ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TRẦN QUYỀN

HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TRẦN QUYỀN

HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn
TS. LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng - 2021

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan

3

Lời cảm ơn

4

Mở đầu

5

Chương 1. Một số tính chất của hàm biến đổi chậm
1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định lí biểu diễn của hàm biến đổi chậm
1.1.2 Giới hạn của hàm biến đổi chậm . . . . .
1.1.3 Tích phân của hàm biến đổi chậm . . . .
1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm .
1.1.5 Hàm ngược của hàm biến đổi chậm . . .
1.2 Định lí Tauberian . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phép biến đổi Laplace - Stieltjes . . . . .
1.2.2 Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Phép biến dổi fourier . . . . . . . . . . .
1.2.5 Biến đổi Fourier - Stieltjes . . . . . . . .
Chương 2. Ứng dụng của hàm biến đổi chậm

2.1 Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm
2.1.1 Hàm momen và điểm vi phân .
2.1.2 Tổng hữu hạn . . . . . . . . . .
2.1.3 Tổng có trọng số . . . . . . . .
2.1.4 Tổng ngẫu nhiên . . . . . . . .
2.1.5 Tích hai biến ngẫu nhiên . . . .
2.2 Ứng dụng trong lí thuyết rủi ro . . . . .
2.3 Ước lượng mơ hình hồi quy phi tham số
2.3.1 Giới thiệu và đánh giá . . . . .
2.3.2 Kết quả chính . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

8
8
8
9
10
14
15
16
16
18
19

28
30

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

32
32
32
35
37
39
41
42
43
44
45


2

2.3.3


Ví dụ và mơ phỏng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

55

Quyết định giao đề tài (bản sao)

59


3

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kì cơng trình
nào khác.
Tác giả

Nguyễn Trần Quyền





4

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu
sắc tới Giảng viên - TS. Lê Văn Dũng, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo
tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể các thầy cơ
giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Viện Toán học đã truyền thụ cho
tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng
góp q báu trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên
tơi trong suốt q trình làm luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng,ngày 08 tháng 08 năm 2021
Người viết luận văn

Nguyễn Trần Quyền


5

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hàm biến đổi chậm là một trường hợp riêng của hàm phân chính quy có nhiều
ứng dụng trong xác suất thống kê. Một trong ứng dụng của nó là lý thuyết giá trị
cực trị. Sự liên hệ của chúng đã được đề cập bởi nhà toán học như Feller (1971),
Sidney (1987), Bingham et al (1989), De Haan và Ferreira (2006),...
Hơn nữa, hiện nay việc nghiên cứu về bộ nhớ dài (hay sự phụ thuộc tầm xa)

trong các q trình ngẫu nhiên thơng qua mơ hình hố bằng hàm biến đổi chậm
là một lĩnh vực quan trọng của xác suất thống kê. Ngoài ra chúng cịn có những
ứng dụng nhất định trong thuỷ học, tài chính hay các mơ hình viễn thơng.
Hàm biến đổi chậm khơng chỉ có sự liên hệ với lý thuyết cực trị và bộ nhớ dài
mà còn nhiều ứng dụng trong lý thuyết rủi ro hay trong các định lí giới hạn. Vì
thế, trong luận văn này tơi sẽ đề cập đến khái niệm cơ bản, tính chất của hàm
biến đổi chậm và một số ứng dụng của nó trong giải tích ngẫu nhiên.
Với những lí do trên, tơi chọn đề tài "Hàm biến đổi chậm và một số ứng dụng"
để thực hiện luận văn của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu các vấn đề về liên quan đến hàm biến đổi chậm và ứng dụng trong
xác suất thống kê.
• Tổng hợp và nêu ra một số ứng dụng tiêu biểu của hàm biến đổi chậm trong
lĩnh vực xác suất thống kê.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Định nghĩa và một số tính chất liên quan đến các vấn đề như giới hạn, tích
phân hay mật độ của hàm biến đổi chậm.


