Mục lục
Lời cảm ơn

3

Lời nói đầu

5

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

6

1.1 Định nghĩa về khơng gian metric tuyến tính và định lý
chuẩn bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Không gian modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3 Các ví dụ về khơng gian metric tuyến tính . . . . . . . .

35

1.4 Khơng gian metric tuyến tính đầy đủ. . . . . . . . . . . .

41

1.2

2

3

ĐỊNH LÝ KREIN-MILMAN VỀ ĐIỂM CỰC BIÊN
TRONG KHÔNG GIAN TOPO LỒI ĐỊA PHƯƠNG

44

2.1 Điểm cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2 Định lý Krein- Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

CÁC VÍ DỤ CỦA ROBERTS VỀ CÁC TẬP LỒI, COMPATC KHƠNG CĨ ĐIỂM CỰC BIÊN

54

3.1 Định nghĩa điểm nhọn và điểm xấp xỉ nhọn . . . . . . .

54

1


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: TS. Lê Hồng Trí

3.2 Định lý Roberts, 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70

SVTH: Nguyễn Văn Đức

2

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Lời cảm ơn
Khóa luận “Điểm cực biên của các tập lồi, compact trong khơng
gian metric tuyến tính” được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
và hết lịng chỉ bảo của thầy giáo TS. Lê Hồng Trí. Em xin được
phép gởi đến thầy sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm
của thầy đối với bản thân em khơng những trong thời gian làm khóa
luận mà cịn trong suốt q trình học tập.
Em cũng xin bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường

Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Tốn đã tạo
cơ hội cho em được làm khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lòng biết ơn tới các thầy cơ giáo trong Khoa Tốn, Trường Đại Học Sư
Phạm-Đại Học Đà Nẵng đã nhiệt tình giảng dạy em trong suốt các năm
học Đại học vừa qua.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng khóa luận cũng khơng tránh khỏi sai
sót. Em mong được những ý kiến đóng góp của thầy cơ giáo và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Văn Đức

3


Lời nói đầu
Định nghĩa về khơng gian metric tuyến tính được đưa ra bởi Fréchet
(1926). Và hầu hết các định lý trong khơng gian metric tuyến tính đã
được chứng minh trước năm 1940 bởi phần lớn là do Banach và cộng sự.
Vào thời gian đầu của quá trình nghiên cứu, người ta chỉ quan tâm đến
các định lý trong không gian định chuẩn, và sự xuất hiện của định lý đã
góp phần phát triển nhanh chóng hướng nghiên cứu các định lý trong
không gian topo lồi địa phương. Cụ thể vào năm 1940, sự ra đời của định
lý Krein-Milman về điểm cực biên đã góp phần khơng nhỏ vào lĩnh vực
giải tích, đặc biệt là giải tích lồi. Đến năm 1976, Roberts phát biểu định
lý khá nổi tiếng, ông đã xây dựng một F − không gian, chứa một tập
compact nhưng khơng có điểm cực biên, do đó định lý Krein-Milman
khơng cịn đúng cho khơng gian khơng lồi địa phương.
Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa các chứng minh, ví dụ, cũng như
trình bày chi tiết, bổ sung những chi tiết nhỏ trong q trình chứng

minh định lý, góp phần bổ sung kiến thức về khơng gian metric tuyến
tính vốn khơng có cơ hội tiếp cận trong q trình học đại học, đây là
mục tiêu chính của khóa luận này.
Khóa luận "Điểm cực biên của các tập lồi, compact trong
khơng gian metric tuyến tính" được trình bày qua ba chương:
4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Chương 1 trình bày các khái niệm về khơng gian metric tuyến tính,
khơng gian modular, mối liên hệ giữa F − chuẩn và khơng gian modular,
các ví dụ về khơng gian metric tuyến tính.
Chương 2 tập trung giới thiệu điểm cực biên, trình bày chi tiết
định lý Krein-Milman và chứng minh các hệ quả suy ra từ định lý.
Trong chương 3 này chủ yếu mô ta nguyên tắc xây dựng không
gian F − chuẩn chứa tập compact lồi nhưng khơng có điểm cực biên của
Roberts đưa ra năm 1976, trình bày chi tiết và bổ sung những ý nhỏ
trong chứng minh định lý Roberts.

