ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN THỊ THU HÀ

ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ
VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018


Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1:

TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2:

TS. Nguyễn Thành Chung

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 28
tháng 01 năm 2018.

Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Một phần rất quan trọng của Tốn học là giải tích, bởi: Giải tích là nền tảng
của Tốn học, giải tích là con đường, là trung tâm của Toán học, là cơ sở cho
việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác. Khi nói đến giải
tích khơng thể khơng nhắc đến Giới hạn. Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn,
sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) đã viết: “Giới hạn là một trong
các vấn đề cơ bản của Giải tích. Có thể nói: Khơng có Giới hạn thì khơng có Giải
tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Chủ đề
Giới hạn có vai trị hết sức quan trọng trong tốn học phổ thơng cịn bởi lẽ: “Khái
niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo
hàm và tích phân. Đây là nội dung bao trùm chương trình Giải tích trung học phổ
thơng”.
Với mong muốn tìm ra một công cụ đơn giản nhưng hiệu quả trong việc giải
các bài toán về giới hạn và cùng với sự định hướng của thầy giáo TS. Phan Đức
Tuấn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Đại lượng vô cùng lớn, vô cùng bé và áp
dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở hệ thống lại các kiến thức liên quan đến giới hạn hàm số và một

số phương pháp tìm giới hạn hàm số, luận văn trình bày, tổng hợp, sắp xếp lại
lý thuyết về các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, cũng như các phương pháp
giải cho các bài toán về tìm giới hạn hàm số và xét sự hội tụ của tích phân suy
rộng bằng các đại lượng vơ cùng bé, vô cùng lớn tương đương. Luận văn cũng tập
trung vào nghiên cứu một số cách thức sáng tạo ra các bài tốn về tìm giới hạn


2

hàm số và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô
cùng lớn tương đương. Cũng như các sai lầm thường mắc phải khi sử dụng các
đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương trong việc tìm giới hạn hàm số.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Lý thuyết giới hạn hàm số.
- Các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
- Các phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét sự hội tụ của
tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
- Các phương pháp sáng tạo ra các bài toán mới về giới hạn hàm số và xét sự
hội tụ của tích phân suy rộng bằng các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương
đương.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết giới hạn hàm số, các vô cùng bé, vô cùng lớn tương
đương, các phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về giới hạn hàm số và xét
sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tác giả đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau để thực hiện đề tài:
+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.
+ Áp dụng phương pháp giải các bài toán về giới hạn hàm số và xét sự hội
tụ của tích phân suy rộng bằng các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
+ Sáng tạo ra các phương pháp giải dựa trên bài toán gốc.

+ Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả
đang nghiên cứu.


3

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Luận văn góp phần bổ sung thêm các tính chất liên quan đến các đại
lượng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương. Đưa ra được mối quan hệ tương
đương giữa các hàm sơ cấp.
6.2. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên
ngành toán, giáo viên phổ thơng giảng dạy tốn và các đối tượng quan tâm đến
các phương pháp giải bài toán giới hạn và xét sự hội tụ của tích phân suy rộng.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và
Kiến nghị, danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành
ba chương:
Các đại lượng vô cùng bé, vơ cùng lớn. Trong chương 1, luận văn trình bày
gồm 3 mục. Mục 1.1, trình bày các định nghĩa, khái niệm và tính chất cơ bản của
giới hạn hàm số; Mục 1.2, trình bày về đại lượng vơ cùng bé; Mục 1.3, trình bày
về đại lượng vơ cùng lớn.
Chương 2. Áp dụng vào tính giới hạn hàm số. Trong chương 2, luận văn trình
bày gồm 2 mục. Mục 2.1, trình bày áp dụng vào tính giới hạn hàm số bằng đại
lượng vơ cùng bé, vơ cùng lớn; Mục 2.2, trình bày một số sai lầm thường mắc
phải khi áp dụng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
Chương 3. Áp dụng vào xét sự hội tụ của phân suy rộng. Trong chương 3,
luận văn trình bày gồm 2 mục. Mục 3.1, trình bày một số kiến thức liên quan của
tích phân suy rộng; Mục 3.2, trình bày về việc xét sự hội tụ của tích phân suy
rộng loại I, loại II.



