PHỤ LỤC
PHỤ LỤC.............................................................................................................. ..1
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 2
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................... ..4
§1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA ............................................................................. ..4
§2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO SCHREIER ........ ..9
2.1 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ……………………………………9
2.2 Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp ............................................................ 12
2.3 Mở rộng nhóm với các nhóm abel ........................................................... 19
CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI NHÓM CÁC P-NHĨM
CẤP P 5 ........................................................................................................... 27
§1. CỘT VÀ MA TRẬN CỘT MODULO ........................................................ 27
§2. ĐẲNG CẤU NHĨM CỦA MỘT NHĨM ABEL ........................................ 30
2.1 Xác định thứ tự các đẳng cấu của p-nhóm abel ........................................ 30
§3. CƠ SỞ ĐẶC BIỆT CỦA p-NHĨM ............................................................. 34
§4. PHÂN LOẠI CÁC NHĨM P-NHĨM CẤP P5 ............................................ 43
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 64

1


LỜI MỞ ĐẦU
Bài tốn tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài tốn khó
và đến nay vẫn cịn là một bài tốn mở. Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc hữu
hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B , ta xây dựng thơng qua một số phương trình
giữa các yếu tố bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm B .
Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier, luận văn “ phân loại các
nhóm p-nhóm cấp p 5 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier”
nhằm tìm hiểu về cách phân loại các nhóm khơng abel cấp p 5
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2

chương , trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở chương 2
Trong phần đầu của chương 1, chúng tơi trình bày lại một số định nghĩa, khái
niệm đặc trưng và cần thiết . Phần tiếp theo là một số định lý mở rộng nhóm của Otto
Schreier cần thiết làm cơ sở cho các phần sau
Trong chương 2, để đi đến cách phân loại các nhóm p-nhóm cấp p 5 , tơi đi vào
định nghĩa và một số tính chất của cột và ma trận cột modulo trong bài 1, tiếp theo sử
dụng tính chất của ma trận modulo đi đến phần mở rộng ở các nhóm abel. Ở bài 2, ta
áp dụng các kết quả đặc trưng về nhóm p-nhóm, xác định một số đặc tính của nhóm
đẳng cấu p-nhóm Abel. Sau đó xét tính lũy thừa của các giao hốn tử trong một nhóm
ngun tố và cơ sở đặc biệt của p-nhóm ở bài 3, chuẩn bị cho sự phân loại các nhóm
khơng abel bậc p 5 ở bài 4.
Cuối cùng , cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ
Nguyễn Viết Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư
Phạm_Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học và giúp
đỡ tơi trong q trình học tập và thực hiện luận văn .

2


Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý tận tình của thầy cơ và các
bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Đà Nẵng, ngày 25 tháng 5 năm 2013
Trương Thị Hiệp

3



CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
§1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1.1 Nhóm.
Cho G là tập khơng rỗng cùng với phép tốn hai ngơi “.”. (G,.) được gọi là
nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:
(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì (xy)z = x(yz).
(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x,  x G.
(iii) Với mọi x  G thì tồn tại y  G sao cho xy = yx=e. Ta kí hiệu y là x

–1

.

Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G. Nếu phép tốn hai ngơi trong
nhóm G có tính giao hốn thì G được gọi là nhóm Abel
1.2 Nhóm con.
Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Nếu H cùng với phép toán cảm
sinh của phép tốn trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm
G. Ta kí hiệu H  G.
1.3 Cấp của nhóm.
Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G kí hiệu là G .
Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là nhóm vơ
hạn.

1.4 Nhóm con chuẩn tắc.
Cho G là nhóm và H là nhóm con của G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc
của G nếu  x G,  h  H thì xhx -1  H. Ta kí hiệu H  G.
Định lý 1:
Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:
(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ


X A X A  X A.

4


(ii) X A cùng với phép tốn hai ngơi

 xA, yA   xyA

là một nhóm, gọi là nhóm

thương của X trên A.
Định lý 2:
Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X, các điều kiện sau là tương đương:
a) A là chuẩn tắc.
b) xA  Ax với mọi x  X .
1.5 Nhóm cyclic .
Một nhóm G gọi là xyclic nếu và chỉ nếu G được sinh ra bởi một phần tử a  G.
Phần tử a gọi là một phần tử sinh của G. Như vậy một nhóm G là xyclic nếu và chỉ
nếu các phần tử của nó là các luỹ thừa a  ,   Z , của một phần tử a  G.

1.6 P-nhóm.
Cho G là nhóm.
(i) Nếu G là nhóm cấp pn với n là số tự nhiên, p là số ngun tố thì G được gọi
là p_nhóm.
(ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p_nhóm thì H được gọi là p_nhóm con
của G.
(iii) Nếu G là nhóm cấp m.pnvà (m,p)=1 và H là nhóm con cấp pn của G thì H
được gọi là p_nhóm con Sylov của G.

(iv) Hai nhóm con H1 ,H2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại x thuộc G
sao cho H1=xH2x -1 và ta viết H1~H2 .
Tính chất cơ bản của một p-nhóm:

 

i)

Nếu G  1 và G là một p-nhóm hữu hạn , thì  G có cấp khác 1.

ii)

Nếu H là nhóm con thực sự của G thì H  N G (H).

