ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

Đề tài:

– WEIERSTRASS

Giáo viên hướng dẫn : TS. ê Ho ng Tr
Sinh viên thực hiện : Ph n Ngu n nh ho
ớp
: 11ST
Đ Nẵng, tháng 05 năm 2014


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

h
c

lu n n

ư c ho n th nh dưới sự hướng dẫn nhiệt t nh, chu áo

TS ê Ho ng Tr T i in ph p ư c g i
i t n s u s c v sự t n t m c

trong thời gi n l m kh

th

i với

n th

n th n t i kh ng nh ng

lu n m c n trong su t quá tr nh h c t p

T i c ng in ph p g i lời cám n ch n th nh
d

sự k nh tr ng v l ng

n qu th

c

lớp toán 11ST trường ĐHSP Đ Nẵng c ng như to n th qu th

kho toán trường ĐHSP Đ Nẵng, nh ng người
t m,

ng viên, nhiệt t nh gi p

trong thời gi n thực hiện

c


cho t i ki n th c, qu n

t i trong su t quá tr nh h c t p c ng như

t i

Cu i c ng, t i in ph p ư c g i lời cám n
qu n t m,

gi ng

ng viên, gi p

n nh ng người th n,

n

t i trong su t qu ng ường h c t p v

qua

Đ Nẵng, tháng 4 năm 2015
Ph n Ngu n nh ho

2


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO


ời cám n ............................................................................................ 1
M c l c ................................................................................................. 2
M t s k hiệu s d ng trong lu n văn ................................................ 4
Ph n m

u.......................................................................................... 5

Ph n n i dung ....................................................................................... 6
Chư ng I: M t s ki n th c chu n
1

t

................................................ 6

ng th c ernouli ............................................................... 6

2 Đ nh l Weierstr ss v

p

..................................................... 6

3. Không gian metric ...................................................................... 6
4. Không gian topo.......................................................................... 7
5

n c n ........................................................................................ 8


6 T p m ........................................................................................ 8
7 T p

ng ..................................................................................... 8

8 T nh liên t c ................................................................................ 9
9. Không gian topo con ................................................................... 10
10 Tiên
11

tách ............................................................................... 10

h ng gi n metric

......................................................... 12

12. Không gian compact ................................................................. 12
13 Đ t p kh vi ............................................................................. 13
14

nh

t p ............................................................................ 15

Chư ng II: Đ nh l Stone – Weierstrass ............................................ 16
Chư ng III:

ng d ng c

nh l Stone – Weierstrass ................... 25


i toán 1 ........................................................................................ 25

3


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

i toán 2 ........................................................................................ 26
i toán 3 ........................................................................................ 27
Ph n k t lu n ......................................................................................... 29
T i liệu th m kh o ................................................................................ 30

4


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

N*

: t p các s tự nhiên lớn h n 0
: iên c

: ph n trong c

0


M
̅

t pM

:

o

ng c

t pM
t pM

C(M) = {f : M  R  f liên t c}
CP(M) = {f : M  R f c

o h m c p p liên t c, p  N*}.

Cn(M) = {f : M  Rn  f liên t c}
= {f : M  Rn f c

o h m c p p liên t c, p  N*}.

5


GVH : TS
HOÀNG TR

SVTH : PH N NGUY N NH HO

Trong gi i t ch,
liên t c

p

nh l

p

trên m t kho ng

i s với

ch nh ác t

Weierstr ss phát i u r ng: M i h m
ng [ ; ] c th
iv

p

ng h m

th c

th c l m t trong nh ng h m

n


gi n nh t v má t nh c th ki m tr các k t qu t nh toán cho các h m
th c Ngu n g c c
năm 1885

k t qu n

ư c phát minh

ng cách s d ng các i n

M rsh ll H Stone
ch ng minh 1948

rl Weierstr ss v o

i Weierstr ss

t ng quát h
t qu c

i

nh l

ng

1937 v

ư cg il


n gi n cách

nh l Stone –

Weierstr ss Đ nh l Stone – Weierstr ss l m t k t qu qu n tr ng trong
việc nghiên c u các
Ngo i r ,

