TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - TIN

-----------------------

NGUYỄN THỊ MAI

BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Tốn

Phú Thọ, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - TIN

----------------------LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Đỗ Tùng
đã tận tình hướng dẫn em trong q trình hồn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán – Tin, Phòng Đào
tạo trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt
NGUYỄN
quá trình học tập, nghiên cứu rèn
luyện vàTHỊ
làm MAI
khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các giáo viên tổ Toántrường
THPT
Vương –TƯ
thị xã
Phú Thọ
đã giúp đỡ,
tạo điều
kiệnHỌC
thuận lợi
cho
BỒIHùng
DƯỠNG
DUY
THUẬT
GIẢI
CHO
SINH
emTHƠNG
trong suốt q
trìnhDẠY
triển khai
khóaGIẢI
luận. Xin
cảmTỐN
ơn các em
học sinh
lớp
QUA
HỌC
BÀI

HÌNH
HỌC
12C, 12E đã ủng hộ, tích cực tham gia các hoạt động để góp phần thành cơng

KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

của khóa luận.

Mặc dù đã rất cố gắng để thực hiện xong khóa luận khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Em rất mong nhận được sự góp ý của q thầy, cơ
giáo để khóa luận được hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
Việt Trì,
tháng
05 năm 2018
Ngành: Sư phạm Tốn Sinh viên
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. ĐỖ TÙNG
Nguyễn Thị Mai

Phú Thọ, 2018


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
1.


Tính cấp thiết của đề tài ....................................................................... 1

2.

Mục đích nghiên cứu............................................................................ 3

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 3

4.

Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 3

5.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 4

6.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .............................................................. 4

7.

Bố cục của khóa luận ........................................................................... 4

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .......................................... 5
1.1. Một số vấn đề về tư duy ....................................................................... 5
1.1.1. Tư duy ............................................................................................ 5
1.1.2. Đặc điểm của tư duy ...................................................................... 5

1.1.3. Các thao tác tư duy ........................................................................ 6
1.1.4. Một số loại hình tư duy .................................................................. 8
1.2. Tư duy thuật giải .................................................................................. 8
1.2.1. Khái niệm thuật giải....................................................................... 8
1.2.2. Tư duy thuật giải .......................................................................... 13
1.2.3. Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật giải ............................... 14
1.2.4. Vấn đề bồi dưỡng tư duy thuật giải trong dạy học mơn tốn ........ 15
1.3. Thực trạng vấn đề bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy
học mơn tốn ở nhà trường phổ thơng ......................................................... 22
1.4. Kết luận chương 1 ................................................................................ 25
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ...................................... 26
2.1. Nội dung chủ đề giải tốn hình học khơng gian.................................. 26
2.2. Những tư tưởng chủ đạo nhằm phát triển tư duy thuật giải trong dạy
học mơn tốn ............................................................................................... 27


2.3. Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh thơng qua
dạy học giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ .......... 29
2.3.1. Quan tâm xây dựng các quy trình trong quá trình dạy học ............. 29
2.3.2. Tổ chức tập luyện cho học sinh các quy tắc, thuật giải và quy trình
có tính tựa thuật giải ................................................................................ 38
2.3.3. Khai thác các bài tốn với nội dung có tiềm năng phát triển tư duy
thuật giải .................................................................................................. 46
2.4. Kết luận chương 2 ................................................................................... 52
CHƯƠNG 3. THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 53
3.1. Mục đích thử nghiệm ......................................................................... 53
3.2. Nội dung thử nghiệm ......................................................................... 53
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm.............................................................. 55

3.4. Kết luận chương 3 .............................................................................. 57
KẾT LUẬN .................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 59
PHỤ LỤC ...................................................................................................... 60


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt

Nghĩa của

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thông


1
MỞ ĐẦU
1.

Tính cấp thiết của đề tài

Để phục vụ cho sự nghiệp cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước trong

điều kiện bùng nổ thông tin và bối cảnh cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ
4 đang diễn ra mạnh mẽ, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới nội dung,
phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo con người có đầy đủ
phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng
động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các
hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc.
Những định hướng đổi mới về giáo dục và đào tạo đã được Đảng khẳng
định trong Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kì quá độ lên chủ nghĩa
xã hội (Bổ sung, phát triển năm 2011): “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo
dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội, nâng cao chất lượng theo
yêu cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa và hội nhập quốc tế phục vụ đắc
lực cho sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Về phương pháp giáo dục,
Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng Sản
Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra: “Phải đổi mới phương pháp đào tạo,
khắc phục lỗi truyền đạt một chiều, rèn luyên thành nếp tư duy sáng tạo cho
người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện
hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự
nghiên cứu”. Điều 5, Luật giáo dục (2009) khẳng định: “Phương pháp giáo
dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người
học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lịng say
mê học tập và ý chí vươn lên”.
Muốn đạt được những điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực
hiện trong quá trình dạy học là bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh. Tư
duy thuật giải có vai trị quan trọng trong nhà trường phổ thơng và đặc biệt là
dạy học tốn,vì:


