ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGƠ HỒI THANH

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGƠ HỒI THANH

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Trương Cơng Quỳnh

ĐÀ NẴNG - NĂM 2020






LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn PGS.TS Trương Cơng Quỳnh đã tận tình hướng dẫn tác
giả trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được luận
văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy
cơ giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của
khóa học.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong
lớp phương pháp Toán sơ cấp K36 -Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập tại lớp.
Tác giả
Ngơ Hồi Thanh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. Các bất đẳng thức và một số bài toán về bất
đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Bất đẳng thức Cauchy


............................................ 5

1.2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
1.3. Bất đẳng thức Minkowsky

........................................7

......................................... 9

1.4. Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu (Cauchy-Swarchz)

...................9

CHƯƠNG 2. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các phương
trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các phương trình một ẩn

. . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các phương trình nhiều ẩn

. . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Giải một phương trình bằng nhiều cách và nhiều bất đẳng thức khác nhau
2.4. Ứng dụng bất đẳng thức khác nhau để giải trong một phương trình
2.5. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các phương trình chứa tham số.

. . 26

. . . . . . . 32


. . . . . . . . . . 35

CHƯƠNG 3. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các hệ phương
trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các hệ phương trình hai ẩn

. . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các hệ phương trình ba ẩn trở lên

. . . . . . . . 57

3.3. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các hệ phương trình chứa tham số

. . . . . . . . 62


CHƯƠNG 4. Phát triển các phương trình và hệ phương trình
qua các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1. Phát triển các phương trình mới bằng bất đẳng thức Cauchy
4.2. Phát triển phương trình bằng bất đẳng thức Bunyakovsky
4.3. Phát triển hệ phương trình bằng bất đẳng thức

. . . . . . . . . . . . . 67

. . . . . . . . . . . . . . . 73

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, trong chương trình tốn phổ thơng để giải phương trình và hệ
phương trình học sinh cịn lúng túng, mắc sai lầm hoặc khơng định hướng
được các lời giải, cịn các tài liệu tham khảo về dạng tốn này cũng có khá
nhiều nhưng chỉ đề cập tới nhiều phương pháp giải như: phương pháp biến
đổi đại số, phương pháp logic, phương pháp lượng giác, phương pháp hình
học, . . . Các phương pháp này góp phần quan trọng để giải các bài tốn về
phương trình và hệ phương trình, tuy nhiên học sinh gặp khó khăn khi sử
dụng các phương pháp giải đó để giải quyết các bài tốn khó hơn. Chẳng
hạn bài tốn giải phương trình và hệ phương trình được thiết kế dưới ý
tưởng của một bất đẳng thức hay một tính chất của bất đẳng thức nào đó.
Nếu chúng ta giải bằng các phương pháp trên thì sẽ gặp nhiều khó khăn.
Đặc biệt bài tốn này thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi các
cấp ở trung học cở sở và trung học phổ thơng.
Chính vì thế để giải phương trình và hệ phương trình bằng phương
pháp bất đẳng thức là sự phối hợp nhiều kiến thức, kĩ năng giải tốn. Bài
tốn địi hỏi người làm tốn phải hiểu biết sâu sắc về bất đẳng thức, linh
hoạt trong sử dụng. Người làm tốn cần tìm tịi, củng cố, hệ thống, liên hệ
các kiến thức, đồng thời tập cho chúng ta làm quen với việc nghiên cứu,
khám phá vẻ đẹp của tốn.
Bởi những lí do trên cùng với định hướng và giúp đỡ của thầy giáo
PGS.TS. Trương Công Quỳnh, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận

văn là: “Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các kiến thức về bất đẳng thức và chứng minh. Áp dụng


