BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐINH THỊ THỦY

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
NỬA NHÓM
Chuyên ngành : Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số:

60.46.40

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp
Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 15

tháng

12 năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, vấn đề nửa nhóm và ứng dụng của nó trong lĩnh vực
tốn học khác là một hướng nghiên cứu lớn của toán học hiện đại.
Nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu phát
triển vấn đề này theo nhiều hướng khác nhau . Đặc biệt một số nhà
toán học quan tâm nghiên cứu đến lý thuyết nửa nhóm nói chung, và
lý thuyết nửa nhóm của các tốn tử tuyến tính nói riêng như: E.
Hille, K. Yosida, R. Phillips,...Từ đó đưa đến sự kết hợp rất hay
trong lý thuyết nổi tiếng về “xích Markov”, hàm chuyển Markov, mà
trong đó ứng dụng của nó gắn liền với các bộ môn như vật lý, xác
suất, ...
Với những nội dung rất thú vị của nửa nhóm trong lý thuyết
xác suất hiện đại, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài “Ứng dụng của lý
thuyết nửa nhóm” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về nửa nhóm các tốn tử tuyến tính và
các ứng dụng của nó trong một số lĩnh vực của xác suất hiện đại.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách hệ thống các kết quả về ứng
dụng của lý thuyết nửa nhóm trong mơt số lĩnh vực của xác suất.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
a. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về đại số và giải tích hàm và xác
suất, để từ đó nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng của lý thuyết nửa
nhóm và nửa nhóm tốn tử tuyến tính.
b. Nghiên cứu thực tế


2

Đầu tiên, tìm hiểu các lý thuyết về nửa nhóm các tốn tử tuyến
tính, tốn tử liên tục mạnh, tốn tử cực vi, … Từ đó ứng dụng chúng
trong chuỗi Markov và những ứng dụng thực tiễn khác.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Kết quả của luận văn này là một tài liệu về ứng dụng của nửa
nhóm trong một số lĩnh vực của lý thuyết xác suất hiện đại.
6. Nội dung luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận
văn gồm có các chương như sau :
Chƣơng 1: Các kiến thức cơ sở
Chƣơng 2: Nửa nhóm và tốn tử cực vi
Chƣơng 3: Đặc trƣng của nửa nhóm bởi tốn tử cực vi.


3

CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
ĐẠI SỐ


1.1. ĐẠI SỐ VÀ

Định nghĩa 1.1.1.
Một lớp
những tập con của một tập hợp X được gọi là một
đại số nếu:
thì AC

, với mọi A

a) X

X\A

,
n

b) Với mỗi họ hữu hạn tùy ý A1 , A2 ,..., An

thì

.

Ai
i 1

gọi là một

– đại số những tập hợp con của X nếu nó


thỏa mãn hai điều kiện (a) và (b) và với một họ đếm được bất kì
thì

A1 , A2 ,...

.

Ai
n 1

Cặp (X,

) trong đó

là một

– đại số những tập hợp

con của X đươc gọi là một không gian đo được. Mỗi tập hợp A
gọi là một tập hợp đo được.
Nhận xét 1.1.1.
Mỗi
đại số là một đại số.
Định lý 1.1.1.
Nếu

là một đại số thì:

a) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp thuộc
tập thuộc


là một

.

b) Hiệu của hai tập thuộc

là một tập thuộc

.

Định lý 1.1.2. Giao của một họ đếm được những tập hợp
thuộc một

đại số

Định lý 1.1.3.

là một tập hợp thuộc

.


4

Giả sử

là một họ không rỗng những tập hợp con của một

tập hợp X. Khi đó:

a) Tồn tại một đại số duy nhất nhỏ nhất
hợp con của X chứa

( ) những tập

.

b) Tồn tại một

đại số duy nhất nhỏ nhất

tập hợp con của X chứa

( ) những

.