2

- Tư duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn
luyện các kỹ năng Toán học.
- Tư duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ
như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái qt hóa,… cũng như
những phẩm chất trí tuệ như: tính cẩn thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập,
tính sáng tạo.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được q trình tự động hóa
diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực
xử lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa,
góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội.
Tuy nhiên, ở nhà trường phổ thông hiện nay, vấn đề bồi dưỡng và phát
triển tư duy thuật giải chưa được quan tâm đúng mức, nó chỉ diễn ra một cách
tự phát, chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện. Do đó,
giáo viên chưa biết cách khai thác tốt các tình huống và nội dung dạy học
nhằm bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh. Khi giải tốn, học sinh thường
bộc lộ sai sót về tri thức toán học như về phương pháp suy luận, chứng minh
trong hoạt động toán học, thuật giải hay quy trình tìm ra thuật giải.
Qua tìm hiểu thực tế dạy và học giải bài tốn hình học khơng gian trong
chương trình tốn trung học phổ thơng (THPT) cho thấy học sinh có những
khó khăn. Một phần vì lý do là các em chưa nắm rõ kiến thức cơ bản, một
phần vì hình học khơng gian là một mảng kiến thức khó, địi hỏi người học
phải biết cách tư duy tìm ra thuật giải hay quy trình thuật giải để giải các bài
tốn. Bên cạnh đó, một số bài tốn về tính số đo góc hay khoảng cách giữa
hai đường thẳng trong không gian…nếu giải theo phương pháp thông thường
khá phức tạp và tốn nhiều thời gian nhưng nếu giải theo phương pháp đặt hệ
trục tọa độ thì sẽ đơn giản hơn nhiều. Việc giải quyết bài tốn hình học khơng
gian thơng qua đại số giúp cho học sinh có thể tiết kiệm khá nhiều thời gian,
đặc biệt là khi, hiện nay, có rất nhiều cơng cụ hỗ trợ cho việc tính tốn với tốc
độ rất nhanh và chính xác. Qua đó, đem lại cái nhìn khác nhằm làm phong



3
phú hơn về phương pháp giải bài tốn hình học, đồng thời tạo sự hứng thú,
phát triển khả năng tìm tịi, sáng tạo nhất là khả năng tư duy tốn tốt hơn.
Chính vì vậy, chúng tơi lựa chọn nội chủ đề: “Bồi dưỡng tư duy thuật
giải cho học sinh thông qua dạy học giải bài tốn hình học khơng gian
bằng phương pháp tọa độ”làm đề tài nghiên cứu khóa luận của mình.
2.

Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là đề xuất được một số biện pháp nhằm bồi dưỡng

tư duy thuật giải cho học sinh thơng qua q trình dạy học giải các bài tốn
hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ, từ đó góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học tốn ở trường phổ thơng.
3.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, khóa luận có nhiệm vụ trả lời các

câu hỏi khoa học sau:
- Tư duy thuật giải là gì? Vì sao cần phải phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh trong dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.
- Thực trạng vấn đề bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy
học mơn Tốn ở trường phổ thơng hiện nay.
- Đề xuất các biện pháp bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh thơng
qua dạy học giải bài tốn hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
- Tiến hành thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp đề xuất.
4.


Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu lý luận dạy học mơn

tốn, sách giáo khoa hình học lớp 11, lớp 12, sách giáo viên, các đề tài khoa
học đã được công bố liên quan đến tư duy thuật giải và nội dung phương pháp
tọa độ trong không gian.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo
viên và hoạt động học tập của học sinh.
- Phương pháp thống kê toán học: Thu thập các số liệu, xử lý và đánh giá
số liệu.


4
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Soạn một số giáo án theo định
hướng bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh, tổ chức giảng dạy và đánh
giá đểrút ra các kết luận sư phạm.
5.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hoạt động bồi dưỡng tư duy thuật giải thơng

qua dạy học giải tốn hình học không gian bằng phương pháp tọa độcho học
sinh THPT.
- Phạm vi nghiên cứu: Dạy học giải bài tốn hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ.
6.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Về mặt lý luận: Góp phầnlàm sáng tỏ khái niệm tư duy thuật giải và


việc bồi dưỡng tư duy thuật giải trong dạy học mơn tốn.
- Về mặt thực tiễn: Đưa ra một số đề xuất nhằm bồi dưỡng tư duy thuật
giải cho học sinh thông qua dạy học giải bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp tọa độ.
Kết quả nghiên cứu của khóa luận sẽ là tài liệu tham khảo cho giáo viên
trong quá trình dạy học tốn ở trường THPT.
7.