2

bất đẳng thức vào giải các phương trình và hệ phương trình cho một số
bài tập. Từ các bất đẳng thức xây dựng các phương trình và hệ phương
trình cho ra các bài toán mới.
3. Đối tượng nghiên cứu
Giải các dạng phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp bất
đẳng thức trong chương trình trung học.
Phát triển các phương trình và hệ phương trình thơng qua các bất đẳng
thức.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong chương trình tốn trung học cở sở và trung học phổ thơng.
5. Phương pháp lí luận
Sử dụng các phương pháp lí luận tốn học để giúp học sinh tìm hướng
giải quyết các bài tốn phổ thơng.
6. Phương pháp thực tiễn
Việc giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp dùng “bất
đẳng thức” học sinh phổ thơng rất tích cực vì một số đều như tính tư duy
cao, chính xác, tạo hứng thú cho học sinh học tốn. Do đó địi hỏi người
giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi để giải và
sáng tạo ra các bài tốn phương trình và hệ phương trình mới đáp ứng
được chun mơn, cơng việc giảng dạy của mình.
7. Phương pháp nghiên cứu
Để hồn thiện đề tài này chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên
cứu: phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các cơng trình khoa học

về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng và hệ thống


3

phương pháp giải phương trình và hệ phương trình thường gặp ở bậc trung
học.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo các chuyên đề về phương
trình và hệ phương trình.
Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn.
Quan sát, học hỏi, tiếp thu và giải các bài toán thực tế.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
8.1. Ý nghĩa khoa học
Đào sâu và tìm hiểu dùng bất đẳng thức giải phương trình và hệ phương
trình để có được một kết quả nhanh và hiệu quả nhất.
8.2. Ý nghĩa thực tiễn
- Giúp học sinh trong học tập tốt thêm chuyên đề phương trình và hệ
phương trình.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ
bản và vận dụng phương pháp này để giải bài tập liên quan đến phương
trình và hệ phương trình.
- Gây hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập phương trình và hệ
phương trình trong sách giáo khoa, sách tham khảo và các đề thi.
9. Cấu trúc luận văn
Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra các bất đẳng thức, rồi vận dụng
các bất đẳng thức để giải các phương trình và hệ phương trình và dựa
vào các bất đẳng thức xây dựng các phương trình và hệ phương trình. Nội
dung luận văn được trình bày trong bốn chương. Ngồi ra, luận văn có
Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Kiến



4

nghị, Tài liệu tham khảo.
Chương 1, trình bày về các bất đẳng thức và các bài toán bất đẳng
thức, bao gồm 6 mục. Mục 1.1, các kiến thức cơ bản; Mục 1.2, bất đẳng
thức Cauchy; Mục 1.3, bất đẳng thức Bunyakovsky; Mục 1.4, bất đẳng
thức Minkopsky; Mục 1.5, bất đẳng thức Cauchy-Swarchy; Mục 1.6, một
số bài toán về bất đẳng thức.
Chương 2, trình bày về ứng dụng bất đẳng thức để giải các phương
trình, bao gồm 5 mục. Mục 2.1, dùng phương pháp bất đẳng thức để giải
phương trình một ẩn; Mục 2.2, dùng phương pháp bất đẳng thức để giải
phương trình nhiều ẩn; Mục 2.3, giải một phương trình bằng nhiều cách
và nhiều bất đẳng thức khác nhau; Mục 2.4, dùng nhiều bất đẳng thức
khác nhau để giải một phương trình; Mục 2.5,dùng phương trình bất đẳng
thức để giải các phương trình chứa tham số.
Chương 3, trình bày về ứng dụng bất đẳng thức để giải các hệ phương
trình, bao gồm 2 mục. Mục 3.1, dùng phương pháp các bất đẳng thức để
giải các hệ phương trình hai ẩn; Mục 3.2, dùng bất đẳng thức để hệ phương
trình ba ẩn trở lên.
Chương 4, trình bày cách xây dựng các phương trình và hệ phương
trình qua các bất đẳng thức, bao gồm 2 mục. Mục 4.1, tìm các phương
trình mới bằng bất đẳng thức; Mục 4.2, tìm các hệ phương trình mới bằng
bất đẳng thức.


5

CHƯƠNG 1


CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Trong chương này, chúng tôi xin giới thiệu một số bất đẳng thức cơ bản
trong toán học như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky,
bất đẳng thức Minkopsky, bất đẳng thức Cauchy-Swarchz và một số bài
toán về bất đẳng thức, nhằm để ứng dụng giải các phương trình và hệ
phương trình trong tốn phổ thơng.
1.1. Bất đẳng thức Cauchy
Định lí ([8]) Cho a1 , a2 , a3 , ..., an là các số thực không âm. Khi đó ta
có

a1 + a2 + a3 + ... + an
√
≥ n a1 a2 a3 ...an .
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ... = an .
1.1.1. Các trường hợp đặc biệt ([8])
1. Cho a1 , a2 là các số thực không âm. Khi đó ta có

a1 + a2 √
≥ a1 a2 .
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 .
2. Cho a1 , a2 , a3 là các số thực khơng âm. Khi đó ta có

a1 + a2 + a3 √
≥ 3 a1 a2 a3 .
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 .

