ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN


LƯƠNG THANH TOẠI

ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: TS. LÊ HỒNG TRÍ

Đà Nẵng – Năm 2015


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN


LƯƠNG THANH TOẠI

ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: T.S LÊ HỒNG TRÍ

Đà Nẵng – Năm 2015

1

LỜI CẢM ƠN

Em xin dành trang đầu tiên này để bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q
thầy cơ trong khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, những
người đã hết lòng dạy dỗ, truyền đạt những kiến thức khoa học và kinh nghiệm
quý báu để em có được ngày hơm nay.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS.Lê Hồng Trí, người đã
gợi ý và hướng dẫn đề tài khóa luận “Đồng điều đơn hình và ứng dụng”.
Thầy đã nhiệt tình và hết lòng giúp đỡ trong suốt thời gian qua để em có thể
hồn thành khóa luận này.
Cuối cùng, cho phép em được cảm ơn thầy chủ tịch hội đồng, các thầy cô
phản biện và các ủy viên hội đồng đã giành thời gian quý báu để đọc, nhận xét,
đánh giá và tham gia hội đồng chấm khóa luận này.

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2015
Sinh viên thực hiện

LƯƠNG THANH TOẠI


2

MỤC LỤC

Mở đầu ........................................................................................................... 03

Chương 1. Đơn hình và phức đơn hình ...................................................... 05

1.1.

Đơn hình ....................................................................................... 05

1.2.

Phức đơn hình ............................................................................... 18

1.3.

Thứ phân trọng tâm....................................................................... 31

1.4.

Ánh xạ đơn hình và xấp xỉ đơn hình............................................. 33

1.5.

Nhóm Abel tự do sinh bởi một tập hợp ........................................ 35

Chương 2. Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng .......... 38
2.1.

Nhóm đồng điều của một phức đơn hình ..................................... 38

2.2.

Ứng dụng ...................................................................................... 47

Kết luận .......................................................................................................... 57


Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 58


3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong các vấn đề cơ bản của topo là việc xác định hai khơng gian topo
có đồng phơi với nhau hay khơng. Để chỉ ra hai không gian topo là đồng phôi
với nhau ta cần xây dựng một song ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục từ
không gian này vào không gian kia. Để chỉ ra hai không gian topo là không
đồng phôi với nhau ta chứng minh một ánh xạ như vậy là khơng tồn tại. Thường
thì khó để thực hiện điều này. Cách mà người ta thường làm là tìm một vài tính
chất topo bất biến qua các phép đồng phôi thỏa mãn cho không gian này mà
không thỏa mãn cho khơng gian kia. Chẳng hạn,
vì nếu bỏ đi một điểm trong
bỏ đi một điểm trong

2

khơng đồng phơi với

2

thì nó khơng cịn liên thơng nữa, trong khi nếu

thì nó vẫn liên thơng. Tuy nhiên, việc giải quyết các

bài tốn tổng quát cần nhiều kỹ thuật tinh vi hơn. Topo đại số bắt nguồn tư

những nỗ lực của nhiều nhà toán học như Poincaré và Betti nhằm xây dựng các
bất biến topo. Poincaré giới thiệu nhóm cơ bản của khơng gian topo. Từ đó có
thể chỉ ra rằng một số các lớp không gian topo quen thuộc như mặt cầu, mặt
xuyến, lọ Klein có các nhóm cơ bản khác nhau nên chúng khơng đồng phơi với
nhau. Trong khi đó, bằng một cách khác, Betti kết hợp mỗi một không gian
topo với một dãy các nhóm Abel, được gọi là các nhóm đồng điều. Với trường
hợp này, mặc dù đã được chứng minh là đúng nhưng không phải hiển nhiên mà
các khơng gian đồng phơi thì có các nhóm đồng điều đẳng cấu với nhau. Những
nhóm này cũng có thể được dùng để giải quyết vấn đề của các bài toán đồng
phơi. Và một điều thuận lợi là chúng dễ tính hơn các nhóm cơ bản. Có một vài
cách khác nhau để định nghĩa nhóm đồng điều, nhưng hai cách mà người ta
thường xem xét là nhóm đồng điều đơn hình và nhóm đồng điều kỳ dị. Trong
khóa luận này, tơi xin trình bày về nhóm đồng điều đơn hình và một số tính
chất, ứng dụng của nó.