5


G là một nhóm có cấp là pr , r  1 thì G có một nhóm con chuẩn tắc có cấp là

pr 1.
1.7 Tích trực tiếp.
Cho {Gi} iI là một họ khơng rỗng các nhóm với phần tử đơn vị của Gi là ei. Đặt
G=  Gi ={(xi) iI xi  Gi , i  I }.
iI

Trong G ta xét phép toán sau (xi) iI (yi) iI =(xiyi) iI . Khi đó G cùng với phép
tốn 2 ngơi này lập thành một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của một họ các nhóm
{Gi} iI đã cho, được kí hiệu là

G .

i

iI

Tập con H={(xi) iI xi  ei với hầu hết i thuộc I, trừ ra hữu hạn i thuộc I} là nhóm
con của tích trực tiếp

G

i

và được gọi là tổng trực tiếp ngồi của họ các nhóm {Gi}

iI

iI

đã cho và được kí hiệu là  Gi
iI

1.8 Đồng cấu nhóm.
Ánh xạ f từ nhóm G vào nhóm G’ được gọi là đồng cấu nhóm nếu
f(xx’) = f(x)f(x’); với mọi x, x’ thuộc G.
Khi đó:
(i) f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh.
(ii) f được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh.
(iii) f được gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh.

1.9 Định nghĩa ( tâm của một nhóm).
G là một nhóm. X là tập con khác rỗng của G

Tâm của G, ký hiệu là  G :

 G   g  G / gx  xg , x  G

6


Tâm hoán tử của X trong G:

CG  X    g  G / gx  xg , x  X  .
Nếu X là một tập con khác rỗng và g là một phần tử của nhóm G, liên hợp của
X bởi G là một tập con
X g  g 1 Xg   g 1 xg / x  X 

1.10 Nhóm con hốn tử
X1 , X 2 ,..., X n là các tập con khác rỗng của G. Ta định nghĩa nhóm con hốn tử
của X 1 và X 2 là:

 X 1, X 2    x1 , x2  / x1  X1, x2  X 2
Bằng quy nạp ta định nghĩa:

 X1 , X 2 ,..., X n    X 1, X 2 ,..., X n1 , X n  , n  2
Như vậy : nhóm con của G sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con
hốn tử của G. Ký hiệu: G '  G, G 
Dãy các nhóm hốn tử

 

G  G 0  G 1  G  2  ... với G  n1  G  n ' , gọi là dãy dẫn xuất của G


1.11 Hoán tử:
Cho G là một nhóm và x1 , x2 ,..., xn là các phần tử của G. Hoán tử của x1 , x2 là

 x1, x2   x11x21x1x2  x11x1x

2

Bằng quy nạp ta định nghĩa:

 x1, x2 ,..., xn    x1 , x2 ,..., xn1  , xn  , n  2
1.12 Meta Abel:

7

với  x1   x1


Một nhóm meta abel là một nhóm có nhóm hốn tử là nhóm abel, như vậy
một nhóm G là meta abel khi và chỉ khi có một nhóm con A với A là nhóm abel
sao cho nhóm thương G A là abel
Phân nhóm của một nhóm meta abel là meta abel
1.13 Định nghĩa đồng dư:
Cho a,b,m là các số nguyên, m  0 . Nếu a  b chia hết cho m thì a được gọi là
đồng dư với b modulo m , ký hiệu a  b mod m

1.14 Phương trình đồng dư tuyến tính:
Phương trình dạng ax  b mod m được gọi là phương trình đồng dư tuyến tính
với a,b,m là các số đã biết.

x0 là một nghiệm của phương trình khi và chỉ khi ax 0  b mod m

Nếu x0 là nghiệm thì các phần tử thuộc lớp x0 cũng là nghiệm
1.15

Định lí Sylow.
Cho G là nhóm hữu hạn, số nguyên tố p là ước của cấp G. Khi đó:
(i) Trong G tồn tại p_nhóm con Sylow
(ii) Số các p_nhóm con của G chia p dư 1.
(iii) Mọi p_ nhóm con của G đều nằm trong một p_nhóm con Sylow nào đó của

G

8


§2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO
SCHREIER
2.1 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ
Cho 2 nhóm A và B . Tìm tất cả các mở rộng của A theo B , tức là tìm được
các nhóm B nhận A làm nhóm con chuẩn tắc sao cho B

A

 B . Ta phân tích

B là

1 mở rộng của A theo B , mỗi phần tử B B , chọn B  t ( B ) sao cho t (1B )  1B (lớp kề
của B theo A ) Tích B 'B '' thuộc lớp kề t B ' B '' , suy ra tồn tại

AB ' B ''  A :


B 'B ''  B ' B ''AB ' B '' . Với B 1 AB  AB , AB, BA cũng thuộc BA và ta có:
AB  BAB , E B  E với E  1B

 B 'A ' B ''A ''  B 'B ''A 'B '' A ''  B ' B ''AB ' B '' A 'B '' A ''
Bây giờ ta xem phần tử BA như là cặp  B, A với B  B, A  A





Ta có:  B ', A 'B '', A ''  B ' B '', AB ' B '' A 'B ' A ''
Phần tử đơn vị:

EB  EB , EA 

 B ', A ' E, E   B ', A '

(II)

B ', A 'B '', A '' B ''', A '''  B ', A ' B '', A ''B ''', A ''' 

(I)

Với mọi A ', A '', A ''', B ', B '', B ''' cho trước
Với mọi A, B

:

 B ', A 'B*, A *  E , E


Suy ra B*  B 1

 

A*  A

B 1

1

A1

B , B 1

Từ (I)

9

(III)






 B ' B '' B ''', AB ' B '',B ''' AB ',B '' A 'B '' A ''






B '''



A '''



 B ' B '' B ''', AB ', B '' B ''' A 'B '' B ''' AB '', B ''' A ''B ''' A '''

( I*)

Từ (II)
 B, AB , E AE    B, A



 AB ' B '',B ''' AB ',B '' A 'B '' A ''

(II*)



B '''

