BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HỒI THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH GIỚI HẠN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013


Cơng trình đã được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS. LÊ HỒNG TRÍ
Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25
tháng 05 năm 2013

Có thể tìm luận văn tại:
-

Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

-

Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giới hạn là một nội dung cơ bản, quan trọng, và thú vị của Giải tích tốn
học ở THPT. Có thể nói: “Khơng có giới hạn thì khơng có Giải tích, hầu hết
các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến giới hạn”[2, Tr126] như: đạo hàm,
tích phân,... nên có thể cho rằng khi học về chủ đề Giới hạn là quá trình biến
đổi về chất trong nhận thức của học sinh, ở đây học sinh được xem xét các sự
kiện trong mối liên hệ qua lại của thế giới khách quan rõ ràng nhất. Giới hạn
chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với giải tích: “vơ hạn”,
“liên tục”, “biến thiên”... Do vậy, nắm vững được nội dung khái niệm giới hạn
và các phương pháp xác định giới hạn của hàm số trong chương trình THPT
là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc,
có hiệu quả các kiến thức Giải tích Tốn học phổ thơng.
Nhằm mục đích tìm hiểu và giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc
nhận biết và tiếp cận một số cách giải các bài toán về giới hạn, đồng thời được
sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn – TS. Lê Hải Trung, nên tôi mạnh dạn lựa
chọn đề tài “Ứng dụng của phép tính giới hạn trong chương trình THPT” cho
luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về định nghĩa giới hạn hàm số và một

vài phương pháp xác định giới hạn của hàm số.
• Nghiên cứu về một vài ứng dụng của phép tính giới hạn trong chương trình
THPT.
• Giới thiệu một số bài toán về Giới hạn trong các đề thi tuyển sinh Đại học
– Cao đẳng và trong các đề thi học sinh giởi cấp THPT.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Chương trình tốn Trung học Phổ thơng.
• Các phương pháp xác định giới hạn của hàm số.
• Các bài toán giới hạn trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh Đại
học - Cao đẳng.
4. Phương pháp nghiên cứu


2

• Nghiên cứu lý thuyết trong các tài liệu về giới hạn hàm số
• Nghiên cứu thực tế thơng qua việc giảng dạy, rút kinh nghiệm, kết hợp với
các kiến thức đã đạt được trong q trình thu thập thơng tin để hệ thống
và đưa ra các phương pháp để xác định giới hạn của hàm số.
• Trao đổi, thảo luận với thầy hướng dẫn luận văn.
• Trong q trình thực hiện luận văn, tác giả sử dụng kiến thức thuộc các
lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số, ...
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

• Hệ thống các kiến thức liên quan và được giảng dạy trong chương trình
THPT một cách đầy đủ, cơ đọng và khoa học.
• Ứng dụng của giới hạn để giải các bài tốn liên quan đến đạo hàm, tích
phân, ...
• Tổng hợp một số bài toán Giới hạn hàm số trong các đề thi tuyển sinh Đại

học – Cao đẳng và trong các đề thi học sinh giỏi cấp THPT.
• Đưa ra cách giải hay và đẹp của một số bài tập thuộc lĩnh vực giới hạn.
• Luận văn như là một tài liệu tham khảo dành cho giáo viên khối THPT
trong việc bồi dưỡng chuyên môn và học sinh giỏi trong các kì thi.
6. Cấu trúc của luận văn

• Mở đầu
• Chương 1 - Giới hạn của dãy số, hàm số và sự liên tục của hàm số.
• Chương 2 - Ứng dụng của phép tính giới hạn trong chương trình THPT.
• Kết luận
• Danh mục các tài liệu tham khảo
• Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ (bản sao)


3

CHƯƠNG 1
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA
HÀM SỐ
1.1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1.1.1. Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng dãy số thực {un } có giới hạn hữu hạn l ∈ R khi
n→∞
n dần đến vô cực, và viết lim un = l hoặc un −−−→ l nếu
n→∞

∀ (ε > 0) ∃ (n0 ∈ N) ∀ (n ≥ n0 ) [|un − l| < ε] .
Định lý 1.1. Nếu dãy số thực {un } có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
1.1.2. Dãy bị chặn và dãy đơn điệu
Định nghĩa 1.2. Dãy số thực {un } được gọi là bị chặn nếu

∃ (M > 0) ∀ (n ∈ N) [|un | ≤ M ].
Định lý 1.2. Mọi dãy số thực {un } hội tụ đều bị chặn.
Định nghĩa 1.3. Dãy số thực {un } gọi là dãy tăng nếu
∀ (n ∈ N) [un+1 ≥ un ] ,
và:
• Dãy {un } gọi là tăng ngặt nếu ∀ (n ∈ N) [un < un+1 ] ,