SVTH: Nguyễn Văn Đức

5

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Chương 1


CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ
KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN
TÍNH
1.1

Định nghĩa về khơng gian metric tuyến tính và định lý
chuẩn bất biến

Cho X là một khơng gian tuyến tính trên trường số thực.
Phép toán + của hai phần tử x và y được kí hiệu: x + y
Phép tốn nhân một phần tử x với một tích vơ hướng t: tx
Cho A, B là các tập con của X. Khi đó
∆

A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B}
Cho t ∈ R
∆

tA = {ta/a ∈ A}
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử trên X có một metric ρ. Khơng gian X được
gọi là khơng gian metric tuyến tính nếu phép toán cộng và phép toán
nhân với một số là liên tục đối với metric ρ. Tức là:

6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí


(i) ∀x0 , y0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > 0 : ∀x ∈ X mà ρ(x, x0) < δ1, ∀y ∈ X
mà ρ(y, y0) < δ2 thì ρ(x + y, x0 + y0) < ε.
(ii) ∀x0 ∈ X, ∀t0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > 0 : ∀t ∈ R mà |t − t0 | < δ1 ,
∀x ∈ X mà ρ(x, x0) < δ2 thì ρ(tx, t0x0) < ε
Có thể gọi X là khơng gian metric tuyến tính hoặc (X, ρ) là khơng
gian metric tuyến tính.

Chúng ta nói rằng một tập U ⊂ X là cân ( hay cân bằng) nếu với mỗi
t ∈ R, |t|

1 thì tU ⊂ U . Từ đó ta có các nhận xét sau:

Nhận xét 1.1.1. U cân ⇔ ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U, tu ∈ U .
Chứng minh
Thật vậy:
"⇒" ∀t ∈ [−1, 1],do U cân ⇒ tU ⊂ U
Mặt khác ∀u ∈ U ⇒ tu ∈ tU ⊂ U
⇒ tu ∈ U
"⇐" ∀t ∈ [−1, 1] phải chứng minh tU ⊂ U :
∀z ∈ tU ⇒ ∃u ∈ U : z = tu.Từ giả thiết ta suy ra :
tu ∈ U ⇒ z ∈ U
⇒ tU ⊂ U ⇒ U cân
Nhận xét 1.1.2. Mỗi lân cận W của zero đều chứa một lân cận cân U
của zero.
Chứng minh
Bổ đề 1.1.1. ∀t ∈ R, t = 0 , V mở trong X thì tV mở trong X.

SVTH: Nguyễn Văn Đức


7

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Chứng minh.
Cho ϕ : X −→ X xác định bởi:
x −→ tx
⇒ ϕ là liên tục (do định nghĩa của không gian metric tuyến tính)
và
ψ : X −→ X xác định bởi:
1
y −→ .y
t
⇒ ψ là liên tục (do phép nhân một số với một vectơ)
và:
ψo ϕ = idX
ϕo ψ = idX
⇒ ϕ là một phép đồng phơi.
Ta có : ϕ(V ) = tV
⇒ tV mở trong X
Bổ đề 1.1.2. Cho X là khơng gian metric tuyến tính, V mở trong X,
x0 ∈ X, x0 + V = {x0 + x|x ∈ V } mở trong X, V ⊂ X thì U + V mở
trong X.
Chứng minh.
ϕ : X −→ X xác định bởi:

x −→ x + x0
⇒ ϕ liên tục
ψ : X −→ X xác định bởi:
y −→ y − x0
⇒ ψ liên tục.

SVTH: Nguyễn Văn Đức

8

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

ψo ϕ = idX
ϕo ψ = idX
⇒ ϕ là phép đồng phôi
⇒ ϕ(V ) mở
⇒ x0 + V = ϕ(V ) mở trong X
Ta lại có U + V =

(x + v)
x∈U

⇒ U + V mở trong X

Chọn 0 < |t0 | < δ1 ta chứng minh 0 ∈ t0 V

Ta có: 0 = t0 .0 (mà 0 ∈ V )
⇒ t0.0 ∈ t0 V
tV

⇒ 0 ∈ t0 V ⊂
0<|t|<δ1

Ta tiếp tục chứng minh nhận xét
W là một lân cận của 0 trong X ⇒ ∃ε > 0 : B(0, ε) ⊂ W
∆

Đặt W1 = B(0, ε)
o.0 = 0( do phép nhân một vectơ và một tích vơ hướng liên tục.)
⇒ ∃δ1, δ2 > 0 :
∀t ∈ R, ∀ε > 0 mà |t| < δ1 ∀x ∈ X mà ρ(x, 0) < δ2 thì ρ(tx, 0) < ε
Đặt V = B(0, δ2)
tV ⇒ U mở do tV mở và là lân cận của điểm 0

