TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN
−−− −−−

PHẠM THỊ QUỲNH ANH

ÁP DỤNG TÍNH CHẤT AR VÀ
TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỂ
PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP

Chuyên ngành: Cử Nhân Tốn - Tin

BẢN TĨM TẮT
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn
Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2013


Mục lục

Lời mở đầu

3

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Không gian vecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.3. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Phép co rút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 2. TÍNH CHẤT AR, TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
VÀ ÁP DỤNG PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP TẬP 6
2.1. Tính chất AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Tính chất điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Mối quan hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất động

7
8

2.4. Áp dụng phân loại topo một số lớp tập . . . . . . . . . . .

9


Kết luận

12

Tài liệu tham khảo

13


LỜI MỞ ĐẦU
Người ta bắt đầu nghiên cứu topo vào những năm đầu của thế kỉ 20. Từ
khoảng 1925 đến 1975 nó đã trở thành lĩnh vực lớn mạnh quan trọng bậc
nhất của tốn học. Các khơng gian topo được tìm thấy sẵn có trong giải
tích tốn học. Điều này đã làm cho ngành nghiên cứu các không gian topo
trở thành đối tượng quan trọng trong việc thống nhất toán học. Topo
nghiên cứu những đặc tính hữu dụng của các khơng gian và các ánh xạ
như là tính AR, tính liên thơng, tính compact, tính liên tục.
Tính chất AR là một tính chất được nghiên cứu rất nhiều trong lĩnh
vực topo. Nó cũng là tâm điểm gây sự chú ý và được nhiều nhà Tốn học
trong và ngồi nước quan tâm. Nó có ứng dụng rất nhiều trong tốn học.
Trong đó, đáng chú ý là định lí Borsuk, một định lí rất thú vị.
Tính chất điểm bất động cũng có sức thu hút rất lớn đối với nhiều nhà
Toán học. Bắt đầu là nguyên lý Brouwer năm 1910, được xem là định lý
trung tâm của lý thuyết điểm bất động. Sau đó người ta tìm cách mở rộng
trên các khơng gian khác, như vào năm 1930, Schauder đã mở rộng kết
quả của Brouwer đối với khơng gian Banach.
Các tính chất AR cũng như tính chất điểm bất động đều bất biến qua
các phép đồng phơi. Điều đó nghĩa là một tập đồng phôi với một không
gian AR hay một không gian điểm bất động thì cũng là AR hay là một
khơng gian điểm bất động. Áp dụng tính chất này để chỉ ra hai tập trong

R2 , R3 hay Rn là không đồng phôi với nhau là một cách làm rất hiệu quả.
Và với mục đích tìm hiểu về tính chất AR, tính chất điểm bất động em đã
chọn đề tài:"Áp dụng tính chất AR và tính chất điểm bất động để phân
loại topo một số lớp tập" làm khóa luận kết thúc bốn năm đại học của
mình.
Khóa luận sẽ trình bày một cách hệ thống những vấn đề liên quan đến
tính AR, tính chất điểm bất động và áp dụng chúng để phân loại topo một
số lớp tập.
Khóa luận được chia làm hai chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
−3−


Chương này chủ yếu trình bày lại các kiến thức trong giải tích cơ sở
nhằm phục vụ cho chương 2.
Chương 2: Tính chất AR, tính chất điểm bất động và áp dụng phân loại
topo một số lớp tập.
Chương này trình bày theo 4 mục chính:
- Tính chất AR.
- Tính chất điểm bất động.
- Mối liên hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất động.
- Áp dụng tính chất AR, tính chất điểm bất động để phân loại topo
một số lớp tập.
Do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế
vì vậy em thật sự mong đợi sự góp ý, sữa chữa của tất cả các thầy cô và
các bạn để bài luận văn của em được hồn thiện hơn.
Cuối cùng em xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Hoàng
Thành đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành luận
văn.
Xin cảm ơn tập thể các thầy cô khoa Tốn đã tận tình giúp đỡ em suốt

thời gian qua.
Đà Nẵng, ngày.....tháng.....năm.....
Sinh viên
Phạm Thị Quỳnh Anh

−4−


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Không gian metric

1.2.

Không gian vecto

1.3.

Không gian topo

1.4.

Phép co rút


Chương 2
TÍNH CHẤT AR, TÍNH CHẤT

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ÁP DỤNG
PHÂN LOẠI TOPO MỘT SỐ LỚP
TẬP

2.1.

Tính chất AR

Định nghĩa 2.1. Không gian X được gọi là co rút tuyệt đối với mọi không
gian meric, nếu X ∈ M (M là lớp tất cả các không gian khả metric) và
đối với đồng phôi h ánh xạ không gian X lên tập con đóng h(X) của khơng
gian metric Y, thì tập h(X) là co rút của Y. Ta viết X ∈ AR.

Định lý 2.1. (Xem [3]) Để không gian metric X là AR thì điều kiện cần
X là r− ảnh của một tập con lồi trong khơng gian tuyến tính định chuẩn
và điều kiện đủ X là r−ảnh của một tập con lồi nằm trong khơng gian
tuyến tính lồi địa phương.

