BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN TRÍ LÝ

ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn
Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào
ngày 14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ lâu ta đã biết định thức Wronski chiếm một vị trí hết sức
quan trọng để chứng tỏ tính duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy
đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp n (ODE). Vẫn biết, về
bản chất, Wronskians là định thức cấp n được lập thành từ một hệ
nghiệm cơ sở của ODE, thế nhưng việc tính tốn một Wronskians
chưa khi nào trở nên đơn giản. Với ý nghĩa như thế và cùng với việc
tìm hiểu để biết thêm những tính chất thú vị, Wronskians đã là đối
tượng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trong
đó phải kể đến như : F. H. Smith, C. Towse, L. Gatto, I. Scherback....
Với mục đích là tìm hiểu về Wronskians và được sự gợi ý của thầy
giáo hướng dẫn – TS. Lê Hải Trung, tôi đã lựa chọn đề tài « Định
thức Wronskian và ứng dụng » cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định thức Wronski và ứng dụng trong Lý
thuyết phương trình vi phân thường.
- Tìm hiểu định thức Wronski mở rộng.
- Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 để lập trình và tính
tốn định thức Wronski.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Định thức và ma trận.
- Định thức Wronski và định thức Wronski suy rộng.
- Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 cho định thức Wrosnki.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập, tổng hợp các tài liệu về ma trận và định thức có
liên quan đến định thức Wronski và phương trình vi phân tuyến tính
thường. Từ đó phân tích , nghiên cứu các nội dung theo đúng mục

đích luận văn.
- Trao đổi, thảo luận, tham khao ý kiến giáo viên hướng
dẫn.
- Trong luận văn tác giả có sử dụng các kiến thức thuộc các
chuyên nghành : Đại số, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân
thường...
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn chia làm 3 chương
Chương 1 – Kiến thức chuẩn bị


2
Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về định thức và
ma trận của đại số tuyến tính làm cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 – Định thức Wronski
Phần đầu của chương là khái niệm về hệ hàm độc lập tuyến
tính và phụ thuộc tuyến tính, xây dựng về định thức Wronski. Phần
thứ hai là các ứng dụng của định thức Wronski cho phương trình vi
phân thường. Mối liên hệ của định thức Wronski với bó Grassmann
trên các dịng và đối với hệ tuyến tính trong P1 và định thức
Wronski trung gian.
Chương 3 - Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 cho định
thức Wronski
Chương này giới thiệu về phần mềm Mathcad 7.0 và ứng
dụng của phần mềm để tính một vài định thức Wrosnki.
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 MA TRẬN VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Định nghĩa 1.1. Cho m, n là hai số nguyên dương. Ta gọi một ma
trận cỡ (cấp) m ´ n là một bảng số gồm m ´ n số thực được viết

thành m hàng n cột có dạng như sau:
é a11
êa
ê 21
ê ...
ê
ë am1

a12
a22
...
am 2

... a1n ù
... a2 n ú ,
ú
... ... ú
ú
... amn û

trong đó các số thực a i j ; i = 1 , m ; j = 1 , n gọi là các phần tử
của ma trận, chỉ số i chỉ thứ tự hàng và chỉ số j chỉ thứ tự cột của
phần tử

aij

trong ma trận.

Định nghĩa 1.2. (Ma trận hàng)
Định nghĩa 1.3. (Ma trận cột)

Định nghĩa 1.4. (Ma trận vuông)
Định nghĩa 1.5. (Ma trận chéo)
Định nghĩa 1.6. (Ma trận đơn vị)
Định nghĩa 1.7. (Ma trận bậc thang)
Định nghĩa 1.8. (Ma trận không)
Định nghĩa 1.9. (Ma trận chuyển vị)
Cho một ma trận


3

é a11 a12 ... a1n ù
êa
a22 ... a2 n úú
21
ê
.
A=
ê ... ... ... ... ú
ê
ú
ë am1 am 2 ... amn û
Ma trận chuyển vị của A là ma trận có được từ A bằng cách
chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng theo thứ tự.
Kí hiệu :

é a11
êa
AT = ê 12
ê ...

ê
ë a1n

a21 ... am1 ù
a22 ... am 2 ú là ma trận chuyển vị của A
ú
... ... ... ú
ú
a2 n ... amn û

Định nghĩa 1.10. (Hai ma trận bằng nhau)
Định nghĩa 1.11. (Phép cộng hai ma trận)
Cho hai ma trận cùng cỡ m ´ n : A = éë aij ùû

mn

và

B = éëbij ùû . Tổng của hai ma trận A, B là ma trận C = éë cij ùû mn cùng
mn
cỡ m ´ n với cij = aij + bij ; "i, j : i = 1, m; j = 1, n. Kí hiệu: C = A + B.
Tính chất 1.1. Giả sử A, B, C, O là các ma trận cùng cỡ, khi đó ta
có:
i) A + B = B + A
(tính giao hốn)
ii) A + O = O + A = A
(cộng với ma trận không)
iii) A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp)
iv) Cho A = éë aij ùû


mn

và a Ỵ R ; phép nhân số a với ma

trận A là ma trận C = éëcij ùû với cij = a aij ; "i, j : i = 1, m; j = 1, n
mn
Kí hiệu : a A = éëa aij ùû

mn

.