4

CHƯƠNG 1

ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN

Chương này dành cho việc nhắc lại các khái niệm cơ bản về hàm số, giới hạn
hàm số và một số tính chất cơ bản của giới hạn hàm số cũng như khái niệm và
tính chất của đại lượng vơ cùng bé, vô cùng lớn, quy tắc L’Hospital và khai triển
Taylor, Maclaurin của hàm số.
Trong tồn bộ luận văn, chúng tơi quy ước viết tắt vô cùng lớn (VCL), vô
cùng bé (VCB).
1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1.1. Các định nghĩa về giới hạn hàm số
Cho I là một khoảng của R, khơng rỗng và cũng khơng thu về một điểm. Kí
o

hiệu I chỉ khoảng đóng cùng có mút với I và I chỉ khoảng mở có cùng mút với I .
Định nghĩa 1.1.1 (Giới hạn hữu hạn). Cho f : I → R, l ∈ R
i) Cho a ∈ I , ta nói f có giới hạn là l tại a khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| ≤ η ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.
ii) Nếu I có mút là +∞, ta nói f có giới hạn là l tại +∞ khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x ≥ A ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.
iii) Nếu I có mút là −∞, ta nói f có giới hạn là l tại −∞ khi và chỉ khi

∀ε > 0, ∃B ∈ R, ∀x ∈ I, x ≤ B ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.
Khi f có giới hạn l tại a (l ∈ R), ta nói rằng f có giới hạn hữu hạn tại a.

Định nghĩa 1.1.2 (Giới hạn vô cùng). Cho f : X → R.


5

i) Cho a ∈ I , ta nói f có giới hạn là +∞ tại a nếu và chỉ nếu

∀A ∈ R, ∃η > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < η ⇒ f (x) ≥ A.
ii) Nếu I có mút là +∞, ta nói f có giới hạn là +∞ tại +∞ nếu và chỉ nếu

∀A ∈ R, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x ≥ A ⇒ f (x) ≥ A.
iii) Nếu I có mút là −∞, ta nói f có giới hạn là +∞ tại −∞ nếu và chỉ nếu

∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ I, x ≤ B ⇒ f (x) ≥ A.
Ta nói, f có giới hạn −∞ tại a a ∈ I ∪ {−∞, +∞} nếu và chỉ nếu −f có giới
hạn +∞ tại a.
1.1.2. Tính chất của giới hạn
Mệnh đề 1.1.3 (Tính duy nhất của giới hạn). Nếu f nhận l và l làm giới hạn
tại a, thì l = l .

1.1.3. Quy tắc L’Hospital
Định lí 1.1.4. Nếu các hàm số f (x) và g(x) xác định và liên tục trong lân cận
nào đó của điểm x0 , trong đó x0 là một số hay ∞ và khi x → x0 cả f (x), g(x)
đều tiến tới 0, còn các đạo hàm f (x), g (x) tồn tại trong lân cận nói trên (có thể
f (x)
hữu hạn hay vơ hạn thì
trừ điểm x0 ) và tồn tại giới hạn lim
x→x0 g (x)
f (x)
f (x)

lim
= lim
.
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)
1.1.4. Khai triển Taylor, Maclaurin của hàm số
Định lí 1.1.5 (Cơng thức Taylor). Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp n liên
tục trên đoạn I = [α; β] và có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng (α; β). Nếu a, b ∈ I
thì tồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a; b) nếu a < b, c ∈ (b; a) nếu a > b)


6

sao cho

f (a)
f (a)
(b − a) +
(b − a)2 + ...+
1!
2!
(n)
f (a)
f (n+1) (c)
n
(b − a) +
(b − a)n+1 .
n!
(n + 1)!


f (b) = f (a) +

(1.1)

Công thức (1.1) gọi là công thức Taylor, biểu thức

Rn =

f (n+1) (c)
(b − a)n+1
(n + 1)!

được gọi là phần dư dạng Lagrăng.
Nếu a = 0 thì (1.1) được gọi là cơng thức Maclaurin.
1.2. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé nếu

lim α (x) = 0.

x→x0

Ký hiệu là: VCB(x → x0 ).
1.2.2. Tính chất
Mệnh đề 1.2.2. Nếu lim f (x) = A ∈ R thì (f (x) − A) là VCB(x → x0 ).
x→x0

Định lí 1.2.3. Giả sử α(x), β(x) là hai VCB(x → x0 ) và f (x) là hàm bị chặn
trong lân cận của x0 . Khi đó:
i) α (x) ± β (x) là VCB(x → x0 ).

ii) α (x) · β (x) là VCB(x → x0 ).
iii) α (x) · f (x) là VCB(x → x0 ).