6

• Các định lí Tauberian trong các phép biến đổi Laplace, Fourier và chuỗi
hàm của phép biến đổi chậm.
• Các ứng dụng của hàm biến đổi chậm trong ngành giải tích ngẫu nhiên.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến hàm biến đổi chậm, hàm biến
đổi chính quy.
• Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dung
cần thiết đưa vào luận văn.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến

của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài này có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo giành cho giảng viên đại
học, sinh viên ngành toán và nhân viên là việc trong các lĩnh vực xác suất thống
kê, dữ liệu lớn tìm hiểu về nội dung này.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn dự kiến được chia thành hai
chương
Chương 1. Một số tính chất của hàm biến đổi chậm
1.1. Lý thuyết hàm biến đổi chậm
1.1.1. Định lý biểu diễn của hàm biến đổi chậm
1.1.2. Giới hạn của hàm biến đổi chậm
1.1.3. Tích phân của hàm biến đổi chậm
1.1.4. Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm
1.1.5. Hàm ngược của hàm biến đổi chậm
1.2. Định lý Tauberian


7

1.2.1. Phép biến đổi Laplace-Stieltjes
1.2.2. Chuỗi luỹ thừa
1.2.3. Chuỗi Fourier
1.2.4. Phép biến đổi Fourier
Chương 2. Ứng dụng hàm biến đổi chậm
2.1. Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm
2.2. Ứng dụng trong lí thuyết rủi ro
2.3. Hội tụ theo xác suất với ước lượng mơ hình hồi quy phi tham
số với sai số ngẫu nhiên độc lập đôi một và co xác suất đuôi
nặng



8

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM

1.1
1.1.1

Lý thuyết hàm biến đổi chậm
Định lí biểu diễn của hàm biến đổi chậm

Định nghĩa 1.1.1. Hàm số đo được f (x) xác định trên khoảng mở I của (0; +∞) được
gọi là hàm biến phân chính quy ở vơ cùng cấp α, kí hiệu f ∈ RV∞ (α), nếu tồn tai giới
hạn
lim

f (tx)
= xα ,
f (x)

∀x ∈ (0; +∞).

(1.1)

lim

f (tx)

= 1,
f (x)

∀x ∈ (0; +∞),

(1.2)

t→∞

Nếu α = 0, tức là
t→∞

thì hàm f được gọi là biến phân chậm tại +∞ hay còn được gọi là hàm biến đổi
chậm, ký hiệu f ∈ RV∞ (0) hoặc f ∈ SV∞ .
Mệnh đề 1.1.1. Cho α = 0 và f ∈ RV∞ (α). Khi đó tồn tại một hàm biến đổi chậm
(x) sao cho f (x) = xα (x).
Định lí 1.1.2. Cho là hàm biến đổi chậm xác định trên (0; +∞), khi đó tồn tại x0 và
hàm số c và η xác định trên [x0 ; ∞) sao cho
lim c(x) = c∗ ∈ (0; ∞),

x→∞

lim η(x) = 0,

x→∞

và với mọi x ≥ x0 thì

x


(x) = c(x)e

x0

η(s)
ds
s
.

Hàm số c và η có thể được theo cách trên sao cho η có đạo hàm mọi cấp.


9

Hệ quả 1.1.3. Hàm f khả vi liên tục thì biến phân chính quy tại ∞ với hệ số α ∈ R
khi và chỉ khi
x. (x)
= α,
x→∞ (x)
lim

nếu f ∈ RV∞ (α) và ρ = 0.

1.1.2

Giới hạn của hàm biến đổi chậm

Mệnh đề 1.1.4. Cho ∈ SV∞ , khi đó với mọi ε > 0 thì
lim xε (x) = ∞,


x→∞

lim x−ε (x) = 0,

x→∞

log (x)
= 0.
x→∞ log(x)
lim

Bổ đề 1.1.5. Cho f được xác định trên [a; ∞) sao cho tồn tại lim f (x) và g là hàm
x→∞

∞

g(x)dx = ∞. Khi đó

khơng giảm với
a

x
a

lim

x→∞

f (x)g(x)dx
= lim f (x).

x
x→∞
a g(x)dx

Giới hạn này được gọi là giới hạn Potter.
Định lí 1.1.6. (Bất đẳng thức Potter)
Cho f ∈ RV∞ (α), với mọi ε > 0 và C > 1 thì tồn tại x0 sao cho với mọi y ≥ x ≥ x0 ,
C−1

y
x

α−ε

≤

f (y)
y
≤C
f (x)
x

α+ε

.

Chứng minh. Theo Định lí 1.1.2 thì hàm f có thể được biểu diễn thành
f (x) = xα c(x) (x),
với


x

(x) = e

x0

η(s)
ds
s
,

sao cho limx→∞ η(x) = 0 và limx→∞ c(x) = c ∈ (0; ∞).


