ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giảng viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Ngành
Lớp
Khóa

: ThS. Nguyễn Thị Hà Phương
: Nguyễn Thánh Trâm
: Sư phạm Toán
: 12ST
: 2012 - 2016

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2016


Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm
– Đại học Đà Nẵng nói chung, các thầy cơ giáo trong khoa Tốn nói riêng đã tận tình
giảng dạy tơi trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Nguyễn Thị Hà Phương
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảo cho tơi trong suốt q trình hồn thành

khóa luận này. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ phản biện, các thầy cơ
trong hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian đọc và cho nhận xét.

1


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................4
I.

Lý do chọn đề tài ............................................................................ 4

II.

Mục đích nghiên cứu ...................................................................... 4

III.

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................... 5

IV.

Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................... 5

V.

Phương pháp nghiên cứu ................................................................ 5

PHẦN NỘI DUNG .....................................................................................................6
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ...........................................................6

1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .......................................................... 6
1.1.1

Khái niệm về hệ trục tọa độ trong mặt phẳng ..................................6

1.1.2

Tọa độ của một điểm và của vectơ trong mặt phẳng .......................6

1.1.3

Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của 2 điểm mút .................7

1.1.4

Phương trình đường thẳng ...............................................................7

1.1.5

Góc và khoảng cách .........................................................................8

1.1.6

Đường trịn .......................................................................................9

1.2 Phương pháp tọa độ trong không gian ....................................................... 10
1.2.1

Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian ...............................10


1.2.2

Tọa độ của một điểm và của vectơ trong không gian ....................10

1.2.3

Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của 2 điểm mút ...............11

1.2.4

Tích có hướng của hai vectơ ..........................................................11

1.2.5

Các cơng thức tính diện tích và thể tích .........................................12

1.2.6

Phương trình mặt phẳng trong khơng gian ....................................12

1.2.7

Phương trình đường thẳng trong khơng gian .................................13

1.2.8

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng ..............................................13

1.2.9


Góc và khoảng cách .......................................................................14

1.2.10

Mặt cầu ...........................................................................................15
2


CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KIẾN THỨC VẬN DỤNG ............................................18
2.1 Sử dụng các bất đẳng thức ......................................................................... 18
2.2 Sử dụng một số kết quả về các bài toán cực trị thường dùng .................... 18
2.3 Một số dấu hiệu nhận biết .......................................................................... 21
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ..............22
3.1 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài tốn chứng minh bất đẳng thức ... 29
BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ ............................................................................... 39
3.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài tốn tìm cực trị của biểu thức...... 40
BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ ............................................................................... 50
3.3 Ứng dụng phương pháp tọa độ vào các bài tốn hệ phương trình ............. 51
BÀI TỐN ĐỀ NGHỊ ............................................................................... 60
KẾT LUẬN ...........................................................................................................62
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................63

3


PHẦN MỞ ĐẦU
I.

Lý do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức

cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã
học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình là các dạng tốn
phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thơng, thường gặp trong các đề tuyển
sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học
sinh giỏi ở phổ thơng.
Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất
nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài tốn này, học sinh phổ thơng thường lúng
túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Cơsi hay
sử dụng Bunhiacopski…
Nói đến phương pháp tọa độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài tốn hình
học giải tích. Thực tế cho thấy nhiều bài tốn đại số nếu giải theo cách nhìn Đại số
thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học và sử
dụng phương pháp tọa độ vào thì lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phương
pháp khác. Sẽ khơng có nhiều người nghĩ rằng phương pháp tọa độ còn cho ta những
lời giải hay đối với các bài toán đại số: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình,… Cùng với nhiều phương
pháp khác, phương pháp tọa độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải
nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp tọa độ dùng để giải quyết các bài tốn chứa trong
nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó.
Vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để
chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải
hệ phương trình” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
II.

Mục đích nghiên cứu
 Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ.

4


 Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và tính
thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng toán.
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài tập sử
dụng phương pháp tọa độ để giải.
 Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, giải hệ phương trình.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình, trang web liên quan đến phương pháp tọa
độ để rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng
của phương pháp tọa độ.
V.

Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống

hóa, phân dạng các bài tốn.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy kinh nghiệm có được của bản
thân, thầy cơ, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ hơn.
 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp thầy cơ hướng dẫn các kiến
thức có liên quan đến đề tài.

5


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Hình học giải tích được sáng lập ra do 2 nhà bác học người Pháp: Descartes
(1596 – 1650) và Fermar (1601 – 1655). Cốt lõi của phương pháp này là xác lập một
sự tương ứng giữa các cặp số thực có thứ tự với các vectơ, các điểm trong mặt phẳng
hay trong khơng gian; nhờ đó, chúng ta có thể sắp xếp một sự tương ứng giữa có dữ
kiện cố định của bài tốn giúp cho việc giải một bài tốn hình học được chuyển sang
tính tốn một cách định lượng.
Ở chương này trình bày lại một số kiến thức cơ bản về tọa độ trong mặt phẳng
và trong không gian.
1.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
1.1.1

Khái niệm về hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
Hệ gồm 2 trục Ox và Oy vng góc với nhau gọi là hệ trục tọa độ.
Các vectơ đơn vị trên trục Ox và Oy là i và j .

i  j  1.
1.1.2

Tọa độ của một điểm và của vectơ trong mặt phẳng

Tọa độ của điểm


Tọa độ của 1 điểm

M ( x; y )  OM  xi  y j


Tọa độ các điểm đặc biệt
Cho A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 )

Trung điểm của AB có tọa độ là:
 x  x2 y1  y2 
I 1
;

2 
 2

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:
 x  x2  x3 y1  y2  y3 
G 1
;

3
3



6


Tọa độ của vectơ

u  ( x; y)  u  xi  yj
 Các tính chất
Cho các vectơ u1  ( x1; y1 ), u2  ( x2 ; y2 ) và số k tùy ý, ta có:
u1  u2  x1  x2 , y1  y2
u1  u2  ( x1  x2 ; y1  y2 )
ku1  ( kx1 ; ky1 )
u1.u2  x1 x2  y1 y2

2

u1  u1  x12  y12



x1 x2  y1 y2



cos u1 , u2 

x12  y12 . x2 2  y2 2

u

1

 0, u2  0



u1  u2  u1.u2  0  x1 x2  y1 y2  0

1.1.3

Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của 2 điểm mút

Cho 2 điểm A( xA ; y A ) và B( xB ; yB )
AB  ( xB  x A ; y B  y A )

AB 

 xB  x A 

1.1.4

Phương trình đường thẳng

2

  yB  y A 

2

Phương trình tổng quát
Đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ) với vectơ pháp tuyến n  (a; b) có phương trình
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

Phương trình ax  by  c  0 , với a2  b2  0 là phương trình của mặt phẳng có
vectơ pháp tuyến là n  (a; b) .
Các trường hợp riêng
 Nếu a  0, b  0 thì d : by  c  0 song song hoặc trùng trục Ox.
 Nếu a  0, b  0 thì d : ax  c  0 song song hoặc trùng trục Oy.
 Nếu a  0, b  0, c  0 thì d : ax  by  0 đi qua gốc tọa độ.
7


 Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M (a;0), N (0; b) có
phương trình
x y

  1 (Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
a b

Phương trình theo hệ số góc
Phương trình đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là:
y  k ( x  x0 )  y0

Phương trình tham số
Phương trình tham số đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ
phương u  ( a; b) :
 x  x0  at
(t  )

 y  y0  bt

Phương trình chính tắc
Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua M ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ
phương u  ( a; b) :
x  x0 y  y0

a
b

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng d và d ' lần lượt có phương trình:
d : ax  by  c  0
d  : ax  by  c  0

 2 đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi


a b

a b

 2 đường thẳng song song khi và chỉ khi

a b c
 
a b c

 2 đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi

a b c
 
a b c

1.1.5

Góc và khoảng cách
8


Góc giữa 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  (a1; b1 ) và đường thẳng d  vectơ
pháp tuyến n2  (a2 ; b2 ) . Góc giữa 2 đường thẳng d và d ' là ( d , d ')     0;90
xác định bởi:
cos  

n1.n2




n1 . n2

a1a2  b1b2
a12  b12 . a2 2  b2 2

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c  0 là

d M ,  
1.1.6

ax0  by0  c
a 2  b2

Đường trịn

Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính R:
( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2

Dạng khai triển: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với tâm I (a; b) và

R  a2  b2  c .
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn
Cho đường trịn (C) có tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R có phương trình:
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  R 2 và đường thẳng  : ax  by  c  0 (a 2  b 2  0) .

