Website:tailieumontoan.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2021 – 2022
MƠN THI: TỐN (chun)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 05/06/2021.

x
2
2x − x x − 2
+
+
x −1
x −2 x −3 x + 2

A=
Bài 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức

x ≥ 0, x ≠ 1

(với

, và

x≠4

)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A tại

x = 3+ 2 2

.

a, b
Bài 2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số thực

a
3

x + ax + b = 0
2

sao cho phương trình (ẩn

x

)

1
a+2

có hai nghiệm là
và
.
Bài 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:


 x 3 − 2 y + x − 2 x 2 y = 0

 x + 1 − 16 − y = 3
Bài 4 (1,0 điểm) Cho hình vng

BM = 5

sao cho
với

AM

tại

A

. Gọi

. Gọi

I

N

là góc tù. Tiếp tuyến tại

A

Tiếp tuyến tại

a) Trên cung
thẳng

( O1 ) , ( O2 )

KM

AD

của

( O2 )

khơng chứa

cắt cung

AB

minh rằng đường thẳng

M

AK

C

liệu

word


MN

M

và đường thẳng vng góc

. Hãy tính độ dài đoạn thẳng

DI

.

A, M
A

của

( O1 )

cắt

( O2 )

tại điểm thứ hai

( O1 )

của


không chứa

M

, lấy điểm

của

( O2 )

tại điểm thứ hai

D

K

(khác
, khác

tại điểm

song song với đường thẳng

b) Gọi
là điểm đối xứng của
Bài 6 (1,5 điểm)

Liên
hệ
tài

039.373.2038

CD

, lấy điểm

là hai đường trịn, cắt nhau tại điểm

( O1 )

cắt

BC

có cạnh bằng 8. Trên cạnh

là giao điểm của đường thẳng

là trung điểm của

Bài 5 (2,5 điểm). Cho

∠O1 AO2

ABCD

A

môn


qua

M

BL

L

B

(khác

A

).

).

A

và

, khác

D

, sao cho đường

A


và

B

. Chứng

.

. Chứng minh rằng

toán:

A

, sao cho

ABCD

là tứ giác nội tiếp.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
m, p, r
a) Cho

p +r

là các số nguyên tố thỏa mãn


mp + 1 = r

. Chứng minh rằng

m2 + r

hoặc

2

là số chính phương.

q

n

n 2 + 22q

b) Tìm tất cả các số nguyên tố , sao cho tồn tại số nguyên dương
để
là
một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11.
Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phịng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có
một con chuột trốn trong các căn phịng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phịng.
Có một chú mèo tìm cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng,
và nếu con chuột đang trốn ở căn phịng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa
bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang trốn ở căn phịng nằm ngay bên cạnh.
Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con chuột sau tối đa bốn tối hay
khơng? Vì sao?


x, y , z
Bài 8 (0,5 điểm). Cho
là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn
Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:

1 1 1
2
+ + =
x y z 2021

.

x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021
.

ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

A=

x( x − 2) + 2( x − 1) + (2 x − x x − 2)
( x − 1)( x − 2)

=

x x − 2x + 2 x − 2 + 2x − x x − 2
( x − 1)( x − 2)


=

2 x −4
2( x − 2)
=
=
( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2)

Ta có:
b) (0,5 điểm)
ta có

2
x −1

x = 3 + 2 2 = ( 2 + 1) 2

A=

2
( 2 + 1) 2 − 1

=

2
= 2
2 + 1 −1

do đó:


a, b
Bài 2. (1,0 điểm) Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo),
cầu đề bài khi và chỉ khi

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

là các số thực thỏa mãn yêu

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com

 a ≠ −2
(1)

1
a
= −a (2)

 +
3
a
+
2

a 1
 3 ×a + 2 = b (3)

Với

a

thỏa mãn (1) ta có

a=
Thay

a=
Thay

1
3
(2) ⇔ 4a 2 + 8a + 3 = 0 ⇔ a = − , a = −
2
2

−1
2


−3
2

b=
vào (3) ta được

vào (3) ta được

−1
9

b = −1

a, b
Vậy có tất cả hai cặp số thực
thỏa mãn yêu cầu là
Bài 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

 −1 −1   −3

 ; ÷,  ; −1÷
 2 9   2


.

 x 3 − 2 y + x − 2 x 2 y = 0

 x + 1 − 16 − y = 3
y ≤ 16


x ≥ −1

Điều kiện:
và
Với điều kiện đó, ta có:

. (1)

 x3 − 2 y + x − 2 x 2 y = 0
( x − 2 y ) ( x 2 + 1) = 0

⇔

 x + 1 − 16 − y = 3
 x + 1 − 16 − y = 3
 x = 2 y
⇔
 2 y + 1 − 16 − y = 3.
Ta có:

(3) ⇔ ( 2 y + 1 − 5) − ( 16 − y − 2) = 0
⇔

2( y − 12)
y − 12
+
=0
2 y +1 + 5
16 − y + 2




2
1
⇔ ( y − 12) 
+
=0
÷
 2 y +1 + 5
÷
16
−
y
+
2


⇔ y = 12.
Thay

y = 12

vào (2), ta được

Liên
hệ
tài
039.373.2038


liệu

word

x = 24

mơn

.