10

Với mọi ε > 0, với x0 sao cho |c(x) − c| ≤ cε và |η(x)| ≤ ε khi x ≥ x0 . Do đó, nếu
y ≥ x ≥ x0 thì chúng ta có
y

f (y) c(y) y
=
f (x) c(x) x

η(s)
ds
s

α


e

x

y

c + cε y
≤
c − cε x
1+ε
≤
1−ε
1+ε
≤
1−ε

α

e

x

ε
ds
s

y
e x

y

x
y
x

α ε
α+ε

.

và chúng ta lại có
y

f (y) c(y) y
=
f (x) c(x) x

η(s)
ds
s

α

e

x

y

c − cε y
≥

c + cε x
1−ε
≥
1+ε
1−ε
≥
1+ε
Vậy với C =

1.1.3

y
x
y
x

α

e

x

α −ε

e

α−ε

−ε
ds

s

y
x

.

1+ε
> 1 thì chúng ta có điều cần chứng minh.
1−ε

Tích phân của hàm biến đổi chậm

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f và g là hai đại lượng vô cùng bé khi x → ∞, khi đó, xét
giới hạn
f (x)
= k.
x→∞ g(x)
lim

(i) Nếu k = 1 thì chúng ta nói f và g là hai vơ cùng bé tương đương. Kí hiệu là
f ∼ g.
(ii) Nếu k = 0 thì f là vơ cùng bé bậc lớn hơn g. Kí hiệu là f = O(g).


11

(iii) Nếu k = ±∞ thì f là vơ cùng bé bậc nhỏ hơn g. Kí hiệu là f = o(g).
Định lí 1.1.7. Cho ∈ SV∞ và β > 0 thì
1

x→∞ xβ (x)

x

lim

x

Hàm số x →

1

(t)t β −1 dt = lim

x→∞ x−β

a

∞

(x)

(t)t −β −1 dt =

x

1
.
β


(1.3)

t −1 (t) dt cũng là hàm biến đổi chậm tại vô cùng và

a

lim

x→∞

1
(x)

x

(t)t −1 dt = ∞.

(1.4)

a

Chứng minh. Theo Định lí 1.1.2 vì là hàm biến đổi chậm nên tồn tại hàm c và η sao
cho

x

(x) = c(x)e

x0


η(s)
ds
s
,

với
lim c(x) = c∗ ∈ (0, ∞),

x→∞

lim η(x) = 0.

x→∞

Với mọi ε > 0, b sao cho |η(x)| ≤ ε và 1 − ε ≤

c(x)
≤ 1 + ε khi x ≥ b. Khi đó với
c∗

t ≥ x ≥ b chúng ta có
t

(t)
c(t)
=
e
(x) c(x)
và


x

t

c(t)
(t)
=
e
(x) c(x)

x

t

η(s)
ds 1 + ε
s
≤
e
1−ε

η(s)
ds 1 − ε
s
≥
e
1+ε

x


t
x

ε
ds 1 + ε t
s
=
1−ε x

−ε
ds 1 − ε t
s
=
1+ε x

ε

,

−ε

.

Chúng ta lại có
1
xβ (x)

x

t β −1 (t)dt =


a

Theo Mệnh đề 1.1.4 với β > 0 lim

x→∞

0 khi x tiến ra ∞.

1
xβ (x)

xβ

b
a

x tβ

t β −1 (t)dt +
b

1
(x) = ∞. Do đó β
x (x)

(t) dt
.
xβ (x) t
b


a

t β −1 (t)dt hội tụ về


12

Với ε đủ nhỏ thì chúng ta có các bất đẳng thức sau
x t β +ε−1

x tβ

(t) dt 1 + ε
≤
1−ε
b xβ (x) t
x t β (t) dt
1−ε
≥
1+ε
b xβ (x) t

xβ −ε

b

x t β −ε−1
b


xβ −ε

dt ∼

1
1+ε
·
,
β +ε 1−ε

dt ∼

1
1−ε
·
.
β −ε 1+ε

Cuối cùng, với mọi ε > 0 đủ nhỏ, chúng ta có
1
β
x→∞ x (x)
1
lim sup β
x→∞ x (x)

x

lim inf


1
− ε,
β
1
(t)dt ≤ + ε.
β

t β −1 (t)dt ≥

a
x

t β −1

a

Từ đây chúng ta chứng minh được
1
x→∞ xβ (x)

x

lim

(t)t β −1 dt =

a

1
.