1.2.3. Bậc của vô cùng bé
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử α(x), β(x) là các VCB(x → x0 ).


7

α(x)
= 0, ta nói rằng α(x) là VCB bậc cao hơn β(x).
x→x0 β(x)

i) Nếu lim

α(x)
= c ∈ R\ {0}, ta nói rằng α(x) và β(x) là các VCB cùng bậc.
x→x0 β(x)

ii) Nếu lim

α(x)
= ∞, ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x).
x→x0 β(x)

iii) Nếu lim

α(x)
không tồn tại, ta nói rằng α(x) và β(x) khơng so sánh được
x→x0 β(x)

với nhau.

iv) Nếu lim

1.2.4. Vô cùng bé tương đương
Định nghĩa 1.2.5. Cho α(x), β(x) là hai VCB(x → x0 ). Khi đó, α(x) được gọi
là tương đương với β(x) (ký hiệu là α(x) ∼ β(x)) nếu
α(x)
lim
= 1.
x→x0 β(x)
Định lí 1.2.6. Giả sử α (x) , β (x) , γ (x) là các VCB(x → x0 ). Khi đó
i) α(x) ∼ α(x).
ii) α(x) ∼ β(x) ⇒ β(x) ∼ α(x).
iii) α(x) ∼ β(x), β(x) ∼ γ(x) ⇒ α(x) ∼ γ(x).
iv) α (x) = o (β (x)) ⇒ β (x) ± α (x) ∼ β(x).
Mệnh đề 1.2.7. Giả sử α1 (x) , α2 (x) , β1 (x) , β2 (x) là các VCB khi x → x0
và α1 (x) ∼ α2 (x), β1 (x) ∼ β2 (x). Khi đó

α1 (x) β1 (x) ∼ α2 (x) β2 (x) .
Hệ quả 1.2.8 (Thay thế VCB tương đương). Nếu α(x), β(x) là các VCB(x → x0 ),

α(x) ∼ α1 (x) , β(x) ∼ β1 (x) thì
i) lim [α(x) · β(x)] = lim [α1 (x) · β1 (x)] ,
x→x0

x→x0


8


α(x)
α1 (x)
= lim
,
x→x0 β(x)
x→x0 β1 (x)

ii) lim

nếu các giới hạn trên tồn tại.
Hệ quả 1.2.9 (Quy tắc ngắt bỏ các VCB bậc cao). Nếu α(x), β(x) là các
VCB(x → x0 ), β(x) là VCB bậc cao hơn α(x) thì

α(x) ± β(x) ∼ α(x).
Mệnh đề 1.2.10. Giả sử α(x) và β(x) là các VCB(x → x0 ). Khi đó, nếu α(x) ∼

β(x) thì α(x) − β(x) = o(α(x)).
1.2.5. Các vơ cùng bé tương đương bậc cao
Trên cơ sở các khai triển Taylor, Maclaurin và VCB tương đương cơ bản khi

x → 0 của hàm sơ cấp, ta xây dựng được các VCB tương đương bậc cao như sau:
1)
2)
3)
4)
5)

x3
x5

x3
∼
.
x − sin x ∼ ; x − sin x −
6
6
120
x2
x4
x2 x4
x6
1 − cos x −
∼ − ; 1 − cos x −
+
∼
.
2
24
2
24 720
x3
3x2
sin x − x cos x ∼ ; x sin x − cos x + 1 ∼
.
3
2
x3
x3
2x5
tan x − x ∼ ; tan x − x −

∼
.
3
3
15
x3
tan x − sin x ∼ .
2

1.3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Hàm số f (x) được gọi là một vô cùng lớn khi x → a nếu

lim f (x) = ∞.

x→a

Kí hiệu là: VCL(x → a).


9

1.3.2. Bậc của vô cùng lớn
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f (x), g(x) là các VCL(x → a).

f (x)
= ∞ thì ta nói rằng f (x) là VCL bậc cao hơn g(x).
x→a g(x)

i) Nếu lim


f (x)
= 0 thì ta nói rằng f (x) là VCL bậc thấp hơn g(x).
x→a g(x)

ii) Nếu lim

f (x)
= c ∈ R\ {0} thì ta nói rằng f (x), g(x) là các VCL cùng bậc.
x→a g(x)

iii) Nếu lim

1.3.3. Vô cùng lớn tương đương
Định nghĩa 1.3.3. Cho f (x) và g(x) là hai VCL(x → a). Khi đó, f (x) được gọi
là tương đương với g(x) nếu

