ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐỖ NAM

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2021


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐỖ NAM

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9520101.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜINGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng:
1. GSSKH. Nguyễn Tiến Khiêm

Hà Nội - 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả luận án xin cam đoan rằng luận án bao gồm các kết quả nghiên cứu
của nghiên cứu sinh dưới sự hướng dẫn của các thầy hướng dẫn và giúp đỡ của
các đồng nghiệp, mọi kết quả của người khác đã được trích dẫn đầy đủ.

Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021
Tác giả luận án

Đỗ NamGS.TSK
chỉ bảo và hỗ trợ trong việc nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng cảm ơn các đồng nghiệp trong Trường Đại học Công nghệ,
Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã nhiệt tình giúp đỡ trong
quá trình làm nghiên cứu sinh tại Khoa.


LỜI CẢM ƠN

Tác giả chân thành cảm ơn Trường Đại học Công nghệ, Khoa Cơ học Kỹ
thuật và Tự động hóa đã tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh hồn thành luận án
của mình. Đồng thời nghiên cứu sinh cũng đặc biệt cảm ơn các thầy hướng dẫn,
GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm, PGS.TS. Phạm Mạnh Thắng đã tận tình
động viên, chỉ bảo và hỗ trợ trong việc nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng cảm ơn các đồng nghiệp trong Trường Đại học Công nghệ,
Viện Cơ học, Khoa Cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa đã nhiệt tình giúp đỡ trong
quá trình làm nghiên cứu sinh tại Khoa.


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .............................................i
DANH MỤC BẢNG ............................................................................................ iii
DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................iv
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU........................ 4
1.1. Vật liệu FGM và ứng dụng ............................................................................. 4
1.2. Dao động của dầm liên tục (dầm có gối trung gian) ....................................... 6
1.3. Dao động của dầm có vết nứt .......................................................................... 7
1.3.1. Dầm đồng nhất có vết nứt ............................................................................ 7
1.3.2. Dầm FGM có vết nứt ................................................................................... 9
1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu...................................................................................10
Kết luận chương 1 ................................................................................................12
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN......................................13
2.1. Cơ sở phương pháp ma trận truyền ...............................................................13
2.2. Phương pháp ma trận truyền cổ điển ............................................................14
2.3. Phương pháp ma trận truyền cải biên............................................................19
2.4. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm liên tục.................23
Kết luận chương 2 ................................................................................................27
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐỒNG NHẤT LIÊN TỤC CÓ VẾT NỨT ..28
3.1. Mơ hình dầm có vết nứt ................................................................................28
3.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm đồng nhất có vết nứt ......................32
3.3. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm liên tục có vết nứt 36


3.4. Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục ..................................39
3.4.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp ...........40
3.4.2. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt và gối trung gian trong dầm liên tục hai nhịp.....44
3.4.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm liên tục ba nhịp ............49
Kết luận chương 3 ................................................ Error! Bookmark not defined.

CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM TIMOSHENKO FGM LIÊN TỤC CĨ
VẾT NỨT .............................................................................................................55
4.1. Mơ hình dầm FGM có vết nứt.......................................................................55
4.1.1. Phương trình dao động của dầm FGM .......................................................55
4.1.2. Mơ hình vết nứt trong dầm FGM ...............................................................58
4.2. Hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt .............................59
4.3. Phương pháp ma trận truyền mở cho dầm FGM liên tục có vết nứt ............61
4.3.1. Ma trận truyền cho phần tử dầm FGM gối cứng hai đầu ...........................61
4.3.2. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục ....62
4.4. Kết quả tính tốn số.......................................................................................65
4.4.1. Kiểm chứng phương pháp, thuật tốn và chương trình .............................65
4.4.2. Một số đặc tính dao động của dầm đơn FGM............................................69
4.4.3. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số riêng của dầm FGM liên tục ....82
4.4.4. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của dầm FGM liên tục ...............84
Kết luận chương 4 ................................................................................................92
KẾT LUẬN CHUNG ...........................................................................................93
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN ........................................................................94
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................95


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Nguyên nghĩa

𝐼̄12
=

𝑛(𝑅𝜌 − 1)

2ℎ0
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)(𝑅𝜌 + 𝑛) ℎ(𝑛 + 1)

Hệ số tương tác dao động trong dầm FGM

̅(𝑥, 𝜔), 𝑀
̅ (𝑥, 𝜔), 𝑄̅(𝑥, 𝜔) Biên độ phức của nội lực
𝑁
𝛾1 = 𝐸𝐴⁄𝑇 , 𝛾2 = 𝐸𝐼 ⁄𝑅

Độ lớn vết nứt được tính từ độ sâu vết nứt

𝛾10 = 𝐸0 𝐴⁄𝑇, 𝛾20 = 𝐸0 𝐼 ⁄𝑅 Độ lớn vết nứt của dầm đồng chất

[𝐓(𝑥1 , 𝑥2 )]

Ký hiệu ma trận truyền



Hệ số Poisson



Hệ số điều chỉnh biến dạng trượt
Góc xoay của tiết diện ngang
Mật độ khối của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt
0 = (t + b)/2
dưới)


𝜃(𝑥, 𝑡 )

, t, b,

𝜔𝑗 , 𝜔̄ 𝑗 = 𝜔𝑗 /𝜔𝑗0

Tần số riêng và tần số riêng chuẩn hóa (tỷ số giữa tần số
của dầm bị nứt và tần số riêng của dầm nguyên vẹn).

