n
(theo
m

P khi đó ta thay t

A d

) thì d cắ t

n
vào phư ơ ng trình tham số củ a d, tìm đư ợ c tọ a độ điể m
m

( P) .
Trong trư ờ ng hợ p chỉ cầ n xét vị trí tư ơ ng đố i củ a đư ờ ng thẳ ng (d) và mặ t


phẳ ng P thì ta chọ n quy trình 1, cịn nế u phả i tìm tọ a độ giao điể m A (nế u có)
củ a (d) và mặ t phẳ ng P thì ta chọ n quy trình 2. Ví dụ trên đã rèn luyệ n cho họ c
sinh khả năng khái qt hóa mộ t q trình diễ n ra trên mộ t số đố i tư ợ ng riêng lẻ
thành mộ t quá trình diễ n ra trên mộ t lớ p đố i tư ợ ng và phát hiệ n thuậ t giả i tố i ư u để
giả i quyế t bài toán.

22


* Đị nh hư ớ ng 3: Tậ p luyệ n cho họ c sinh rèn luyệ n nhữ ng thao tác theo mộ t trình tự
xác đị nh phù hợ p vớ i thuậ t giả i cho trư ớ c. Có thể phát biể u mộ t số quy tắ c toán
họ c thành nhữ ng thuậ t giả i dư ớ i dạ ng ngôn ngữ tự nhiên, sơ đồ khố i, ngơn ngữ
phỏ ng trình,…

KẾ T LUẬ N CHƯ Ơ NG I
Thuậ t giả i là mộ t trong nhữ ng vấ n đề quan trọ ng nhấ t củ a Toán họ c. Tư duy
thuậ t giả i đư ợ c thể hiệ n qua các cấ p họ c, các môn họ c củ a bộ mơn Tốn. Thuậ t
giả i liên hệ chặ t chẽ vớ i các tình huố ng dạ y họ c điể n hình như : Dạ y họ c khái niệ m,
dạ y họ c đị nh lí, dạ y họ c giả i bài tậ p, chúng hỗ trợ nhau trong quá trình dạ y họ c. Tư
duy thuậ t giả i có vị trí và vai trò quan trọ ng rấ t lớ n trong nhà trư ờ ng phổ thông và
trong cuộ c số ng hằ ng ngày, đặ c biệ t là trong Toán họ c.
Việ c bồ i dư ỡ ng và phát triể n tư duy thuậ t giả i thông qua dạ y giả i các bài
toán là phư ơ ng pháp hiệ u quả hơ n cả nhằ m vào việ c nâng cao chấ t lư ợ ng đào tạ o
củ a nhà trư ờ ng phổ thông.

23


CHƯ Ơ NG II
BỒ I DƯ Ỡ NG TƯ DUY THUẬ T GIẢ I THÔNG QUA DẠ Y GIẢ I

CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌ C BẰ NG PHƯ Ơ NG PHÁP VECTƠ
2.1. Vị trí vectơ trong chư ơ ng trình phổ thông
Phư ơ ng pháp vectơ là mộ t trong nhữ ng phư ơ ng pháp cơ bả n củ a Tốn họ c.
Phư ơ ng pháp này khơng nhữ ng cung cấ p cho họ c sinh công cụ mớ i nhấ t để nghiên
cứ u hình họ c mà cịn mang tính chấ t hiệ n đạ i hơ n, có nhiề u ư u điể m so vớ i phư ơ ng
pháp truyề n thố ng. Vì vậ y chư ơ ng trình cả i cách giáo dụ c đã đư a phư ơ ng pháp
vectơ vào dạ y trong chư ơ ng trình hình họ c ở phổ thông.
* Phư ơ ng pháp vectơ giữ vai trị quan trọ ng trong chư ơ ng trình phổ thông.
- Phư ơ ng pháp vectơ giúp họ c sinh tiế p cậ n nhữ ng kiế n thứ c Tốn họ c phổ
thơng mộ t cách gọ n gàng, mạ ch lạ c như nhữ ng bài tốn hình họ c không gian.
- Phư ơ ng pháp vectơ là mộ t phư ơ ng pháp giả i tốn có hiệ u quả mộ t cách
nhanh chóng, tổ ng quát mà đơi khi khơng cầ n phả i vẽ hình. Mặ t khác chúng có tác
dụ ng tích cự c phát triể n tư duy trừ u tư ợ ng, năng lự c phân tích tổ ng hợ p,…
- Phư ơ ng pháp vectơ trang bị nhữ ng công cụ giả i tốn để xây dự ng lý thuyế t
hình họ c chặ t chẽ cho tinh thầ n toán họ c hiệ n đạ i, đồ ng thờ i trình bày đư ợ c cách
đạ i số hóa hình họ c và hình họ c hóa đạ i số ...
- Phư ơ ng pháp vectơ giúp hình thành năng lự c giả i toán cho họ c sinh, tạ o
khả năng cho họ c sinh làm quen vớ i nhữ ng phép toán trên các đố i tư ợ ng không
phả i là các số như ng lạ i có nhữ ng tính chấ t tư ơ ng tự . Từ đó sẽ dẫ n đế n sự hiể u biế t
về tính thố ng nhấ t củ a toán họ c, về cú pháp toán đạ i số , các cấ u trúc đạ i số .
- Phư ơ ng pháp vectơ tạ o điề u kiệ n thự c hiệ n mố i quan hệ giữ a mơn tốn và
mộ t số mơn họ c khác trong chư ơ ng trình phổ thơng.
* Nộ i dung chư ơ ng trình vectơ phổ thơng.
- Chư ơ ng trình vectơ trong phẳ ng bao gồ m nhữ ng nộ i dung sau:
+ Đạ i cư ơ ng về vectơ : Khái niệ m vectơ , vectơ bằ ng nhau, vectơ khơng.
+ Các phép tốn trên vectơ : Phép cộ ng, trừ hai vectơ , tích vectơ vớ i mộ t số
thự c, tích vơ hư ớ ng củ a hai vectơ .
Trong đó các phép tốn trên đư ợ c trình bày theo thứ tự như sau:
Đị nh nghĩa phép tốn.
Các tính chấ t.

Các bài tốn ứ ng dụ ng.
Ứ ng dụ ng củ a vectơ trong mặ t phẳ ng là để làm công cụ nghiên cứ u các hệ
thứ c lư ợ ng trong tam giác, trong đư ờ ng trịn và các phép biế n hình.
24