TRƢỜ

IH C Ƣ
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

I SỐ TRƢỜNG VECTOR VÀ TÍCH PHÂN CHÚNG

Giáo viên hướng dẫn : TS. Nguyễn Thị Thùy Dƣơng
inh viên h
Lớp

hi n

: Nguyễn Thị Thu Thủy
: 11ST

Đà Nẵng, tháng 5/2015.


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THU THỦY

I SỐ TRƢỜNG VECTOR VÀ TÍCH PHÂN CHÚNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH : Sư Phạm Toán

Giảng viên hướng dẫn : TS. Nguyễn Thị Thùy Dương

Đà Nẵng, tháng 5/2015.

Khóa luận tốt nghiệp

1


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

MỤC LỤC

Trang

Ơ ..............................................................................................................................3

LỜI CẢ

MỞ ẦU ......................................................................................................................................4
NHỮNG KHÁI NIỆ

Ơ BẢN ...............................................................................................6


1.1

Bao tuyến tính .............................................................................................................6

1.2

ại số Lie .....................................................................................................................6

1.3

hƣơng trình vi phân đạo hàm riêng ........................................................................7

1.3.1

hƣơng trình đạo hàm riêng cấp một ...............................................................8

1.3.2

hƣơng trình đạo hàm riêng cấp một tuyến tính thuần nhất .........................9

1.3.3

hƣơng trình đạo hàm riêng cấp một tuyến tính khơng thuần nhất ...........10

1.4

hƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một...............................................................11

1.5


ƣờng cong đồng nhất Affine ..................................................................................13

I SỐ TRƢỜ

VE TƠ V TÍ

Â

Ú

.......................................................18

2.1 Ví dụ về đại số ma trận .................................................................................................18
2.2

Chuyển đổi sang tọa độ thực ......................................................................................21

2.3

Phép lấy tích phân hệ phƣơng trình (5) ....................................................................26

2.4

Sử dụng các gói tốn học Maple và Mathcad .........................................................29

KẾT LUẬN ................................................................................................................................31
Tài liệu tham khảo ....................................................................................................................32

Khóa luận tốt nghiệp


2


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

LỜI CẢ

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

Ơ

Khóa luận này được hồn thành tại trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà
Nẵng dưới sự hướng dẫn tận tình của cơ giáo - Nguyễn Thị Thùy Dương. Em
xin gửi đến cơ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc.

Trong q trình học tập và làm khóa luận, thông qua các bài giảng, bài học,
em luôn nhận được sự quan tâm, giúp đỡ và những ý kiến đóng góp của các thầy
cơ giáo, TS, ThS thuộc khoa Tốn Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng . Từ
đáy lịng mình, em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến các thầy cô.

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường Đại học Sư Phạm - Đại
học Đà Nẵng đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập
và làm khóa luận.

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè,…tất cả những người
đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận này.

Khóa luận tốt nghiệp


3


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

MỞ ẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các đối tượng hình học, chẳng hạn như hình cong hoặc bề mặt, như đã
biết, có thể được cho bởi phương trình (phương trình tường minh hoặc phương
trình ẩn). Bằng cách sử dụng định lý về phương trình vi phân, chúng ta có thể
cung cấp những cách khác. Ví dụ, có một trường hướng (hoặc tương đương, có
một họ các đường cong) trong một mặt phẳng nào đó, chúng ta có thể xây dựng (
bằng cách trực tiếp giải phương trình vi phân thường tương ứng) những đường
cong tích phân cho trường này. Bất kỳ đường cong nào, tại mỗi điểm của nó đều
có vector tiếp tuyến, trùng với hướng của đường cong (cho trước) tại điểm đó.
Tương tự như vậy (nhưng khó khăn hơn), chúng ta có thể xây dựng một bề
mặt trong một khoảng không gian đa chiều, tại mỗi điểm của bề mặt mặt phẳng
tiếp tuyến trùng với mặt phẳng tương ứng trong họ ban đầu cho trước. Tuy
nhiên, ở đây trái với các định lý nổi tiếng về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
của phương trình vi phân thường chúng ta phải giải các phương trình vi phân
đạo hàm riêng và do đó, phải đối phó với các định lý phức tạp hơn.
Vì vậy, xuất hiện các đại số của trường vector, đó là khơng gian tuyến tính với
cấu trúc bổ sung. Các đại số như vậy có thể lấy tích phân và thu được những bề
mặt tương ứng với các đại số đó.
Trong bài khóa luận này giải quyết bài toán liên quan đến việc nghiên cứu bề
mặt đồng nhất trong không gian 3 chiều.
Cụ thể là, cho một đại số trường vector tuyến tính trong khơng gian C3 chúng ta
có thể xây dựng được siêu diện thực đồng nhất, siêu diện này đi qua gốc tọa độ

và tại mỗi điểm của nó có sự tiếp xúc với trường bất kỳ của đại số đã cho.
Một cách tự nhiên, có thể nói rằng chúng là các trường tiếp xúc với bề mặt mà
chúng ta đang thảo luận. Do đó, chúng ta xây dựng bề mặt dựa trên đại số các
trường tiếp xúc với bề mặt.
Bề mặt xây dựng được trong khóa luận là một trong những siêu diện đồng nhất
trong không gian C3 .
2. Cấu trúc của bài nghiên cứu
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung chính của khóa luận gồm hai
chương:

