Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Trang
Mục lục

1

Danh mục các kí hiệu

2

Mở đầu

3

Lời cảm ơn

5

Chương 1: Các kiến thức cơ bản

6

Chương 2: Mơđun ICE-nội xạ

13

Kết luận

28

Tài liệu tham khảo

29

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
N  M : N là môđun con của M.

N e M : N là mô đun con cốt yếu của M.

N  M : N là hạng tử trực tiếp của M.
M  N : Tổng trực tiếp của môđun M và mơđun N.

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
Cùng với sự phát triển của tốn học hiện đại nói chung, lý thuyết
mơđun đã được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều

kết quả xuất sắc.
Khái niệm về môđun nội xạ và các vấn tổng quát về khái niệm
này được nhiều nhà Tốn học nghiên cứu, khái qt và lấy đó làm cơ sở
để xây dựng các khái niệm mới. Năm 1997, nhà Tốn học R. Yue Chi
Ming gọi một mơđun M là I-nội xạ nếu với mọi đẳng cấu giữa hai
mơđun con của M có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của M. Đây
chính là động lực để xây dựng nên các khái niệm, tính chất của mơđun
ICE-nội xạ.
Môđun ICE-nội xạ là một trường hợp tổng quát của mơđun nội
xạ và vành chính quy Von Neumann. Mơđun ICE-nội xạ được dùng để
nghiên cứu về vành chính quy Von Neumann, vành di truyền và vành
Artinian. Đó là lí do để chúng tôi chọn đề tài này.
Trong đề tài này thông qua một số kết quả của lý thuyết vành và
môđun, đặc biệt là môđun ICE-nội xạ của tác giả Yu Zenghai, chúng tôi
cố gắng làm rõ hơn các vấn đề của ICE-nội xạ, mối quan hệ của môđun
ICE-nội xạ với các vấn đề quan trọng khác của lý thuyết mơđun.
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngồi phần mở
đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo:
Chương 1: Các kiến thức cơ bản
Chương 2: Môđun ICE-nội xạ

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

Ở chương này, chúng tơi sẽ đưa ra định nghĩa môđun ICE-nội xạ và
nghiên cứu một số vấn đề sau:

 Hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ và môđun con đẳng cấu
với hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ.
 Mối quan hệ giữa môđun ICE-nội xạ, môđun CS, môđun liên tục
và tựa liên tục.
 Đưa ra tiêu chí để có thể chứng minh mỗi mơđun tựa nội xạ, xạ
ảnh là mơđun nội xạ.
 Tìm hiểu tính chất của vành di truyền.
 Đưa ra một số điều kiện đủ để tổng trực tiếp các R-môđun ICEnội xạ là R-mơđun ICE-nội xạ.

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Trương Công Quỳnh. Nhân
dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo hướng dẫn – người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn chu đáo và
tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu, thực hiện luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, tập thể cán
bộ giảng viên khoa Toán, Phòng Đào tạo-Trường Đại học Sư phạm Đà
Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học
tập tại trường.
Mặc dù đã cố gắng nhưng khả năng cịn nhiều hạn chế nên khơng
thể tránh được những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được sự góp ý,
chỉ bảo của q thầy cơ và các bạn.


Đà Nẵng, tháng 5, năm 2013
Tác giả

Khổng Hoàng Phương

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong tồn bộ luận văn, ta qui ước vành R có đơn vị khác
khơng và được kí hiệu là 1.
Ở chương 1, chúng tôi sẽ đưa ra một số kiến thức cơ bản để phục
vụ cho việc nghiên cứu chương tiếp theo.
Định nghĩa 1.1
Cho R là vành. Một R-môđun phải M là:
(1) Nhóm cộng aben M cùng với
(2) Ánh xạ

M R  M

 m, r 

mr

được gọi là phép nhân môđun, thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Qui tắc kết hợp:  mr1  r2  m  r1r2 

(ii) Qui tắc phân phối:  m1  m2  r  m1r  m2r
m  r1  r2   mr1  mr2

(iii) Qui tắc unita: m.1  m
trong đó m, m1, m2 là các phần tử tuỳ ý của M, r1 , r2  R.
Lúc đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta
thường kí hiệu M  M R .Tương tự ta cũng định nghĩa R-mơđun trái.
Cho R, S là hai vành. Nhóm aben (M, +) là một song môđun Rbên phải S-bên trái (kí hiệu SMR) nếu
(a) M là R-mơđun phải và M là S-mơđun trái.