CC-beam (CCB)

Ký hiệu dầm ngàm hai đầu

CF-beam (CFB)

Ký hiệu dầm công xôn

DSM

Phương pháp độ cứng động lực (Dynamic Stiffness
Method)

e, a
𝐸, 𝐸𝑏 , 𝐸𝑡
𝐸0 = (𝐸𝑏 + 𝐸𝑡 )⁄2

Vị trí và độ sâu vết nứt.
Mơ đun đàn hồi của các pha vật liệu, (t – mặt trên, b –
mặt dưới).


E-FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element
Method).

FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên nói chung (Functionally
Graded Material).

𝐺=

𝐸

,

2(1+𝑣)

ℎ
ℎ0 , ℎ̄0 = 0 =
ℎ

𝐺, 𝐺𝑏 , 𝐺𝑡 Mơ đun trượt tính từ mơ đun đàn hồi của các pha vật
liệu
𝑛(𝑅1 −1)


Vị trí trục trung hịa tính từ trục giữa của dầm

2(𝑛+2)(𝑛+𝑅1 )

𝑘𝑖

Số sóng

L, b, h

Chiều dài, chiều rộng, và chiều cao của dầm
i


Ký hiệu

Nguyên nghĩa

n

Chỉ số phân bố vật liệu (số mũ trong quy luật hàm lũy
thừa)

𝑁(𝑥, 𝑡 ), 𝑀(𝑥, 𝑡 ), 𝑄 (𝑥, 𝑡 )

Lực dọc trục, mô men uốn và lực cắt của mặt cắt tại vị
trí x

P-FGM
𝑟 = 𝑅𝑒 ⁄𝑅𝜌


Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa
Hệ số tỷ lệ của vật liệu

𝑅𝜌 = 𝜌𝑡 ⁄𝜌𝑏

Tỷ số mật độ khối của các pha vật liệu (trên/dưới)

𝑅𝑒 = 𝐸𝑡 ⁄𝐸𝑏

Tỷ số mô đun đàn hồi của các pha vật liệu (trên/dưới)

S-FGM

Vật liệu cơ tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid

SS-beam (SSB)

Ký hiệu dầm tựa đơn hai đầu

T, R

Là độ cứng lò xo dọc trục và lị xo xoắn mơ tả vết nứt

TMM

Phương pháp ma trận truyền (Transfer Matrix Method)

𝑈(𝑥, 𝜔), 𝑊 (𝑥, 𝜔), Θ(𝑥, )


Biến đổi Fourrie (biên độ phức) của chuyển vị dọc
trục, độ võng và góc xoay

𝑢(𝑥, 𝑡 ), 𝑤(𝑥, 𝑡)

Chuyển vị của điểm nằm trên mặt trung hịa

𝜆𝑗

Nghiệm của phương trình đặc trưng

ii


DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1. Tần số của dầm hai nhịp (01 gối cứng trung gian) khi vị trí gối cứng
thay đổi .................................................................................................................24
Bảng 2.2. Tần số của dầm ba nhịp khi vị trí gối cứng thay đổi ...........................25
Bảng 4.1. So sánh tần số tính bằng phương pháp ma trận truyền (TMM) và
phương pháp độ cứng động (DSM) trong các trường hợp ℓ/h =5;10 và các giá trị
khác nhau của chỉ số n. ........................................................................................66
Bảng 4.2. Tần số riêng của dầm FGM một, hai và ba nhịp phụ thuộc vào chỉ số
phân bố vật liệu n .................................................................................................82
Bảng 4.3. Ảnh hưởng của số lượng và phân bố vết nứt đến tần số riêng của dầm
ba nhịp. .................................................................................................................91

iii



DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều
dày .......................................................................................................................... 5
Hình 2.1. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian đến tần số riêng của dầm hai nhịp
trong hai trường hợp điều kiện biên (a) SS-beam and (b) CF-beam. ..................26
Hình 3.1. Mơ hình vết cưa....................................................................................29
Hình 3.2. Mơ hình vết nứt ....................................................................................29
Hình 3.3. Mơ hình vết nứt cạnh ...........................................................................30
Hình 3.4. Mơ hình dầm có nhiều vết nứt .............................................................32
Hình 3.5. Mơ hình dầm liên tục có vết nứt ..........................................................36
Hình 3.6. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên .....................................41
của dầm đồng nhất hai nhịp tựa đơn hai đầu .......................................................41
Hình 3.7. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên .....................................42
của dầm đồng nhất hai nhịp ngàm hai đầu ...........................................................42
Hình 3.8. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số đầu tiên .....................................43
của dầm công xôn đồng nhất hai nhịp..................................................................43
Hình 3.9. Ảnh hưởng của vị trí gối trung gian và vết nứt đến ba tần số đầu tiên 45
của dầm hai nhịp tựa đơn hai đầu ........................................................................45
Hình 3.10. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian ..................................47
của dầm hai nhịp ngàm hai đầu ............................................................................47
Hình 3.11. Ảnh hưởng của vết nứt và vị trí gối trung gian ..................................48
của dầm cơng xơn hai nhịp...................................................................................48
Hình 3.12. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên ..........................51
của dầm ba nhịp tựa đơn hai đầu..........................................................................51
Hình 3.13. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên ..........................52
của dầm ba nhịp ngàm hai đầu .............................................................................52
iv