is c

các h m liên t c trong kh ng gi n H usdorff

nh l Stone – Weierstr ss g p m t ph n kh ng nh trong các

ng nh khác như: c i ti n thu t toán c

m ng n ron trong nh n d ng hệ

th ng phi tu n, phư ng pháp i u khi n

n v ng, phư ng pháp

l

t

nh trong nhu c u ph t i iện
Đ i với


n th n t i l m t sinh viên năm cu i, t i ch n

Đ nh l Stone – Weierstr ss v

t i lu n văn

ng d ng nh m t m hi u s u h n v

nh

l c ng như các ng d ng v c ng qu n tr ng trong gi i t ch h m
N i dung lu n văn s

ư c chi r l m 3 chư ng

Chư ng m t nh c l i m t s ki n th c m

u

c gi c th theo

d i d d ng h n trong ph n s u
Chư ng h i tr nh
Chư ng

ch ng minh

ư r m ts

ng d ng


nh l Stone – Weierstrass.
nh l Stone – Weierstr ss trong

gi i t ch h m

6


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

hi

Cho

,

Với

,t c :

u =

r n u v ch n u

Với

=0


,t c :

u =

r n u v ch n u

=0

2
N u
c th

p

l m t t p con comp ct c
u

i các

Rn, th m i h m liên t c trên X

th c

3. Không gian metric
Cho X l m t t p M t metric trên X l m t h m d: X X

R th

m n các t nh ch t:



Với m i , thu c X,



Với m i , thu c X,

7


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO



Với m i , , thu c X,

Không gian metric X = (X,d l m t t p X c ng với m t metric d trên
n
Cho X l m t kh ng gi n metric
Với m i thu c X v s
–l nc nc
k nh

i m

{


, t g i B(a,

}l

th ng thường người t g i l qu c u m t m

án

.
T p con M g i l m n u với m i thu c M, t n t i

sao cho

M

4. Không gian topo
Cho X l m t t p M t h
n u th

các t p con c

X g i l m t topo trên X

m n các i u kiện:


Xv




H pt



Gi o c

thu c
các t p thu c l thu c
h u h n các t p thu c l thu c

M t t p X c ng m t topo trên X g i l m t kh ng gi n topo (X,
Các ph n t c
Cho (X,
c

.

kh ng gi n topo g i l các i m

l m t kh ng gi n topo T p G thu c

ư cg il t pm

X
T p con

c

Xg il t p


ng n u X \

l t pm

Với m i kh ng gi n metric X,d , h các t p m theo metric d l m t
topo trên X Topo n

g i l topo sinh

i metric d

lu n ư c coi l kh ng gi n topo với topo sinh

h ng gi n metric X

i metric.

8


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

5
Cho X l m t kh ng gi n topo T p con U c

 .

i m thu c X n u t n t i t p m G s o cho



Cho t p
c nUc

Đi m thu c X g i l


s o cho

g i l ph n trong c

Xg il m tl nc nc

i m trong c

T p t t c các i m trong c

Mn ut nt il n
o

M k hiệu l M v

M

6
o

T p M m n u v ch n u M  M .


7
Cho X l m t kh ng gi n topo T p con

c

Xg il

ng n u X \

l t pm
Với m i t p con M c

o

ng c

o

M l t p M  X \ (X \ M)

r ng M  {x  X : U  M   với m i l n c n U c

th

T pM

}

ng n u v ch n u M  M .


T g i iên c
m il nc nUc

{

Ml t p

với

}

Cho các t p con M, N c
̅̅̅

X, t g i

X T p M g i l tr m t trong t p N n u

.
Không gian topo X g i l kh l n u trong X c m t t p con

tr m t, t c l t n t i

= d1, d2,

, dn, }  X với ̅

m ư c

.