Bố cục của khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo nội dung

chính của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1.Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2.Một số biện pháp bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh
thông qua dạy học giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa
độ.
Chương 3.Thử nghiệm sư phạm.


5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số vấn đề về tư duy
1.1.1. Tư duy
Theo Từ điển Tiếng Việt [12]: Tư duy là “giai đoạn cao của quá trình
nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính qui luật của sự vật bằng
những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lí”.
Tư duy là q trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng bằng những hình

thức như cảm giác, tri giác, biểu tượng, khái niệm, phán đốn, suy luận.
Theo Trần Thúc Trình thì “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh
những bản chất, những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện
tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”[11].
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy do con người là chủ thể, thuộc mức độ nhận thức lý tính, khác xa
về bản chất so với nhận thức cảm tính vàtư duy có những đặc điểm cơ bản sau
đây:
- Tính có vấn đề: Muốn kích thích được tư duy cần có hai điều kiện:
Trước hết là phải gặp tình huống có vấn đề, tức là ở hồn cảnh chứa đựng
mục đích mới, cách thức mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả năng giải
quyết.Sau đó, là vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và được
chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân.
- Tính gián tiếp:Nhận thức cảm tính mới chỉ phản ánh bản thân sự vật,
hiện tượng một cách trực tiếp. Tư duy có khả năng phản ánh sự vật, hiện
tượng một cách gián tiếpthông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ,...
Nhờ khả năng phản ánh gián tiếp của tư duy giúp con người mở rộng không
giới hạn hiểu biết, nhận thức thế giới sâu sắc hơn.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy: Tư duy không phản ánh sự
vật, hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà có khả năng trừu xuất khỏi sự
vật, hiện tượng những thuộc tính những dấu hiệu cá biệt cụ thể chỉ giữ lại


6
những thuộc tính bản chất chung cho những sự vật và hiện tượng. Từ đó, khái
quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những thuộc tính chung thành một
nhóm, một loại, một phạm trù. Tính trừu tượng và khái qt hóa của tư duy
giúp con người khơng những giải quyết những nhiệm vụ ở hiện tại mà cịn có
thể giải quyết được những nhiệm vụ ở tương lai.
- Tư duy liên hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngơn ngữ có mối quan hệ

mật thiết với nhau. Nếu khơng có ngơn ngữ thì q trình tư duy của con người
không thể diễn ra được. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy, là
phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy. Ngược lại, nếu khơng có tư duy thì
ngơn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa. Muốn phát triển tư duy phải
gắn với trau dồi ngôn ngữ. Nhưng tư duy không phải là ngơn ngữ, mà tư duy
và ngơn ngữ có mối quan hệ biện chứng với nhau, đó là mối quan hệ giữa nội
dung và hình thức.
- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
Tư duyở mức độ nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức cảm
tính nhưng tư duy khơng tách rời nhận thức cảm tính. Tư duy dù trừu tượng,
khái quát đến mấy cũng phải dựa vào các tài liệu trực quan mà cảm giác và tri
giác đưa lại. Hơn nữa, muốn tư duy trước hết phải tri giác được hoàn cảnh có
vấn đề, tri giác được các sự kiện.
1.1.3. Các thao tác tư duy
Tư duy có những thao tác cơ bản sau: Phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự, khái qt hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa,...
- Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận. Tổng hợp là nhìn
bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các
bộ phận của chỉnh thể đó với mơi trường xung quanh.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại là hai
mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của
q trình tư duy. Các hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của
phân tích và tổng hợp.


7
Ví dụ 1.1: Để tìm cơng thức tính diện tích của hình bình hành, ta chia
hình bình hành đó thành hai tam giác rồi tính diện tích hai tam giác đó. Tổng
diện tích hai tam giác là diện tích hình bình hành. Như vậy việc phân tích

hình bình hành thành hai tam giác sau đó tổng hợp lại đi đến cơng thức tính
diện tích hình bình hành là tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng.
- So sánh:
So sánh là q trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức.
Ví dụ 1.2: So sánh hai khái niệm đường trịn và mặt cầutâm O, bán kính
R.
Đường trịn
Giống nhau

Khác nhau

Mặt cầu

Tập hợp các điểm M sao cho Tập hợp các điểm M sao
OM = R

cho OM = R

Các điểm M cùng thuộc một Các điểm M thuộc không
mặt phẳng

gian

- Khái quát hóa và đặc biệt hóa:
Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã
cho sang nghiên cứu một tập hợp các đối tượnglớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu. Như vậy có thể hiểu khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm phát hiện
những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một

hoặc một số trường hợp riêng lẻ.
Ví dụ 1.3: Từ các trường hợp hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng
nội tiếp trong đường trịn, có thể khái qt hóa điều kiện để tứ giác nội tiếp
trong đường trịn.
Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp các đối tượng đã
cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó. Đặc
biệt hóa có thể hiểu là q trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm,
định lý khái quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể.