f (x)
= 1.
x→a g(x)
lim

Ký hiệu: f (x) ∼ g(x).
Định lí 1.3.4. Giả sử f (x), g(x), h(x) là các VCL(x → a). Khi đó
i) f (x) ∼ f (x).
ii) f (x) ∼ g(x) ⇒ g(x) ∼ f (x).
iii) f (x) ∼ g(x), g(x) ∼ h(x) ⇒ f (x) ∼ h(x).
Hệ quả 1.3.5. Nếu f (x) và g(x) là các VCL(x → a), f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼

g1 (x) thì

i) lim [f (x)g(x)] = lim [f1 (x)g1 (x)],
x→a

x→a

f (x)
f1 (x)
= lim
,
x→a g1 (x)
x→a g(x)

ii) lim

nếu các giới hạn trên tồn tại.


10

Hệ quả 1.3.6. Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f (x) là VCB(x → a) thì
VCL(x → a) và ngược lại, nếu f (x) là VCL(x → a) thì

1
là
f (x)

1
là VCB(x → a).
f (x)


Hệ quả 1.3.7 (Quy tắc ngắt bỏ các VCL bậc thấp). Nếu f (x), g(x) là các
VCL(x → a), g(x) là VCL bậc thấp hơn f (x) thì f (x) ± g(x) ∼ f (x).
Nhận xét 1.3.8. Giả sử f (x), g(x) là các VCL(x → a). f (x) và g(x) đều là tổng
f (x)
của nhiều VCL khơng cùng bậc. Khi đó, giới hạn của tỉ số
bằng giới hạn
g(x)
của tỉ số hai VCL bậc cao nhất trong f (x) và g(x).
Mệnh đề 1.3.9. Trong các hàm sơ cấp cơ bản, ta có ln x, ex , xn là VCL(x → +∞)
chúng có mối quan hệ về bậc như sau:
i) ln x là VCL bậc thấp hơn xn (với n > 0).
ii) ln x là VCL bậc thấp hơn ex .
iii) xn là VCL bậc thấp hơn ex (với n > 0).

1.3.4. Các vô cùng lớn tương đương
Trên cơ sở so sánh bậc của các VCL(x → +∞) và quy tắc ngắt bỏ VCL bậc
thấp, ta xây dựng được các VCL tương đương như sau:
Mệnh đề 1.3.10. Với mọi m, n > 0
i) xn ± lnm x ∼ xn .
ii) ex ± lnm x ∼ ex .
iii) ex ± xn ∼ ex .


11

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG VÀO GIỚI HẠN HÀM SỐ

Chương này dành cho việc áp dụng vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương để

khử các dạng vô định của hàm số và trình bày một số sai lầm khi áp dụng vô
cùng bé, vô cùng lớn tương đương.
2.1. ÁP DỤNG VÀO TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ
2.1.1. Khử dạng vơ định

0
khi x → 0
0

x2
Bài tốn 1. Tính giới hạn L = lim √
.
√
x→0
1 + x sin x − cos x
Lời giải:

√
√
x2 1 + x sin x + cos x
x2
L = lim √
= lim
√
x→0
1 + x sin x − cos x
1 + x sin x − cos x x→0
√
√
x2 1 + x sin x + cos x

4
= lim
= .
2
x→0
3
3x
2

Sáng tạo bài tập: Trên cơ sở sử dụng các vô cùng bé tương đương bậc cao, tác
giả xây dựng một số bài toán sau đây:
Bài tốn 2. Tính giới hạn

L = lim

x→0

=

tan2 x
1 + tan x · sin(tan x) −

cos(tan x)

4
.
3

Bài tốn 3. Tính giới hạn


ln(cos x)
L = lim √
.
x→0 4 1 + x2 − 1
x2 √
1
Lời giải: Ta có ln(cos x) ∼ − , 4 1 + x2 − 1 ∼ x2 . Suy ra, L6 = −2.
2
4


12

2.1.2. Khử dạng vô định

0
khi x → x0 = 0
0
ex−1 − sin(x − 1) − 1
.
x→1
(x − 1)2

Bài toán 4. Tính giới hạn L = lim

x2
(xem mục 1.2.5)
Lời giải: Vì e − sin x − 1 ∼
2
et − sin t − 1

t2
1
Nên L = lim
=
lim
=
.
t→0
t→0 2t2
t2
2
sin(ex−1 − 1)
Bài toán 5. Tính giới hạn L = lim
.
x→1
ln x
x

