BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HỒ THỊ DẠ THẢO

ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.40

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng, Năm 2012


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HỒNG TRÍ

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng bảo vệ chấm Luận
văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào
ngày 01 tháng 07 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong topo có các định lý phát biểu tuy đơn giản nhưng để
chứng minh thì rất phức tạp, ví dụ như định lý điểm bất động của
Brouwer, định lý của Ulam Borsuk, … Phần lớn các chứng minh này
đều dùng đến topo đại số. Mục đích của topo đại số là xây dựng các
hàm tử từ phạm trù các không gian topo (hoặc các phạm trù con của
các không gian topo) vào các phạm trù đại số (chẳng hạn như nhóm,
vành, module …) và biến mỗi ánh xạ liên tục thành một đồng cấu.
Đồng điều kỳ dị là hàm tử từ phạm trù các khơng gian topo vào
phạm trù các nhóm Abel hoặc vào các module. Bằng việc khảo sát
hàm tử này người ta chứng minh được nhiều định lý nổi tiếng như
định lý điểm bất động của Brouwer, định lý của Ulam Borsuk, định
lý bảo tồn miền của Brouwer…. Vì vậy, đề tài “Đồng điều kỳ dị và
ứng dụng” mục đích là để tìm hiểu hàm tử đồng điều kỳ dị và cách
chứng minh của các định lý này.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về đồng điều kỳ dị và các ứng dụng của nó.
3. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên
cứu liên quan đến Lý thuyết đồng điều kỳ dị và các ứng dụng.
Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang nghiên
cứu.


4. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn ngồi phần mở đầu và kết luận gồm có ba
chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản
Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về các phức đơn
hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân và
đồng điều đơn hình.
Chương 2: Đồng điều kỳ dị
Chương 2 trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu
cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, tính nhóm
đồng điều của một số không gian topo đơn giản, định lý Khoét và
một số tính chất liên quan.
Chương 3: Ứng dụng của đồng điều kỳ dị.
Chương 3 trình bày về các ứng dụng của đồng điều kỳ dị trong
đồng điều địa phương và đa tạp.
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hy vọng tạo được một tài liệu
tham khảo tốt cho những người tìm hiểu về Lý thuyết đồng điều kỳ
dị.


CHƯƠNG 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phức đơn hình và đa diện

1.1.

Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình
Trong khơng gian ¡ n , cho tập hợp các điểm

 p0 ,..., pk  độc lập

affine. Tập hợp tất cả các điểm

k
k


n
 x  ¡ x   i pi , i 0,1,  i  1
i 0
i 0


được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình.
Ta ký hiệu    p0 ,..., pk  , trong đó p0 ,..., pk là các đỉnh của đơn
hình 
dim  k là chiều của đơn hình  .
Định nghĩa 1.1.2. Phức đơn hình.
Một phức đơn hình là họ hữu hạn K    gồm các đơn hình trong
khơng gian ¡
(i)

n

thỏa tính chất sau
Nếu  K thì mỗi mặt của  cũng thuộc K .
Nếu  ,  K thì hoặc  I    hoặc  I  là một

(ii)

mặt chung của
Với


K


U




và 

K

Cặp ( K , K ) được gọi là một đa diện. Khi đó, K  sdK được gọi là
phân tích đơn hình của đa diện, K  K được gọi là giá của

K.

Chiều của đa diện ( K , K ) , ký hiệu là dim( K , K ) được định nghĩa
như sau

dim(K,K )  maxdim /  K 


Đường kính của K ký hiệu là meshK và đường kính này được định
nghĩa như sau: meshK  max ( ) /  K 
Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con.

L cũng là phức đơn hình
thì L được gọi là phức đơn hình con của K . Khi đó, ( L, L ) được
gọi là đa diện con của đa diện ( K , K ) , với L là giá của L .