Hình 3.14. Ảnh hưởng của vết nứt đến ba tần số riêng đầu tiên ..........................54
của dầm công xôn ba nhịp ....................................................................................54
Hình 4.1. Mơ hình của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt ........................55
Hình 4.2. Mơ hình vết nứt trong dầm FGM .........................................................58
Hình 4.3. So sánh tần số cơ bản của dầm FGM có vết nứt tính được bằng các
phương pháp TMM, DSM và p-FEM; a – dầm tựa đơn hai đầu; b – dầm ngàm
hai đầu ..................................................................................................................68
Hình 4.4. Vị trí trục trung hồ phụ thuộc vào số mũ n với các giá trị .................70
tỷ số mô đun đàn hồi khác nhau. ..........................................................................70
Hình 4.5 Vị trí trục trung hịa (tính từ trục giữa dầm) phụ thuộc vào tỷ số .........71
đàn hồi với các giá trị khác nhau của chỉ số n. a) Re<1; b) Re>1. ......................71
Hình 4.6. Hệ số tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn, 𝐼12, phụ
thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi và hệ số tỷ lệ thể tích n, Ro=1, a) R e<1; b) Re >1
..............................................................................................................................73
Hình 4.7. Ảnh hưởng của trục trung hịa đến tần số riêng của dầm FGM ...........74
Hình 4.8. Ảnh hưởng của hệ số tương tác dao động đến tần số riêng của dầm
FGM .....................................................................................................................74
Hình 4.9. Ảnh hưởng của tỷ số mô đun đàn hồi đến tần số riêng của dầm FGM 75
Hình 4.10. Ảnh hưởng của tỷ số mật độ khối đến tần số riêng của dầm FGM ...75
Hình 4.11. Ảnh hưởng của độ mảnh đến trật tự sắp xếp các dạng dao động ......77
Hình 4.12. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ
số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ nhất của dầm FGM tựa đơn hai đầu .......79
Hình 4.13. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) và tỷ
số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ hai của dầm FGM tựa đơn hai đầu .........80
Hình 4.14. Ảnh hưởng độ sâu vết nứt a/h (a), chỉ số phân bố vật liệu n (b) ........81
và tỷ số mô đun đàn hồi r (c) đến tần số thứ ba của dầm FGM tựa đơn hai đầu. 81

v



Hình 4.15. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) .....85
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ...................85
của độ sâu vết nứt (a/h) ........................................................................................85
Hình 4.16. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) .....86
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ...................86
về chỉ số phân bố vật liệu (n). ..............................................................................86
Hình 4.17. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) ......88
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ...................88
của độ sâu vết nứt (a/h) ........................................................................................88
Hình 4.18. Tần số cơ bản (uốn) của dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) ......89
phụ thuộc vào vị trí vết nứt và tương ứng với các giá trị khác nhau ...................89
của chỉ số phân bố vật liệu (n). ............................................................................89
Hình 4.19. Tần số dao động dọc trục của dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc
vào độ sâu vết nứt (a) và chỉ số phân bố vật liệu n (b). .......................................90

vi


MỞ ĐẦU

Đầu những năm 80 thế kỷ trước, trong khi nghiên cứu vật liệu composite
lớp (laminated composite) một nhà khoa học Nhật Bản đã sáng chế ra một loại
vật liệu composite mới gọi là vật liệu cơ lý tính biến thiên theo quy luật hàm số
liên tục (Functionally Graded Material - FGM). Vật liệu mới này đã đem lại
nhiều ưu thế nổi trội. Cụ thể là do sự biến đổi các tính chất một cách liên tục nên
tránh được sự tập trung ứng suất và sự bong tách giữa các lớp vật liệu khác nhau.
Đặc biệt sự pha trộn liên tục các vật liệu khác nhau cho phép ta phát huy các ưu
điểm của từng loại vật liệu. Ví dụ, sự pha trộn giữa thép và gốm tạo nên một vật
liệu dai như thép nhưng lại cứng và chịu nhiệt tốt như gốm, v.v… Sự ra đời của
loại vật liệu FGM đã đặt ra nhiều bài toán cho các nhà cơ học, ví dụ, các bài tốn

dao động của kết cấu dầm, tấm hay vỏ làm bằng FGM. Cơ sở để mơ hình hóa vật
liệu và kết cấu FGM đã được trình bày bởi Birman và Byrd [11] và các bài toán
dao động của dầm FGM được nghiên cứu trong nhiều cơng trình, ví dụ như [14,
19, 33, 37, 57, 58]. Ở đây những vấn đề cơ bản của dao động riêng, dao động
cưỡng bức, thậm chí là dao động phi tuyến của dầm FGM đã được giải quyết khá
trọn vẹn. Gần đây, mơ hình vết nứt trong dầm FGM và dao động của các dầm
FGM chứa các vết nứt đã được quan tâm nghiên cứu cả lý thuyết lẫn ứng dụng
[8]. Các phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Rayleigh-Ritz hay phương
pháp độ cứng động đều đã được phát triển để nghiên cứu kết cấu dầm FGM.
Nhưng bài toán dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp chứa vết nứt vẫn
chưa được quan tâm nghiên cứu, mặc dù bài toán dao động của dầm đồng nhất
liên tục nhiều nhịp đã được nghiên cứu khá chi tiết. Vì vậy, vấn đề đặt ra là
nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt.
Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên
cứu dao động của dầm liên tục (đồng nhất và FGM) có vết nứt làm cơ sở để chẩn
đoán vết nứt trong dầm bằng phương pháp rung động.