• Dãy {un } gọi là giảm nếu ∀ (n ∈ N) [un+1 ≤ un ] ,
• Dãy {un } gọi là giảm ngặt nếu ∀ (n ∈ N) [un+1 < un ].
Định lý 1.3. (Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thắt, lồng nhau)
Cho {an } , {bn } ⊂ R, [a1 ; b1 ] ⊃ [a2 ; b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an ; bn ] ⊃ . . . và
∞

lim (bn − an ) = 0, khi đó tồn tại duy nhất a ∈ R :

n→∞

[an ; an ] = {a}.
n=1

1.1.3. Dãy con
Định nghĩa 1.4. Giả sử u = {un } là một dãy số thực và

k :N → N
n → k(n) = kn
k

là một dãy số nguyên dương tăng ngặt. Khi đó dãy số v = (u◦k) (n) : N →
−
u

N→
− R, vn = v(n) = u(kn ) = ukn được gọi là một dãy con của dãy số {un }.
Định lý 1.4. Nếu dãy số thực {un } hội tụ và có giới hạn l thì mọi dãy con
{ukn } của nó đều có giới hạn l.


4

1.1.4. Phép tốn và tính chất của các dãy hội tụ
a. Phép toán
Định lý 1.5. Giả sử lim un = u và lim vn = v . Khi đó:
n→∞

n→∞

a. lim (un + vn ) = u + v
n→∞

b. lim (un − vn ) = u − v
n→∞

c. lim (un vn ) = u.v .
n→∞

Đặc biệt, nếu c = const thì lim (c.un ) = c.u.
n→∞

un
u
= .

n→∞ vn
v

d. Nếu v = 0, vn = 0, ∀n ∈ N thì lim
b. Tính chất
Định lý 1.6. Giả sử lim un = l
n→∞

a. Nếu l > a thì ∃ (N ∈ N) ∀ (n ≥ N ) [un > a] (Ta nói rằng un > a với n đủ
lớn).
b. Nếu l < b thì ∃ (N ∈ N) ∀ (n ≥ N ) [un < b] (Ta nói rằng un < b với n đủ
lớn).
Định lý 1.7. Cho lim un = u, lim vn = v. Nếu ∃ (n0 ∈ N)
n→∞

n→∞

∀ (n ≥ n0 ) mà un ≤ vn thì u ≤ v .
Hệ quả 1.1. Cho lim un = u, ∀ (a ∈ R)
n→∞

a. Nếu ∃ (n0 ∈ N) ∀ (n ≥ n0 ) và (un ≤ a) thì [u ≤ a].
b. Nếu ∃ (n0 ∈ N) ∀ (n ≥ n0 ) và (un ≥ a) thì [u ≥ a].
Định lý 1.8. Giả sử ∃ (n0 ∈ N) ∀ (n ≥ n0 ) [un ≤ vn ≤ ωn ]. Nếu tồn tại lim un = l
n→∞

và lim ωn = l thì lim vn = l.
n→∞

n→∞


Định lý 1.9. Nếu lim un = l thì lim |un | = |l|.
n→∞

n→∞

1.1.5. Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa 1.5. Dãy số thực {un } gọi là một dãy Cauchy nếu

∀ (ε > 0) ∃ (n0 ∈ N) ∀ (m, n ≥ n0 ) [|um − un | < ε].
Bổ đề 1.1. Mỗi dãy Cauchy đều bị chặn.
Định lý 1.10. (Bolzano - Weierstrass) Mỗi dãy bị chặn đều có thể rút ra
một dãy con hội tụ.


5

Định lý 1.11. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số thực {un } là hội tụ khi và chỉ
khi nó là một dãy Cauchy.
Định lý 1.12. a. Cho dãy {un } ⊂ R mà ∀ (n ∈ N) [un ≤ un+1 ] và {un } bị
chặn trên thì tồn tại lim un .
n→∞

b. Cho dãy {un } ⊂ R mà ∀ (n ∈ N) [un ≥ un+1 ] , và {un } bị chặn dưới thì tồn
tại lim un .
n→∞

1.1.6. Số e

1

1+
n

Dãy {xn }, trong đó xn =

n

là một dãy hội tụ và kí hiệu giới hạn

của dãy này là e:

lim

n→∞

1
1+
n

n

= e.

Người ta đã chứng minh được rằng e là một số vơ tỉ và tính được

e = 2, 718281828459015 . . .
1.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
a. Giới hạn của hàm số tại một điểm
Cho hàm số f , xác định trên tập số X ⊆ R, lấy giá trị trên R; x0 ∈ X .

Định nghĩa 1.6. Hàm số f (x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → x0 nếu

∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0 : 0 < |x − x0 | < δ) [|f (x) − L| < ε]
x→x

0
kí hiệu là lim f (x) = L hay f (x) −−−→
L.