β

Tương tự chứng minh trên chúng ta có được
1

lim

x→∞ x−β

∞

(x)

(t)t −β −1 dt =

x

1
.
β

Vậy đẳng thức (1.3) được chứng minh. Tiếp theo chúng ta chứng minh giới hạn
(1.4).
Với mọi ε > 0, với x thoả mãn
1
(x)

x
a


t
a
≤ ε thì đặt s = , khi đó chúng ta có
x
x

(t)
1
dt =
t
(x)

1
a
x

1

(sx)
x ds ≥
sx

ε

(sx) ds
1
→ log .
(x) s
ε


Rõ ràng hàm số trên hội tụ đều ra ∞ khi ε → 0+ . Vậy giới hạn (1.4) đã được chứng
minh.
Đặt L(t) =

x
a

(t)t −1 dt, bây giờ chúng ta sẽ chứng minh hàm L(t) là hàm biến đổi

chậm ở vô cùng. Với t > 0 thì
L(tx)
=
L(x)

tx
a
x
a

(s)s−1 ds
= 1+
(s)s−1 ds

t
1

(sx)s−1 ds
.
L(x)


Trong quá trình hội tụ đều, chúng ta có
t
1

(sx)s−1 ds ∼ (x) logt,


13

tức là
L(tx)
(x)
∼ 1 + log(t)
→1
L(x)
L(x)
Vậy L(t) là hàm biến đổi chậm.
Định lí 1.1.8. Nếu f ∈ RV∞ (α) và f bị chặn địa phương trên [x0 ; ∞) thì với mọi β sao
cho α + β > 0, chúng ta được
x

t β d f (t) ∼
x0

α
· x f (x).
α +β

Chứng minh. Ta có
x


x
x0

t β d f (t) = xδ f (x) − x0δ f (x0 ) − δ

t δ −1 f (t)dt

x0

δ
α δ
∼ xδ f (x) −
xδ f (x) =
x f (x).
α +δ
α +δ

Định lí 1.1.9. Cho f là hàm số dương và khả tích địa phương trên các khoảng của
[x0 ; ∞).
(i) Nếu σ + ρ > −1 và
lim

x→∞

xσ + 1
= σ + ρ + 1,
x σ
x0 t f (t)dt


thì f là hàm phân chính quy tại vơ cùng với hệ số ρ.
(ii) Nếu σ + ρ < −1 và
xσ + 1
= −(σ + ρ + 1),
lim x σ
x→∞
x0 t f (t)dt
thì f là hàm phân chính quy tại vô cùng với hệ số ρ.
Chứng minh. Chúng ta sẽ đi chứng minh trường hợp (i)
f (x)
Xét g(x) = xσ +1 x σ
và x1 > x0 . Khi đó, với x > x1 và
x0 t f (t) dt
x
x1

g(t)
dt = log C−1
t

x

t σ f (t)dt ,
x0

C−1 =

x

t σ f (t) dt.

x0


14

Do đó
x

f (x) = x−σ −1 g(x)

x

t σ f (t)dt = Cx−σ −1 g(x)e

x1

g(t)
dt
t

x0
x

= Cx1−σ −1 g(x)e

x1

g(t) − σ − 1
dt
t

.

Từ lim g(x) − σ − 1 = ρ chúng ta chứng minh được f là hàm biến phân chính quy với
x→∞

hệ số ρ.
Trường hợp (ii) chứng minh hoàn toàn tương tự.

1.1.4

Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm

Định lí 1.1.10. Cho F ∈ RV∞ (α) và f khả tích đia phương trên [1; ∞) sao cho
x

F(x) =

f (t) dt.
1

Nếu f đơn diệu thì
x f (x)
= α.
x→∞ F(x)
lim

(1.5)

Hơn nữa nếu α = 0 thì f ∈ RV∞ (α − 1).
Chứng minh. Rõ ràng khi F ∈ RV∞ (α) với α = 0 thì f ∈ RV∞ (α − 1). Do đó để chứng

minh định lí trên chúng ta chỉ cần chứng minh giới hạn (1.5).
Giả sử f là hàm không giảm, khi đó với a < b chúng ta có
x f (ax) F(bx) − F(ax) x f (bx)
≤
≤
.
F(x)
(b − a)F(x)
F(x)
Do đó, với a = 1 và b = 1 + ε chúng ta lại có
lim sup
x→∞