1


Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là dầm Timoshenko có nhiều gối cứng
và chứa các vết nứt. Dầm được giả thiết là có tiết diện đều, làm từ vật liệu FGM
với quy luật biến đổi theo hàm lũy thừa. Vết nứt được giả thiết là luôn mở (vết
nứt cạnh), khơng phát triển và có thể mơ tả bằng hai lị xo dọc trục và xoắn với
độ cứng tính được từ độ sâu của vết nứt theo lý thuyết cơ học phá hủy.
Phương pháp nghiên cứu là phương pháp ma trận truyền (giải tích) được
minh họa bằng các kết quả số nhận được nhờ Matlab.
Nội dung và bố cục của luận án bao gồm:
Chương 1 tổng quan về vật liệu FGM, dao động của dầm liên tục đồng nhất
có gối cứng; dầm đồng nhất có vết nứt; mơ hình dầm FGM và dao động của dầm

đơn FGM có vết nứt để từ đó rút ra vấn đề nghiên cứu cho luận án.
Chương 2 trình bày về cơ sở phương pháp ma trận truyền. Phương pháp ma
trận truyền cổ điển và cải biên. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao
động riêng của dầm liên tục đồng nhất.
Chương 3 trình bày mơ hình dầm liên tục đồng nhất có vết nứt; sự phát triển
phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục đồng nhất có vết nứt và nghiên cứu
ảnh hưởng của gối cứng và vết nứt đến tần số riêng của dầm đồng nhất liên tục.
Chương 4 trình bày mơ hình dầm FGM có vết nứt; thiết lập các phương
trình cơ bản của dầm FGM, lời giải tổng qt bài tốn dao động của dầm FGM
có vết nứt trong miền tần số. Áp dụng phương pháp ma trận truyền để nghiên
cứu ảnh hưởng của gối cứng trung gian đến tần số của dầm FGM có vết nứt.
Kết luận trình bày các kết quả chính của luận án như sau: (a) Đã phát triển
phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động của FGM liên tục, nhiều
nhịp có vết nứt tránh được thuật toán xác định phản lực tại các gối trung gian
như trong phương pháp ma trận truyền cổ điển; (b) Đã nghiên cứu ảnh hưởng
của gối trung gian đến tần số riêng của dầm đồng nhất có vết nứt và phát hiện ra
rằng gối cứng trung gian làm xuất hiện một số tần số không phụ thuộc vào điều
kiện biên, được gọi là tần số gối; (c) Đã nghiên cứu ảnh hưởng của gối trung

2


gian, vị trí và độ sâu vết nứt, các tham số vật liệu FGM đến tần số riêng của dầm
FGM liên tục có vết nứt.
Tài liệu tham khảo bao gồm 70 tài liệu đã được trích dẫn trong luận án.
Các kết quả chính của luận án đã được cơng bố trong 5 cơng trình nghiên cứu,
trong đó 01 trên tạp chí ISI, 01 bài trên Tạp chí Cơ học; 01 bài trong tuyển tập Hội
nghị khoa học quốc tế và 02 bài trong Tuyển tập Hội nghị khoa học quốc gia.

3



CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Vật liệu FGM và ứng dụng
Vật liệu Composite hiện đang được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành
công nghiệp tiên tiến trên thế giới như: hàng không, vũ trụ; đóng tàu; ơ tơ, cơ
khí, xây dựng, đồ gia dụng... do có nhiều ưu điểm nổi trội so với kim loại: nhẹ,
độ bền, mô đun đàn hồi cao, khả năng cách nhiệt, cách âm tốt. Vật liệu
Composite là loại vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều pha vật liệu khác nhau,
có tính chất rất khác nhau. Vật liệu composite lớp là loại được sử dụng phổ biến,
những lớp vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn kết với nhau nhằm nâng cao đặc tính
cơ học. Tuy nhiên, sự thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa
các lớp dễ phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này gây tách lớp. Một trong
những giải pháp khắc phục nhược điểm này của vật liệu composite lớp là sử
dụng vật liệu có cơ tính biến thiên - Functionally Graded Materials (FGMs).
Vật liệu FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên
tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thường gặp
trong các loại composite lớp. Sự thay đổi dần dần đặc tính của vật liệu sẽ làm
giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư; Vật liệu FGM là một tổ
hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, Mg 2Si, gốm, Ni,
Cr, Co, Al…) phân bố trong môi trường vật liệu theo một trật tự nhất định.
Đặc biệt, trong một số trường hợp bề mặt chịu nhiệt độ cao như bề mặt của
tàu không gian – máy bay ước tính có thể đạt tới 2100 K. Do đó, vật liệu ở bề
mặt phải chịu được nhiệt độ cao tới 2100 K và sự chênh lệch nhiệt độ có thể lên
tới 1600 K, trong trường hợp này thường sử dụng các vật liệu gốm chịu nhiệt ở
bề mặt nhiệt độ cao và các loại thép có độ bền cao với độ dẫn nhiệt cao ở bề mặt
có nhiệt độ thấp tạo ra sự biến thiên dần dần từ gốm tới kim loại. Do đó FGMs là
loại vật liệu được bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất,
các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ


4


các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu FGMs dễ tạo ra các kết
cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn
định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động.
Tuỳ thuộc vào quy luật phân bố các maxel trong không gian khối vật liệu, ta
chế tạo được các loại vật liệu FGM khác nhau. Mỗi loại vật liệu FGM này có chỉ
tiêu cơ-lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu (hàm đặc trưng) xác định,
giá trị của hàm thay đổi theo chiều dày. Sử dụng quy luật tốn học của hàm
thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu. Xét một tấm hình chữ nhật làm
bằng vật liệu FGM như hình vẽ.
Vật liệu FGM
E = E(z), G = G(z),  = (z)

x

h/2
h/2
y

z

Hình 1.1. Sơ đồ hình học một tấm vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều dày
Hàm đặc trưng cho các đặc trưng vật liệu của tấm được biểu diễn như sau [11]:
𝑉(𝑧) = 𝑉𝑏 + (𝑉𝑡 − 𝑉𝑏 )𝑔(𝑧)