Khóa luận tốt nghiệp

4


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

hƣơng 1: Kiến thức cơ bản.
Trong chương này, tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến phần nội
dung chính của khóa luận.
Cụ thể tơi tóm tắt khái niệm của bao tuyến tính; đại số Lie; phương trình vi phân
đạo hàm riêng; phương trình vi phân tuyến tính cấp một; đường cong đồng nhất
Affine.
hƣơng 2: Đại số trường vector và tích phân chúng.
Trong chương này, tơi đề cập đến ba nội dung chính. Nội dung đầu tiên là “ví dụ
về đại số ma trận”, nội dung thứ hai là “chuyển đổi sang tọa độ thực” và nội
dung thứ ba là “phép lấy tích phân hệ phương trình” thu được ở nội dung thứ hai
để đưa ra phương trình bề mặt với đại số ma trận.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thủy

Khóa luận tốt nghiệp

5


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

ƢƠ

NHỮNG KHÁI NIỆ

Ơ BẢN

1.1 Bao tuyến tính
ịnh nghĩa 1. Giả sử A là một tập con của không gian vector X. Luôn luôn tồn
tại một không gian con của X chứa A. Giao của họ tất cả các không gian con
chứa A cũng là một không gian con chứa A. Không gian con này được gọi là
không gian sinh bởi A hay là bao tuyến tính của A.
Cho x1, x2 ,...xn là n vector (phần tử ) của T-không gian vector X. Ta gọi một tổ
hợp tuyến tính của các vector x1, x2 ,...xn là một vector x có dạng :

x  1x1  2 x2  ...  n xn ,i T , i  1...n
Khi đó ta nói vector x biểu diễn tuyến tính được qua các vector x1, x2 ,...xn .

Bao tuyến của tập A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử
thuộc A.
1.2 ại số Lie
ịnh nghĩa 2. Cho K là một trường và L là một K – KGVT. Ta nói L là một
K - đại số Lie nếu L được trang bị thêm nhân gọi là tích Lie (hay móc Lie).
.,. : L  L  L

( x, y) a  x, y 
được gọi là tích Lie của x với y nếu thỏa mãn các tiên đề sau :

(i)( L1): .,. song tuyến tính.
(ii)(L2 ): .,. phản xứng :  x, x   0 x  L

(iii)(L3 ): .,. thỏa mãn đồng nhất

Jacobi :

 x,  y, z     z,  x, y     y,  z, x    0
  
  

 

Ví dụ 1. Chứng minh rằng : R3 với tích Lie là tích có hướng của hình sơ cấp là
một đại số Lie.

Khóa luận tốt nghiệp

6



GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

Chứng minh:
i) ( L1) : .,. song tuyến tính.

x  ( x1, x2 , x3 ), y  ( y1, y2 , y3 ), z  ( z1, z2 , z3 )  R3 và  ,  K .Ta có :
 x   y, z   ( x   y)  z   ( x  z )   ( y  z )    x, z     y, z 
 x, y   z   x  ( y   z )   ( x  y)   ( x  z )    x, y     x, z 

ii) ( L2 ) : .,. phản xứng. Thật vậy, x R3 thì  x, x   x  x  0
iii) ( L3 ) : .,. thỏa mãn đồng nhất Jacobi :

x   x1, x2 , x3  , y   y1, y2 , y3  , z   z1, z2 , z3  R 3. Ta có :
 x,  y, z    x   y  z 

 
 z,  x, y    z   x  y 

 
 y,  z, x    y   z  x 

 

Khi đó :  x,  y, z     z,  x, y     y,  z, x    0 .
Vậy R 3 với tích Lie như trên là một đại số Lie.
Nhận xét 1.






Trên mỗi K bất kỳ, L đều có thể trang bị tích Lie tầm thường
 x, y   0 x, y  L để trở thành đại số của Lie. Khi đó, ta gọi L là
một đại số Lie giao hốn.
Trên cùng một K – KGVT L ta có thể trang bị nhiều hay vô số đại số
Lie khác nhau khi thay đổi các tích Lie khác nhau.
Mỗi đại số Lie là mỗi KGVT nên số chiều của đại số Lie là số chiều
của KGVT.