Tính chất 1.2. Cho a , b Ỵ R; A, B là hai ma trận cùng cỡ thì:
i) a ( A + B ) = a A + a B .
ii) (a + b ) A = a A + b A .
iii) a ( b A) = (ab ) A .
iv) 1A = A.
Định nghĩa 1.12. (Phép nhân hai ma trận)


4
Cho

A = éë aij ùû

mn

cỡ m ´ n và ma trận

B = [ cik ]nq


cỡ

n ´ q . Tích của A với B là một ma trận C = [ cik ]mq cỡ m ´ q với
n

cik = å aijbik ; i = 1, m; k = 1, q .
j =1

Kí hiệu A.B.
Chú ý 1.1. Để ma trận A nhân được với ma trận B thì số cột của ma
trận A phải bằng số hàng của ma trận B.
Tính chất 1.3
i) Các ma trận A cỡ m ´ n , B cỡ n ´ p , C cỡ p ´ q , ta có :
A . (B . C) = (A . B) . C
(tính kết hợp).
ii)
Cho ma trận A cỡ m ´ n và hai ma trận B, C cỡ n ´ p ,
ta có :
A . (B + C) = A . B + A . C (tính phân phối).
iii)
Cho hai ma trận A, B cỡ m ´ n và ma trận C cỡ
n ´ p , ta có :
(A + B).C = A . C + B . C (tính phân phối).
iv) Cho E là ma trận đơn vị cấp n và A là ma trận cỡ m ´ n ,
ta có :
A . E = A.
v) Cho E là ma trận đơn vị cấp m và A là ma trận cỡ
m ´ n , ta có :
E . A = A.

Chú ý 1.2. Tích của hai ma trận khơng có tính giao hốn. Nhưng nếu
A.B=B.A thì ta nói B là ma trận khả hốn của A và ngược lại lúc đó
A, B là hai ma trận vng cùng cấp.
1.2. ĐỊNH THỨC VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Định nghĩa 1.13. Cho E = {1, 2,3,..., n} ta gọi hoán vị của tập E là
một song ánh.

F :E đE
2
...
n ử
ổ 1
Kớ hiu : F : ỗ
ữ hay
ố f (1) f (2) ... f (n) ø
{ F (1) F (2) ... F (n)}


5
Chú ý 1.3. Một tập E có n phần tử xác lập được tất cả n! hốn vị
khác nhau.
n ư
2
...
ỉ 1
nh ngha 1.14. Cho mt hoỏn v f : ỗ
ữ , ta
è f (1) f (2) ... f (n) ø
thành lập các thứ tự ( f (i), f ( j ) ) , i = 1, n - 1; j = 2, n, i < j sẽ có Cn2
cặp thứ tự như thế.

Một cặp ( f (i ), f ( j ) ) được gọi là một nghịch thế của hoán vị nếu
:

( f (i ) >

f ( j) )

Gọi N(f) là số các nghịch thế của hoán vị f (số các nghịch thế có
trong Cn2 cặp thứ tự ( f (i ), f ( j ) ) ở trên).
Định nghĩa 1.15. Cho ma trận A = éë aij ùû vuông cấp n. Định thức
của A là một số thực kí hiệu và xác định như sau:
d et( A ) =

å

f ỴSn

( - 1) N ( f ) a 1 f (1) a 2 f ( 2 ) ...a n f ( n )

trong đó Sn là tập tất cả các hoán hoán vị của n phần tử

{1, 2,3,..., n} , (tập Sn

có n! phần tử).

Ta có kí hiệu định thức A là :

A

hoặc


a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

...

...

...

an1

an 2 ... ann

...

Như vậy định thức của ma trận A là một số :
Chú ý 1.4. Nếu det( A) ¹ 0 thì ta nói A là ma trận khơng suy biến
ngược lại ta nói A là suy biến.
Tính chất 1.4


det( AT ) = det( A)
Nhận xét 1.1. Từ tính chất này ta thấy mọi tính chất đã đúng với
hàng thì cũng đúng với cột của định thức, nên các tính chất mà ta
chỉ phát biểu đối với hang.


6
Tính chất 1.5. Nếu ma trận vng A có một hàng gồm tồn phần tử
0 thì định thức của nó bằng 0.
Tính chất 1.6. Nếu ta nhân một hàng của ma trận vng A với số
thực a thì định thức của ma trận A tăng lên a lần.
Tính chất 1.7. Giả sử A, B, C là ba ma trận vuông cấp n (cùng cỡ)
có các hàng đều giống nhau ngoại trừ hàng thứ k của A bằng tổng
hàng thứ k của B và C (tức là aij = bij = cij , "i, j = 1, n; i ¹ j và

akj = bkj + ckj , j = 1, n ). Khi đó det(A)=det(B)+det(C).
Tính chất 1.8. Nếu đổi chỗ hai hàng nào đó của ma trận vng A
cho nhau thì ta được ma trận vuông B với det(B) = - det(A) ( Tức là
đổi chỗ hai hàng của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu).
Hệ quả 1.1. Nếu một ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của
nó bằng 0
Hệ quả 1.2. Nếu ma trận có hai hàng có các phần tử tỉ lệ với nhau thì
định thức của ma trận đó bằng 0.
Hệ quả 1.3. Nếu ta cộng vào một hàng nào đó của ma trận vuông A
với một hàng khác đã nhân với một số bất kì thì ta được một ma trận
B có det(B)=det(A).
Tính chất 1.9. Định thức của ma trận chéo A bằng tích các phần tử
nằm trên đường chéo chính.
Hệ quả 1.4. Định thức của ma trận tam giác không A bằng tích các
phần tử nằm trên đường chéo chính.

