ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ

ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG THỊ UYÊN THƠ

ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - 2020

i

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU

1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Đạo hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Nguyên hàm, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5

1.4 Một số hệ thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5 Những kiến thức về hình học

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI
SỐ VÀ GIẢI TÍCH

12

2.1 Phương pháp lượng giác trong dãy số . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2 Phương pháp lượng giác trong chứng minh đẳng thức và bất
đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1 Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22


2.2.2 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3 Phương pháp lượng giác trong giải phương trình, bất phương
trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4

Phương pháp lượng giác trong các bài toán cực trị

. . . . . .

31
41


ii

2.5 Phương pháp lượng giác trong bài tốn tìm ngun hàm và tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH
HỌC
3.1 Phương pháp lượng giác trong giải tốn hình học phẳng

50
. . .


50

3.1.1 Một số bài tốn về đường tròn . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1.2 Một số bài toán về Elip và Hyperbol . . . . . . . . . . .

54

3.1.3 Một số bài toán nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . .

59

3.1.4 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2 Phương pháp lượng giác trong giải tốn hình học khơng gian .

63

3.3 Ứng dụng của lượng giác vào một số bài toán thực tế . . . . .

68

KẾT LUẬN

74


DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

75

Quyết định giao đề tài luận văn Thạc sĩ khoa học (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lượng giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương
trình Tốn phổ thơng; lượng giác có liên quan đến nhiều ngành khoa học khác
như Vật lí, Thiên văn học, Khoa học máy tính...
Trong chương trình Tốn học phổ thơng, học sinh được học lượng giác với
thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định. Tuy nhiên, trong các
kì thi trung học phổ thơng quốc gia, thi học sinh giỏi tốn trong và ngồi
nước thường xuất hiện những bài tốn mà lời giải của chúng có thể tìm được
bằng phương pháp lượng giác.
Với mong muốn tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong chương trình
trung học phổ thơng cũng như giải quyết một số bài tốn thực tế, nên tôi
chọn đề tài “Ứng dụng của lượng giác trong giải toán sơ cấp” cho luận văn
thạc sĩ của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Các ứng dụng của lượng giác trong giải toán sơ cấp.
- Hệ thống lớp các bài toán giải được bằng phương pháp lượng giác.
- Đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán.
- Định hướng cách nhận biết các dấu hiệu trong một bài tốn có thể vận
dụng phương pháp lượng giác để giải.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu



2

- Chương trình tốn bậc trung học phổ thơng, đặc biệt là nội dung
lượng giác.
- Phương pháp lượng giác hóa trong đại số, giải tích và hình học.
- Các ứng dụng của lượng giác trong toán sơ cấp.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tư liệu: sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo, các
tạp chí Tốn và các nguồn tài liệu trên internet.
- Phương pháp nghiên cứu: Phân tích, tổng hợp, hệ thống các tư liệu sưu
tầm được để thực hiện luận văn.
- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn, các đồng nghiệp và các
chuyên gia.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
được chia thành 3 chương:
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nhằm làm cơ sở cho các chương sau, chương này trình bày những kiến
thức liên quan đến nội dung luận văn như: Dãy số và một số hệ thức lượng
giác. Phần cuối chương nhắc lại những kiến thức về hình học phẳng và hình
học khơng gian.
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI
SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương này trình bày những ứng dụng của lượng giác trong việc giải một
số lớp bài toán đại số và giải tích thuộc chương trình phổ thơng trung học.
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG HÌNH
HỌC
Chương này trình bày phương pháp lượng giác trong giải tốn hình học

phổ thơng và giới thiệu ứng dụng của lượng giác vào một số bài toán thực tế.


3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nhằm làm cơ sở cho các chương sau, chương này trình bày những kiến
thức liên quan đến nội dung luận văn như: Dãy số, nguyên hàm, tích phân
và một số hệ thức lượng giác. Phần cuối chương nhắc lại những kiến thức về
hình học phẳng và hình học khơng gian.
Các kiến thức trong chương chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu
[16],[17], [18], [19], [9].