1.3 hƣơng trình vi phân đạo hàm riêng
Có những bài tốn của thực tế…dẫn tới việc tìm một hàm z( x1, x2 ,..., xn ) , biến

x1, x2 ,..., xn thỏa mãn phương trình:

Khóa luận tốt nghiệp

7


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương



F  x1, x2 ,..., xn , z,


SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy


z
z  2 z
k z
,...,
, 2 ,..., k1
x1
xn x1
x1 ...xnkn


  0


ịnh nghĩa 3. Phương trình, trong đó có ít nhất một đạo hàm riêng cấp k của
hàm chưa biết z( x1, x2 ,..., xn ) và khơng có các đạo hàm riêng cấp cao hơn được
gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp k của các biến x1, x2 ,..., xn .
Hàm z( x1, x2 ,..., xn ) thỏa mãn phương trình trên trong một miền nào đó của biến

x1, x2 ,..., xn được gọi là nghiệm hay tích phân của phương trình đạo hàm riêng
trên miền đó.
Ví dụ 2. Phương trình

3u
 2u  2u
u

3
 2  5u  0 là phương trình đạo hàm
3

x
xy y
x

riêng cấp 3 của hai biến  x, y  .
1.3.1 hƣơng trình đạo hàm riêng cấp một
Phương trình đạo hàm riêng cấp một là phương trình có dạng :


F  x1, x2 ,..., xn , z,


z
z 
,...,
0
x1
xn 

Phương trình đạo hàm riêng cấp một tuyến tính là phương trình có dạng :
X1 ( x1, x2 ,..., xn , z)

z
z
 ...  X n ( x1, x2 ,..., xn , z )
 f ( x1, x2 ,..., xn , z)
x1
xn

Nếu vế phải của phương trình trên đồng nhất bằng 0, còn các hàm

X1( x1, x2 ,..., xn , z) khơng phụ thuộc vào z thì ta có phương trình tuyến tính
thuần nhất:

X1( x1, x2 ,..., xn )
Ví dụ 3. Phương trình x

z
z
 ...  X n ( x1, x2 ,..., xn )
0
x1
xn

u
u
u
y
z
 u là phương trình đạo hàm riêng cấp
x
y
z

một của 3 biến ( x, y, z) .
 u  u
Phương trình 
 0 cũng là phương trình đạo hàm riêng cấp một của
 

x


t


2

hai biến  x, t  .

Khóa luận tốt nghiệp

8


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

1.3.2 hƣơng trình đạo hàm riêng cấp một tuyến tính thuần nhất
Xét phương trình :
X1 ( x1, x2 ,..., xn )

z
z
 ...  X n ( x1, x2 ,..., xn )
 0 (1.1)
x1
xn

Giả sử rằng X1 ( x1, x2 ,..., xn , z) xác định và liên tục cùng với các đạo hàm riêng
cấp một của chúng theo tất cả các biến trong một lân cận nào đó của điểm

 x10 , x20 ,..., xn0  .
Ta phải tìm nghiệm của phương trình trên, tức là tìm một hàm z( x1, x2 ,..., xn )

xác định và khả vi liên tục trong lân cận điểm  x10 , x20 ,..., xn0  sao cho nó thỏa mãn
phương trình trong lân cận ấy.
Phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm hiển nhiên (nghiệm tầm thường)
z  C trong đó C là hằng số. Ngồi ra, ta sẽ chứng tỏ rằng nó có vơ số nghiệm
khơng tầm thường.
Cùng với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính ta xét hệ phương trình vi phân
thường đối xứng sau :
dx1

X1 ( x1, x2 ,..., xn )



dx2

X 2 ( x1, x2 ,..., xn )

 ... 

dxn

X n ( x1, x2 ,..., xn )

(1.2)

ịnh lí 1 Nếu  ( x1, x2 ,..., xn ) là tích phân khả vi liên tục của hệ (1.2) tức là
d | 2 





X1 
X 2  ... 
X 0
x1
x2
xn n

trong một miền nào đó của biến số x1, x2 ,..., xn thì hàm số z   ( x1, x2 ,..., xn ) là
nghiệm của phương trình (1.1)
Đảo lại, nếu z  ( x1, x2 ,..., xn ) là nghiệm của (1.1) thì z  ( x1, x2 ,..., xn ) là tích
phân của hệ (1.2).
Từ định lý trên suy ra rằng, việc giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
thuần nhất (1.2) tương đương với việc giải hệ phương trình vi phân thường đối
xứng (1.2). Nếu biết (n 1) tích phân độc lập thì 1 ( x1, x2 ,..., xn ) , 2 ( x1, x2 ,..., xn ) ,

n1 ( x1, x2 ,..., xn ) của hệ (1.2) thì nghiệm tổng quát của (1.1) sẽ là :
z   1,....,n1 

