VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 78 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................5
Chương 1:
CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................7
1.1. Trục và độ dài đại số trên trục: .........................................................................7
1.1.1. Khái niệm:..................................................................................................7
1.1.2. Nhận xét: ....................................................................................................7
1.2. Phương tích của một điểm đối với đường trịn: ...............................................7
1.2.1. Định lí: .......................................................................................................7
1.2.2. Chứng minh: ..............................................................................................7
1.3. Phép nghịch đảo: ..............................................................................................8
1.4. Định lí Thalès: ..................................................................................................8
1.4.1. Định lí Thales trong tam giác: ...................................................................8
1.4.2. Định lí Thales trong khơng gian: ...............................................................9
1.5. Một số bất đẳng thức: .....................................................................................10
1.6. Tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng: ............................................................10
1.6.1. Định nghĩa: ..............................................................................................10
1.6.2. Tính chất: .................................................................................................10
1.7. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng: ...............................................................10
1.7.1. Định nghĩa: ..............................................................................................10
1.7.2. Tính chất: .................................................................................................11
Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHỔ THƠNG ...............................................12
2.1. ĐỊNH LÍ MENELAUS VÀ QUAN HỆ THẲNG HÀNG: ............................12
2.1.1. Định lí Menelaus: ....................................................................................12
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 1
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
2.1.1.1. Nội dung:.........................................................................................12
2.1.1.2. Chứng minh: ...................................................................................12
2.1.2. Các mở rộng của định lí Menelaus: .........................................................15
2.1.2.1. Định lí Menelaus cho tứ giác: .........................................................15
2.1.2.2. Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích: .......................................16
2.1.2.3. Mở rộng định lí Menelaus trong khơng gian: .................................16
2.1.3. Định lí Menelaus qua góc nhìn Hình học affine & Hình học xạ ảnh: .....18
2.1.3.1. Định lí Menelaus theo quan điểm tỉ số đơn của Hình học affine: ..18
2.1.3.2. Định lí Menenlaus theo quan điểm tỉ số kép của Hình học xạ ảnh:19
2.1.4. Ứng dụng của định lí Menelaus: ..............................................................20
Bài tốn 1: ....................................................................................................20
Bài tốn 2: ....................................................................................................21
Bài tốn 3: (Định lí Pappus) .........................................................................22
Bài tốn 4: ....................................................................................................24
Bài tốn 5: ....................................................................................................25
Bài tốn 6: (Định lí Pascal) ..........................................................................26
Bài tốn 7: (Định lí Desargues) ...................................................................27
Bài tốn 8: (Định lí về tứ giác tồn phần) ....................................................28
Bài tốn 9: (Định lí Simpson) ......................................................................29
Bài tốn 10: ..................................................................................................30
Bài tốn 11: ..................................................................................................32
2.2. ĐỊNH LÍ CEVA VÀ QUAN HỆ ĐỒNG QUY .............................................34
2.2.1. Định lí Ceva: ............................................................................................34
2.2.1.1. Nội dung:.........................................................................................34
2.2.1.2. Chứng minh: ...................................................................................34
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 2
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
2.2.2. Định lí Ceva dạng sin: .............................................................................37
2.2.2.1 Nội dung:..........................................................................................37
2.2.2.2. Chứng minh: ...................................................................................37
