BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN
QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HỒNG TRÍ

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp
Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5
năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Topo đại số là một nhánh của tốn học sử dụng các cơng cụ của
đại số để nghiên cứu các khơng gian topo. Có nhiều định lý về topo
như định lý Jordan, định lý bất biến miền được phát biểu đơn giản
nhưng việc chứng minh chúng rất phức tạp và thường phải dùng đến
topo đại số. Định lý đường cong Jordan được mang tên nhà toán học
người Pháp Camille Jordan, người đã đưa ra chứng minh đầu tiên
cho định lý này. Định lý được phát biểu có vẻ như hiển nhiên nhưng
để có được một chứng minh hồn chỉnh thì thật sự khơng dễ chút
nào. Trong nhiều thập kỉ chứng minh của Jordan được coi là có thiếu
sót và chứng minh đầy đủ đầu tiên là của Oswald Veblen, tuy nhiên
điều này gần đây đã bị Thomas C. Hales và những người khác nghi
ngờ. Ngày nay đa số những chứng minh rõ ràng dựa vào công cụ của
tô pô đại số. Định lý đã được tổng qt hóa lên những khơng gian có
số chiều cao hơn. Do vậy đề tài này tìm hiểu về lý thuyết đồng điều
kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của
đường cong Jordan. Tôi hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt
cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết đồng điều kỳ dị và hy
vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong
phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. Mục đích nghiên cứu

Nêu các định nghĩa, các tính chất của lý thuyết đồng điều kì dị
và ứng dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong
Jordan, định lý bất biến của miền”.


2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết đồng điều kỳ dị.
Phạm vi nghiên cứu là các không gian Topo và Topo đại số.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức
2. Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả
nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào
việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong
Jordan.
3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang
nghiên cứu.
5. Đóng góp của đề tài
1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên
quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh
các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan nhằm xây
dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu lý thuyết
đồng điều kỳ dị.
2. Chứng minh chi tiết và làm rõ mộ số định lý mà phải dùng
đến topo đại số mới giải quyết được.
6. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có

ba chương:
Chương 1: Những kiến thức cơ bản


3

Trình bày những kiến thức về đại số như phạm trù, hàm tử,
phép biến đổi tự nhiên...và về topo như tính liên thơng, liên thơng
đường, topo thương, phép đồng nhất và phép dán, nhóm topo, các ví
dụ về khơng gian topo như quả cầu, mặt cầu, mặt xuyến, các nhóm
topo cổ điển...cơ bản về các phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm
Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều đơn hình.
Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị
Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi
các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ
dị
Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị.
Trình bày những chứng minh định lý khái quát đường cong
Jordan và định lý bất biến của miền.


4

CHƯƠNG 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1.

PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình

Trong khơng gian

n

, cho tập hợp các điểm

 p0 ,..., pk  độc lập

affine. Tập hợp tất cả các điểm
k
k


n
x   i pi , i  0,1 ,  i  1
x 
i 0
i 0


được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình.
Ta ký hiệu    p0 ,..., pk  , trong đó p0 ,..., pk là các đỉnh của đơn
hình 
dim  k là chiều của đơn hình  .
Định nghĩa 1.1.2. Phức đơn hình.
Một phức đơn hình là họ hữu hạn K    gồm các đơn hình trong
khơng gian
(i)
(ii)


n

thỏa tính chất sau
Nếu  K thì mỗi mặt của  cũng thuộc K .
Nếu  ,  K thì hoặc 
mặt chung của

   hoặc   là một

 và 

Cặp ( K , K ) được gọi là một đa diện. Khi đó, K  sdK được gọi là
phân tích đơn hình của đa diện, K  K được gọi là giá của K.
Chiều của đa diện ( K , K ) , ký hiệu là dim( K , K ) được định nghĩa
như sau

dim( K , K )  max dim /   K

Đường kính của K ký hiệu là meshK và đường kính này được định
nghĩa như sau: meshK  max  ( ) /   K