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

(b) Ta phải có:  sx  r  s  xr  , (r  R, s  S, x  M ).
Định nghĩa 1.2: Cho môđun M và N  M . Môđun con N được gọi là cốt
yếu trong M nếu với mọi môđun con K khác 0 của M ta ln có
N  K  0 . Kí hiệu: N e M .

Nếu N là mơđun con cốt yếu của M thì ta nói M là mở rộng cốt
yếu của N.
Ví dụ: M e M , nZ e Z (n  0) .
Định nghĩa 1.3: Cho môđun M và N  M . Mơđun con N được gọi là
đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà N e K
thì K  N .
Định nghĩa 1.4: Cho mơđun M và N  M . Môđun con N được gọi là
hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con K của M sao cho

M  N  K . Lúc đó ta nói K là mơđun con phụ của N trong M. Kí hiệu:

N  M .
M  N  K
.
N  K  0

Từ định nghĩa ta suy ra ngay: N  M  K  M : 
Ví dụ:

(1) Cho M là khơng gian vectơ hữu hạn chiều. Khi đó mọi khơng
gian con của M đều có khơng gian con phụ.
(2) Khơng phải mọi mơđun con của một mơđun đều có mơđun
con phụ, chẳng hạn ta xét . Lấy N  n với n  0 . Với mọi m , m  0 ta
có mn  m  n nên m  n  0 có nghĩa là n  m khơng là tổng trực
tiếp. Vậy n khơng có mơđun con phụ nào trong .

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.5:
Vành R được gọi là vành chính quy Von Neumann nếu với mỗi
phần tử a  R thì tồn tại phần tử b  R sao cho a  aba .
Vành R được gọi là vành chính quy mạnh nếu với mỗi phần tử
a  R thì tồn tại phần tử b  R sao cho a  a 2b .


Định nghĩa 1.6: Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu với mỗi
đơn cấu f : K  N , mỗi đồng cấu g : K  M thì tồn tại một đồng cấu
f : N  M sao cho f f  g .

Định nghĩa 1.7: Môđun M được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu
với mỗi đơn cấu f : K  M , mỗi đồng cấu g : K  M thì tồn tại một tự
đồng cấu f : M  M sao cho f f  g .

Mệnh đề:
(1) Cho mơđun M ' là nội xạ và M

SVTH: Khổng Hồng Phương

M ' . Khi đó M cũng là nội xạ.

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

(2) Cho mơđun M là nội xạ và B là hạng tử trực tiếp của M. Khi
đó B cũng là môđun nội xạ.
Chứng minh:
(1) Xét biểu đồ, trong đó f : K  N là đơn cấu, g : K  M là
đồng cấu và  : M  M ' là đẳng cấu

Vì M ' là nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : N  M ' sao cho hf   g .
Phải chứng minh tồn tại f : N  M sao cho f f  g .
Đặt f : N  M sao cho f   1h . Khi đó, f f   1hf   1 g  g .
Vậy M là môđun nội xạ.

(2) Xét biểu đồ, trong đó f : K  N là đơn cấu, g : K  B là đồng
cấu,  : B  M là đơn cấu chính tắc và  : M  B là tồn cấu chính tắc.

Vì M là nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : N  M sao cho hf   g .

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

Phải chứng minh: Tồn tại đồng cấu f : N  B sao cho f f  g . Đặt
f : N  B thỏa mãn f   h . Khi đó ta có f f   hf   g  g . Vậy B là

môđun nội xạ.
Định nghĩa 1.7: Chúng ta xét các điều kiện sau cho R-môđun M:
(1) M thỏa mãn điều kiện C1 nếu N  M , M '  M : N e M ' .
A

(2) M thỏa mãn điều kiện C2 nếu 

B


A  M

 B  M .

 N  M


(3) M thỏa mãn điều kiện C3 nếu  K  M  N  K  M .
N  K  0


Định nghĩa 1.8: Cho M là R-mơđun. Khi đó:
(1) M được gọi là mơđun CS nếu nó thỏa mãn điều kiện C1.
(2) M được gọi là mơđun liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện C1
và C2.
(3) M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện
C1 và C3.
Định nghĩa 1.9: Cho R-môđun M và Z (M )  {m  M / mK  0, K e R} .
Nếu Z (M )  M thì M được gọi là mơđun suy biến.
Nếu Z (M )  0 thì M được gọi là môđun không suy biến.
Vành R được gọi là không suy biến phải nếu môđun RR là
môđun không suy biến.
Định nghĩa 1.10: Môđun E được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E
là nội xạ và E cốt yếu trong M. Kí hiệu E ( M ) .