A '''  AB ',B '' B ''' A 'B '' B ''' AB '',B ''' A ''B ''' A '''

AB ,E AE  A


(1)
(2)

Từ (2) suy ra với A  E thì AB ,E  E

(3)

Do đó: A E  A

(4)



Từ (1) suy ra với B ''  E , B '''  B thì AB ', E A 'E A ''



B

 A 'B AE , B A ''B

Từ (3) và (4):

 A ' A ''

B

 A 'B AE , B A ''B


(5*)

Cho A '  A ''  E  AE ,B  E

(6)

Và do đó:

 A ' A ''

B

 A 'B A ''B

(5)

Áp dụng (5) ta được:
( n) B

 A ' A ''...A 

 A 'B A ''B ... A( n)

B

Với A '  A, A ''  A1

 

Từ (5) suy ra A B


1

  A1 

B

Từ (1) suy ra :



AB ' B '',B ''' ABB','''B ''' A 'B ''



B '''

 AB ',B '' B ''' A 'B '' B ''' AB '',B '''

Thay B '  E hoặc A ' bởi A , B '' bởi B ' , B ''' bởi B ''
10

(1*)


B ' B ''

A 

 AB1', B '' AB ' B '' AB ', B ''


(7)

Thay vào (1*) ta được:

AB ' B '', B ''' ABB','''B ''  AB ',B '' B ''' AB '',B '''

(8)

Từ (1) và (2) , bằng cách sử dụng E B  E , ta được các kết quả từ (3) đến (8)
Đảo lại bằng cách tính tốn đơn giản cho thấy từ (3) đến (8) kéo theo (1), (2) và
EB  E

Do đó, để cặp  B, A tác động lên tập  B ', A 'B '', A ''  B ' B '', AB ', B '' A 'B '' A ''
một tập hợp các phần tử  E , E thì điều kiện cần và đủ là các phần tử AB , AB ', B '' phải
thỏa mãn các công thức từ (3) đến (8)
Khi các công thức từ (3) đến (8) được thỏa mãn, tiếp theo ta cần có:

 B, EE , A  B, A . Tức là một nhóm các cặp  B, A có thể được tạo ra từ các phần
tử là  B, E và  E , A . Trong đó A  A , B  B
Hơn nữa:

 E, A 'E , A ''  E , A ' A ''

(IV)

 E , A B, E  B, E E , A B 

(V)


 B ', E B '', E   B ' B '', EE , AB ',B '' 

(VI)

Có thể suy ra điều ngược lại từ (IV), (V), (VI) do ta có mối quan hệ giữa các
nhóm như sau:

 B ', E E , A 'B '', E E , A ''  B ', E B '', EE , A 'B ''E , A ''



 B ' B '', E E , AB ', B ''

E , A 'B '' A ''  B ' B '', EE , AB ',B '' A 'B '' A ''

Nghĩa là các công thức (IV), (V), (VI) thể hiện cách xác định mối quan hệ của
nhóm để  E , A  A;B, E  B phải là thành phần hợp thành của A .

2.1.1 Định lý 1:
11


Các hệ thức AB  BA B ; B 'B ''  B ' B ''AB ',B '' cùng với các hệ thức của A luôn
xác định một và chỉ một mở rộng của A theo B , khi đó AB , AB ', B '' thỏa các điều kiện:

 A ' A ''

 AB ' 

B


B ''

 AE  A

 A 'B A ''B

 AB1',B '' AB ' B '' AB ', B ''

(a)
(b)

AB ' B '', B ''' ABB','''B ''  AB ',B '' B ''' AB '',B '''

A

B ,E

 AE , B   E

(c)

Bất kỳ sự mở rộng nào của A theo B đều có thể được định nghĩa bằng các mối
quan hệ trên

2.2 Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp
Ta bắt đầu từ tích trực tiếp của 2 nhân tử . Nhân tử của A trong nhóm B là đẳng
cấu với tích trực tiếp B  B1.B2 . Phần tử B1 B1 , B2  B2 ( tương tự cho B1' , B1'' …).
Như vậy , tương ứng với B1 , B2 trong A lần lượt là B1 , B2 . Tương ứng của B  B1B2
trong A là B1 B2  B

Để xác định các mối quan hệ của B ta giả định:

AB1  B1 AB1 , B1 'B1 ''  B1 ' B1 ''AB1 ' B1 ''
AB2  B2 AB2 , B2 'B2 ''  B2 ' B2 ''AB2 ' B2 ''
B2 B1  B1 B2 AB2 , B1
Từ đó:

AB  AB1 B2  B1 AB1 B2  B( AB1 ) B2
và

B 'B ''  B1 'B2 'B1 ''B2 ''  B1 'B1 ''B2 'AB2 ', B1 '' B2 ''
 B1 ' B1 ''AB1 ', B1 '' B2 ' B2 '' AB

2 ', B2 ''

ABB22 ',''B1 ''

B ' B ''ABB12','BB12'''' AB2 ', B2 '' ABB22 ',''B1 ''

12


 

AB  AB1

Nghĩa là:

B2


AB ', B ''  ABB12','BB12'''' AB2 ', B2 '' ABB22 ',''B1 ''

Các phần tử phải thỏa các điều kiện ở định lý 1
Giả sử các phần tử AB1 , AB1 ', B1 '' và tương ứng AB2 , AB2 ', B2 '' thỏa mãn các điều kiện
đã cho
Ta có:

 A ' A ''

B



B1 B2

  A ' A ''    A '

B1

A ''B1



B2



 A 'B1

B2


B1 B2

  A '' 