5

Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con.
Cho ( K , K ) là một đa diện, L  K . Nếu L cũng là phức đơn hình
thì L được gọi là phức đơn hình con của K . Khi đó, ( L, L ) được
gọi là đa diện con của đa diện ( K , K ) , với L là giá của L .
Định nghĩa 1.1.4. Cho ( K , K ) là một đa diện  K . Tập hợp tất cả


các mặt thật sự của  ký hiệu là  . Khi đó   F ( ) \  .
Định nghĩa 1.1.5. Cho ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó,
 K được gọi là giá của x , ký hiệu  ( x) , nếu  là đơn hình có
chiều nhỏ nhất chứa x .  ( x) là duy nhất và có thể biểu diễn dưới
dạng  ( x) 

  K, x  .

Định nghĩa 1.1.6. Cho ( K , K ) là một đa diện. Với mọi đỉnh p  K,
tập hợp
K\

  K , p  

được gọi là hình sao của p, ký hiệu là Stp.
Định lý 1.1.1. Cho p0 , p1 ,..., pn là các đỉnh của đa diện ( K , K ).
Khi đó
(i) ni0 Stpi   khi và chỉ khi  p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của

K.

(ii) Nếu    p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của K thì ni0 Stpi là
tập hợp gồm tất cả các điểm x  K mà  ( x) nhận  làm mặt.
Ta nhận xét rằng nếu

 p0 , p1 ,..., pt 

là các đỉnh của đa diện

K thì với mỗi x  K , x được biểu diễn một cách duy nhất dưới


dạng x   i 0 i ( x) pi , trong đó i  0,1 , với i  1, t.
t

Ta có i ( x)  0,1 nếu pi  ( x). Khi đó, i ( x) được gọi là

tọa độ của x đối với pi . Ngược lại, i ( x)  0 nếu pi  ( x).
 0,1 , với mỗi  K , được gọi là hàm
Hàm số i : 

tọa độ trọng tâm của



. Ta có

i là hàm liên tục.


6

Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân
Cho hai ánh xạ f , g : X 
Y liên tục. Hai ánh xạ f , g được gọi
là đồng luân, ký hiệu f

g , nếu tồn tại ánh xạ H : X  I 
Y

thỏa H ( x,0)  f ( x); H ( x,1)  g ( x), x  X .

Khi đó, H được gọi là đồng luân của f đối với g .
n

Định lý 1.1.2. Cho ( K , K ) là một đa diện trong không gian

,Y

là không gian topo bất kỳ và f , g là hai ánh xạ liên tục từ Y
vào K . Nếu với mỗi y  Y , tồn tại một đơn hình  K thỏa mãn
f ( y), g ( y)  thì f và g đồng luân.

1.1. PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN
Cho một phân tích đơn hình K của K , chúng ta sẽ xây dựng một

phân tích đơn hình K  khác của K , được gọi là thứ phân trọng
tâm của K.
Định nghĩa 1.2.1. Cho đơn hình    po , p1 ,..., pn  trọng tâm của 
là một điểm, ký hiệu b hay [ ] được xác định như sau
b 

1 n
 pi
n  1 i 0

Nếu   pi thì trọng tâm của  trùng với chính nó.
Định nghĩa 1.2.2. Cho ( K , K ) là một đa diện. Khi đó, Sd 1K gồm
tất cả các đơn hình b 0 , b1 ,..., b s  , trong đó  0  1     s là
dãy tăng nghiêm ngặt các mặt của K.
Định lý 1.2.1. Cho ( K , K ) là một đa diện có đường kính là  . Khi
n

đó, đường kính của Sd 1K 
.
n 1
n m
) meshK.
Hệ quả 1.2.1. Cho dimK  n, khi đó meshSd mK  (
n 1
1.3. ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH
Định nghĩa 1.3.1. Cho ( K , K ) , ( L, L ) là hai đa diện trong
ánh xạ

n

. Xét


7

 : ( K , K ) 
( L, L ),  được gọi là ánh xạ đơn hình nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau:
 Với
mọi

 p0 , p1 ,..., ps   K,

các

điểm


 ( p0 ), ( p1 ),..., ( ps ) là các đỉnh của một đơn hình


thuộc L .
Ánh xạ  là ánh xạ afine với mỗi  K , nghĩa là


s



s



i 0

   i pi    i ( pi )
 i 0

trong đó

s


i 0

i

 1 và i  0 với i  1, s.