8
- Trừu tượng hóa và cụ thể hóa:
Trừu tượng hóa là thao tác trí tuệ trong đó chủ thể dùng trí óc gạt bỏ
những thuộc tính, những bộ phận, những quan hệ,... khơng cần thiết về một
khía cạnh, phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy.
Cụ thể hóa là tìm một trường hợp, tình huống riêng thỏa mãn những tính
chất, điều kiện của cái chung mà ta đã xác định trong thao tác trừu tượng hóa.
Ví dụ 1.4: Khi nói đến hình chóp, người ta nghĩ đến hình có đáy là đa
giác,các mặt bên là các tam giác, mà không để ý đến các thuộc tính cụ
thểkhác như hình chóp đều, hình chóp tam giác, …
Trong q trình tư duy các thao tác tư duy có mối quan hệ mật thiết với
nhau, chúng thống nhất với nhau theo một hướng xác định đề giải quyết
nhiệm vụ tư duy. Việc thực hiện các thao tác tư duy có thể khơng tn theo
một thứ tự nhất định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác
tư duy của một quá trình tư duy.
1.1.4. Một số loại hình tư duy
Trong tốn học có một số loại hình tư duy sau:
- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng.
- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo.
- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp.

- Tư duy thuật giải.
- Tư duy hàm.
Sự phân chia các loại hình tưduychỉ mang tính tương đối. Hiện nay chưa
có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tư duy có những
đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng khơng hồn tồn độc lập với nhau,
giữa chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau.
1.2. Tư duy thuật giải
1.2.1. Khái niệm thuật giải
a. Thuật giải
Theo Trần Ngọc Lan [8], thuật giải có thể hiểu theo hai bình diện nghĩa
rộng và nghĩa hẹp:


9
Theo nghĩa hẹp,thuật giảilà bản chỉ dẫn cụ thể trình tự các bước cần thực
hiện để đi đến lời giải cuối cùng của một bài toán.
Theo nghĩa rộng, thuật giảilà một bản quy định chính xác mà mọi người
đều hiểu như nhau về việc hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một trật
tự xác định nhằm giải quyết một loại bài tốn bất kì thuộc một loại hay một
kiểu nào đó.
Theo Nguyễn Bá Kim[6, tr.378]: “Thuật giải theo nghĩa trực giác được
hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết
thúc sau một hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thơng tin vào
(INPUT) của một lớp bài tốn thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải
của bài tốn đó”.
“Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn
các thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho
sao cho sau một hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong
muốn”[7, tr.51].
Từ những quan niệm đó có thể thấy rằng, quan niệm về thuật giải có thể

có sự khác nhau về mặt ngôn ngữ biểu đạt, nhưng bản chất của chúng thống
nhất với nhau, đều quan niệm rằng thuật giải là quy trình gồm các bước, với
việc thực hiện các bước đó sẽ đi đến lời giải của bài tốn.
Trong khóa luận này chúng tôi quan niệm: Thuật giải là một hay một bộ
các quy tắc hay quy trình cụ thể nhằm giải quyết một vấn đề trong một số
bước hữu hạn hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ một tập hợp các dữ liệu
đưa vào.
Từ quan niệm trên chúng ta thấy thuật giải bao gồm các tính chất: Tính
đơn trị, tính dừng, tính đúng đắn, tính phổ dụng và tính hiệu quả.
- Tính đơn trị của thuật giải:
Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp (các bước)
phải đơn trị. Nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu thực hiện cùng một
thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho ra cùng một kết quả. Tính chất


10
này nói lên tính hình thức của thuật giải, nhờ đó người ta có thể lập trình giao
cho các thiết bị tự động thực hiện thuật giải thay thế con người.
Ví dụ 1.5: Quy trình 4 bước để giải một bài tốn của Polya.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.
Bước 2: Tìm đường lối giải tốn.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải tốn.
Bước 4: Kiểm tra kết quả và lời giải.
Quy trình này khơng phải là một thuật giải vì tính đơn trị bị vi phạm.
Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta
có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau.
- Tính dừng của thuật giải:
Tính dừng của thuật giải được hiểu là sau một số hữu hạn lần lượt thực
hiện các bước theo thứ tự đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như
mong muốn.