E

AE   AE   A

Suy ra thỏa điều kiện (a)
Áp dụng (b) với B '  B2 , B ''  B1 thì

A 
B2

B1

 

 AB1, B A B1
2

1

B2

(1)

AB2 , B1


(1) Thỏa mãn. Nói tóm lại:

'
   AB1



B ' B ''

 

A 

 
B2''

1

B1''

B2''


 
 B1'
1



A

A
'
''
 
 B2 , B1 
 


 

1

  A 
'

A'1

AB' , B ''
2

B2'

B2 , B2''

1

B1' B1''

''


A B'2 B2''

B2' B2''

'

ABB'2,,BB''2 A '
1

B1 , B1

''

B1''

1

B2'



 AB2' , B1'' 



B2''

''

ABB'2, B''

''

B2 , B2

2

1

 AB1', B '' AB ' B '' AB ',B '' suy ra (b) thỏa
Từ (c) với B '  B2' , B ''  B2'' , B '''  B1 thì
AB ' B '' , B ABB1' , B''  AB ' ,B '' B AB '' , B
2 2

1

2

2

2

2 1

2

1

''

 AB' B'' , B ABB'1 , B''  AB' B'' ABB'2,B AB '' ,B

2 2

1

2

2

2 2

2

1

2

(2)

1

Tương tự cho trường hợp với B '  B2 , B ''  B1' , B '''  B1'' thì

13

 A 'B A ''B


''

 ABB'2B'' AB ,B '' AB1 '  AB , B ' B'' AB' , B''

1 1

2

1

2

B2 , B1

1 1

1

(3)

1

Suy ra (2) và (3) thỏa
Ta nhận được:
B2' B2'' B2'''
B1' B1'' B1'''

'''

AB ' B'' ,B ''' ABB' , B''  A

'

''


'''

B2'''
B2' B2'' ,B1'''


 A




A'1 ''

AB' B'' , B''' A
2 2

'''

2



'''

 ABB'2BB''2BB'''2 AB' B'' , B''' ABB'2B'' , B''' ABB'2B'' , B '''
1 1 1




B1'''
B2' , B2''

. A

2 2

B2'''

A

.A

'

B2'''
B2'' , B1'''

1

B2' B2'' B2'''
B1' B1'' , B1'''

1

A

A 
B2'''
B2'' , B1'''


''

2 2

 A 

B2' B2'' B2'''
B1' B1'' , B1'''

B2'''
B2'' , B1'''

2

'''

'

''

1 1

1

1



1


1

2 2

1
B2'' , B2'''

A

1
B2'' , B2'''

A

A 

B2' B2'' B2'''
B1' , B1'' B1'''

A

1

1

B1'''
B2' , B1''

B2' B2'' B2'''

B1'' , B1'''

A

1



B2' B2''
B1' , B1''

B2' , B1'''

'''

1

B2' B2'' B2'''

''

'''

2 2

''

'''

1


1

2

2

2

2

2 2

2

1 1

2

'''

1

2

B2'''

2 2

2 2


2

2

 B2'
 AB1'' ,B1'''


2 2

1

''

'''

2

1

A 

1

2

B2'''
B2' , B2''


A

B2' B2'' , B1'''

A 
B2''
B2' , B1'''

B2'''

.

1

B2'' B2'''


B2'' B2'''
B2'' B2'''
B2'''
 AB2' ,B1'' B1''' AB1'' , B1''' AB2'' , B2''' AB2'' , B1'''


2

1

 AB' , B'' B''' AB'' B'''
AB ,E  ABB12, E AB2 E ABE2 , E  E
AE ,B  AEB,2B1 AE , B2 AEB,2B1  E


Vậy (c) thỏa
Bổ đề: Các quan hệ AB1  B1 AB1 , B1' B1''  B1' B1'' AB' B''
1 1

14

2

1

B2'''

B2 B2'' , B1'''

2

'''

2

B2'''

AB'' , B ''' AB'' , B '''

. AB' , B'' B''' ABB'2,BB2'' B''' ABB''2,BB2''' AB'' , B''' ABB''2,B ''
2






B2'''

AB' B '' , B''' A '

2



B1'''

AB ' B'' , B ''' ABB'2B '' ,B ''' .



''

'''

2

1

 ABB'2,BB2''BB2''' ABB''2,BB2'''B2 AB' B'' , B''' ABB'2, B'' AB''1, B ''' ABB'2,BB2''' AB '' ,B ''' AB''1,B ''' ABB'2,BB2'''
1

 B ''
 AB2'2, B1''



A  

 

2

'''

B2'''

B1'''
B2' , B2''

'''

A   
B2'' B2'''





B2'''

ABB1' , B''

B2 B2 , B2'''

B2'' B2'''




B1'''

2

2



1



'

''

1

1

'''

AB'1, B'' B''' ABB''2,BB2'''B2
2

2 2




1

.