1.1

Dãy số

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên
dương N∗ được gọi là một dãy số vơ hạn (hay cịn gọi tắt là dãy số).
Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số; u(1) được
gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu); u(2) được gọi là số hạng thứ
hai;. . .
Người ta thường kí hiệu các giá trị u(1), u(2), . . . tương ứng bởi u1 , u2 , . . .
Dãy số u = u(n) thường được kí hiệu là {un }, n = 1, 2, ... hoặc (un ) và

gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đó.

Định nghĩa 1.1.2. Dãy số (un ) có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ
tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,

đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết


4

lim un = 0 hoặc un → 0.
Dãy số (un ) có giới hạn là số thực L nếu lim(un − L) = 0. Khi đó ta viết

lim un = L hoặc un → L.
Dãy số hội tụ nếu có giới hạn hữu hạn.
Dãy số phân kì nếu có giới hạn vô cực hoặc không tồn tại giới hạn.
Định nghĩa 1.1.3. Cho dãy số (un ), khi đó
(i) Dãy u(n) gọi là dãy tăng nếu un ≤ un+1 , ∀n ∈ N;
(ii) Dãy u(n) gọi là dãy giảm nếu un ≥ un+1 , ∀n ∈ N.
Các dãy tăng và dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Định lý 1.1.4. Ta có

sin x
= 1;
x→0 x
tan x
(ii) lim
= 1.
x→0 x
(i) lim

1.2

Đạo hàm


f (x) − f (x0 )
khi x dần đến
x − x0
x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là f ′ (x0 ).

Định nghĩa 1.2.1. Giới hạn (nếu có) của tỉ số

Nghĩa là

f (x) − f (x0 )
·
x→x0
x − x0

f ′ (x0 ) = lim

Trong định nghĩa trên, nếu đặt △x = x − x0 và △y = f (x0 + △x) − f (x0 )

thì ta có

f (x0 + △x) − f (x0 )
△y
= lim
·
△x→0
△x→0 △x
△x

f ′ (x0 ) = lim



5

1.3

Nguyên hàm, tích phân

Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số f xác định trên K , với K là một khoảng,
một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó. Hàm số F được gọi là nguyên hàm
của f trên K nếu F ′ (x) = f (x) với mọi x thuộc K .
Định lý 1.3.2. Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K .
Khi đó
(i) Với mỗi hằng số C , hàm số y = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của

f trên K ;
(ii) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng
số C sao cho G(x) = F (x) + C với mọi x thuộc K .
Từ Định lý 1.3.2 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì
mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F (x) + C với C ∈ R. Vậy

F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K .

Định nghĩa 1.3.3. Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K được kí hiệu là

f (x)dx. Vậy
f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R
Định lý 1.3.4. Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
(i)

[f (x) + g(x)]dx =


f (x)dx +

g(x)dx;

(ii) Với mọi số thực k = 0 ta có

kf (x)dx = k

Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

f (x)dx.


6

Định lý 1.3.5. Cho C là hằng số và k là hằng số khác 0, ta có
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

cos kx
+ C;
k
sin kx
+ C;
cos kxdx =

k
sin kxdx = −

ekx
e dx =
+ C;
k
ax
x
+ C (0 < a = 1);
a dx =
ln a
1
dx = tan x + C;
cos2 x
1
dx = − cot x + C;
sin2 x
kx

Định nghĩa 1.3.6. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì
thuộc K . Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số

F (b) − F (a)
được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b
a f (x)dx.

Trong trường hợp a < b, ta gọi


b
a f (x)dx

là tích phân của f trên đoạn [a; b].
b

Hiệu số F (b) − F (a) cịn được kí hiệu là F (x) a . Như vậy nếu F là một

nguyên hàm của f trên K thì

b
a f (x)dx

1.4

= F (x) |ba .

Một số hệ thức lượng giác

π
+ kπ, k ∈ Z. Khi đó điều kiện cần
2
và đủ để tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C là A + B + C = mπ ,

Bổ đề 1.4.1. Cho ba góc A, B, C khác

với m ∈ Z.