Gọi H là hình chiếu của I lên  .


IH  d  I ,   

ax0  by0  c
a 2  b2

, khi đó:



IH  R   khơng cắt đường trịn (C).



IH  R   tiếp xúc với đường tròn (C). Khi đó  gọi là tiếp tuyến
của đường trịn.



IH  R   cắt đường tròn (C) tại 2 điểm.
9


Vị trí tương đối của 2 đường trịn
Cho 2 đường tròn C  I , R  và C’  J , R’ . Ta có:


IJ  R  R '  (C), (C’) lồng nhau.




IJ  R  R '  (C), (C’) tiếp xúc trong.



R  R '  IJ  R  R '  (C), (C’) cắt nhau.



IJ  R  R '  (C), (C’) tiếp xúc ngoài.



IJ  R  R '  (C), (C’) ở ngồi nhau.

1.2 Phương pháp tọa độ trong khơng gian
1.2.1

Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc

z

được gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng
gian.
2

2


2

k

i  j  k 1
i. j  j.k  k .i  0

j
x

1.2.2

Tọa độ của một điểm và của vectơ trong không gian

Tọa độ của điểm


Tọa độ của 1 điểm

M ( x; y; z )  OM  xi  y j  zk


i

Tọa độ các điểm đặc biệt
Cho A( x1; y1; z1 ), B( x2 ; y2 ; z2 ), C ( x3 ; y3 ; z3 )
Trung điểm của AB có tọa độ là:
 x  x y  y2 z1  z2 
I 1 2; 1
;


2
2 
 2

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:

10

y


 x  x  x3 y1  y2  y3 z1  z2  z3 
G 1 2
;
;

3
3
3



Tọa độ của vectơ

u  ( x; y; z )  u  xi  y j  zk
 Các tính chất
Cho các vectơ u1  ( x1; y1; z1 ), u2  ( x2 ; y2 ; z2 ) và số k tùy ý, ta có:
u1  u2  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2
u1  u2  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 )

ku1  ( kx1 ; ky1 ; kz1 )
u1.u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2
2

u1  u1  x12  y12  z12





cos u1 , u2 

x1 x2  y1 y2  z1 z2
x1  y12  z12 . x2 2  y2 2  z2 2
2

u

1

 0, u2  0

u1  u2  u1.u2  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0

Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của 2 điểm mút

1.2.3

Cho 2 điểm A( xA ; y A ; z A ) và B( xB ; yB ; zB )
AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )

AB 

 xB  x A 

1.2.4

Tích có hướng của hai vectơ

2

  yB  y A    zB  z A 
2

2

Cho u  (a; b; c), v  ( a; b; c)

b c c a a b
u , v   
;
;
  (bc  bc; ca  ca; ab  ab)
 






b

c
c
a
a
b


 Tính chất
 Vectơ u , v  vng góc với cả 2 vectơ u và v , tức là
u, v  .u  u, v  .v  0
 
 

11




 



u, v   u.v.sin u, v
 



u , v   0 khi và chỉ khi 2 vectơ u và v cùng phương.
 


1.2.5

Các cơng thức tính diện tích và thể tích

 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD 


 Diện tích tam giác ABC: S ABC 

1
 AB. AC 

2

 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD. ABCD   AB, AD  . AA '


 Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD 
1.2.6

1
 AB, AC  . AD

6

Phương trình mặt phẳng trong khơng gian

Phương trình tổng qt
Mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) với vectơ pháp tuyến n  (a; b; c) có
phương trình

a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0

Phương trình ax  by  cz  d  0 , với a2  b2  c2  0 là phương trình của
mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n  (a; b; c) .
Các trường hợp riêng
 Nếu d  0 thì ( ) : ax  by  cz  0 đi qua gốc tọa độ.
 Nếu a  0, b  0, c  0 thì ( ) : by  cz  d  0 song song hoặc chứa trục Ox.
 Nếu a  0, b  0, c  0 thì ( ) : ax  cz  d  0 song song hoặc chứa trục Oy.
 Nếu a  0, b  0, c  0 thì ( ) : ax  by  d  0 song song hoặc chứa trục Oz.
 Mặt phẳng ( ) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M (a;0;0),