1.1.2. Một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức Cauchy
Bài toán 1. ([11]) Cho a, b > 0. Khi đó ta có


6

4
1
1
√ .
√ +√ ≥√
a
b
a+ b
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

√
√
1
1
( a + b)( √ + √ ) ≥ 4
a
b
1
4
1
√ .
⇔√ +√ ≥√

a
b
a+ b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. ([6]) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh rằng

1
1
3
1
√
.
+
+
≥
1+a 1+b 1+c
1 + 3 abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

2
a+b−2
4
=1−
. (1)
≥
a+b+2
a+b+2
(1 + a)(1 + b)

√
√
Ta có a + b − 2 ≥ 2 ab − 2 và a + b + 2 ≥ 2 ab + 2.
√
2 ab − 2
a+b−2
2
√ . (2)
≥1− √
Suy ra 1 −
=
a+b+2
2 ab + 2 1 + ab
1
2
1
√ .
+
≥
Từ (1) và (2) ta có
1+a 1+b
1 + ab
Tương tự
2
2
4
1
1
1
1

√
√
√
√
≥
+
≥
.
+
+
+
√
1 + a 1 + b 1 + c 1 + 3 abc
1 + ab 1 + c 3 abc
1 + 3 abc
1
1
3
1
√
+
+
≥
hay
, ∀a, b, c ≥ 1.
1+a 1+b 1+c
1 + 3 abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
1
1

+
≥
1+a 1+b


7

1.2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
Định lí ([8]) Cho hai dãy số thực a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn . Khi đó
ta có:

(a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n ).
a1
a2
an
=
= ... = .
b1
b2
bn
1.2.1. Các trường hợp đặc biệt([8])

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1. Cho hai dãy số thực a1 , a2 và b1 , b2 . Khi đó ta có

(a1 b1 + a2 b2 )2 ≤ (a21 + a22 )(b21 + b22 ).
a2
a1
= .

b1
b2
2. Cho hai dãy số thực a1 , a2 , a3 và b1 , b2 , b3 . Khi đó ta có

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

(a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 ≤ (a21 + a22 + a23 )(b21 + b22 + b23 ).
a2
a3
a1
=
= .
b1
b2
b3
1.2.2.Một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức Bunyakovsky
1
Bài toán 1.([2]) Cho 0 ≤ x, y ≤ . Chứng minh rằng
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

√

1
+
1 + 2x2

2
1

≤√
.
1 + 2xy
1 + 2y 2

Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải

1

0≤x≤
2
Điều kiện
1

 0≤y≤ .
2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có

1
√
+
1 + 2x2

1
1 + 2y 2

2


≤2

1
1
+
1 + 2x2 1 + 2y 2

.(∗)


8

Dấu bằng xảy ra ⇔

√

1 + 2x2 =

1 + 2y 2 ⇔ x = y . Ta lại có:

1
1
2
2(x − y)2 (2xy − 1)
+
−
=
≤ 0.
1 + 2x2 1 + 2y 2 1 + 2xy
(1 + 2x2 )(1 + 2y 2 )(1 + 2xy)

Suy ra

1
2
1
(∗∗)
+
≤
1 + 2x2 1 + 2y 2
1 + 2xy
Từ (∗) và (∗∗) ta suy ra

1
√
+
1 + 2x2

1
1 + 2y 2

2

≤

4
.
1 + 2xy

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y .
Bài toán 2.([2]) Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng


1
1
1
.
+
≥
1 + ab
(1 + a)2 (1 + b)2
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có
√ √
√
(1 + ab)(a + b) ≥ ( a + ab. b)2 = a(1 + b)2
Suy ra

1
a
1
.
.(3)
≥
a + b 1 + ab
(1 + b)2
Tương tự

1
1
b

.
.(4)
2 ≥
a + b 1 + ab
(1 + a)
Cộng (3) và (4) ta được:

1
a+b
1
1
1
+
≥
.
=
.
a + b 1 + ab 1 + ab
(1 + a)2 (1 + b)2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.