(1.1)


Trong đó 𝑉(𝑧) biểu diễn các đại lượng E, G,  và các chỉ số dưới b và t ký
hiệu các pha vật liệu khác nhau (b – vật liệu ở mặt dưới và t – vật liệu ở mặt
trên). Hàm 𝑔(𝑧) mơ tả tỷ lệ thể tích của các pha vật liệu khác nhau được sử dụng
để phân loại các vật liệu FGM như sau. Hiện tại người ta phân biệt 3 loại cơ bản
sau đây:
a) Loại P-FGM
Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm luỹ thừa:
ℎ⁄2+𝑧 𝑛

𝑔(𝑧) = (
trong đó:

ℎ

)

(1.2)

n là chỉ số phân bố vật liệu, không âm:
z là toạ độ điểm nghiên cứu: −ℎ⁄2 ≤ 𝑧 ≤ ℎ⁄2

5


b) Loại S-FGM
Hàm tỷ lệ thể tích được giả thiết tuân theo quy luật hàm Sigmoid (sử dụng 2
quy luật hàm mũ cho 2 miền):
𝑔1 (𝑧) = 1 −

1 ℎ⁄2−𝑧 𝑛

2

(

ℎ ⁄2

1 ℎ⁄2+𝑧 𝑛

𝑔2 (𝑧) = (
2

ℎ ⁄2

)

)

với

0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ ⁄2

với −ℎ⁄2 ≤ 𝑧 ≤ 0

(1.3)
(1.4)

c) Loại E-FGM
Mô đun đàn hồi của loại vật liệu FGM này được giả thiết tuân theo quy luật
hàm số mũ [42] (hàm e mũ):
𝐸 (𝑧) = 𝐸𝑡 𝑒 −𝛿(1−2𝑧⁄ℎ) ,


𝛿=

1
2

ln

𝐸𝑡
𝐸𝑏

(1.5)

Vật liệu FGM có thể được ứng dụng đối với hầu hết các lĩnh vực vật liệu.
Ví dụ như các hệ thống giao thông, các hệ thống biến đổi năng lượng, dụng cụ
cắt, bộ phận máy móc, chất bán dẫn, quang học và các hệ thống sinh học. Các
ứng dụng trong ngành hàng không vũ trụ, năng lượng hạt nhân yêu cầu độ tin
cậy cao trong khi đó trong các ứng dụng khác như các dụng cụ cắt, các trục cán
nhiệt độ cao và các chi tiết máy lại yêu cầu về độ mài mòn, nhiệt, va chạm, và độ
ăn mòn.
1.2. Dao động của dầm liên tục (dầm có gối trung gian)
Dầm liên tục nhiều nhịp là một mơ hình kết cấu được sử dụng nhiều trong
kỹ thuật cầu và cơ khí chế tạo. Phân tích động lực học kết cấu dạng này là rất
quan trọng và đã được quan tâm nghiên cứu từ rất lâu. Bài toán cơ bản của động
lực học dầm liên tục nhiều nhịp là bài tốn tính tốn tần số và dạng dao động
riêng. Việc nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí và số lượng gối trung gian đến tần
số dao động riêng của dầm liên tục nhiều nhịp đóng vai trị quan trọng trong việc
thiết kế tối ưu kết cấu dầm liên tục nhiều nhịp. Hơn nữa chính tần số riêng và
dạng dao động riêng là cơ sở để giải bài toán dao động cưỡng bức dưới tác dụng
của các tải trọng khác nhau. Vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu dầm liên

tục nhiều nhịp là mô phỏng xử lý các gối cứng trung gian. Lúc đầu, người ta coi
đó là các gối đàn hồi với độ cứng rất lớn [41-42]. Sau đó, bài tốn dao động của
6


dầm liên trục với gối cứng trung gian được giải quyết bằng phương pháp
Rayleigh-Ritz [70] sử dụng các hàm thử là đường cong biến dạng tĩnh. Saeedi và
Bhat [52] lại giải quyết bài tốn bằng cách giải phóng gối cứng và thay bằng một
lực tập trung tại các gối, lúc này ta được bài toán dao động của dầm với các lực
tập trung tại các gối. Các lực tập trung (thực chất là phản lực của gối) được tính
từ điều kiện chuyển vị triệt tiêu tại các gối. Zheng [68] lại có cách tiếp cận riêng:
ơng ta tìm dạng dao động của dầm liên tục có gối cứng trung gian bằng tổng của
dạng dao động riêng của dầm tự do (khơng có gối trung gian) với một đa thức
bậc 3 (biến dạng tĩnh) với các hệ số được tính từ điều kiện chuyển vị bằng 0 tại
các gối. Đây hiển nhiên là dạng riêng gần đúng được tác giả sử dụng để nghiên
cứu dao động của dầm liên tục nhiều nhịp chịu tác dụng của lực di động.
Ichikawa và cộng sự [26] đã xây dựng được dạng riêng chính xác cho dầm liên
tục nhiều nhịp gối tựa hai đầu và đã sử dụng để nghiên cứu đáp ứng của dầm liên
tục nhiều nhịp dưới tác dụng của khối lượng di động. Các tác giả của các công
bố [60, 64, 65] đã nghiên cứu dầm Timoshenko liên tục nhiều nhịp với nhiều hệ
lò xo – khối lượng tập trung. Henchi và cộng sự [25] và Azizi [9] đã phát triển
phương pháp độ cứng động hay còn gọi là phương pháp phần tử phổ để nghiên
cứu dầm liên tục nhiều nhịp chịu tác dụng của tải trọng di động. Gần đây, Liu và
cộng sự [43] đã nghiên cứu dao động của dầm liên tục nhiều nhịp có vết nứt dựa
trên phương pháp ma trận truyền có kể đến chuyển vị bằng 0 tại các gối trung
gian. Tuy nhiên, ở cơng trình cuối tác giả vẫn sử dụng ma trận truyền qua cả gối
và vết nứt, do đó ma trận truyền sẽ rất phức tạp địi hỏi khối lượng tính tốn
nhiều nếu trong một nhịp có nhiều vết nứt. Hơn nữa các tác giả cuối chưa nghiên
cứu chi tiết ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến các tần số riêng và ảnh hưởng của vị
trí gối trung gian đến tần số của dầm liên tục có vết nứt.