9


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

Cho X l kh ng gi n metric v t p con M c
i m thu c X
n}

X T g i kho ng cách t

d(x, y) .
n M l s d(x,M) = inf
yM

trong X g i l h i t

n thu c X n u d ,

n)  0

hiệu

l
lim xn = x.
Trong kh ng gi n metric, t c
̅


{

}

{ }

{

}.

8
Cho X v Y l h i kh ng gi n topo v ánh
liên t c t i thu c X n u m i l n c n V c

f

nh

fg il

trong Y t n t i l n c n U

trong X s o cho f(U)  V.

c

nh

f g i l liên t c n u n liên t c với m i thu c X


nh

fg il

ng ph i n u f song ánh,c h i ánh

f v f–1

u liên

t c
Cho X, Y, Z l các kh ng gi n topo v các ánh
hi

f liên t c t i , g liên t c t i f

liên t c th

th

liên t c t i

T

n ufv g

liên t c
1: Cho X,Y l các kh ng gi n topo v ánh


hi

các i u kiện s u tư ng ư ng:
a)

f liên t c

b)

f(A)  f(A) với m i A  X .

c)

f -1

d)

f -1

ng với m i t p

ng A  Y .

m với m i t p m A  Y .

10


GVH : TS
HOÀNG TR

SVTH : PH N NGUY N NH HO

Cho X l kh ng gi n topo, Y = Y,d l kh ng gi n metric v ánh
f :XY

c

hi

f liên t c t i thu c X n u m i

s o cho d f

,f

< với m i

2: Cho X,d v
ánh

f :XY

thu c U.

l các kh ng gi n metric, thu c X v

các i u kiện s u tư ng ư ng:

a)


f liên t c t i .

b)

ε  0, δ  0 : x  X, d(x, a)  δ  ρ(f(x), f(a))  ε

c)

{x n }  X : x n  a  f(x n )  f(a)

Cho X,d v
nh

hi

Y,

,t nt il nc nU

Y,

f g i l liên t c

l các kh ng gi n metric v ánh

f :XY

u n u:

ε  0, δ  0 : x, y  X, d(x, y)  δ  ρ(f(x), f(y))  ε .

M i ánh

liên t c

u l liên t c

9. Không gian topo con
Cho (X,

l kh ng gi n topo v



hi

topo trên Y ác

nh

i

~

τ  {G  Y : G  τ} g i l topo c m sinh trên Y

h ng gi n topo Y,

~

 ) g i l kh ng gi n topo con c


X

N u X,d l kh ng gi n metric v



th d ,

với , thu c Y

c ng l m t metric trên Y, g i l metric c m sinh Topo sinh

i metric n

c ng ch nh l topo c m sinh

11


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

10
Không gian topo X g i l T0 – kh ng gi n n u h i i m , khác nh u
t k thu c X

uc m tl nc nc


kh ng ch

ho c m t l n c n c

kh ng ch
h ng gi n topo X g i l T1 – kh ng gi n n u h i i m , khác nh u
tk c

X

uc m tl nc nc

kh ng ch

v m tl nc nc

kh ng ch
h ng gi n topo X g i l T2 – kh ng gi n h
n u h i i m , khác nh u
Vc

tk c

kh ng gi n H usdorff

X, t n t i l n c n U c

v l nc n

s o cho U  V   .

h ng gi n topo X g i l T3 – kh ng gi n h

n u X l T1 – kh ng gi n v với m i
kh ng ch

kh ng gi n ch nh qu

thu c X, m i t p con

ng

c

X



, t n t i các t p con m U v V s o cho
.

h ng gi n topo X g i l T3 1 - kh ng gi n h

kh ng gi n ho n to n

2

ch nh qu
c
v f


n u X l T1 – kh ng gi n v m i thu c X, m i t p con

X kh ng ch
= 1 với m i

ng

, t n t i m t h m liên t c f : X  [0,1] s o cho f

=0

thu c

h ng gi n ho n to n ch nh qu c n g i l kh ng gi n Tikhonov
h ng gi n topo X g i l T4 – kh ng gi n h
n u X l T1 – không gi n v h i t p con

ng ,

kh ng gi n chu n t c
t k kh ng gi o nh u

trong X, t n t i các t p m U v V s o cho A  U, B  V,

.