Khóa luận tốt nghiệp

9


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy


u
u
u
y
z
 0 ta chú ý rằng hệ phương
x
y
z
dx dy dz
trình đối xứng tương ứng có dạng
. Hệ này có 2 tích phân độc lập


x
y
z
y
z
là 1  ,2  chứng tỏ nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng đã
x
x
 y z
cho là u    ,  .
 x x

Ví dụ 4. Muốn tìm nghiệm của x

1.3.3 hƣơng trình đạo hàm riêng cấp một tuyến tính khơng thuần nhất

Xét phương trình tuyến tính khơng thuần nhất :
X1 ( x1, x2 ,..., xn , z)

z
z
 ...  X n ( x1, x2 ,..., xn , z )
 f  x1, x2 ,..., xn , z 
x1
xn

(1.3)

trong đó các hàm số X 1 và f xác định và liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp
một của chúng theo tất cả các biến trong một lân cận nào đó của điểm

 x , x ,..., x , z0  .Ta tìm nghiệm của phương trình khơng thuần nhất bằng cách
0
1

0
2

0
n

đưa hệ về thuần nhất. Nghiệm của phương trình này sẽ được tìm dưới dạng một
hàm ẩn :

U ( x1, x2 ,..., xn , z)  0
trong đó U là hàm khả vi liên tục theo tất cả các đối số và thỏa mãn :

U 0 0
x1 , x2 ,..., xn0 , z 0  0
z





Lấy vi phân hệ thức trên theo xi với z là hàm của x1, x2 ,..., xn ta được
U U z
z
U U

.
 0 hay

:
xi z xi
xi
xi z

thay vào phương trình (1.3) ta được :

X1

z
z
U
 ...  X n
f

0
x1
xn
z

(1.4)

Đây là phương trình tuyến tính thuần nhất đối với hàm U cần tìm
Giả sử hệ phương trình đối xứng tương ứng của phương trình trên
dx1 dx2
dx
dz

 ...  n 
X1 X 2
Xn
f

Khóa luận tốt nghiệp

có n tích phân độc lập

10


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

1  x1, x2 ,..., xn , z  ,2  x1, x2 ,..., xn , z  ,...,n  x1, x2 ,..., xn , z 

Khi ấy hàm số U   1,2 ,...,n  chính là nghiệm tổng quát của hệ phương
trình (1.4), do đó nghiệm tổng qt của phương trình (1.3) có dạng :

U   1,2 ,...,n   0
u
u
u
y
z
 xyz ta lưu ý rằng hệ
x
y
z
dx dy dz du
phương trình đối xứng
có ba tích phân độc lập là



x
y
z xyz
y
z
1  ,2  ,3  xyz  3u . Vậy hệ đã cho có nghiệm tổng quát là
x
x
y z

  , , xyz  3u   0

x x


Ví dụ 5. Muốn giải phương trình x

1.4 hƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một
dy
ịnh nghĩa 4. Phương trình có dạng
 P  x y  Q  x
dx
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.

(1.5)

Trong phương trình (1.5) ta ln mặc định P  x  và Q  x  là xác định trong
khoảng  a, b  nào đó. Ta tiến hành tìm nghiệm của (1.5) dưới dạng :

y  u  x v  x

(1.6)

ở đây u, v là các hàm chưa biết và phụ thuộc vào x . Đạo hàm cả hai vế của (1.6)
ta nhận được :

y '  u ' x v ' x

và đặt biểu thức vừa nhận được vào (1.5) ta nhận được :

u ' v  uv ' P  x  uv  Q  x 
 uv ' u ' P( x)u  v  Q  x 


(1.7)

Trong (1.7) ta chọn u sao cho :

Khóa luận tốt nghiệp

11


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

u ' P  x  u  0
 u '  P  x u
du
 P  x  u
dx
du

  P  x  dx
u
 ln  u     P  x  dx


 P x dx
ue 

Từ đây ta nhận được:


Thay biểu thức nhận được vào (1.7) ta nhận được :
  P ( x ) dx
e 
.v '  Q  x 

 e

 P ( x ) dx

  P ( x )  dx
 P ( x ) dx
.e 
.v '  e 
.Q  x 

dv
 P ( x ) dx
 e
.Q  x 
dx
 P ( x ) dx
 dv  e 
.Q  x  dx
 v' 

 v   e

 P ( x ) dx


.Q  x  dx  C

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) tìm được dưới dạng :
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx

y  uv  e 
.   e
.Q  x   C 





xy ' 2 y  2 x4

Ví dụ 6. Tìm nghiệm của phương trình :

2
y  2 x3
x
2
P  x 
  P  x dx  2ln  x 
x
Q  x   2 x3
 y '