1.2. ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT
a. Độ đo
Định nghĩa 1.2.1.
Ta bổ sung cho tập hợp các số thực không âm [0; ) một phần
tử

và kí hiệu [0; ] . Tập hợp mới được gọi là tập hợp các số thực

không âm mở rộng.
Hai phép cộng và nhân với phần tử

và thứ tự trong [0; ]


được quy định như sau:
với mọi a [0; ] .

a

với 0 a

a
a·

.

neáu 0 a

·a

.

0 neáu a 0

Chú ý rằng đẳng thức a b b c kéo theo đẳng thức b c
khi và chỉ khi 0 a

.

Định nghĩa 1.2.2. Độ đo
Giả sử
hợp X.
Hàm tập
1)


là một
:

đại số những tập hợp con của một tập

[0, ] được gọi là một độ đo nếu:

( ) 0, ( A) 0, A

.


5

là một

2)

cộng tính, tức là nếu A1 , A2 ,... là một họ đếm

được những tập hợp đôi một rời nhau thuộc

(

thì:

( An ) .

An )

n 1

n 1

Bộ ba ( X ,

, ) trong đó

là một

đại số những tập

hợp con của tập hợp X,

:

[0, ] là một độ đo, được gọi là

một khơng gian đo.
Nếu A
thì số

( A) được gọi là độ đo của tập hợp A.

Độ đo

gọi là hữu hạn nếu ( X )

Độ đo


gọi là

X

Xn, Xn

.

hữu hạn nếu
với mọi số tự nhiên n. Hiển nhiên

, (Xn)

n 1

độ đo hữu hạn là

hữu hạn.

Định lý 1.2.1.
Giả sử là một độ đo xác định trên một

đại số

. Khi

đó:
là cộng tính hữu hạn (gọi tắt là cộng tính), tức là nếu

a)


là những phần tử đơi một rời nhau của

A1,..., Am m
m

thì

m

( Ai ) .

Ai
i 1

i 1

b) Nếu A, B

và A

Nếu ngoài ra
c) Nếu An

n

( A)
*

B thì


( A)

thì ( B \ A)
thì

(

( B) .
( B)

( An ) .

An )
n 1

( A) .

n 1


6

Định lý 1.2.2.
1) Tập hợp con đo được của một tập hợp có độ đo khơng là
một tập hợp có độ đo khơng.
, ( B) 0 thì ( A B)
( A \ B)
( A) .
2) Nếu A, B

3) Hợp của một họ hữu hạn hoặc đếm được những tập hợp có
độ đo khơng là một tập hợp có độ đo không.
Định lý 1.2.3.
Giả sử

là một độ đo

hữu hạn xác định trên một

đại số những tập hợp con của một tập hợp X. Khi đó:

Yn , trong đó các tập hợp Yn là đo được đôi một rời

1) X

n 1

nhau và có độ đo

(Yn ) hữu hạn.

2) Nếu A

An , các An đo được đơi được rời

thì A
n 1

nhau và có độ đo hữu hạn.
Định lý 1.2.4.

1) Nếu An là một dãy đơn điệu tăng những tập hợp đo được,
tức là
A1

... thì

A2

(

An )
n 1

lim ( An ) .

n

2) Nếu An là một dãy đơn điệu giảm những tập hợp đo được,
tức là A1

A2

... và

( A1 ) hữu hạn thì:

(

An )
n 1


lim ( An ) .

n


7

b. Độ đo xác suất
Định nghĩa 1.2.3.
Cho không gian đo được ( , F ) . Ta nói P là một độ đo xác
suất trên ( , F ) nếu P : F

[0;1] thỏa 3 tiên đề sau:

1) P( ) 1 ,
2) P( A) 0 A F ,
3) An

với i

F : Ai Aj

Ta có P(

P( An ) . Và khi đó ( , F , P) được gọi

An )
n 1


j và i, j 1, .

n 1

là khơng gian xác suất.
1.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
P là độ đo xác suất trên ( , F ) . Khi đó:
1) P( ) 0 .
2) Ai i

1,

F : Ai Aj

i
P(

j, i, j 1,

F:A

n 1

3)

A, B

4)

A F ta có 0 P( A) 1 .