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.11: Cho M là R-mơđun. M được gọi là môđun
Noetherian nếu mọi dãy tăng của những môđun con của M:
M1  M 2  ...  M n  ... đều dừng, nghĩa là tồn tại m nguyên dương để
M m  M m1  ...


Vành R được gọi là vành Noetherian phải nếu RR là môđun
Noetherian.
Định nghĩa 1.12: Cho M là R-môđun. M được gọi là môđun Artinian
nếu mọi dãy tăng của những môđun con của M: M1  M 2  ...  M n  ...
đều dừng, nghĩa là tồn tại m nguyên dương để M m  M m1 với m đủ lớn.
Vành R được gọi là vành Artinian phải nếu RR là môđun
Artinian.
Định nghĩa 1.13: Cho M là R-môđun. M được gọi là p-nội xạ nếu với
mỗi iđêan chính B của R, mỗi R-đồng cấu f : B  M tồn tại m  M sao
cho f (b)  mb ( b  B ).
Vành R được gọi là vành p-nội xạ phải nếu RR là môđun p-nội
xạ.
Định nghĩa 1.14: Môđun MR được gọi là đơn nếu M  0 và M chỉ có
hai mơđun con là 0 và M.
Vành R được gọi là đơn nếu R  0 và R chỉ có hai iđêan hai phía
là 0 và R.
Định nghĩa 1.15: Vành R được gọi là QI-vành phải nếu mỗi R-mơđun
phải tựa nội xạ là nội xạ.

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.16: Vành R được gọi là V-vành phải nếu mỗi R-môđun
phải đơn là nội xạ.
Định nghĩa 1.17: Vành R được gọi là tựa Frobenius nếu mỗi R-môđun

phải xạ ảnh là nội xạ.
Định nghĩa 1.18: Cho I là iđêan của vành R và I  R . I được gọi là
iđêan cực đại của R nếu với mọi iđêan J của R sao cho I  J thì suy ra
J  I hoặc J  R .

Định nghĩa 1.19: Gọi {I j } jA là họ tất cả các iđêan cực đại của vành R.
Khi đó căn Jacobson của vành R, kí hiệu là J ( R) được xác định như
sau: J ( R) 

Ij .
jA

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2: MƠĐUN ICE-NỘI XẠ
Ở chương này, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa môđun ICE-nội xạ và
nghiên cứu một số vấn đề sau:
 Hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ và môđun con đẳng cấu
với hạng tử trực tiếp của môđun ICE-nội xạ.
 Mối quan hệ giữa môđun ICE-nội xạ, môđun CS, môđun liên tục
và tựa liên tục.
 Đưa ra tiêu chí để có thể chứng minh mỗi môđun tựa nội xạ, xạ
ảnh là môđun nội xạ.
 Tìm hiểu tính chất của vành di truyền.
 Đưa ra một số điều kiện đủ để tổng trực tiếp các R-môđun ICEnội xạ là R-môđun ICE-nội xạ.

Định nghĩa 2.1 ([5]): Một R-môđun phải M được gọi là ICE-nội xạ nếu
mỗi môđun con N mà đẳng cấu với môđun con đóng C, bất kỳ R-đẳng
cấu của N vào C được mở rộng thành một tự đồng cấu của M. Vành R
được gọi là vành ICE-nội xạ phải nếu RR là ICE-nội xạ. Tức là, với mỗi
biểu đồ gồm các đồng cấu:

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

trong đó: i: A  M là đơn cấu chính tắc f: A  C là đẳng cấu, thì tồn
tại tự đồng cấu h: M  M sao cho h

A

 f.

Mệnh đề 2.1: Mỗi hạng tử trực tiếp của một R-môđun ICE-nội xạ là
ICE-nội xạ.
Chứng minh:
Giả sử M là R-môđun ICE-nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M.

Ta xét biểu đồ, trong đó: i: N  A là đơn cấu chính tắc,
f : N  C là đẳng cấu,  : A  M là một đơn cấu chính tắc. Vì M là ICE-

nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu g: M  M sao cho g


N

 f . Xét

 : M  A là một tồn cấu chính tắc.