Phương trình (1.8)  y  e2ln  x  .   e2ln x .2 x3dx  C 





 1

 y  x2 .  

 x

2



.2 x3dx  C 


 y  x   2 xdx  C 
2





 y  x  x  C 
2

Khóa luận tốt nghiệp

2


12


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

1.5 ƣờng cong đồng nhất Affine
ịnh nghĩa 5. Đường cong  R 2 được gọi là đường cong đồng nhất Affine
nếu cho hai điểm bất kì của đường cong tồn tại một phép biến đổi Affine chuyển
điểm này sang điểm kia ( cùng với lân cận của nó ).
Những đường cong đồng nhất Affine là những đường cong được bảo toàn
bằng các phép biến đổi Affine thích hợp.
Phép biến đổi tọa độ sau là phép biến đổi Affine :
a1
 x  a1 x * b1 y * c1
|
với



a2
 y  a2 x * b2 y * c2

b1
b2

| 0

(1.9)


Trong đó :  x, y  - tọa độ gốc ;  x*, y * - tọa độ chuyển đổi.
Lƣu ý :
Phép biến đổi Affine (1.9) cùng với điều kiện  cũng có thể viết :
 x*  a '1 x  b '1 y  c '1

 y*  a '2 x  b '2 y  c '2

Bài tốn : Mơ tả các đường cong đồng nhất Affine trong mặt phẳng.
Lƣu ý : Các đường cong đồng nhất Affine trong mặt phẳng là các đường cong
có thể biến đổi thành chính nó bằng các phép biến đổi Affine.
Ví dụ 7. Đường cong S1  x2  y 2  1 là đường cong đồng nhất Affine.
Thật vậy, phép quay mặt phẳng với một góc  :
 x*  x cos   y sin 

 y*  x sin   y cos 

Là một phép biến đổi Affine và nó bảo tồn đường trịn.
Chọn góc   B   A thì ta sẽ thu được phép biến đổi cần tìm như trong định
nghĩa (1.9).
ịnh nghĩa 2. Tất cả các đường cong không suy biến cấp hai, như là : ellip,
hyperbolic, parabolic đều là đường cong đồng nhất Affine.

Khóa luận tốt nghiệp

13


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương


SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

Chứng minh:

x2 y 2
a) Xét các đƣờng Ellip : 2  2  1
a b
Được biết, đường ellip là đường tròn bị “nén”.
Điều này ý nghĩa rằng việc nén dọc theo trục tọa độ có phương trình :
 x*  cx

 y*  y

(1.10)

Thay vào (1.10) vào phương trình của đường tròn x2  y 2  R2 , ta nhận được :

 x *  y * 2  R2
 
2
2

c

 x *   y *
2
2
2

 cR 


R

2

 1 : phương trình Ellip.

Tồn tại phép biến đổi Affine (tuyến tính) biến đường Ellip thành đường trịn.
Điểm A và B sẽ đi đến điểm A* và B* tương ứng. Trong đó các điểm nằm trên
cùng một đường trịn cũng thuộc đường tròn.
Mà đường tròn là đường cong đồng nhất Affine. Vì vậy, tồn tại một phép biến
đổi Affine, mà điểm A* di chuyển đến điểm A** = B*.Và những điểm chuyển
đến các điểm mới trong đường tròn vẫn thuộc đường tròn.
Việc chuyển đổi ngược biến đường tròn thành ellip trong đó có điểm A* di
chuyển đến điểm A*** = B.
Sự kết hợp của các phép biến đổi Affine biến điểm A thành điểm B.
Lƣu ý : Giữa các đường cong đang nghiên cứu và đường con đồng nhất đã biết
tồn tại một song ánh Affine thì đường cong đó cũng là đường cong đồng nhất
Affine.
b) Xét các đƣờng Hyperbolic

x2 y 2

1
a 2 b2

x  x *a

Ta sử dụng phép biến đổi : 


 y  y *b

Khóa luận tốt nghiệp

14


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

 x * a
để biến hyperbolic thành :
a2

2

 y * b   1  x2  y 2  1

2
2

b

(1.11)

Chúng ta sử dụng các hàm của hyperbolic (cht và sht)
Như ta đã biết, các hàm sin  cos  là các hàm lượng giác cơ bản thõa mãn:

sin 2   cos2   

Các hàm hyperbolic : ch2t  sh2t  1
Xét các phép biến đổi Affine (tuyến tính) được gọi là phép quay hyper-bolic :

hoặc

 x*
x
   A 
 y *
 y

(1.12)

x
1  x * 
  A  
 y
 y *

(1.13)

sht  1  cht sht   ch(t ) sh(t ) 