5)

A, B

F:A

P( An ) .

An )
n 1

. Ta có:

B ta có P( A)

P( B) .

B thì P( B \ A)

P( B) P( A) .

6) A F . Ta có P( A) 1 P( A) .
7)

A, B

F Ta có P( A

8) Bất đẳng thức Boole:


B)

An

P( A) P( B) P( A.B) .

F ta có: P(

P( An ) .

An )
n 1

n 1


8

1.4. XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN
Định nghĩa 1.4.1.
Cho khơng gian xác suất: ( , F , P), A F : P( A) 0 . Khi đó
xác suất có điều kiện A là:

[0,1] được xác định:

P(* / A) : F

B F ta có: P( B / A)
Chú ý rằng: Nếu ta kí hiệu: P(* / A)

+ F

PA thì:

đại số trên A.

A là

+ ( A, F

P( A.B)
.
P( A)

A, PA ) là không gian xác suất mới.

Định lý 1.4.1. Công thức nhân xác suất
n 1

, F , P thỏa: P(

Cho A1 , A2 ,..., An trên

Ai ) 0 . Khi đó
i 1

ta có
n

P(


n 1

Ai )
i 1

i

Định lý 1.4.2. Cơng thức xác suất tồn phần
Cho A1 , A2 ,..., An trên ( , F , P) thỏa:
a) P( Ai ) 0 với i 1,

neáu i

b) Ai .Aj
c)

Ai

,

j với i, j 1, n ,

.

i 1

Khi đó

n


A F ta có: P( A)

P( A / Ai ).P( Ai ) .
i 1

Đặc biệt

Ai ) .

P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1 A2 )...P( An /

A F và

B F . Ta có:


9

P( A / B).P( B) P( A / B ).P( B ) .

P( A)

Định lý 1.4.3. Công thức Bayes
Cho A1 , A2 ,..., An trên ( , F , P) thỏa:
a) P( Ai ) 0, i 1, ,
b) Ai .Aj

,i


j; i, j 1, n ,

n

c)

.

Ai
i 1

Khi đó với

A F , ta có P ( Ai / A)

P ( A / Ai ).P( Ai )
n

.

P ( A / Ak ).P( Ak )
k 1

1.5. QUÁ TRÌNH MARKOV
Xét họ các ĐLNN rời rạc ( X t ), t 0 với tập chỉ số t là các số
thực khơng âm t [0;

) . Kí hiệu E

X t ( ) là tập các giá trị của


X t . Khi đó E là một tập hữu hạn hay đếm được, các phần tử của nó

được kí hiệu là i, j, k,…Ta gọi ( X t ) là một q trình ngẫu nhiên với
khơng gian trạng thái E.
Định nghĩa 1.5.1. Ta nói rằng ( X t ) là một quá trình Markov
nếu với mọi t1 ... tk

P{X t

i, X t1

Giả sử P X t

t và với mọi i1 , i2 ,..., in , i

i1, X t2
s

j / Xs

i2 ,..., X tk
i

E

ik } P{X t

i / X tk


ik } .

là xác suất để xích tại thời điểm s

ở trạng thái i sau một khoảng thời gian t, tại thời điểm t + s chuyển
sang trạng thái j. Đây là một con số nói chung phụ thuộc vào i, j, t, s.
Nếu đại lượng này không phụ thuộc s ta nói xích là thuần nhất.
Trong mục này ta chỉ xét xích Markov thuần nhất.


10

Kí hiệu: Pij (t ) P{X s

j / Xs

t

i}

Ta gọi Pij (t ) là xác suất chuyển của hệ từ trạng thái i sang
trạng

thái

j

sau

một


khoảng

thời

gian

P(t )

Pij (t ), i, j E .P(t) là một ma trận hữu hạn hay vô hạn chiều.

t.

Kí

hiệu:

Chú ý rằng:
i) Pij (t ) 0 .
ii)

Pij (t ) 1 .
j E

Phân bố của X 0 gọi là phân bố ban đầu. Ta kí hiệu
ui

P( X 0

i) .