Lời giải: Đặt t = x − 1, ta được

sin(et − 1)
.
L = lim
t→0 ln(t + 1)
Sử dụng VCB tương đương, ta thu được
sin(et − 1) ∼ et − 1 ∼ t,
ln(1 + t) ∼ t.
sin(et − 1) t
Suy ra,
∼ = 1. Vậy, L2 = 1.

ln(t + 1)
t
Sáng tạo bài tập

2x − 2
√
.
x→1 1 − 6 2 − x2

Bài tốn 6. Tính giới hạn L = lim
Lời giải: Đặt t = x − 1, ta được

2(2t − 1)
√
L = lim
.
t→0 1 − 6 1 − 2t − t2
Sử dụng VCB tương đương cơ bản ta thu đươc

6

2t − 1 ∼ t ln 2,
1
1
1 − 2t − t2 − 1 ∼ (−2t − t2 ) ∼ − t.
6
3

2(2t − 1)
√

Suy ra,
∼ 6 ln 2. Vậy, L = 6 ln 2.
1 − 6 1 − 2t − t2
√
2 − (cos x + sin x)
Bài toán 7. Tính giới hạn L = limπ
.
x→ 4
esin(x−π /4 ) − 1


13

π
Lời giải: Đặt t = x − , ta được
4
√
π
π
√
2 − cos(t + ) + sin(t + )
4
4 = lim 2 (1 − cos t) .
L = lim
t→0
t→0
esin t − 1
esin t − 1
Sử dụng các VCB tương đương, ta thu được
t2 sin t

1 − cos t ∼ ; e − 1 ∼ t.
2√
√
2 (1 − cos t)
2t
Suy ra, L4 = lim
= lim
= 0. Vậy, L = 0.
sin
t
t→0
t→0 2
e −1
2.1.3. Khử dạng vơ định

∞
∞

√
x ex
.
Bài tốn 8. Tính giới hạn L1 = lim
x→+∞ x + ex
+ Sử dụng VCL tương đương
√
√
x ex
x ex
x
√

L = lim
=
lim
=
lim
= 0.
x→+∞ x + ex
x→+∞ ex
x→+∞
ex
(Vì x là VCL bậc thấp hơn ex .)
Sáng tạo bài tập

√

Bài tốn 9. Tính giới hạn L = lim

x→+∞

√
x2 + 4 + 2x + 3 x
√
.
x2 − 4 + x

Lời giải: Sử dụng các VCL tương đương, ta được:
√
√
x2 + 4 + 2x + 3 x ∼ 3x, x2 − 4 + x ∼ 2x.
√

√
x2 + 4 + 2x + 3 x
3x 3
√
= .
Vậy, L15 = lim
= lim
x→+∞
x→+∞ 2x
2
x2 − 4 + x

(x + 1)2 + ln7 (x + 1)
Bài tốn 10. Tính giới hạn L = lim
.
x→+∞
9x2 − 2x − 1
Lời giải: Sử dụng các VCL tương đương, ta được:

(x + 1)2 + ln7 (x + 1) ∼ (x + 1)2 .
1
Vậy, L = .
9


14

2.1.4. Khử dạng vô định ∞ − ∞
Sáng tạo bài tập
Bài tốn 11. Tính giới hạn


L = lim

x→0

cot x −

1
.
x

Lời giải: Ta có

cos x 1
−
x→0
sin x x
Sử dụng VCB tương đương, ta có:
L = lim

x cos x − sin x
.
x→0
x sin x

= lim

x3
sin x ∼ x, x cos x − sin x ∼ −
3

Do đó

−x3
L = lim 2 = 0.
x→0 3x
2.1.5. Khử dạng vô định 0 · ∞
Sáng tạo bài tập
Bài tốn 12. Tính giới hạn

L = lim [ln(2x + 1) · cot x].
x→0

ln(2x + 1)
.
x→0
tan x

Lời giải: Ta có L = lim

Sử dụng VCB tương đương, ta có: ln(2x + 1) ∼ 2x,

tan x ∼ x.
Suy ra,

ln(2x + 1)
2x
∼ . Vậy, L = 2.
tan x
x


Bài tốn 13. Tính giới hạn

L = lim

x→+∞

(x + 2)

x+5
.
8x3 − 3x2 + 7


15

Lời giải: Ta có

L = lim

x→+∞

= lim

x→+∞

(x + 2)

(x + 2)2 (x + 5)
8x3 − 3x2 + 7


x+5
= lim
x→+∞
8x3 − 3x2 + 7

x3 + 9x2 + 24x + 20
=
8x3 − 3x2 + 7

1
8

(Ngắt bỏ VCL bậc thấp)