, A  

 sht cht   sh(t ) ch(t ) 
 sht cht 
 cht

Với A  


Phép biến đổi này biến đổi hyperbolic (1.11) thành chính nó vì nó thực hiện việc
biến đổi các điểm của đường cong này và ảnh của chúng :
x
 x * ch(t )  y * sh(t ) 
1  x * 
  A  

 y
 y *  x * sh(t )  y * ch(t ) 

x 2  y 2  ( x*)2 ch2 (t )  ( y*)2 sh 2 (t )  2 x * y * ch(t )sh(t ) 
 ( x*)2 sh2 (t )  ( y*)2 ch2 (t )  2 x * y * ch(t ) sh(t )   1
 ( x*)2  ( y*)2  1
 x*
  T , chuyển thành điểm
y
*
 

Điểm 

x
  , cũng nằm trên đường hyperbolic.
 y

Chỉ ra rằng, bằng một phép biến đổi Affine (tuyến tính), bất kỳ điểm nào trên
hyperbolic cũng có thể được dịch sang bất kỳ điểm nào khác trên đường cong
đó.
Để làm được điều này, ta cho điểm M (1,0) thuộc một hyperbolic giác đều. Cho

N ( x0 , y0 ) (với x0  cht , y0  sht ), là điểm chuyển đổi của M qua phép biến đổi
Affine.
Khóa luận tốt nghiệp

15


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

 x*
1   cht 
   A   

 0   sht 
 y *

 et  et et  et 
N  cht; sht   
,

2 
 2

Tại t  arc shy0 ( hoặc t  arc chx0 ) là các điểm lần lượt được tìm.
Trên đường cong lấy một điểm K  x1, y1  . Dùng phép biến đổi có thể biến
K M

N K

n : M  N

n 

1

:N M

k : M  K
Kết hợp các phép biến đổi m  k (n )1 : N  K biến hyperbolic thành
hyperbolic. Vì vậy, đường cong này là đồng nhất.
c) Xét các đƣờng parabolic : y = x2
Xét phép biến đổi Affine tùy ý :
 x  a1 x * b1 y * c1

 y  a2 x * b2 y * c2

Và chọn các hệ số các parabolic biến đổi thành chính nó.

a2 x * b2 y * c2  (a1 )2 ( x*)2  (b1)2 ( y*)2  (c1)2  2a1b1x * y * 2a1c1x * 2b1c1 y *
Chọn a1  1, b1  0, b2  1. Khi đó : a2 x *  y * c2  ( x*)2  c12  2c1x * ,suy ra y* :

y*  ( x*)2  2c1x * c12  c2  a2 x * hoặc y*  ( x*)2  2  c1  a2  x * (c12  c2 )

2c2  a2  0

Ta có : 

2


c1  c2  0


a2  2c1

, hoặc 

2

c2  c1

Khi đó, phép biến đổi Affine trở thành :

 x  x * c

2

 y  2cx *  y * c

(1.14)

Parabolic bảo toàn, với c tùy ý.
Khóa luận tốt nghiệp

16


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy


Xét điểm M(1,1) trên parabolic. Giả sử N ( x0 , y0 ) là điểm cũng nằm trên
parabolic. Ta sử dụng phép biến đổi Affine (1.14) một cách phù hợp để biến
điểm M thành điểm N ( x0 , y0 ) .
Điều này có nghĩa rằng, cần phải giải hệ phương trình sau :

1  x0  c

2

1  2cx0  y0  c

(1.15)

Từ phương trình đầu ta có c  1  x0 , khi đó ta có thể giải được phương trình
thứ hai của hệ phương trình (1.15).
Tương tự với cách lập luận được áp dụng cho đường hyperbolic ta chứng minh
được parabolic là đường cong đồng nhất.

Khóa luận tốt nghiệp

17


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

ƢƠ


I SỐ TRƢỜ
VE TƠ V TÍ
2.1 Ví dụ về đại số ma trận

Â

Ú

Đối tượng nghiên cứu trong khóa luận này là một đại số trường vectơ tuyến tính
thực 5 chiều trong không gian phức £ 3 . Tọa độ trong không gian này sẽ được kí
hiệu là z1 , z2 , w.
Mỗi thành phần của đại số thảo luận trong khóa luận này là trường vector có
dạng :
E  ( A1 z1  A2 z2  p)




 ( B1 z1  B2 z2  s)
 (az1  bz2  cw)
z1
z2
w

(1)

Theo trường vector có thể lấy vi phân hàm, mà hàm này được nhấn mạnh bằng
việc sử dụng kí hiệu (1). Dưới đây chúng ta có thể sử dụng các phép tính vi phân
(phép tính đạo hàm) theo trường vector. Nhưng để việc mơ tả rõ ràng hơn, chúng
ta sẽ trình bày các trường bằng cách sử dụng ma trận.