AB2  B2 AB2 , B2' B2''  B2' B2'' AB' B''

2 2

B2 B1  B1 B2 AB2 , B1
Cùng với các quan hệ trong A luôn xác định một mở rộng của A theo B1B2 nếu
các phần tử AB1 , AB' B'' và các tương ứng AB2 , AB ' B'' thỏa các điều kiện của định lý 1,
1 1

2 2

cùng với AB2 ,B1 thỏa các phương trình (1), (2), (3)
Bây giờ ta xét tích của 3 nhân tử. Lập B = B1B2B3 , để xác định các mối quan
hệ của B ta giả định

ABi  Bi ABi , Bi' Bi''  Bi' Bi'' AB' ,B'' , Bi B j  B j Bi ABi , B j
i

i

 i, j  1,2,3; i  j 
-


Với mọi i thì ABi , AB ' ,B '' thỏa các điều kiện của định lý 1
i

-

i

Với i, j  i  j  thì ABi , AB ' , B'' , ABi , B j thỏa (1), (2), (3)
i

i

Để tìm điều kiện của ABi , AB ' ,B '' . Đặt B2B3  B0 , đưa về hai dạng nhân tử. Cố
i

i

định B0 bởi B0  B2 B3
Ta có:

 

AB0  AB2

B3

'

''


''

; AB' ,B ''  ABB'2,BB3'' AB ' , B '' ABB'3, B''
0

0

2

2

3

3

3

2

AB0 , B1  ABB3, B AB , B
2

1

3

1

Theo giả định ở trên , các phần tử AB0 , AB ' B'' thỏa định lý 1, như vậy còn lại yêu
0 0


cầu (1), (2), (3)
-

Điều kiện 1:

Trong (1) thay chỉ số 2 bởi 0 ta được:

 
AB0

B1





A B2



B3 B1



 AB31, B1



AB2




15

B1 B3



AB3 , B1


1
B3 , B1

A

 A   A 
1

B3
B2 , B1

B1



B2

B3


 

ABB23, B1 AB3 , B1  AB01, B1 A B1

B0

AB0 , B1

Suy ra thỏa (1)
-

Điều kiện 2

Từ (2) thay B0'  B3 , B0''  B2 thì :
AB3 B2 , B1 ABB31, B2  AB3 , B2 ABB32, B1 AB2 , B1
 ABB23, B1 AB3 , B1 ABB31 , B2  AB3 , B2 ABB32, B1 AB2 , B1

(4)

Suy ra (4) thỏa. Sau đó
1
B0' B0'' , B1

A



B2''
B3' , B1


. A

B0''
B0' , B1

AB' B'' A
0 0



B3''

AB '' , B  A
0

1

3

A



''



''


. AB' ,B '' ABB'3, B'' ABB'2, B
3

3

3

2

3

1

A

B3' B3''
B2' B2'' , B1

1
B3' B3'' , B1

A

1

A






B3' B3''
B2' , B2''

B3''

2

1

1



'

2

''

 ABB'3,BB3''
2

2



B1

A




B1

B3'
B2'' , B1

3



B3''

A 
B3''
B3' , B1

A

1



B1

'

''


2

1

''

ABB'1 , B'' ABB'3, B''
3

3

3

2



1

A 
B3''
B3' , B2''

B3' B3''
B2' B2'' , B1

A

A 
B1

B3' , B2''

1

1
B3' , B3''

A

A 
B2''
B2' , B1'



B3' B3''

'

''

2

1

B3''

B3' B3''

A  A 

B1
B2' ,B2''

B3' B3''
B2' , B1

AB'' , B
3

1

''



''

ABB''3,BB3 AB' , B '' ABB'3,B AB ' , B ABB'3, B''
3

 ABB'1 , B''
0

0

Như vậy (2) được thỏa mãn
-

3 3




B2''

.

1

B3' B3''
B2' , B2''



1

3

3

AB'1B'' ,B ABB''3 B,B3
3 3

B3''
B3' , B2''

AB ' , B '' A

1

B3' B3''

B2' B2''



2

AB' B '' A

 B3'
 AB2' , B1


''

'

''

A

B3''
B3' , B2''

ABB''3, B AB'' ,B

A  A 
B3''
B3' , B2''

 ABB'3,BB3''




B3' B3''
B2' B2''

1

B3''
B3' , B3''

.A

A

1

''

B3' B3''
B2' B2'' , B1

A

1

B3' B3''
B2' B2'' , B1

ABB''3 ,B AB '' , B

2

1
B3' B3'' , B1

1
B3' B3'' , B1

Điều kiện 3:
(3) Cũng thỏa vì:

16

3

3

1

3

1

3

2



B1


1

AB' , B '' .
3

3

B3''


 .







''

AB , B' B'' AB ' , B '' ABB1 ,B '
0

1 1

1

B3
B2 , B1' B1''


A

B3
B2 , B1' B1''

A

1

0

1

1

AB1, B ''
0



3

1 1

B3
B1' , B1''

A


1

1

''
AB , B ''  ABB1 , B'
3 1
 2 1







1

1

B1''
B3 , B1'

AB , B' B'' AB ' , B'' A

  AB , B ' B'' AB' , B '' ABB1 ,B '
2 1
 2 11 1 1
 ABB'2, B ''

1




B3

''



1

1

 B3
 AB2 ,B1'


B3





 


1






B1''

ABB3, B''
2

1



1

 1
B3
 AB3 , B1'' AB2 , B1''






1

1

AB1,B '' 
2 1



 ABB'0,B ''
1

1

Đặt ABi , B j  AB1j , Bi với i  j
Phương trình (1) đối với nhóm có thể viết lại như sau:

A 
Bi

Bj

 

 ABi1,B j A

Bj

Bi

ABi , B j  i, j  1, 2,3; i  j 

Các phương trình (2) và (3) viết gọn thành:
''

B

AB ' Bj ''  AB1' B '' , B AB ' ,B '' ABB'i, B AB '' , B  i, j  1, 2,3; i  j 
i i


i i

j

i

i

i

j

i

j

Và (4) có dạng
ABB13,B2 AB3 ,B2 ABB32,B1 AB2 , B1 ABB21 , B3 AB1 , B3  E

Từ đó ta dễ dàng đi đến trường hợp nhiều nhân tử. Đó là: B   Bi với i bất
i1

kỳ, khơng cần phải là số nguyên

2.2.1 Định lý 2:
1

Các quan hệ Bi ABi  A Bi ; Bi' Bi''  Bi' Bi'' AB' , B'' ; Bi B j  B j Bi ABi ,B j  i  j  cùng với
i


i

các mối quan hệ trong A luôn xác định một mở rộng của A theo B . Khi đó nhóm A
tồn tại các quan hệ sau:
'' Bi