1.3. Dao động của dầm có vết nứt
1.3.1. Dầm đồng nhất có vết nứt
Hư hỏng của kết cấu được hiểu là sự thay đổi các tính chất vật lý (vật liệu,
liên kết, …) và hình học (kích thước, hình dáng, …) của kết cấu so với trạng thái

7


ban đầu được gọi là kết cấu nguyên vẹn. Hư hỏng kết cấu nói chung được mơ tả
bởi hai tham số: vị trí và mức độ hư hỏng. Ví dụ, vết nứt là dạng hư hỏng điển
hình của kết cấu, được đặc trưng bởi hai tham số là vị trí và kích thước của nó.
Bài tốn cơ bản đầu tiên về vấn đề này được nghiên cứu bởi Adams và các
cộng sự [6], ở đó ơng đã nghiên cứu trường hợp một thanh đàn hồi có khuyết tật
(suy giảm độ cứng cục bộ) được mơ tả bằng một lị xo dọc trục và xây dựng
được phương trình để xác định vị trí hư hỏng từ số liệu đo tần số riêng. Liang
cùng với cộng sự [38] đã phỏng đoán dạng tổng quát của phương trình tần số cho
dầm đàn hồi có vết nứt được mơ tả bằng một lị xo xoắn với độ cứng tính được
từ độ sâu vết nứt. Morassi [45] thiết lập được phương trình nhiễu cho tần số
riêng của dầm có một vết nứt có độ cứng thay đổi. Narkis [46] tìm được nghiệm
giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu đo hai tần số riêng trong trường hợp điều
kiện biên gối tựa đơn. Nguyễn Tiến Khiêm và Đào Như Mai [47] đã nghiên cứu
chi tiết sự thay đổi của tần số phụ thuộc vào vị trí và độ sâu vết nứt trong các
trường hợp điều kiện biên khác nhau. Nói chung trong trường hợp dầm có một
vết nứt, việc chẩn đốn vết nứt được tiến hành chủ yếu sử dụng số liệu đo của
tần số riêng và bài toán đã được nghiên cứu giải quyết trên nhiều phương diện
khác nhau.
Vấn đề trở nên phức tạp hơn khi số lượng vết nứt tăng lên, đặc biệt với số
lượng vết nứt chưa biết. Bằng phương pháp cổ điển Ostachowicz và Krawczuk
[50] thiết lập được phương trình tần số của dầm có hai vết nứt ở dạng định thức
cấp 12×12 và sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của các vết nứt khác nhau đến

tần số của dầm. Nếu vẫn sử dụng phương pháp truyền thống nêu trên, phương
trình tần số của dầm có n vết nứt địi hỏi phải tính định thức cấp 4(n+1), một
cơng việc tốn rất nhiều thời gian và tích lũy sai số tính tốn lớn. Shifrin và
Ruotolo [55], biểu diễn vết nứt như sự thay đổi cục bộ độ cứng của dầm được
mô tả bằng hàm Delta Dirac và nhận được phương trình tần số của dầm có n vết
nứt ở dạng định thức cấp (n+4) (nghĩa là nếu dầm có 2 vết nứt thì chỉ cần tính

8


định thức cấp 6×6). Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên [29] sử dụng phương
pháp ma trận truyền để thiết lập phương trình tần số của dầm có n vết nứt ở dạng
định thức cấp 4×4. Điều này giảm đáng kể khối lượng tính tốn khi phân tích tần
số riêng của dầm có nhiều vết nứt. Cademi và Calio [12] đã xây dựng được biểu
thức nghiệm tổng quát chính xác cho bài tốn dao dộng riêng của dầm có nhiều
vết nứt. Tuy nhiên biểu thức nghiệm tổng quát này vẫn chứa hàm suy rộng Delta
Dirac nên khó sử dụng để tính tốn số. Gần đây, Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự
[1, 32] đã xây dựng được biểu thức nghiệm tổng quát cho bài toán dao động
riêng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt, đơn giản và thuận tiện hơn nhiều lời giải
của Cademi và Calio. Đặc biệt là có thể sử dụng như hàm dạng để áp dụng
phương pháp ma trận truyền hay phương pháp phần tử liên tục.
1.3.2. Dầm FGM có vết nứt
Cơ sở khoa học cho việc mơ phỏng, tính tốn kết cấu FGM đã được trình
bày trong [11, 24]. Các phương pháp phân tích động lực học kết cấu FGM đã
được phát triển trong các công bố [13, 14, 19, 36, 37, 56, 57, 58, 59, 69]. Gần
đây, do nhu cầu của thực tế, các vấn đề về vết nứt trong kết cấu composite nói
chung và kết cấu FGM nói riêng đã được quan tâm nghiên cứu. Cơ sở khoa học
cho các nghiên cứu này đã được trình bày trong các tài liệu [20, 22, 27]. Những
kết quả nghiên cứu này đã chỉ ra rằng vết nứt cạnh, mở trong phần tử dầm FGM
có thể được mơ tả bằng các lị xo tương đương với các độ cứng được tính theo lý