√
=

2
.
4

2.1.6. Khử các dạng vô định 1∞ ; 00 và ∞0
Sáng tạo bài tập
Bài tốn 14. Tính giới hạn
1

L = lim (1 + sin 2x) x .
x→0

Lời giải: Ta có


L = lim e

ln(1+sin 2x)
x

x→0

.

ln(1 + sin 2x)
.
x→0
x
Sử dụng VCB tương đương, ta có ln(1 + sin 2x) ∼ sin 2x ∼ 2x.
Ta đi tính giới hạn k = lim

Suy ra, k = 2. Vậy L = e2 .
Bài tốn 15. Tính giới hạn
√

L = lim (1 − cos x)

1+2x2 −1

x→0

.

Lời giải: Ta có

√
( 1+2x2 −1) ln(1−cos x)

L = lim e
.
x→0
√
Ta đi tính giới hạn k = lim ( 1 + 2x2 − 1) ln(1 − cos x).
x→0
√
Sử dụng VCB tương đương, ta có: 1 + 2x2 − 1 ∼ x2 .
Suy ra, k = 0. Vậy L = 1.


16

2.2. MỘT SỐ SAI LẦM KHI ÁP DỤNG VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG
LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG
2.2.1. Sai lầm khi thay tương đương vào hiệu

tan x − sin x cos x
.
x→0
x3

Bài toán 16. Tìm giới hạn L = lim

Phân tích: Nếu ta thay VCB tương đương cho hiệu như sau:

tan x ∼ x, sin x ∼ x.

x3
Suy ra, tan x − sin x cos x ∼ x − x cos x = x(1 − cos x) = 2xsin ∼ .
2
2
1
Do đó, L = (đây là kết quả sai).
2
2x

Lời giải: Ta có tan x − sin x cos x = tan x(1 − cos2 x) = tan xsin2 x ∼ x3 .
Vậy, L = 1.

x − sin x
.
x→0
x3

Bài tốn 17. Tìm giới hạn L = lim

Phân tích: Nếu thay VCB tương đương sin x ∼ x, ta được

x − sin x ∼ x − x = 0.
Suy ra, L = 0 (đây là kết quả sai).

x3
Lời giải: Theo khai triển Taylor, ta có sin x = x −
+ o(x3 ).
6
x3
Do đó, x − sin x ∼ .

6
1
Vậy L = .
6
sin2 x
Bài toán 18. Tính giới hạn L = lim 2
.
x→+∞ x + 2x + 7
Phân tích: Nếu thay VCB tương đương sin x ∼ x, ta được
sin2 x
x2
∼
.
x2 + 2x + 7
x2 + 2x + 7
Suy ra, L = 1 (đây là kết quả sai).
Lời giải: Ta có 0 ≤ sin2 x ≤ 1 và lim (x2 + 2x + 7) = 0. Vậy L = 0.
x→+∞


17

2.2.2. Sai lầm khi thay tương đương trong hàm
Bài toán 19. Tính giới hạn

1
ln(1 + x sin x)
ln
.
x→0 x2

x2

L = lim

Phân tích: Nếu ta thay VCB tương đương như sau:

ln(1 + x sin x) ∼ x sin x

(2.1)

Ta thu được giới hạn

1
1
sin x
ln
=− .
2
x→0 x
x
6
Kết quả này khơng đúng vì từ (2.1) ta không suy ra được
ln(1 + x sin x)
sin x
.
ln
∼
ln
x2
x

L = lim

Lời giải: Sử dụng phương pháp thay thế VCB tương đương ta thu được
1
ln(1 + x sin x) − x2
L = lim 2 ln 1 +
x→0 x
x2

ln(1 + x sin x) − x2
x→0
x4

= lim

2
Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta thu được kết quả L = − .
3
Bài tốn 20. Tính giới hạn

1
πx2
L = lim 2 sin √
.
x→0 x
1 + 2x tan x − 1
Phân tích: Tương tự như Ví dụ 19, nếu ta thay VCB tương đương như sau:
√
Từ 1 + 2x tan x − 1 ∼ x tan x, suy ra
πx2

πx
sin √
∼ sin
(2.2)
tan x
1 + 2x tan x − 1
Do đó, ta có
π
1
πx
L = lim 2 sin
= .
x→0 x
tan x
3
π
Kết quả này sai vì (2.2) khơng đúng. Kết quả đúng là L = − .
6


18

CHƯƠNG 3

ÁP DỤNG VÀO TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Chương này dành cho việc trình bày các khái niệm cơ bản tích phân suy rộng
loại I, loại II, các tiêu chuẩn so sánh đồng thời trình bày một số áp dụng vơ cùng
bé, vô cùng lớn tương đương trong xét sự hội tụ của tích phân suy rộng và sáng
tạo bài tập .