U=
0<|t|<δ1

Bây giờ ta chứng minh
+ Chứng minh U ⊂ W .
tV

∀x ∈ U ⇒ x ∈
0<|t|<δ1

⇒ ∃t0 ∈ R : 0 < |t| < δ1 mà x ∈ t0 V
⇒ ∃v ∈ V : x = t0 v

SVTH: Nguyễn Văn Đức

9

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

⇒ ρ(v, 0) < δ2
⇒ ρ(t0v, 0) < ε
⇒ t0v ∈ B(0, ε) ⊂ W
⇒x∈W
⇒U ∈W
+ Chứng minh U cân.
∀λ ∈ [−1, 1] , ∀u ∈ U chứng minh: λu ∈ U
Ta có: ∀u ∈ U =

tV
0<|t|<δ1

⇒ ∃t ∈ R : 0 < |t| < δ1 : u ∈ tV
⇒ ∃v ∈ V : u = tv
⇒ λu = λtv ∈ λtV
Mà λt

|t| < δ1


+ Nếu λ = 0 ⇒ λu = 0 ∈ U (do U là lân cận của 0)
+ Nếu λ = 0 ⇒ 0 < |λt| < δ1 ⇒ λu ∈

tV = U
0<|t|<δ1

⇒ U cân. ⇒ đpcm.

Ta nói rằng hai metric ρ(x, y) và ρ′ (x, y) là tương đương nếu topo cảm
sinh bởi chúng là trùng nhau hay nói cách khác:
∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ, δ ′ > 0 sao cho:
{y : ρ′ (x, y) < δ} ⊂ {y : ρ(x, y) < ε},
{y : ρ(x, y) < δ ′ } ⊂ {y : ρ′ (x, y) < ε}.
Một dãy {xn } được gọi là tiến đến một phần tử x ∈ X(hay hội tụ đến
x) đối với metric ρ(x, y) nếu:

SVTH: Nguyễn Văn Đức

10

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

lim ρ(xn , x) = 0

n→∞


Ta cũng có thể viết: xn −→ x
ρ

Định nghĩa 1.1.2. Một metric ρ(x, y) được gọi là bất biến nếu:
ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y)

∀x, y, z ∈ X

Định lý 1.1.1. (Kakutani,1936). Cho (X, ρ) là khơng gian metric tuyến
tính. Khi đó tồn tại một metric bất biến ρ′ (x, y) tương đương với metric
ρ(x, y)
Để chứng minh Định lí Kakutani, ta sẽ chứng minh một định lí tổng
quát hơn:
Định lý 1.1.2. Cho X là một khơng gian topo tuyến tính, nếu tồn tại
một hệ cơ bản, đếm được các lân cận của 0 thì có một metric bất biến
trong X tương ứng với topo đã cho, ở đây tồn tại một hệ cơ bản, đếm
được các lân cận của 0 có nghĩa là tồn tại một họ {Un}n∈N gồm các lân
cận của 0 trong x mà với mỗi lân cận V trong X của 0 ta đều tìm được
một số n ∈ N sao cho Un ⊂ V .
Chú ý 1.1. Nếu X là một khơng gian topo tuyến tính khả metric, gọi
d là một metric trên X tương thích với topo đã cho trên X. Khi đó xét
{Un}n∈N ở đây
Un =

x ∈ X/d(0, x) <

1
n


Rõ ràng {Un}n∈N là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của 0. Do đó
ta thấy rằng định lí Kakutani là một hệ quả trực tiếp của định lí trên.

SVTH: Nguyễn Văn Đức

11

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Chứng minh
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.3. Cho X là một khơng gian topo tuyến tính. Khi đó với mỗi
lân cận V của 0 ta đều tìm được một lân cận cân, mở U của 0 mà U ⊂ V
Chứng minh
Xét ánh xạ f : R × X → X xác định bởi f (x, t) = tx, ∀(t, x) ∈ R × X.
Khi đó ánh xạ này liên tục do định nghĩa của một khơng gian topo tuyến
tính.
Do đó nó liên tục tại (0,0) ⇒ ∃δ > 0 và một lân cận mở U1 của 0
trong X mà ∀t ∈ (−δ, δ), ∀x ∈ U1 ta đều có tx ∈ V . Bây giờ ta đặt
U=

tU1
t∈(−δ,δ)\{0}

Khi đó U là lân cận mở cân phải tìm.