7


π
+ kπ, k ∈ Z. Khi đó điều kiện cần
2
và đủ để tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1 là
Bổ đề 1.4.2. Cho ba góc A, B, C khác

π
+ mπ, m ∈ Z.
2
π
Bổ đề 1.4.3. Cho ba góc A, B, C khác + kπ . Khi đó điều kiện cần và đủ
2
để
A+B+C =

tan A + tan B + tan C − tan A tan B tan C =
1 − tan A tan B − tan B tan C − tan C tan A
là

π
+ mπ , với m ∈ Z.
4
π
π
Bổ đề 1.4.4. Cho ba góc A, B, C thỏa điều kiện khác +kπ và khác +nπ
2
4
với k, n ∈ Z. Khi đó điều kiện cần và đủ để
A+B+C =


1 + tan A 1 + tan B 1 + tan C
1 + tan A 1 + tan B 1 + tan C
+
+
=
·
·
1 − tan A 1 − tan B 1 − tan C
1 − tan A 1 − tan B 1 − tan C
π
là A + B + C = + mπ, m ∈ Z.
4
Bổ đề 1.4.5. Với mọi n ∈ N và n > 2 ta có các kết quả sau
(i) sinn x < sin2 x, ∀x ∈ R;
(ii) cosn x < cos2 x, ∀x ∈ R;
(iii) sin x < x < tan x, ∀x ∈ 0;

π
.
2

Định lý 1.4.6. (Định lý côsin)
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
(i) a2 = b2 + c2 − 2bc cos A;
(ii) b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ;


8


(iii) c2 = a2 + b2 − 2ab cos C .
Định lý 1.4.7. (Định lý sin)
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính
đường trịn ngoại tiếp, ta có:

b
c
a
=
=
= 2R.
sin A sin B
sin C

1.5
1.5.1

Những kiến thức về hình học
Phương trình dạng lượng giác và phương trình tiếp tuyến
của đường trịn

1.5.1.1 Phương trình dạng lượng giác của đường trịn

Cho đường trịn (C) có phương trình chính tắc dạng

(C) : (x − a)2 + (y − b)2 = R2 , R > 0.
x−a 2
y−b 2
+
= 1.

Ta viết lại phương trình (C) dưới dạng:
R
R
Khi đó tồn tại một góc t ∈ [0; 2π) thỏa mãn


x−a



= sin t
x = R sin t + a

R
,
t ∈ [0; 2π).
(1)
⇔


y
−
b


y = R cos t + b

= cos t
R
Phương trình (1) là phương trình dạng lượng giác của đường trịn.


1.5.1.2 Phương trình tiếp tuyến của đường trịn

Phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tại điểm Mo (xo ; yo ) là

(xo − a)(x − a) + (yo − b)(y − b) = R2 , R > 0.
1.5.2

Phương trình dạng lượng giác và phương trình tiếp tuyến
của Elip

1.5.2.1 Phương trình dạng lượng giác của Elip

Cho đường Elip (E) có phương trình chính tắc dạng


9

x2 y 2
(E) : 2 + 2 = 1, a > 0, b > 0.
a
b
Khi đó tồn tại một góc t ∈ [0; 2π) thỏa mãn


x



x = a sin t

 = sin t
a
,
⇔


y


y = b cos t
 = cos t
b

t ∈ [0; 2π).

(2)

Phương trình (2) là phương trình dạng lượng giác của Elip.

1.5.2.2 Phương trình tiếp tuyến của Elip

Phương trình tiếp tuyến của Elip (E) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) là

x0
y0
x + 2 y = 1, a > 0, b > 0.
2
a
b
1.5.3


Phương trình dạng lượng giác và phương trình tiếp tuyến
của Hyperbol

1.5.3.1 Phương trình dạng lượng giác của Hyperbol

Cho Hyperbol (H) có phương trình chính tắc dạng

x2 y 2
(H) : 2 − 2 = 1, a > 0, b > 0.
a
b
y 2
x 2
=1+
.
Ta viết lại phương trình (H) dưới dạng:
a
b
Khi đó tồn tại một góc t ∈ [0; 2π) \

1
x


 =
a
cos t



 y = tan t
b

⇔




x =

a
cos t



y = b tan t

π 3π
;
2 2

thỏa mãn

, t ∈ [0; 2π) \

π 3π
;
. (3)
2 2


Phương trình (3) là phương trình dạng lượng giác của đường Hyperbol.