4
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các tính chất topo của các đa diện thơng qua cấu trúc phức đơn
hình của chúng.
Tìm hiểu các nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng tính
các nhóm đồng điều của một số phức đơn hình.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức
có liên quan để thực hiện đề tài.
4. Nội dung nghiên cứu
Nội dung của khóa luận ngồi phần Mở đầu và Kết luận gồm có hai
chương:
 Chương 1: Đơn hình và phức đơn hình
Chương 1 trình bày về đơn hình, phức đơn hình, ánh xạ đơn hình, xấp xỉ

đơn hình và nhóm Abel tự do sinh bởi một tập hợp.
 Chương 2: Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng
Chương 2 trình bày về nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng
dụng tính các nhóm đồng điều của một phức đơn hình cũng như phân
loại topo các giá của chúng.
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hy vọng có thể giúp mọi người có một
cái nhìn khá trực quan về kỹ thuật thiết lập các hình ảnh đại số của các khơng
gian topo và việc phân loại trên lớp các khơng gian topo có cấu trúc phức đơn
hình.


5

Chương 1.
ĐƠN HÌNH VÀ PHỨC ĐƠN HÌNH

1.1 Đơn hình
Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp a0 , a1,..., an  

N

được gọi là độc lập hình học

(hay độc lập affine) nếu với mọi  t0 , t1,..., tn  
n

t a
i 0


i i

n1

n

sao cho

t
i 0

i

 0 và

 0 thì suy ra được t0  t1  ...  tn  0.

Nhận xét 1.1.2
(i) Tập một điểm là độc lập hình học.
(ii) Tập hợp a0 , a1,..., an  (với n  1 ) độc lập hình học khi và chỉ khi tập hợp

a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0  độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
(ii) "  " : Giả sử a0 , a1,..., an  độc lập hình học.
Với mọi 1, 2 ,..., n  

n

n


sao cho

  a  a   0 , ta có:
i 1

i

i

0

n
n
 n 
0   i  ai  a0     i  a0   i ai
i 1
i 1
 i 1 

n

Đặt t0   i và t j   j j  1, n , ta có
i 1

n

t
j 0

j


 0 và

n

t a
j 0

j

j

0


6

Do

a0 , a1,..., an 

độc lập hình học nên t0  t1  ...  tn  0 , suy ra

1   2  ...   n  0 . Vậy a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0  độc lập tuyến tính.
"  " : Giả sử a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 độc lập tuyến tính.
Với mọi  t0 , t1,..., tn  

n1

n


sao cho

 ti  0 và
i 0

n

t a
i 0

i i

 0 , ta có:

n
 n 
ti  ai  a0   ti  ai  a0     ti  a0   ti ai  0

i 1
i 0
i 0
 i 0 
n

n

Do a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 độc lập tuyến tính nên t1  t2  ...  tn  0 , kết
n


hợp với điều kiện

t
i 0

i

 0 suy ra t0  t1  ...  tn  0 . Vậy a0 , a1,..., an  độc lập

hình học.
Định nghĩa 1.1.3 Cho
n

P   x   ti ai
 i 0

a0 , a1,..., an 

N

độc lập hình học. Tập hợp


t

1
 được gọi là n-phẳng P sinh bởi a0 , a1,..., an  , ký hiệu

i
i 0


n

là P  Af a0 , a1,..., an  .
Nhận xét 1.1.4
(i)

ai  P i  0, n

(ii) x  P, ! t0 , t1,..., tn  

n 1

n

n

i 0

i 0

,  ti  1 sao cho x   ti ai .