Chúng ta cần chứng minh tồn tại tự đồng cấu h : A  A sao cho
h

N

 f .

Đặt h : A  A thỏa mãn h   g . Theo sơ đồ, ta thấy
g i   f  hi   g i   f  f (Do   1 ). Vậy h

SVTH: Khổng Hoàng Phương

N

 f .

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 2.2: Nếu K  M thì tồn tại L  M sao cho:
(1) L là mơđun con đóng của M.
(2) L  K e M .

Chứng minh:
Xét tập hợp  {H  M / H cực đại với tính chất H  K  0} . Ta
thấy



(1) Lấy L  . Gọi N là môđun con của M sao cho L e N
Giả sử N  L , ta có L  K  0 . Vì L cực đại nên N  K  0 . Mà
N  K  N và L e N nên ( N  K )  L  N  ( K  L)  0 . Điều này vơ lí

vì L  K  0 . Do đó N  L . Vậy L là mơđun con đóng của M.
(2) Lấy bất kì 0  N  M , giả sử N  ( L  K )  0 thì N  L  0 và
N K  0.

Chúng ta chứng minh ( N  L)  K  0 .
k  N  L
k  ( N  L)  K  
k  K
 k  n  l (n  N , l  L)  n  k  l

Khi đó, ta có n  K  L và n  N nên n  0  k  l  0  k  l  0 .
Vậy ( N  L)  K  0 .
Lúc đó, do L cực đại nên L  N  L  N  0 . Điều này trái giả
thiết. Do đó N  ( L  K )  0 . Vậy L  K e M .

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 15



Khóa luận tốt nghiệp

Mệnh đề 2.3: Cho M là một R-môđun ICE-nội xạ. E  End (M ) và J(E)
là căn Jacobson của E. Khi đó J  E   {f  E , Ker f e M } và E / J  E 
là một vành chính quy Von Neumann.
Chứng minh:
Đặt H = {f  E : Ker f là cốt yếu trong M}, ta có H là một iđêan
của E. Lấy f  H , d  E . Đặt u  1  df
x  Ker f  Ker u
 x  Ker f
 f ( x)  0


 x  Ker u (1  df )( x)  0
 f ( x)  0

x0
 x  d ( f ( x))  0

Vậy Kef f  Ker u  0 . Vì Ker f e M và Ker u  M nên Ker u  0 .
Vì u: M  uM là một đẳng cấu nên ta có ánh xạ ngược v: uM 
M. Từ uM  M và M là môđun ICE-nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu đồng
cấu h của M sao cho h

uM

 v , mà vu  1 nên hu  1 . Do đó H  J ( E ) .

Bây giờ, lấy 0  g  E / J ( E) , g  J ( E ) điều này cho thấy g  H .
Cho K là một mơđun con đóng khác khơng của M, như vậy theo Mệnh

đề 2.2 thì L  Ker g  K là một môđun con cốt yếu của M.
Xét

đồng

cấu:

h  g |K : K  h( K ) .

Vì L  Ker g  K nên

Ker g  K  0 . Do đó Ker h  0 suy ra h đơn cấu.

Xét tương ứng r : h( K )  K
h(k )

SVTH: Khổng Hoàng Phương

k

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

Lấy x1, x2  h( K ) sao cho x1  h(k1 ), x2  h(k2 ) với k1, k2  K
Giả sử x1  x2  h(k1 )  h(k2 )  k1  k2  r ( x1 )  r ( x2 ) (do h là đơn cấu).
Vậy r là ánh xạ.
Với mỗi x1, x2  h( K ) sao cho x1  h(k1 ), x2  h(k2 ) với k1, k2  K . Ta
có: r ( x1  x2 )  r (h(k1 )  h(k2 ))  r (h(k1  k2 ))  k1  k2  r (h(k1))  r (h(k2 )) .

Với mỗi x  h( K ) sao cho x  h(k ) với k  K và p  R . Ta có:
r ( xp)  r (h(k ) p)  r (h(kp))  kp  r (h(k )) p  r ( x) p . Vậy r là đồng cấu.

Với mọi x  h( K ) sao cho x  h(k ) với k  K
Giả sử r ( x)  0  r (h(k ))  0  k  0  x  0 . Vậy r là đơn cấu.
Im r  { y  K / y  r ( x), x  g ( K )}

={y  K / y  r ( g (k )), k  K}
={y  K / y  k , k  K}  K . Vậy r là toàn cấu.