Tj  Ti n u j > i

12



GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

: Cho X l m t kh ng gi n chu n t c,
con
f

ng rời nh u c
= 0 với m i

X

l h it p

, t n t i h m liên t c f : X  [0,1] s o cho

hi

v f

v

= 1 với m i

.

– Urysohn: Cho X l m t kh ng gi n chu n t c,
t p con


ng c

X

m i h m liên t c f : A  [a, b]

hi

l m t

ut nt im t

h m liên t c F : X  [a, b] sao cho F|A = f.

11
Cho X l m t kh ng gi n metric M t d

n}

trong X g i l d

C uch n u ε  0, n o : n, m  n o  d(x n , x m )  ε
Các d

h it l d

C uch

h ng gi n metric X g i l


n um id

C uch trong X

u

h it
T p con A  X g i l t p
M i t p con
ng c

c

n un

với metric c m sinh

m t kh ng gi n metric l t p

m t kh ng gi n metric

ng, m i t p con

l t p

12. Không gian compact
Cho X l m t kh ng gi n topo M t h {Gα }αI các t p m c
l m t ph m c


Xn u

G

α

Xg i

 X.

αI

h ng gi n X g i l comp ct n u m i ph m {Gα }αI t n t i t p con
h u h n J  Isao cho {Gα }αJ c ng l m t ph m c
T p con
T p con

c

c

X g i l comp ct n u n comp ct

X comp ct tư ng

X
i với topo c m sinh

i n u A compact.


13


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

h ng gi n X g i l comp ct
m t l n c n comp ct v

phư ng n u m i

thu c X

uc

ng

N u kh ng gi n X comp ct th m i t p con

ng c

X

ul t p

compact.
N u kh ng gi n X tách th m i t p con comp ct c
Cho X, Y l các kh ng gi n topo v ánh


X

ul t p

liên t c

. Khi

con X comp ct th t p f(A)  Y comp ct N u

n ut p

liên t c v X comp ct th

l ph p

ng

n ánh

ng ph i

: h ng gi n topo t ch ∏

l comp ct n u m i

không gian Xi compact.
Cho X l m t kh ng gi n metric T p con

cho


⋃

ch n

1,

ch n n u m i

, t n t i các i m

N ut p

x2,

,

n

ho n to n

ch n l

1,

x2 ,

,

ch n th m i


⋃

thu c

Các t p ho n to n

ch n n u

n

g il

thu c X s o
c th

.
ch n

h ng gi n metric X g i l ho n to n
t p ho n to n

Xg il

i m thu c X s o cho A  B(a,r) T p

t n t i s thực r > 0 v
ho n to n

c


ch n n u

n th n X l m t

ch n

M t kh ng gi n metric ho n to n

ch n l kh li

: Cho X l m t kh ng gi n metric

hi

các i u kiện s u

tư ng ư ng:
a)

X compact.

b)

M id

c)

X


trong

uc m td

v ho n to n

con h i t

ch n

14


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

T p con
d

con l d

c

X ho n to n

ch n n u m i d

C uch T p con


uc m td

trong

comp ct tư ng

uc m t

in um id

trong

con h i t trong X

Cho X l m t kh ng gi n metric, Y l m t kh ng gi n metric
m i ánh

liên t c

l ánh

liên t c

hi

u

13
M l m t kh ng gi n topo H usdorff, n l m t s ngu ên kh ng m
M t tl s A lớp Ck, k > 0 n chi u trên M l m t h nh ng U, , U l t p

m trong M, l

ng ph i t U lên m t t p m

U trong Rn,

x : U  x(U)

p  (x1 (p),x 2 (p),...,x n (p))