x→x0

Định lý 1.13. Giới hạn của hàm số f khi x → x0 , nếu có, là duy nhất.
Định lý 1.14. Điều kiện ắt có và đủ để lim f (x) = L là lim f (xn ) = f (x0 )
x→x0

n→∞

đối với mọi dãy {xn } ⊂ X mà lim xn = x0 .
n→∞

b. Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.7. Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f khi x → x0 − 0
(nghĩa là x → x0 nhưng luôn luôn x < x0 ) nếu với mỗi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho
ta có |f (x) − L| < ε nếu 0 < x0 − x < δ, ∀x ∈ X .
Ký hiệu: lim f (x) = L hay lim− f (x) = L.
x→x0 −0

x→x0



6

Định nghĩa 1.8. Ta gọi số L là giới hạn phải của hàm số f khi x → x0 + 0
(nghĩa là x → x0 nhưng luôn luôn x > x0 ) nếu với mỗi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho
ta có |f (x) − L| < ε nếu 0 < x − x0 < δ, ∀x ∈ X .
Ký hiệu: lim f (x) = L hay lim+ f (x) = L.
x→x0 +0

x→x0

Định lý 1.15. Hàm số f (x) có giới hạn L khi x → x0 nếu và chỉ nếu nó có
giới hạn trái tại x0 và giới hạn phải tại x0 và hai giới hạn ấy đều bằng L, nghĩa
là
lim f (x) = L,
x→x0 +0
lim f (x) = L ⇔
lim f (x) = L.
x→x0
x→x0 −0

c. Giới hạn ở vô cùng và giới hạn vô cùng
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một tập hợp số thực, x0 ∈ R là một điểm tụ của
X , f là một hàm số xác định trên X . Ta viết:
a. lim f (x) = +∞ (hoặc f (x) → +∞ khi x → x0 ) nếu
x→x0

∀ (M > 0) ∃ (δ > 0 : 0 < |x − x0 | < δ) [f (x) > M ] .
b. lim f (x) = −∞ (hoặc f (x) → ∞ khi x → x0 ) nếu
x→x0


∀ (M > 0) ∃ (δ > 0 : 0 < |x − x0 | < δ) [f (x) < −M ] .
c. lim f (x) = ∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (δ > 0 : 0 < |x − x0 | < δ) [|f (x)| > M ] .
x→x0

d.
e.

lim f (x) = +∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (δ > 0 : 0 < x − x0 < δ) [f (x) > M ] .

x→x0 +0

lim f (x) = −∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (δ > 0 : 0 < x0 − x < δ) [f (x) < −M ] .

x→x0 −0

Định nghĩa 1.10. Giả sử X là một tập hợp số thực và f là một hàm số xác
định trên X
a. Nếu X khơng bị chặn trên thì ta có

lim f (x) = +∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (N > 0) ∀ (x > N ) [f (x) > M ] .

x→+∞

lim f (x) = −∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (N > 0) ∀ (x > N ) [f (x) < M ] .

x→+∞

b. X khơng bị chặn dưới thì ta có

lim f (x) = −∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (N > 0) ∀ (x > N ) [f (x) < −M ] .


x→−∞

lim f (x) = +∞ nếu ∀ (M > 0) ∃ (N > 0) ∀ (x < −N ) [f (x) > M ] .

x→−∞

Định lý 1.16. Giả sử f : (a; b) → R là một hàm số tăng trên (a; b)


7

a. Nếu f bị chặn trên trong khoảng (a; b) thì lim− f (x) = sup f (x).
x→b

x∈(a;b)

b. Nếu f bị chặn dưới trong khoảng (a; b) thì lim+ f (x) = inf f (x).
x→a

x∈(a;b)

Định nghĩa 1.11. Giả sử X là một tập hợp số thực và f là một hàm số xác
định trên X
a. Nếu X không bị chặn trên và ∀ (ε > 0) ∃ (N > 0) ∀ (x > N ) [|f (x) − L| < ε]
thì ta có lim f (x) = L.
x→+∞

b. Nếu X không bị chặn dưới và ∀ (ε > 0) ∃ (N > 0) ∀ (x < −N ) [|f (x) − L| < ε]
thì ta có lim f (x) = L.

x→−∞

c. Nếu X không bị chặn và ∀ (ε > 0) ∃ (N > 0) ∀ (|x| > N ) [|f (x) − L| < ε] thì
ta có lim f (x) = L.
x→∞

1.2.2. Các tính chất của giới hạn
Bây giờ ta phát biểu một số tính chất đơn giản của giới hạn hàm số.
Định lý 1.17. Cho lim f1 (x) = L1 ;
x→a

lim f2 (x) = L2 . Khi đó:

x→a

(a) lim Cf1 (x) = CL1 , với C là hằng số
x→a

(b) lim (f1 (x) + f2 (x)) = L1 + L2
x→a

(c) lim (f1 (x)f2 (x)) = L1 L2
x→a

f1 (x) L1
= , với điều kiện L2 = 0.
x→a f2 (x)
L2

(d) lim


Định lý 1.18. Giả sử ba hàm số f (x), g(x) và h(x) thỏa bất đẳng thức

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với x ∈ (a, b)
Khi đó, nếu lim f (x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L.
x→x0

x→x0

x→x0

Từ định lý này ta có thể suy ra giới hạn rất quen thuộc thuộc dạng vô
0
định :
0
sin x
lim
=1
(1.1)
x→0 x