Định lý 1.5.1.

Phân bố hữu hạn chiều của quá trình X t

được hoàn toàn xác định từ phân bố ban đầu và xác suất chuyển. Cụ
thể với t1 t2 ... tn phân bố đồng thời của ( X t1 ,..., X tn )

được

tính theo cơng thức sau:

P( X t1

i1 ,..., X tn

in )
i E

ui Pii1 (t1 ) Pi1i2 (t2 t1 )...Pin

(t
1in n

.
Định lý 1.5.2. (Phương trình Chapman – Kolmogorov)

Pik (t ) Pkj ( s) .

Pij (t s)

k E

tn 1 )


11

CHƢƠNG 2
NỬA NHĨM VÀ TỐN TỬ CỰC VI
2.1. NỬA NHĨM
Định nghĩa 2.1.1.
Ta gọi nửa nhóm là một tập hợp X cùng một phép tốn hai
ngơi kết hợp đã cho trong tập X.
Một nửa nhóm có phần tử trung lập gọi là một vị nhóm.
Một nửa nhóm gọi là giao hốn nếu phép tốn của nó là giao
hốn.
Nếu tập con A của một nửa nhóm X cùng với phép tốn hai
ngơi cảm sinh trên A là một nửa nhóm thì A và phép tốn cảm sinh
trên A gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.
Trong một nửa nhóm X, người ta kí hiệu giá trị chung của hai
vế của đằng thức xy z

z yz bằng kí hiệu duy nhất xyz , gọi là

tích của ba phần tử x, y, z lấy theo thứ tự đó.
Cũng như vậy ta đặt: xyzt

xyz t

và gọi là tích của bốn


phần tử x, y, z, t lấy theo thứ tự đó.
Một cách tổng quát x1...xn 1xn

x1...xn

1

xn gọi là tích của n

phần tử x1 , ..., xn .
Định lý 2.1.1.
Giả sử x1 , x2 ,..., xn là n n 3 phần tử của một nửa nhóm
X, thế thì:

x1x2 ...xn
Định nghĩa 2.1.2.

x1...xi

xi 1...x j

x j 1...xn .


12

Trong một nửa nhóm X, lũy thừa n (n là một số tự nhiên khác
0) của một phần tử a X là tích của n phần tử đều bằng a, kí hiệu
a n . Ta có quy tắc


a m .a n

am n , am

n

a m.n .

Trong trường hợp phép toán 2 ngơi của X kí hiệu bằng dấu +,
thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là bội n của a, kí hiệu na. Quy
tắc trên lúc đó viết

ma na

m n a, n ma

mna .

Trong một nửa nhóm giao hốn, tích của ba phần tử khơng
phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử, cụ thể:
x1x2 x3

x1x3 x2

x2 x1x3

x2 x3 x1

x3 x2 x1


x3 x1x2

Định lý 2.1.2.
Trong một nửa nhóm giao hốn X, tích x1x2 ...xn khơng phụ
thuộc vào thứ tự các nhân tử.
2.2. NỬA NHĨM TỐN TỬ CO
Định nghĩa 2.2.1.
Cho Tt , t

là một họ các toán tử tuyến tính trên V, với

V là một khơng gian Banach tùy ý trên trường số thực. Ta nói Tt
là một nửa nhóm tốn tử co nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:
i) ‖Tt x‖ ‖x‖ với
ii) Tt

s

Tt .Ts

t, s 0 ,

iii) lim ‖Tt x x‖= 0
t

x V,

x V,


0

Chú ý 2.2.1.
Từ (ii) và (iii) ta có T0

I là một tốn tử đồng nhất.


13

Điều kiện (iii) tương đương với Tt

I khi t

0

trong

một Topo toán tử mạnh.
Bổ đề 2.2.1.

Tt

liên tục mạnh theo t với mọi t

0.

