Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUN
Năm học: 2021 – 2022
Mơn: TỐN (Chun Toán – Tin) – Ngày: 11/06/2021
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Đề chính thức

-------------------- oOo -------------------Bi 1. (2.0 im)

ổ x- y
ỗ
A =ỗ
ỗ
ỗ
ố x+ y

ử ổ1 1ử
x + yữ
ữ
.ỗ
- ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ

x
yứ
ố
x- yữ
ứ

1. Cho biu thc:

.

Tớnh giỏ tr biểu thức

x=

A

2021+ 2 505 y=

với

a, b, c¹ 0
2. Cho các số thực

1
Chứng minh rằng:

a+ b+ c ¹ 0

và
2021


a

+

2021- 2 505

,

1
2021

b

+

1
2021

c

=

2021

a

.

1 1 1

1
+ + =
a b c a + b+ c

thỏa mãn

1
+ b + c2021

.

2021

.

Bài 2. (2.5 điểm)
1. Cho tập hợp
lớn hơn

A

tổng của

số còn lại của tập

21

gồm

10


hợp

A

số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của

số còn lại. Biết các số

101

và

102

11

thuộc tập hợp

A

số bất kỳ
. Tìm các

.

2. Tìm tất cả các số nguyên dương

x


sao cho

x2 - x +13

là số chính phương.

Bài 3. (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình:

ìï 2 2xy- y + 2x + y = 10
ï
í
ïï 3y + 4 - 2y +1+ 2 2x - 1 = 3
ïỵ

.

Bài 4. (3.0 điểm)
Cho tam giác
khác
thẳng

B

và

MN

C


ABC

). Gọi

nội tiếp đường trịn tâm

M

,

( O)

K

là điểm bất kì thuộc cạnh

P

tại

BDP

cắt

AB

Q
,


(theo thứ tự
tại

I

(khác

B

P

,

M

,

AB

N

và

AC

BC

(

D


. Đường

Q
,

). Đường tròn

). Các đường thẳng

DI

và

AC

.

a) Chứng minh
Liên
hệ
tài
039.373.2038

,

lần lượt là trung điểm của các cạnh

cắt đường trịn


ngoại tiếp tam giác
cắt nhau tại

N

O D

4

liệu

điểm

A I

word

,

,

P

mơn

,

K

nằm trên một đường trịn.


tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

b) Chứng minh
c) Đường thẳng

IG

thẳng

CP

.

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

BC

cắt đường thẳng

CD
CE

thì tỉ số


QA PD
=
QB PK

E

tại

. Chứng minh khi

BDP
D

tại

G

(khác

P

). Đường

di chuyển trên đoạn

BC

không đổi.

Bài 5. (1.0 điểm)

Cho

a b
,

là các số dương thỏa mãn

a + 2b³ 3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9
3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3
2
P=
ab

.

----------  HẾT  ---------ĐÁP ÁN THAM KHẢO – CHUN TỐN TIN – BÌNH ĐỊNH 2021 – 2022
Bài 1. (2.0 im)

ổ x- y
ỗ
A =ỗ
ỗ
ỗ x+ y
ố

ử ổ1 1ử

x + yữ
ữ
.ỗ
- ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
x - y ứ ốx yứ

1. Cho biu thc:

.

Tớnh giá trị biểu thức

x=

A

2021+ 2 505 y=

với

,

a, b, c¹ 0
2. Cho các số thực


1
Chứng minh rằng:
1. Điều kiện:

a+ b+ c ạ 0

v
2021

a

x> 0 y> 0
;

ổ x- y
ỗ
A =ỗ
ỗ
ỗ x+ y
ố

+

2021- 2 505

1
2021

b


+

1
2021

c

=

2021

a

.

thỏa mãn

1 1 1
1
+ + =
a b c a + b+ c

1
+ b + c2021 ( *)

.

2021


.

x¹ y
và

.

ư ỉ1 1ö x - 2 xy + y- x - 2 xy - y y- x
x + yữ
4
ữ
.ỗ
- ữ
.
=
ữ=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
x- y
xy
x - y ø èx ỳ
xy

Ta có:

.


x=

2021+ 2 505 y=

Thay

2021- 2 505

,

vào biểu thức đã thu gọn, ta được:

4

A=

=

2021+ 2 505.

2021- 2 505

4
2021- 4.505

=4
.

Liên
hệ

tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

4
A=
xy
Vy

(vi

2. Ta cú:

x> 0 y> 0
;

v


xạ y

) v

A=4

khi

ỡù
ùù x =
ớ
ùù
ùợ y =

2021+ 2 505
2021- 2 505
.

b+ c
b+ c
1 1 1
1
1
1
1 1
+
=0
+ + =
+ + =0
bc

a b c a+ b+ c Û a a+ b+ c b c
Û a( a+ b+ c)

.

ổ



1
1ử
ữ
+ ữ
ữ= 0
ỗ
ốa( a+ b+ c) bcữ
ứ

( b+ c) ỗỗỗ

2
( b+ c) ( bc + a + ab+ ca) = 0

a, b, c¹ 0
(do

và

éa =- b
ê

êb =- c
ê
ê
b
+
c
a
+
b
c
+
a
=
0
(
)
(
)
(
)
Û
Û ëc =- a

 Với

a =- b

, suy ra:

a + b+ c ¹ 0


.