A A 
'

 A' Bi A'' Bi

AE  A

17

(a)


A 
Bi'

Bi''

'

''

 AB1' ,B '' ABi Bi AB ' ,B ''
i


i

i

b)

i

'''

A

AB' B'' , B''' ABB'i, B''  AB' , B'' B''' AB '' , B '''
i i

i

A 
Bi

i

Bj

i

i

i


i

 

 ABi1, B j A

Bj

i

Bi

ABi , B j

(c)

A

(d)

B j , Bi



ABi , B j  E

''

B


AB ' j, B''  AB'1B'' , B AB' , B'' ABB'i, B AB '' , B
i



 AE , Bi  E

Bi , E

i

i

i i

j

i

i

i

j

i

(e)
j


B

ABBik, Bi ABk , B j ABkj , Bi AB j , Bi ABBji ,Bk ABi , Bk  E

i 

(f)

j; j  k ; k  i 

Trên là các điều kiện cần, nó dẫn đến mỗi một mở rộng của A theo B . Các
phần tử Bi , B j , Bk tạo ra sự mở rộng của A theo Bi , B j , Bk . Chứng minh các điều kiện
đủ thông qua phép quy nạp với một số hữu hạn của nhân tử
Giả sử: B  B1B2 ...Bs
-

Với s  1, 2,3 đã chứng minh

-

Giả sử đúng với s  1

Đặt Bs 1Bs  B0 và B0  Bs1 Bs
Theo các mối quan hệ đã xác định:



AB0  A Bs 1




Bs

; AB0 , Bi  ABBss1 , Bi ; ABi ,B0  ABi , Bs ABBis, Bs 1

 i  1, 2,...., s  2 
Nhận thấy:
-

Các điều kiện (a )  ( f ) thỏa mãn với i, j , k  1, s,(i  j , j  k , k  i )

-

Các điều kiện (a )  ( f ) thỏa mãn với i, j , k  1, s  2,(i  j , j  k , k  i)

-

Các điều kiện (a)  (e) hiển nhiên đúng với s  3

Như vậy ta cần chứng minh  f  trong trường hợp một trong ba  i, j , k  bằng 0

18


Vì  f  có tính đối xứng nên ta có thể giả định k  0 , ta có:
B

ABBi0,Bi AB0 , B j AB0j, Bi AB j , Bi ABBji , B0 ABi , B0






Bs





Bs





Bs

 ABBis,B1 j
 ABBis,B1 j

 ABBis,B1 j



ABBss1 , B j ABs , B j ABBss1 , B j
ABBss1 ,B j ABsj1 , Bi




B



Bs



B



Bs

ABBss1 ,B j ABsj1 , Bi



Bj



B

ABsj, B j AB j ,Bi ABBji , Bs ABBjs ,Bs 1



Bi


ABi ,Bs ABBis, Bs 1



B

ABs , B j ABsj, Bi AB j ,Bi ABBji , Bs ABi , Bs ABBji , Bs 1



ABBjs , Bi ABBji , Bs 1



Bs



Bs

ABBis,Bs 1

ABBis, Bs 1  E Bs  E

Trường hợp nhiều nhân tử đã được thực hiện, như vậy bất kỳ phần tử nào của

B đều được biểu diễn thành tích hữu hạn của Bi
Như vậy định lý 2 đã được chứng minh

2.3 Mở rộng nhóm với các nhóm abel

Xét trường hợp đặc biệt, các phần tử Bi của B là các nhóm cyclic. ni là cấp
của Bi , nó là hữu hạn, B là nhóm abel
Đến bây giờ ta xem Bi như một phần tử bất kì, mà chính xác là một phần tử
được sinh bởi Bi . Thay Bix vào vị trí của Bi , khi đó các phần tử siêu việt Bix liên kết
x

x

ri  x 

trong nhóm con chúng ta kí hiệu bằng B i . Ta đặt B i  B i

, ở quan hệ này ri  x  là số

dư không âm nhỏ nhất của x mod ni , hoặc bằng x, với ni  0.
Bất kì mở rộng của A theo B đều được xác định theo quan hệ:
1

ni

Bi ABi  A Bi ; Bi  Ai ; Bi B j  B j Bi Ai , j  i  j 

Sử dụng các điều kiện của định lý 2, tìm AB , Ai , Ai , j . Trước hết ta tìm
x

ABi ; AB x' , B x'' ; AB x , B y qua AB , Ai , Ai , j
i

i


i

i

Xét trường hợp ni  0 , các ni không trùng nhau ( trường hợp các ni triệt tiêu
làm tương tự)
19


1

x

ABi  Bix ABix  Bi

 ri ( x )

ABi

ri ( x )

r ( x)
 A   A i
Nghĩa là:  B x    Bi 
A i  A 



Bix ' Bix ''  Bi


ri ( x ')  ri ( x '')

 Bi

ri ( x '  x '')

Bi

ri ( x ')  ri ( x '') ri ( x '  x '')

Đặt : ri ( x ')  ri ( x '')  ri ( x ' x '')  ni d i ( x ', x '')

 di ( x ', x '')  đúng với các giá trị 0,1. Khi đó ta nhận được :
Bix ' Bix ''  Bi

x '  x ''