8

1.3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.3.1. Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.12. Cho hàm số y = f (x)
a. Hàm số f xác định tại lân cận của x0 được gọi là liên tục tại x0 nếu
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0


b. Hàm số f xác định trên [x0 ; x0 + α) , (α > 0) được gọi là liên tục phải tại x0
nếu lim f (x) = f (x0 ).
x→x0 +0

c. Hàm số f xác định trên (x0 − α; x0 ] , (α > 0) được gọi là liên tục trái tại x0
nếu lim f (x) = f (x0 ).
x→x0 −0

d. Hàm số f xác định trên (a; b) được gọi là liên tục trên (a; b) nếu f liên tục
tại mỗi điểm x0 ∈ (a; b).
e. Hàm số f xác định trên [a; b] được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f liên tục
trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.
Định lý 1.19. Hàm số f liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi f liên tục trái và
liên tục phải tại điểm x0 .
Định nghĩa 1.13. Cho hàm số y = f (x) xác định trong (a; b). Hàm số f được
gọi là một hàm số gián đoạn tại điểm x0 ∈ [a; b] nếu nó khơng liên tục (hay
khơng liên tục một phía tại điểm đó).
1.3.2. Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn
Định lý 1.20. (Weierstrass) Nếu hàm số f : [a; b] → R liên tục trên [a; b]
thì
a. f bị chặn trên [a; b];
b. f đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b].
Định lý 1.21. (Bolzano - Cauchy) Giả sử f là một hàm số liên tục trên
[a; b]. Nếu f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
f (c) = 0.
1.3.3. Liên tục đều
Định nghĩa 1.14. Cho X ⊂ R, hàm số y = f (x) xác định trên X , hàm số
y = f (x) được gọi là liên tục đều trên X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x1 , x2 ∈ X mà
|x1 − x2 | < δ thì |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

Định lý 1.22. (Cantor) Nếu hàm số f liên tục trên [a; b] thì nó liên tục đều
trên [a; b] .


9

1.3.4. Một số giới hạn cơ bản

1
= 0.
x→∞ x
2. lim ex = +∞.
1. lim

x→+∞

3. ∀a > 1, lim ax = +∞; và lim ax = 0.
x→+∞

x→−∞

4. Nếu ∀a > 1, lim ax = 0 thì ∀a > 1, lim a−x = +∞.
x→−∞

5. lim ln x = +∞.
x→+∞

1
6. lim (1 + x) x = e.
x→0



1
7. lim ln (1 + x) x  = 1.
x→0

8. lim

x→0

ln(1 + x)
= 1.
x

ex − 1
9. lim
= 1.
x→0
x

x→−∞


10

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG
TRÌNH THPT
2.1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm

Định nghĩa 2.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈
f (x) − f (x0 )
(a; b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
khi x dần đến x0 được
x − x0
gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x0 . Ký hiệu: y (x0 ) hay f (x0 ), nghĩa là:

f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0

f (x0 ) = lim

2.1.2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
a. Kiến thức cơ bản
Bài tốn 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 bằng định
nghĩa.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tại x0 cho x một số gia ∆x, ta lần lượt có

∆y = f (x + ∆x) − f (x0 ) ;

∆y
∆x

∆y
.
∆x→0 ∆x


Bước 2: Tìm lim

f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0

Cách 2: Ta có f (x0 ) = lim

Ví dụ 2.1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số f (x) =
Ví dụ 2.2.
Ví dụ 2.3.
Ví dụ 2.4. Cho hàm số


√
1
−
1−x


khi x = 0,
x
f (x) =

 1
khi x = 0.
2

1
tại điểm x0 .

x


11

a. CMR f (x) liên tục tại x = 0.
b. Tính đạo hàm (nếu có) của f (x) tại điểm x = 0.
Lời giải.

√

1−x
1
1
√
= lim
= = f (0).
x→0
x→0 1 +
x
1−x 2
Vậy hàm số f (x) liên tục tại x = 0.
√
1− 1−x 1
−
f (x) − f (0)
x
2 = 1.
b. Ta có: f (0) = lim
= lim

x→0
x→0
x−0
x
8
a. Ta có: limx→0 f (x) = lim

1−

Bài toán 2. Cho hàm số

f (x) =

f1 (x) khi x < x0 ,
f2 (x) khi x ≥ x0 .

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm
tại điểm x0 .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 .
Bước 2: (Đạo hàm bên trái) Tính f (x−
0 ) = lim−
x→x0

f (x) − f (x0 )
.
x − x0

Bước 3: (Đạo hàm bên phải) Tính f (x+
0 ) = lim+

x→x0

f (x) − f (x0 )
.
x − x0

+
Bước 4: Đánh giá hoặc giải f (x−
0 ) = f (x0 ), từ đó đưa ra kết luận.

Ví dụ 2.5. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

y = f (x) =

ex
khi x ≥ 0,
2
x + x + 1 khi x < 0,

tại điểm x0 = 0.
Ví dụ 2.6. Cho hàm số

f (x) =

x2
khi x ≤ 1
ax + b khi x > 1

Tìm a, b để f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1.