2.3. TOÁN TỬ CỰC VI
Định nghĩa 2.3.1.
Cho Tt là một nửa nhóm . Ta định nghĩa

Ax

lim
t

0

Tt x x
(3)
t

nếu giới hạn này luôn tồn tại (trong một topo chuẩn) . Khi đó A được
gọi là tốn tử cực vi của Tt , và miền xác định của nó (là tập hợp
các giá trị của x V

sao cho giới hạn (3) tồn tại ), được kí hiệu:

A.

Cho x

A

. Khi đó Tt x

A

với mỗi t > 0 và ta có:

d

Tt x A(Tt x) Tt ( Ax) t 0 (4).
dt
Vấn đề 2.3.1. Nếu A là một tốn tử bất kì bị chặn, chuỗi trong
(5) hội tụ với mọi x và mọi t thì:
exp( A B) exp( A).exp( B) nếu A, B là các toán tử giao

hoán và bị chặn.
u (t ) exp(tA) x thỏa (4) với mọi t.

2.4. GIẢI THỨC CỦA NỬA NHÓM
Định nghĩa 2.4.1.
Cho Tt là một nửa nhóm tốn tử co và cho


14

R x

0

e

Họ các toán tử R :

t

Tt xdt , x V ,

0


0 được gọi là giải thức của nửa

nhóm.
Chú ý 2.4.1. Trong
s
0

e

t

khơng

gian

Banach,

tích

phân

Tt xdt được xác định theo nghĩa tích phân Riemann khi hàm

dưới dấu tích phân này liên tục, và dễ dàng để chỉ ra rằng giới hạn
này tồn tại khi s

. Do đó, R x xác định với mọi x nếu

và rõ ràng R là một toán tử tuyến tính với mỗi


0 ,

. R bị chặn; thực

vậy:
‖R x‖

0

e

t

‖Tt x‖dt

0

e

t

‖x‖dt

‖x‖

Trong trường hợp toán tử cực vi A của Tt
rằng Tt

(7)


bị chặn, ta thấy

exp(tA) . Sử dụng công thức này là hướng đi hồn tồn

chính thức để ta có được:

R

0

e

t

exp(tA)dt

exp[t ( A

I )]( A

I)

1
0

I

A

.

Tiếp theo ta chứng minh rằng kết quả này là căn cứ để xác
định A có bị chặn hay không:
Định lý 2.4.1. Cho Tt
tử cực vi A. Với mỗi

0,

là một nửa nhóm tốn tử co với tốn

I

lên V, và ánh xạ ngược từ V lên
Hệ quả 2.4.1.

A là một ánh xạ một – một từ
A

là một toán tử giải thức R .

Với mỗi x V , ta có:

x

lim R x

(10)

A

1



15

Điều này kéo theo

trù mật trong V.

A

Định lý 2.4.2. Nếu hai nửa nhóm Tt
tốn tử A (với miền xác định

A)

0

e

t

có chung

như là một tốn tử cực vi thì hai

nửa nhóm này trùng nhau, hay Tt
Bổ đề 2.4.1. Cho u :

và T 't


T 't

0.

t

V là liên tục và bị chặn. Khi đó

u (t )dt

0 , suy ra u (t ) 0 t

0

0.

Chú ý 2.4.2. Trường hợp tổng quát hơn khi u chỉ thỏa mãn

‖u(t )‖ C.emt với các hằng số C và m nào đó (thay thế cho bị chặn)
dễ dàng hạn chế trường hợp bị chặn, khi
0

Với

0

t

e


u (t )dt
mt

m và v(t ) e

m ta có thể viết:
0

e

t

v(t )dt .

u(t ) bị chặn.

Hệ quả 2.4.2. Cho Tt là một nửa nhóm với tốn tử cực vi A,
và cho x

A

. Khi đó hàm u (t ) Tt x là một nghiệm duy nhất của

phương trình vi phân:

du
dt

Au


(11)

và thỏa mãn các điều kiện:
(a) u (t ) khả vi và liên tục với mọi t > 0,
(b) ‖u(t )‖ C.emt với C , m
(c) u (t )

x khi t

nào đó,

0 .