2.2.3. Mở rộng định lí Ceva trong khơng gian: .................................................38
2.2.3.1. Định lí: ............................................................................................38
2.2.3.2. Chứng minh: ...................................................................................38
2.2.4. Định lí Ceva qua góc nhìn Hình học affine .............................................39
2.2.5. Ứng dụng của định lí Ceva: .....................................................................41
Bài tốn 1: ....................................................................................................41
Bài tốn 2: ....................................................................................................42
Bài tốn 3: ....................................................................................................43
Bài toán 4: ....................................................................................................44
Bài toán 5: ....................................................................................................45
Bài toán 6: ....................................................................................................46
Bài tốn 7: ....................................................................................................48
2.3. ĐỊNH LÍ PTOLEMY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ........................................49
2.3.1. Định lí Ptolemy: (Đẳng thức Ptolemy) ....................................................49
2.3.1.1. Nội dung:.........................................................................................49
2.3.1.1. Chứng minh: ...................................................................................49
2.3.2. Bất đẳng thức Ptolemy: ...........................................................................51
2.3.2.1. Nội dung:.........................................................................................51
2.3.2.2. Chứng minh: ...................................................................................51
2.3.3. Mở rộng định lí Ptolemy:.........................................................................53
2.3.3.1. Định lý Bretschneider .....................................................................53
2.3.3.2. Định lý Casey ..................................................................................54
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 3
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
2.3.4. Ứng dụng của định lí Ptolemy .................................................................56
2.3.4.1. Chứng minh các đẳng thức hình học: .............................................56
2.3.4.2. Chứng minh các đặc tính hình học: ................................................65
2.3.4.3. Chứng minh bất đẳng thức và giải tốn cực trị trong hình học: .....66
KẾT LUẬN ..............................................................................................................77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................78
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 4
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Việc vận dụng các định lý hình học để chứng minh các tính chất & giải bài tập
hình học đã trở nên khá quen thuộc trong hoạt động dạy – học Toán ở nhà trường
phổ thông. Bên cạnh một số định lý đã được đưa vào giảng dạy trực tiếp theo
chương trình sách giáo khoa cịn có rất nhiều định lý hình học kinh điển khác có
nhiều ứng dụng và là cơng cụ hữu ích trong giải tốn hình sơ cấp vẫn chưa được
khai thác và sử dụng một cách rộng rãi. Để có cái nhìn cụ thể hơn về nội dung của
các định lý này cũng như cách thức vận dụng chúng vào việc giải các bài tập liên
quan, tôi lựa chọn đề tài: “Vận dụng một số định lý Hình học cổ điển vào giải một
số bài tốn Hình học phổ thơng” để nghiên cứu. Trong đó, đề tài tập trung khai
thác và sử dụng ba định lý chính: Menenlaus, Ceva và Ptolemy.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
+ Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về ba định lí: Menelaus, Ceva và Ptolemy
và trình bày lại một cách có hệ thống, rõ ràng và chi tiết. Bên cạnh đó, khai thác các
hệ quả (mở rộng) của ba định lí…phục vụ cho việc giải các bài tập liên quan.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
+ Nghiên cứu nội dung và cách chứng minh của các định lí Menelaus, Ceva,
Ptolemy.
+ Phát biểu và chứng minh các mở rộng khác của ba định lí.
+ Nghiên cứu ứng dụng của ba định lí thơng qua một số bài tập cụ thể.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
+ Nghiên cứu một số sách, báo, tài liệu, tra cứu thông tin trên Internet… từ đó
phân tích, tổng hợp và hệ thống lại các kiến thức liên quan một cách hợp lí.
+ Nghiên cứu thơng qua việc vận dụng các định lí vào các bài tập vận dụng và
bài tập nâng cao.
5. NỘI DUNG LUẬN VĂN:
Mở đầu
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 5
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Chương I: Cơ sở lí luận
Chương II:
2.1. Định lí Menelaus và quan hệ thẳng hàng
2.1.1 Định lí Menelaus
2.1.2. Các mở rộng của định lí Menelaus
2.1.3. Định lí Menelaus qua góc nhìn của Hình học affine & Hình
học xạ ảnh
2.1.4. Ứng dụng của định lí Menelaus
2.2. Định lí Ceva và quan hệ đồng quy
2.2.1. Định lí Ceva
2.2.2. Định lí Ceva dạng sin
2.2.3. Mở rộng định lí Ceva trong khơng gian
2.2.4. Định lí Ceva qua góc nhìn của Hình học affine
2.2.5. Ứng dụng của định lí Ceva
2.3.Định lí Ptolemy
2.3.1. Định lí Ptolemy
2.3.2. Bất đẳng thức Ptolemy
2.3.3. Các mở rộng của định lí Ptolemy
2.3.4. Ứng dụng của định lí Ptolemy
Kết luận.