Định nghĩa 1.17. (Định thức con phụ)
Khai Triển định thức theo hang (hoặc một cột)
Theo định nghĩa định thức ta có:
det( A) =

å ( -1)

N( f )

a1 f (1) a2 f ( 2 ) ...anf ( n )

f ỴS n

Trong đó Sn là tập các hoán vị của {1, 2,3,..., n} .
Số hạng (-1) N ( f ) a1 f (1) a2 f (2) ...anf ( n ) chứa phần tử a11 làm thừa
số nếu và chỉ nếu f(1)=1
Đặt Sn1 = { f Ỵ Sn / f (1) = 1}


7
Mỗi hốn vị f Ỵ S n1 có thể xem như một hoán vị của tập

{2, 3,..., n}

với số nghịch thế bằng tập N(f). Tập Sn1 có đúng (n – 1)!

Phần tử. Từ đó suy ra :
å ( -1) N ( f ) a1 f (1) a2 f ( 2 ) ...anf ( n ) = a11 å ( -1) N ( f ) a2 f ( 2 ) ...anf ( n ) = a11M
f ỴS 1n


f Ỵ S n1

Bổ đề 1.1. Có đúng (n – 1)! Số hạng chứa

aij

làm thừa số trong

cơng thức tính định thức của ma trận vng A. Tổng của (n – 1)! số
hạng đó bằng

(-1)i + j aij M ij = aij Aij .

Định lý 1.1 (Khai triển định thức theo một hàng (một cột))
Định nghĩa 1.18. (Ma trận nghịch đảo)
Định nghĩa 1.19 (Ma trận phụ hợp)
Định lý 1.2. Nếu A là ma trận vuông cấp n thì :

APA = PA A = det( A).En
Trong đó PA là ma trận phụ hợp của A và En là ma trận đơn
vị cấp n.
Định lý 1.3 (Định lý tồn tại ma trận nghịch đảo). Điều kiện cần và đủ
để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo là det( A) ¹ 0 (hay A là
ma trận khơng suy biến), và khi đó A-1 =

1
PA .
det( A)

Tính chất 1.10

a) Giả sử A khả đảo và k ¹ 0 . Lúc đó ma trận kA cũng khả
đảo và có :

(kA)-1 =

1 -1
A .
k

b) Giả sử A, B là hai ma trận vng cùng cấp và khả đảo.
Khi đó : ( A.B ) -1 = B -1 A-1 .
c) Nếu A khả đảo thì A-1 cũng khả đảo và ;
( A-1 ) -1 = A .


8
CHƯƠNG 2
ĐỊNH THỨC WRONSKI SUY RỘNG
2.1. MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Định nghĩa 2.1. (Hệ hàm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính)
2.1.1. Định thức Wronski. Ta kí hiệu K là trường số thực R
hoặc số phức C, gọi U Í K là tập mở.
Kí hiêu: s (U ) là tập giá trị các hàm khả vi cấp r + 1 .
Cho v :=

(u0 ,u1 ,...,ur ) Ỵ s (U )r +1

(2.1)

là một bộ gồm r+1 hàm trong s (U ) . Nếu t là một tham số địa

phương trong U, ta định nghĩa D : s (U ) ® s (U ) là phép lấy đạo
hàm theo biến t. Ma trận Wronski được tạo thành từ (r + 1) hàm khả
vi và được kí hiệu là:
u1 ... u r ử
ổ v ử ổ u0
ữ
ỗ
ữ ỗ Du
ỗ Dv ữ ỗ 0 Du1 ... Dur ữ
WM (v) :=

=
ỗ ... ữ ỗ ...
ỗ r ữ ỗ r
ốD vứ ốD u

... ÷
÷
... D rur ø

...

...

D u1
r

Khi đó định thức Wronski được viết dưới dạng:

W0 (v) = det WM (v).

hay ngắn gọn hơn:

(2.2)

W0 (v) = v Ù Dv Ù ... Ù D r v.

2.1.2. Định thức Wronski suy rộng. Cho r Ỵ Z + . Một phân
hoạch l có độ dài khơng quá r+1 là một dãy không tăng.
l : l0 ³ l1 ³ ... ³ lr ³ 0
với chuẩn của

l = ( l 0 , l1 , ..., l r )

Kí hiệu :

l

=

r

å

i= 0

li

Định nghĩa 2.2. Cho v thỏa mãn (2.1) và l như trong (2.4). Ma trận
Wronski mở rộng liên quan đến v và phân hoạch l là :



9

ỉ D lr v ư ỉ D lr u0
D lr u1
ỗ 1+ lr -1 ữ ỗ 1+ lr -1
u0 D1+ lr -1
D
vữ ỗD
WM l (v) = ỗ
:=
ỗ ... ữ ỗ ...
...
ỗỗ r + l0 ữữ ỗỗ r + l0
r + l0
è D v ø è D u0 D u1
Khi đó: Wl (v) = det WM l (v) .

D lr ur ö
÷
... D1+ lr -1ur ÷
...
... ÷
÷
... D r + l0u r ÷ø
...

Để đồng nhất với với (2.3) chúng ta sẽ viết định thức
Wronski l - tổng quát dưới dạng:


Wl (v) := D lr v Ù D1+ lr -1 v Ù ... Ù D r + l0 v

(2.5)

Rõ ràng :

W0 (v) = W(v).
2.2. ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH THƯỜNG
Định thức Wronski thường được xây dựng cùng với việc giải
phương trình vi phân tuyến tính thường (ODEs).
2.2.2. Định lý Liouville’s. Các định thức Wronski thỏa mãn
phương trình vi phân :
DW0 (v) = a1 (t )W0 (v).
(2.7)
2.2.3. Định thức Wronski suy rộng của nghiệm phương
trình vi phân (ODE). Sử dụng định thức Wronski suy rộng như
trong 2.2, khi đó
Định lý Liouvilles (2.7) có thể viết lại sau:

W(1) (v) = a1 (t )W(v) .