Hệ quả 2.1. (Xem [4]) Mỗi tập lồi nằm trong không gian metric tuyến
tính lồi địa phương là AR khơng gian.

Định lý 2.2. (Xem [3]) Mỗi r−ảnh của AR là một AR.


Hệ quả 2.2. Cho X, Y là hai không gian đồng phơi với nhau, khi đó nếu
X có tính chất AR thì Y có tính chất AR và ngược lại.

Định lý 2.3. (Xem [3]) Co rút của một AR không gian là AR không gian.

Định lý 2.4. (Xem [3])Giả sử X là tập con đóng của khơng gian metric X . Nếu x ∈ AR, thì mỗi ánh xạ f : X → Y có thác triển liên tục


f :X →Y.

Định lý 2.5. Giả sử Y là không gian metric. Khi đó Y ∈ AR khi và
chỉ khi với mỗi tập con đóng X của khơng gian metric X và mỗi ánh xạ
f : X → Y đều có thác triển liên tục f : X → Y .

Định lý 2.6. (Xem [3]) Giả sử không gian metric X là hợp của hai tập
con đóng X1 , X2 của nó và X0 = X1 ∩ X2 . Khi đó
1. Nếu X0 , X1 , X2 ∈ AR thì X ∈ AR.
2. Nếu X, X0 ∈ AR thì X1 , X2 ∈ AR.

Định lý 2.7. Tích Đề các X =
phần Xn là AR.

2.2.

∞
n=1 Xn

là AR khi và chỉ khi mỗi thành

Tính chất điểm bất động

Định nghĩa 2.2. Cho X là không gian topo, f : X → X là ánh xạ. Một
điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của X nếu f (x) = x.

Định nghĩa 2.3. Không gian topo X được gọi là có tính chất điểm bất
động nếu mỗi ánh xạ liên tục f : X → X đều có điểm bất động.


−7−


Định lý 2.8. (Brouwer)(Xem [7]) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn
vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động.

Định lý 2.9. (Schauder)(Xem [7]) Cho C là tập lồi của một không gian
định chuẩn X. Khi đó mọi ánh xạ compact f : C → C đều có ít nhất một
điểm bất động.

Ví dụ 2.1. Đoạn [a, b] trong R thì có tính chất điểm bất động.

Ví dụ 2.2. R khơng có tính chất điểm bất động.

Định lý 2.10. Cho X,Y là hai không gian đồng phơi với nhau, khi đó nếu
X có tính chất điểm bất động thì Y có tính chất điểm bất động và ngược lại.

Định lý 2.11. Nếu X là không gian có tính chất điểm bất động thì mọi
co rút của X cũng có tính chất điểm bất động.

2.3.

Mối quan hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất
động

Định nghĩa 2.4. Cho X, Y là các không gian topo một ánh xạ liên tục

f : X → Y gọi là ánh xạ compact nếu tồn tại một tập compact K ⊂ Y
sao cho f (X) ⊂ K .


Định nghĩa 2.5. Khơng gian topo X được gọi là có tính chất điểm bất
động đối với lớp ánh xạ compact nếu mọi ánh xạ compact f : X → X thì
tồn tại x ∈ X sao cho f (x) = x.

−8−


Định lý 2.12. (Borsuk). Mỗi không gian thuộc lớp AR, compact đều có
tính chất điểm bất động.

Định lý 2.13. Mỗi tập lồi, compact trong một khơng gian metric tuyến
tính lồi địa phương bất kỳ đều có tính chất điểm bất động.

Định lý 2.14. Tồn tại một tập có tính chất điểm bất động nhưng không
phải là AR.

2.4.

Áp dụng phân loại topo một số lớp tập

Mệnh đề 2.1. Hình trịn đơn vị D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} và
S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.2. Tập A = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = R2 ; z ≥ 0} và mặt
trụ tròn xoay M = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 +y 2 = a2 } không đồng phôi với nhau.
1
]} ∪
Mệnh đề 2.3. I = [−1, 1] ∈ R và tập X = {(x, sin x1 )|x ∈ (0, 2π

{(0, 0)} ⊂ R2 không đồng phôi với nhau.
1

Mệnh đề 2.4. Tập X = {(x, sin x1 )|x ∈ (0, 2π
]} ∪ {(0, 0)} ⊂ R2 và
S = D1 ∪ D2 với D1 = {(x, y) ∈ R2 |(x + 1)2 + y 2 ≤ 1} D2 = {(x, y) ∈

R2 |(x − 1)2 + y 2 ≤ 1} không đồng phôi với nhau.

Mệnh đề 2.5. Tập K = I ∪ D và và mặt trụ tròn xoay M = {(x, y, z) ∈
R3 |x2 + y 2 = a2 , z ∈ R; } không đồng phôi với nhau. Với I = [−1, 0] ∈
R, D = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 ≤ 1}.