Định nghĩa 1.3.2. Cho f : K 
 L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ
đơn hình

 với r  0 được gọi là một xấp xỉ đơn hình của f nếu

f (Stp)  St ( p) với mọi đỉnh p  Sd r K.

Định lý 1.3.1. Cho f : K 
 L là một ánh xạ liên tục. Khi đó, tồn
tại xấp xỉ đơn hình  : ( K , Sd r K ) 
( L, L ) của f với r đủ lớn
và mỗi xấp xỉ đơn hình của f đều đồng luân với f .
1.4. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ
Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù.
Một phạm trù P bao gồm:


Một lớp P gồm các vật A, B, C... được gọi là những vật
của phạm trù P



Với mỗi cặp vật ( A, B) của phạm trù P cho một tập hợp
gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A đến B , ký hiệu



 A, BP . Mỗi phần tử của  A, B P


được ký hiệu là f .

Với mỗi bộ ba vật ( A, B, C ), với mỗi cặp cấu xạ
f   A, BP , g   B, C P , tồn tại gf được gọi là phép

hợp thành của hai cấu xạ g , f và gf   A, C P
thỏa mãn các tiên đề sau:


8



Phép hợp thành có tính chất kết hợp.



Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1A   A, AP được gọi
là cấu xạ đồng nhất sao cho với mọi f   B, AP ,
g   B, C P , ta có 1A f  f , g1A  g

Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con.
Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu


Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù

P.



Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của
phạm trù P.



Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng
nhất của phạm trù P.



Hợp thành gf của hai cấu xạ f , g trong phạm trù C
đều trùng với hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm
trù P.

Một phạm trù con C của phạm trù P được gọi là đầy nếu

 A, BC   A, BP ,

với mỗi cặp A, B trong phạm trù C .

Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi đầu, vật tận cùng
Mỗi vật A trong phạm trù P được gọi là vật khởi đầu nếu
với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X
Một vật A trong phạm trù P được gọi là vật tận cùng nếu
với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A .
Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử
Cho hai phạm trù P, P  . Một hàm tử hiệp biến H từ phạm
trù P đến phạm trù P , ký hiệu H : P 
P  là một cặp ánh xạ

gồm ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ.


Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P,
một vật của phạm trù P  , ký hiệu là H ( A).


9



Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ f   A, BP ,
một cấu xạ thuộc  H ( A), H ( B)P  , ký hiệu là H ( f )

và thỏa mãn các điều kiện sau:


H (1A )  1H ( A) , với mọi A  P .



H ( gf )  H ( g )H ( f ), với mọi hợp thành gf trong phạm

trù P , nghĩa là

A

f

B

g

gf

H(A)

H(f)

H (g)

H ( gf )

C

H(B)

H(C)

1.5. NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO
Mệnh đề 1.5.1. A là tập hợp khác rỗng x, y,... là các phần tử
thuộc A .Ta đặt:

X   f : A 
  A hữu hạn,
A  A : f ( x)  0, x  A \ A
với mọi f , g  X , ta định nghĩa phép cộng trên X như sau
 f  g  x   f  x   g  x  , x  A
Khi đó, X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel.
Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do
Nhóm Abel X được xác định như trên được gọi là nhóm Abel tự do

sinh bởi A.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử R là một V  module,   S  R . Khi đó,

S được gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R đều được biểu
diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S .
Hệ quả 1.5.1. Cho R là một V  module. Nếu S là cơ sở của R thì
S là hệ sinh độc lập tuyến tính.


10

Mệnh đề 1.5.2. Cho A là tập hợp khác rỗng, x, y,... là các phần tử
thuộc A ; V là một vành,  ,  ,... là các phần tử thuộc V . Ta đặt
X  f : A 
V  A hữu hạn , A  A : f ( x)  0, x  A \ A



Với mọi g , f  X , với mọi  V ta định nghĩa phép cộng, phép
nhân ngoài trên X như sau :
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x), x  A
( f )( x)   f ( x), x  A

Khi đó, X cùng với phép cộng, phép nhân ngoài lập thành một
V  Module.