12

Lời giải.
Để hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết f (x) phải liên tục
tại x = 1, do đó:

lim f (x) = lim+ f (x) = f (1) ⇔ a + b = 1 ⇔ b = 1 − a

x→1−

(2.1)

x→1

• Đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại điểm x = 1
f (1− ) = lim−
x→1

f (x) − f (1)
x2 − 1
= lim−
= 2.
x→1 x − 1
x−1

• Đạo hàm bên phải của hàm số y = f (x) tại điểm x = 1
f (1+ ) = lim+
x→1


f (x) − f (1)
ax + b − 1
= lim+
= a.
x→1
x−1
x−1

Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1

⇔ f (1− ) = f (1+ ) ⇔ a = 2.

(2.2)

Thay ( 2.2) vào ( 2.1), ta được b = −1.
Vậy hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1 khi a = 2, b = −1.
Bài tốn 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng (a, b) bằng
định nghĩa.
√
Ví dụ 2.7. Tính đạo hàm của hàm số y = f (x) = x trong (0, +∞).
Lời giải.
Hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của điểm x > 0.
∆y
1
1
= lim √
Ta có: lim
√ = √ .
∆x→0 ∆x
∆x→0

x + ∆x + x 2 x
√
1
Vậy hàm số y = f (x) = x có f (x) = √ .
2 x
2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.2.1. Sử dụng đạo hàm
Tìm giới hạn L = lim f (x).
x→x0

Phương pháp:
Bước 1: Chọn hàm số g(x) thích hợp và khảo sát tính khả vi của nó.
Bước 2: Biểu diễn hàm f (x) dưới dạng tỉ số giữa số gia của hàm số g(x)
và số gia của đối số tại điểm x = a nào đó khi số gia của đối số dần đến 0.


13

Bước 3: Tính g (a) và đó chính là giới hạn cần tìm.
Ví dụ 2.8. Cho α ∈ R+ . Tính lim F (x)
x→α

ln [ln (ln x)] − ln[ln(ln α)]
, x > e.
x−α
0
Lời giải. Giới hạn cần tìm có dạng .
0
Đặt g(x) = ln[ln(ln x)] ⇒ g(α) = ln[ln(ln α)] và hàm g(x) có đạo hàm
tại x = α. Ta có:

1
1
g (x) = (ln[ln(ln x)]) =
⇒ g (α) =
.
x ln x ln(ln x)
α ln α ln(ln α)
F (x) =

Ta có

g(x) − g(α)
g(α + ∆x) − g(α)
= lim
(∆x = x − α)
x→α
x→α
x−α
∆x
lim

(2.3)

Rõ ràng theo định nghĩa đạo hàm thì (2.3) có thể được viết lại như sau

1
.
x→α
α ln α ln(ln α)
√

√
1 + 2x − 3 1 + 3x
.
Ví dụ 2.9. Tính giới hạn A = lim
x→0
x2
lim F (x) = [g(x)]x=α =

2.2.2. Kỹ thuật gọi số hạng vắng
a. Phương pháp 1: Phương pháp hệ số bất định
f (x)
Phương pháp. Giả sử F (x) =
g(x)
Thuật tốn tìm số hạng vắng áp dụng trong bài tốn tìm giới hạn dạng

0
của hàm chứa căn thức.
0

√
5 − x3 − 3 x 2 + 7
Ví dụ 2.10. Tìm A = lim F (x) với F (x) =
.
x→1
x2 − 1
√
√
3
5 − x3 − C
x2 + 7 − C

Lời giải. Ta có F (x) =
−
.
x2 − 1
x2 − 1
Trong các số C đó ta tìm số C sao cho x2 − 1 cùng có nhân tử chung với
√
√
f1 (x) = 5 − x3 − C và f2 (x) = 3 x2 + 7 − C
Điều đó xảy ra khi 
và chỉ khi C là nghiệm của hệ
√
 C= 6
f1 (±1) = 0
⇒ C = 2.
f2 (±1) = 0 ⇔  C = 2
C=2
√


14

√
A = lim F (x) = lim
x→1
x→1
11
Vậy A = − .
24


5 − x3 − 2
− lim
x→1
x2 − 1

√
3

x2 + 7 − 2
3
1
11
=
−
−
=
−
.
x2 − 1
8 12
24

√
√
2 x+1− 38−x
Ví dụ 2.11. Tìm A = lim F (x) với F (x) =
.
x→0
x
13

Lời giải. Vậy A = .
12
b. Phương pháp 2
√
n
a
1 + ax − 1
= .
Bài toán 2.1. Cho a = 0. Chứng minh rằng: L = lim
x→0
x
n
Phương pháp: Để tìm lim F (x) ta thêm bớt P (x) vào F (x) xuất hiện
x→0
√
n
1 + ax − 1
dạng
. Hạng tử vắng ở đây là P (x) đã xưng danh trong biểu thức
x
giới hạn. Nhân tử chung trong phương pháp này không giản ước. Khi tìm giới
hạn thì lim P (x) là một số xác định.
x→0
√
x2 + 2006 7 1 − 2x − 2006
.
Ví dụ 2.12. Tìm A = lim F (x) với F (x) =
x→0
x
Lời giải. Ta thêm bớt P (x) = x2 + 2006 vào tử thức làm xuất hiện dạng