Vậy r là đẳng cấu hay h( K ) K . Xét biểu đồ gồm các đồng cấu:

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

trong đó, i : h( K )  M là đơn cấu chính tắc và r : h( K )  K là đẳng cấu.
Vì M là R-môđun ICE-nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu t : M  M sao cho
ti  r . Khi đó, x  K , tg (k )  rg (k )  rh(k )  k .

x  L  x  a  k (a  Ker g , k  K ) . Xét:
( gtg  g )(a  k )
 ( gtg  g )(a )  ( gtg  g )(k )
 g[(tg  1)k ]  0
 a  k  Ker ( gtg  g )
 x  Ker ( gtg  g )
 L  Ker ( gtg  g )


Ta có: L  Ker ( gtg  g )  M .Vì L e M nên Ker ( gtg  g ) e M .
Khi đó gtg  g  H  J ( E) .Vậy E / J  E  là một vành chính quy.
Ta chứng minh J ( E )  H . Giả sử tồn tại z  J ( E), z  H . Từ giả
thiết suy ra tồn tại b  E sao cho zbz  z  H . Từ bz  J ( E ) , tồn tại a  E
sao cho (1  bz)a  1. Vậy z  z(1  bz)a  ( z  zbz)a  H , điều này mâu
thuẫn.
Mệnh đề 2.4: Cho R là vành ICE-nội xạ phải. Khi đó:
(1)

Ta

đặt

J ( R)

là

căn

Jacobson

của

R

và

Z ( R)  {r  R / rK  0, K e R} . Khi đó R / Z ( R) một vành chính quy Von


Neumann và Z ( R)  J ( R) .
(2) Nếu A là một iđêan của R sao cho A là khơng suy biến. Khi
đó, A là một vành chính quy Von Neumann.
Chứng minh:

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

(1) Ta chứng minh dựa vào Mệnh đề 2.3.
(2) Ta đặt rR (a)  {x  R / ax  0} . Nếu 0  a  A và K là một iđêan
khác 0 thì rR (a)  K là một iđêan cốt yếu của R, từ A là khơng suy biến
theo (2), ta có

a  aba

với

bR .

Đặt

c  bab

thì

c  A và


a  ab(aba)  aca , điều đó chứng tỏ A là một vành chính quy Von

Neumann.
Mệnh đề 2.5: Cho R là vành Notherian phải. Khi đó các điều kiện sau
là tương đương:
(1) R là vành Artinian phải.
(2) Mỗi vành nguyên tố của R là vành ICE-nội xạ.
Chứng minh:
(1)  (2) Hiển nhiên.
(2)  (1) Nếu R là vành nguyên tố, từ R là vành Notherian phải ta

có Z ( R)  0 . Vậy R là vành chính quy theo Mệnh đề 2.3. Từ R là vành
Notherian phải, ta có R là vành Artinian đơn. Ta giả sử, R không phải là
vành nguyên tố. Với mỗi iđêan nguyên tố khác không P của R, theo [1,
Lemma 18.34B] ta có vành R/P là Artinian phải. Vậy R là vành Artinian
phải.
Mệnh đề 2.6: Nếu M là R-mơđun ICE-nội xạ thì bất kỳ đẳng cấu mơđun
con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực
tiếp của M.
Chứng minh:

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

Cho N là một mơđun con của M đẳng cấu với S, trong đó

M  S  D . Nếu j : N  M là đơn cấu chính tắc, g : N  S là một đẳng

cấu, p : M  S là phép chiếu chính tắc thì g mở rộng thành một tự đồng
cấu h của M. Xét biểu đồ sau:

với mỗi n  N thì h(n)  g (n) và g 1 phj (n)  g 1 pg (n)  g 1g (n)  n . Vậy
g 1 ph : M  N sao cho g 1 phj  1 , điều đó chứng tỏ N là một hạng tử trực

tiếp của M
Bổ đề 2.6.1: Cho M là R-môđun phải. Nếu A  N  M và A  M thì
A  N .

Chứng minh:
Vì A  M nên B  M : M  A  B , nghĩa là M  A  B và
A B  0.