Cho ( K , K ) là một đa diện, L  K . Nếu

Định nghĩa 1.1.4. Cho ( K , K ) là một đa diện  K . Tập hợp tất cả
các mặt thật sự của  ký hiệu là &. Khi đó & F( ) \  .
Định nghĩa 1.1.5. Cho ( K , K ) là một đa diện, x  K . Khi đó,
 K được gọi là giá của x , ký hiệu  ( x) , nếu  là đơn hình có
chiều nhỏ nhất chứa x .  ( x) là duy nhất và có thể biểu diễn dưới
dạng  ( x)  I  K , x  .

Định nghĩa 1.1.6. Cho ( K , K ) là một đa diện. Với mọi đỉnh p  K ,
tập hợp

K \ U K , p  

được gọi là hình sao của

p, ký hiệu là Stp.

Định lý 1.1.1. Cho p0 , p1 ,..., pn là các đỉnh của đa diện ( K , K ). Khi
đó
(i) I

K .

n
i 0

Stpi   khi và chỉ khi  p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của

(ii) Nếu    p0 , p1 ,..., pn  là một đơn hình của K thì I ni0 Stpi là

tập hợp gồm tất cả các điểm x  K mà  ( x) nhận  làm mặt.


Ta nhận xét rằng nếu

 p0 , p1,..., pt 

là các đỉnh của đa diện

K thì với mỗi x K , x được biểu diễn một cách duy nhất dưới

dạng x  i 0 i ( x) pi , trong đó i 0,1, với i  1, t.
t

Ta có i ( x) 0,1 nếu pi  ( x). Khi đó, i ( x) được gọi là

tọa độ của

x đối với pi . Ngược lại, i ( x)  0

nếu pi  ( x).

Hàm số i : 
 0,1 , với mỗi  K , được gọi là hàm
tọa độ trọng tâm của

 . Ta có i

là hàm liên tục.


Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân

Y liên tục. Hai ánh xạ f , g được gọi
Cho hai ánh xạ f , g : X 

Y
là đồng luân, ký hiệu f : g , nếu tồn tại ánh xạ H : X  I 
thỏa

H ( x,0)  f ( x); H ( x,1)  g ( x), x  X .
Khi đó, H được gọi là đồng luân của f đối với g .
Định lý 1.1.2. Cho ( K , K ) là một đa diện trong không gian ¡

n

,Y

là không gian topo bất kỳ và f , g là hai ánh xạ liên tục từ

Y

vào K . Nếu với mỗi y Y , tồn tại một đơn hình  K thỏa mãn

f ( y), g ( y)  thì f và

g đồng luân.

1.2. Thứ phân trọng tâm

K của K , chúng ta sẽ xây dựng một

phân tích đơn hình K  khác của K , được gọi là thứ phân trọng tâm
của K .
Cho một phân tích đơn hình

Định nghĩa 1.2.1. Cho đơn hình    po , p1 ,..., pn  trọng tâm của
là một điểm, ký hiệu b hay [ ] được xác định như sau




b 
Nếu   pi thì trọng tâm của



1 n
 pi
n  1 i 0
trùng với chính nó.

Định nghĩa 1.2.2. Cho ( K , K ) là một đa diện. Khi đó, Sd 1K gồm
tất cả các đơn hình b 0 , b1 ,..., b s  , trong đó  0  1     s là
dãy tăng nghiêm ngặt các mặt của K .
Định lý 1.2.1. Cho ( K , K ) là một đa diện có đường kính là
n
.
đó, đường kính của Sd 1K 
n 1
Hệ quả 1.2.1. Cho dimK  n, khi đó meshSd mK  (


 . Khi

n m
) meshK .
n 1

1.3. Ánh xạ đơn hình và xấp xỉ đơn hình
Định nghĩa 1.3.1. Cho ( K , K ) , ( L, L ) là hai đa diện trong ¡ n . Xét
ánh xạ

 : ( K , K ) 
( L, L ),

 được gọi là ánh xạ đơn hình nếu thỏa

mãn hai điều kiện sau:


Với

mọi

 p0 , p1,..., ps K ,

các

điểm

 ( p0 ), ( p1 ),..., ( ps ) là các đỉnh của một đơn hình


L.
 Ánh xạ  là ánh xạ afine với mỗi  K , nghĩa là
s
s
thuộc





   s i pi   
i ( pi )
 i 0
 i 0
trong đó i  1 và i  0 với i  1, s.
i 0

 L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ
Định nghĩa 1.3.2. Cho f : K 
đơn hình



với r  0 được gọi là một xấp xỉ đơn hình của f nếu

f (Stp)  St ( p) với mọi đỉnh p  Sd r K .