(iii) P  a0  La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0  , với La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 là
không gian sinh bởi a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0
(iv) Nếu w  P thì w, a0 , a1,..., an  độc lập hình học.


7


Chứng minh:
(ii) Với mọi x  P , tồn tại  t0 , t1 ,..., tn  
Với mọi  s0 , s1 ,..., sn  

n 1

n

i 0

i

i

i 0

i 0

i i

i 0

n

i

i 0

i 0


t  s   t   s

Ngoài ra:

i 0

n

t a   s a
n

n

n

n

i i

n

,  ti  1 sao cho x   ti ai .

,  si  1 sao cho x   si ai , ta có:

n

i 0

n 1


i 0

i

n

   ti  si  ai  0
i 0

 11  0

Vì a0 , a1,..., an  độc lập hình học nên ti  si  0 i  0, n , hay ti  si i  0, n .
Đây chính là đpcm.
(iii) Đặt P  a0  La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0
+ Với mọi x  P , tồn tại  t0 , t1 ,..., tn  

n 1

n

n

i 0

i 0

,  ti  1 sao cho x   ti ai .

n

n
n
n


Ta có: x  t0a0   ti ai  1   ti  a0   ti ai  a0   ti  ai  a0 
i 1
i 1 
i 1
i 1


Suy ra x  P hay P  P .
+ Ngược lại, với mọi

x  P , tồn tại

 s1, s2 ,..., sn  

n

x  a0   si  ai  a0  .
i 1

n
n


Ta có: x  a0   si  ai  a0   1   si  a0   si ai
i 1

i 1
i 1


n

n

sao cho


8
n

 n
Hơn nữa, 1   si    si  1 nên x  P hay P  P .
i 1

 i 1

Vậy P  P (đpcm).
(iv)

Giả

sử

w, a0 , a1,..., an 

khơng


độc

lập

hình

học,

khi

đó

w  a0 , a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 phụ thuộc tuyến tính.
Vì a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 độc lập tuyến tính nên tồn tại  s1, s2 ,..., sn  
n

n

i 1

i 1

n

sao cho w  a0   si  ai  a0  , tức là w  a0   si  ai  a0  . Suy ra w  P
(mâu thuẫn với giả thiết w  P ).
Vậy w, a0 , a1,..., an  độc lập hình học.
Định nghĩa 1.1.5 Cho


a0 , a1,..., an 

N

độc lập hình học. Tập hợp

n
n


   x   ti ai ti  0 i  0, n ;  ti  1 được gọi là n-đơn hình σ sinh bởi
i 0
i 0



a0 , a1,..., an  , ký hiệu là σ  a0 , a1,..., an  . Với mỗi x  σ , các số t0 , t1,..., tn được
xác định duy nhất và được gọi là tọa độ trọng tâm của x đối với a0 , a1,..., an .
Với mọi i  0, n , hàm số:
ti :

σ
n

x  t ja j
j 0


ti ( x)  ti


gọi là hàm tọa độ trọng tâm của σ đối với a0 , a1,..., an .
Nhận xét 1.1.6 Với mỗi i 0,1,..., n , ti ( x) là hàm số liên tục.
Chứng minh:


9
Đặt P  a0  La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 . Xét ánh xạ

 : P  La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0 
x

x  a0

Ta có φ là ánh xạ liên tục.
Với mỗi i 1,2,...n , các ánh xạ
qi :L a1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0  
x   j  a j  a0 
n

j 1

là

các

ánh

xạ

tuyến


tính

từ

khơng

i
gian

La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0  vào không gian định chuẩn

hữu

hạn

chiều

nên chúng là các

ánh xạ liên tục.
Do đó, với mọi i 1,2,..., n , ánh xạ pi  qi  là ánh xạ liên tục. Do đó, ánh
xạ:
p0 : P 
n

x

1   p j ( x)
j 1


cũng là ánh xạ liên tục.
Vậy với mọi i 1,2,...n , ti  pi  là ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.1.7 Cho X là khơng gian tuyến tính. Với mỗi x, y  X , tập hợp

 x, y   (1  t ) x  ty t  0;1
 x, y    y, x .