Ta tiếp tục chứng minh định lí.
Gọi {Un}n∈N là hệ cơ bản các lân cận của 0, ứng với U1 ta có thể tìm
được một lân cận mở, cân V1 của 0 mà V1 ⊂ U1( do bổ đề trên). Do V1
và U2 là các lân cận của 0 cho nên U2 ∩ V1 cũng là một lân cận của 0.
Do tính chất của khơng gian topo tuyến tính ta tìm được một lân cận
′

V2 của 0 sao cho:
′

′

V2 + V2 ⊂ U2 ∩ V1
Sử dụng bổ đề trên ta tìm được một lân cận mở, cân V2 của 0 mà
′

V2 ⊂ V2 . Khi đó ta có:
′

′

V2 + V2 ⊂ V2 + V2 ⊂ U2 ∩ V1
Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được một họ đếm được {Vn }n∈N
gồm các lân cận mở, cân của 0 và thỏa mãn các tính chất sau:
SVTH: Nguyễn Văn Đức

12

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

(i) Vn ⊂ Un; ∀n ∈ N
(ii) Vn+1 + Vn+1 ⊂ Vn ; ∀n ∈ N
Ta sẽ xây dựng metric bất biến nhờ họ {Vn }: Với mỗi tập con hữu
hạn khác rỗng H của N, ta đặt tương ứng với một lân cận VH =

Vn
n∈H

2−n. Khi đó VH là một lân cận của 0. Ta gọi H là họ

và với số PH =
n∈H

tất cả các tập hữu hạn khác rỗng của N. Dễ dàng chứng minh:
(iii) Nếu PH < 2−n thì n < h, ∀h ∈ H. Từ đó VH ⊂ Vn , ∀n ∈ N.
Ta lập một hàm thực | . |như sau:

|x| =



1

nếu x ∈
/ VH , ∀H ∈ H



inf {P : H ∈ H, x ∈ V } nếu ∃H ∈ H : x ∈ V
H
H
H

(1.1)

ta thấy hàm | . | là một hàm khơng âm và có các tính chất sau:
(1)|x| = 0 ⇔ x = 0, ở đây x là một phần tử bất kì của X.
(2)|λx|
(3)|x + y|

|x|, ∀x ∈ X; λ ∈ R mà |λ| ≤ 1.
|x| + |y|; ∀x, y ∈ X.

Dễ dàng chứng minh được tính chất (1).
Tính chất (2) được suy ra từ tính cân của tập VH , ∀H ∈ H.
Bây giờ ta chứng minh tính chất (3)
∀x, y ∈ X nếu |x| + |y|
⇒ |x + y|

1 thì |x + y| ln ln nhỏ hơn hay bằng 1

|x||y|. Do đó ta giả thiết |x| + |y| < 1

∀ε > 0 mà |x| + |y| + 2ε < 1. Do định nghĩa của hàm | . | ta tìm được
H, K ∈ H mà x ∈ VH , y ∈ VK và PH < |x| + ε, P (K) < |y| + ε.
Bởi vì PH + PK < 1 nên ta tìm được phần tử M ∈ H :

PM = PH + PK
SVTH: Nguyễn Văn Đức

13

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

Do (ii) ta có VH + VK ⊂ VM ⇒ x + y ∈ VM . Từ đó:
|x + y|

PM = PH + PK < |x| + |y| + 2ε

qua giới hạn khi ε → 0 ta được |x + y|

|x| + |y| ⇒ (3) được chứng

minh.
Từ (2) khi cho λ = −1 ta được | − x|

|x|; ∀x ∈ X. Thay −x vào x

của bất đẳng thức mới thu được | − (−x)|

| − x| ⇒ |x| < | − x| từ đó


ta có:
| − x| = |x|; ∀x ∈ X
Bây giờ ta đặt d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ X. Do các khảo sát ở trên d
là một metric trên X.
Ta thấy d(x + z, y + z) = d(x, y); ∀x, y, z ∈ X.Từ đó để kết thúc chứng
minh định lí này ta chỉ cần chứng minh metric d tương thích với topo đã
cho trên X. Do tính chất của một khơng gian topo tuyến tính và do tính
bất biến của metric d nên ta chỉ cần chứng minh metric d tương thích
với topo của X tại điểm gốc ( tức là ∀ε > 0, tồn tại mỗi lân cận mở V
của 0 (đối với topo cho trước trên X ) mà V ⊂ {x ∈ X/d(0, x) < ε}) và
′