N (0; b;0), P(0;0; c) có phương trình
x y z
   1 (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)
a b c

12


Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng ( ) và ( ) lần lượt có phương trình:
( ) : ax  by  cz  d  0
( ) : ax  by  cz  d   0

 2 mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi a : b : c  a : b : c
 2 mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi

a b c d
  
a b c d 


 2 mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ khi

a b c d
  
a b c d 

1.2.7

Phương trình đường thẳng trong khơng gian

 Phương trình tham số đường thẳng () đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có
vectơ chỉ phương u  (a; b; c) :
 x  x0  at

 y  y0  bt (t  )
 z  z  ct
0


 Phương trình chính tắc đường thẳng () đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có
vectơ chỉ phương u  (a; b; c) :
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

1.2.8


Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Trong không gian, cho đường thẳng d đi qua điểm M 0 , có vectơ chỉ phương

u và đường thẳng d  đi qua điểm M 0 , có vectơ chỉ phương u ' .


d và d  trùng nhau  u, u ' và M 0 M 0 đôi một cùng phương
 u, u '  u, M 0 M 0   0




u v u ' cun
ì g phỉång
u, u '  0

d d 

u v M 0 M 0 khäng cng phỉång
 u, M 0 M 0   0

13




u v u ' khäng cng phỉång
d và d  cắt nhau  

u , u ' vaì M 0 M 0 âäưng phàóng
 u , u '  0



u , u ' .M 0 M 0  0






d và d  chéo nhau  u, u ' và M 0 M 0 không đồng phẳng
 u, u ' .M 0 M 0  0

1.2.9

Góc và khoảng cách

Góc giữa 2 mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng (1 ) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 có vectơ pháp tuyến

n1  (a1 , b1 , c1 ) và ( 2 ) : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 có vectơ pháp tuyến n2  (a2 , b2 , c2 ) .
Góc giữa 2 mặt phẳng (1 ) và ( 2 ) là  (0    90) thỏa mãn:
n1.n2

cos  




n1 . n2

a1a2  b1b2  c1c2
a12  b12  c12 . a2 2  b2 2  c2 2

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng () đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương

u  (a; b; c) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ pháp tuyến là
n( A; B; C ) . Góc giữa đường thẳng () và mặt phẳng ( ) là  ( ),( )      0;90
xác định bởi:
sin  

u.v



u.v

aA  bB  cC
a 2  b 2  c 2 . A2  B 2  C 2

Góc giữa 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u1  (a1; b1; c1 ) và đường thẳng có
vectơ chỉ phương u2  (a2 ; b2 ; c2 ) . Góc giữa 2 đường thẳng d và d ' là

( d , d ')     0;90 xác định bởi:
14



u1.u2

cos  

u1 . u2



a1a2  b1b2  c1c2
a12  b12  c12 . a2 2  b2 2  c2 2

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d  0 là

d  M ,( )  

ax0  by0  cz0  d
a 2  b2  c2

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
d  (1 ),( 2 )   d  M ,(1 )  , M  (1 )
d  (1 ),( 2 )   d  M ,( 2 )  , M  ( 2 )

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Cho đường thẳng () đi qua M và có vectơ chỉ phương u . Khoảng cách từ
điểm A đến đường thẳng () là d ( A, ) 

 MA, u 



u

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Cho 2 đường thẳng chéo nhau (1 ) đi qua M1 và có vectơ chỉ phương u1 ,
( 2 ) đi qua M 2 và có vectơ chỉ phương u2
d ( 1 ,  2 ) 

u1 , u2  .M 1M 2


u1 , u2 



1.2.10 Mặt cầu
Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) bán kính R:
( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2

Dạng khai triển: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với tâm I (a; b; c) và

R  a 2  b2  c2  d

15


Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính R có phương trình:
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2  R 2 và mặt phẳng (P): ax  by  cz  d  0


(a 2  b 2  c 2  0) .