được gọi là đoạn nối x và y. Hiển nhiên


10
Nhận xét 1.1.8
(i)  a0 , a1 ,..., an  

x a1 ,a2 ,...,an 

a0 ; x . Hơn nữa nếu x và x’ là hai điểm phân biệt

thuộc  a1, a2 ,..., an  thì  a0 , x   a0 , x  a0 .
(ii)  a0 , a1,..., an   conva0 , a1,..., an 
(iii)  a0 , a1,..., an  là tập compact.
(iv) Nếu  a0 , a1,..., an   b0 , b1 ,...,bm  thì a0 , a1,..., an   b0 , b1 ,...,bm  .
Chứng minh:
(i) Đặt A 
x a1 ,a2 ,...,an 

 a0 , x .
n


n

i 1

i 1

+ Với mọi x  a1, a2 ,..., an  , suy ra x   ra
i i , với ri  0 i  1, n ;  ri  1 .
Với mọi y   a0 , x , suy ra y  (1  s)a0  sx, s 0;1 .
Đặt t0  1  s, ti  sri i  1, n , ta có:
n

n

i 1

i 0

y  (1  s)a0  sx  (1  s)a0   sra
i i   ti ai

Hơn nữa,

n

n

i 0

i 1


 ti  1  s  s ri  1  s  s  1 và ti  0 i  0, n .

Do đó y  a0 , a1,..., an    a0 , x   a0 , a1,..., an  .
Suy ra A   a0 , a1,..., an  .


11

+ Ngược lại, với

mọi

y  a0 , a1,..., an  ,

n

suy ra

y   ti ai ,

với

i 1

n

ti  0 i  0, n ;  ti  1 .
i 0


Nếu t0  1 , ta có y  a0  A .

 n ti

ai  .
Nếu t0  1 , ta có: y  t0 a0  (1  t0 )  
 i 1 1  t0 
n

ti
ai , suy ra x  a1, a2 ,..., an  và y   a0 , x  . Do đó y  A , suy ra
1

t
i 1
0

Đặt x  

A   a0 , a1,..., an  .

Vậy A   a0 , a1,..., an .
Giả sử x và x’ là hai điểm phân biệt thuộc  a1, a2 ,..., an  , ta có:
n

n

i 1

i 1


n

n

i 1

i 1

x   ti ai , với ti  0 i  1, n ;  ti  1
x   ra
i i , với ri  0 i  1, n ;  ri  1
Giả sử tồn tại y  a0 , x   a0 , x, y  a0 , khi đó s, s   0;1 sao cho:
n

y  (1  s )a0  sx  (1  s )a0   sti ai
i 1

n

y  (1  s)a0  sx  (1  s)a0   sra
i i
i 1

Do biểu diễn của y là duy nhất nên:


12
1  s  1  s
s  s




 x  x (mâu thuẫn)



st

s
r

i

1,
n
t

r

i

1,
n
 i
i i
i




Vậy  a0 , x   a0 , x  a0  .
(ii) Trước hết ta chứng minh σ   a0 , a1,..., an  là tập lồi.
Với mọi x, y  , ta có:
n

n

i 0

i 0

n

n

i 0

i 0

x   ti ai , với ti  0 i  0, n ;  ti  1

y   ra
i i , với ri  0 i  0, n ;  ri  1
Với mọi   0;1 , ta có:
n

n

n


i 0

i 0

i 0

1    x   y  1     ti ai    ra
i i  
1    ti   ri  ai
Với mọi i 0,1,..., n , ta có 1    ti   ri  0 và
n

n

n

i 0

i 1

i 1

 1    ti  ri   1     ti    ri  1      1
Do đó 1    x   y    là tập lồi.
Tiếp theo ta chứng minh σ là tập lồi nhỏ nhất chứa a0 , a1,..., an  . Với mọi tập
lồi C  a0 , a1,..., an  , ta có:
C  an1, an  nên C   an1, an  .
C  an2   an1, an  nên C 

x an 1 ,an 


an2 , x  an2 , an1, an  .