Định nghĩa 1.5.2 Module tự do.
Module X được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A
1.6. KHƠNG GIAN TOPO
Khơng gian topo là một cặp

hợp,

T

là một họ các các tập con của X thỏa mãn
(i)

T , X T

(ii) U1 ,U 2 T
(iii) U i  T

 U1  U 2 T

(i  I ) 
iI

Mỗi phần tử của

T

( X ,T ) , trong đó X là một tập

T

Ui T

được gọi là một tập mở của X; họ

được gọi là một topo trên X.


1.7. KHÔN GIAN LIÊN THƠNG, LIÊN THƠNG ĐƯỜNG
Định nghĩa 1.7.1. Khơng gian liên thông
Không gian topo X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập
mở A và B khác



của X sao cho

A  B  , X  A  B .


11

Nói cách khác, khơng gian X là liên thơng nếu và chỉ nếu không tồn
tại một tập con thực sự

A   vừa đóng vừa mở của X.

Mệnh đề 1.7.1. Tập M của không gian topo X liên thông khi và chỉ
khi không tồn tại các tập mở A, B trong X sao cho

A  M  , B  M  , A  B  M  , M  A  B .
Định lý 1.7.1. Nếu không gian topo X có một tập liên thơng trù mật
M thì X liên thơng.
Hệ quả 1.7.1. Giả sử A là tập liên thông của X,

A  B  A . Khi


đó B là tập liên thơng.
Định nghĩa 1.7.3. Khơng gian liên thông đườngCho E là không gian
topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E, tồn tại ánh xạ

 :[0,1]  E

liên tục sao cho

 (0)  x,  (1)  y .

Mệnh đề 1.7.2. Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh
xạ liên tục là không gian liên thông đường.
Mệnh đề 1.7.3. Cho E, F là hai khơng gian liên thơng đường. Khi đó

E  F cũng là không gian liên thông đường.
1.8. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH
1.8.1. Các định nghĩa.
Cho K là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự
tuyến tính. Khi đó, mỗi đơn hình  q0 , q1 ,..., qn  có thể được viết duy

nhất thành  p0 , p1 ,..., pn  với ( p0  p1    pn ) và được gọi là n –
đơn hình định hướng.
Định nghĩa 1.8.1.1. Với mỗi n  0 , nhóm Abel tự do Cn (K ) sinh
bởi các n – đơn hình định hướng của K được gọi là nhóm các xích
n - chiều của K . Rõ ràng, Cn (K )  0 nếu n  dim K .


12

Với mỗi n  1, toán tử biên  : Cn (K ) 

Cn1 (K ) là đồng cấu
xác định trên mỗi phần tử sinh bởi công thức
n

 p0 , p1 ,..., pn   (1)i p0 , p1 ,..., pi ,..., pn .
i 0

Bổ đề 1.8.1.1. Cho G, G là các nhóm giao hốn; H , H  lần lượt là
các nhóm con của G, G;  : G 
G ; là đồng cấu nhóm thỏa

 ( H )  H  . Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm
 : G H 
 G H 
gH

(g)  H 

Hơn nữa, nếu  là đẳng cấu và

 (H )  H 

thì  là đẳng cấu và

 được gọi là đồng cấu cảm sinh bởi  .
Bổ đề 1.8.1.2. Cho X , X  là các không gian vector trên trường
G; Y , Y  lần lượt là các không gian vector con của X , X  . Nếu
 : X 
 X  là ánh xạ tuyến tính và  (Y )  Y  thì
 : X Y 