Aidi ( x ', x '') do đó AB x' ,B x''  Aidi ( x ', x '')
i

i

Để tính AB x , B y ta sử dụng biểu thức:
i

i

x'

x ''


x( n )

ABi ABi ... ABi

x'

 ABi

 Bix '' ... Bix( n )

Trong đó q trình cộng các số mũ là cần thiết, ta nhận được kết quả một cách
đầy đủ qua phép quy nạp ban đầu:
Ta có:
1

r ( y ) 1

E  B j ... B j j

B jy Bi B jy  Bi Ai , j



r ( y ) 1

E  B j ... B j j

 B jy 1 Bix Biy  Bi Ai , j
x

i

B



r ( y ) 1

E  B j ... B j j
i, j

A



r ( x ) 1

Bi i



ri ( x )

.... Bi  E

Vì vậy:



AB x , B x  A

i

j

r ( y ) 1

E  B j ... B j j
i, j



r ( x ) 1

Bi i

.... Bi  E

Tiến hành kiểm tra các điều kiện của định lý 2 để xác định các điều kiện ràng
B
buộc của A i , Ai , Ai , j

Từ (a) của định lý 2:

20


 A ' A ''

Bi


 A 'Bi A ''Bi  A E  A 
x

(1)

x

  A ' A ''  A 'Bi A ''Bi

Điều kiện (b) có thể được viết:

A

 A  A  



x
'

x
''
 Bix ' 
 ABix ''   A1x ' x '' ABi A x ' x '' 
A


  Bi , Bi
Bi , Bi 
r ( x ')  ri ( x '')


i
 A 
  Bi 
A 

n d i ( x ', x '')

i
 A 
  Bi 
A 

r ( x '  x '')

i
 A 
  Bi 
A 

A


  di ( x ', x '')
di ( x ', x '') 
AAi
 Ai


A



   di ( x ', x '')
di ( x ', x '') 
AA i
 Ai


Do đó (b) tương ứng
n

i
 A 
 A 

 1

 A Bi 


 Ai AA i 

(2)

Từ (c) suy ra:
x '''

AB x '  x '' , B x ''' ABBxi ' ,B x ''  AB x ' , B x ''  x ''' AB x '' , Bx '''
i


i

i

 
x '''

 AiBi

i

di ( x ', x '')

i

i

i

i

 Aidi ( x ', x '' x ''')  di ( x '', x ''') di ( x '  x '', x ''')

 di ( x ', x '' x ''')  d i ( x '', x ''')  di ( x ' x '', x ''')  d i ( x ', x '')
Và (c) tương đương AiBi  Ai
(Những hạn chế AB x , E  AE , B x  E đã thỏa vì: di  x,0   d i  0, x   0 )
i

i


Điều kiện (d) ban đầu là

A 
Bi

Bj

 

 Ai, 1j A

Bj

Bi

Ai , j  i  j 

(4)

Suy ra (4) thỏa, với gợi ý (1) thông qua phép quy nạp ta có:

21


A 
Bi

B yj






r ( y ) 1

E  B j ... B j j
i, j

 A

1

r ( y ) 1

E  B j ... B j j

Ai , j

Với mọi y ta chứng minh được
r

A

r

E ... B j j ( y ) 1
i, j




B ji ( x '  x '') 1  ... E

 2  x  ni 
Trường hợp x  2 , thay A bởi ABi ta được

A 
Bix

B xj

 E ... B r j ( y ) 1
  Ai , j j




 E ... B rj ( y )1
  Ai , j j






r ( y ) 1

E ... B j j
i, j

. A








r ( y ) 1

. A



1

  Bi
  A
 

 

1

  E ... B rj j ( y ) 1
  Ai , j
 



B yj






Bix 1

1

A

 . A 
B jy

r ( y ) 1

E ... B j j
i, j

Bi



Bix  2 ... E

r ( y ) 1

E ... B j j
i, j


A





Bix 1



Bix  2 ... E





1

 E ... B rj j ( y )1
 Ai , j






Bix 1






1

Bix

A  A
B jy

r ( y ) 1

E ... B j j
i, j

Bix  2 ... E

Vì vậy để (d) thỏa ta cần chứng minh điều kiện:



E ... B jy 1
i, j

A



Bix 1 ... E

i 




x 1

 AiB, ij



... E

E ... B yj 1

(4*)

j ,0  x  ni ,0  y  ni 

Trước hết (4*) cho x  1 và mỗi y xác định x '  x , ta có:

A



E ... B yj 1
i, j

Bix 1
i, j

A


Bix 1 ... E

 
Bj
i, j

A



E ... B yj 1
i, j

 A
Bix 1

.

Bix  2 ... E

 E ... B r j ( y )1
  Ai , j j

E ... B j j
i, j



Bix  2 ... E




Bix  2 ... E

Bix 1

  
B jy 1
i, j

... A

Bix 1

 A
x 2

AiB, ij

Bix  2 ... E
i, j

... E





E ... B yj 1


E ... E jy 1

22



Bix 1

.