9

1.3. Bất đẳng thức Minkowsky
Định lí([8]) Cho các số thực a1 , a2 , ..., an và các số thực b1 , b2 , ..., bn .
Khi đó ta có

a21 + b21 + a22 + b22 +...+ a2n + b2n ≥


(a1 + ... + an )2 + (b1 + ... + bn )2 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn .
Đặc biệt. ([13]) Cho a,b,c là các số thực tùy ý, ta có

√

a2 + c2 +

√

b2 + c 2 ≥ a + b.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = 0.
1.4. Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu (Cauchy-Swarchz)
Định lí([8]) Cho các số thực dương a1 , a2 , ..., an và các số thực b1 , b2 , ..., bn .
Khi đó ta có

a21 a22
a2n
(a1 + a2 + ... + an )2
+
+ ... +
≥
.
b1
b2
bn
b1 + b2 + ... + bn
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi


a2
an
a1
=
= ... = .
b1
b2
bn


10

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC
PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình và bất đẳng thức có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Chẳng
hạn khi chứng minh bất đẳng thức, ta cần dự đoán dấu bằng xảy ra khi
nào, điều này dẫn tới việc tìm nghiệm nào đó của phương trình. Qua đó
ta thấy việc giải phương trình là thực sự ý nghĩa.
Bởi vậy, trong quá trình phát triển và giải toán bất đẳng thức sẽ nảy
sinh ra nhu cầu tìm nghiệm của phương trình. Nhiều bài tốn về phương
trình lại là sự che dấu của một bất đẳng thức hay nhiều bất đẳng thức
nào đó. Dấu hiệu nhận ra dạng tốn này là số phương trình ít hơn số ẩn,
phương trình rất phức tạp, khơng mẫu mực, nhưng mang bóng dáng của
một bất đẳng thức nào đó. Vì bất đẳng thức là một lĩnh vực rất phát triển
của Toán sơ cấp nên theo đó bằng con đường bất đẳng thức ta sẽ giải và
tạo ra rất nhiều phương trình. Một điều đặc biệt lưu ý đối với phương

pháp này là dự đốn được nghiệm sẽ góp phần rất lớn vào thành công của
bài giải.
2.1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải các phương trình một ẩn
Dùng phương pháp bất đẳng thức để giải các phương trình một ẩn như
phương trình đa thức bậc cao, phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác,
phương trình mũ, phương trình lơgarít, phương trình chứa tham số.
Chính vì thế có những phương trình đại số bậc cao không thể giải bằng
phương pháp biến đổi đại số hay đặt ẩn phụ hay phân tích về dạng tích
các đa thức có bậc nhỏ hơn và giải được thì ta vận dụng phương pháp bất
đẳng thức để giải như hai ví dụ sau.


11

3
Ví dụ 2.1.1 ([12]). Giải phương trình x2 = 2x8 + .
8
Giải
Phân tích bài tốn
Câu hỏi đặt ra lúc này là khi ta nhìn vào phương trình tại sao ta lại
nghĩ rằng đây là phương trình giải bằng phương pháp bất đẳng thức. Thật
vậy, điều quan trọng là ta thấy x8 khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta
hạ bậc xuống x4 , rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy lần nữa ta được bậc

x2 . Từ đó đưa ra dấu đẳng thức xảy ra và giải hệ phương trình đó.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm, ta có
1
1
1

2x8 + ≥ 2 2x8 ⇔ 2x8 + ≥ x4 (1)
8
8
8
1
1
1
và x4 + ≥ 2 x4 ⇔ x4 + ≥ x2 . (2)
4
4
4
Từ (1) và (2) ta có:

2x8 + x4 +

3
3
≥ x4 + x2 ⇔ 2x8 + ≥ x2 .
8
8

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1
√

 2x8 =
8 ⇔ x = ± 2.
1


2
 x4 =
4
√
2
Vậy nghiệm phương trình là x = ±
.
2
Nhận xét
Khi giải bài tốn này bằng các phương pháp như đưa về dạng tích hai
đa thức hoặc đặt ẩn phụ thì khá rườm rà và phức tạp. Do đó sử dụng bất
đẳng thức Cauchy, cho bài toán này ta suy nghĩ tổng của hai bất đẳng
3
thức ta được dạng này 2x8 + x4 + ≥ x4 + x2 , sau đó ta triệt tiêu đại
8
√
2
.
lượng x4 còn lại dấu đẳng thức xảy ra và nghiệm phương trình x = ±
2