ìï 1
1
1
1
1
1
1
ïï 2021 + 2021 + 2021 = 2021 - 2021 + 2021 = 2021
ïï a
b
c
a
a
c
c
í
ïï
1
1
1
= 2021
= 2021
ïï 2021
2021
2021
2021
2021

a - a +c
c
ïỵ a + b + c

 Tương tự trong hai trường hợp cịn lại là:
Do đó bài tốn được chứng minh.

)

b =- c

và

( *)
; do đó

đúng.

( *)

c =- a

thì

cũng đúng.

Bài 2. (2.5 điểm)
1. Cho tập hợp
lớn hơn


A

gồm

tổng của

số còn lại của tập

10

hợp

A

21

số tự nhiên khác nhau thỏa mãn tổng của

số còn lại. Biết các số

A = { a1 ; a2 ; a3 ;...; a21}

Từ đề, suy ra:

và

102

thuộc tập hợp


A

số bất kỳ
. Tìm các

.

2. Tìm tất cả các số nguyên dương
1. Giả sử

101

11

với

x

sao cho

x2 - x +13

a1 ; a2 ; a3 ;...; a21 ẻ Ơ

a1 + a2 +... + a11 > a12 + a13 +... + a21 Û

và

là số chính phương.


a1 < a2 < a3 < ... < a21

.

a1 > a12 - a2 + a13 - a3 +... + a21 - a11

( 1)
.
Vì

a1 ; a2 ; a3 ;...; a21 Ỵ ¥

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

nên

word

a12 - a2 ³ 10

mơn

;

tốn:


a13 - a3 ³ 10

;

...

;

a21 - a11 ³ 10 ( 2)

.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com

( 1)
Từ

và

tập hợp
Từ

và

( 2)


, suy ra:

( 4)
và

suy ra:

mà

a1

là số nhỏ nhất trong các số của

.

a12 - a2 + a13 - a3 +... + a21 - a11 < 101 ( 4)
a12 - a2 = a13 - a3 = ... = a21 - a11 = 10 ( 5)

.
.

10 = a12 - a2 = ( a12 - a11) +( a11 - a10 ) +... +( a3 - a2 ) ³ 10

Ta có:

Þ

a12 - a11 = a11 - a10 = ... = a3 - a2 = 1 ( 6)

a1 = 101


mà

( 5) ( 6)
Từ

a1 = 101 ( 3)

nên

( 3)

Từ

10 sè 10

, suy ra:

A

( 1)

Vì

a1 > 10
+102444444
+... +10
1444444
3= 100


( 2)

,

102 ẻ A ị a2 = 102 ( 7)

( 7)
và

Û

.

.

A = {101; 102; 103;...; 121}
suy ra

2. Theo đề, đặt

.

.

x2 - x +13 = a2

(với

x, a Ỵ ¢ +


4x2 - 4x + 52 = 4a2

).
2
2
( 2a) - ( 2x - 1) = 51

Û

Û

( 2a- 2x +1) ( 2a+ 2x - 1) = 51
.

x, a ẻ Â

+

ị 2a- 2x +1ẻ Â 2a+ 2x - 1ẻ Â +

Vỡ
Do ú ta có bảng sau:

;

và

2a- 2x +1< 2a+ 2x - 1

2a + 2x - 1


51

17

2a- 2x +1

1

3

a

13

5

x

13

4

thỏa

thỏa

.

x Ỵ { 4;13}

Vậy số cần tìm là:

.

Bài 3. (1.5 điểm)

Giải hệ phương trình:

x³
Điều kiện:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

1
2 y³ 0
;

liệu

ìï 2 2xy- y + 2x + y = 10
( 1)
ï
í
ïï 3y + 4 - 2y +1+ 2 2x - 1 = 3 ( 2)
ïỵ

.


.

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

(

( 1) Û 2x - 1+ 2 y. 2x - 1+ y = 9 Û

Ta có:

2x - 1 = 3-

vào

3y + 4 -

2

Û

2x - 1+ y = 3


Û

2x - 1 = 3-

2x - 1+ y ³ 0
(do

).

y ( *)
.

( 2)

y

Thay

)

2x - 1+ y = 9

ta được:

2y +1+ 6- 2 y = 3 Û 2 y -

3y + 4 + 2y +1- 3 = 0

éy- 4 = 0

( 3)
ê
ê
1
2
2( y- 4)
y- 4
ê
+
=0
ê2 y + 3y + 4 + 2y +1+ 3 = 0 ( 4)
2 y + 3y + 4
2y +1+ 3
Û ê
ë

Û

( 3)
 Từ

( *)

y= 4
suy ra

(thỏa), thay vào

 Nhận thấy


1
2 y³ 0 Þ

x³

VT( 4) > 0
với mọi

2x- 1 = 1 Û x = 1

suy ra

;

.

(thỏa).

( 4)
phương trình

vơ nghiệm.

( x ; y) = ( 1;4)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

.