Mệnh đề 2.1. Cho 1k := (1,1,...,1) là phân hoạch nguyên của các
nghiệm nguyên k.
Với k = 1. Nếu v là một cơ sở của ker Pa ( D ) khi đó:

W(1k ) (v) = ak (t )W(v) .
2.3. KHÁI NIỆM VỀ BÓ VEC TƠ VÀ BÓ DỊNG
Định nghĩa 2.3. (Bó vec tơ)
Định nghĩa 2.4. Cho C là một đường cong phức xạ ảnh. Và tập hợp

biểu đồ

m := {(Ua , za ) / a Ỵ A} .

Kí hiệu

¶C

là các bó của hàm giải tích trong C.


10
Định nghĩa 2.5. Cho p : c ® S là một họ phẳng riêng của đường
cong xạ mịn với tham số g ³ 1 của sơ đồ trơn nhẵn S.

c ´S c ® S
p, q : c ´S c ® c

Cho

là hai lần tích số của c trong S và cho

là phép chiếu thứ nhất và thứ hai tương ứng.
Biểu thị bằng

d : c ® c ´S c là cấu xạ chéo và I là các bó idean

của dịng chéo trong c ´S c ® S .
Bó chính tắc tương đối của tập hợp p sẽ bằng đường chéo


Kp : d * ( I / I 2 ). Đối với L Ỵ Pic( c / S ) , và mỗi h ³ 0
ỉ Oc ´S c
h
* ư
Cho J L := p * ỗ h +1 q L ữ
ố I
ứ
l bó dịng L với thứ tự h.
Định nghĩa 2.6. Cho v = (va ) là một hàm liên tục của bó dịng L.

va Ỵ s (U a )

và va

= lab

trên

Ua Ç U b .

Cho (U a , za ) là một biểu đồ tọa độ của C tầm thường L.
Biểu thị bởi Da : s (U a ) ® s (U a ) , lấy đạo hàm d / dza và bằng Daj
thứ j lặp lại của Da . Sau ú
ỡổ va ử
ỹ
ùỗ
ù
ữ
D
v

ù
ù
Dh v = ớỗ a a ữ / a ẻ Aý
ùỗỗ ... ữữ
ù
ùợố Dah va ứ
ùỵ

l mt phn của J h L . Nó có thể xem như một đạo hàm cấp h của v,
hay một phép biểu diễn của v cùng với đạo hàm cấp h.
Định nghĩa 2.7. Cho v Ỵ H 0 ( L) triệt tiêu tại P Ỵ C với bội số bé
nhất h + 1 nếu ( Dh v)( P ) = 0 . Cụ thể, nếu va Ỵ s C (U a ) là một
biểu diễn địa phương của v trong tập mở U a , khi đó v triệt tiêu tại

P Ỵ Ua

với bội số bé nhất h + 1 nếu va triệt tiêu trong P cùng với


11
đạo hàm thứ h.
Định nghĩa 2.8. Nếu U là một không gian vec tơ, G (k , U ) sẽ biểu
thị biến ngẫu nhiên tham số hóa trong khơng gian vec tơ con k- chiều
của U.
Định nghĩa 2.9. Cho

w := (w0 , w1 ,..., w g -1 )

là một cơ sở của


H 0 ( K ).
Ánh xạ :

fw := (w0 : w1 :...: wg -1 ) : C ® P g -1 ,

P ® (w0 ( P) : w1 ( P) : ...: wg -1 ( P) ) là một cấu xạ chính tắc.
Định nghĩa 2.10. Cho V là một

g dr ( L) . Một điểm P Ỵ C

là một

V- nhỏnh nu cú im 0 ạ v ẻ V ,nh vậy Dr v( P) = 0 . Khi và chỉ
khi tn ti mt s 0 ạ v ẻ V trit tiêu tại P với ít nhất r + 1 bội số.
Định nghĩa 2.11. (ánh xạ Wronski)
Định nghĩa 2.12. ( V- trọng lượng của một điểm)
Định nghĩa 2.11. Cho V- trọng lượng của điểm P trùng với trọng
lượng của cấp phân hoạch của nó. Chúng ta cho n Ỵ N là V- bậc
trong P Ỵ C , nếu tồn tại v Î V như vậy ord P v = n. mỗi điểm có
r + 1 bậc riêng biệt.
Mệnh đề 2.2. Một phân hoạch l là V- bậc phân hoạch của một số
P Ỵ C khi và chỉ khi:
Wm (V )( P) = 0
cho tất cả m , như vậy

m < l và Wl (V )( P) ¹ 0.

Trong trường hợp này định thức Wronski triệt tiêu trong P với bội số
là l .
Định nghĩa 2.13. Cho

tơ

Dr : C ´ V ® J r L

V Ỵ G (r + 1, H 0 ( L)) ta xét ánh xạ bó vec
,

(2.20)

xác định bởi Dr ( P, v) = Dr v ( P ) Î J P L.
r


12
2.4 ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA BÓ GRASSMANN.
Định nghĩa 2.14. Cho r d : F ® X là một bó vec tơ hạng d + 1, trên
một phép chiếu mở mịn đa tạp X của m ³ 0 chiều. Với mỗi
0 £ r £ d , cho r r ,d : G ( r + 1, F ) ® X là bó Grassmann của (r+1)chiều trong khơng gian con của các sợi F.
Mệnh đề 2.4. Tập Gt ( r r ,d ) , nếu khơng có phần tử nào, có thể được
đồng nhất thức với một bộ tập mở Grassmannian G (r + 1, H 0 ( F )).
Định nghĩa 2.15. Giả sử F được trang bị với một lọc F· . bằng cách
bó thương. Với -1 £ j £ i £ d , một tập hợp bó qij : Fi ® F j , do đó

Fd = F , thuật ngữ Fi là một thương tự do tại địa phương F của r +
1 hạng, qii = id Fi và qijq jk = qik với d ³ i ³ j ³ k ³ -1 . Quy ước

F-1 = 0 .
Định nghĩa 2.16. Cho mỗi l Ỵ P ( r +1)( d -r ) lược đồ con G ( r + 1, F )
xác định bằng :
(2.22)

Wl ( r r*,d F· ) = Ù Ỵ G ( r + 1, F ) / rk Ù ¶ j + lr- j -1 £ j , 0 £ j £ r

{

}

là l liên quan đến lọc F· và phân vùng l .
Định

nghĩa

2.17.