12

Ví dụ 2.1.2 ([5]). Giải phương trình

x3000 + 500x3 + 1500x + 1999 = 0.
Giải
Phân tích bài tốn
Nhìn vào đề ta thấy nghiệm của phương trình là giá trị âm và ta kiểm

tra được nghiệm của phương trình là x = −1. Nhưng khơng thể phân
tích về tích của các đa thức được. Vì x3000 có bậc q cao nên ta sử dụng
phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình này.
Lời giải
Với x > 0, V T > 0 = V P (vô lý) ⇒ x ≤ 0 ⇒ |x| = −x.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

x3000 + 2999
= x3000 + 1 + 1 + ... + 1 ≥ 3000

√

3000

và

x3000 + 999
= x3000 + 1 + 1 + ... + 1 ≥ 1000

Lấy (1)+(2) ta được

√

1000

x3000 1.1...1 = 3000 |x| = −3000x (1)

x3000 1.1...1 = 1000 x3 = −1000x3 . (2)

2x3000 + 3998 ≥ −(1000x3 + 3000x).

⇔ x3000 + 500x3 + 1500x + 1999 ≥ 0 ⇒ V T ≥ V P .
x=1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x3000 = 1 ⇔ x = −1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = −1.
Nhận xét

Bài tốn này ta thấy x < 0 suy ra |x| = −x. Do đó ta sử dụng bất

đẳng thức Cauchy và mở trị tuyệt đối ta được V T ≥ 0 = V P . Khi đó
đẳng thức xảy ra là nghiệm của hệ phương trình.
Trong phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường ta sử dụng phương


13

pháp giải thông thường để mở dấu giá trị tuyệt đối là ta phải xét các
trường hợp bằng cách dựa vào bảng xét dấu. Chính vì vậy lời giải của bài
toán quá dài cho nên ta dùng phương pháp bất đẳng thức để giải bài tốn
sau.
Ví dụ 2.1.3 ([12]). Giải phương trình

4 + 4x − x2 = |x − 1| + |x − 2| + |2x − 3| + |4x − 14|.
Giải

Phân tích bài tốn
Bài tốn này ta thấy trong các biểu thức chứa giá trị tuyệt đối có x − 1,

x − 2, 2x − 3, 4x − 14 cho nên ta dùng bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt
đối để đánh giá V P ≥ 8.

Lời giải

Ta có

V P = |x − 1| + |x − 2| + |2x − 3| + |4x − 14|
≥ |x − 1 + x − 2 + 2x − 3 + 14 − 4x| = 8. (1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Mặt khác, ta có

V T = 8 − (x − 2)2 ≤ 8. (2)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Vậy nghiệm phương trình là x = 2.
Nhận xét

Khi gặp bài toán này ta thấy V T ≤ 8 nên ta suy nghĩ đánh giá V P ≥ 8,
bằng cách biến đổi biến đổi hệ số của x trong biểu thức thứ 4 về −4x, để

sử dụng bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối để đánh giá, rồi ta tìm được
đẳng thức xảy ra dấu bằng khi nào.

Ở trong phương trình chứa ẩn trong dấu căn thông thường ta sử dụng


14

phương pháp giải để mất dấu căn là ta phải năng bậc, đặt ẩn phụ, nhân
lương liên hiêp nhưng các trường hợp phương trình có chứa nhiều biểu

thức căn hoặc căn bậc cao mà giải các phương pháp trên dẫn đến bài toán
phức tạp, trở thành đa thức bậc cao hơn,... Vì thế lời giải của bài tốn
q dài cho nên ta dùng phương pháp bất đẳng thức để giải bài tốn sau.
Ví dụ 2.1.4 ([12]). Giải phương trình
√
√
√
2 2
√
+ x = x + 9.
x+1
Giải
Phân tích bài tốn
Bài tốn này ta giải bằng phương pháp bình phương hai vế hai lần,
ta được một phương trình bậc bốn đầy đủ, rồi giải phương trình này khó
khăn hơn. Do đó ta dùng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình
này dễ dàng hơn.
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Bunyaskovsky cho hai cặp
số, ta được:
√
√ √
1
x
2 2, x + 1 và √
,√
.
x+1 x+1
Ta có
√