3.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
3.1.1. Tích phân suy rộng loại I
Định nghĩa 3.1.1. Giả sử f (x) là một hàm số xác định trên khoảng [a, +∞) và
khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a. Nếu
b

f (x)dx = I,

lim

b→+∞
a

trong đó I ∈ R, hoặc I = +∞ hoặc I = −∞ thì I được gọi là tích phân suy rộng
của hàm số f (x) trên khoảng [a, +∞) và được kí hiệu là
+∞

f (x)dx.
a

Vậy
+∞

b

f (x)dx = lim

f (x)dx.

b→+∞


a

a

+∞

f (x)dx tồn tại. Nếu I là hữu hạn, tức là I ∈ R thì ta nói

Khi đó, ta nói rằng
a
+∞

f (x)dx là hội tụ. Tích phân khơng hội tụ gọi là phân kỳ.
a


19
+∞

dx
, a > 0, α ∈ R hội tụ nếu α > 1 và
xα

Định lí 3.1.2. Tích phân suy rộng
a

phân kỳ nếu α ≤ 1.
3.1.2. Tích phân suy rộng loại II
Định nghĩa 3.1.3 (Tích phân của các hàm số khơng bị chặn). Giả sử f (x) là

một hàm số xác định trên khoảng (a, b] (a, b ∈ R, a < b) và khả tích trên mọi
đoạn [c, b], với a < c ≤ b. Nếu
b

lim

f (x)dx = I,

c→a+
c

trong đó I là một số thực hoặc I = ±∞ thì I được gọi là tích phân của hàm f (x)
trên khoảng (a, b] và được kí hiệu là
b

b

f (x)dx hoặc
a
b

f (x)dx.
a+
b

f (x)dx tồn tại. Nếu I là hữu hạn thì ta nói

Khi đó ta nói rằng
a


f (x)dx
a

hội tụ. Tích phân không hội tụ gọi là phân kỳ.
b

dx
, a < b, α > 0 hội tụ nếu α < 1
(b − x)α

Định lí 3.1.4. Tích phân suy rộng
a

và phân kỳ nếu α ≥ 1.
3.1.3. Các tiêu chuẩn so sánh
Định lí 3.1.5 (Tiêu chuẩn so sánh 1). Giả sử hàm số f (x), g(x) xác định trên
khoảng [a, +∞) và khả tích trên đoạn [a, b] với b > a. Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), với
mọi x ∈ [a, +∞) thì
+∞

+∞

f (x)dx ≤
a

Từ đó suy ra

g(x)dx.
a



20
+∞

+∞

g(x)dx hội tụ thì

a) Nếu
a

f (x)dx hội tụ.
a

+∞

+∞

f (x)dx phân kỳ thì

b) Nếu
a

g(x)dx phân kỳ.
a

Định lí 3.1.6 (Tiêu chuẩn so sánh 2). Giả sử hàm số f (x), g(x) xác định trên
khoảng [a, +∞) và khả tích trên đoạn [a, b] với b > a. Nếu f (x) ≥ 0, g(x) ≥ 0,
với mọi x ∈ [a, +∞) và


f (x)
= k.
x→+∞ g(x)
lim

Khi đó:
+∞

i) k = 0: Nếu

+∞

g(x)dx hội tụ thì
a

a

+∞

ii) k ∈ R = 0:

f (x)dx hội tụ.

+∞

f (x)dx và
a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
a


+∞

iii) k = +∞: Nếu

+∞

f (x)dx hội tụ thì
a

g(x)dx hội tụ.
a
+∞

f (x)dx bằng tiêu chuẩn so

Nhận xét 3.1.7. Để xét sự hội tụ của tích phân
a

f (x)
= 1, nghĩa là f (x), g(x)
sánh 2, ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho lim
x→+∞ g(x)
là hai VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý rằng cả hai hàm f (x), g(x) cùng
khả tích trên [a; +∞).
Hệ quả 3.1.8. Giả sử hàm số f (x), g(x) xác định trên khoảng [a, +∞) và khả
tích trên đoạn [a, b] với b > a. Nếu f (x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 trên [a, +∞) và khi

x → +∞
f ∼ g.