13
C  an3   an2 , an1, an  nên C 

x an  2 ,an 1 ,an 

an3 , x  an3 , an2 , an1, an 

…
Tiếp tục q trình trên ta có C 
x a1 ,a2 ,...,an 

 a0 , x   .

Vậy   conva0 , a1,..., an  .


(iii) Đơn hình chuẩn  n   t0 , t1,..., tn  

đóng và giới nội trong không gian

:

N

n


n 1

n

ti  0 i  0, n ;  ti  1 là tập
i 0


nên nó là tập compact. Xét ánh xạ:
  a0 , a1 ,..., an 

 t0 , t1,..., tn 

n

t a
i 0

i i

Khi đó ϕ là song ánh liên tục nên  a0 , a1,..., an     n  là tập compact.
(iv) Giả sử  a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bm  .
+ Trước hết ta chứng minh m = n.
n

Với mỗi j 0,1,..., m , do b j b0 , b1,..., bm    a0 , a1,..., an  nên b j   tij ai ,
i 0

n


với tij  0 i  0, n ;  tij  1. Suy ra:
i 0

n
n
n


b j  b0   t0 j  t00  a0    tij  ti 0  ai  1   tij  1   ti 0  a0    tij  ti 0  ai
i 1
i 1
i 1
i 1


n

   tij  ti 0   ai  a0 
n

i 1


14

 b j  b0  La1  a0 , a2  a0 ,..., an  a0  j  0, m
Ta lại có b0 , b1,..., bm  độc lập hình học nên b1  b0 , b2  b0 ,..., bm  b0  độc lập
tuyến tính. Do đó m  n .
Chứng minh tương tự ta cũng có m  n . Vậy m = n.
+ Tiếp theo ta chứng minh a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bn  .

Giả sử b0 a0 , a1,..., an  , tức là b0  ai i  0, n . Ta có:
n

Với mỗi j 0,1,..., m , do a j  a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bn  nên a j   tijbi ,
i 0

n

với tij  0 i  0, n ; t0 j  1;  tij  1 .
i 0

n

Do b0 b0 , b1,..., bn    a0 , a1,..., an  nên b0   s j a j , với
j 0

n

s
k 0

k

sk  0 k  0, n ;

1


 n
 n  n

 b0   s j a j   s j   tijbi      s jtij  bi .
j 0
j 0
 i 0
 i 0  j 0

n

n

n

Do biểu diễn của b0 là duy nhất nên

s t
j 0

Mà ta lại có t0 j  1 j  0, n nên

n

s t
j 0

j 0j

j 0j

 1.


n

  s j  1 (mâu thuẫn).
j 0

Vậy b0 a0 , a1 ,..., an  .Chứng minh tương tự ta cũng có bk a0 , a1,..., an 
k  1, n . Do đó a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bn  .


15
Định nghĩa 1.1.9 Cho đơn hình σ   a0 , a1,..., an  .
+ Với mỗi tập B  a0 , a1,..., an  , ta định nghĩa convB là một mặt con của σ,
ký hiệu là convB   . Nếu convB   thì ta nói convB là một mặt con thực sự
của σ, ký hiệu là convB   .
+ Đơn hình  a0 , a1,...ai1, ai1,..., an  được gọi là mặt đối diện đỉnh ai.
+ Biên của đơn hình σ, ký hiệu Bd , là hợp của tất cả các mặt con thực sự
của σ.
+ Int   \ Bd được gọi là phần trong của đơn hình σ. Int cịn được gọi
là đơn hình mở σ.
+ Số chiều của đơn hình σ   a0 , a1,..., an  , ký hiệu là dimσ, là số chiều của
phẳng Af a0 , a1,..., an  và bằng n.
+ Đường kính của đơn hình σ, ký hiệu là diamσ, được định nghĩa là:
diam  max x  y
x , y