Hệ quả 2.4.3. Nếu tốn tử cực vi A của Tt bị chặn thì
Tt

exp(tA)


16

CHƢƠNG 3
ĐẶC TRƢNG CỦA NỬA NHĨM SINH BỞI
TỐN TỬ CỰC VI
3.1. ĐỊNH LÝ HILLE YOSIDA
Định lý 3.1.1. (Định lý Hille – Yosida)
Cho A là một tốn tử tuyến tính trên V với miền xác định

A


.

Để A là một toán tử cực vi của nửa nhóm tốn tử co nào đó trên V,
điều kiện cần và đủ là A thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
(i)

A

trù mật trong V.

(ii) Với mọi
1 nghiệm duy nhất x

0 và y V , phương trình

x

Ax

y có

A.

(iii) Nghiệm của phương trình trong (ii) thỏa ‖x‖

‖y‖
.

3.2. HÀM CHUYỂN MARKOV. CÁC ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC.
Trước khi nghiên cứu những vấn đề liên quan đến hàm chuyển

Markov, ta sẽ xây dựng hai nửa nhóm tốn tử co {Tt } và {U t } tổng
quát.
Cho pt là một hàm chuyển Markov bất kì trên khơng gian đo
được ( S , ) và cho F(S) là một không gian Banach với chuẩn
supremum.
Cho f

F ( S ) , ta xác định:

Tt f ( x)

S

pt ( x, dy) f ( y)


17

Rõ ràng với mỗi t

0 , Tt là một toán tử co từ F vào F.

Bên cạnh đó, cho M ( S ) là một không gian Banach đo được
và hữu hạn trên ( S , ) với chuẩn biến phân toàn phần.
Với mỗi

M ( S ) , ta xác định:

(U t )( E )


Ta

cũng

dễ

Ut ; t 0 (với U0

dàng

S

thấy

(dx) pt ( x, E )

rằng

họ

các

toán

tử

I ) cũng là một nửa nhóm các tốn tử co.

Với nửa nhóm Markov {Tt } tác động trên không gian F(S)
gồm các hàm bị chặn đo được trên S, (18) trở thành:


lim sup |
t

0

x S

S

pt ( x, dy) f ( y)

Đặc biệt, khi chọn f

{ x}

f ( x) | 0 f

ta nhận được

lim pt ( x,{x}) 1 với mỗi x S
t

F

(19)

0

Vấn đề 3.2.1. Cho Tt là nửa nhóm trên F(S) bao gồm q

trình trên. Chứng tỏ rằng Tt liên tục mạnh tại t = 0, và tốn tử cực
vi của nó là tốn tử A bị chặn được xác định bởi:
Af ( x)

S

p(s, dy) f ( y)

Ta thấy rằng nửa nhóm Ut

f ( x) với f

F.

trên M(S) là liên tục mạnh và ta

sẽ đi tính tốn tử cực vi của nó.
Mỗi nửa nhóm, như ta thấy, kết hợp với một phương trình vi
phân “mũ”

du
Au
dt

(20)


18

trong đó A là tốn tử cực vi của nửa nhóm này. Với nửa nhóm Tt

ở trên, phương trình (3) trở thành

d ( x, t )
(21)
p( x, dy)[ ( y, t )
( x, t )]
S
dt
Phương trình (21) vì thế là một phương trình lùi Kolmogorov
cho quá trình Poisson – đa hợp, và tất nhiên nó có nghiệm
( x, t ) Tt f ( x) với f

điều kiện ban đầu

F . Hàm này thỏa mãn cả phương trình và

( x,0)

f ( x) , và nó là duy nhất dưới một thu

hẹp cộng tính. Phương trình tiến thu được tương tự từ tốn tử cực vi
của nửa nhóm {U (t )} .
Do đó ta thừa nhận từ bây giờ rằng S là một khơng gian metric
và

là

trường các tập hợp Borel của nó. Bản thân metric sẽ

được kí hiệu bởi


.