10
1.5.3.2 Phương trình tiếp tuyến của Hyperbol

Phương trình tiếp tuyến của Hyperbol (H) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) là

x0
y0
x
−
y = 1, a > 0, b > 0.
a2
b2
1.5.4

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng △ có phương trình tổng qt

ax+by +c = 0 và một điểm M (xM ; yM ). Khi đó ta có cơng thức tính khoảng
cách từ M đến △ như sau:

d(M ; △) =
1.5.5

|axM + byM + c|
√
a2 + b2


Cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng

i) Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng △1 và △2 lần lượt có

phương trình tổng qt a1 x + b1 y + c1 = 0 và a2 x + b2 y + c2 = 0. Khi đó góc

(△1 , △2 ) giữa hai đường thẳng △1 và △2 , được tính bởi cơng thức sau:
|a1 a2 + b1 b2 |
cos(△1 , △2 ) =
a21 + b21 . a22 + b22
ii) Trong khơng gian, góc giữa hai đường thẳng △1 và △2 là góc giữa hai

đường thẳng △1 và △2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc
′

′

trùng) với △1 và △2 .

1.5.6

Định nghĩa hình chóp

Cho đa giác A1 A2 . . . An và điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác đó.
Nối S với các đỉnh A1 A2 . . . An để được n tam giác: SA1 A2 , SA2 A3 , . . . , SAn A1 .
Khi đó hình chóp được định nghĩa:
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1 A2 . . . An gọi là hình chóp và được
kí hiệu là S.A1 A2 . . . An .



11

Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác. . . thì hình
chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp
ngũ giác, . . .

1.5.7

Định nghĩa hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác

ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và
được kí hiệu là ABCD.


12

Chương 2
ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Nội dung chương này trình bày phương pháp lượng giác trong đại số và
giải tích, cụ thể là dùng phương pháp lượng giác để giải một số bài toán về
dãy số, chứng minh các hệ thức đại số, bất phương trình đại số, giải phương
trình, bất phương trình, giải các bài tốn tìm cực trị, tìm ngun hàm và
tính tích phân.

2.1


Phương pháp lượng giác trong dãy số

Để giải các bài toán về dãy số, nhất là dãy số truy hồi, việc quan trọng
là tìm được cơng thức tổng qt của dãy số đó, có rất nhiều phương pháp
để thực hiện điều này, trong đó có phương pháp lượng giác. Sử dụng phương
pháp này ta cần nắm vững các công thức lượng giác, tùy theo từng dãy số
cho trong đề bài mà dùng cơng thức lượng giác thích hợp hoặc dự đốn cơng
thức lượng giác và sử dụng quy nạp để chứng minh. Trong phần này chúng
tôi chủ yếu nghiên cứu các bài tốn về dãy số truy hồi.
Quy trình giải một bài toán về dãy số truy hồi bằng phương pháp lượng
giác thường thực hiện qua ba bước sau:
Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết các dấu hiệu có trong bài tốn.
Bước 2: Dự đốn, liên tưởng đến công thức lượng giác phù hợp.


13

Bước 3: Sử dụng quy nạp để chứng minh và thực hiện các u cầu cịn lại
của bài tốn.
Bài tốn 2.1. ([7]) Cho dãy số (un ) xác định bởi

√


 u1 = 3


un+1

√

un + 2 − 1
√
=
1 + (1 − 2)un

.

Tính u2019 .
Giải
Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết các dấu hiệu có trong bài tốn.
Ta nhận thấy

√

3 = tan

và

2. tan

π
3

π
8

π
π √
⇒
tan

= 2 − 1.
=
π
2
8
8
1 − tan
8
Bước 2: Dự đốn, liên tưởng đến cơng thức
√ lượng giác phù hợp.
un + 2 − 1
√
Với giả thiết bài toán un+1 =
ta dự đốn sẽ sử dụng cơng
1 + (1 − 2)un
1 = tan 2 ·

thức

tan(a + b) =
để giải bài toán.