thuyết phá hủy của FGM tại mặt cắt chứa vết nứt. Dựa trên cơ sở này, các
phương pháp truyền thống trong nghiên cứu dao động, ổn định của dầm FGM có
vết nứt đã được phát triển và đã đạt được những kết quả cơ bản như sau. Yang và
Chen [63] đã tính được các tần số riêng của dầm Euler-Bernoulli làm từ vật liệu
dạng E-FGM bằng phương pháp giải tích truyền thống và chỉ ra rằng tần số của
dầm FGM sẽ nhạy cảm với vết nứt hơn khi mô đun đàn hồi của vật liệu ở mặt
đáy nhỏ hơn mô đun đàn hồi của vật liệu ở mặt trên. Các tác giả của công bố
[28] đã nghiên cứu dầm Timoshenko có vết nứt và đã cho thấy rằng tần số riêng

9


của dầm FGM sẽ nhạy cảm hơn với vết nứt khi độ mảnh (L/h) của dầm giảm.
Aydin [8] đã nhận được phương trình tần số của dầm FGM có số lượng vết nứt
bất kỳ ở dạng định thức cấp 3 và đã chứng tỏ rằng tồn tại trên dầm FGM những
vị trí mà vết nứt xuất hiện tại đó khơng làm thay đổi một tần số nào đó. Các điểm
này, tương tự như trong dầm đồng nhất được gọi là các điểm nút tần số. Matbuly
và cộng sự [44] đã phát triển phương pháp cầu phương vi phân (differential
quadrature method) để nghiên cứu dao động của dầm FGM Timoshenko và đã
phát hiện ra sự thay đổi đột ngột của dạng dao động riêng tại vị trí vết nứt, một
dấu hiệu quan trọng để chẩn đoán vết nứt bằng dao động. Sherafatnia và cộng sự
[54] đã nghiên cứu dầm FGM có vết nứt sử dụng các lý thuyết dầm khác nhau và
đã chỉ ra rằng lý thuyết dầm Timoshenko cho kết quả phù hợp với thực nghiệm
hơn các lý thuyết dầm khác. Nếu các kết quả nghiên cứu trên nhận được bằng
phương pháp giải tích, thì Gan và các cộng sự [21, 35] đã áp dụng phương pháp
phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục nhiều nhịp chịu
tải trọng di động. Akbas [7] đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn để
nghiên cứu dao động của dầm FGM Euler-Bernoulli và Banerjee và cộng sự [10]
cho dầm FGM Timoshenko có vết nứt.
1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu

Yu và Chu [66] đã cho thấy việc sử dụng các hàm dạng bậc cao, gọi là
phiên bản p (p-version) của phương pháp phần tử hữu hạn, có thể nâng cao độ
chính xác trong việc tính tốn tần số riêng của dầm FGM có vết nứt. Tuy nhiên,
dù có thể cải thiện đến mức độ nào thì việc sử dụng các đa thức làm hàm dạng
như trong phương pháp phần tử hữu hạn vẫn không thể đạt được kết quả giống
như giải tích. Điều này chỉ có thể đạt được bằng phương pháp độ cứng động
(DSM), ở đó các hàm dạng là nghiệm đúng của bài toán dao động riêng, phụ
thuộc vào tần số dao động riêng của kết cấu. Phương pháp độ cứng động đã được
phát triển cho dầm FGM bởi Azizi và cộng sự [9]; Su và Banerjee [59] và gần
đây đã được phát triển bởi Trần Văn Liên và cộng sự [40-41] để nghiên cứu dầm

10


FGM có vết nứt. Mặc dù đã cải thiện được độ chính xác và số lượng các tần số
có thể tính được với số lượng bậc tự do tối thiểu so với phương pháp phần tử
hữu hạn, kích thước của ma trận độ cứng động vẫn lớn khi áp dụng cho dầm liên
tục có nhiều gối trung gian. Trong trường hợp này, phương pháp ma trận truyền
lại tỏ ra rất hữu hiệu, bởi vì nó cho phép ta bỏ qua các bậc tự do ở các nút trung
gian bằng việc tính ma trận truyền từ nút đầu đến nút cuối. Như vậy, ta chỉ cần
đến các bậc tự do ở nút đầu và nút cuối và do đó ma trận tính tốn chỉ có kích
thước tối thiểu (thường là 2x2). Ý tưởng này đã được phát triển trong [29] để
tính tần số riêng của dầm đồng nhất có số lượng vết nứt bất kỳ. Phương pháp ma
trận truyền cổ điển đã được phát triển cho dầm FGM không nứt (nguyên vẹn)
bởi Lee và Lee [36] và cho dầm FGM có vết nứt trong [54, 61]. Các tác giả cuối
đã khẳng định rằng độ mảnh của dầm và mô đun đàn hồi ảnh hưởng nhiều hơn
đến dao động riêng của dầm FGM so với sự xuất hiện vết nứt.
Dựa trên những phân tích nêu trên, phương pháp ma trận truyền đã
được phát triển trong luận án này để nghiên cứu dầm liên tục đồng nhất và
FGM có vết nứt.