Định nghĩa 3.2.1.
Một hàm chuyển Markov trên ( S , ) là một hàm Feller nếu
Tt f , được xác định bởi:
Tt f ( x)

S

pt ( x, dy ) f ( y )

là một hàm liên tục khi f bị chặn và liên tục.
Ta viết N ( x) { y S , ( y, x)

} với mỗi vùng lân cận

mở của x.
Định nghĩa 3.2.2.

Một hàm chuyển pt trên ( S , ) được gọi

là liên tục ngẫu nhiên nếu:
lim pt ( x, N ( x)) 1 với
t

0

0


(22)


19

Nếu giới hạn (22) thỏa mãn đều theo x với mỗi

0 cố

định, khi đó pt gọi là liên tục ngẫu nhiên đều.
Ta sẽ nêu mối quan hệ của tính chất này với các toán tử {Tt }
Mệnh đề 3.2.1.

Hàm chuyển pt là ngẫu nhiên liên tục nếu

và chỉ nếu họ toán tử liên hợp {Tt } thỏa:
f ( x) với mỗi x S, f

lim Tt f ( x)
t

C (S )

(23)

0

Mệnh đề 3.2.2. Cho C0 (S ) là tập hợp các hàm liên tục đều,
bị chặn trên S. Nếu pt liên tục ngẫu nhiên đều, thì giới hạn (23)
thỏa mãn đều theo x khi f


C0 .

Mặt khác, với các điều kiện này ‖Tt f
bất kỳ f

C0 . Nếu S là compact, C0

f ‖ 0 khi t

0

C thì ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả 3.2.1. Nếu hàm chuyển pt liên tục ngẫu nhiên đều,
và nếu không gian trạng thái S là compact thì:
lim ‖Tt f
t

f ‖ 0 với

f

C (S )

0

Định nghĩa 3.2.3.
Một hàm chuyển là liên tục ngẫu nhiên đều và Feller trên
không gian – trạng thái metric compact S sẽ được gọi là một hàm

chuyển chuẩn tắc.
Mệnh đề 3.2.3. Một hàm chuyển Feller ngẫu nhiên trên một
không gian trạng thái compact sẽ tự động liên tục ngẫu nhiên đều.
Mệnh đề 3.2.4. Cho {Tt } là họ các toán tử thỏa mãn (i) và
(ii) của Định nghĩa II.2.1 cộng thêm điều kiện phụ sau:
(iii’) lim t

0 x *(Tt x) x *( x) với mọi x V , x* V * .


20

Khi đó điều kiện (iii) được thỏa mãn.
3.3. NỬA NHĨM MARKOV CHUẨN TRÊN C(S)
Định lý 3.3.1. Một nửa nhóm (co, liên tục mạnh) các toán tử
trên C(S) là một nửa nhóm Markov chuẩn tắc nếu và chỉ nếu với mỗi
t > 0 toán tử Tt thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) f

C ( S ) và f

0 kéo theo Tt f

0,

(ii) Tt 1 1 (Ở đây “1” là kí hiệu hàm hằng với giá trị tại mọi
điểm đều bằng 1).
Tiếp theo ta sẽ đưa ra một phiên của định lý Hille – Yosida
trong trường hợp đặc biệt sau đây:
C (S )

Định lý 3.3.2. Tốn tử tuyến tính A với tập xác định
là một tốn tử cực vi của nửa nhóm chuẩn trên C(S) nếu và chỉ nếu
các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i)
trù mật trong C(S),
(ii)
Với mọi
lớn và mọi g C ( S ) , phương trình
f

Af

(iii)

g có ít nhất một nghiệm f

Nếu f

Af ( x0 ) 0 ,hàm 1

,

và f đạt giá trị cực đại tại x0 , thì
và A1 0 .