′

với mỗi lân cận V của 0 đều tồn tại một số ε > 0 sao cho:
′

{x ∈ X : d(0, x) < ε } ⊂ V

′

Ta hãy để ý rằng nếu chứng minh được:
(*) {x ∈ X/d(0, x)

2−n−1} ⊂ Vn ⊂ {x ∈ X/d(0, x)

2−n} thì

metric tương thích với topo của X tại điểm gốc.
Do định nghĩa của metric d theo | . | nên (*) có thể viết:

(**) {x ∈ X/|x|
SVTH: Nguyễn Văn Đức

2−n−1} ⇒ |x|
14

2n ⇒ ∃H ∈ H : x ∈ VH và
09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

PH < 2n.
Do (iii) ta có VH ⊂ Vn ⇒ x ∈ Vn ⇒ điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian vectơ, một hàm thực không
âm trên X:
. : X → R+ được gọi là F -chuẩn nếu:
(1) x = 0 ⇔ x = 0
(2) αx = x , khi α ∈ {−1, 1}; x ∈ X.
(3) x + y

x + y ,

∀x, y ∈ X

(4) ∀x ∈ X : ∀{αn } → 0 thì αn x → 0.
(5) ∀α ∈ R, ∀xn ⊂ X mà xn → 0 thì αxn → 0.
(6) ∀{αn } ⊂ R, ∀{xn} ⊂ X mà αn → 0, xn → 0 thì αn xn → 0.

Mệnh đề 1.1.1. Nếu xn − x → 0 và αn → α thì αn xn − αx → 0
Chứng minh.
αn xn − αx = αn xn − αn x + αn x − αx
αn xn − αn x + αnx − αx
= αn (xn − x) + (αn − α)x
= αn (xn − x) − α(xn − x) + α(xn − x) + (αn − α)x
(αn − α)(xn − x) + α(xn − x) + (αn − α)x .
Vế bên phải tiến về 0 nên ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.1.3. Đặt ρ(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X thì ρ là một metric.
Chứng minh.
Ta có:
(1) ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) = x − y

0.

ρ(x, y) = 0 ⇔ x − y = 0
SVTH: Nguyễn Văn Đức

15

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

⇔x−y =0
⇔ x = y.
(2) ρ(x, y) = x − y = − 1(y − x) = y − x = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X.

(3) ∀x, y, z ∈ X.
ρ(x, z) = x − z = x − y + y − z
x−y + y−z
ρ(x, y) + ρ(y, z).
⇒ ρ là một metric.
Nhận xét 1.1.4. Nếu X là một không gian metric tuyến tính ρ là metric
bất biến trên X. Khi đó x

ρ(x, 0); ∀x ∈ X, . là một F - chuẩn.

Chứng minh:
Ta có:
(1) x = 0 ⇔ ρ(x, 0) = 0 ⇔ x = 0.
(2) Chứng minh x = − x
Ta có x = ρ(x, 0)
− x = ρ(−x, 0) = ρ(−x + x, 0 + x) (ρ là metric bất biến)
= ρ(0, x) = ρ(x, 0) (tính đối xứng của metric)
= x .
(3) Ta phải chứng minh x + y
⇔ ρ(x + y, 0)
Ta có: ρ(x + y, 0) = ρ(x, −y)

x + y ,

∀x, y ∈ X

ρ(x, 0) + ρ(y, 0)
ρ(x, 0) + ρ(0, −y)
= ρ(x, 0) + ρ(y, 0)
= x + y


⇒ x+y
SVTH: Nguyễn Văn Đức

x + y .
16

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

(4) ∀x ∈ X, αn → 0 chứng minh αn x → 0.
Do phép nhân một vectơ với một vô hướng là liên tục
αn x → 0x = 0
⇒ ρ(αn x, 0) → 0
⇒ αnx → 0.
(5) ∀α ∈ R, ∀{xn} ⊂ X, xn → 0. Chứng minh: αxn → 0.
Do phép nhân một vectơ với một vô hướng liên tục:
αxn → α.0 = 0
⇒ ρ(αxn ) → 0
⇒ αxn → 0.
(6) ∀αn ∈ R, ∀xn ∈ X mà αn → 0, xn

→ 0. Chứng minh:

αn xn → 0.
Do phép nhân một vectơ với một vô hướng là liên tục nên:

αn xn → 0.0 = 0
⇒ ρ(αn xn, 0) → 0
⇒ αnxn → 0.

Một khơng gian tuyến tính trang bị một F - chuẩn được gọi là một
F ∗− không gian.
Một F ∗ − không gian trang bị một F − chuẩn x chúng ta ký hiệu là
(X,

) hoặc ngắn gọn là X.