Gọi H là hình chiếu của I lên (P)

IH  d  I ,( P)  

ax0  by0  cz0  d
a 2  b2  c2

, khi đó:



IH  R  (P) khơng cắt mặt cầu (S).



IH  R  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Khi đó (P) gọi là tiếp diện của
mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp diện tại điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  (S) :

( x0  a )( x  a )  ( y0  b)( y  b)  ( z0  c)( z  c)  R 2


IH  R  (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) tâm H
bán kính r  R 2  IH 2 có phương trình:
( x  a ) 2  ( y  b ) 2  ( z  c ) 2  R 2

 Ax  By  Cz  D  0

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

 x  x0  a1t

Cho đường thẳng () :  y  y0  b1t (t  )
z  z  c t
0
1


và mặt cầu ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2 , ta xét phương trình:

( x0  a1t  a ) 2  ( y0  b1t  b) 2  ( z0  c1t  c) 2  R 2  At 2  Bt  C  0 (1)
Số giao điểm của () và (S) là số nghiệm của phương trình (1).
Trường hợp () cắt (S) tại 2 điểm M, N thì độ dài đoạn MN là:
MN  2 R 2  IH 2 với IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng () .

Vị trí tương đối của 2 mặt cầu
Cho 2 mặt cầu S  I , R  và S ’  J , R’ . Ta có:

16




IJ  R  R '  (S), (S’) lồng nhau.



IJ  R  R '  (S), (S’) tiếp xúc trong.




R  R '  IJ  R  R '  (S), (S’) cắt nhau theo giao tuyến là đường
tròn.



IJ  R  R '  (S), (S’) tiếp xúc ngoài.



IJ  R  R '  (S), (S’) ở ngoài nhau.

17


CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KIẾN THỨC VẬN DỤNG
Ở chương này trình bày một số bất đẳng thức hình học và một số kết quả để
áp dụng vào giải các bài toán liên quan.
Sử dụng các bất đẳng thức

2.1

Cho u1  ( x1; y1; z1 ), u2  ( x2 ; y2 ; z2 ).


u1.u2  u1 . u2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos(u1 , u2 )  1 , hay 2 vectơ

u1 , u2 cùng hướng, tức là u1  ku2 (k  0) 



x1 y1 z1

  k (k  0) .
x2 y2 z2

u1.u2   u1 . u2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos(u1 , u2 )  1 , hay 2

vectơ u1 , u2 ngược hướng, tức là u1  ku2 (k  0) 

x1 y1 z1

  k (k  0)
x2 y2 z2



u, v   u . v , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin (u, v)  1 .
 



u1  u2  u1  u2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vectơ u1 , u2 cùng

hướng.


u1  u2  u1  u2 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vectơ u1 , u2 cùng

hướng.



u1  u2  u3  u1  u2  u3 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 vectơ u1 , u2 , u3
cùng hướng.

 Tổng quát cho bất đẳng thức tam giác:
u1  u2  u3  ...  un  u1  u2  u3  ...  un .

2.2 Sử dụng một số kết quả về các bài toán cực trị thường dùng
Kết quả 1:
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) và mặt
phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 . Tìm điểm M  ( P) sao cho
a) MA  MB nhỏ nhất.
18


b) MA  MB lớn nhất với d  A,( P )   d  B,( P )  .
Phương pháp:
 Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P).
 Nếu (axA  by A  cz A  d )(axB  byB  czB  d )  0 thì 2 điểm A, B cùng phía
với mặt phẳng (P).
 Nếu (axA  by A  cz A  d )(axB  byB  czB  d )  0 thì 2 điểm A, B khác phía
với mặt phẳng (P).
a) MA  MB nhỏ nhất.
 Trường hợp 1: 2 điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P).
Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P), nên MA  MB nhỏ nhất bằng AB khi và
chỉ khi M  AB  (P) .
 Trường hợp 2: 2 điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).
Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Khi đó A’ và B ở khác phía (P) và
MA  MA’ nên MA  MB  MA  MB  AB .