0 £ h £ d + 1,

Với

cho

N h ( F ) := ker( F ® Fd +1- h ). Nó là một bó vec tơ của hạng h. Xác
định giống như Schubert theo hạt nhân N · ( F ) bằng sự sắp xếp với
mỗi phân vùng l có chiều dài lớn nhất r + 1:
Wl ( r r*,d N · ( F )) = Ù Ỵ G ( r + 1, F ) / Ù Ç N d +1-( j + l ) ( F ) ³ r + 1 - j

{

r- j

}


Định nghĩa 2.18. Các F· - Wronskian phân thứ của G (r + 1, F ) là

v ( rr*,d F· ) := W(1) ( r r*,d F· ). Bằng (2.22), Các F· - Wronskian đa
dạngv 0 ( r r*,d F· ) của G (r + 1, F ) là sơ đồ suy biến của ánh xạ tự
nhiên ¶ r : S r ® r r*,d Fr .
r +1

r +1

r +1

Sơ đồ khơng của ánh xạ : Ù ¶ r : Ù S r ® Ù r r , d Fr .
*


13
Ánh xạ:
r +1

r +1

r +1

r +1

r +1

W0 ( rr*,d F· ) := ả r ẻ Hom( S r , Ù r r*,d Fr ) = H 0 ( X , Ù rr*,d Fr Ä Ù SrV ),
(2.23)
là phần của định thức Wronski (của bó dịng Ù r +1 r r*,d Fr Ä Ù r +1 S rV ).

Định nghĩa 2.19. Các F· - Wronskian tổng quát của G (r + 1, F ) ,
liên quan đến các phân vùng l Ỵ P ( r +1)´( d - r ) , là:

v l ( rr*,d F· ) = Wl ( rr*,d F· ) .
Định nghĩa 2.20. Cho g Ỵ G( r r ,d ) , phần
r +1

r +1

W0 (g ) := g (W0 ( rr*,d F· )) mod C * Ỵ PH 0 ( X , Ù Fr Ä Ù g * S rV )

sẽ được nói trong F· - Wronskian của g .
Các lớp trong A* ( X ) qũy tích phân nhánh của g là:

[ Z (W0 (g ))] = éëg -1 (w0 ( rr*,d )) ùû = g * éëw0 ( rr*,d F· ) ùû
r +1

r +1

.

= c1 ( Ù Fr Ä Ù g S ) Ç [ X ] = (c1 ( Fr ) - g c1 ( Sr )) Ç [ X ]
*

V
r

*

Định nghĩa 2.21. Cố định x Ỵ Pic( X ) . Ánh xạ hàm giải tích:

r +1
V
0
ìG
ï x ( rr , d ) ® PH (Ù Fr Ä x )
í
a W0 (g ) mod C *
ïỵg

Ánh xạ wronski được định nghĩa trong

Gx ( r r ,d ).

Thật vậy W0 (g ) là một phần của g * (Ùr +1 rr*,d Fr Ä Ùr +1 SrV ) = Ùr +1 Fr Ä x V .
Các lớp của qũy tích phân nhánh của g , như trong (2.24),sẽ được
viết là:
[ Z (W0 (g ))] = (c1 ( Fr ) - x ) Ç [ X ] Ỵ A* ( X ).
2.4.1. Hình dạng mở rộng của ánh xạ Wronski.
Định lý 2.2. Cố định đẳng thức:
éëWl (rr*,d F·)ùû = éëW(lr ) (r0*F·)ùû ÙéëW(1+lr-1) (r1*F·)ùû Ù... ÙW(r+l0) (r1*F·) =el (2.30)
xác định các mô đun của A* (G (r + 1, F )). với Ù

r +1

A* ( P ( F )).


14
2.5. ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA BĨ GRASSMANN TRÊN
CÁC DỊNG

Định nghĩa 2.22. Sự lọc hạt nhân của J d L
N · ( L ) : 0 Ì N1 ( L ) Ì ... Ì N d ( L ) Ì N d +1 ( L ) = J d L (2.31)
được xác định thơng qua trình tự xác định bó của vec tơ :

0 ® N h ( L) ® J d L ® J d - h L ® 0,
ở đây N h ( L) là bó vec tơ của hạng h. Các sợi của N h ( L) khi

P Î C sẽ được kí hiệu bằng

N h , P ( L) .