1 + ax − 1
.
x
√
x
x √
1+x3 1+ 4 1+ − 41−x
2
3
.
Ví dụ 2.13. Tìm lim
√
√
3√
x→0
4
3
4+x− 8−x− 1+x
2

√
n

Lời giải. Gọi tử thức là T, gọi mẫu thức là M ta có:
x4
x √
x
x
3
T = 1+

1 + ( 1 + x − 1) + 4 1 + ( 3 1 + − 1)
2
3
3
2
√
x
+ 4 1 + − 1 − ( 4 1 − x − 1)
3
T
1
1
1
1
Áp dụng bài tốn 2.1, ta có: lim =
+
+
+ = 1.
x→0 x
1·2 2·3 3·4 4
3
1
1 √
3
M = 2 1+ −2 1− − 41+x
2
4
8
√
x

x
=3
1 + − 1 − 2 3 1 − − 1 − ( 4 1 + x − 1),
4
8


15

M
3
2
1
5
= +
− = .
x→0 x
8 24 4 24
T
T
24
Cuối cùng: A = lim
= lim x = .
x→0 M
x→0 M
5
x
c. Phương pháp 3: Phương pháp tách bộ phận kép
m
f (x) − n g(x)

có dạng
Phương pháp. Muốn tìm giới hạn A = lim
x→a
(x − a)k
0
(n, m ∈ N, 1 < k < min {m, n}) ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức
0
h(x)
vào phân thức phải tìm giới hạn
(x − a)k
√
√
3
2
8x + x + 6x + 9 − 3 9x2 + 27x + 27
Ví dụ 2.14. Tìm giới hạn A = lim
.
x→0
x3
Lời giải.
Đặt f (x) = 8x3 + x2 + 6x + 9 = 8x3 + (x + 3)2
Áp dụng bài toán 2.1, ta có: lim

g(x) = 9x2 + 27x + 27 = −x3 + (x + 3)3
Ta có
√
√
8x3 + x2 + 6x + 9 − 3 9x2 + 27x + 27
A = lim
x→0

x3
8x3 + (x + 3)2 − (x + 3) x + 3 − 3 −x3 + (x + 3)3
+
= lim
x→0
x3
x3

=

37
.
27

2.2.3. Quy tắc L’ Hospital
Định lý 2.1. (Cauchy)
Định lý 2.2. (De L’Hospital)
Giả sử các hàm số f (x), g(x) xác định, khả vi tại lân cận x = a(a ∈ R),
có thể trừ tại x = a.
Nếu lim f (x) = lim g(x) = 0, g (x) = 0 ở lân cận x = a.
x→a

x→a

f (x)
f (x)
Và nếu lim
= A thì lim
= A.
x→a g (x)

x→a g(x)
Phương pháp: Quy tắc L’ Hospital là một công cụ rất tiện dụng để khử
0
∞
các dạng vô định " ", " ", "0 · ∞", "∞ − ∞", "00 , ∞0 , 1∞ ".
0
∞
π
1
− arctan 1 −
4
x
Ví dụ 2.15. Tính giới hạn sau lim
.
1
x→∞
sin
x


16

0
Lời giải. Giới hạn cần tìm có dạng " ".
0
1
Ta dùng phép đổi biến t = khi x → ∞ thì t → 0 rồi ta áp dụng Định
x
lý L’Hospital ta thu được
π

1
− arctan 1 −
4
x
lim
1
x→∞
sin
x

−1
π
t2
− arctan 1 − t
2
1
1 + (1 − t)
= lim 4
= lim
=
.
t→0
t→0
sin t
cos t(−t2 )
2

ln x
(a > 0).
x→∞ xa

x
1
Ví dụ 2.17. Tính giới hạn lim
−
.
x→1 x − 1
ln x
Ví dụ 2.16. Tính giới hạn sau lim

Ví dụ 2.18. Tính giới hạn lim
π
x→
2

x−

π
2

tan x.

πx
cos
2 .
Ví dụ 2.19. Tính giới hạn sau lim− (1 − x)
x→1

2.3. XÁC ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
2.3.1. Các đường tiệm cận của đồ thị
a.

b.
c.
d.
e.

Định nghĩa
Tiệm cận đứng
Tiệm cận ngang
Tiệm cận xiên
Tiệm cận cong

2.3.2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỉ
a. Kiến thức cơ bản

ax2 + bx + c
Bài toán 1. Cho hàm số y =
. Tùy theo giá trị của tham số
dx + e
hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1
1. Khi d = 0, hàm số có dạng: y = (ax2 + bx + c) khơng có tiệm cận.
e


17

2. Khi d = 0.
Trường hợp 1. Nếu a = 0, hàm số có dạng: y =
a. Nếu b = 0, hàm số có dạng: y =


bx + c
, ta xét:
dx + e

c
, ta có:
dx + e

e
• lim y = ∞ nên x = − là đường tiệm cận đứng.
e
d
x→−
d
• lim y = 0 nên y = 0 (trục hoành) là đường tiệm cận ngang.
x→∞

b. Nếu b = 0, ta xét:
c
b
• Nếu = , hàm số suy biến thành đường thẳng ⇒ khơng có tiệm
d
e
cận.
b
c
• Nếu =
d e
e