 L là một ánh xạ liên tục. Khi đó, tồn
Định lý 1.3.1. Cho f : K 

( L, L ) của f với r đủ lớn
tại xấp xỉ đơn hình  : ( K , Sd r K ) 
và mỗi xấp xỉ đơn hình của f đều đồng luân với f .
1.4. Phạm trù và hàm tử
Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù.
Một phạm trù


P bao gồm:

Một lớp P gồm các vật A, B, C... được gọi là những vật
của phạm trù

P

P cho một tập hợp
gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A đến B , ký hiệu
 A, BP . Mỗi phần tử của  A, BP được ký hiệu là f .



Với mỗi cặp vật ( A, B) của phạm trù



Với mỗi bộ ba vật ( A, B, C ), với mỗi cặp cấu xạ

f  A, BP , g  B, C P , tồn tại gf được gọi là phép
hợp thành của hai cấu xạ g , f và gf  A, C P
thỏa mãn các tiên đề sau:

 Phép hợp thành có tính chất kết hợp.
 Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1A  A, AP được gọi
là cấu xạ đồng nhất sao cho với mọi f  B, AP ,
g  B, C P , ta có 1A f  f , g1A  g
Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con.

C được gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu
 Mỗi vật của phạm trù C đều là một vật của phạm trù P .
 Mỗi cấu xạ của phạm trù C đều là một cấu xạ của
phạm trù P.
 Các xạ đồng nhất của phạm trù C đều là một xạ đồng
nhất của phạm trù P.

Một phạm trù




Hợp thành gf của hai cấu xạ f , g trong phạm trù

C

đều trùng với hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm
trù

P.

C của phạm trù P được gọi là đầy nếu
 A, BC   A, BP , với mỗi cặp A, B trong phạm trù C .


Một phạm trù con

Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi đầu, vật tận cùng
Mỗi vật A trong phạm trù P được gọi là vật khởi đầu nếu

với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A đến X

Một vật A trong phạm trù P được gọi là vật tận cùng nếu

với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X đến A .
Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử

Cho hai phạm trù P , P  . Một hàm tử hiệp biến H từ phạm
P  là một cặp ánh xạ gồm
trù P đến phạm trù P , ký hiệu H : P 
ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ.


Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật
một vật của phạm trù



A của phạm trù P,

P  , ký hiệu là H ( A).

Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ f  A, BP ,
một cấu xạ thuộc H ( A), H (B)P  , ký hiệu là H ( f )


và thỏa mãn các điều kiện sau:



A

H (1A )  1H ( A) , với mọi A  P .
H ( gf )  H ( g )H ( f ), với mọi hợp thành gf trong phạm
trù P , nghĩa là

f

B
g

gf

C

H(A)

H(f)

H(B)
H (g)

H ( gf )
H(C)



1.5. Nhóm Abel tự do, Module tự do
Mệnh đề 1.5.1.
thuộc

A là tập hợp khác rỗng x, y,... là các phần tử

A .Ta đặt:
X  f : A 
¢  A hữu hạn,
A  A : f ( x)  0, x  A \ A
với mọi f , g  X , ta định nghĩa phép cộng trên X như sau
 f  g  x   f  x   g  x  , x  A
Khi đó,



X cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel.

Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do
Nhóm Abel X được xác định như trên được gọi là nhóm Abel tự do
sinh bởi A.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử R là một V  module,   S  R . Khi đó,

S được gọi là cơ sở của R nếu mỗi phần tử của R đều được biểu
diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S .
Hệ quả 1.5.1. Cho R là một V  module. Nếu S là cơ sở của R thì

S là hệ sinh độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 1.5.2. Cho A là tập hợp khác rỗng, x, y,... là các phần tử
thuộc A ; V là một vành,  ,  ,... là các phần tử thuộc V . Ta đặt

X  f : A 
V  A hữu hạn , A  A : f ( x)  0, x  A \ A



Với mọi g , f  X , với mọi  V ta định nghĩa phép cộng, phép
nhân ngoài trên X như sau :

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x), x  A
( f )( x)   f ( x), x  A


Khi đó, X cùng với phép cộng, phép nhân ngồi lập thành một

V  Module.
Định nghĩa 1.5.2 Module tự do.
Module X được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi A
1.6. Đồng điều đơn hình
1.6.1. Các định nghĩa.
Cho K là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự
tuyến tính. Khi đó, mỗi đơn hình q0 , q1,..., qn  có thể được viết duy

nhất thành  p0 , p1 ,..., pn  với ( p0  p1    pn ) và được gọi là n –
đơn hình định hướng.
Định nghĩa 1.6.1.1. Với mỗi n  0 , nhóm Abel tự do Cn (K ) sinh
bởi các n – đơn hình định hướng của K được gọi là nhóm các xích n

- chiều của K . Rõ ràng, Cn (K )  0 nếu n  dim K .
 Cn 1 (K ) là đồng cấu xác
Với mỗi n  1, tốn tử biên  : Cn (K ) 

định
trên
mỗi
phần
tử
sinh
bởi
cơng
thức
n

 p0 , p1 ,..., pn  (1)i p0 , p1 ,..., µ
pi ,..., pn .
i 0

Bổ đề 1.6.1.1. Cho G, G là các nhóm giao hốn; H , H  lần lượt là
 G ; là đồng cấu nhóm thỏa
các nhóm con của G, G;  : G 

 ( H )  H  . Khi đó, tồn tại đồng cấu nhóm
 : G H 
 G H 
gH

(g)  H 

Hơn nữa, nếu  là đẳng cấu và

 (H )  H 


 được gọi là đồng cấu cảm sinh bởi  .

thì  là đẳng cấu và


Bổ đề 1.6.1.2. Cho X , X  là các không gian vector trên trường
G; Y , Y  lần lượt là các không gian vector con của X , X  . Nếu
 : X 
 X  là ánh xạ tuyến tính và  (Y )  Y  thì
 : X Y 
 X  Y

x Y

 ( x)  Y 

cũng là ánh xạ tuyến tính. Nếu  là đẳng cấu và  (Y )  Y  thì 
cũng là đẳng cấu.
1.6.2. Các phép biến đổi xích và các xích đồng luân
Cho K , L là hai phức đơn hình.
Định nghĩa 1.6.2.1 Một họ    n  các đồng cấu

 n :Cn (K , G) 
 Cn (L , G), n  0

Sao cho

n1 n1   nn1, n  0

được gọi là một biến đổi xích hay một ánh xạ xích.


 C (L,G) là hai ánh xạ
Định nghĩa 1.6.2.2. Cho  ,  :C (K ,G) 
xích. Một đồng luân xích nối  ,  là họ D  Dn  các đồng cấu

Dn :Cn (K ,G) 
 Cn 1 (L,G) , n  0 thỏa

 n  n   n1Dn  Dn1 n , n  1

Ta nói  ,  là các xích đồng luân nếu D tồn tại

Cn (K , G)

Cn1 (K , G)
Dn1

Dn

 n1, n1
Cn1 (L, G)

  

D0

 n , n
Cn (L, G)

C0 (K , G)




1

0

 0 , 0
C0 (L, G)

0

0


Định lý 1.6.2.1. Ta có

 C (K ) là ánh xạ đồng nhất trên C (K )
(i)  # oSd : C (K ) 
 C (K ) là đồng luân xích với ánh xạ đồng
(ii) Sd o # : C (K ) 
nhất trên C (K ) .