Định lý 3.3.3. Giả sử rằng A là một tốn tử cực vi của một nửa
nhóm chuẩn tắc {Tt } trên C(S) và cũng giả sử rằng với f

C (S )


nào đó :

Tt f ( x) f ( x)
g ( x) (24)
t 0
t
tồn tại theo từng điểm (với mỗi x S ). Khi đó, nếu g liên tục thì sự
lim

hội tụ trong (24) phải là đều, và f

A.


21

3.4. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 3.4.1. Ví dụ này bao gồm tất cả các toán tử cực vi là các
toán tử bị chặn. Trường hợp bị chặn đơn giản nhất có lẽ là sự chuyển
động tất định với vận tốc hằng số v. Ta lấy S R * và
pt *( x,{x vt}) 1 , vì vậy Tt f ( x)

f x vt với bất kì f

F (S ) .

Rõ ràng nếu f khả vi, ta có:

Tt f ( x) f ( x)
vf '( x)

t
khi C1 { f : f , f ' C (S )} và với f
lim

t

Ta có C1
có Af

A

0

vf ' . Chú ý rằng f '( ) phải bằng 0 vì f bị chặn, đồng ý

rằng cần phải có
pt ( ,{ }) 1 với t

vì trạng thái " " thỏa mãn

Af ( ) 0
0 ).

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
rộng (

C1 ta

v


d
) và
dx

I

một, đủ để chỉ ra rằng (
vậy, với một giá trị lớn

A ánh xạ từ

A

C1 . Từ

A mở

lên C theo ánh xạ một –

d
) thực sự ánh xạ từ C1 lên C. Như
dx
và tất cả g C ta phải chỉ ra rằng:
(25)

g ( x)

C1 . Nghiệm tổng quát của (1) là:

f ( x) e


x
v

K

với K là một hằng số tùy ý. Khi x

1
v

x
0

e

u
v g (u )du

,biểu thức trong dấu ngoặc

phải tiến tới 0 nếu khơng có sự thay đổi nào với f
ta phải chọn:

I

v

f ( x) vf '( x)


có một nghiệm f

A

C ( S ) và vì vậy


22
u

1
e v g (u )du
v 0
Từ đó dễ dàng thấy với việc chọn K như thế, f thật sự thuộc
K

C1 ; như vậy (25) có một nghiệm trong C1 và như vậy C1

A.

Ví dụ 3.4.2. Ta biết rằng hàm chuyển của sự chuyển động
Brown là chuẩn tắc trên R * . Ta sẽ tính tốn tử cực vi của nó. Để bắt
đầu, nếu f

C2 { f : f , f '. f '' C ( R*)} , ta có:

Tt f ( x) f ( x)
t

1

t e t

e

y x 2
2t

f ( y)

f ( x) dy .

Khi đó ta sử dụng định lý Taylor mở rộng:

f ( y)

f ( x)

Khi r ( x, y )
Tt f ( x) f ( x)
t

f '( x)( y x)
0 khi y

1
f ''( x)( y x)2 r ( x, y)( y x)2
2
x , vì vậy ta có:

1

1
f ''( x)
2
t e t

2

r ( x, y )( y

x) e

y x 2
2t
dy

Do r ( x, y ) bị chặn bởi max( f '') và tiến tới 0 khi y gần
bằng x , ta suy ra:

Tt f ( x) f ( x) 1
f ''( x)
t
2
Từ f '' C , ta có sự hội tụ đều, do đó f
lim

t

Af

1

f '' . Như vậy, C2
2

0

A

A

và

và A là một mở rộng của

1 d2
.
2 dx2


23

Thật vậy, C2

A.

Ta đơn giản chỉ cần thử lại rằng phương

trình:

1
f ''( x) g ( x) .

2
0 . Thay đổi ký
C2 với bất kì g C ,
f ( x)

có một nghiệm f

hiệu một chút, ta xem như phương trình sau tương đương

f ''

2

f

g . Nghiệm tổng quát là:

f ( x) K1e

x

K 2e

x

1

x
0


sinh( x

u) g (u)du

(26)

với K1 và K 2 là những hằng số tùy ý. Từ điều này ta có thể
kết luận rằng C2

A.