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com

( x, y ) = ( 24,12 )

Cặp số
thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ
phương trình đã cho.
Bài 4. (1,0 điểm) Cho hình vuông
sao cho

AM

với

BM = 5

tại

A

. Gọi

I

. Gọi

N

ABM

AB = AD ∠BAM = ∠DAN
,

Qua

M

Do

I

và

ADN

∆ABM = ∆ADN


MNE

MN

và

. Hãy tính độ dài đoạn thẳng

DI

.

, ta có:

ID

cắt

ID / / ME

(theo (1)). Suy ra,

NC

, nên

MC = CE

tại


D

E

DN = BM

(1).

.

là trung điểm của

NE

. Vì thế

(2)

MN , NE
tương ứng là trung điểm của

DI =

M

và đường thẳng vng góc

(cạnh góc vng – góc nhọn). Suy ra,


I, D
Do

, lấy điểm

:

là trung điểm của

DE = DN = BM

MN

CD

BC

(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)

kẻ đường thẳng song song

Xét tam giác

có cạnh bằng 8. Trên cạnh

là giao điểm của đường thẳng

là trung điểm của

Xét hai tam giác vng


Do đó tam giác

ABCD

, nên

ID

là đường trung bình của tam

1
EM
2

giác. Do đó,
.
Xét tam giác vng (tại C) MCE, theo định lí Pitago, ta có:

EM = MC 2 + CE 2 = 2MC 2

(do (2))

= 2 MC = 2 ( BC − BM ) = 2 ( 8 − 5 ) = 3 2

Liên
hệ
tài
039.373.2038


liệu

word

mơn

.

tốn:

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
DI =
Vì thế
Bài 5. Cho

3 2
2

.

( O1 ) , ( O2 )

tù. Tiếp tuyến tại
của

( O2 )


cắt

( O1 )

A

A, M
là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm
của

cắt

KM

AD

cắt cung

Xét

( O1 )

∠O1 AO2

D

tại điểm thứ hai
(khác

không chứa


. Chứng minh rằng đường thẳng

Với giả thuyết

( O2 )

tại điểm thứ hai

a) (1,0 điểm) Trên cung
cho đường thẳng

( O1 )

AB

A

M

(khác

A

là góc

). Tiếp tuyến tại

A


).
của

khơng chứa

AK

B

, sao cho

∠O1 AO2

( O1 )

M

, lấy điểm

của

( O2 )

K

, khác

tại điểm

song song với đường thẳng


BL

L

A

và

, khác

D
A

, sao
và

B

.

là góc tù, ta có thế hình như ở trên.

, ta có:

∠AKM = ∠MAB

(góc nọi tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung
AM không chứa D). (1)
Xét


( O2 )

, ta có:

∠MLB = ∠MAB

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB không chứa A). (2)

Từ (1) và (2), suy ra,
Do đó,

AK / / LB

Liên
hệ
tài
039.373.2038

∠AKM = ∠MLB

.

(vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

liệu

word

mơn


tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
b) (1,5 điểm) Gọi
giác nội tiếp.

C

A

là điểm đối xứng của

qua

M

. Chứng minh rằng

ABCD

là tứ

.

Xét


( O1 )

ta có:

∠MDA = ∠MAB

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, cùng chắn cung AM
khơng chứa D). (3)
Xét

( O2 )

ta có

∠MAD = ∠MBA

(góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây, góc nội tiếp, cùng chắn cung AM
không chứa B) (4)
Từ (3) và (4), suy ra,

∆AMD ∽ ∆BMA

MA MB
=
MD MA

.

MC MB
=

MD MC

MC = MA

Do đó,
; mà
(gt), nên
. (5)
Do trong một tam giác, mỗi góc ngồi bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó, nên
cộng (3) và (4), vế theo vế, ta được:

∠DMC = ∠CMB

(6)

Từ (5) và (6), suy ra,

∆DMC ∽ ∆CMB

∠DCM = ∠CBM

Do đó,
Vì thế, ta có:

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu


.

.

word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website:tailieumontoan.com
∠DCB = ∠DCM + ∠MCB = ∠CBM + ∠MCB
= 180° − ∠BMC = 180° − (∠BAM + ∠MBA)
= 180° − (∠BAM + ∠MAD) (do(4))
= 180° − ∠BAD
Suy ra,

∠BAD + ∠DCB = 180o

. Do đó,

ABCD

là tứ giác nội tiếp.

m, p, r

Bài 6. a) (1,0 điểm) Cho

m2 + r

rằng

p +r

là các số nguyên tố thỏa mãn

hoặc

là số chính phương.

mp ≥ 4

là các số nguyên tố nên

Vì thế,
- Nếu

mp = r − 1

m=2

. Chứng minh

2

m, p

Vì

mp + 1 = r

thì

. Do đó,

r ≥5

. Mà

r

là nguyên tố nên r là số lẻ.

m, p
là một số chẵn. Suy ra, trong hai số

r = 2 p +1

, có ít nhất một số bằng 2.