Nhận xét 1.1.10 Cho đơn hình σ   a0 , a1,..., an  .
n
n



(i) Bd   x   ti ai ti  0 i  0, n ;  ti  1; j 0,1,..., n , t j  0 
i 0
i 0


n
n


Int   x   ti ai ti  0 i  0, n ;  ti  1 
i 0
i 0



(ii) Int là tập lồi và mở trong Af a0 , a1,..., an  .
Chứng minh:


16
n
n


(i) Đặt A   x   ti ai ti  0 i  0, n ;  ti  1; j 0,1,..., n , t j  0
i 0
i 0




+ Với mọi x  Bd , tồn tại



x  conv ak1 , ak2 ,..., akm



a

k1



, ak2 ,..., akm  a0 , a1,..., an  sao cho

 ak1 , ak2 ,..., akm  , suy ra

m

x   si aki , với

si  0

i 0

m

i  0, m ;  si  1. Do  ak1 , ak2 ,..., akm    nên m < n.
i 0


n

Suy ra x   t j a j , trong đó t j  si nếu a j  aki , và t j  0 nếu không tồn tại
j 0

i 0,1,..., m để a j  aki .

Do m < n nên tồn tại j 0,1,..., n để t j  0 . Suy ra x  A , tức là Bd  A .
n

n

i 0

i 0

+ Ngược lại, với mọi y  A , ta có y   ti ai , với ti  0 i  0, n ;  ti  1;
j 0,1,..., n, t j  0 .
m

Loại bỏ hết tất cả các t j  0 , suy ra y   ti aki , với m < n, ti  0 i  0, m ;
i 0

m

t
i 0

i






 1  y  conv ak1 , ak2 ,..., akm  ak1 , ak2 ,..., akm  .

Do m < n nên ak1 , ak2 ,..., akm    , suy ra y  Bd , tức là A  Bd .
Vậy Bd  A.
n
n


Hiển nhiên Int   \ Bd   x   ti ai ti  0 i  0, n ;  ti  1  .
i 0
i 0




17
(ii) + Ta chứng minh Int là tập lồi.
Với mọi x, y  Int , ta có:
n

n

i 0

i 0


x   ti ai , với ti  0 i  0, n ;  ti  1
n

n

i 0

i 0

y   si ai , với si  0 i  0, n ;  si  1
Với mọi   0;1 , ta có:
n

n

n

i 0

i 0

i 0

z  (1   ) x   y  (1   ) ti ai    si ai  (1   )ti   si  ai
Rõ ràng (1   )ti   si  0 i  0, n và
n

n


n

(1   )t   s   (1   ) t    s
i 0

i

i

i 0

i

i 0

i

1

nên z  Int . Suy ra Int là tập lồi.
+ Ta chứng minh Int là tập mở trong P  Af a0 , a1,..., an  .
Theo phần chứng minh của Nhận xét 1.1.6, với mỗi i 0,1,..., n , ánh xạ:
pi :

P
n

x  t ja j
j 0


là ánh xạ liên tục. Ta có Int 

n
i 0


pi ( x)  ti

pi1  (0; )  nên Int là tập mở trong P.