ác

U,

g il m t

nh c

n

phư ng thu c tl s A c

n
phư ng

M i i m c

M, U g i l mi n

, s o cho:


M thu c mi n ác

nh c

m t

n

thu c A.

phư ng n o

 N u U, , U ,

l h i

~

U  U  U'   th ánh

phư ng thu c tl s A m

n
~

it

U ) lên


~

U ) ác

nh

i

~

x(p)  x' (p) với m i p thu c U ) , m t k hiệu l
~

1

~

x' x : x( U)  x' ( U) l vi ph i lớp Ck gi
~

các t p m

~

U ),

n

U ) trong R .


15


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

Atlas A g i l t i

i n u m i tl s B c

M c ng lớp Ck m B

A

th B = A.
t p kh vi lớp Ck) n chi u trên M l m t tl s lớp Ck

M t c u tr c
n chi u t i
t i

i trên M ác

i trên M

th

t p kh vi lớp Ck n chi u


nh m t c u tr c

m t tl s lớp Ck n chi u trên M ác

nh m t c u

t p kh vi lớp Ck n chi u trên M v h i tl s B , A như th trên M

tr c
ác

t p kh vi lớp Ck n chi u trên M khi v ch

nh c ng m t c u tr c

~

A ,

khi : n u U,

U,

1
1
 B m U  U  U'   th x'  x v x  x'

kh vi lớp Ck.
h ng gi n topo H usdorff M c ng với m t c u tr c
Ck n chi u trên M g i l m t

t t

t p

t p kh vi lớp

t p kh vi lớp Ck n chi u Thường k hiệu

l M khi c u tr c

t p kh vi

r ng

14
Mv Nl

t p kh vi lớp Ck

lớp Ck n u f liên t c v với m i

nh

n

f : M  N g i l ánh

phư ng U,

c


M, V,

kh vi
c

N

m W  U  f 1 (V)   th ánh
y  f  x 1 : x(W)  y(V)

x(p)  y(f(p))
ánh

kh vi lớp Ck t t p m

trong Rn, m v n theo th tự l s chi u c
th c t

phư ng c

W trong Rm v o t p m

V

1
M v N Các y  f  x các i u

f


16


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

– WEIERSTRASS
Cho T l m t kh ng gi n topo comp ct v
C(T) = {f : T  R f liên t c }
Cho A  C T th :
(i) x, y  A, ,   R x + y  A
(ii) x, y  A  x . y  A
(iii) 1A
(iv) t1 ; t2  T, t1  t2  x  A: x(t1)  x(t2)
N i cách khác,

l m t

i s con c

C T m ch

h m h ng v tách

các i m trên T
S

- Weierstrass:


Nếu A à mộ

ạ ốc

của C( ) mà c ứa àm ằ g à ác

ểm ê

T, f  C(T) và  > 0 thì g  A sao cho:
Sup f (t)  g(t)  
tT

Ch ng minh:

hiệu ‖ ‖

Bổ đề 1: Cho t0 
của 0, V 

à

à có các í

à mộ

{

}
c


của 0. K

ó, có 1

c

V

c ấ au:  > 0, x  A:

(1)

0  x(t)  1, t  T

(2)

x(t) < , t  V

(3)

x(t) > 1 - , t  T \ U

Ch ng minh:
t  T \ U  t  t0  gt  A : gt(t) gt(t0)
Đ t ht(t) = gt(t) - gt(t0)

17


GVH : TS

HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

 ht  A và ht(t)  0
Đ t pt =

1 2
.h t
h 2t

Đ t U t = s  T  pt(s) > 0}
Vì pt(t) > 0  t  U(t)
Ngoài ra:
s0  U(t)  pt(s0) > 0
 0 < pt(s0) < 2
1