Vậy MA  MB nhỏ nhất bằng A’B khi M  AB  (P) .
b) MA  MB lớn nhất.
 Trường hợp 1: 2 điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).
Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P), nên MA  MB lớn nhất bằng AB khi và
chỉ khi M  AB  (P) .
 Trường hợp 2: 2 điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P).
Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Khi đó A’ và B ở cùng phía (P) và
MA  MA’ nên MA  MB  MA  MB  AB .

Vậy MA  MB lớn nhất bằng A’B khi M  AB  (P) .
Kết quả 2:
Mặt cầu S  I , R  có giao với mặt phẳng ( ) khi và chỉ khi:

d  I ,( )   R
19


Kết quả 3:
2
2
2
Cho mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0 ( A  B  C  0) và mặt cầu

( S ) : ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 có tâm I (a; b; c) , bán kính R .
Mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu (S )  d ( I ,( P))  R khi đó ( P) tiếp
xúc với ( S ) tại duy nhất 1 điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) là hình chiếu vng góc của I trên
mặt phẳng ( P) .
Kết quả 4:
Cho mặt cầu  S  tâm I, bán kính R và mặt phẳng ( ) khơng có điểm chung
với  S  . Gọi H là hình chiếu của I lên ( ) , IH cắt  S  tại M1 , M 2 (giả sử


HM1  HM 2 ). Khi đó với 2 điểm M  (S ), N  (S ) ta ln có
HM1  MN  HM 2

Kết quả 5:
2
2
2
2
Cho 2 mặt cầu ( S1 ) : ( x  a1 )  ( y  b1 )  ( z  c1 )  R1 có tâm I1 (a1; b1; c1 ),

2
2
2
2
bán kính R1 và ( S 2 ) : ( x  a2 )  ( y  b2 )  ( z  c2 )  R2 có tâm I 2 (a2 ; b2 ; c2 ), bán

kính R2 .
 I1 I 2  R1  R2
2 mặt cầu tiếp xúc nhau khi và chỉ khi 
khi đó ( S1 ),( S2 ) có
I
I

R

R
1
2
1

2


duy nhất 1 điểm chung.
Kết quả 6:
Cho 2 mặt cầu S1 ( I1 , R1 ), S2 ( I 2 , R2 ) không có điểm chung. Đường thẳng I1 I 2
cắt (S1 ) tại M1 , M 2 , cắt ( S2 ) tại N1 , N 2 . Đặt
m  min M 1 N1 , M 1 N 2 , M 2 N1 , M 2 N 2 
k  max M 1 N1 , M 1 N 2 , M 2 N1 , M 2 N 2 

Khi đó với mọi điểm M  (S1 ), N  (S2 ) ta ln có m  MN  k
Kết quả 7:
Trong 1 mặt cầu thì đường kính là dây cung có độ dài lớn nhất.
20


Kết quả 8:
Cho tam giác nhọn ABC và M là 1 điểm tùy ý nằm trong mặt phẳng, khi đó
gọi T là 1 điểm nhìn các cạnh BC, CA, AB dưới cùng 1 góc

2
thì T nằm trong
3

tam giác ABC và MA  MB  MC  TA  TB  TC .

2.3 Một số dấu hiệu nhận biết


Gặp biểu thức


a 2  b 2  c 2 thì ta liên tưởng đến đây chính là độ dài của

vectơ u  (a; b; c) .


Gặp biểu thức

(a  m)2  (b  n)2  (c  p) 2 thì ta liên tưởng đến đây

chính là độ dài của vectơ u  (a  m; b  n; c  p) hoặc độ dài đoạn thẳng
AB với A(a; b; c), B(m; n; p) .


Gặp biểu thức am  bn  cp thì ta liên tưởng đến tích vơ hướng của 2 vectơ

u  (a; b; c) , v  (m; n; p) .


Gặp đẳng thức am  bn  cp  d  0 thì ta liên tưởng đến phương trình mặt
phẳng ( ) : ax  by  cz  d  0 và khi đó điểm M (m; n; p)  ( ) .



Gặp đẳng thức (a  m)2  (b  n)2  (c  p)2  k  0 thì ta liên tưởng đến
phương trình mặt cầu ( S ) : ( x  m) 2  ( y  n) 2  ( z  p) 2  k , khi đó điểm

M (a; b; c)  (S ) .