Vậy lim sup
x→∞

x f (x) (1 + ε)α − 1
≤
≤ α(1 + ε)α .
F(x)
ε

x f (x)
≤ α.
F(x)

Tương tự chúng ta có lim inf
x→∞

x f (x)

≥ α hay giới hạn (1.5) đã được chứng minh.
F(x)


15

1.1.5

Hàm ngược của hàm biến đổi chậm

Định lí 1.1.11. Cho α > 0, f ∈ RV∞ (α) đơn điệu. Khi đó, tồn tại hàm g ∈ RV∞

1
α

sao cho
f ◦ g(x) ∼ g ◦ f (x) ∼ x.

(1.6)

Hơn nữa g có thể được chọn như là nghịch đảo liên tục trái hay liên tục phải của f .
Chứng minh. Theo Định lí 1.1.2 và Hệ quả 1.1.3 thì hàm f liên tục thì tương đương
với hàm h khả vi liên tục sao cho
xh (x)
= α.
x→∞ h(x)
lim

Do đó h dương và khả nghịch trên [x0 ; ∞).
Lấy g là hàm ngược của h và y0 = h(x0 ). Khi đó, với mọi x ≥ x0 thì

g ◦ h(x) = x,
và với mọi y ≥ y0 thì
h ◦ g(y) = y.

Hơn nữa, g là hàm biến phân chậm với chỉ số

1
khi
α

yg (y)
h(g(y))
1
=
→ .
g(y)
g(y)h (g(y))
α
Vì f ∼ g nên f ◦ g(y) ∼ y. Ngược lại, khi f ∼ h và g là hàm phân chính quy thì
g ◦ f (x) =

g(h(x)) f (x)
∼ g(h(x)).
h(x)

Do đó g ◦ f (x) ∼ x.
Để chứng minh f ← thoả mãn (1.6), vì f tương đương với nghịch đảo liên tục phải của
nó nên khơng mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng f liên tục phải. Khi đó, nghịch
đảo liên tục trái của f được xác định bởi
f ← (y) = inf {x, f (x) ≥ y} ,



16

do đó
y ≤ f ◦ f ← (y) ≤ y + ∆ f ( f ← (y)) ,
với ∆ f (x) là bước nhảy của f tại x. Chúng ta có
1−
khi đó do

y
∆ ◦ f ← (y)
≤
≤ 1,
f ◦ f ← (y)
f ◦ f ← (y)

y
tiến đến 1 nên f ◦ f ← (y) ∼ y. Vậy f ← ∼ g.
f ◦ f ← (y)

Hệ quả 1.1.12 (Liên hợp De Bruyn). Cho ∈ SV∞ , khi đó tồn tại hàm biến đổi chậm
#

sao cho
lim (x) # (x (x)) = 1.

x→∞

Ví dụ 1.1.3. Cho a, b ∈ R với ab > 0, xét f (x) = xab


a

xb . Khi đó nếu f đơn điệu

và g là nghịch đảo liên tục phải hoặc trái của f thì
1

1

# b

g(x) ∼ x ab

1.2
1.2.1

1

xa .

Định lí Tauberian
Phép biến đổi Laplace - Stieltjes

Với mọi hàm f bị chặn trên R+ , đặt
L f (s) =

∞

e−s d f (s).


0

là phép biến đổi Laplace - Stieltjes của hàm f .
Định lí 1.2.1. Cho hàm f liên tục phải và không giảm trên R+ sao cho L F(s) < ∞
với s > 0.Với α ≥ 0, f ∈ RV∞ (α) khi và chỉ khi L f ∈ RV0 (−α) và khi đó
1
x
f (x)

Lf
lim

x→∞

= Γ(1 + α).

(1.7)


17

Chứng minh. Với mọi s, x > 0
s
x
f (x)

Lf

∞


=

se−st

0

f (tx)
dt.
f (x)

Nếu f ∈ RV∞ (α),thì khi x → ∞ tích phân trên hội tụ đến se−st t α . và
∞

s

e−st t α dt = s−α Γ(1 + α).