tan a + tan b
1 − tan a tan b

Thật vậy, ta có
√
π
u1 = 3 = tan ;
√3

π
π
tan + tan
u1 +
2−1
3
8 = tan π + π ;
=
u2 =
√
π
π
3 8
1 − tan tan
1−
2 − 1 u1
3
8


14

π
π π
√
+
tan
+
tan
u2 + ( 2 − 1)

3 8
8 = tan π + 2. π .
√
u3 =
=
π π
π
3
8
1 − ( 2 − 1)u2
tan
+
1 − tan
3 8
8
Từ biểu thức lượng giác của ba số hạng đầu của dãy số un ta dự đoán
π
π
+ (n − 1) ·
dạng lượng giác của số hạng tổng quát là un = tan
3
8
Bước 3: Sử dụng quy nạp để chứng minh.
Trường hợp n = 1 đã kiểm tra ở trên.

π
π
+ (k − 1) .
3
8

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n = k + 1. Hay phải chứng minh
π kπ
uk+1 = tan
.
+
3
8
π
π
π
√
tan
+ (k − 1) + tan
uk + 2 − 1
3
8
8
√
=
Thật vậy uk+1 =
π
π
π
1 + (1 − 2)uk
+ (k − 1) tan
1 − tan
3
8
8
π

π kπ
π π
= tan
= tan
.
+ (k − 1) +
+
3
8 8
3
8
π
π
+ (n − 1)
với mọi n ∈ N.
Do đó theo ngun lí quy nạp ta có un = tan
3
8
π π
π
π
+ 2018. = tan
+ + 252π
Vậy u2019 = tan
3
8
3 4
√
π π
= tan

+
= −(2 + 3).
3 4
1
Bài toán 2.2. ([4]) Cho dãy số (hn ) được xác định bởi h1 = và
2
1 − 1 − h2n
; ∀n ≥ 1.
hn+1 =
2
Giả sử công thức đúng với n = k (k ≥ 1), hay uk = tan

n

Đặt Sn =
Giải

i=1

hi với n ∈ N. Chứng minh rằng lim Sn < 1, 03.
n→∞

Bước 1: Biến đổi, phân tích để nhận biết các dấu hiệu có trong bài tốn.
1
π
Ta nhận thấy = sin và ta sử dụng các công thức cos 2x = 1 − 2 sin2 x,
2
6
2
2

cos x + sin x = 1 để chuyển hóa các biến.
Bước 2: Dự đốn, liên tưởng đến cơng thức lượng giác phù hợp.
π
π
1
;
Ta có h1 = = sin = sin
2
6
3.2


15

h2 =

1−

h3 =

1 − cos

h21

1−
2

1 − cos

=


2

π
6 = sin π = sin π ;
12
3.22

π
12 = sin π = sin π .
2
24
3.23

Qua biểu thức lượng giác của ba số hạng đầu của dãy số ta dự đoán dạng
π
lượng giác của số hạng tổng quát là hn = sin
·
3.2n
Bước 3: Sử dụng quy nạp để chứng minh.
Trường hợp n = 1 đã kiểm tra ở trên.

π
. Ta sẽ chứng
3.2k
π
.
minh công thức đúng với n = k + 1. Hay phải chứng minh hk+1 = sin
3.2k+1
Thật vậy, ta có

Giả sử cơng thức đúng với n = k (k ≥ 1), hay hk = sin

hk+1 =

1−

1 − sin2

π
3.2k

2

=

1 − cos
2

π
3.2k = sin

π
.
3.2k+1

π
với mọi n ∈ N.
3.2n
Bây giờ, ta sẽ chứng minh lim Sn < 1, 03. Thật vậy, vì sin x < x với mọi
n→∞

π
x ∈ 0;
nên
2n
π
π
1 π
π
1 π
1
+.
.
.+sin
<
+
+.
.
.+
<
+ .
hi = +sin
Sn =
2
n
2
n
2
3.2
3.2
2

3.2
3.2
2
3.2
i=1
1
π
Mặt khác, ta có Sn là dãy tăng. Từ đó suy ra lim Sn ≤ +
< 1, 03.
n→∞
2 3.2
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Do đó theo ngun lí quy nạp ta suy ra hn = sin

Bài toán 2.3. ([4]) Cho dãy số (un ) được xác định bởi
n

un = 2 .