−9−


Mệnh đề 2.6. Tập L = {(x, y, z) ∈ R3 |z = x2 + y 2 ; 0 ≤ z ≤ a2 } và

S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.7. Tập N = {(x, y, z) ∈ R3 |z =

x2 + y 2 ; 0 ≤ z ≤ a} và
S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.8. S n−1 = {x ∈ Rn | ||x|| = 1} và B n = {x ∈ Rn | ||x|| ≤ 1}
không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.9. Tập D2 = {((x, y) × (z, t))|(x, y), (z, t) ∈ D} và S 2 =
{((x, y) × (z, t))|(x, y), (z, t) ∈ S} không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.10. Tập D2 = {((x, y) × (z, t))|(x, y), (z, t) ∈ D} và F =

{((x, y) × (z, t))|(x, y) ∈ D, (z, t) ∈ S} không đồng phơi với nhau.
Mệnh đề 2.11. Tập [−1, 1] × D và tập S × D khơng đồng phơi với nhau.
Mệnh đề 2.12. Tập [−1, 1] × S và tập D2 không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.13. Tập Q = D1 ∩ D2 với D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1}

và D2 = {(x, y) ∈ R2 |(x − 1)2 + y 2 ≤ 1} và S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1
không đồng phôi với nhau.

Mệnh đề 2.14. I = [−1, 1] ∈ R và đường thẳng R không đồng phơi với
nhau.
Mệnh đề 2.15. Hình trịn D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} và đường
thẳng R không đồng phôi với nhau.

− 10 −


Mệnh đề 2.16. I = [−1, 1] và S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} không
đồng phôi với nhau.

Mệnh đề 2.17. Tập T = {(x, 0), (0, y)|x, y ∈ [−1, 1]} và S = {(x, y) ∈
R2 |x2 + y 2 = 1} không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.18. Tập H = H1 ∪H2 ∪H3 và S = {(x, y) ∈ R2 |x2 +y 2 = 1}
không đồng phôi với nhau.
Với H1 = {(x, 0)|x ∈ [−1, 1]}
H2 = {(0, y)|y ∈ [−1,
1]}
√ √

H3 = {(x, x)|x ∈ [ −2 2 ,

2
2 ]}

Mệnh đề 2.19. Tập T = {(x, 0), (0, y)|x, y ∈ [−1, 1]} và đường thẳng R
không đồng phôi với nhau.

1
Mệnh đề 2.20. Tập X = {(x, sin x1 )|x ∈ (0, 2π
]} ∪ {(0, 0)} ⊂ R2 và

S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} không đồng phôi với nhau.
Mệnh đề 2.21. Tập H = H1 ∪ H2 ∪ H3 và đường thẳng R không đồng
phôi với nhau.
Với H1 = {(x, 0)|x ∈ [−1, 1]}

H2 = {(0, y)|y ∈ [−1,
1]}
√ √
H3 = {(x, x)|x ∈ [ −2 2 , 22 ]}
Mệnh đề 2.22. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy (D) là hình trịn
đơn vị tâm O (xem hình 1). ∀i ∈ N ∪ {0}, OAi là các bán kính của hình
trịn với A0 ∈ Ox, A1 ∈ Oy, OAi là phân giác của góc A0 OAi−1 , ∀i
2
∞

. Đặt (U ) =

OAi . (U) và S = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} không đồng

i=0

phôi với nhau.
− 11 −


KẾT LUẬN

Khóa luận đã thực hiện những cơng việc sau:
- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm.
- Trình bày được các tính chất của không gian AR, không gian điểm
bất động.
- Nêu lên được mối quan hệ giữa tính chất AR và tính chất điểm bất
động và áp dụng để phân loại topo một số lớp tập.
Do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức và thời gian, khóa luận chỉ mới
phân loại topo một số lớp tập trong R, R2 , R3 . Hướng mở rộng tiếp theo
là phân loại topo trong các lớp không gian khác.

− 12 −


Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội,
2000.
[2] Đoàn Thị Ngọc Cảnh, Một ví dụ về tập compact khơng lồi có tính
chất điểm bất động,Tuyển tập báo cáo "Hội nghị Sinh viên Nghiên
cứu Khoa học" lần thứ 6, Đại học Đà Nẵng 2008.
[3] Tạ Khắc Cư, Lý thuyết co rút, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà
Nội, 2005.
[4] A.Granas-J.Dugundji, Fixed point theory, Springer, 2003.
[5] Nguyễn Hồng, Khơng gian metric, Nhà xuất bản giáo dục, 1997.
[6] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương - Độ đo và tích phân, Nhà xuất
bản giáo dục, 1996.
[7] Đỗ Văn Lưu, Topo đại cương, Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, 1996.
[8] Đỗ Hồng Tân - Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lí điểm bất động,
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội, 2003.
[9] Lê Hồng Trí, Bài giảng giải tích hàm nâng cao, Tài liệu lưu hành nội
bộ Đại học Đà Nẵng, 2003.