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 6
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Chương 1:
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Trục và độ dài đại số trên trục:
1.1.1. Khái niệm:
+ Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác
và một vectơ ⃗ có độ dài bằng 1.
định một điểm
gọi là gốc tọa độ, vectơ ⃗ gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Điểm
+ Kí hiệu:
⃗ .
⃗
+ Cho ba điểm
trên trục
Có duy nhất một số
⃗ . Khi đó:
sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗. Ta gọi
sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗. Ta gọi số
là tọa độ của điểm
đối với trục đã cho.
Có duy nhất một số
của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đối với trục đã cho. Kí hiệu:
là độ dài đại số
.
1.1.2. Nhận xét:
+ Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hướng với ⃗ thì
thì
, cịn nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngược hướng với ⃗
.
+ Nếu hai điểm
và
trên trục
⃗ có tọa độ lần lượt là
và
thì
.
1.2. Phương tích của một điểm đối với đường trịn:
1.2.1. Định lí:
qua
Cho đường trịn
và một điểm
cố định. Một cát tuyến thay đổi đi
cắt đường trịn tại
thì tích vơ hướng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ khơng phụ thuộc vào cát
tuyến đó, nó được gọi là phương tích của điểm
hiệu là:
đối với đường trịn
và kí
.
1.2.2. Chứng minh:
Gọi
là đường kính của đường trịn
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Đặt
, ta có:
Trang 7
Khóa luận tốt nghiệp
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
R
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
O
d
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M
B
A
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1.3. Phép nghịch đảo:
Trong mặt phẳng Euclide, cho một điểm
, ta cho tương ứng với điểm
cố định,
. Với mỗi điểm
sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
nằm trên đường
. Phép tương tứng như vậy được gọi là phép nghịch đảo.
Điểm
được gọi là cực của phép nghịch đảo,
phép nghịch đảo. Phép nghịch đảo cực
tỉ số
gọi là tỉ số hay phương tích của
được kí hiệu là
.
* Cơng thức tính khoảng cách của phép nghịch đảo:
Giả sử phép nghịch đảo cực
tỉ số
biến hai điểm
thành hai điểm
. Khi
đó:
| |
1.4. Định lí Thalès:
1.4.1. Định lí Thales trong tam giác:
Định lí Thalès thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của
tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
A
GT
B'
KL
B
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
C'
C
Trang 8
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác
và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường
thẳng đó song song với cạnh cịn lại của tam giác.
GT
A
B'
KL
C'
B
C
Hệ quả của định lí Thales: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một
tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới
có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
GT
KL
1.4.2. Định lí Thales trong khơng gian:
a
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đơi một
song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì
𝑃
các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
A
a'
A'
Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường
thẳng chéo nhau
điểm
và
lần lượt lấy các
và
B
sao cho:
Khi đó, ba đường thẳng
B'
𝑄
lần
lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức
C
𝑅
C'
là chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 9
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
1.5. Một số bất đẳng thức:
Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopxki:
, khi đó:
Cho
(∑
)
∑
∑
Bất đẳng thức Nesbitt:
là ba số thực dương, khi đó ta có:
Cho
1.6. Tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng:
1.6.1. Định nghĩa:
Cho hai điểm
đường thẳng
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
phân biệt của không gian affine thực. Điểm
đi qua
đồng thời
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Khi đó
thuộc
{ } để
khi và chỉ khi có số
được gọi là tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng
lấy
theo thứ tự đó.
+ Kí hiệu:
.
1.6.2. Tính chất:
Cho ba điểm
phân biệt trong khơng gian affine thực. Khi đó:
1.7. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng:
1.7.1. Định nghĩa:
Trong không gian xạ ảnh
xác định bởi hai điểm
với mục tiêu xạ ảnh cho trước, trên một đường thẳng
phân biệt, ta lấy các điểm
sao cho không trùng với
hoặc . Gọi ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ lần lượt là vectơ đại diện cho các điểm
.