Nội dung chính của luận án được trình bày trong 4 Chương:
Chương một tổng quan về vật liệu FGM, dao động của dầm đồng nhất và
dầm FGM có vết nứt và đặt vấn đề nghiên cứu.
Chương hai trình bày về cơ sở phương pháp ma trận truyền. Phương pháp
ma trận truyền cổ điển và cải biên. Ảnh hưởng của gối trung gian đến tần số dao
động riêng của dầm liên tục đồng nhất.
Chương ba nghiên cứu dao động của dầm liên tục đồng nhất có vết nứt.
Ảnh hưởng của gối trung gian và vị trí vết nứt đến tần số dao động riêng của
dầm liên tục đồng nhất.
Chương bốn nghiên cứu dao động của dầm liên tục FGM có vết nứt sử
dụng phương pháp ma trận truyền cải biên.
Những điểm mới về phương pháp và nội dung nghiên cứu trong luận án
này so với các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố như sau:

11


(1) Thứ nhất, đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động
của dầm đồng nhất và dầm FGM liên tục có vết nứt, tránh được việc tính tốn
phản lực chưa biết tại các gối cứng.
(2) Thứ hai, đã áp dụng hàm dạng dao động tổng quát của dầm FGM có vết nứt,
dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, sử dụng mơ hình hai lị xo (dọc trục và
quay) và có tính đến vị trí thực của trục trung hòa của dầm FGM để phát triển
phương pháp ma trận truyền cải biên cho dầm FGM liên tục có nhiều vết nứt.
(3) Thứ ba, đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của vị trí gối trung gian, các tham
số vết nứt và các đặc trưng vật liệu FGM đến tần số riêng của dầm hai và ba
nhịp. Đặc biệt là phát hiện ra các tần số giống nhau cho các trường hợp điều kiện
biên khác nhau, đặc trưng cho sự có mặt của các gối trung gian, do đó các tần số
này được gọi là các tần số gối.
Kết luận chương 1

Trong Chương này đã trình bày tổng quan và những kiến thức cơ bản về:
Vật liệu FGM và dao động của dầm FGM; những nghiên cứu cổ điển về dao
động của dầm đồng nhất liên tục; mơ hình và dao động của dầm có vết nứt làm
cơ sở để đặt vấn đề nghiên cứu dao động của dầm FGM liên tục có vết nứt.
Ngồi ra, ở đây cũng chỉ ra rằng để tính tốn tần số riêng của dầm liên tục đồng
nhất hay FGM, phương pháp ma trận truyền là công cụ tốt nhất, kể cả so với
phương pháp độ cứng động lực. Bởi vì, thứ nhất, phương pháp ma trận truyền là
một phương pháp chính xác và thứ hai, phương pháp ma trận truyền cho phép ta
nhận được phương trình tần số ở dạng định thức cấp 2, tính được bằng giải tích.
Tuy nhiên, phương pháp ma trận truyền cổ điển áp dụng cho dầm liên tục vẫn bị
hạn chế bởi sự cần thiết phải tính phản lực gối. Do đó, vấn đề đặt ra cho luận án
là phát triển phương pháp ma trận truyền để tính tốn dao động của dầm liên tục
có vết nứt, khơng cần phải tính phản lực tại các gối trung gian.

12


CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN

Trong Chương này tác giả trình bày nội dung chính của phương pháp ma
trận truyền cổ điển áp dụng để tính tốn tần số riêng của dầm liên tục đồng nhất
với một hạn chế là cần đến một thuật toán xác định phản lực gối trung gian trước
khi tính tốn tần số dao động riêng. Từ đó đề xuất một cải tiến phương pháp ma
trận truyền để tránh việc tính tốn phản lực gối. Ý tưởng của sự cải tiến này là sử
dụng điều kiện độ võng bằng 0 tại các gối để khử hai trong bốn hằng số chưa
biết của hàm dạng dao động. Do đó chỉ cần sử dụng hai điều kiện liên tục của
góc xoay và mơ men uốn tại gối để thiết lập mối liên hệ giữa góc xoay và mô
men uốn của hai nhịp liền kề phục vụ việc xây dựng ma trận truyền tổng thể cho
dầm liên tục. Áp dụng phương pháp ma trận truyền cải biên này bao gồm các
bước chính như sau: một là xác định hàm dạng dao động tổng quát của một đoạn

dầm giữa hai gối liền nhau; hai là sử dụng điều kiện đã biết tại gối khử hai hằng
số chưa biết để nhận được hàm dạng dao động chỉ chứa hai hằng số chưa biết và
ba là sử dụng hàm dạng dao động rút gọn để thiết lập ma trận truyền giữa các
nhịp của dầm liên tục.
2.1. Cơ sở phương pháp ma trận truyền
Phương pháp ma trận truyền [4-5] là một công cụ được sáng chế ra lúc đầu
để nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng, sóng điện từ hay sóng âm. Tuy nhiên sau
này nó được áp dụng rộng rãi trong phân tích các hệ thống động lực học nói
chung và kết cấu cơng trình nói riêng. Đây là một phương pháp chính xác để tính
tốn các đặc trưng động lực học kết cấu cơng trình. Cơ sở khoa học của phương
pháp như sau:
+ Trước tiên ta đưa vào một véc tơ trạng thái {𝑺} mô tả trạng thái làm việc của
một đối tượng tại một vị trí trong kết cấu hoặc một thời điểm cụ thể.
+ Sau đó bằng các lý thuyết đã có về đối tượng, xây dựng mối liên hệ giữa hai
trạng thái bất kỳ khác nhau {𝑺(𝒏)}, {𝑺(𝒏 + 𝟏)} của đối tượng, nói chung được
mơ tả bằng một phương trình đại số tuyến tính
{𝑺(𝒏 + 𝟏)} = [𝐓(𝒏)]{𝑺(𝒏)}

(2.1)

13