Đ t W = p t (0, 2)  W l t p m v pt liên t c
x  W  pt(x)  (0, 2)  pt(x) > 0
 x  U(t)

o



,U t l m tl nc nc

T \ U 

Ta có: 



T \ U

t

U(t)
tT\U

là compact (vì T \ U

 {U(t)}t  T\U l m t ph m c

t p comp ct T \ U
m

 T n t i t1, t2, ..., t,}  T \ U :

k 1

Đ tp=

ng

U(t K )

T\U

∑


{
Ngo i r : p liên t c trên T \ U nên
  (0, 1): p(s)  , s  T \ U

18


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

Đ t V = t  T  p(t) <
Vì P(t0) = 0 <


}
2


nên t0  V
2

M t khác, x  W,s0  V
 p(s0) <


2

 -1 < p(s0) <



2

Đ t W1 = p-1(-1;


)  W1 m
2

x  W1  p(x)  (-1;



)  p(x) <  x  V
2
2

 W1  V
o

Vl m tl nc nc

t0 )

T s ch ng minh
VUT\V

T\U

Th t v ,

x  T \ U  p(x) 


xT\V
2

1
Đ t k =   + 1  k - 1 =


1 
  

k  1
1

k

k-1
 1 < k   + 1 < 2 (vì  < 1)


k    1
t  T, xét dãy hàm {

}

ư c cho

i c ng th c


qn(t) = [1 - pn(t)]k

19


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

q n  A

  0  qn  1
 q (t )  1
 n 0

t  V, áp d ng

t

ng th c ernouli:

 k 
qn(t)  1   kp(t)  1   
 2 

n

n


(1)

Cho n  , 1 tr th nh limq n (t)  1
n 
  0, N1  N*, n  N*, n  N1, qn(t)  1
T l i c : t  T \ U  p(t)  
N u p t = 1 th qn(t) = 0, n  N*
N u p t < 1 th
lnqn(t) = knln(1 - pn(t))  kn[-pn(t)]
 lnqn(t)  -[k(p(t)]n  -(k)n
 (k )
 qn(t)  e
, n  N*
n

(2)

Cho n  , 2 tr th nh limq n (t)  0
T 2 trường h p trên, t c : limq n (t)  0 , t  T \ U
:  > 0 , N2  N*, n  N*, n  N2, qn(t)  0

o

Đ tN=m

N1, N2} + 1

q N (t)  1, t  V
 N  N1


 N  N 2 q N (t)  0, t  T \ U


Đ t

= 1- qN

0  x(t)  1, t  T

  x(t)  0  , t  V
 x(t)  1  1  , t  T \ U


Bổ đề 2: Cho A và B à 2

p ó g ờ

au

g .

20


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

ó,   (0, 1), x  A sao cho:


K

(1) 0  x(t)  1, t  T
(2) x(t) < , t  A
(3) x(t) > 1 - , T  B
Ch ng minh:
Đ tU=T\BUm v U
t  , U l m t l n c n c
Theo

A
t

1, c 1 l n c n V t c

t, V(t) 

th

các t nh ch t,

  (0,1), x  A mà
(1) 0  x(s)  1, s  T
(2) x(s) < , s  V(t)
(3) x(s) > 1 - , s  T \ U
Ta có: A 

V(t)
tA


 {V(t)}tA l m t ph m c
 {t1, t2, ..., tm}  A,

t p comp ct

m
V(t k )k 1 l m t ph m c

m



k 1

V(t k )

k  1, 2,

A

, m}, ng với l n c n V tk c

tk, có 1 hàm xk  A mà


0  x k (s)  1, s  T



 x k (s)  ,s  V(t k )

m



 x k (s)  1  m ,  s  T \ U  B

Đ t

=

1

. x2 . ... . xk

21


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

x  A
0  x  1

m
m



Suy ra:  x(s)      , s  V(t k )

m
k 1
m

m


 x(s)  1    1  , s  B

 m

Tr l i ch ng minh

nh l :