1.6.3. Đồng cấu cảm sinh

L
Cho K ,L là hai phức đơn hình. Một ánh xạ đơn hình  : K 
 H  (L, G) . Ta sẽ xây dựng
cảm sinh một đồng cấu  : H (K , G) 
một đồng cấu duy nhất


f : H  (K , G) 
 H  (L, G)

đối

với

mỗi

ánh

xạ

liên

tục

f : K 
L

 L liên tục, hai xấp xỉ đơn
Bổ đề 1.6.3.1. Cho ánh xạ f : K 
hình

 : K m 
L ,
 : K m1 
L
của f (m, s  0) . Khi đó, các đồng cấu


  Sdm ;   Sdm s : H (K , G) 
 H  (L, G) trùng nhau.
 L là ánh xạ liên tục bất kỳ giữa
Định nghĩa 1.6.3.1. Cho f : K 
các đại diện,

 : K m 
 L là một xấp xỉ đơn hình của f . Khi đó, đồng cấu
f : H  (K , G) 
 H  (L, G)
m
 H  (L, G)
được ký hiệu  Sd : H  (K , G) 
f
g
 L 
 P . Khi đó, g f  ( gf ) và
Định lý 1.6.3.1. Cho K 
(idK )  idH (K ,G) .


Bổ đề 1.6.3.2. Cho K là một đa diện. Giả sử  ,  :0,1 
0,1
là hai ánh xạ liên tục mà    và

(id   )  (id   ) : H  (P  I ) 
 H  (P  I ) . Khi đó, với mỗi đa

 P cảm sinh các đồng

điện P , các ánh xạ đồng luân f , g : K 
cấu
f  g : H  (K ,G) 
 H  (P,G) .
Định lý 1.6.3.2.
Cho P, K là các đa điện hữu hạn ;
f , g : K 
P

là

ánh

xạ

liên

tục.

Nếu

f g

thì

f  g : H  (P ) 
 H  (K )
Định lý 1.6.3.3. Cho P , K là các phức đơn hình, h : P 
K


 H  (K ,G) .
đồng phơi thì ánh xạ sau đẳng cấu h : H  (P,G) 
Định lý 1.6.3.4. Cho P , K là các phức đơn hình, f : P 
 K là

 H  (K ) là một đẳng
một tương đối đồng luân thì f : H  (P ) 
cấu.
1.6.4 Đồng điều tương đối
Cho K là đa diện, L là đa diện con của K . Xét nhóm thương
Cn (K ) Cn (L ) và đồng cấu biên
$: C (K ) C (L ) 
C (K ) C (L ) xác định bởi
n

n1

n

$(cn  Cn (L ))  (cn )  Cn1 (L )
hay ký hiệu $c   c 
n

n

n1


CHƯƠNG 2
ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ

2.1.

Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị

2.1.1. Đơn hình kỳ dị và xích kỳ dị

n  ¥ ; i  0, n  1, ei  (0,...0,1,0,...,0)  ¡ n1, n e1, e2 ,..., en  gọi
là n – đơn hình chuẩn
n




n   t0 ,..., tn   ¡ n1 ti  1, ti  0


i 0


n
n
Với mỗi n  ¥ , i  0,1,..., n , ta đặt i  (t0 ,..., tn )  ti  0 được





gọi là mặt thứ i của  n đối diện với đỉnh




ei

Định nghĩa 2.1.1.1
Cho X là một không gian topo , một n – đơn hình kỳ dị trong

X là

một ánh xạ liên tục T :n 
X.
Định nghĩa 2.1.1.2.

Cho

X, Y

là hai không gian topo,

f : X 
Y liên tục.
Nếu T : n 
 X là một n – đơn hình kỳ dị trong X thì
n
hợp f oT :  
 Y là một n – đơn hình kỳ dị trong Y và được ký
hiệu bởi fT .
Với mọi c  niTi  Cn ( X ), ta đặt Cn ( f )(c)  ni ( fTi ) .