⃗
⃗
⃗⃗
hay
]
]
]
⃗
⃗
⃗⃗
hay
]
]
]
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 10
Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó tỉ số:
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
được gọi là tỉ số kép của 4 điểm
lấy theo thứ tự đó.
+ Kí hiệu:
1.7.2. Tính chất:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 11
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHỔ THƠNG
2.1. ĐỊNH LÍ MENELAUS VÀ QUAN HỆ THẲNG HÀNG:
2.1.1. Định lí Menelaus:
2.1.1.1. Nội dung:
Cho tam giác
, các điểm
lần lượt nằm trên các đường thẳng
. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ba điểm
thẳng hàng là:
2.1.1.2. Chứng minh:
Phần thuận: Giả sử ba điểm
A
thẳng hàng.
- Cách 1: Sử dụng hệ quả của định lí
C'
Thales:
+ Gọi
là giao điểm của đường
thẳng
với đường thẳng qua
song song với
B'
D
và
B
.
A'
C
+ Áp dụng hệ quả của định lí Thales, ta có:
(đpcm)
- Cách 2. Sử dụng định lí hàm sin:
+ Đặt: ̂
̂
̂
+ Áp dụng định lí hàm sin cho các tam giác sau:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 12
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
A
|
|
|
|
|
|
|
|
C'
𝛾
B'
𝛽
hay:
|
|
|
|
|
|
|
|
𝛼
| B
A'
C
|
Nhân (1), (2), (3) với nhau vế theo vế, ta được:
|
| |
| |
|
|
| |
| |
|
- Cách 3: Sử dụng phép vị tự:
Giả sử
thẳng hàng, khi đó tồn tại các phép vị tự:
(
)
(
)
(
)
Với:
Hơn nữa, ta có:
Giả sử
thì:
Do đó, theo định lí Thales đảo ta có:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
. Điều này trái giả thuyết
Trang 13
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
thẳng hàng. Vậy:
Mặt khác ta có: tích của hai phép vị tự
tâm nằm trên đường thẳng
đường thẳng
là một phép vị tự có
. Đồng thời tâm vị tự của tích này phải nằm trên
(vì
)
Vậy:
(đpcm)
Phần đảo:
A
Giả sử có:
Gọi
Vì
là giao điểm của
và
C'
.
thẳng hàng, áp dụng định lí
Menelaus (phần thuận), ta có:
B'
𝑩𝟏
B
C
Từ (1) và (2) suy ra:
Để chứng minh
ta xét phương trình:
với
cần chứng minh có duy nhất một điểm
thỏa mãn phương trình (*).
Thật vậy: chọn gốc tọa độ tại , trục tọa độ
𝐴
Giả sử tọa độ của
là , của
𝑥
với chiều dương đi từ
𝑐
𝑋
𝐶
đến .
là , lúc đó (*) trở thành:
vì
xác định một nghiệm duy nhất
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
là tọa độ của
nên
xác định duy
Trang 14
A'
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
nhất.
Áp dụng cho trường hợp trên suy ra:
thẳng hàng.
2.1.2. Các mở rộng của định lí Menelaus:
2.1.2.1. Định lí Menelaus cho tứ giác:
a. Nội dung:
Cho tứ giác
, một đường thẳng
lần lượt ở
cắt đường thẳng chứa các cạnh
. Khi đó:
b. Chứng minh:
Q
J
M
A
B
I
N
P
D
Trên đường thẳng
lấy hai điểm
C
sao cho
d
. Áp dụng hệ quả của
định lí Thales ta có:
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 15
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
(đpcm).
2.1.2.2. Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích:
a. Nội dung:
Cho tam giác
, các điểm
lần lượt nằm trên các đường thẳng
. Khi đó:
b. Chứng minh:
A
Ta có:
P
N
Mặt khác:
B
Sử dụng:
C
M
, suy ra:
2.1.2.3. Mở rộng định lí Menelaus trong khơng gian:
a. Nội dung:
Trong khơng gian, trên các đường thẳng
điểm
ta lần lượt lấy các điểm
xác định bởi các
. Khi đó điều kiện ắt có và đủ để
đồng phẳng là:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 16
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
b. Chứng minh:
Phần thuận:
A
đồng phẳng và
Giả sử
xác lập một mặt phẳng
.
ta lần lượt dựng các
- Từ
mặt phẳng song song với
- Một đường thẳng
M
.