18
1.2 Phức đơn hình
Định nghĩa 1.2.1 Một phức đơn hình là một họ K gồm các đơn hình trong
khơng gian

N

thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Nếu   K thì các mặt của σ cũng thuộc K.
(ii) Nếu  ,  K thì     hoặc   là một mặt chung của σ và τ.
Định nghĩa 1.2.2
+ Số chiều của phức đơn hình K, ký hiệu là dimK, được định nghĩa là:
dim K  max dim   K 

+ Đường kính của phức đơn hình K, ký hiệu là diamK, được định nghĩa là:
diamK  max diam   K 

Ví dụ 1.2.3


(Hình 1.2.3)
(i) (Hình 1.2.3a)
Tập

K  a0,a1 ,a2 ,a3 , a0 , a1  , a0 , a2  , a0 , a3  , a1, a2  , a0 , a1, a2 

một phức đơn hình 2 chiều trong

N

.

là


19
(ii) (Hình 1.2.2b)
Tập

L  a0,a1 ,a2 ,a3 , a0 , a1  , a0 , a2  , a1, a2  , a2 , a3  , a0 , a1, a2 

khơng phải là một phức đơn hình trong

N

vì  a1, a2    a2 , a3    a1, a2  không

phải là một mặt của  a2 , a3  .
Nhận xét 1.2.4 K là một phức đơn hình trong


N

và σ   a0 , a1,..., an  ,

τ  b0 , b1,..., bm   K . Khi đó: σ  τ  conv a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bm  .

Chứng minh:
+ Ta có:

a0 , a1 ,..., an   b0 , b1 ,..., bm   a0 , a1 ,..., an 


a0 , a1 ,..., an   b0 , b1 ,..., bm   b0 , b1,..., bm 


conv a0 , a1 ,..., an   b0 , b1 ,..., bm   conv a0 , a1 ,..., an   


conv a0 , a1 ,..., an   b0 , b1 ,..., bm   conv b0 , b1 ,..., bm   

 conv a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bm      .
+ Ngược lại, giả sử σ  τ  c0 , c1,..., c p  . Vì σ  τ là một mặt chung của σ và τ
nên:
c0 , c1 ,..., c p   a0 , a1 ,..., an 

 c0 , c1 ,..., c p   a0 , a1 ,..., an   b0 , b1 ,..., bm 

c
,

c
,...,
c

b
,
b
,...,
b



p
0 1
m
 0 1





 σ  τ  conv c0 , c1,..., c p  conv a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bm  .

Vậy σ  τ  conv a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bm  .


20

Bổ đề 1.2.5 Họ K các đơn hình trong


N

là một phức đơn hình trong

N

khi

và chỉ khi K thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Nếu   K thì các mặt của σ cũng thuộc K.
(ii’) Nếu  ,  K và    thì Int  Int = .
Chứng minh:

"  " : Cho K là một phức đơn hình trong

N

. Khi đó điều kiện (i) được thỏa

mãn. Ta chứng minh điều kiện (ii’) cũng thỏa mãn.
Lấy bất kỳ  ,  K và    .
Trường hợp     thì Int  Int      .
Trường hợp     : Ta có Int  Int =  \ Bd    \ Bd  .
+ Nếu     thì    nên   Bd . Do đó:
Int  Int     \ Bd       \ Bd   \ Bd   \   

 Int  Int = .
+ Nếu     thì    . Tương tự như trên ta cũng có Int  Int = .
+ Nếu     và     thì      Bd nên:
Int  Int     \ Bd       \ Bd     \     


 Int  Int = .
Vậy K thỏa mãn điều kiện (ii’).


21

"  " : Cho K là họ các đơn hình trong

N

thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii’).

Ta chứng minh K thỏa mãn điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử σ   a0 , a1,..., an  , τ  b0 , b1,..., bm   K .
+ Trường hợp a0 , a1,..., an   b0 ,b1 ,...,bm   : Ta chứng minh     .
Giả sử tồn tại x   . Khi đó:
x   A  a0 , a1 ,..., an  : x  Int  convA 

  x  Int  convA  Int  convB  (*)
x   B  b0 , b1 ,..., bm  : x  Int  convB  


Do a0 , a1,..., an   b0 , b1,..., bm   nên A  B    convA  convB . Theo
(ii’) ta có Int  convA  Int  convB    (mâu thuẫn với (*)). Vậy     .
+ Trường hợp a0 , a1,..., an   b0 ,b1 ,...,bm   :
Đặt