– Vì lim y = ∞ nên x = − là đường tiệm cận đứng.
e
d
x→−
d
b
b
– Vì lim y = nên y = là đường tiệm cận ngang.
x→∞
d
d
Trường hợp 2. Nếu a = 0 , viết lại hàm số dưới dạng:

y = f1 (x) +

A
dx + e

ta xét:

• Nếu A = 0, hàm số suy biến thành đường thẳng ⇒ khơng có tiệm cận.
• Nếu A = 0, vì:
e
– lim y = ∞ nên x = − là đường tiệm cận đứng.
e
d
x→−
d
– lim [y − f1 (x)] = 0 nên y = f1 (x) là đường tiệm cận xiên.
x→∞


3x − 1
.
3x + 2
x2 − 4x + 4
Ví dụ 2.21. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
.
x−1
Ví dụ 2.20. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =


18

Lưu ý. Theo lý thuyết để tìm phương trình tiệm cận xiên dạng y = ax+b,
ta có:

x2 − 4x + 4
y
=1
a = lim = lim
x→∞ x(x − 1)
x→∞ x
x2 − 4x + 4
−3x + 4
b = lim [y − ax] = lim
− x = lim
= −3.
x→∞
x→∞
x→∞ x − 1

x−1
Vậy đường thẳng y = x − 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

x2 + 4mx + 5
Ví dụ 2.22. Tìm m để đồ thị hàm số y =
.
mx − 2
a. Khơng có tiệm cận.
b. Có tiệm cận xiên.
Lời giải.
a. Xét phương trình

mx − 2 = 0

(2.4)

1
• Nếu m = 0, khi đó hàm số có dạng: y = − (x2 + 5) ⇒ đồ thị hàm số
2
khơng có tiệm cận.
2
• Nếu m = 0, khi đó (2.4) có nghiệm x =
⇒ đồ thị hàm số khơng có
m
tiệm cận.
2
⇔x =
là nghiệm của phương trình: x2 + 4mx + 5 = 0
m
2

2
2
+ 4m · + 5 = 0 ⇔ 4 + 13m2 = 0 (vn)
⇔
m
m
Vậy với m = 0 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.

5 + 8m +

1
(x + 4m2 + 2) +
m
mx − 2
m=0
4
Hàm số có tiệm cận xiên ⇔
⇔ m = 0.
5 + 8m +
=0
m
Vậy với m = 0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên.

b. Viết lại hàm số dưới dạng: y =

4
m.

u(x)
, trong đó u(x), v(x) là các hàm đa

v(x)
thức khơng có nghiệm chung. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Bài toán 2. Cho hàm số y =


19

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

• Nếu phương trình v(x) = 0 có nghiệm x = x0 thì đường thẳng x = x0 là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Số nghiệm phân biệt của phương trình
v(x) = 0 là số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Nếu bậc u(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc v(x) thì đồ thị hàm số cịn có tiệm
cận ngang, có phương trình y = a, được xác định bởi: a = lim y .
x→∞

• Nếu bậc u(x) lớn hơn bậc v(x) (giả sử u(x) = g(x)v(x) + h(x)), thì
lim [y − g(x)] = 0 ⇔ Đường y = g(x) là tiệm cận của đồ thị hàm số.
x→∞

Khi đó:
– Nếu bậc g(x) bằng 1 thì y = g(x) là phương trình tiệm cận xiên của
đồ thị hàm số.
– Nếu bậc g(x) lớn hơn 1 thì y = g(x) là phương trình tiệm cận cong của
đồ thị hàm số.
Ví dụ 2.23. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

3x − 1
.

x2 − 3x + 2

Lời giải. Miền xác định D = R \ {1, 2}.
Ta có:
lim y = 0 ⇒ đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x→∞

lim y = ∞ ⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x→1

lim y = ∞ ⇒ đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x→2

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận là y = 0, x = 1 và x = 2.

x3 + x2 − 2x + 4
. Tìm các đường tiệm cận của
Ví dụ 2.24. Cho hàm số y =
x+1
đồ thị hàm số.
Lời giải. Miền xác định D = R \ {−1}
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = −1 và y = x2 − 2.
b. Bài tập tương tự
2.3.3. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ
a. Kiến thức cơ bản


20


Bài tốn 1. Tính các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y=

Ax2 + Bx + C

(A = 0).

Chú ý 2.1. 1. Nếu việc tìm tiệm cận xiên khơng phải là mục đích chính của
bài, thì có thể sử dụng ngay kết quả sau:
√
B
• Khi x → −∞, đồ thị có tiệm cận xiên bên phải là y = − x A + √
.
2 A
√
B
• Khi x → +∞, đồ thị có tiệm cận xiên bên trái là y = x A + √ .
2 A
2. Phương pháp được mở rộng cho lớp hàm số
√
• y = cx + d ± Ax2 + Bx + C .