Q
lần lượt cắt
các mặt phẳng vừa dựng lần lượt
tại các điểm
và cắt C
B
N
tại .
- Theo định lí Thales trong khơng
P
gian, ta có:
D
(đpcm).
Phần đảo:
Giả sử có:
Gọi
là giao điểm của mặt phẳng
và đường thẳng
(
{ }
đồng phẳng. Theo chứng minh trên (phần thuận), ta có:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 17
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Từ (*) và (**) suy ra:
. Hệ thức này chứng tỏ
đồng phẳng.
Vậy
2.1.3. Định lí Menelaus qua góc nhìn Hình học affine & Hình học xạ ảnh:
2.1.3.1. Định lí Menelaus theo quan điểm tỉ số đơn của Hình học affine:
a. Nội dung:
Trong không gian affine
, cho tam giác
lượt nằm trên các đường thẳng
và các điểm
lần
. Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm
thẳng hàng là:
b. Chứng minh:
A
Phần thuận:
Giả sử ba điểm
thẳng hàng và lần lượt nằm trên các
𝑪𝟏
đường thẳng
D
giác
của tam
𝑩𝟏
. Trong mặt phẳng chứa
tam giác, vẽ
.
B
Ta có:
Giả sử:
Do đó: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ nên
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C
𝑨𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
Vậy:
(đpcm).
Phần đảo:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 18
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Giả sử có hệ thức
lần lượt là
với
các điểm nằm trên các đường thẳng
Ta cần chứng minh
chứa các cạnh của tam giác
.
thẳng hàng. Thật vậy:
Giả sử đường thẳng
cắt
thẳng hàng. Theo chứng minh ở
tại
phần thuận, ta được:
Từ
và
suy ra:
Vậy ba điểm
thẳng hàng.
2.1.3.2. Định lí Menenlaus theo quan điểm tỉ số kép của Hình học xạ
ảnh:
a. Nội dung:
Trong mặt phẳng cho tam giác
và một đường thẳng
không đi qua
các đỉnh của tam giác. Gọi
Giả sử
.
là ba điểm lần lượt nằm trên ba đường thẳng
Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm
b. Chứng minh:
.
thẳng hàng là:
𝑳𝟐
Gọi
𝑨𝟏
Xét chùm bốn đường thẳng
𝑳𝟒
cắt nhau
tại
𝑳𝟑
. Áp dụng định lí về chùm
bốn đường thẳng, ta có:
Theo tính chất của tỉ số kép, ta
có:
𝑲𝟐
𝑲𝟑
𝑲𝟏
𝑨𝟐
𝑳𝟏
𝑨𝟑
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 19
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Mặt khác, xét chùm bốn đường thẳng
cắt nhau tại
, ta có:
Thay (4) vào (3) ta có:
thẳng hàng khi và chỉ khi đẳng thức (*) xảy ra.
Vậy
2.1.4. Ứng dụng của định lí Menelaus:
Bài tốn 1:
Cho tam giác
vng tại . Dựng về phía ngồi tam giác các hình vng
. Đường thẳng
minh rằng ba điểm
cắt đường cao
của tam giác
tại . Chứng
thẳng hàng.
Giải:
Cách 1: (Khơng sử dụng định lí Menelaus)
Dựng hình chữ nhật
sao cho
,
.
Khi đó:
̂
̂
̂
̂
̂
E
thẳng hàng (1)
Ta có:
̂
̂
B
̂
H
(c-g-c)
̂
O
̂
F
Mà
(2)
Tương tự ta cũng có:
C
A
(3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra
là
ba đường cao của tam giác
. Vậy
chúng đồng quy tại trực tâm của tam
giác
Mà
M
.
cắt đường cao
tại , suy ra
là trực tâm của tam giác
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
P
Q
.