. Do đó:

p 2 + r = p 2 + 2 p + 1 = ( p + 1)

2

,


Là một số chính phương.
- Nếu

p=2

thì

r = 2m + 1

. Do đó

m 2 + r = m 2 + 2m + 1 = ( m + 1)

2

là một số chính phương

q

n

n 2 + 22q

b) Tìm tất cả các số nguyên tố , sao cho tồn tại số nguyên dương
để
là
một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11.
Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên
dương


1.

n, k

sao cho

n + 22q > 11
2

Do

n 2 + 22q = 11k
11k > 11

nên

; suy ra

22qM
11
Do

. (1)
k≥2

(n

2


. Vì thế, từ (1), ta có:

+ 22q ) M
112

. (2)

2

nên từ (1) suy ra,

n M
11

; mà 11 là số nguyên tố, nên

22qM
112
Từ (2) và (3) suy ra,
Ngược lại, với

q = 11

qM
11
. Do đó,

, ta có:

n2 M

112

q
; mà

là số nguyên tố nên

332 + 22.11 = 112. ( 9 + 2 ) = 113

. (3)

q = 11

.

.

q = 11

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là
.
Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phịng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có
một con chuột trốn trong các căn phịng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phịng.
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu


word

mơn

tốn:

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website:tailieumontoan.com
Có một chú mèo tìm cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng,
và nếu con chuột đang trốn ở căn phịng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa
bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang trốn ở căn phịng nằm ngay bên cạnh.
Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con chuột sau tối đa bốn tối hay
khơng? Vì sao?
Câu trả lời là "có". Lần lượt, từ trái qua phải, đánh số thứ tự các căn phòng bởi 1,2,3,4.

k = 1, 2,3, 4

k

k

Với mỗi
, gọi căn phịng được đánh số
là "phịng
". Trong phần trình bày
dưới đây, thứ tự của các ngày được tính từ ngày đầu tiên mèo vào dãy phòng để lùng
bắt chuột. Xét lịch trình lùng bắt chuột như sau của mèo:
- Tối ngày 1: Vào phòng 2 ;

- Tối ngày 2 : Vào phòng 3 ;
- Tối ngày 3: Vào phòng 3 ;
- Tối ngày 4: Vào phịng 2 .
Khi đó, nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 2 hoặc phòng 4, thì mèo sẽ bắt được chuột vào
tối ngày 1, hoặc vào tối ngày 2 (bắt được vào tối ngày 1 nếu ngày 1 chuột trốn ở
phòng , và bắt được vào tối ngày 2 nếu ngày 1 chuột trốn ở phòng 4).
Nếu ngày 1, chuột trốn ở phòng 1 hoặc phịng 3, thì nó s thốt được mèo trong hai tối
đầu tiên. Tuy nhiên, do sang ngày 3, theo cách trốn của mình, chuột sẽ lại trốn ở
phịng 1 hoặc phịng 3 , nên nó sẽ bị mèo bắt vào tối ngày 3 , hoặc vào tối ngày 4 (bị
bắt vào tối ngày 3 , nếu ngày 3 nó trốn ở phòng 3; và bị bắt vào tối ngày 4, nếu ngày 3
nó trốn ở phịng 1 ). Vậy, với lịch trình lùng bắt nêu trên, mèo sẽ bắt được chuột, sau
tối đa bốn tối. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi của bài ra là "có".
Lưu ý: Lịch trình lùng bắt trên đây khơng phải là lịch trình duy nhất để mèo đạt được
mục tiêu đặt ra ở đề bài.

x, y , z
Bài 8. (0,5 điểm). Cho
là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn
Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:

1 1 1
2
+ + =
x y z 2021

x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021
.

Từ giả thuyết đề bài suy ra


Do đó

Suy ra

2021 2021 2021
+
+
=2
x
y
z

x − 2021 y − 2021 z − 2021
+
+
= 3− 2 =1
x
y
z
 x − 2021 y − 2021 z − 2021 
x + y + z = ( x + y + z) 
+
+
÷
x
y
z




Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

mơn

tốn:

(*)

TÀI LIỆU TỐN HỌC

.


Website:tailieumontoan.com
Do

x, y, z > 2021

nên

x − 2021, y − 2021, z − 2021 > 0

. Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng


thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương

(

x, y, z

)

và

 x − 2021 y − 2021 z − 2021 
,
,

÷
÷
x
y
z



, từ (*) ta được:

x + y + z ≥ ( x − 2021 + y − 2021 + z − 2021)2
x + y + z ≥ x − 2021 + y − 2021 + z − 2021
Do đó,

.


x= y=z=
(Đẳng thức xảy ra khi

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

6063
2

mơn

)

tốn:

TÀI LIỆU TỐN HỌC