21
+∞

+∞

f (x)dx và

thì các tích phân
a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
a

3.2. ÁP DỤNG XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG
3.2.1. Áp dụng cho tích phân suy rộng loại I
Bài toán 21. Xét sự hội tụ của tích phân sau
+∞

√

I2 =
1

dx
√
.
x + 1 3 x2 + 1


Lời giải: Ta có

0 < f (x) = √
Chọn g(x) =

1
x7/6

1
1
√
∼ 7/6 khi x → +∞.
3
x
x + 1 x2 + 1

. Khi đó

f (x)
= 1.
x→+∞ g(x)
lim

+∞

+∞

dx
hội tụ. Nên I2 =
x7/6


Mà

√
1

1

dx
√
hội tụ (theo Định lí 3.1.6).
x + 1 3 x2 + 1

Sáng tạo bài tập
Bài toán 22. Xét sự hội tụ của tích phân sau
+∞

x + sin x
dx.
x2 (x − sin x)

I3 =
1

sin x
= 0, nên x là VCL bậc cao hơn sin x.
x→+∞ x
x + sin x
x
1

Do đó, f (x) = 2
∼ 3 = 2 (ngắt bỏ VCL bậc thấp).
x (x − sin x) x
x
1
Chọn g(x) = 2 . Khi đó
x
f (x)
lim
= 1.
x→+∞ g(x)
Lời giải: Ta có lim

+∞

dx
hội tụ.
x2

Mà
1


22
+∞

x + sin x
dx hội tụ (theo Định lí 3.1.6).
− sin x)


Suy ra, I3 =

x2 (x
1

3.2.2. Áp dụng cho tích phân suy rộng loại II
Bài toán 23. Xét sự hội tụ của tích phân sau
1

dx
√
.
ln(x + 1 + x2 + 2x)

I6 =
0

Lời giải:
Ta có 0 < f (x) =
Chọn g(x) =

1
x1/2

1
1
1
√
√
∼

∼√ .
2x
ln(x + 1 + x2 + 2x) x + x2 + 2x
. Khi đó

lim+

x→0
1

1

dx
hội tụ. Nên I6 =
x1/2

Mà
0

1
f (x)
=√ .
g(x)
2

0

dx
√
hội tụ.

ln(x + 1 + x2 + 2x)

Bài toán 24. Xét sự hội tụ của tích phân sau
1
√
3
1 + x2 − 1
I7 =
.
ln(1 − x + tan x)
0

1 2
1 2
x
x
1+ −1
1
3
3
= .
Lời giải: Ta có 0 < f (x) =
∼
∼
1 3
ln(1 − x + tan x) tan x − x
x
x
3
1

Chọn g(x) = . Khi đó
x
f (x)
lim+
= 1.
x→0 g(x)
1
1
√
3
dx
1 + x2 − 1
Mà
phân kỳ. Nên I7 =
phân kỳ.
x
ln(1 − x + tan x)
√
3

0

0

x2


23

Sáng tạo bài tập

Bài toán 25. Xét sự hội tụ của tích phân sau
1

I8 =

1 − 5 1 + ln(cos x)
dx.
sin x − x cos x

0

Lời giải: Khi x → 0+ , ta có
1 − 5 1 + ln(cos x) (−1/5) ln(cos x)
3x2
3
f (x) =
∼
∼
=
.
sin x − x cos x
x3 /3
10x3
10x
1

1
dx phân kỳ (α = 1). Do đó, I8 phân kỳ.
x


Vì
0

Bài tốn 26. Xét sự hội tụ của tích phân sau
1

I9 =
0

ex − e−x
√
dx.
3
1 − e 1+x7 −1

Lời giải: Khi x → 0+ , ta có
6
ex − e−x
2x
2x
√
√
=
−
.
f (x) =
∼
∼
3
7

3
(−1/3)x7
x6
1 − 1 + x7
1 − e 1+x −1
1

dx
phân kỳ (α = 6 > 1). Do đó, I9 phân kỳ.
x6

Vì
0

Bài tốn 27. Xét sự hội tụ của tích phân sau
√
1
5
ln(1 + x3 )
I10 =
dx
ex − 1
0

Lời giải: Khi x → 0+ , ta có

√
5
ln(1 + x3 ) x3/5
1

f (x) =
∼
=
ex − 1
x
x2/5

1

dx
2
hội
tụ
(
α
=
< 1). Do đó, I10 hội tụ.
5
x2/5

Vì
0