Cho f  C(T) và  > 0. C ứ g m

ằ g:

g  A: f (t)  g(t) < , t  T
Ch ng minh:
'  (0,

1
,
3

t =f t + f 

t


 F  A và F(t) 
 F 

Đ tn=   +2
 ' 
n>

'
3

N*

F
+ 1  (n - 1)'  F
'

k  0, 1, , n},

nh nghĩ t p

Ak = {t  T  F(t)  (k -

k,

Bk như s u:

1
)'}
3


Bk = {t  T  F(t)  (k +
 Ak

'
3

1
)'}
3

ng

Th t v : T \ Ak = {t  T  F(t) > (k Đ tW=

-1

((k -

1
)'}
3

1
)' ; (n - 1)')  W  T \ Ak
3

22



GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

 Ak

ng

 Tư ng tự
 Hi n nhiên

ng

k
k

 Bk =  T s ch ng minh

 = A0  A1  ...  An = T
Th t v :
A0 = {t  T  F(t) 

'
}=


t  Ak  F(t)  (k -

1
1

)'  (k + 1 - )'
3
3

 t  Ak+1  Ak  Ak+1, k  {1, 2, ..., n-1}
An = {t  T  F(t)  (n -

1
)'} = T
3

Th t v , t  T  F(t)  (n - 1)'  (n -

1
)'
3

 t An  An = T


giờ, t ch ng minh :

 = Bn  Bn-1  ...  B2  B1  B0 = T
+ Bn = {t  T  F(t)  (n +
(Vì F(t)  (n - 1)' < (n +
+ Bk

1
)'} = 
3


1
)', n  T)
3

Bk+1, k  {0, 1, ..., n - 1}

+ B0 = {t  T  F(t) 
k  0, 1, , n }, theo

'
}=T
3

2, t c m t h m

k



với

23


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO



0  x k  1

 ' trên A

k
x k 
n

 ' trên B

k
 x k  1  n
n

Đ t G =  ' xk  A
k 0

t0  T  j  {1, 2, ..., n}: t0  Aj \ Aj-1

1

F(t
)

j

0

'


t

A

3
0
j





 
 t 0  A j1
F(t )   j  4   '

0



3



 4
 1
 1
  j    '  F(t 0 )   j    '   j    '
 3
 3

 3
l  j  Al

Aj

 x l (t o ) 

(I)

t0
'
, l  j
n

4
i c : t0  Aj-1  t0  T \ Aj-1 = {t  T  f(t) >  j   '}


Mà Bj-2

3

T \ Aj-1

5
4
Vì t  T \ Aj-1  f(t) >  j   '  f(t) >  j   '


3




3

 t  Bj-2
o

: t0  Bj-2

m  j - 2, Bm

Bj-2  t0

 xm(t0) > 1 -

'
, m  j - 2
n

24


GVH : TS
HOÀNG TR
SVTH : PH N NGUY N NH HO

o

:

j1

n

k 0

k j

G(t0) =  '  x k (t 0 )   '  x k (t 0 )
'
. (n - j + 1)  'j + '2
n

 ' . j + ' .

1
= '( j + ') < '  j  


3

Ngoài ra:
j 2

G(t0)   '  x k (t 0 )
k 0

> '(j - 1)(1 -

 '2

'
) = (j - 1)' - (j - 1)
n
n

> (j - 1)' - '2 > (j - 1)' o
T

1
4
' =  j   '
3
 3

1
4
:  j   ' < G(t0) <  j   '




3

3

(II)

I , II su r :

 1

 4
F(t 0 )  G(t 0 )   j    '  j    '  2 '
 3
 3

Đ tg t =G t + f 


3

 f (t 0 )  g(t 0 )  2 '
N u

2
  > 2'  f (t 0 )  g(t 0 )  2 '
3

N u<

2
1
<
3
3

' =


 f (t 0 )  g(t 0 )  
3


Đ nh l ho n to n ư c ch ng minh.

25