0

Do đó để chứng minh định lí chúng ta cần một hàm hội tụ bị chặn.
f (tx)
Vì f khơng giảm, nên nếu t ≤ 1 thì
≤ 1.
f (x)
Cịn nếu t > 1, theo Định lí 1.1.7 với x đủ lớn thì
f (tx)
≤ 2t α+1 .
f (x)
Do đó, với mọi t > 0 và x đủ lớn thì chúng ta có

f (tx)
≤ 2(t ∨ 1)α+1 .
f (x)
Từ
∞

e−st (t ∨ 1)α+1 dt < ∞ với mọi s > 0,

0

áp dụng định lí hội tụ bị chặn thì giới hạn (1.7) đúng. Từ đó chúng ta suy ra được
L f ∈ RV0 (−α).
Ngược lại, nếu L f ∈ RV0 (−α) thì
Lf
lim

x→∞

xα
.
Γ(1 + α)
s
Lf
x
Mặt khác, hàm s →
1
Lf
x
định nghĩa bởi


Lf

s
x
1
x

= s−α = L g(s),

với g(x) =

là một biến đổi Laplasce của hàm không giảm gx được

gx (y) =

f (xy)
.
1
Lf
x


18

Do đó, L gx hội tụ đến L g khi x → ∞ và gx hội tụ đến g bởi định lí liên tục của biến
đổi Laplace.
Hệ quả 1.2.2. Cho α ∈ (0; 1) và F là một hàm đồng biến trên [0; ∞) sao cho F(0) = 0
và lim F(x) = 1. Khi đó 1 − F ∈ RV∞ (−α) khi và chỉ khi
x→+∞


1 − L F(t) ∈ RV0 (α).
x

Chứng minh. Đặt F¯ = 1 − F và U(x) =

¯ dt.
F(t)

0

Chúng ta có biến đổi tích phân như sau 1 − L F(t) = tL U(t).
Do đó, theo Định lí 1.2.1 thì 1 − L F ∈ RV0 (α) khi và chỉ khi U ∈ RV∞ (1 − α).
Cuối cùng theo định lí hàm mật độ đơn diệu thì điều trên tương đương với
1 − F ∈ RV∞ (−α).

1.2.2

Chuỗi luỹ thừa

Định lí 1.2.3. Cho {qn } là một dãy số thực không âm và giả sử chuỗi hàm
∞

Q(z) =

∑ q jz j,

j=0

hội tụ với mọi z ∈ [0; 1).
Cho α ≥ 0 và hàm


là hàm biến đổi chậm tại vơ cùng, khi đó các mệnh đề sau

tương đương vơi nhau
1
,
z → 1− ,
1−z
1
nα (n).
q0 + · · · + qn ∼
Γ(1 + α)
Q(z) ∼ (1 − z)−α

(1.8)
(1.9)

Hơn nữa, nếu dãy q j là dãy đơn điệu và α > 0 thì hai mệnh đề trên cịn tương đương
với
qn ∼

1 α−1
n
(n).
Γ(α)

(1.10)


19


Chứng minh. Đặt U(x) = ∑x0 q j . Khi đó
∞

Q e−t =

e−tx dU(x)

0

Do đó, Mệnh đề 1.8 tương đương với
U(x) ∼ xα

(x)
.
Γ(1 + α)

Do hội tụ đều nên u(n) ∼ U(x) với mọi x ∈ [n; n + 1], tức là Mệnh đề 1.8 tương đương
với Mệnh đề 1.9.
Cuối cùng nếu q j là dãy không giảm, đặt u(x) = q[x] , khi đó u là hàm khơng giảm,
u(x) ∼ u(n) với mọi x ∈ [n; n + 1] và
x

U(x) ∼

u(s) ds.
0

Do đó Mệnh đề 1.10 tương đương với Mệnh đề 1.8 và 1.9 với định lí hàm phân phối
đơn điệu.


1.2.3

Chuỗi Fourier

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu khai triển chuỗi Fourier tại 0 của các chuỗi
hàm lượng giác với các hệ số phân chính quy
∞

∑ c j ei jx,

j=1

với c j = j−α ( j), α > 0 và là hàm biến đổi chậm.
Nội dung chính ở phần này chúng ta quan tâm đến trường hợp 0 < α < 1 và ≡ 1 và
áp dụng cho quá trình lấy tổng. Đề làm điều này, chúng ta thu hẹp trên hàm biến đổi
chậm chấp nhận được.
Định nghĩa 1.2.1. Một hàm f được gọi là tựa đơn điệu nếu f ∈ BVloc ([0, ∞)) và với
mọi δ > 0,
x

t δ |d f (t)| = O xδ f (x) .