Định nghĩa 2.23. Ánh xạ:

Dd . P : H 0 ( L ) ® J Pd L

u a Ddu ( P )

là một không gian vec tơ đơn cấu.
Nếu V Ỵ G (r + 1, H 0 ( L))
khi ú:

u ẻ V ầ Dd-,1p N h , P ( L) nếu và chỉ nếu D hu ( P) = 0 , nếu và

chỉ nếu u triệt tiêu tại P với bội số ít nhất h.
2.6. HỆ TUYẾN TÍNH TRONG
WRONSKI TRUNG GIAN
Định nghĩa 2.24. Một

g dr


trong

P1
P1

VÀ ĐỊNH THỨC
là một điểm của

G ( r + 1, H 0 ( Ld )) . Nếu V là bất kì và v := (u0 ,u1 ,...,ur ) là cơ sở
của nó, các ánh xạ:

jV := (u0 ,u1 ,...,ur ) : P1... ® P r
(2.33)
là một cấu xạ nếu V khơng có điểm cơ sở.
Định nghĩa 2.25. Cho l là một phân hoạch với chiều dài lớn nhất r
+ 1.
Khi đó:

Wl ( P) =: Wl ( F·, P ) Í G (r + 1, H 0 ( Ld )),
là một Schubert của số đổi chiều l trong G ( r + 1, H ( Ld )) .
0


15
2.6.1. Nghịch ảnh của ánh xạ Wronski.
Định nghĩa 2.26. Nếu P Ỵ P1 là một điểm cơ sở của V, xảy ra trong
qũy tích V- nhánh, và định thức Wronski với trọng số ít nhất r + 1.
Khi đó tập BP của hệ tuyến tính có P là điểm cơ sở là một tập đóng
của G ( r + 1, H ( Ld )) với (r + 1) số đổi chiều.
2.6.2. Định thức Wronski trung gian

ur
Định nghĩa 2.27. Cho V Ỵ I (l , P ) khơng có điểm cơ sở và
0

WV ( x ) = Ww , z ( x )

như trong (2.39).

Xác định V· bằng tương giao của V và

F·¥ :

V· = {V0 Ì V1 Ì V2 Ì ... Ì Vr = V } , dim V j = j

(2.41)

Trong đó V j là một khơng gian vec tơ với j + 1 chiều, và tất cả các
đa thức trong V j có bậc

£ dj

0 £ d0 < d1 < ... < d r £ d là trình tự của V tại P.
Bổ đề 2.1. Tỷ số Tr -i ( x) := Wi ( x) / Z i ( x) là một hàm có bậc là
i

k

l =0

j =1


(i + 1)(d - i ) - å lr -l ,¥ - å m j (i ).

(2.43)

Đặc biệt, T0 ( x) = 1.
Do đó ta có Wr - j ( x) = T j ( x) Z r - j ( x), 0 £ j £ r . Nghiệm của

T j ( x) được cho là nghiệm bổ sung của định thức Wronski trung
gian (r - j ) - th .
2.6.3. Phép chiếu nằm ngang không suy biến.

ur

Định nghĩa 2.28. Chúng ta gọi V Ỵ I (l , P ) một phép chiếu nằm
ngang không suy biến nếu các hàm
i)

T0 ( x),..., Tr -1 ( x)

Không triệt tiêu tại các điểm rẽ nhánh

Ti ( z j ) ¹ 0 với 0 £ i £ r - 1 và 1 £ j £ k ;

P1 ,..., Pk ,


16
ii) Khơng có nhiều nghiệm:


D(Ti ) ¹ 0 , với 0 £ i £ r

iii) Cho mỗi o £ i £ r - 1, Ti và T i + 1 khơng có nghiệm
chung: R es(Ti , Ti +1 ) ¹ 0.
2.6.4. Biệt thức tương đối và tích chập.
2.7. ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA ÁNH XẠ ĐỐI HỢP SIÊU
ELlIPTIC
Định nghĩa 2.29. Cho C là một đường cong xạ mịn g ³ 1 và cho

M Ỵ Pic 2 (C ) , như vậy h0 (C , M ) = 2 .
Khi đó C là một elliptic nếu g = 1 , và M = OC (2 P ) đối với mỗi
P Ỵ C , hoặc siêu elliptic nếu g ³ 2 và khi đó M có dạng OC (2 P ) ,
Nếu K là bó chính tắc của một đường cong siêu elliptic, khi
đó K = M Ä g -1 .
Mở rộng ánh xạ Wronski:

G t ( r 1,2 ) ® PH 0 (C , M Ä 2 Ä K ) = PH 0 ( C , M Ä g +1 )
Định lý 2.4 (Sự phân tích cố định của tổng trực tiếp)

H 0 (M Äa ) = Syma- g -1H 0 (M ).W(l ) Å Syma H 0 (M ),
(2.46)
Ở đây Sym j H 0 ( M ).W(l ) là sự tạo ảnh của Sym j H 0 ( M ) trong

H 0 (M

Ä g +1+ j

) thông qua phép nhân W(l ) ánh xạ:
H 0 ( M Ä j ) ® H 0 ( M Ä g +1+ j ).


2.8. ĐỊNH THỨC WRONSKI TRONG ODE TUYẾN TÍNH VÀ
WRONSKI-SCHUBERT TÍNH TỐN.
Định nghĩa 2.30. Xét trong trường Q. Nếu t và T là hai vô định trên
A, ta biểu thị bằng A [T ] và A éë[t ]ùû tương ứng A- đại số của đa
thức và chuổi lũy thừa.
Nếu
f = å n³0 ant n Ỵ A éë[t ]ùû , a0 là hằng số khơng đổi, kí hiệu
bằng f (0) .
Nếu P (T ) Î A [T ] là một đa thức bậc r + 1, với 0 £ i £ r + 1 .


17
Kí hiệu: ( -1) i ei ( P ) là hệ số của

T r +1 - i . Cho ví dụ nếu P là đa

thức lồi e0 ( P ) = 1 và viết :
P(T ) = T r +1 - e1 ( P)T r + ... + (-1)r +1 er +1 ( P).