Bix 1
i, j

Bix  2 ... E
i, j

A

A



E ... B yj  2
i, j

... A

x 1


x 2

 AiB, ij AiB, ij



Bix  2 ... E
i, j

... A
Bix 1
i, j

A





A  A

Bix  2 ... E

... E



A




x 1

AiB, ij

E ... B yj  2

Bix  2 ... E
i, j

Bj

Bix 1
i, j

Bix  2 ... E
i, j

Bix 1
i, j

A

Bj

 

B yj 1


 A 
E Bj
i, j

 E ... B yj 2
 Ai , j




 
x2

AiB, ij

B yj 1

... E

1



x 2

 Bix 2 ... E
 Ai , j


Bj


Bj



Bix  2 ... E

Bix  2 ... E

AiB, ij

A  
Bix 1
i, j

A  A
Bix 1
i, j

1

... E





1




 

B jy 1





x 2

AiB, ij

x 1

AiB, ij

Bix 1
i, j

... E

B 2j



A






E ... B jy 1

B jy 1

Vậy lập luận tổng quát đã được chúng minh
Hạn chế của (d) : Ai , j Aj ,i  E

(5)

Sử dụng (4*), để có đủ điều kiện hồn thành (5)
Điều kiện (e)
r



r

E ... B j j ( y ) 1
i, j

A



B ji ( x '  x '') 1 ... E

 E ... Br j ( y ) 1
 Aidi ( x ', x '')  Ai , j j








Aidi ( x ', x '')
r



B ji ( x ) 1 ... E



B yj






Bix ''

r

A

r


E ... B j j ( y ) 1
i, j



B ji ( x '') 1 ... E

Do ta bắt đầu xét từ di ( x ', x '')  0 nên sau đó cho di ( x ', x '')  1
Ta có:
r

A

r

E ... B j j ( y ) 1
i, j



B ji ( x '  x '') 1  ... E

 E ... B rj ( y ) 1
 Ai  Ai , j j






B jy

Ai



r ( x ') 1

Bi i

n  ri ( x '')

... Bi i





Bix ''

23

A

r

E ... B j j ( y ) 1
i, j




n 1

Bi i

... E





1

E ... B yj 1

 

Bix  2 ... E
i, j

Bix  2 ... E
i, j



Bix  2 ... E

 ABix 2 ... E
 i, j



1

 ... A   A

Bix  2 ... E
i, j

 E Bj
 Ai , j


A  

E Bj

E ... B yj  2

B 2j

Bix 1
i, j



E Bj






1


r



r

E  ... B j j ( y ) 1
i, j

 A



B ji ( x '  x '') 1  ... E

B jy

Ai
r

1
i

 Ai A

A

B jy
i

A

Áp dụng :

r

E ... B j j ( y ) 1
i, j





B ji ( x '  x '') 1  ... E

Ai A
r

E ... B j j ( y ) 1
i, j

 Ai A

ni

AiBi  Ai AiB, ij




r

E  ... B j j ( y ) 1
i, j





Bini  ... E

n

Bi i ... E

... E

(6)

Suy ra (6) thỏa, áp dụng (4*):



B jy
i

r


E ... B j j ( y ) 1
i, j

 Ai A

A



n

Bi i ... E

Điều kiện (f) là :

 E ... Biy 1
 Ai , j






E ... Bix 1

A j ,i






B xj 1 ... E

B yj 1 ... E





Bkz

A

E ... Biy 1
k, j

 E ... Bkz 1
 Aj , k








Bkz 1 ... E

B jy 1 ... E






Bix

 E ... Bix 1
 Ak ,i






z 1

AiE,k... Bk





Bkz 1 ... E

Bix 1 ... E

B jy


 .



E

(7*)

 0  x  n ;0  y  n ;0  z  n 
i

j

k

Với x  y  z  1
B

 AiB, kj Ak , j Ak ,ij Aj ,i A jB,ik Ai ,k  E

(7)

Suy ra (7*) thỏa
(7*) đã được chứng minh với cả ba biến  x ', y ', z ' , với 0  x '  x , 0  y '  y ,
0  z '  z . Giả sử z  1  nk


 Ai , j





E ... Biy 1



B xj 1 ... E





Bkz 1

A

E ... Biy 1

k, j



Bkz ... Bz

24


x 1
  AkE,i... Bi








Bkz 1 ... E

B jy

Bk

 
  .
 



.  Ai , j




E ... Bix 1



Bky 1 ... E

   E ... Bkz 1
   Ak ,i
 

Bk





B yj 1 ... E

Bix

Bk

   E ... Bkz 1
   Ai ,k
  





Bk

Bix 1  ... E





Bkz ... Bz



 .


E Bk  E

Do đó:

 E ... Biy 1
 Ai , j




.A





 E ... Bix 1
 A j ,i




B yj 1 ... E
j ,k

A




B xj 1 ... E

B xj 1 ... E
i ,k



Bkz 1

A

E ... Biy 1

k, j



Bkz ... Bz

Bk

E ... Biy 1

Ak , j

 E ... Bix 1
 Ak ,i





B yj 1 ... E


B jy 1 ... E
E ... Bix 1 
A
A
 j ,k
 k ,i



B jy 1 ... E


E ... Bix 1
A
k
,i










Bk ... Bkz



B jy

Bix


B xj 1 ... E
A
.

i ,k


Bk ... Bkz

E

Giả định:

A

B jy 1 ... E
j ,k




 E ... Bix 1
 A j ,i




E ... Bix 1
k ,i

 A

B jy

 A



B yj 1 ... E
j ,i



Bk

E ... Bix 1

A

B yj 1 ... E

j ,k



Bix

Đưa kết quả này vào phương trình cuối ta được (7*) cho 3 biến  x, y, z  1 , kết
hợp kết quả các trường hợp lại với nhau, ta được

2.3.1 Định lý 3 :
B
n
1
Các mối quan hệ Bi ABi  A i , Bi i  Ai , Bi Bj  B j Bi Ai , j  i  j  cùng các mối

quan hệ của A luôn luôn xác định một mở rộng của A với các nhóm abel từ cơ sở

ni  khi

A thỏa mãn các quan hệ sau:

 A ' A ''

Bi

 A 'Bi A ''Bi

(a)

n


i
 A 
 A 
 A Bi    A1 AA 


 i
i

(b)

25