 X  Y
x Y

 ( x)  Y 

cũng là ánh xạ tuyến tính. Nếu  là đẳng cấu và  (Y )  Y  thì 
cũng là đẳng cấu.
1.8.2. Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân
Cho K , L là hai phức đơn hình.
Định nghĩa 1.6.2.1 Một họ    n  các đồng cấu

 n :Cn (K, G) 
Cn (L, G), n  0
Sao cho n1 n1   nn1 , n  0


13

được gọi là một biến đổi xích hay một ánh xạ xích.
Định nghĩa 1.8.2.2. Cho  ,  :C (K, G) 
C (L, G) là hai ánh xạ
xích. Một đồng luân xích nối  ,  là họ D  Dn  các đồng cấu

Dn :Cn (K, G) 
Cn1 (L, G) , n  0 thỏa

 n  n   n1Dn  Dn1n , n  1
Ta nói  ,  là các xích đồng luân nếu D tồn tại
Định lý 1.8.2.1. Ta có
(i)  # Sd : C (K ) 

C (K ) là ánh xạ đồng nhất trên C (K )
(ii) Sd  # : C (K ) 
C (K ) là đồng luân xích với ánh xạ đồng
nhất trên C (K ) .
1.8.3. Đồng cấu cảm sinh
Cho K,L là hai phức đơn hình. Một ánh xạ đơn hình  : K 
L
cảm sinh một đồng cấu  : H (K, G) 
 H (L, G) . Ta sẽ xây dựng
một đồng cấu duy nhất

f : H (K, G) 
 H (L, G)

đối với mỗi ánh xạ liên tục

f : K 
L
Bổ đề 1.8.3.1. Cho ánh xạ f : K 
 L liên tục, hai xấp xỉ đơn
hình

 : K m 
L,
 : K m 1 
L
của f (m, s  0) . Khi đó, các đồng cấu

  Sdm ;   Sdm s : H (K, G) 
 H (L, G) trùng nhau.



14

Định nghĩa 1.8.3.1. Cho f : K 
 L là ánh xạ liên tục bất kỳ giữa
các đại diện,

 : K m 
 L là một xấp xỉ đơn hình của f . Khi đó, đồng cấu
f : H (K, G) 
 H (L, G)

được ký hiệu  Sd : H (K, G) 
 H (L, G)
f
g
Định lý 1.8.3.1. Cho K 
 L 
 P . Khi đó, g f  ( gf ) và
(id K )  id H (K, G ) .
m

0,1
Bổ đề 1.8.3.2. Cho K là một đa diện. Giả sử  ,  :0,1 

là hai ánh xạ liên tục mà    và
(id   )  (id   ) : H (P  I ) 
 H (P  I ) . Khi đó, với mỗi đa


điện P , các ánh xạ đồng luân f , g : K 
P cảm sinh các đồng
cấu
f  g : H (K, G) 
 H (P, G) .
Định lý 1.8.3.2.

f , g : K 
P

Cho
là

P, K

ánh

xạ

là các đa điện hữu hạn ;
liên

tục.

Nếu

f g

thì


f  g : H (P ) 
 H (K )
K
Định lý 1.8.3.3. Cho P , K là các phức đơn hình, h : P 

đồng phơi thì ánh xạ sau đẳng cấu h : H (P, G) 
 H (K, G) .
Định lý 1.8.3.4. Cho P , K là các phức đơn hình, f : P 
 K là
một tương đối đồng luân thì f : H (P ) 
 H (K ) là một đẳng
cấu.
1.8.4 Đồng điều tương đối
Cho K là đa diện, L là đa diện con của K . Xét nhóm thương
Cn (K ) Cn (L ) và đồng cấu biên
 : Cn (K ) Cn (L ) 
Cn1 (K ) Cn1 (L ) xác định bởi
(cn  Cn (L ))  (cn )  Cn1 (L )

hay ký hiệu  cn   cn 


15

CHƯƠNG 2
ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
2.1. ĐƠN HÌNH KỲ DỊ VÀ XÍCH KỲ DỊ
2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị
n 1


n  ; i  0, n  1, ei  (0,...0,1,0,...,0) 

,  n  e1 , e2 ,..., en  gọi

là n – đơn hình chuẩn


 n   t0 ,..., tn  



Với mỗi n  , i  0,1,..., n , ta đặt

in



n 1

n

t

i

i 0



 1, ti  0 






 (t0 ,..., tn )  n ti  0 được

gọi là mặt thứ i của  n đối diện với đỉnh

ei

Định nghĩa 2.1.1.1
Cho X là một khơng gian topo , một n – đơn hình kỳ dị trong X là
một ánh xạ liên tục T :n 
X.
Định nghĩa 2.1.1.2.