Mỗi Y Ỵ HomQ ( A, B ) cảm sinh ra hai đồng cấu A- đại số,

A [T ] ® B [T ] và A éë[t ]ùû ® B éë[t ]ùû
Xác định bởi ei (y ( P )) = y (ei ( P )) và

å

a t n a å n³0y (an )t n .

n³0 n


Định nghĩa 2.31. Cho E r := Q [ e1 , e2 ,..., er +1 ] là đa thức Q- đại số

trong tập hợp của vô định

( e1 , e 2 , ..., e r +1 ) .

Ta nói :

U r +1 (T ) = T r +1 - e1T r + ... + ( - 1) r +1 e r +1 , là đa thức lồi
phổ dụng của r + 1 bậc.
Như vậy ei (U r +1 (T )) = ei , với 0 £ i £ r + 1 .

Nếu a = ( a0 , a1 ,...) là chuỗi bất kì trong Er - mô đun A, cho

U 0 (a) = a0 và với mỗi 1 £ i £ r :

U i ( a ) = a i - e1 a i -1 + ... + ( - 1) i ei a 0 .
Cho h := ( h0 , h1 , h2 ,..., hr , hr +1 ,...) là dãy trong E, được xác định
bằng đẳng thức:

1
= 1 + å (e1t - e2t + ... + (-1)r er +1t r +1 )n .
r +1 r +1
1
e
t
+
...
+
(

1)
t
n ³0
n³1
1
Định nghĩa 2.31
Cho x := ( x 0 , x1 , ..., x r ) và f : = ( f n ) n ³ 0 là hai tập
bất định trong Q. Cho đa thức đại số trong Q dưới dang:

åh t
n

n

=

E r [ x , f ] := E r [ x 0 , x1 , ..., x r , f 0 , f1 , ...]

và đại số tương ứng Er [ x , f ] éë[ t ]ùû của chuổi lũy thừa.
Định lý 2.5. Cho

å

n³0

pn .t n Ỵ En [ x, f ] éë[t ]ùû xác định bởi


18


å

n³0

pnt n =

U 0 ( x ) + U 1 ( x ) t + ... + U r ( x ) t r +

å

1 - e1 t + ... + ( - 1) r + 1 e r + 1 t

(2.48) Khi đó g :=

å pn
n ³0

n ³ r +1
r +1

f n - r -1t n

tn
là nghiệm duy nhất cho bài toán
n!

Cauchy (2.47).
Định lý 2.6. Cho A là bất kì trong Q,
f = å n ³ 0fn t n / n ! Ỵ A ëé[t ]ûù . Cho mỗi


P Î A [T ] và

(b0 , b1 ,..., br ) Î Ar +1 , xác

định đồng cấu duy nhất x1 a a i , ei a ei ( P ) và f i a f i ,
khi đó ánh xạ g là nghiệm duy nhất của bài tốn Cauchy :

ì P (D ) y = f
í i
ỵ D y (0 ) = ai
Hệ quả 2.1. Cho mỗi 0 £ i £ r , và Y i : E r [ x , f ] ® E r các E
đại

số

đồng

cấu

duy

x a (0,...,
{0,1, h1 ,..., hr -1 )
i

nhất

trên

phép


đồng

r

-

nhất

và f a (0,..., 0).

Cho ui := Y i ( g ) Ỵ Er éë[t ]ùû , ở đây g là nghiệm duy nhất của
bài tốn Cauchy (2.47).
Khi đó u r = ( u 0 , u1 ,..., u r )

là

một

Er - cơ

sở

của

k er U r + 1 (U ).

Hệ quả 2.2. Cho A là Q- đại số nào đó và P Ỵ A [T ] . Cho

y : E r ® A là cấu xạ duy nhất ei a ei ( P). Khi đó

(y ( u 0 ),y ( u1 ), ...,y ( u r )) là một A- cơ sở của ker P( D).
Hệ quả 2.2 có thể được viết:

ker P(D) @ kerUr+1(D) ÄEr A.


19

ỉnư
èmø

Bổ đề 2.2. Nếu n Ỵ Z và m Ỵ P cú trng s n, bng ỗ ữ ta cú hệ
0

số trung bình của

( x 0 + x1 + ... + x r )

n

1

x0m x1m ...xrm

r

trong khai trin ca

.


ổnử
ốmứ
ổnử
n!
.
ỗ ữ=
ố m ø m 0 ! m 1 !...m r !

Nếu n < 0 ta vit ỗ ữ = 0 v nếu n ³ 0 quy ước 0! = 1 ,
Khi đó:

Định lý 2.7. Cho l Ỵ P , cố định ng thc:

ổnử
tn
Wr (ur ) = ồồ ỗ ữVl +m (h) ,
n!
n³0 m =n è m ø

biểu thức của bộ ba hằng số là: Wl (ur )(0) =Vl (h) .
Mệnh đề 2.6. Công thức Giambellis cho định thức Wronski cố định

Wl (ur ) = Dl (h).W0 (ur ).
Hệ quả 2.3. Công thức Pieris cho định thức Wronski suy rộng:

hi Wl (ur ) = åm Wm (ur )

ở đây tổng hợp trên tất cả các phân vùng m = ( m0 , m1 ,..., mr ) như
vậy m = i + l


m 0 ³ l0 ³ m1 ³ l1 ³ ... ³ m r ³ lr .
Hệ quả 2.4. Bây giờ chúng ta cho r r , d : G ® X là một bó
Grassmann, ở đây G := G (r + 1, F ) và F là bó vec tơ r + 1 hàng.
A* ( G ) là được tạo ra A* ( X ) - mô đun bằng
và

D l (ct (s r - r r*, d F )) Ç [G ] .