Ta có: N  M  N  ( A  B)  N  A  ( B  N ) mà A  ( B  N )  0 .
Do đó, N  A  ( B  N ) . Vậy A  N .
Mệnh đề 2.7: Nếu một R-môđun thỏa mãn điều kiện C2 thì nó sẽ thỏa
mãn điều kiện C3.

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh:
 N  M


Cho  K  M . Ta phải chứng minh N  K  M .
N  K  0


Do N  M nên N '  M : M  N  N ' . Đặt  : M  N ' là phép
chiếu

với Ker   N .

Nếu

k  K và

k  n  n ' (n  N , n '  N ') thì

 (k )  n ' và N  K  N   ( K ) .
Chúng ta sẽ chứng minh: N   ( K )  M .
Ta có:  |K : K   ( K ) là một đơn cấu, do đó K  ( K ) .Vì M thỏa
mãn điều kiện C2 nên  ( K )  M . Ta lại có  ( K )  N ' nên theo Bổ đề
2.6.1 suy ra tồn tại môđun con W của M sao cho N '   ( K )  W . Ta
được M  N   ( K )  W . Vậy M thỏa mãn điều kiện C3.
Mệnh đề 2.8: Nếu môđun M là ICE-nội xạ thì M là mơđun CS khi và
chỉ khi M là tựa liên tục khi và chỉ khi M là liên tục.
Chúng ta chứng minh: Nếu môđun M là ICE-nội xạ thì M là
mơđun CS khi và chỉ khi M là liên tục.
() Hiển nhiên.
() Giả sử A

B và A  M . Theo Mệnh đề 2.6, vì mơđun M là


ICE-nội xạ nên B  M . Do đó, M thỏa mãn điều kiện C2. Vậy M là
môđun liên tục.
Chúng ta chứng minh: M là tựa liên tục khi và chỉ khi M là liên
tục.

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

() Theo Mệnh đề 2.7, ta có ngay nếu M liên tục thì M là tựa

liên tục.
() Giả sử A

B và A  M . Theo Mệnh đề 2.6, vì mơđun M là

ICE-nội xạ nên B  M . Do đó, M thỏa mãn điều kiện C2. Vậy M là
môđun liên tục.
j'
j
Mệnh đề 2.9: Cho dãy khớp 0 
 M 
 N của R-mơđun, trong đó

N là nội xạ và M  N là ICE-nội xạ. Khi đó, M là ICE-nội xạ. Hơn nữa,
M cũng là nội xạ.

Chứng minh:
Ta có: S  M  N là ICE-nội xạ nên theo Mệnh đề 2.1 ta suy ra
M là ICE-nội xạ.
j'
j
Xét dãy khớp 0 
 M 
 N , ta có Im j '  Ker j  0 nên j là

đơn cấu và biểu đồ gồm các đồng cấu, trong đó u : M  S là đơn cấu
chính tắc, p : S  M là tồn cấu chính tắc, i : M  M là ánh xạ đồng
nhất, j : M  N và t : N  S

Ta có M và S  M  N là các mơđun ICE-nội xạ. Do đó, ta có
htj  ui , suy ra phtj  pui  i . Ta đặt g  pht : N  M , khi đó ta được gj

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

ánh xạ đồng nhất. Điều đó chứng tỏ rằng M là hạng tử trực tiếp của N.
Vì N nội xạ nên M cũng nội xạ.
Ta biết rằng vành R là di truyền khi và chỉ khi bất kì mơđun
thương của một R-mơđun nội xạ là nội xạ khi và chỉ khi bất kì tổng của
hai R-mơđun nội xạ là nội xạ. Xét mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.10: Các điều kiện sau là tương đương với vành R đã cho:
(1) R là vành di truyền phải.

(2) Mọi môđun thương của R-môđun phải nội xạ là ICE-nội xạ.
(3) Tổng hai môđun con của R-môđun phải nội xạ là ICE-nội xạ.
(4) Tổng hai môđun con nội xạ đẳng cấu của R-môđun phải là
ICE-nội xạ.
Chứng minh:
(1)  (2) :

Hiển nhiên.

(2)  (3) :

Giả sử M1 và M2 là hai môđun con nội xạ của R-

mơđun M. Ta có M1  M 2 là môđun nội xạ.
Ta xét f : M1  M 2  M1  M 2
(m1, m2 )

m1  m2

Khi đó f là một tồn cấu. Ta có Ker f  M1  M 2 . Ta được
(M1  M 2 ) / ( Ker f ) M1  M 2 . Từ (2), ta có (M1  M 2 ) / ( Ker f ) là môđun

ICE-nội xạ nên M1  M 2 là môđun ICE-nội xạ.
(3)  (4) :

Hiển nhiên.