2−

2+

2 + ... +
n dấu căn

Tính lim un .
n→+∞


√

2


16

Giải

√

2 (n dấu căn). Ta sẽ chứng minh
π
Vn = 2 cos n+1 . (1)
2
Rõ ràng (1) đúng khi n = 1.
π
Giả sử (1) đúng khi n = k, (k ≥ 2), nghĩa là Vk = 2 cos k+1 · Xét
2
√
π
π
π
Vk+1 = 2 + Vk = 2 + 2 cos k+1 = 2.2 cos2 k+2 = 2. cos k+2 . Vậy
2
2
2
(1) đúng khi n = k + 1, suy ra (1) đúng với mọi n.
√
Ta có un = 2n . 2 − 2 + 2 + . . . + 2

π
π
= 2n 2 − 2 cos n+1 = 2n 2.2 sin2 n+2
2
2
π
1
π
= 2n+1 . sin n+2 = .2n+2 . sin n+2 ·
2
2
2
π
1 n+2
·2
· sin n+2
Từ đó ta có lim un = lim
n→+∞
n→+∞ 2
2
π
1 sin 2n+2
= lim .π
.
π
n→+∞ 2
2n+2
π
Vậy lim un = ·
n→+∞

2
Bài toán 2.4. ([12]) Hai dãy số u1 , u2 , . . . , un , . . . và v1 , v2 , . . . , vn , . . . , được
Đặt Vn =

2+

xác định như sau

2 + ... +

√

√
2
2
u1 =
, un+1 =
2
2

v1 = 1, vn+1 =

1−

1 − u2n , ∀n = 1, 2 . . .

1 + vn2 − 1
, ∀n = 1, 2 . . .
vn


Chứng minh rằng 2n+2 .un < π < 2n+2 .vn .
Giải

√

√
π
2
2
Ta có u1 =
= sin 2 , u2 =
2
2
2
π
ta chứng minh được un = sin n+2 .
2
Tương tự v1 = 1 = tan

π
, v2 =
22

1 − cos

π
π
=
sin
. Bằng quy nạp

22
23

1
π
−1
−
1
cos 2π2
π
22
.
=
=
tan
π
π
23
tan 2
tan 2
2
2

1 + tan2


17

Bằng quy nạp ta chứng minh được vn = tan


π

.
2n+2
Mặt khác, vì sin x < x < tan x, ∀x ∈ 0; π2 nên
π
π
π
sin n+2 < n+2 < tan n+2 ⇔ 2n+2 .un < π < 2n+2 .vn .
2
2
2
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tốn 2.5. ([9]) Các dãy số (an ) và (bn ) được xác định như sau
4
2an bn
a1 = , an+1 =
, ∀n = 1, 2 . . .
3
an + bn
√
2
b1 = √ , bn+1 = an+1 .bn , ∀n = 1, 2 . . .
3
Tìm giới hạn của các dãy số đó.
Giải
Ta có a1 =

a2 =


b2 =
a3 =

1
4
= √
3
3
2

=
2

2
1
1
, b1 = √ = √ =
π
π;
2
3
3
cos
cos
6
6
2
1

2

2a1 b1
2
1
=
=
=
π;
π
π
π
1
1
a1 + b 1
2
cos
cos
+
1
cos
cos
+
6
12
6
6
a1 b1
√

a2 b1 =
2


1
1
+
a2 b 2

b3 =

1

1
1
=
π ·
π
π
π
π;
2
cos
cos cos
cos cos
6
6
12
6
12
2
1
=

=
π
π
π;
π
π
π
2
cos cos cos
cos
+1
cos cos
6
12
24
6
12
12

1
=
π
π
π
π
π
π·
π
π
2

cos cos
cos cos cos
cos cos cos
6
12
24
6
12
6
12
24
π

Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được số hạng tổng quát của các dãy
số trên là

an =

1
π ;
π
π
π
2
cos
cos 2 · · · cos n−1 cos n
2.3
2 .3
2 .3
2 .3