Cho

X, Y

là hai không gian topo,

f : X 
Y liên tục.

Nếu T : n 
 X là một n – đơn hình kỳ dị trong X thì
hợp f T : n 
 Y là một n – đơn hình kỳ dị trong Y và được ký

hiệu bởi fT .
Với mọi c 

 n T  C ( X ),
i i

n

ta đặt Cn ( f )(c) 

 n ( fT ) .
i

i

Khi đó ta được một đồng cấu Cn ( f ) :Cn ( X ) 
 Cn (Y ) cảm sinh
bởi f .
2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị C ( X )

  n là ánh xạ xác định bởi:
n  1, xét di : n1 
di  t0 , t1 ,..., tn1    t0 ,..., ti 1 ,0, ti ,..., tn1  i 0,1,..., n


16

Định nghĩa 2.1.2.1. Xét đồng cấu biên  n : Cn ( X ) 
 Cn1 ( X )
như sau

Với T : n 
 X ,  n  0  là một n – đơn hình kỳ dị thì
 n

 nT 

 (1) Td
i

i

i 0

Khi đó, với c 


thì  n  c  

n T C  X 
i i

n

 n  T    
i

n n 1

n i


0

Định nghĩa 2.1.2.2.
Cho không gian X bất kỳ, dãy C  X   Cn  X  ,  n n  0,1,2,...
được gọi là phức kỳ dị của X và dãy





H  X   H n  X   H  C  X    H n  C  X  

được gọi là nhóm đồng điều kỳ dị phân bậc của X .
Đối với một ánh xạ liên tục
f : X 
Y ,





H  f   H n  f  : H n  X  
 H n Y 

là đồng cấu phân bậc của

các nhóm đồng điều kỳ dị cảm sinh bởi ánh xạ xích C  f




H n  f  : H n  X  
 H n Y 

z  Bn  X 

Cn  f  z   Bn Y 

Định nghĩa 2.1.2.3. Cho X , Y là không gian topo,
f : X 
Y liên tục
f # n : Cn ( X ) 
Cn ( Y ) xác định bởi
c

n T

i i

cho

Cn  f  c  

n  f
i

thì f là đồng cấu, từ đây ta suy ra sơ đồ sau giao hoán

Ti 



17

nghĩa là f # n  n1   n1 f # n1
Bổ đề 2.1.2.1. Cho
của X thì

 X 

là những thành phần liên thông đường

Hn  X    Hn  X  


Bổ đề 2.1.2.2. Cho X   , X liên thơng đường thì H 0  X  
Bổ đề 2.1.2.3. Cho p là một điểm của X thì
H0 ( p)  , H n ( p)  0, n  1

2.1.3. Nhóm tương đối, dãy khớp dài
Định lý 2.1.3.1. Dãy đồng điều của một cặp
Cho A là một tập con của X , thì dãy đồng điều của một cặp
 X , A
i n
j n
n
 
 H n  A 
 H n  X  
H n  X , A 
 H n1  A 
 

 H 0  A

i*0
0
*0

 H 0  X  
H 0  X , A 
0
j

 Y , B  cảm
là khớp. Hơn nữa, một ánh xạ liên tục f :  X , A 

sinh ra một đồng cấu của dãy khớp của

Y , B 

 X , A

tới dãy khớp của

tức là trong sơ đồ sau, mỗi hình vng là giao hốn

Định lý.2.1.3.2. (Dãy đồng điều của bộ ba) Cho A  B  X là
khơng gian topo. Khi đó ta có dãy khớp
 
 H n ( B, A) 
 H n ( X , A) 
 H n ( X , B)



 H n 1 ( B, A) 
 
 H 0 ( X , B) 
0
ở đây các tự đồng cấu không được ký hiệu được hiểu là đồng cấu

cảm sinh bởi các phép nhúng và



là hợp


18
j

H n ( X , B) 
 H n1 ( B) 
 H n1 ( B, A)