•y=

n

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0


√

x2 + x + 1 .
√
Ví dụ 2.26. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = −2x + 3 x2 + 1
Ví dụ 2.25. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =

Lời giải. Miền xác định D = R.
Giả sử (d) : y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Khi đó:

• Trường hợp 1: Khi x → −∞ thì đường thẳng y = −5x là tiệm cận xiên
bên phải của đồ thị hàm số.
• Trường hợp 2: Khi x → +∞ thì đường thẳng y = x là tiệm cận xiên bên
trái của đồ thị hàm số.
Bài tốn 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ.
x
Ví dụ 2.27. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = √
.
x2 + x
Lời giải. Miền xác định D = (−∞, −1) ∪ (0, +∞)

• Tiệm cận ngang
(i) Ta có:
x
lim y = lim √
= lim
x→−∞
x→−∞
x2 + x x→−∞


x

= lim

x

x→−∞

1
−x
x
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bên phải là y = −1.
|x|

1+

1+

1
x

= −1.


21

(ii) Ta có:
x
lim y = lim √
= lim

x→+∞
x→+∞
x2 + x x→+∞

x

x

= lim

x→+∞
1
|x| 1 +
x
x
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bên trái là y = 1.

1
1+
x

= 1.

• Tiệm cận đứng
x
= ∞.
x→−1
x2 + x
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng bên trái là x = −1.
x

(ii) Ta có: lim+ √
= ∞.
x→0
x2 + x
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng bên phải là x = 0.
(i) Ta có: lim − √

x2
Ví dụ 2.28. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = √
.
x2 − 1
b. Bài tập tương tự
2.3.4. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số siêu việt và lượng
giác
a. Kiến thức cơ bản
Bài tốn. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số siêu việt và lượng
giác
Lưu ý. Ta cần nhớ lại các giới hạn cơ bản và với các dạng khác ta sử
dụng quy tắc L’ Hospital hoặc ngun lý kẹp giữa.
Ví dụ 2.29. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x

3

+mx2 +2003

Lời giải. Miền xác định D = R ⇒ đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
đứng.
Ta có:
lim y = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
x→−∞


lim y = ∞ ⇒ đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang bên trái.

x→+∞

1

Ví dụ 2.30. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = e x .
x
Ví dụ 2.31. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
.
ln x
x + sin x
Ví dụ 2.32. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
.
x − sin x


22

Ví dụ 2.33. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x + 1 +

cos x
.
x

Lời giải. Miền xác định D = R \ {0}.
Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị.
x→0


Giả sử đồ thị có tiệm cận xiên là y = ax + b. Khi đó:

y
1 cos x
= lim 1 + + 2 .
x→∞ x
x→∞
x
x

a = lim

cos x
1
1
cos x
≤
và
lim
=
0
⇒
lim
= 0.
x→∞ x2
x→∞ x2
x2
x2
Do đó: a = 1, từ đó:
cos x

b = lim [y − ax] = lim 1 +
= 1.
x→∞
x→∞
x

Ta có:

Vậy đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b. Bài tập tương tự
2.4. XÁC ĐỊNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
2.4.1. Định nghĩa tích phân xác định
a. Bài tốn diện tích hình thang cong
b. Định nghĩa tích phân xác định
2.4.2. Dùng định nghĩa để tính tích phân
Ví dụ 2.34. Tính tích phân

b x
a e dx.

Lời giải.
Hàm số f (x) = ex liên tục trên [a, b] nên nó khả tích trên [a, b]. Ta có:
n−1

b
x

e dx =
a


eξi .∆xi = eb − ea .

lim

max ∆xi →0

i=0

Bài tốn 2.2. Tính thể tích vật thể trịn xoay
Ví dụ 2.35. Tính thể tích của vật tròn xoay tạo bởi hàm số sau:


−x nếu − 4 ≤ x < −1,


1 nếu − 1 ≤ x < 0,
y = f (x) =
2x nếu 0 ≤ x < 1,


√

x + 3 nếu 0 ≤ x ≤ 6,
khi quay quanh trục Ox.


23

Lời giải.
Hàm số f (x) liên tục trên [−4; 6] nên thể tích vật thể trịn xoay tạo bởi

đồ thị hàm số f là:
−1

6

−1

−4

−4

n

−1

x

0
2

3i
3
Tính V1 =
x dx = lim
−4 +
· = 21.
n→∞
n
n
−4

i=1
1
0
n
Tính V2 = −1 dx = lim
1 · = 1.
i=1
n→∞
n

i
3
1
n−1  1+  1
4 n · =
Tính V3 = 0 4x dx == lim
.
i=0
n→∞
n ln 4
2

Tính V4 =

6
1 (x

+ 3)dx = lim

n→∞


Vậy thể tích cần tính V = π

n−1
i=0 (3

+ ξi ) ·

109
3
+
2
ln 4

(x + 3)dx .

4 dx +

dx +

x dx +

f (x)dx = π

V =π

6

1


0
2

2

5
65
= .
n
2
(đvtt).

1