Hai chuẩn

và

gọi là mạnh hơn
SVTH: Nguyễn Văn Đức

1

xác định trên không gian X. Chuẩn

( tương đương với chuẩn
17

1

được

) nếu metric bất biến

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

tương ứng ρ1 mạnh hơn (tương đương với) metric bất biến tương ứng ρ.
Giả sử X là một F ∗ − không gian và Y là một tập con tuyến tính của
X. Rõ ràng rằng Y là một F ∗ − không gian với F − chuẩn thu được bởi
sự hạn chế của F − chuẩn từ X tới Y . Những tập con tuyến tính đóng
được gọi là khơng gian con.
Giả sử (X,

) là một F ∗− không gian và Y là một không gian con của

X. X/Y được gọi là không gian thương (∀x, y ∈ X, XR Y, ⇔ x − y ∈ Y ,
với R là quan hệ tương đương.)
Với mỗi Z ∈ X/Y . Chúng ta định nghĩa chuẩn của lớp Z như sau:
Z = inf { z : z ∈ Z}.
X: F ∗ − không gian
Y: không gian tuyến tính con đóng của X.
∀x, y ∈ X, xRy

x−y ∈Y

⇒ R: quan hệ tương đương, X/Y = X/R
⇒ X/R là một không gian vectơ
∀Z ∈ X/Y, Z = inf z
z∈Z


Chứng minh Z là một F − chuẩn.
(+) Z

0

- ∀Z ∈ X/Y, ∀z ∈ Z, z

0 ⇒ inf z
z∈Z

0, ⇒ Z

0.

- Nếu Z = 0 ⇒ Z = Y , do X là không gian vectơ con của X.
⇒ 0 ∈ Y, 0 = 0 ⇒ 0 = 0

inf z

z∈Z

0, ⇒ inf z = 0, ⇒ Z = 0.
z∈Z

- ∀Z ∈ X/Y mà Z = 0 chứng minh Z = 0 (có nghĩa Z = Y )
Z ∈ X/Y ⇒ ∃x0 ∈ X : x0 + Y = Z
do Z = 0 ⇒ inf z = 0, z ∈ Z

SVTH: Nguyễn Văn Đức


18

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

⇒ ∃{zn } ⊂ Z, zn → 0 ⇒ zn → 0
∀n ∈ N∗ , zn ∈ Z = xo + Y
⇒ ∃yn ∈ Y : zn = xo + yn ⇒ yn = zn − xo → 0 − xo = −xo .
Do Y là đóng trong X, yn ∈ Y ; ∀n ∈ N∗ ⇒ −xo ∈ Y ⇒ xo ∈ Y .
∀y ∈ Y, y = xo + (y − xo ) ⇒ y ∈ xo + Y = Z (do y − xo ∈ Y )
⇒ y ∈ Z ⇒ Y ⊂ Z.
∀z ∈ Z ⇒ z ∈ xo + Y ⇒ ∃y ∈ Y : z = xo + y
do xo ∈ Y ⇒ xo + y ∈ Y ⇒ z ∈ Y ⇒ Z ⊂ Y.
Từ đó suy ra Z = Y
(+)
Ta có

−Z = Z

− Z = inf t
t∈−Z

Z = inf z
z∈Z


+ ∀t ∈ −Z ⇒ ∃z ∈ Z
t = −z ⇒ t = − z = z
⇒ inf t

inf z

z∈Z

inf z

t∈−Z

z∈Z

Z (1)

⇒ −Z

+ ∀z ∈ Z ⇒ ∃ − z ∈ −Z
−z

inf t

t∈−Z

⇒ z = −z
⇒ inf z

inf t


z∈Z

⇒ Z

inf t

t∈−Z

t∈−Z

− Z (2)

Từ (1) và (2) suy ra Z = − Z
(+)

Z +T

Z + T , ∀Z, T ∈ X/Y .