Tính dừng của thuật giải khơng quy định cụ thể mỗi thuật giải phải bao
nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài tốn
nhưng phải đảm bảo khơng được lặp lại mãi.
Ví dụ 1.6: Trong bài tốn tìm , sao cho:
x  3  11

Bước 1: Xác định x trong biểu thức phải tìm (Tìm số bị trừ chưa biết).
Bước 2: Phát biểu lại quy tắc tìm x tương ứng (Muốn tìm số bị trừ lấy
hiệu cộng với số trừ).
Bước 3: Tính tốn 11  3  14 .
Bước 4: Thử lại và kết luận (Thay giá trị x vào biểu thức nếu đúng kết
luận, nếu sai quay lại bước 3).
Trong thuật giải này nếu học sinh tính tốn sai ở bước 3 thì ở bước 4 sẽ
kiểm tra lại và quay lại tính tốn. Bước tính tốn chỉ lặp lại 1 hoặc 2 lần sẽ thu
lại kết quả như mong muốn.


11
- Tính đúng đắn của thuật giải:
Mỗi một thuật giải đều phải đảm bảo tính đúng đắn, điều đó có nghĩa là
phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn.
Thuật giải không cho phép kết quả sai, khơng đầy đủ hoặc bỏ sót trường hợp.
Ví dụ 1.7:Tính diện tích tam giác ABC theo ba cạnh của nó.
Bước 1: Đưa vào ba số thực dương a, b, c .
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức P 
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức S 

abc
.
2


p( p  a)( p  b)( p  c) .

Bước 4: Diện tích tam giác có ba cạnh a, b, c là S .
Bước 5: Kết thúc.
Quy tắc nêu trên đã vi phạm tính đúng đắn vì ba số thực dương bất kì
khơng phải bao giờ cũng biểu thị số đo ba cạnh của tam giác. Theo cách này
thì với mọi a, b, c là số thực dương thì ta ln tính được diện tích của tam
giác. Để quy tắc khơng vi phạm tính đúng đắn thì ta phải bổ sung thêm bước
kiểm tra điều kiện a, b, c biểu thị số đo ba cạnh của tam giác.
- Tính phổ dụng của thuật giải:
Thuật giải được xây dựng khơng chỉ dùng để giải một bài tốn mà phải
áp dụng cho một lớp bài tốn có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác
nhau. Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra các thuật giải rồi từ đó xây dựng
những chương trình mẫu để giải từng lớp bài tốn. Tính phổ dụng của thuật
giải được hiểu là thuật giải áp dụng được cho rất nhiều bài tốn cùng loại.
Ví dụ 1.8: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất áp dụng cho mọi cặp số
nguyên (x,y), thuật giải phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a  0) áp dụng
cho mọi phương trình bậc 2...
- Tính hiệu quả của thuật giải:
Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu. Cụ thể, thuật giải thực hiện
nhanh, tốn ít thời gian; thuật giải dùng ít giấy hoặc các thiết bị lưu trữ các kết
quả trung gian; thuật giải đáp ứng yêu cầu của thực tiễn, đảm bảo thời gian.


12
b. Quy tắc tựa thuật giải
Đặc trưng của thuật giải là hệ thống nghiêm ngặt được đặt ra thực hiện
theo một quy trình chặt chẽ. Tuy nhiên, trong quá trình thực tiễn dạy học, ta
thường gặp một số quy tắc tuy không mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng

của thuật giải nhưng nó mang một trong sốđặc điểm đó, những quy tắc như
vậy người ta gọi là quy tắc “tựa thuật giải”.
Theo Nguyễn Bá Kim quy tắc “tựa thuật giải” được hiểu như một dãy
hữu hạn các chỉ dẫn thực hiện theo một trình tự xác định, nhằm biến đổi thơng
tin vào của một lớp bài tốn thành thơng tin ra mơ tả lời giải của lớp bài tốn
đó[6, tr.379].
Quy tắc “tựa thuật giải” được phân biệt với thuật giải như sau:
- Một chỉ dẫn nào đó trong quy tắc tựa thuật giải có thể chưa mơ tả hành
động một cách chính xác.
- Kết quả thực hiện ở một bước nào đó thường khơng đơn trị.
- Quy tắc tựa thuật giải không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu
hạn bước thì mang lại kết quả là lời giải của lớp bài tốn.
Mặc dù có một số hạn chế nói trên so với thuật giải, nhưng những quy
tắc có tính tựa thuật giải vẫn là những tri thức phương pháp rất quan trọng
khơng chỉ cho q trình hoạt động và giải tốn mà cịn quan trọng đối với
nhiều hoạt động của con ngườitrong mọi lĩnh vực hoạt động. Chúng có vai trị
quan trọng trong q trình dạy học cũng như trong đời sống được thể hiện ở
tính phổ dụng và tính đúng đắn.
Ví dụ 1.9: Quy tắc tính đạo hàm của hàm y  f ( x) .
Bước 1:Lấy một số gia x của đối số, tính số gia y tương ứng của hàm
số y  f ( x  x)  f ( x) .
Bước 2: Lập tỷ số

y
.
x

y
.
x  0  x


Bước 3: Tìm lim

Giới hạn (nếu có) của tỷ số trên là đạo hàm của hàm số tại điểm x.