Đặc biệt, 5 ma trận sau đây là cơ sở của đại số ma trận mà chúng ta sẽ nghiên
cứu trong khóa luận.
 4i

0
E1  
 4i

 0

0

0
E4  
0

0

0 0 1

0 0 0
,
0 0 0

0 0 0

4

0
E2  

0

0

0 0 0

0 0 i
,
0 0 0

0 0 0

0

0
E5  
0

0

i

2 0 0
,
0 4 0

0 0 0

0 0


0 0

0 0
E3  
 0 4i

0 0

0 0

0 1
4 0

0 0

0 0 0

0 0 0
0 0 1

0 0 0

Với
 A1( k )
 (k )
B
Ek   1
 ak

 0


Khóa luận tốt nghiệp

A2(k)

0

(k )
2

0

B

bk

ck

0

0

pk 

sk 
0

0 

18



GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

Ở đây Ek là kí hiệu mà các ma trận mà các ma trận có liên quan đến trường
vector tuyến tính cơ s. Biết rằng trường này thuộc trong đại số mà chúng ta
nghiên cứu :
Ek  ( A1( k ) z1  A2( k ) z2  pk )




 ( B1( k ) z1  B2( k ) z2  sk )
 (ak z1  bk z2  ck w)
z1
z2
w

Lưu ý rằng trong quá trình chuyển đổi từ các trường vector thành ma trận, các
phép tốn ngoặc vng của hai trường vector sẽ chuyển thành phép tình ngoặc
vng của các ma trận tương ứng, được cho bởi công thức sau :

 A, B  A.B  B.A
Thật vậy :


 E1, E2   E1.E2  E2 .E1
 16i


0
  E1 , E2   
 16i

 0
0

0

0

0



4   16
 
0 0 0  0

0 0 4   16
 
0 0 0  0
0 0

0
0


0 0 0

0
 4 
0
0 0 4 


0 0 0
0
0 0

0 0 4

0 0 0
0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0
 4 E5
0 0 1

0 0 0

 E1 , E3   E1.E3  E3.E1
  E1 , E3   0




 E1, E4   E1.E4  E4 .E1
  E1 , E4   0



 E1 , E5   E1.E5  E5 .E1
  E1 , E5   0

Khóa luận tốt nghiệp

19


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương



 E2 , E3   E2 .E3  E3.E2
 0

0
  E2 , E3   
16i

 0
0 0

0 0

 0 8i


0 0



SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

0 0 0 0 0
 
0 0 2 0 0

0 0 0   0 8i
 
0 0 0 0 0

0 0
0 0


0 2
0 0
 2

 0 4i
0


0 0
0 0


0 0

0 0
0 0

0 0

0 0

0 1
 2 E3
0 0

0 0

 E2 , E4   E2 .E4  E4 .E2
  E2 , E4   0



 E2 , E5   E2 .E5  E5 .E2
0

0
  E2 , E5   
0

0
0


0

0

0

0 0 0 0
 
0 0 0 0

0 0 4 0
 
0 0 0 0

0 0 0
0


0 0 0
0
 4
0
0 0 4


0 0 0
0




 E3 , E4   E3.E4  E4 .E3
  E3 , E4   0



 E3 , E5   E3.E5  E5 .E3
  E3 , E5   0

Khóa luận tốt nghiệp

0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0
 4 E5
0 0 1

0 0 0

20


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương




SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

 E4 , E5   E4 .E5  E5 .E4
  E4 , E5   0

Vậy:

 E1 , E2   4E5 ;

 E2 , E3   2E3 ;

 E2 , E5   4E5

 E1, E3    E1, E4    E1 , E5    E2 , E4    E3 , E4    E3 , E5    E4 , E5   0
Do đó, có thể giả định rằng trong khóa luận này sẽ tìm hiểu về một đại số Lie
ma trận thực 5 chiều, bao gồm các ma trận cấp 4 ( các phần tử của các ma trận là
các số phức). Đại số này là bao tuyến tính thực của các ma trận E1-E5. Nó là
khơng gian tuyến tính đóng đối với phép tốn ngoặc vng ; bởi vì khơng gian
đóng đối với phép tốn ngoặc vng nên khơng gian đó là đại số Lie.
Tập hợp các ma trận cho trước E1-E5 (một họ các trường vector) tạo thành một
không gian tiếp tuyến với bề mặt chưa biết tại mỗi điểm của bề mặt. Vì vậy, lấy
tích phân đại số này chúng ta có được bề mặt mong muốn. Điều kiện cần và đủ
để họ các trường vector có tính khả tích là tính đóng của họ này đối với phép
tốn ngoặc vng. Đại số các trường được nghiên cứu có tính chất đóng bởi vì
nó là đại số Lie.
Đại số  E1  E5  ở trên thu được liên quan đến việc nghiên cứu siêu diện thực
đồng nhất Affine của không gian phức 3 chiều . Làm thế nào để có được đại số
và xây dựng bề mặt tương ứng theo đại số đó là một việc khó khăn. Mục tiêu

chính của khóa luận này là xây dựng bề mặt đồng nhất theo những đại số cho
trước, mà đại số này tương ứng với trường hợp bề mặt không xác định.