2.2. TÍNH BẤT BIẾN CỦA ĐỒNG LUÂN ĐỐI VỚI THỨ
PHÂN TRỌNG TÂM
Định lý 2.2.1. Cho f , g : X 
Y là đồng luân. Khi đó  n  0 ,
fn  gn : H n ( X ) 
 H n (Y )

Định lý 2.2.2. Cho f , g : ( X , A)  (Y , B) liên tục, đồng luân

 F : X  I 
 Y liên tục:

F ( x,0)  f ( x)
F ( x,1)  g ( x)
F (a, t )  B,

x  X
a  A; t  I

Khi đó fn  gn : H n ( X , A) 
 H n ( X , B)
2.2. ĐỊNH LÝ KHOÉT
Định nghĩa 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , T : n 
 X là
n – đơn hình. Ta xây dựng (n+1)- đơn hình xuất phát từ T vào w, ký
hiệu đơn hình này là T , w  . Khi đó T , w  liên tục với
c

 n T  C ( X ),
i i

n

ta ký hiệu c, w  

tính biên của  c, w 

 n T , w . Bây giờ ta sẽ
i


i

Bổ đề 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , c là n – xích kỳ dị của

X.
Cho Tw : 0 
 X là 0 - đơn hình,
với c 

x

n T

i i

w
là w - đơn hình.


 c, w   (1)
Khi đó  n 1  c, w   

 (c)Tw  c

n 1

c

nếu n >0

nếu n=0


19

Định nghĩa 2.3.2. Cho X là không gian Topo, A  U  là một
phủ của X mà X 

 

IntU thì A được gọi A - nhỏ.

Bổ đề 2.3.2. Cho T : n 
  , (    p0 ,..., pn  là n – đơn hình)
là phép đồng phơi tuyến tính.
Khi đó mỗi thành phần T : n 
  của Sd nX T sẽ là phép đồng
phơi tuyến tính từ  n đến Ti ( n ) là một thành phần trong thứ phân
thứ nhất của  .

Định lý 2.3.2.Cho A là họ các tập con của X mà có phần trong
phủ X
( A  U  ,
m 

IntU  X ). Cho T : n 
 X liên tục. Khi đó
 

sao cho mỗi thành phần của Sd mT là A - nhỏ.


Bổ đề 2.3.3. m 
D 
X

, X là không gian bất kỳ,

  :C ( X ) C
DnX

n 1 ( X )

n

sao

cho :  nX1DnX (T )  DnX1 nX (T )  Sd mXn (T )  T với T : n 
 X liên
tục.
Hơn nữa DnX là tự nhiên, nếu f : X 
Y thì
DnY1 f # n1  f # n 2 DnX1 .
Định lý 2.3.2. Cho X là không gian topo, A  U  là một họ

các tập con của X mà X 

IntU . Khi đó ánh xạ nhúng
 

i# n : CnA ( X ) 

 Cn ( X )
c  niTi
c



cảm sinh một đẳng cấu giữa các nhóm đồng điều H nA ( X ), H n ( X )
(cũng đúng cho đồng điều thu gọn)


20

Định lý 2.3.3. Định lý khoét
Cho A  X , U mở trong X sao cho U  IntA thì phép nhúng
j : ( X \ U , A \ U ) 
( X , A)
cảm sinh một đẳng cấu trong đồng điều kỳ dị.
Định nghĩa 2.3.3. Dãy Mayer - Vietoris
Cho X  X1



X 2 , cho C ( X1 )  C ( X 2 )  C A ( X ) với A   X1 , X 2 .