2
√
2
√
√
√
1
2 2
x
√
+ x = 2 2. √
+ x + 1. √
x+1
+1
x+1

1
x
+
= x + 9.
x+1 x+1
1
√
√
√
2
1
2
2 2
x+1

= √
⇔√
=√
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi √
x
x
x+1
x+1
√
x+1
8
1
1
⇔
= ⇔ x = .(thỏa điều kiện)
x+1 x
7
1
Vậy phương trình có nghiệm là x = .
7
≤ (8 + (x + 1)).


15

Nhận xét
Bài toán nay hay ở chỗ là khi sử dụng bất đẳng thức Bunyaskovsky từ

V T nhưng phải chọn hai cặp số nào mà V P phải bằng x + 9. Từ đó dấu
1

đẳng thức xảy ra và tìm được nghiệm của phương trình là x = .
7
Ví dụ 2.1.5 ([12]). Giải phương trình
√
16x4 + 5 = 6 3 4x3 + x.
Giải
Phân tích bài tốn
Ta thấy V T của phương trình là bậc bốn cịn V P phương trình là căn
bậc ba của biểu thức bậc ba cho nên những phương pháp khác giải phương
trình này rất khó khăn. Do đó ta phải sử dụng bất đẳng thức để giải bài
tốn này.
Lời giải
Vì 16x4 + 5 > 0 nên phương trình đã cho có nghiệm khi

4x3 + x ≥ 0 ⇔ x(4x2 + 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
1
Để ý rằng khi x = thì VT=VP nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy
2
1
sao cho dấu bằng xảy ra khi x = . Từ những cơ sở sở trên ta có lời giải.
2
Ta có
√
6 3 4x3 + x = 3 3 4x.(4x2 + 1).2 ≤ 4x + (4x2 + 1) + 2 = 4x2 + 4x + 3.
Mặt khác ta có

16x4 + 5 − (4x2 + 4x + 3) = 2(x4 − 2x2 − 2x + 1)

= 2(2x − 1)2 (2x2 + 2x + 1) ≥ 0.


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2(2x − 1)2 (2x2 + 2x + 1) = 0 ⇔ x = 1 .
4x = 4x2 + 1 = 2
2
1
Tóm lại: Phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2


16

Nhận xét
Bài toán này khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta đánh giá

V P ≤ 4x2 + 4x + 3

Nhưng không giống đẳng thức V T cho nên ta phải chứng tỏ V T trừ đi

4x2 + 4x + 3 để nhận giá trị khơng âm. Từ đó ta nói được dấu bằng xảy
1
ra và giải ra tìm nghiệm x = .
2
Về phương trình lượng giác thơng thường ta sử dụng phương pháp biến
đổi thông thường từ các công thức lượng giác, đặt ẩn phụ,... Nhưng có các
phương trình giải bằng các phương pháp trên quá dài, phức tạp, trở thành
bài tốn khó. Do đó ta dùng phương pháp bất đẳng thức để giải bài tốn
có dạng này.
1
Ví dụ 2.1.6 ([4]). Giải phương trình sin8 2x + cos8 2x = (1).

8
Giải
Phân tích bài tốn
Bài tốn này ta thấy giải bằng phương pháp hạ bậc và đưa về phương
trình có dạng (1 − cos 4x)2 + (1 + cos 4x)2 = 2 và đặt t = cos 4x, phương
trình lượng giác trở thành phương trình đại số giải được. Nhưng ta có thể
giải phương trình này bằng phương pháp bất đẳng thức như sau.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Ta có





 sin8 2x +

1
2
1
2



8

 cos 2x +

4


4

1
+
2
4
1
+
2

1
+
2
4
1
+
2

4

4

1
≥ sin2 2x
2
1
≥ cos2 2x.
2

Cộng vế với vế ta được


1
sin 2x + cos 2x + 6
2
1
⇔ sin8 2x + cos8 2x ≥
8
8

8

4

1
≥ (sin2 2x + cos2 2x)
2