13
Trong ví dụ trên, chỉ dẫn ở bước 3 khơng mơ tả một cách xác định việc
y
. Vì vậy đương nhiên có những học sinh tuy áp dụng quy tắc nêu
x 0 x

tìm lim

trong ví dụ nhưng vẫn khơng tính được đạo hàm cụ thể nào đó, mặc dù đạo
hàm này tồn tại.
1.2.2. Tư duy thuật giải
Theo Nguyễn Bá Kim [6, tr.385], “Tư duy thuật giải là một dạng tư duy
tốn học có liên hệ chặt chẽ với việc thực hiện các thao tác tư duy, được sắp
xếp theo một trình tự nhất định mà kết quả là giải quyết được nhiệm vụ đặt
ra”và để phát triển tư duy thuật giải cần phải khai thác các dạng hoạt động
sau đây:
- T1: Thực hiện những hoạt động theo một trình tự xác định phù hợp với
một thuật giải cho trước.
- T2: Phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần được
thực hiện theo một trình tự xác định.
- T3: Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
- T4: Khái quát hóa một hoạt động theo những đối tượng riêng lẻ thành
một hoạt động trên một lớp đối tượng.
- T5: So sánh những con đường khác nhau cùng thực hiện một công việc

và phát hiện con đường tối ưu.
Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện một thuật giải có sẵn.
Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây dựng thuật giải mới. Các
thành phần này có thể phát biểu vắn tắt như sau:
- T1: Thực hiện thuật giải đã biết;
- T2: Phân tách hoạt động;
- T3: Tường minh hóa thuật giải;
- T4: Khái quát hóa hoạt động;
- T5: Chọn con đường tối ưu.
Như vậy có thể nói rằng: Tư duy thuật giải là phương thức tư duy thể
hiện khả năng tiến hành các hoạt động xây dựng và thực hiện thuật giải.


14
Tư duy nói chung và tư duy thuật giải nói riêngchỉ có thể hình thành và
phát triển trong hoạt động. Vì vậy, để phát triển tư duy thuật giải, cần tổ chức
cho học sinh tập luyện các hoạt động thành phần (từ T1 đến T5) nói trên. Dạy
học những thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải là những cơ hội thuận lợi
để thực hiện việc này. Làm như vậy sẽ tác động tích cực tới việc thực hiện
mục tiêu kép: Vừa làm cho học sinh nắm vững tri thức và kĩ năng toán học,
vừa giúp họ phát triển tư duy thuật giải, một yếu tố văn hóa quan trọng trong
đời sống hiện nay.
1.2.3. Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật giải
Theo Nguyễn Bá Kim [6], phát triển tư duy thuật giải trong nhà trường
phổ thông là cần thiết bởi vì:
- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong
những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự
ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc
tính hình thức, thuần túy máy móc của q trình thực hiện thuật giải, đó là cơ
sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện.

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi
giải tốn bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất
cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực
hiện tốt khâu đó.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà
trường phổ thông, rõ nét nhất là mơn Tốn.
Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ
năng, kĩ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình
bậc nhất, bậc hai,...
- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ
chung như phân tích , tổng hợp, khái quát hóa,... và hình thành những phẩm
chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói
quen tự kiểm tra... cho học sinh.


15
1.2.4. Vấn đề bồi dưỡng tư duy thuật giải trong dạy học mơn tốn
Khi học Số học, học sinh biết các thuật giải tìm ước chung lớn nhất, bội
chung nhỏ nhất,... khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính tốn, so sánh
thường mang tính thuật giải, trong Đại số, học sinh được học thuật giải
phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, thuật giải giải hệ phương trình
bậc nhất,...trong dạy học giải tốn, có ứng dụng bất đẳng thức có thể rèn
luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua việc hướng dẫn cho học sinh
phát hiện, xây dựng các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải để giải một số bài
toán dạng toán.Ở trường phổ thông, tư duy thuật giải được rèn luyện và phát
triển thông qua việc giáo viên dạy cho học sinh cách thực hiện các thuật giải,
cách xây dựng thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cũng nhưthơng qua các tình
huống điển hình trong dạy học mơn Tốn.
a. Thực hiện thuật giải
Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh được học, thực hiện nhiều

thuật giải như tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, thuật giải phương
trình, hệ phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc nhất
với sinx và cos x : a sin x  b cos x  c ,...
Ví dụ 1. 10: Ở chương trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy học quy tắc giải
phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0,( a  0) , giáo viêncó thể cho học sinh
nêu các bước giải phương trình bậc hai như sau:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính biệt thức   b2  4ac .
Bước 3: Xét dấu  :
+ Nếu   0 thì phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép x1  x2  
=

√∆

=

√∆

+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm
Bước 4: Kết luận.

b
.
2a

.