2
2
2
Gặp biểu thức ( x1 y2  x2 y1 )  ( y1 z2  y2 z1 )  ( z1 x2  z2 x1 ) thì ta liên tưởng

đến u, v  với u  ( x1; y1; z1 ) , v  ( x2 ; y2 ; z2 ) .




21


CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM CỰC TRỊ VÀ GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ở chương này trình bày cách giải một số bài tốn bằng 2 phương pháp để làm
nổi bật thế mạnh của phương pháp tọa độ, từ đó đưa ra nhận xét và áp dụng vào giải
một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị và giải hệ phương trình.
Bài tốn 1: (IMO - 1995, [11])
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc  1 .
Chứng minh rằng:

1
1
1
3




a3 (b  c) b3 (c  a) c3 (a  b) 2

Lời giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp giải đại số:
Ta có:

1
1
1


a3 (b  c) b3 (c  a) c3 (a  b)

1
1
1
2
2
2
 a
 b
 c
ab  ac bc  ca ca  cb
1
1
1
2
2
2
 a

 b
 c
ab  ac bc  ca ca  cb
abc
abc
abc
2

1 1 1
1
1
1
   
2
2
2
11 1 1
a b c
a
b
c



 
    
1 1 1 1 1 1
 1 1 1 2 a b c




2   
c b a c b a
a b c

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy:
1 1 1
1
   3. 3
3
a b c
abc

Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

22


1
1
 1
 a
b
c
1 1  1 1  1 1



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  
c

b
a
c
b
a

1  1  1
 a b c

 a  b  c  1.
Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ:
Xét 2 vectơ
u





1
1
1
a (b  c ); b(c  a ); c (a  b) ; v  
;
;

 a 3 (b  c) b 3 (c  a ) c 3 (a  b) 






2

2

 

Áp dụng bất đẳng thức u . v  u.v

2

ta có:


 1 1 1
1
1
1
 3
 3
 a(b  c)  b(c  a)  c(a  b).  3
   
 a (b  c) b (c  a) c (a  b)   a b c 


  bc  ac  ab 
1
1
1
 2(ab  bc  ca ).  3

 3
 3


abc

 a (b  c) b (c  a ) c (a  b)  
1
1
1
bc  ac  ab bc  ac  ab 3
 3
 3
 3



2
a (b  c) b (c  a ) c (a  b)
2
2
2  abc 

2

(Vì ab  bc  ca  3 3 a 2b 2c 2  3 3  abc   3 )
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


a (b  c)

1

b (c  a )

1

c (a  b)
1

a 3 (b  c)

b 3 (c  a )

c 3 ( a  b)

 a 2 (b  c)  b 2 (c  a)  c 2 (a  b)
 a  b  c  1.

Bài toán 2: (Đại học Quốc gia Hà Nội – 2000)
Cho a, b, c  0, ab  bc  ca  abc . Chứng minh rằng:
b 2  2a 2
c 2  2b 2
a 2  2c 2


 3
ab
bc

ca

23

2


Lời giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp giải đại số:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:
3b2  a 2  a 2   b  a  a 
 3  b 2  2a 2    b  2a 

2

2

 3  b 2  2a 2   b  2a
 b 2  2a 2 

b  2a
3



b 2  2a 2 b  2a

abc
3abc




b 2  2a 2 bc  2ac

ab
3abc

Tương tự

c 2  2b 2 ca  2ab

bc
3abc
a 2  2c 2 ab  2bc

ca
3abc

Vậy

b 2  2a 2
c 2  2b 2
a 2  2c 2 3  ab  bc  ca 



 3.
ab
bc
ca

3abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  3 .
Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ:
BĐT cần chứng minh tương đương với
1
2
1 2
1
2
 2  2 2  2 2  3
2
a b
b c
c
a

1 2
1 2 
1 2 
Xét 3 vectơ u   ;
, v   ;
, w   ;
.
a
b
b
c
c
a








Khi đó ab  bc  ca  abc 

1 1 1
  1
c a b

1 1 1
 1 1 1 
u  v  w     ; 2       1; 2 .
 a b c 
a b c



24