Bài 4. (3.0 điểm)
Cho tam giác

khác
thẳng

B

và

MN

C

ABC

). Gọi

nội tiếp đường trịn tâm

M

,

cắt đường trịn

K

b) Chứng minh
c) Đường thẳng

thì tỉ số


IG

Liên
hệ
tài
039.373.2038

P

tại

BDP

4

điểm

A I

QA PD
=
QB PK

CP

,

Q
,


AB

cắt

(theo thứ tự
tại

I

(khác

B

P

,

M

,

AB

N

và

AC

BC


(

D

. Đường

Q
,

). Đường tròn

). Các đường thẳng

DI

và

AC

,

P

,

K

nằm trên một đường tròn.


.

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

cắt đường thẳng

CD
CE

là điểm bất kì thuộc cạnh

.

a) Chứng minh

thẳng

,

lần lượt là trung điểm của các cạnh

( O)

ngoại tiếp tam giác
cắt nhau tại

N

O D


BC

tại

E

. Chứng minh khi

BDP
D

tại

G

(khác

P

). Đường

di chuyển trên đoạn

BC

khơng đổi.
liệu

word


mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

APBC

a) Vì tứ giác

BDIP

Vì tứ giác

( 1)

nội tiếp

và

·
·
PID
= PAC

, suy ra:


Lại

·
·
PAC
+ PAK
= 180°

4

A

b) Ta có:
 Xét

,

tứ giác

I

P

,

,

AIPK

K


và

·
·
PBD
= PAK

D PAK

(cmt);

1

nằm trên

.

, ta có:

·
·
APK
= BPD

D PBD # D PAK

Þ

nội tiếp


·
·
·
·
APK
= AIK
= BID
= BPD

D PBD

;

; mà hai góc này cùng

PK Þ

hay
điểm
đường trịn.

.

.

·
·
PIK
= PAK


nhìn cạnh

.

.

·
·
PID
+ PIK
= 180°

có:

Do đó:

·
·
Þ PID
+ PBC
= 180° ( 2)

nội tiếp

( 2)

Từ

·

·
Þ PAC
+ PBC
= 180° ( 1)

(g – g)

(cmt).

PB PD
=
PA PK

Þ

( 3)
.

APBQ
 Vì tứ giác

nội tiếp, suy ra:

ìï PB MP
ïï
=
ïï QA MA
ớ
ùù QB MB
=

ùù
ùợ PA MP ị

PB QB
.
=1
QA PA
ị

PB QA
=
PA QB

( 4)
.

( 3)
Từ

( 4)
và

c)  Trên
Vì tứ giác

, suy ra:

AB

QA PD

=
QB PK

xác định điểm

AIPK

Liên
hệ
tài
039.373.2038

H

nội tiếp, nên

liệu

word

.
sao cho

·APH = KPI
·

·
·
KPI
= BAC


mơn

.

.

tốn:

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Lại có

A P
,

và

·
BAC

khơng đổi nên

 Dễ dàng chứng minh được

H

là điểm cố định.


D KPI # D APH

(g – g)

D PKD # D PAB

Dễ dàng chứng minh được
KD
KI
=
( 5)
( 6)
AB AH Þ
Từ
và
suy ra:

 Ta có:

·
·
·
PGI
= PBI
= PCA

( 7)
 Từ


( 8)
và

suy ra

(g – g)
KD
AB
=
KI
AH ( 7)

GI P AC

nên
CD
AB
=
CE
AH

KI
KP
=
AH
AP

Þ

KP KD

=
AP
AB

Þ

( 5)
.

( 6)
.

.

CD KD
=
CE
KI

IE P AC Þ

( 8)

hay
.
AB
CD
AH
CE
mà

khơng đổi nên
khơng đổi.

Bài 5. (1.0 điểm)
Cho

a b
,

là các số dương thỏa mãn

a + 2b³ 3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9
3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3
2
P=
ab

Ta có:

Theo đề
Do đó:

.

9
3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3

3a
9b 8b2
2
P=
= + a+ +
+ b2
ab
b
2
a

a + 2b ³ 3 Þ 2b³ 3- a Þ

8b2 4b.2b 4b( 3- a) 12b
=
=
=
- 4b
a
a
a
a

.

3a
9b 8b2
3a
9b 12b
3a 12b 2 3b

P = + a+ +
+ b2 ³
+ 3- 2b+ +
- 4b+ b2 = +
+b +3
b
2
a
b
2
a
b
a
2
2

3a 12b ổ
3ử 39
39 231
2.
.
+ỗ
b- ữ
+ 12 + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 4ứ 16
b a

16 16

ng thc xy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

P

word

.

ïìï a, b> 0
ïï
ïí 3a = 12b
ïï b
a
3
ïï
a
=
2
b
=

ïỵ a+ 2b = 3
2

bng

231
16

mụn

.

ổ3 3ử

khi

toỏn:

( a;b) = ỗỗỗ ; ữ
ữ
ố2 4ữ
ứ

.
TI LIU TON HỌC


Website:tailieumontoan.com
----------  CHÚC CÁC EM HỌC TỐT  ----------


Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TOÁN HỌC