16

Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của
tư duy thuật giải cho học sinh.
Sau đó, yêu cầu học sinh làm bài tập sau.
Bài tập: Áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương
trình sau:
a. 2x 2  3x  5  0.
b. 4x 2  20x  25  0.
c.

3 2
x  4x  7  0.
2

Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1).
Do đó, cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo quy trình các bước đã nêu
trong quy tắc.
Ví dụ 1.11: Khi dạy nội dung phương trình quy về phương trình bậc hai,
đối với học sinh khá, giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 2x 4  3x 3  16x 2  3x  2  0.
b. x 4  2x3  x2  2x  1  0.
c. x 4  x3  4x 2  x  1  0.
Trước bài tập này học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi học sinh mới
chỉ gặp phương trình bậc 4 trùng phương. Giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hướng sau đối với phương trình (a).
+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình hay khơng?
+ Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x2  0 . Nêu đặc điểm của
phương trình mới nhận được?
3 2


0
x x2
Ta mong học sinh trả lời:
1
1
 2( x 2  2 )  3( x  )  16  0
x
x
( a)  2x 2  3x  16 

Phương trình mới có đặc điểm: ( x 2 

1
1
)  ( x  )2  2.
2
x
x


17
+ Để giải phương trình ta làm thế nào?
Ta mong đợi học sinh trả lời: Đặt t  x 

1
1
 x 2  2  t 2  2.
x
x


Cuối cùng, giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và các
phương trình cịn lại. Khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi
nhằm giúp giáo viên giải bài toán tổng quát như sau:
+ Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phương trình?
Ta mong học sinh trả lời:
Phương trình (a) có các hệ số đối xứng qua hệ số(-16), phương trình (b)
các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phương trình (c) các hệ số đối xứng qua hệ
số (-4).
+ Từ các đặc điểm đó hãy nêu phương trình dạng tổng qt?
Ta mong đợi học sinh trả lời:
Phương trình dạng tổng quát: ax 4  bx 3  cx 2  bx  a  0, a  0.
+ Từ cách giải các phương trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải phương
trình trên?
Ta mong đợi học sinh trả lời:
Bước 1: Nhận xétx = 0 không phải là nghiệm.
Bước 2:Chia cả hai vế của phương trình cho x2  0 và biến đổi phương
trình về dạng: ax 2  bx+c 
Bước 3: Đặt t  x 

b a
1
1
 2  0  a( x 2  2 )  b( x  )  c  0.
x x
x
x

1
1
 x 2  2  t 2  2.

x
x

Bước 4: Giải phương trình: at 2  bt  2a  c  0 , được nghiệm t0 .
Bước 5: Giải phương trình: x 

1
 t0 .
x

Bước 6: Kết luận.
Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên ta đã tập luyện cho học sinh
hoạt động (T2), (T3) và (T4) của tư duy thuật giải. Để củng cố các hoạt động
này giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập sau:


18
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a. x4  3x 3  6x 2  3x  1  0.
b. 2x 4  x3  11x 2  x  2  0.
Bài tập 3: Hãy nêu bài toán tổng qt và thuật giải cho bài tốn đó.
Các ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện các hoạt động của tư duy
thuật giải.
Khi dạy thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:
+ Cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật
giải tạo điều kiện cho học sinh nắm vững nội dung từng bước và trình tự các
bước thực hiện thuật giải đó.
+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày rõ theo một trình tự
xác định, tuy nhiên, cần tập luyện cho học sinh tập luyện tốt các chỉ dẫn đã
nêu. Nếu học sinh không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậythì dù có học

thuộc các quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ
thể, vẫn khơng giải quyết được yêu cầu của công việc.
b. Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải
Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, học sinh cũng cần
được rèn luyện cách xây dựng thuật giải. Đặc biệt, trong giải toán nếu ta xây
dựng được nhiều thuật giải, quy tắc tựa thuật giải sẽ giúp học sinh thực hiện
tốt, nhanh gọn, đúng u cầu của bài tốn.
Ví dụ 1.12: Hướng dẫn học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho các
bài toán sau:
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB,
AC sao cho MN cắt BC. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng
(BCD)?
+ Phân tích:
Gọi K là giao điểm của MN và (BCD)  K  ( BCD) .


19
Mặt khác:

A

K  MN  ( ABC )  K  ( ABC )
 K  ( BCD)  ( ABC ).