Trang 20
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
thẳng hàng.
Dựng hình chữ nhật
điểm của
và
. Gọi
B
E
Cách 2: Sử dụng định lí Menelaus:
N
H
là giao
K
O
. Ta có:
F
C
A
vì
vì
Vậy
P
Q
thẳng hàng.
* Nhận xét: Để vận dụng định lí Menelaus ta cần tìm ra một tam giác sao cho 2
trong 3 điểm
nằm trên 2 cạnh, 1 điểm còn lại nằm trên phần kéo dài. Nhờ đó
nghĩ đến việc dựng hình chữ nhật
.
Bài tốn 2:
ngoại tiếp đường tròn
Cho tứ giác
tiếp điểm của
với các cạnh
à
Chứng minh rằng:
. Gọi
lần lượt là các
.
đ ng
.
I
A
M
B
Q
N
D
P
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
C
Trang 21
Khóa luận tốt nghiệp
Gọi
là giao điểm
điểm
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
và
. Áp dụng định lí Menelaus cho
với bộ ba
, ta có:
hay
vì
Mà:
Mặt khác:
nên:
Do đó, theo định lí Menelaus
và
thẳng hàng
đồng quy tại .
Bài tốn 3: (Định lí Pappus)
Trên đường thẳng
điểm
lấ các điểm
; trên đường thẳng
. Gọi giao điểm của các đường thẳng
tương ứng là
và
. Chứng minh rằng các điểm
,
và
lấy các
,
và
thẳng hàng.
Giải:
+ Trong trường hợp tồn tại một trong hai cặp: (
) hoặc (
)
không song song. Không mất tổng quát, giả sử:
𝑰
𝑪
𝑩
𝑨
𝑲
𝑴
𝑵
𝑳
𝑱
𝑫
𝑬
𝑭
Gọi
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 22
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Áp dụng định lí Menenlaus cho
với 5 bộ ba điểm thẳng hàng:
Nhân 5 đẳng thức trên với nhau ta được:
Áp dụng đl Menelaus cho tam giác
+ Trường hợp
và bộ 3 điểm
và
thẳng hàng.
:
Áp dụng hệ quả của định lí Thales, ta có:
C
B
A
K
M
N
L
J
D
E
F
Nhân vế theo vế 5 đẳng thức trên ta được:
hay
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 23
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy ba điểm
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
thẳng hàng.
Bài tốn 4:
, đường thẳng
Cho tam giác
của
lần lượt tại các điểm
điểm đối xứng của
rằng:
cắt đường thẳng chứa các cạnh:
Gọi
a tr ng điểm của các cạnh
theo thứ tự là các
. Chứng minh
thẳng hàng.
Giải:
A
R'
Q
Q'
Vì
và
P'
B
đối xứng nhau qua trung điểm của
R
C
nên ta có:
P
Tương tự:
Vì
thẳng hàng, áp dụng định lí Menelaus ta có:
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Từ (4) và (5), ta có:
Vậy
thẳng hàng.
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 24
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Bài toán 5:
Chứng minh rằng trong một tam giác, các giao điểm của ba đường phân
giác ngoài với cạnh đối diện tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng.
Giải:
𝑨
Cho tam giác
với:
là giao điểm của tia phân
giác ngoài tại
với cạnh
𝑪
.
là giao điểm của tia phân
giác ngoài tại
với cạnh
.
𝑪
𝑨
𝑩
là giao điểm của tia phân
giác ngồi tại
với cạnh
.
Áp dụng tính chất của đường
phân giác, ta có:
𝑩
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
Vậy theo định lí Menelaus
thẳng hàng.
Định lí Menelaus có rất nhiều ứng dụng trong giải tốn. Nhiều định lí tốn
học được chứng minh dễ dàng nhờ định lí Menelaus như: định lí Pascal, định lí
Desargues, định lí Simpson, …
SVTH: Nguyễn Thanh Thảo_Lớp: 09ST
Trang 25