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 23



Khóa luận tốt nghiệp

(4)  (2) :

của

E.

Giả sử E là R-môđun nội xạ và N là R-môđun con

Đặt

V  {(n, n) U / n  N} ,

U  EE,

U U /V

E1  {(e,0) U / e  E} và E2  {(0, e) U / e  E} . Khi đó ta có được
U  E1  E2 và Ei

E ( i  1, 2 ), vậy theo (4) U là mơđun là ICE-nội xạ.

Ta có E1  E2  0 nên E2 là hạng tử trực tiếp của U , mà ta lại có
U / E1

E2 suy ra U / E1 cũng là một hạng tử trực tiếp của U . Vậy U / E1 là


môđun ICE-nội xạ.
Bây giờ, ta xét tương ứng f : E / N  U / E1
e N

(0, e)  E1

Ta dễ dàng chứng minh được f là một đẳng cấu. Vậy E / N U / E1
nên E / N là môđun là ICE-nội xạ.
(2)  (1) : Cho M là R-môđun nội xạ và N là mơđun con của M.

Ta có i : M / N  M là đơn cấu chính tắc, M nội xạ và M / N là ICE-nội
xạ. Do đó M  (M / N ) là ICE-nội xạ. Theo Mệnh đề 2.9, ta được M / N
là nội xạ.
Mệnh đề 2.11: Các điều kiện sau là tương đương với vành R đã cho:
(1) R là vành nửa đơn và Artinian phải.
(2) Mọi R-môđun là ICE-nội xạ.
(3) RR là ICE-nội xạ và tổng trực tiếp của hai R-môđun ICE-nội
xạ là ICE-nội xạ.
(4) Một R-môđun là phẳng khi và chỉ khi nó là ICE-nội xạ.
(5) RR là ICE-nội xạ và mọi mơđun ICE-nội xạ là nội xạ.

SVTH: Khổng Hồng Phương

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

(6) Bất kì tổng trực tiếp của một R-môđun xạ ảnh và một Rmôđun tựa nội xạ là ICE-nội xạ.
Chứng minh:

Các chứng minh: (1)  (2)  (3) , (5)  (1) , (1)  (4),(5),(6) là hiển
nhiên.
(3)  (1) : Cho M là R-môđun ICE-nội xạ, khi đó theo (3) ta có
E (M )  M là mơđun là ICE-nội xạ. Do đó, theo Mệnh đề 2.9 M là

môđun nội xạ. Vậy với mỗi R-môđun là ICE-nội xạ ta chứng minh được
nó cũng là mơđun nội xạ nên RR là nội xạ. Ta có mỗi R-mơđun tựa nội
xạ là ICE-nội xạ, khi đó tổng trực tiếp của hai R-môđun tựa nội xạ là nội
xạ. Theo [2, Corollary 2.4], ta được R là vành nửa đơn và Artinian phải.
(4)  (1) : Cho M là R-môđun ICE-nội xạ. Khi đó, M và E ( M ) là

các môđun phẳng nên E (M )  M là phẳng. Vậy theo (4) E (M )  M là
ICE-nội xạ và theo Mệnh đề 2.9, ta suy ra được M là nội xạ.
Ta biết rằng, mỗi R-môđun xạ ảnh là R-môđun phẳng. Theo (4)
và cách chứng minh ở trên, ta suy ra được nó là R-mơđun nội xạ. Vậy R
là vành tựa Frobenius bởi [1, Theorem 24.10]. Ta lại có, mỗi R-mơđun
đơn là R-mơđun ICE-nội xạ nên nó cũng là R-môđun nội xạ. Vậy R là
V-vành phải. Vậy R là vành nửa đơn và Artinian phải.
(6)  (1) : Theo Mệnh đề 2.9, ta có thể chứng minh được mỗi R-

mơđun xạ ảnh là mơđun nội xạ. Do đó, R là vành tựa Frobenius. Như
vậy, với mỗi môđun đơn S, E ( S ) là bao xạ ảnh của S, theo (6) ta có
S  E (S ) là mơđun ICE-nội xạ. Chứng minh tương tự như trên S là

SVTH: Khổng Hoàng Phương

Trang 25