a0 , a1,..., an   b0 , b1 ,...,bm  c0 , c1 ,..., cp   C ,


ta sẽ chứng minh

   convC . Hiển nhiên C    .
Với mọi x   . Ta có:
x   D  a0 , a1 ,..., an  : x  Int  convD  

  x  Int  convD   Int  convE  (**)
x   E  b0 , b1 ,..., bm  : x  Int  convE  


Từ (ii’) và (**) suy ra convD  convE . Theo Nhận xét 1.1.8 ta có D  E , do
đó D  C  convD  convC  x  convC . Suy ra    convC .
Vậy    convC là mặt chung của σ và τ. Do đó K là một phức đơn hình.
Định nghĩa 1.2.6 Cho K là một phức đơn hình trong
cũng là một phức đơn hình trong
K.

N

N

,   L  K . Nếu L

thì L được gọi là phức đơn hình con của


22

Mệnh đề 1.2.7 Cho K là một phức đơn hình trong


N

,   L  K . Khi đó L

là một phức đơn hình con của K khi và chỉ khi với mọi đơn hình   L , mỗi
mặt của 𝜎 cũng thuộc L.
Đặc biệt, tập hợp gồm σ và tất cả các mặt con của nó là một phức đơn hình, ký
hiệu là K ( )       .
Chứng minh:
+ Nếu L là phức đơn hình con của K thì hiển nhiên với mọi đơn hình   L ,
các mặt của σ cũng thuộc L.
+ Ngược lại, với mỗi   L thì các mặt của σ cũng thuộc L. Với mọi  ,  L ,
suy ra  ,  K . Do K là một phức đơn hình nên     hoặc   là một
mặt chung của σ và τ. Tức là L thỏa mãn hai tính chất theo định nghĩa của phức
đơn hình. Do đó L là phức đơn hình con của K.
Mệnh đề 1.2.8 Với mọi m , tập hợp K ( m)    K dim  m là một phức
đơn hình con của K, được gọi là m-khung của K. Đặc biệt, K (0) là tập đỉnh của
K.
Chứng minh:
Cho m . Vì K là một phức đơn hình nên K   , suy ra tồn tại   K sao
cho mọi mặt của σ cũng thuộc K. Chọn một đỉnh bất kỳ của σ, ta được một đơn
hình   K và dim  m . Do đó   K ( m) hay K ( m)   .
Với mọi   K ( m) , suy ra   K và dim  m . Do K là một phức đơn hình nên
mọi mặt của σ cũng thuộc K và có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của σ.
Do đó, mỗi mặt của σ có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng m, hay mỗi mặt của σ
cũng thuộc K ( m ) . Theo Mệnh đề 1.2.7 ta có K ( m ) là một phức đơn hình con của
K.


23


Định nghĩa 1.2.9 Cho K là một phức đơn hình trong

N



. Tập hợp K 
 K

được gọi là giá của K.
Mệnh đề 1.2.10 Gọi Ω là topo tự nhiên trên

N

và  ( ) là topo trên 𝜎 cảm





sinh bởi topo Ω. Khi đó   U  K   K ,U     ( ) là một topo trên
K .

Chứng minh:
+ Ta có   K .   K ,       ( )   .
Và K  K .   K , K       ( )  K  .
+ Với mọi U ,V  :
Với mọi   K , ta có: U     ( ),V     ( )
 U  V     U     V      ( )  U  V  .


+ Với mọi U i iI   :
Với mọi   K , ta có: Ui     ( ) i  I



  U i     U i      ( )  U i  .
iI
iI
 iI 
Vậy  là một topo trên K .
Ký hiệu: Ta ký hiệu như sau:
+ Tập tất cả các tập đóng trong

N

với topo Ω là  .

+ Tập tất cả các tập đóng trong K với topo  ( ) là  ( ) .