Cho z ∈ Z, t ∈ T , Z + T = z + t

SVTH: Nguyễn Văn Đức

19

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: TS. Lê Hồng Trí

ε
>0
2
ε
⇒ z ∈ Z : z < Z + do ( Z = inf z )
z∈Z
2
ε
∀ε > 0 ⇒ > 0
2
ε
⇒ ∃t ∈ T : t < T +
2
⇒ z+t
z + t
Z + T +ε
∀ε > 0 ⇒

⇒ ε+ Z + T
⇒ Z + T

z+t

Z+T

Z + T − ε, ∀ε > 0

Qua giới hạn khi ε → 0

⇒ Z + T

Z+T

(+) Cho αn → 0, chứng minh: αn Z → 0
chọn zo ∈ Z, αn Z = αn zo
⇒ αn Z

αn zo → 0

⇒ αn Z → 0.
(+) Cho Zn → 0, α ∈ R, chứng minh: αZn → 0.
∀n ∈ N∗ , chọn zn ∈ Zn
1
zn
Zn +
n
⇒ zn → 0
⇒ αzn → 0
∀n ∈ N∗ , αZn

αzn → 0

⇒ αZn → 0.
(+) Cho αn → 0, Zn → 0, chứng minh αn Zn → 0
∀n ∈ N∗ , chọn zn ∈ Zn
1
zn
Zn +
n

⇒ zn → 0

SVTH: Nguyễn Văn Đức

20

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

⇒ αn zn → 0
αn zn , ∀n ∈ N∗

mà αn Zn
⇒ αn Zn → 0

Do đó X/Y là một F ∗ − không gian.

Cho n F ∗- không gian (Xi,

i, i

= 1..n). Khi đó:

X1 × X2 . . . × Xn = {(x1, x2, ..., xn)/x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 , ..., xn ∈ Xn }
là F ∗ - không gian với :
(x1, x2, ..., xn) = x1 1 + x2


2

+ ...+ xn n .

Chứng minh x là một F ∗ − chuẩn.
n

+ Ta có x =

xi
i=1

0

i
n

xi

x =0⇔

i

=0

i=1

⇔ xi


i

= 0, ∀i = 1..n

⇔ xi = 0, ∀i = 1..n
⇔ x = (0, 0, . . . , 0)
(+) α = −1, − x = − (x1, x2, . . . , xn)
= (−x1, −x2, . . . , −xn)
n

− xi

=

i

=0

i=1
n

xi

=

i

=0

i=1


= x
(+) ∀x = (x1, x2, . . . , xn)
y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ X1 × X2 × . . . × Xn
n

xi + yi

x+y =

i

=0

i=1

x1 + y1 1 + x2 + y2
SVTH: Nguyễn Văn Đức

2

+ . . . + xn + yn
21

n

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: TS. Lê Hồng Trí

x1 1 + y1 1 + x2 2+ y2

2

+ . . . + xn n + yn

n

n

n

xi

yi

+

i

i

i=1

i=1

= x + y .


(+) ∀xk = (xk1 , ..., xkn) ∈ X1 × X2 × . . . × Xn mà xk → 0, ∀α ∈ R
phải chứng minh αxk = (αxk1 , ..., αxkn) → 0
n

Do xk → 0 ⇒
mà xki

i=1

xki

→ 0, ∀i ∈ {1 . . . n}

i

xk → 0

i

⇒ xki → 0 khi k → ∞
⇒ αxki → 0 khi k → ∞
n

⇒
i=1

αxki

i


→ 0 khi k → ∞

⇒ αxk → 0 khi k → ∞
(+) αk → 0
∀xk = (xk1 , . . . , xkn) ∈ X1 × X2 × . . . × Xn ⇒ αk xk = (αk xk1 , . . . , αk xkn )
mà xk → 0 phải chứng minh αk xk → 0 khi k → ∞
Ta có x

k

n

→0⇒
⇒

xki

i=1
xki i

i

→0

→ 0, ∀i ∈ {1, .., n}

⇒ αk xki → 0
n


⇒
i=1

αk xki

i

→0

⇒ αk xk → 0 khi k → ∞
1.2

Không gian modular

Cho X là không gian tuyến tính. Một modular là hàm khơng âm ρ :
X → [0; +∞) thỏa mãn:
(1) ρ(x) = 0 ⇔ x = 0.

SVTH: Nguyễn Văn Đức

22

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

(2) ρ(αx) = ρ(x) nếu |α| = 1.

(3)ρ(αx + βy)

ρ(x) + ρ(y) nếu α, β

0, α + β = 1.

(4) ρ(αn x) → 0 khi αn → 0 và ρ(x) < +∞
và hơn nữa
(5)ρ(αxn) → 0 khi ρ(xn ) → 0 thì modular ρ(x) được gọi là metric
hóa được.
Nhận xét 1.2.1. Cho 0

α

1 ta có: ρ(αx)

⇒ ρ(γx) là hàm đơn điệu tăng theo γ
Cho 0

δ thì: ρ(γx)

γ

ρ(x)

0. (từ (3) ta suy ra)

ρ(δx).