Khi đó ta được một đồng cấu Cn ( f ):Cn ( X ) 
 Cn (Y ) cảm sinh
bởi f .
2.1.2. Đồng cấu biên. Phức kỳ dị C ( X )

n  1, xét di : n1 
 n là ánh xạ xác định bởi:
di t0 , t1,..., tn1   t0 ,..., ti1,0, ti ,..., tn1  i 0,1,..., n


Định nghĩa 2.1.2.1. Xét đồng cấu biên n : Cn ( X ) 
Cn1 ( X )
như sau
Với T : n 
 X ,  n  0 là một n – đơn hình kỳ dị thì
 n

 nT 
Khi đó, với c 



(1) Td
i

i 0

i




niTi  Cn  X  thì n  c  

n   T    
i

0

n n1

n i

Định nghĩa 2.1.2.2.
Cho không gian X bất kỳ, dãy C  X   Cn  X  , n n  0,1,2,...
được gọi là phức kỳ dị của

X và dãy





H  X   H n  X   H  C  X    H n C  X  

được gọi là nhóm đồng điều kỳ dị phân bậc của X .
Đối với một ánh xạ liên tục
f : X 
Y ,






H  f   H n  f  : H n  X  
 H n Y 

là đồng cấu phân bậc của

các nhóm đồng điều kỳ dị cảm sinh bởi ánh xạ xích C  f



Hn  f  : Hn  X  
 Hn Y 

z  Bn  X 

cho

Cn  f  z   Bn Y 

Định nghĩa 2.1.2.3. Cho X , Y là không gian topo,

f : X 
Y liên tục
f#n : Cn ( X ) 
Cn (Y ) xác định bởi
c


n T

i i

Cn  f  c  

n  f oT 
i

i

thì f là đồng cấu, từ đây ta suy ra sơ đồ sau giao hoán




Cn1 ( X ) n1 Cn ( X )  n Cn1 ( X )



f#n
f# n1
f# n1

n
Cn1 (Y ) n1 Cn (Y )
Cn1 (Y )





C1 ( X ) 1

f #1
C1 (Y )

1

C0 ( X )  0 0
f#0

C0 (Y )  0 0


nghĩa là f # n  n1   n1 f # n1
Bổ đề 2.1.2.1. Cho
của

X thì

 X 

là những thành phần liên thông đường

Hn  X    Hn  X  


Bổ đề 2.1.2.2. Cho X   , X liên thơng đường thì H0  X   ¢
Bổ đề 2.1.2.3. Cho p là một điểm của X thì


H 0 ( p)  ¢ , H n ( p)  0, n  1
2.1.3. Nhóm tương đối, dãy khớp dài
Định lý 2.1.3.1. Dãy đồng điều của một cặp
Định lý.2.1.3.2. Dãy đồng điều của bộ ba
2.2 . Tính bất biến của đồng luân đối với thứ phân trọng tâm
Định lý 2.2.1. Cho f , g : X 
Y là đồng luân. Khi đó  n  0 ,

fn  gn : Hn ( X ) 
Hn (Y )
Định lý 2.2.2. Cho f , g : ( X , A)  (Y , B) liên tục, đồng luân

 F : X  I 
 Y liên tục:
F ( x,0)  f ( x)
F ( x,1)  g ( x)
x  X
F (a, t )  B, a  A; t  I
Khi đó fn  gn : Hn ( X , A) 
Hn ( X , B)


2.2.
Định lý Khoét
 X là
Định nghĩa 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , T :  n 
n – đơn hình. Ta xây dựng (n+1)- đơn hình xuất phát từ T vào w, ký
hiệu đơn hình này là T ,w . Khi đó T , w  liên tục với


c

n T C ( X ),
i i

n

tính biên của c,w

ta ký hiệu c,w 

n T ,w. Bây giờ ta sẽ
i

i

Bổ đề 2.3.1. Cho X là tập hình sao tại w , c là n – xích kỳ dị của

X.
Cho Tw : 0 
 X là 0 - đơn hình,

w

x
với c 

 n T là w - đơn hình.
i i


n1

c,w  (1) c
Khi đó n1 c, w  

 (c)Tw  c

nếu n >0
nếu n=0

Định nghĩa 2.3.2. Cho X là không gian Topo, A  U  là một
phủ của X mà X  U IntU thì A được gọi A - nhỏ.
 