*
Theo Trình tự (2.21) kéo theo ct ( S r ) ct (s r ) = ct ( r r , d F ) , tương

đương với
1 = ct (Sr )

ct (s r )
= ct (s r - rr*,d F )ct (Sr )
ct (rr*,d F )


20
Tập hợp

ei = (-1)i ci (Sr ) và chú ý phương trình vi phân
Dr+1y -e1.Dr y +... +(-1)r+1er+1.y = 0

(2.51)
Bằng cách tìm nghiệm trong A* (G ) Ä Q éë[t ]ùû . Chúng ta biết rằng
hệ quả 2.2 là cấu xạ duy nhất:

y : Er ® A* (G ) Ä Q

ei a e i

CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD 7.0 CHO ĐỊNH THỨC
WRONSKI
3.1. SƠ LƯỢC VỀ MATHCAD 7.0
3.1.1. Giới thiệu
3.1.2. Điều kiện cần cho Mathcad 7.0
3.1.3. Khởi động Mathcad
3.1.4. Thoát khỏi Mathcad
3.1.4. Màn hình Mathcad
3.1.5. Thanh Menu
3.2. ỨNG DỤNG MATHCAD CHO ĐỊNH THỨC WRONSKI
Ví dụ 1: Tính định thức sau

x x2
= 1.x 2
1)
1 2x
x

x2

x3

0

2

6x


2) 1 2 x 3 x 2 = 2 x3
x x 2 x3
x4
2
3) 1 2 x 3x 4 x3
= 3x4
0 2 6 x 12 x 2
0

0

6

24 x


21
x x 2 x3
x4
x5
2
3
4
4) 1 2 x 3x 4 x 5 x
5
2
0 2 6 x 12 x 20 x3 = 4 x
0 0
6

24 x 60 x 2
0 0
0
24 120 x

……………………………….
x x 2 ... x n
n-1) 1 2 x ... nx n -1
= (n - 1) x n
... ... ... ...
0 0 ... n ! x

Chứng minh:
Xét phương trình: y(n) + pn-1 ( x) y(n-1) + .... p1 ( x) y '+ p0 ( x) y = 0
Trên một đoạn I với các hàm liên tục Pj ( x) . Sự tổng quát hóa của
đồng nhất Abel chỉ ra định thức Wronski
nghiệm

y1 , y2 ,..., yn

W( y1 , y2 ,..., yn ) của các

của phương trình trên là:
x

W( y1 , y2 ,..., yn )( x) = W( y1 , y2 ,..., yn )( x0 )e
Với

ị


- Pn-1 ( t ) dt
x0

x0 Ỵ I .
Áp dụng công thức định thức Wronski với

y1 = x, y2 = x 2 ,..., yn = x n và Pn -1 ( x) = -

n
, chọn
x

x0 = 1

và thế vào định thức ở trên ta được, do đó sử dụng cơng thức ở trên
thì
x

x2

1

2 x ... nx n -1

...

...

...


...

0

0

...

n! x

...

xn
= W ( y1 , y2 ,..., yn )( x) = (n - 1) x n


22
Ví dụ 2: Tính định thức
1)

el1x

l1e

el2 x

l1 x

l2 e


= (l2 - l1 )e( l1 + l2 ) x

l2 x

e
el2 x
el3x
2) l1el1x l2el2 x l3 xl3x = (l3 - l2 )(l3 - l1 )(l2 - l1 )e(l1 +l2 +l3 ) x
l12el1x1 l22el2 x l32el3x
l1x

el1 x

3) l1e

el3 x

el2 x

l1 x

l3 x

l2 x

l2 e
l22 el2 x
l23el2 x

2 l1 x

1
3 l1 x
1

l e
le

l3e
l32 el3 x
l33el3 x

el4 x

l4 el4 x
l42 el4 x
l43el4 x

= (l4 - l3 )(l4 - l2 )(l4 - l1 )(l3 - l2 )(l3 - l1 )(l2 - l1 )e( l1 + l2 + l3 + l4 ) x

el1x

n-1) l1e

el2 x

eln x

...

n


n
å li x
l2 e
... ln eln x
= Õ (li - l j )e i=1 (i > j )
...
...
...
i , j =1
n -1 l2 x
n -1 ln x
l2 e
... ln e

l1 x

l2 x

...
n -1 l1 x
1

l e

Chứng minh:
Ta có:
el1 x
l1 x


l1e
...
n -1 l1 x
l1 e

el2 x
l2 x

l2 e
...
n -1 l2 x
l2 e

...

eln x

n

å
ln e
= e i=1
...
...
n -1 ln x
... ln e
...

ln x


1
li x

1

...

1

l1
l2 ... ln
...
... ... ...
n -1
l1
l2n -1 ... lnn -1

Lấy dòng thứ n – 1 nhân với -l1 rồi cộng với dịng thứ n, sau đó lấy
dịng n – 2 nhân với -l1 rồi cộng vào dòng thứ n – 1 , tiếp tục như
vây ta có:


23
1
1
l1
l2
Dn =
...
...

l1n -1 l2n-1
1
l2 - l1
=
...
l2n-2 (l2 - l1 )

... 1
1
1
... ln
0
l2 - l1
=
... ...
...
...
... lnn-1 0 l2n-2 (l2 - l1 )

...
1
...
ln - l1
...
...
... lnn-2 (l2 - l1 )

...
1
1

...
ln - l1
l2
= (l2 - l1 )...(ln - l1 )
...
...
...
... lnn-2 (ln - l1 )
l2n -2

Theo giả thiết quy nạp thì:
1
1
l2
l3
...
...
n -2
l2
l3n -2
Nên:

Dn =

...
...

1

n

ln
= Õ (li - l j )
... ...
i , j = 2;i > j
... lnn -2

n

Õ

1
l3
...
l3n -2

i , j = 2;i > j

(li - l j ) .

... 1
... ln
... ...
... lnn-2