K

N

M


Mà ( BCD)  ( ABC )  BC .
Nên K chính là giao điểểm của BC và MN.

C

D

+ Giáo viên hướng
ng dẫn
d học sinh quá
trình tìm điểm K.
K được xác định
nh bởi:
b K  BC  MN .

B

Hình 1.1

Muốn có K phảii tìm BC: BC là giao tuyến củaa (BCD) và m
mặt phẳng
chứa MN nên muốn
n có BC ph
phải tìm mặt phẳng chứa MN.
+ Từ phân tích trong ví dụ
d trên giáo viên giúp học sinh xây dựng quy tắc
tựa thuật giảii cho bài toán: Xác định
đ
giao điểm của đường
ng th

thẳng và mặt
phẳng.
Bài toán 2: Xác địịnh giao điểm của đường thẳng a và mặtt ph
phẳng (P).
Hướng dẫn họcc sinh để xác định giao điểm của đường
ng th
thẳng a và mặt
phẳng (P), ta đưa về tìm giao tuyến
tuy của đường thẳng a và đườ
ờng thẳng giao
tuyến của mặt phẳng
ng (P) vvới một mặt phẳng chứa a.
Từ đó, xây dựng
ng qquy tắc tựa thuật giải:
Bước 1: Chọn mộtt mặt
m phẳng (Q) chứa a.
Bướcc 2: Tìm giao tuyến
tuy b của (P) và (Q).
Bước 3: Tìm giao đi
điểm M của a và b.
Bước 4: Kết luận
n M là giao điểm
đi cần tìm.
Hình 1.2
c. Bồi dưỡng
ng tư duy thuật
thu giải khi dạy học những tình huống
ng điển
đi hình
- Bồi dưỡng

ng tư duy thuật
thu giải trong dạy học khái niệm:
Để nhận dạng
ng và thể
th hiện khái niệm ta có thể hướng dẫnn học sinh vận
dụng tư duy thuật giải.
i. Trong trường
trư
hợp các dấu hiệu đặcc trưng của
c khái
niệm có cấu trúc hộii của
c nhiều thuộc tính, các phản ví dụ thư
thường được xây


20
dựng khi có mộtt thành phần
ph trong cấu trúc hội khơng được thỏaa mãn và do đó
đối tượng đang xét khơng
ơng thu
thuộc vào khái niệm.
Ví dụ 1.13: Dạy
y học
h khái niệm góc giữa hai đường thẳng
ng trong khơng
gian.
“Góc giữa
a hai đường
đư
thẳng

ng a và b trong khơng gian là góc giữa
gi hai
đường thẳng
ng a’ và b’ cùng đi qua một
m điểm và lần lượtt song song vvới cả a và
b”. [2, tr.95]
Ta có thể hướng
ng ddẫn học sinh như sau:
Bước 1: Lấy mộtt điểm
đi O bất kỳ trong không
gian (thông thường lấy
y O  a hoặc O  b ).
Bướcc 2: Qua O dựng
d
a’, b’ lần lượt song
song với a và b.
Bước 3: Kết luận
n góc tạo bởi a’ và b’là góc
giữa hai đường thẳng
ng a và b.

Hình 1.3

- Bồi dưỡng
ng tư duy thuật
thu giải trong dạy học các định lý:
Các định
nh lí và các khái niệm
ni tốn học tạo thành nộii dung cơ bản
b của mơn

tốn, làm nền tảng
ng cho việc
vi rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặcc bi
biệt là khả năng
suy luận và chứng
ng minh, phát triển
tri năng lực trí tuệ chung, rèn luyện
luy tư tưởng,
phẩm chất và đạo đứcc cho học
h sinh.
Một trong những
ng yêu cầu
c của việc dạy học định
nh lí là giúp học sinh nắm
được hệ thống các định
nh lí và những
nh
mối liên hệ giữa chúng, từ đó,học
đó
sinh có
khả năng vận dụng
ng chúng vào hoạt
ho động giải toán cũng như
ư gi
giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn.
Trong q trình d
dạy học định lí, nếu giúp học sinh xây dựng
d
được các

thuật giải, quy tắc tựaa thuật
thu giải để chứng minh, thể hiện định
nh lí ssẽ tạo điều
kiện tốt để học sinh tiếếp thu, lĩnh hội và vận dụng
ng chúng vào trong các hoạt
ho
động giải tốn.
Ví dụ 1.14: Khi dạy
d học định lí về hai mặt phẳng
ng vng góc: ““Điều
kiện cần và đủ để hai mặt
m phẳng vng góc với nhau là mặtt ph
phẳng này chứa
một đường thẳng
ng vng góc với
v mặt phẳng kia”[2, tr.108].