Bổ đề 2.3.2. Cho T : n 
  , (    p0 ,..., pn  là n – đơn hình)
là phép đồng phơi tuyến tính.
Khi đó mỗi thành phần T : n 
  của SdnX T sẽ là phép đồng
phơi tuyến tính từ  n đến Ti (n ) là một thành phần trong thứ phân
thứ nhất của

.


Định lý 2.3.2.Cho A là họ các tập con của X mà có phần trong phủ

X

( A  U  ,


U IntU  X ). Cho T : 

n




 X liên tục. Khi đó

m ¥ sao cho mỗi thành phần của Sd mT là A - nhỏ.
Bổ đề 2.3.3. m ¥ , X là khơng gian bất kỳ,

 

 D X  DnX :Cn ( X ) 
Cn1 ( X ) sao
 X liên
cho : nX1DnX (T )  DnX1nX (T )  Sd mXn (T )  T với T : n 
tục.
Hơn nữa DnX là tự nhiên, nếu f : X 
Y thì

DnY1 f#n1  f#n2 DnX1 .
Định lý 2.3.2. Cho X là không gian topo, A  U  là một họ
các tập con của X mà X 

U IntU . Khi đó ánh xạ nhúng




i# n : CnA ( X ) 
Cn ( X )
c  niTi
c



cảm sinh một đẳng cấu giữa các nhóm đồng điều HnA ( X ), Hn ( X )
(cũng đúng cho đồng điều thu gọn)
Định lý 2.3.3. Định lý Khoét
Cho A  X , U mở trong X sao cho U  IntA thì phép nhúng
j :( X \ U , A \ U ) 
( X , A)
cảm sinh một đẳng cấu trong đồng điều kỳ dị.
Định nghĩa 2.3.3. Dãy Mayer - Vietoris


Cho X  X1 U X 2 , cho C ( X1 )  C ( X 2 )  C A ( X ) với A  X1, X 2.


Ta nói  X1 , X 2  là một cặp khoét nếu phép nhúng

C( X1 )  C( X 2 ) 
C( X )
cảm sinh một đẳng cấu các nhóm đồng điều.
Định lý 2.3.4. Dãy Mayer – Vietoris
Cho X  X1 U X 2 , X1, X 2 là một cặp khoét của
đây khớp


X thì dãy sau

n
n
 
Hn ( A) 
Hn ( X1)  Hn ( X 2 ) 

Hn ( X ) 
Hn1( A) 


gọi là dãy Mayer – Vietoris của  X1, X 2  với
nghĩa
 (a)  i (a), j (a)

A  X1 I X 2 . Định

  ( x1 , x2 )  k ( x1 )  l ( x2 )
với ánh xạ

i

A

X1

j

X2


k

l

X

2.4. Tính nhóm đồng điều của một số khơng gian topo đơn giản
Cho X là không gian topo, f : I 
 X là một đường đi,
ta đặt p : 1 
 I xác định bởi p(t0 , t1)  t0 ; (t0 , t1) 1 .
°
f là 1f : 1 
 X được xác định bởi °
f  f o p . Khi đó °
đơn hình kỳ dị. Nếu f là 1-loop ( f (0)  f (1)  x, x nào đó  X ), khi
đó  °
f 0