Chuyển đổi sang tọa độ thực

2.2

Điều kiện tiếp xúc trường vector lên bề mặt M ( bề mặt chúng ta cần tìm) là :
Re Ek ()|M  0

Ở đây,   v  F ( z, z, u) -là hàm xác định ( nhưng chưa biết ) của bề mặt thảo
luận, z  ( z1 , z2 ); z  ( z1 , z2 ) ; w  u  iv
Vi phân hàm này theo trường vector E5 có thể thấy :
E5  1.

 1     1  F
 1  F 
 
i
 i(1)   
i
 
w 2  u
v  2  u
 2  u 

(2)

Vậy theo (2) thì :
Khóa luận tốt nghiệp


21


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

 1  F  
Re  
 i   0
 2  u  

Suy ra :
F
0
u

Nghĩa là F là một hàm khơng phụ thuộc vào u
Do đó ma trận thứ 5 và các biến u về sau sẽ không được xem xét tiếp. Chỉ đề
cập về E1-E4 và ma trận liên quan. Các ma trận E1-E4 ở trên tương ứng với các
trường vector theo sơ đồ mô tả sau đây ( để đơn giản ta biểu diễn chúng bằng
các chữ cái tương ứng) :
E4  i
E3 


z2




 4iz2
z2
w

E2  (4 z1  i)




 2 z2
 4w
z1
z2
w

E1  (4iz1  1)

Vì

(3)



 4iz1
z1
w

F
0 ,

u



 1  F  1
 
i  i
w 2  u  2



  v  F (z, z )

Nên

 F

z1 z1
 F

z2 z2

thay vào (3) ta có :

Khóa luận tốt nghiệp

22


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương


E4  i
E3 


SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

F
z2

F
1 
 4iz2  i 
z2
2 

F
 2 z2
z2

E2  (4 z1  i )
  4 z1  i 

F
F
1 
 2 z2
 4w  i 
z1
z2

2 

F
F
 2 z2
 2v
z1
z2

E1  (4iz1  1)
 (4iz1  1)

F
1 
 4iz1  i 
z1
2 

F
 2 z1
z1

Chúng ta chuyển sang dạng thực của các điều kiện :
Re Ek ()|M  0

  F 
0
Re i
  z2 
 


Re  F  2 z2   0
  z2


Re  4 z  i F  2 z F  2v   0

2
  1  z
z2
1

 
 

F
 2 z1   0
Re  4iz1  1
z1

 

Với các đẳng thức :
z1  x1  iy1
z2  x2  iy2

Theo các quy tắc đạo hàm theo biến phức thì ta có :
F 1  F
F 
 

i

z1 2  x1 y1 
F 1  F
F 
 
i

z2 2  x2
y2 

Thay thế các đẳng thức trên lần lượt vào dạng thực các điều kiện :
Khóa luận tốt nghiệp

23


GVHD: Cô Nguyễn Thị Thùy Dương



SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy

 F 
Re i
0
 z2 

F  
 1  F

 Re  i 
i
  0
 2  x1 y2  
 1 F 1 F 
 Re 
 i
0
 2 y2 2 x2 
1 F

0
2 y2


F
0
y2



 F

Re 
 2 z2   0
 z2


(1’)


 1  F

F 
 Re  
i
  2  x2  iy2    0
y2 
 2  x2

 1 F
  1 F
 
 Re 
 2 x2   i 
 2 y2    0
  2 y2
 
 2 x2
1 F

 2 x2  0
2 x2




F
 4 x2  0
x2


(2’)



F
F
Re  4 z1  i 
 2 z2
 2v   0
z1
z2



 1

 F
 F
F  2
F 
 Re   4  x1  iy1   i  
i
i
   x2  iy2  
  2v   0
y2 
 x1 y1  2
 x2
 2


 1 

F
F 
F
F 
 Re   4 x1
  4 y1  1
  2 x2
 2 y2
  4v 
x1
y1 
x2
y2 
 2 

1 
F
F  
F
F   
i  4 x1
  4 y1  1
 2 x2
   2 y2
   0
2 
y1
x1  

x2
y2   



1
F
F 
F
F 
  4 y1  1
  2 x2
 2 y2
 4 x1
  4v   0
2
x1
y1 
x2
y2 


Khóa luận tốt nghiệp

24