(1.11)

0

Một hàm f được gọi là gần đơn điệu nếu với mọi δ > 0,
x


t δ |d f (t)| = o xδ f (x) .
0

(1.12)


20

(i) Một hàm đơn điệu cũng là một hàm gần đơn điệu.
(ii) Một hàm đơn điệu biến đổi chậm cũng là hàm gần đơn điệu.
(iii) Một hàm biến đổi chậm được chuẩn hố cũng là một hàm tựa đơn điệu.
Ví dụ 1.2.2. Cho α > 0 và f ∈ RV∞ (−α) là hàm không tăng.
Đặt (x) = xα f (x) thì là một hàm biến đổi chậm và gần đơn điệu.
Thêm vào đó d (t) = αxα−1 (t) dt + xα d f (t) và với mọi δ > 0,
x

x

t δ |d (t)| ≤ α
0

x

t α+δ −1 (t)dt −

t α+δ d f (t).

0

0


Rõ ràng hai tích phân ở vế phải bất đẳng thức đều tương với

α δ
x f (x), tức thoả
α +δ

mãn đẳng thức (1.12).
Bổ đề 1.2.4. Cho là hàm tựa đơn điệu và α > 0. Khi đó
∞

j−α | ( j) − ( j + 1)| = O n−α (n) .

∑

j=n+1

Chứng minh. Do bị chặn và là hàm tựa đơn điệu nên chúng ta có
∞

∞

j−α | ( j) − ( j + 1)| ≤

∑

t −α |d (t)|,

n


j=n+1

và bây giờ chứng minh tích phân trên là O(n−α (n)).
t

sη | d (s)|. Theo giả thiết, u(t) = O(t η (t)), biểu thức tích

Với η > 0, đặt u(t) =
0

phân được biến đổi như sau
∞

∞

t −α |d (t)| =

x

t −α−η du(t)

x
∞

= x−δ −η u(x) + (δ + η)

t −δ −η−1 u(t)dt

x
∞


≤ Cx−δ (x) +C

t −δ −1 (t)dt ≤ C x−δ (x).

x

Từ đây chúng ta thấy tích phân này bị chặn.
Bổ đề 1.2.5. Với α ∈ (0; 1],
∞

∑ j−α sin( jx) ∼

j=1

π

α−1
,
απ x
2Γ(α) sin
2

x → 0+

(1.13)


21


Với α ∈ (0; 1),
∞

∑ j−α cos( jx) ∼

j=1

π

α−1
,
απ x
2Γ(α) cos
2

x → 0+

(1.14)

Chứng minh. Trước tiên chúng ta sẽ đi chứng minh các chuỗi này hội tụ hay các chuỗi
này bị chặn. Với mọi x ∈ (0; π],
n

∑ ei jx

j=1

nx
2
=

x
sin
2
sin

≤

1
π
≤ .
x
x
sin
)
2

(1.15)

n

Đặt s0 (x) = 0 và sn (x) =

∑ sin( jx).

j=1

Chúng ta lại có
m+n

∑


j−α sin( jx)

j=n
n+m

=

∑

j−α s j (x) − s j−1 (x)

j=n
n+m

=

∑ s j (x)

j−α − ( j + 1)−α + (n + m + 1)−α sn+m (x).

j=n

Từ bất đẳng thức (1.15)
m+n

∑

j−α sin( jx) ≤ 2πx−1 n−α .


j=n

Do đó chuỗi này hội tụ. Khi m → ∞, với bất kì α ∈ (0; π],
∞

∑ j−α sin( jx)

≤ πn−α x−1 .

(1.16)

j=n

Cho c j là các hệ số của sin trong khai triển Fourier của hàm f lẻ xác định trên [−π; π]
được cho bởi f (x) = xα−1 nếu x > 0.
π

cj = 2

jπ

xα−1 sin( jx)dx = 2 j−α

0

xα−1 sin(x)dx.
0

Lại có với 0 < x < 1


0

α
dx = Γ(α)e 2 .
1−α
eix

∞

x

iπ

(1.17)