Định lý 2.4.1. Với phép tương ứng trên, ta được một đồng cấu

h : 1 ( X , x0 ) 
H1 ( X )
Nếu X liên thơng đường thì h là tồn cấu và Kerh là nhóm con
giao hốn tử của 1 ( X , x0 ) . Vì thế nếu 1 ( X , x0 ) là nhóm Abel thì
h là một đẳng cấu.
Bổ đề 2.4.1. Cho G là một nhóm, H là nhóm con giao hốn tử của


G . Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc của G và G H là nhóm
Abel.
Bổ đề 2.4.2. Cho G là nhóm, H là nhóm con giao hốn tử của G .
Cho

x  x11 x22 ...xnn ( x1, x2 ,..., xn G, i  1 hay i  1; i  1, n ) . Nếu
c  1, n,



x j  xi
j1,...,n

 j  0 thì x  H


CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
3.1 Ứng dụng trong nhóm đồng điều địa phương
Định nghĩa 3.1.1.

Cho X là khơng gian Hausdorff các nhóm đồng điều kỳ dị
H n X , X \ x0  , n  ¥ được gọi là nhóm đồng điều địa
phương của X tại x0 .






Định nghĩa 3.1.2. Định nghĩa Acylic

X được gọi Acylic nếu Hn  x  0, n  1 và H0  x   ¢
Định nghĩa 3.1.3. Co rút biến dạng
Cho X là không gian topo   A, A  X . A được gọi là co rút
biến dạng của X nếu  r : X 
 A là phép co rút

 H : X  I 
 X liên tục
H ( x,0)  r ( x) x  X
H ( x,1)  x
x  X
H (a, t )  A
a  A
Bổ đề 3.1.1. Cho X là không gian Hausdorff, A  X , A  U , U mở
trong X , x0  X thì

Hn  X , X \ x0   Hn  A, A \ x0 
Do đó, nếu x  X và y  Y có các lân cận mở U , V tương ứng thỏa
mãn
 : U , x 
V , y 
là phép đồng phơi thì Hn  X , X \ x  Hn Y ,Y \  y


Định lý 3.1.1. Cho x  ¡

n  m , Hn  ¡ , ¡
m


m



m



, khi đó H n ¡ m , ¡

\ x  0 nếu n  m .

Định lý 3.1.2. Cho H m 

 x , x ,..., x
1

2

m

¡

m

m




\ x  ¢ nếu



xm  0 và ta định

nghĩa




BdH m   x1 , x2 ,..., xm   ¡
Nếu x   x1, x2 ,..., xm   BdH m thì
nếu x  H m \ BdH m thì


¡

Hn ¡ m , ¡

m

,¡

m

Hn

m


m





xm  0

Hn ¡ m , ¡

m



\ x  0 n  0 ,


\ x  0 khi n  m

\ x  ¢ khi n  m

3.2. Ứng dụng trong đa tạp
Định nghĩa 3.2.1. M là không gian topo khả metric, M được gọi là
đa tạp n chiều nếu  x  M tồn tại lân cận mở U x của x mà U x
đồng phôi với ¡

n

.


Định lý 3.2.1. Cho U là tập mở trong ¡

m

, V là tập mở trong ¡

n

,

U ,V   , m  n, m  n thì U , V không thể đồng phôi với nhau.
Định lý 3.2.2. Cho m  n thì đa tạp m chiều và đa tạp n chiều
không đồng phôi với nhau.
Định lý 3.2.3. Cho X  ¡ n ,   A  X , A, compact thì X , X \ A
không đồng phôi với nhau.


KẾT LUẬN
Luận văn chủ yếu đọc hiểu và làm rõ một số nội dung sau:
1.

Trình bày một cách hệ thống các khái niệm định
nghĩa về phức đơn hình, phạm trù, hàm tử, nhóm
Abel tự do, đồng điều đơn hình.

2.

Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng
cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức
đơn hình, tính nhóm đồng điều của một số khơng

gian topo đơn giản, định lý Khoét và một số tính
chất liên quan.

3.

Trình bày về các ứng dụng của đồng điều kỳ dị
trong đồng điều địa phương và đa tạp.