Thật vậy:

(+) Trường hợp 1: Nếu γ = 0 ⇒ ρ(γx) = 0

ρ(δx)

(+) Trường hợp 2: Nếu γ > 0 ⇒ δ > 0
γ
ρ(γx) = ρ( .δx) ρ(δx).
δ
Nhận xét 1.2.2. (5’): ρ(xn) → 0 ⇔ ρ(2xn) → 0. Khi đó (5’) ⇔ (5).
Thật vậy:
(+) (5) ⇒ (5’).
ρ(xn) → 0 ⇒ ρ(2xn) → 0
1
Cho ρ(2xn) → 0 ⇒ ρ( .2xn) → 0 ⇒ ρ(xn) → 0.
2
(+) (5’) ⇒ (5).
∀α ∈ R, ρ(xn) → 0.
Ta có:
Khi α = 0, ρ(αxn) = 0 → 0.
Khi α > 0 ⇒ ∃p ∈ N∗ : 2p

α.

ρ(xn) → 0 ⇒ ρ(2xn) → 0 ⇒ ρ(22xn) ⇒ . . . ⇒ ρ(2p xn) → 0
SVTH: Nguyễn Văn Đức

23

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Lê Hồng Trí

⇒ ρ(αxn )

ρ(2pxn ) → 0

⇒ ρ(αxn ) → 0
.

Khi α < 0:
ρ(αxn) = ρ(−1(αxn)) = ρ((−α)xn) → 0.

Đặt Xρ = {x ∈ X/∃k > 0 : ρ(kx) < +∞}.
Mệnh đề 1.2.1. Xρ là khơng gian tuyến tính con của X.
Chứng minh
(+) ∀x, y ∈ Xρ ta chứng minh x + y ∈ Xρ
Ta phải chứng minh ∃k > 0 : ρ (k(x + y)) < +∞
Do x, y ∈ Xρ ⇒ ∃kx , ky : ρ(kx x) < +∞
ρ(ky y) < +∞
Lấy k = min

kx ky
,
2 2

, k > 0. Khi đó:
1

1
2kx + 2ky
2
2
ρ(2kx + 2ky)

ρ(k(x + y)) = ρ(kx + ky) = ρ

ρ(kx x + ky y) < +∞
⇒ x + y ∈ Xρ
(+) ∀x ∈ Xρ , ∀α ∈ R chứng minh: αx ∈ Xρ
Khi α = 0 ⇒ ρ(0x) = 0 < +∞ ⇒ αx ∈ Xρ
Khi α > 0: do x ∈ Xρ ⇒ ∃k > 0 : ρ(kx) < +∞
k
k
αx = ρ(kx) < 0 mà > 0 ⇒ αx ∈ Xρ .
Ta có ρ
α
α
Khi α < 0: x ∈ Xρ chứng minh −x ∈ Xρ .
Do x ∈ Xρ ⇒ ∃k > 0 : ρ(kx) < +∞
⇒ ρ(−kx) = ρ(kx) < +∞
SVTH: Nguyễn Văn Đức

24

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: TS. Lê Hồng Trí

⇒ ρ(k(−x)) < +∞
mà k > 0 ⇒ −x ∈ Xρ
⇒ (−α)(−x) ∈ Xρ
⇒ αx ∈ Xρ
⇒ Xρ là một không gian tuyến tính con của X.
Nhận xét 1.2.3. Cho F - chuẩn

, αx

x khi 0

α

1 thì

F -chuẩn là một modular.
Chứng minh
Ta dễ dàng kiểm tra được (1), (2). Bây giờ ta đi chứng minh tính chất
sau:
(3) α, β

0, α + β = 1 phải chứng minh ρ(αx + βy)

ρ(x) + ρ(y)

Ta có : ρ(αx + βy) = αx + βy
αx + βy

x + y
= ρ(x) + ρ(y).

Bây giờ ta sẽ xem xét hai định lý về mối liên hệ giữa F − chuẩn và
modular
Định lý 1.2.1. Cho (X,
Đặt x

∗

) là một F ∗ − khơng gian.

= sup αx thì .

∗

là một F -chuẩn tương đương với x

α∈[0,1]

và αx

∗

x

∗

khi |α|


1⇔ .

∗

là một modular.

Chứng minh
∀x ∈ X, cho ϕ : [0, 1] → R xác định bởi :
ϕ(α) = αx ; ∀α ∈ [0, 1]
SVTH: Nguyễn Văn Đức

25

09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng