BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ LIÊN

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60. 46. 01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. Lê Hồng Trí
Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
27 tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
 Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
 Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng của giải
tích,việc nắm vững các cơng thức, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng
của đạo hàm sẽ giúp chúng ta tìm ra những hướng giải quyết một số
vấn đề của toán học một cách mới lạ và độc đáo.
Ở bậc Trung học phổ thơng, việc giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và chứng minh các bất đẳng thức thường hay
dùng một số phương pháp giải như: biến đổi tương đương, dùng ẩn
phụ, phương pháp hình học,... Trong việc giải quyết các vấn đề nêu
trên thì việc sử dụng phương pháp đạo hàm tỏ ra hiệu quả và đơn giản
hơn.
Nội dung các bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm rất
gần với thực tế và việc lý luận để giải các bài tốn này ln đem lại sự
hấp dẫn, lý thú và đầy bất ngờ. Điều này thu hút sự quan tâm ngày
càng nhiều của các học sinh giỏi toán và là các chủ đề trong chương
trình bồi dưỡng học sinh tham gia các kỳ thi Olympic và quốc gia. Vì
vậy, ứng dụng đạo hàm trong giải toán THPT chứa đựng nhiều tiềm
năng lớn có thể khai thác để bồi dưỡng cho học sinh khá và giỏi. Các
bài toán được vận dụng đạo hàm để giải quyết ngày càng xuất hiện
nhiều trong các đề thi Đại học, Cao đẳng.
Với thực trạng đã nêu trên, và được sự gợi ý của thầy giáo Lê
Hải Trung, tôi lựa chọn đề tài “Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán
THPT” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong giải toán
THPT, xem xét một lớp bài tập giải bằng phương pháp đạo hàm và bồi

dưỡng cho học sinh giỏi tốn ở phổ thơng.


2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc các chuyên
ngành: Giải tích, Đại số...
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về đạo hàm của hàm số một biến và ứng dụng.
- Nghiên cứu về các ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số
bài tốn trong chương trình THPT.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được
chia thành 2 chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về đạo
hàm cùng các quy tắc tính đạo hàm, các định lý trung bình, … để làm
tiền đề cho chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [6], [8],
[9],…
Chương 2. Ứng dụng đạo hàm trong giải tốn trung học phổ
thơng
Chương này trình bày ứng dụng của đạo hàm để giải các bài
tốn trong chương trình THPT. Các chi tiết liên quan có thể xem trong
[1], [5], [10], [11],…
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D và
điểm x0  D . Gọi (a, b)  D sao cho x0  (a, b) . Nếu tồn tại giới hạn
hữu hạn:

lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
A
x  x0

(1.1)


3
thì A được gọi là đạo hàm của hàm số f ( x) tại điểm x0 và kí hiệu

f '( x0 ) hoặc y '( x0 ) , khi đó:
f '( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

(1.2)

Định nghĩa 1.2. Hàm số y  f ( x) gọi là có đạo hàm trên đoạn
(a, b) nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn (a, b).

Nhận xét 1.1. Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 (nếu có) là một
hằng số.

Nhận xét 1.2. Hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 .
Tính chất 1.1.
a) (C )'  0 ( C là hằng số); ( x)'  1 .

1
1
1
b) ( )'   2 (x ≠ 0), ( x ) ' 
(x > 0 ).
x
x
2 x
1

c) ( xn )'  n.xn1;( n x )'  ( x n )' 
d) (e x ) '  e x , (ln x ) ' 

1
(x > 0 ).
x

e) (a x ) '  a x .ln a;(log a | x |) ' 
f)

1
.
n. xn1
n

1

( x > 0, 0 < a ≠ 1).
x.ln a

(sinx)'  cos x;(cosx)'  sinx .

g) (tanx) '  1  tan 2 x 
h) (arcsinx) ' 
i) (arctanx) ' 

1
1 x

2

1
1 x

2

1
1
;(cotx) '  (1  cot 2 x)   2 .
2
cos x
sin x

;(arccosx) '  

;(arccotx) '  


1
1  x2

1
1  x2

.
.

1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Ý nghĩa 1.1. Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 là hệ số


4
góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 ( x0 , f (x 0 )) .
Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm M 0 ( x0 , f (x 0 )) có phương trình là:
y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )

1.3. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Định lý 1.1. Nếu hai hàm số u  u( x) và v  v( x) có đạo hàm
trên J (J  D) thì hàm số y  u( x)  v(x) và y  u( x)  v(x) cũng có
đạo hàm trên J, và:

u( x)  v( x) '  u '( x)  v '( x)
u( x)  v( x) '  u '( x)  v '( x)

(1.6)

Hệ quả 1.1. Có thể mở rộng công thức trên cho tổng hay hiệu của

nhiều hàm số như sau: Nếu các hàm số u, v,..., w có đạo hàm trên J
thì ta có:
(u  v  ...  w)'  u ' v ' ...  w '.

(1.8)

Định lý 1.2. Nếu hai hàm số u  u( x) và v  v( x) có đạo hàm trên
J thì hàm số y  u(x).v( x) cũng có đạo hàm trên J, và

u( x).v( x) '  u '( x).v( x)  u( x).v '( x).
Đặc biệt, nếu k là hằng số thì:  k.u( x) '  k.u '( x).

(1.9)
(1.10)

Định lý 1.3. Nếu hai hàm số u  u( x) và v  v( x) có đạo hàm trên
J và v( x)  0 với mọi x  J thì hàm số y 

u ( x)
cũng có đạo hàm trên
v( x)

J, và:
 u ( x)  u '( x).v( x)  u ( x).v '( x)
.
 v( x)  
v 2 ( x)




(1.12)

Hệ quả 1.2. Nếu hàm u( x) là hằng số thì ta có:
 C 
C.v '( x)
.

'   2
v ( x)
 v( x) 

(1.14)


5
Định lý 1.4. Xét hàm số hợp y  f [u( x)] . Nếu hàm số u  u( x) có
đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y  f (u) có đạo hàm tại điểm
u0  u( x0 ) thì hàm số hợp y  f [u(x)] có đạo hàm tại điểm x0 , và:
y '( x0 )  f '  u0  .u '  x0  .

(1.16)

Định lý 1.5. Nếu hàm số x  f ( y) có đạo hàm tại y0  (a, b) và

f '( y0 )  0 và nếu có hàm ngược y  g ( x) liên tục tại x0  f ( y0 ) , thì
hàm ngược có đạo hàm tại x0 , và: g '( x0 ) 

1
.
f '( y0 )


(1.18)

Định nghĩa 1.3. Giả sử f ( x) có đạo hàm tại mọi x thuộc một
khoảng nào đấy. Khi đó f '( x) là một hàm số xác định trên khoảng đó.
Nếu hàm số f '( x) có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm
cấp hai của f ( x) , kí hiệu là f "( x) . Tức là: f ''( x)  [f '( x)]' .
Nếu hàm số f "( x) có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm
cấp ba của f ( x) , kí hiệu là f "'( x) . Tức là: f '''( x)  [f ''( x)]' .
Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đạo hàm
cấp n. Đạo hàm cấp n của f ( x) kí hiệu là: f ( n ) ( x) .
Vậy:

f ( n) ( x)  [f ( n 1) ( x)]' .

(1.19)

1.4. CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH
Cho f ( x, y) xác định trên D là tập mở chứa M 0 ( x0 , y0 ) .
Định nghĩa 1.4. M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cực đại địa phương của f nếu
M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của
M 0 ( x0 , y0 ) , nghĩa là:

VM0 : f ( x, y)  f ( x0 , y0 ), M ( x, y) VM0

Khái niệm cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự.
Tính chất 1.2. Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được
gọi chung là cực trị địa phương.



6
Định nghĩa 1.5. M 0 ( x0 , y0 ) là điểm cực đại toàn cục của f trên D
nếu M 0 ( x0 , y0 ) điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là:
f ( x, y)  f ( x0 , y0 ), M ( x, y)  D

Khái niệm cực tiểu toàn cục cũng được định nghĩa tương tự.
Định lý 1.7. (định lý Fermat) Cho hàm số f xác định trên khoảng
(a, b). Nếu hàm số f ( x) đạt cực trị địa phương tại c và f '(c) tồn tại thì
f '(c)  0.

Định lý 1.8. (định lý Rolle) Nếu f ( x) liên tục trên đoạn [a, b],
có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f (a)  f (b) thì tồn tại c  (a, b) sao
cho f '(c)  0 .
Hệ quả 1.3. Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm trên (a, b) và f ( x) có
n nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a, b) thì f '( x) có ít
nhất (n – 1) nghiệm trên (a, b).
Hệ quả 1.4. Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm trên (a, b) và f '( x)
vơ nghiệm trên
(a, b) thì f ( x) có nhiều nhất một nghiệm trên (a, b).
Hệ quả 1.5. Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm trên (a, b) và f '( x) có
nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a, b) thì f ( x) có
nhiều nhất (n + 1) nghiệm trên (a, b).
Định lý 1.9. (định lý Lagrange). Nếu hàm số f ( x) liên tục trên
đoạn [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn tại c  (a, b) sao cho
f(b) – f(a) = f '(c).(b  a) hay f '(c) 

f (b)  f (a)
.
ba


Ý nghĩa 1.2. Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số f (x) thỏa điều
kiện của định lý Lagrange trên [a, b]. Trong đó điểm A (a, f(a)), B (b,
f(b)), khi đó trên cung AB phải có ít nhất một điểm C(c, f(c)) có hồnh
độ c  (a, b) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại C song song với đường


7
thẳng AB.
Định lý 1.10. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a,b).
Nếu f '( x)  0, x  (a, b) thì f ( x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f '( x)  0, x  (a, b) thì f ( x) nghịch biến trên (a, b).
Nếu f '( x)  0, x  (a, b) thì f ( x) là hàm hằng trên (a, b).
Định lý 1.11. (định lý Cauchy). Nếu f ( x) và g ( x) là hai hàm số
liên tục trên [a, b], và có đạo hàm trên (a, b) và g ( x)  0 tại mọi
x  (a, b) thì tồn tại c  (a, b) sao cho:
f (b)  f (a) f '(c)

g (b)  g (a) g '(c)

(1.21)
Định lý Lagrange là hệ quả của định lý Cauchy (trong trường hợp
g(x) = x).
Định lý 1.12. (định lý về dấu của tam thức bậc hai) Cho hàm số:
f ( x)  ax2  bx  c (a  0)

+ Nếu  < 0 thì f ( x) ln cùng dấu với a.
+ Nếu  = 0 thì f ( x) luôn cùng dấu với a (trừ x  

b
)

2a

+ Nếu  > 0 thì f ( x) có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai
nghiệm thì f ( x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f ( x) cùng
dấu với a.
Định lý 1.13. (Định lý Viet). Cho phương trình:
ax2  bx  c  0;

a, b, c  ;(a  0),

có 2 nghiệm là x1 , x2 .Ta có hệ thức:


8

b
 x1  x2   ,
a


c
 x1 .x2  ,
a



.
 x1  x2  x2  x1 
a



(1.22)

CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN THPT
2.1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG VÀ TÌM HỆ SỐ CỦA
ĐA THỨC
Nhờ đạo hàm ta có thể tính được một số tổng (hoặc chứng minh
đẳng thức) mà các số hạng thường có dạng (k  1) x k a k .
Đối với đa thức f ( x)  a0  a1 x  ...  an xn , ta dễ thấy:
ak 

f ( k ) (0)
,
k!

(2.1)

trong đó quy ước đạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số
f(x), và a0  a1  ...  an  f (1), a0  a1  a2  ...  (1)n an  f (1)

(2.2)

Nhận xét 2.1. Khi trong tổng có một phần hệ số đứng trước tổ
hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số
hạng đó có dạng kCnk hoặc kCnk a n  k bk 1 thì ta có thể dùng đạo hàm cấp
1 để tính. Cụ thể:  a  x   Cn0 a n  2Cn1 a n 1 x  ...  nCnn ax n
n

Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên theo x ta được:

n a  x

n 1

 Cn1 a n 1  2Cn2 a n 2  ...  nCnn ax n 1

Đến đây thay x, a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.
Khi trong tổng có một thành phần hệ số đứng trước tổ hợp có dạng
là tích của hai số nguyên dương liên tiếp, tức là 1.2, 2.3, …, (n – 1)n hay
2
2
2
n(n  1),...,3.2, 2.1 hay 1 , 2 , …, n (không kể dấu) tức có dạng


9
k (k  1)Cnk a n  k hay tổng quát hơn k  k  1 Cnk a n  k bk thì ta có thể dùng đạo

hàm

đến

 a  bx 

n

2

cấp


để

tính.

n 1

Cụ

thể,

với

đa

thức:

 C a b  C a bx  ... C b x , đạo hàm hai vế phương trình
0
n

n 0

1
n

n n
n

trên theo x ta được: nb  a  bx 


n 1

n

 Cn1 a n 1b  2Cn2 a n  2b2 x...  nCnnbn x n 1.

Đạo hàm biểu thức lần nữa ta nhận được:
n  n  1 b2  a  bxn  2   2.1Cn2 a n  2b2  ...  n  n  1 Cnnbn x n 1.

Đến đây ta gần như giải quyết xong, chỉ việc thay a, b, x bởi các
hằng số thích hợp.
Ví dụ 2.1. Cho đa thức f ( x)  (1  x  x12 )2014  (1  x  x11 )2015 .
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong đa thức.
b) Tính tổng tất cả các hệ số bậc lẻ trong đa thức.
c) Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hoặc bằng 2 trong đa thức.
Ví dụ 2.3. Tính tổng :
1
2
3
2015 0
S  12 C2015
22015  22 C2015
22014  32 C2015
22013  ...  20152 C2015
2.

2.2. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIỚI HẠN
Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và các tính
chất của đạo hàm ta có thể tính được một số giới hạn ở dạng vô định.
Định lý 2.1 (định lý L’Hospital). Nếu các hàm f(x) và g(x) có đạo

hàm trên một lân cận của điểm x0 và f ( x0 )  g ( x0 )  0 , g'(x0 )  0 , khi
đó:
lim

x  x0

f ( x) f '( x0 )

.
g ( x) g '( x0 )

(2.11)

Ứng dụng đạo hàm tìm giới hạn ta cịn gọi là phương pháp
L’Hospital, áp dụng cho các bài tốn tìm giới hạn dạng
3

Ví dụ 2.5. Tính giới hạn lim
x 0

1  x 1
.
x

0
.
0


10

3

Ví dụ 2.6. Tính giới hạn lim
x 0

8  x  2 x 1
.
x

Nhận xét 2.2. Ví dụ 2.6 thuộc dạng chứa hai loại căn thức khơng
đồng bậc, do đó giải quyết vấn đề bài toán ta cần thêm bớt số hạng
hợp lí để tách thành tổng hai giới hạn, mà mỗi giới hạn chỉ còn một
loại căn thức. Để tính tiếp bằng cách nhân lượng liên hợp hoặc sử
dụng phương pháp L’Hospital ở ví dụ 2.4, 2.5.
Ví dụ 2.7. Tính giới hạn lim
4
x 5

x  4  3 2  x2
6  3x 2  5 18  9 x 2

.

Nhận xét 2.3. Do cả tử và mẫu cùng chứa căn thức nên ta chia
cả tử và mẫu cho x – x0, ta biến đổi làm xuất hiện dạng (1.2), sau đó
sử dụng phương pháp L’Hospital để tìm giới hạn.
Ví dụ 2.8. Tính giới hạn lim
x 1

1  x  x 4  3 1  x  x5

.
tan( x  1)

Nhận xét 2.4. Các giới hạn liên quan đến lượng giác, ta dùng kết
quả:
lim
x 0

sin x
1.
x

Đưa giới hạn về dạng (1.2) với y = f(x) là một hàm lượng giác
nào đó.
2.3. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y  f(x) (C) xác định trên khoảng J.
2.3.1. Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
M 0 ( x0 ; y0 )  (C) .
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0

(2.12)

với f '( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Ví dụ 2.9. Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2x – 5 (C). Viết
phương trình tiếp tuyến của (C), biết:


11
a) Tại điểm M(0, – 5)

b) Tại điểm có hồnh độ x = 1.
c) Tại điểm có tung độ y = – 5.
Ví dụ 2.10. Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2x – 5 (C). Viết
phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 11.
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 26x + 3.
c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = –

1
x + 5.
2

2.3.2. Phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( xA, yA) cho
trƣớc.
Cách 1. Gọi M(x0, y0) là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0
Tiếp tuyến đi qua A nên ta thay tọa độ của A vào phương trình
tiếp tuyến (2.4) tìm (x0, y0). Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến.
Cách 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc là k:
y = k(x – x0) + y0
 f ( x)  k ( x  x0 )  y0
có nghiệm.
 f '( x)  k

(d) tiếp xúc (C)  

1
3

Ví dụ 2.11. Cho hàm số : y  x3  2 x 2  3x (C). Viết phương

4 4
9 3

trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua A( , ) .
Ví dụ 2.13. Cho hàm số y 

2x
(C ) , tìm điểm M  (C ) sao cho
x 1

tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho
tam giác OAB có diện tích bằng

1
.
4


12
2.4. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA
HÀM SỐ
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a, b] và đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên khoảng (a, b) thì hàm số này đồng biến (tương ứng
nghịch biến) trên đoạn [a, b].
Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng J và phương trình
f '( x) = 0 có hữu hạn nghiệm trên J thì
f ( x) đồng biến trên J ⇔ f '( x)  0, x  J .
f ( x) nghịch biến trên J ⇔ f '( x)  0, x  J .

Nếu y '  ax2  bx  c (a  0) thì:

a  0,

y '  0, x  R  

  0.
a  0,

y '  0, x  R  

  0.

(2.13)
(2.14)

So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g ( x)  ax2  bx  c với
số 0:
  0

x1  x2  0   P  0
S  0


(2.15)

  0

0  x1  x2   P  0
S  0



(2.16)

x1  0  x2  P  0

(2.17)

g ( x)  m, x  (a; b)  max g ( x)  m

(2.18)

g ( x)  m, x  (a; b)  min g ( x)  m

(2.19)

( a ;b )

( a ;b )

2.4.1. Dạng 1. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập
xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).


13
Ví dụ 2.15. Tìm m để hàm số y  x3  (m  1) x2  (m2  4) x  9
đồng biến với mọi x  .
Ví dụ 2.16. Cho hàm số y 

m 1 3
x  mx 2  (3m  2) x . Tìm m để
3


hàm số đã cho nghịch biến với mọi x  .
2.4.2. Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x)  ax3  bx2  cx  d đơn
điệu trên (a, b).
Ta có: y  f ( x)  3ax2  2bx  c .
a) Hàm số f(x) đồng biến trên (a, b)  f ' ( x ) 0
, x  (a ;b và
)
f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a, b).

Trường hợp 1: Bất phương trình:
f ( x)  0  h(m)  g ( x), x  (a; b)  h(m)  max g ( x)

(2.21)

f ( x)  0  h(m)  g ( x), x  (a; b)  h(m)  min g ( x)

(2.22)

( a ;b )

( a ;b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f '( x)  0 khơng đưa được
về dạng (2.21) thì đặt t = x – a. Khi đó ta có:
y  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (; a)
a  0
  0

a  0

 g (t )  0, t  0  
 
  0
S  0
 P  0.

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; )
a  0
  0
a  0

 g (t )  0, t  0  
 


0

S  0
 P  0.


14

1
Ví dụ 2.18. Cho hàm số y  (m2 1) x3  (m 1) x2  2 x  1 (m  1) .
3
a) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng K  (, 2) .
b) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng K  (2, ) .

2.4.3. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x)  ax3  bx2  cx  d
đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l cho trước.
f đơn điệu trên ( x1 ; x2 )  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt ( x1 ; x2 )
a  0
  0



Biến đổi x1  x2  l thành ( x1  x2 )2  4 x1 x2  l 2

(2.24)
(2.25)

Sử dụng định lý 1.13 đưa (2.25) thành phương trình theo m.
Giải phương trình thu được và so sánh với điều kiện (2.24) để
chọn nghiệm.
2.4.4. Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số:
y

ax2  bx  c
, (a, d  0)
dx  e

(2.26)

a) Đồng biến trên (,  ) .
b) Đồng biến trên ( , ) .
c) Đồng biến trên ( ,  ) .
Tập xác định: D 


f ( x)
adx2  2aex  be  dc
 e 

\  , y' 
2
2
d
 
 dx  e 
 dx  e 

Trƣờng hợp 1
Nếu f ( x)  0  g ( x)  h(m) (2.27)

Trƣờng hợp 2
Nếu bpt f ( x)  0 không đưa được
về dạng (2.27) .
thì ta đặt: t  x   .
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành:
g (t )  0 , với:
g (t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc .


15
a) (2.26) đồng biến trên khoảng a) (2.26) đồng biến trên khoảng
(,  )
(,  )
 e
 

d
 g ( x)  h(m), x   .

 e
 
d
 g (t )  0, t  0 .

 e
 
d
h(m)  min g ( x).
(  , ]


a  0
  0
a  0

(2.28)  
 


0

S  0
 P  0.

(2.28)


b) (2.26) đồng biến trên khoảng b) (2.26) đồng biến trên khoảng
( , )
( , )
 e
 
d
 g ( x)  h(m), x   .

 e
 
d

 g (t )  0, t  0.

 e
 
d
h(m)  min g ( x).
[ ,  )


a  0
  0
a  0

(2.29)  
 


0


S  0
 P  0.

c) (2.26) đồng biến trên khoảng
( ,  )
 e
   ,  
d
 g ( x)  h(m), x  ( ,  ).
 e
   ,  
d
h(m)  min g ( x).
[ ,  ]


2.4.5. Dạng 5. Tìm điều kiện để hàm số
y

ax2  bx  c
, (a, d  0).
dx  e

a) Nghịch biến trên (,  ) .
b) Nghịch biến trên ( , ) .
c) Nghịch biến trên ( ,  ) .

(2.29)



16
adx 2  2aex  be  dc
f ( x)
e 

, y' 
2
2
d 
 dx  e 
 dx  e 

Tập xác định: D  R \ 

Trƣờng hợp 1
Trƣờng hợp 2
Nếu f ( x)  0  g ( x)  h(m) Nếu bpt: f ( x)  0 khơng đưa được về
(2.30) dạng (2.30)
thì ta đặt: t  x   .
Khi đó bpt: f ( x)  0 trở thành:
g (t )  0 , với:
g (t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc .
a) (2.26) nghịch biến trên a) (2.26) đồng biến trên khoảng
(,  )
khoảng (,  )
 e
  ,
d
 g ( x)  h(m), x   .

 e
  ,
d
h(m)  min g ( x).
(  , ]


 e
  ,
d
 g (t )  0, t  0.
a  0
  0
a

0


(2.31)  
 


0

S  0
 P  0.

b) (2.26) nghịch biến trên b) (2.26)
( , )
khoảng ( ; )

 e
 
d
 g ( x)  h(m), x  
 e
 
d
h(m)  min g ( x).
[ ,  )


c) (2.26) đồng biến
trong khoảng ( ;  )
 e
   ,  
d
 g ( x)  h(m), x  ( ,  ).

(2.31)

đồng biến trên khoảng

 e
  ,
d
 g (t )  0, t  0.
a  0
  0
a  0


(2.32)  
 
  0
S  0
 P  0

(2.32)


17
 e
   ,  
d
h(m)  min g ( x).
[ ,  ]


Ví dụ 2.19. Cho hàm số y 

x 2  2mx  3m2
2m  x

a) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (,1) .
b) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1, ) .
Nhận xét 2.1. Các bài toán trên sử dụng định lý về dấu của tam
thức bậc hai để giải quyết, ngoài cách giải trên ta có thể giải bài tốn
theo một cách khác bằng phương pháp biến thiên hàm số.
Ví dụ 2.20. Cho hàm số y 

2 x 2  3x  m

x 1

a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2, ) .
b) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1, 2).
2.5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b), điểm x0  (a, b) ,
và có đạo hàm trên các khoảng ( a, x0); (x0, b).
Nếu f '(x 0 ) > 0, x  (a, x0 ) ; f '(x 0 ) < 0, x  ( x0 , b) thì f(x) đạt cực
đại bằng f(x0) tại điểm x = x0.
Nếu f '(x 0 ) < 0, x  (a, x0 ) ; f '(x 0 ) > 0, x  ( x0 , b) thì f(x) đạt cực
tiểu bằng f(x0) tại điểm x = x0.
Chú ý. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì f '(x 0 ) = 0 hoặc f '(x 0 )
không xác định.
Nếu f '(x) khơng đổi dấu trên (a, b) thì f(x) khơng có cực trị trên (a, b).
Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì f(x0) được gọi là giá
trị cực trị của hàm số, và điểm M(x0, f(x0)) được gọi là điểm cực trị của
đồ thị (C).
Ví dụ 2.23. Cho hàm số y  x4  mx3  2x 2  3mx  1 . Định m để
hàm số đã cho có hai cực tiểu.


18
Ví dụ 2.24. Cho hàm số y  x3  2(m  1) x2  9 x  2  m . Tìm m để
hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 thoả mãn x1  x2  2.
Ví dụ 2.28. Tìm m để f  x   x3  mx2  7 x  3 có đường thẳng đi
qua cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng (d): y  3x  7.
Ví dụ 2.30. Cho hàm số: y  x3  3  m  1 x2  9 x  m  2 (Cm)
Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực
1
2


tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x .
2.6. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
Bảng biến thiên của hàm số có thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số hoặc chứng minh bất đẳng thức.
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a,
b] ta tiến hành làm như sau:
- Tính f '( x) , tìm các giá trị x1, x2, … ∈ [a, b] mà tại đó f '( x) = 0
hoặc khơng xác định.
- Tính f(x1), f(x2), … , f(a), f(b).
- Khi đó
max f ( x)  max{ f ( x1 ), f ( x2 ),..., f (a), f (b)}
x[a,b]

min f ( x)  max{ f ( x1 ), f ( x2 ),..., f (a), f (b)}

x[a,b]

Ví dụ 2.32. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a2 +
b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng a 2b2 c 2 

1
.
54

Ví dụ 2.34. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x ≥ z. Tính
giá trị lớn nhất của biểu thức:
P


x
x y
2

2



y
y z
2

2



z
zx


19
Ví dụ 2.37. Xét các số thực a ≥ b ≥ c > 0 thỏa mãn a + b + c =1.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

a
b
24



.
bc
c  a 5 5a  5b

2.7. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2.7.1. Sơ đồ khảo sát chung của các hàm số
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Chiều biến thiên
+ Tính đạo hàm y '  f '( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó
đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định. Xét dấu đạo hàm y '  f '( x) .
+ Tìm cực trị (dựa vào bảng dấu của y ' )
+ Tính giới hạn (Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm
không xác định của hàm số; tìm đường tiệm cận (nếu có)).
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Đồ thị:
+ Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị
hàm số
+ Tìm các điểm đặc biệt (giao điểm của đồ thị với trục tung, giao
điểm của đồ thị với trục hồnh)
+ Tìm thêm một số điểm khác.
+ Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần
hồn của hàm số.
2.7.2. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0)
- Tập xác định: D  .
- Chiều biến thiên: Tính y '
+ Giải phương trình: y '  0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên
của hàm số.
+ Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng
dấu của y ' )



20
+ Tính các giới hạn: lim y và lim y
x 

x 

+ Lập bảng biến thiên.
- Đồ thị:
+ Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung và giao điểm của đồ thị
với trục hồnh.
+ Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tọa độ tâm đối xứng I ( xI ; yI ) là
nghiệm của phương trình y "  0 .
+ Lấy thêm một vài điểm khác (nếu cần).
+ Vẽ đồ thị.
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0).
Nếu a > 0
Phương trình
y’ = 0
có hai nghiệm
phân biệt

Phương trình
y’ = 0
có nghiệm kép

Phương trình
y’ = 0

vô nghiệm

Nếu a < 0


21
2.7.3. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phƣơng:
y = ax4 + bx2+ c (a  0)
- Tập xác định: D  .
- Chiều biến thiên:
+ Tính y ' . Giải phương trình y '  0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến
thiên của hàm số, đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số (dựa
vào bảng dấu của y ' ).
+ Tính các giới hạn: lim y và
x 

lim y

x 

+ Lập bảng biến thiên
- Đồ thị:
+ Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy.
+ Tìm điểm đặc biệt (giao điểm của đồ thị với trục tung, giao
điểm của đồ thị với trục hoành).
+ Vẽ đồ thị
Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a 0)
a>0
Phương trình
y’ = 0

có ba nghiệm
phân biệt

Phương trình
y’ = 0
có
một
nghiệm

2.7.4. Khảo sát hàm phân thức dạng:
y

ax  b
 c  0, ad  bc  0
cx  d

a<0


22
 d
\  
 c

- Tập xác định: D 

- Chiều biến thiên: y ' 

E
(cx  d )2


+) Nếu E > 0  y '  0 x  D  Hàm số luôn đồng biến trên D.
+) Nếu E < 0  y '  0 x  D  Hàm số luôn nghịch biến trên D
- Hàm số khơng có cực trị.
- Giới hạn và tiệm cận:
lim y  lim
x 

ax  b a
a
 Tiệm cận ngang: y 

cx  d c
c

và lim y  Tiệm cận đứng: x  

Tính giới hạn lim y
x 

d
c



x 

d
c




d
c

- Bảng biến thiên.
Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành :
ax  b
0
cx  d

x

b
a

- Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh còn lại lấy đối xứng qua tâm
d a
) là giao của hai đường tiệm cận.
c c

I(  ;

Các dạng của hàm số phân thức dạng:
E  ad  bc  0

E  ad  bc  0



23
2.8. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH...
2.8.1. Ứng dụng đạo hàm trong giải phƣơng trình
Nếu f ( x) là hàm số đồng biến hoặc là hàm hằng trên D, g( x) là
hàm nghịch biến hoặc là hàm hằng trên D thì phương trình f ( x)  g ( x)
có khơng q một nghiệm trên D.
Nếu f(x) là hàm đơn điệu trên D thì f (a)  f(b)  a  b(a, b  D) .
Ví dụ 2.42. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3 x 1  m x  1  2 4 x2  1

Ví dụ 2.43. Tìm m để phương trình sau có nghiêm:
1  x  8  x  (1  x)(8  x)  m

Nhận xét 2.2. Dạng tổng quát cho ví dụ 2.42và 2.43:
a  cx  b  cx  (a  cx)(b  cx)  m .

Đặt t  a  cx  b  cx , điều kiện

a  b  t  2(a  b) .

2.8.2. Ứng dụng đạo hàm để giải bất phƣơng trình
Nếu f(x) đồng biến trên D thì f(a)  f(b)  a  b(a,b  D) .
Nếu f(x) nghịch biến trên D thì f(a)  f(b)  a  b(a,b  D) .
Nếu a  min f ( x), A  max f ( x) thì bất phương trình m  f (x) có
xD

xD


nghiệm trên D khi m  a , và bất phương trình này nghiệm đúng với
mọi x  D khi m  A. .
Ví dụ 2.44. Giải bất phương trình sau:
x3  6 x2  12 x  7  3  x3  9 x2  18  9 x  11

Ví dụ 2.45. Giải bất phương trình sau:
x  1  3 5x  7  4 7 x  5  5 13x  7  8

Ví dụ 2.47. Giải bất phương trình sau: 3

2( x 1) 1

 3x  x2  4 x  3 .