Ta nói  X1 , X 2  là một cặp khoét nếu phép nhúng
C ( X1 )  C ( X 2 ) 
C( X )

cảm sinh một đẳng cấu các nhóm đồng điều.
Định lý 2.3.4. Dãy Mayer – Vietoris

Cho X  X1 X 2 ,  X1 , X 2  là một cặp khoét của X thì dãy sau
đây khớp
 n
 n
 
 H n ( A) 
H n ( X1 )  H n ( X 2 ) 

 H n ( X ) 
 H n1 ( A) 

gọi là dãy Mayer – Vietoris của  X1 , X 2 . Định nghĩa

 (a)   i (a), j (a) 

  ( x1 , x2 )  k ( x1 )  l ( x2 )
với các ánh xạ

i

A

X1

j
X2

k

l


X


21

cũng tồn tại một dãy tương tự cho các đồng diều thu gọn. Nếu

A

là

khác rỗng cả hai dãy đều là tự nhiên đối với các đồng cấu cảm sinh
từ các ánh xạ liên tục là các phép nhúng.

CHƯƠNG 3
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
Trong chương này ta sẽ sử dụng các tính chất của lý thuyết đồng
điều để chứng minh một vài định lý tổng quát của định lý về đường
cong Jordan và định lý bất biến miền của Brouwer
Một tập con A của một không gian topo
tách

nếu

X

X\A

2


tách

được gọi và

là tập không liên thông.

Định lý Jordan phát biểu rằng mỗi tập con của

S1

X

2

là đồng phôi với

.

Bằng cách sử dụng lý thuyết đồng điều ta có thể chứng minh
định lý tổng quát hơn:”Mỗi tập con của
tách

n 1

n1

mà đồng phôi với

Sn


(n  1) .”

Từ định lý này ta có thể suy ra định lý bất biến miền của
Brouwer: ”Cho U là tập mở trong

f :U 
thì

f (U )

là tập mở trong

n

n

, cho

là các ánh xạ liên tục và đơn ánh
n

và f là phép nhúng đồng phôi”.


22

3.1 ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG CONG JORDAN VÀ MỞ RỘNG.
Định nghĩa 3.1.1. Cho A là một tập con của một khơng gian topo


X

, ta nói rằng

A

tách

X

nếu

X\A

là tập liên thơng.

Ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề 3.1.1. Cho X là một khơng gian topo ; khi đó X liên thơng
đường khi và chỉ khi
Bổ đề 3.1.2. Cho

H0 ( X )

là nhóm tầm thường.

 ,i  n  i  0
n  1, H i ( S n )  
0, i  n  i  0

Định nghĩa 3.1.2. Mỗi không gian đồng phơi với quả cầu đơn vị

đóng

k chiều, thì B k

được gọi là

k  cell

Sn

B

acylic (có nghĩa là

H p (S n \ B)  0, p ). Trường hợp riêng B

trong

thì

Sn \ B

Định lý 3.1.1. Cho

khơng tách

là một

k  cell .
là


Sn.

Định lý 3.1.2. Cho

n  k  0, h : S k  S n

là một phép nhúng

đồng phôi. Khi đó

 ,i  n  k 1
H i ( S n \ h( S k ))  
0, i  n  k  1.
Định lý 3.1.3. (Tổng quát hóa của Định lý đường cong Jordan)
Cho

n  0 . Cho C

là một tập con của

n  1 mặt cầu. Khi đó S n \ C

Sn

mà đồng phơi với

có đúng hai thành phần liên thông

và hai thành phần liên thông này nhận


C

làm biên.


23

Trước khi chứng minh Định lý này ta chứng minh Bổ đề sau :
Bổ đề 3.1.3. Cho

H0 ( X ) 

thì

ngược lại nếu

H0 ( X ) 

là một khơng gian topo. Khi đó nếu

X
X

có đúng hai thành phần liên thơng đường,

có đúng hai thành phần liên thơng đường thì

X


.

Định lý 3.1.4. Cho

S n1 . Khi đó

n

n  1. C

\C

là tập con của

n

đồng phơi với

có đúng hai thành phần liên thơng và

C

là

biên chung của hai thành phần liên thông này.
3.2. ĐỊNH LÝ BẤT BIẾN MIỀN.
Định lý 3.2.1. (Định lý bất biến miền)
Cho U là tập mở của
ánh. Khi đó


f (U )

n

,

f :U 

mở trong

n

và

n

f

là ánh xạ liên tục và đơn

là một phép nhúng.