ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

PHAN THỊ HỒNG THẮM

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE CHO BÀI TỐN
TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

PHAN THỊ HỒNG THẮM

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE CHO BÀI TỐN
TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Thùy Dương

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019






Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

Mục lục
Mở đầu

ii

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
7

2 SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE CHO BÀI TỐN TÍCH
PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN
2.1 Giới thiệu sơ bộ về Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các tính năng của Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Một số hàm thông dụng trong Maple . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Thừa số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Các con số trong Maple . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Các ví dụ trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Các ví dụ về đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Các ví dụ giải phương trình đại số . . . . . . . . . . .
2.3.6 Các ví dụ giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . .
2.4 Phần mềm Maple cho bài tốn tích phân đại số ma trận . . .
2.4.1 Bài tốn tích phân đại số ma trận . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Phần mềm Maple cho bài tốn tích phân đại số ma trận

9
9
9
10
11
11
13
16
20
21
22
22
32

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo


42

HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

i


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu tính đồng nhất affine và đồng nhất chỉnh của các siêu diện
thực trong không gian phức là vấn đề cấp thiết của giải tích phức hiện đại.
Cơng trình của E. Cartar đã mơ tả đầy đủ các siêu diện thực đồng nhất của
không gian phức 2 chiều. Tuy nhiên khi số chiều tăng lên trong khơng gian
C3 thì bài tốn mơ tả đầy đủ các siêu diện thực đồng nhất vẫn chưa được
giải quyết, bài toán đang mở cho các nghiên cứu tiếp theo. Việc tích phân
đại số ma trận tương ứng với bề mặt là một trong những vấn đề quan trọng
liên quan đến bài tốn mơ tả đầy đủ này. Một phương pháp để giải bài tốn
tích phân đại số ma trận là tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm
riêng. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thơng tin thì việc sử
dụng một phần mềm tốn học là một việc ý nghĩa và cần thiết.
Với mong muốn giúp cho việc giải hệ phương trình đạo hàm riêng trở nên
nhanh chóng hơn và giới thiệu về một phần mềm tốn học phổ biến hiện nay
tơi đã lựa chọn đề tài “ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE CHO BÀI
TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ MA TRẬN”.
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và sử dụng phần mềm Maple để tìm ra lời giải cho bài tốn
tích phân đại số.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phần mềm Maple và bài tốn tích phân đại số.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phần mềm Maple và bài tốn tích
phân đại số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong quá trình nghiên cứu đề
tài và thực hiện theo quy trình sau:
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

ii


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.
- Mơ tả nghiệm của bài tốn tích phân đại số ma trận bằng cách giải hệ
phương trình đạo hàm riêng. Các kiến thức được sử dụng trong luận văn
thuộc các lĩnh vực: Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Đại số Lie,
Phương trình vi phân,. . .
- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể sử dụng đề tài như là tài liệu
tham khảo đối với sinh viên ngành Tốn và các đối tượng quan tâm đến giải
tích phức.

7. Cấu trúc luận văn
• Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị
Trình bày về những kiến thức cơ bản cần thiết cho các phần sau như:
khái niệm đại số Lie, định nghĩa, định lý của phương trình đạo hàm riêng
và phương pháp tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng.
• Chương II : Sử dụng phần mềm Maple cho bài tốn tích phân đại số ma
trận. Chương này giới thiệu về phần mềm Maple và các tính năng, giới
thiệu bài tốn tích phân đại số ma trận và Ứng dụng phần mềm Maple
trong việc tìm nghiệm cho bài tốn này.

HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

iii


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Đại số Lie

Định nghĩa 1.1. Cho K là một trường và L là một K− KGVT. Ta nói L là
một K - đại số Lie nếu L được trang bị thêm một phép nhân gọi là tích Lie
(hay móc Lie)
[., .] : L × L → L

(x, y) → [x, y]
được gọi là tích Lie của x và y nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
i) (L1 ) : [., .] song tuyến tính
ii) (L2 ) : [., .] phản xứng: [x, x] = 0, ∀x ∈ L

iii) (L3 ) : [., .] thỏa mãn đồng nhất Jacobi:

[x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0
Nhận xét 1.1. - Trên mỗi K bất kì, L đều có thể trang bị tích Lie tầm
thường [x, y] = 0, ∀x, y ∈ L để trở thành đại số Lie. Khi đó, ta gọi L là một
đại số Lie giao hoán.
- Trên cùng một K− KGVT L ta có thể trang bị nhiều hay vơ số đại số
Lie khác nhau khi thay đổi các tích Lie khác nhau.
- Mỗi đại số Lie là mỗi KGVT nên số chiều của đại số Lie là số chiều của
KGVT.
Cho L là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của
L là n. Cấu trúc đại số Lie trên L có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp
vector thuộc cơ sở {e1 , e2 , ..., en } đã chọn trước trên L như sau:
n

[ei , ej ] =
k=1
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

ckij ek , 1 ≤ i < j ≤ n
1


Luận văn thạc sĩ


Khoa Toán - ĐHSP

Các hệ số ckij , 1 ≤ i < j ≤ n được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie L
trong cơ sở được chọn.
Ví dụ 1.1. a) Khơng gian Rn với móc Lie [x, y] ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên
là một đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường, được gọi là đại số
Lie giao hốn.
b) Khơng gian R3 với tích có hướng thơng thường là một đại số Lie thực 3
chiều.
c) Cho ℑ là một đại số kết hợp trên trường C. Với mọi cặp (x, y) ∈ ℑ, ta
định nghĩa [x, y] = xy − yx, khi đó ℑ trở thành một đại số Lie. Nói riêng,
đại số Lie Mat(n, C) các ma trận vuông cấp n trên C là một đại số Lie với
móc Lie [A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ Mat(n, C).
1.2

Phương trình đạo hàm riêng cấp 1

Định nghĩa 1.2. Một phương trình liên hệ giữa các biến độc lập: x1 , x2 , ..., xn ;
các hàm u1 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., uN (x1 , x2 , ..., xn ) và các đạo hàm riêng của các
ẩn hàm đó, gọi là phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR).
Ví dụ 1.2.

∂u
∂u
+ y = 0;
∂x
∂y
∂ 2u
∂ 2u
+ y 2 = 0.

∂x2
∂y
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng của các ẩn hàm u1 , u2 , ..., uN
đối với các biến độc lập: x1 , x2 , ..., xn là
x

∂ k ui
)=0
F (x1 , x2 , ..., xn , u1 , u2 , ..., uN , ...,
∂x1 k1 ...∂xn kn

(1.1)

n

trong đó i = 1, N, ki ∈ Z và

ki = k, còn F là một hàm của nhiều biến.

∗

i=1

Định nghĩa 1.3. Cấp của phương trình (1.1) là cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình (1.1). Một phương trình khơng có mặt các
đạo hàm riêng thì khơng phải là một phương trình đạo hàm riêng.
Phương trình đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của ẩn hàm u đối với hai
biến x, y có dạng:
∂u ∂u
F x, y, u, ,

=0
(1.2)
∂x ∂y
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

2


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
=0
,
F x, y, u, , , 2 ,
∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2

(1.3)

Định nghĩa 1.4. Phương trình (1.1) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm
tuyến tính đối với các hàm u1 , u2 , ..., uN và các đạo hàm riêng của chúng có
mặt trong phương trình. Phương trình khơng tuyến tính gọi là phương trình
phi tuyến. Nếu F chỉ tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất thì
phương trình (1.1) gọi là phương trình á tuyến tính
Ví dụ 1.3.
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
2 ∂u

2 ∂u
+
2
+
x
+
+
y
+ x2 + y 2 u = 0,
2
2
∂x
∂x∂y ∂y
∂x
∂y
là phương trình tuyến tính cấp hai hai của u đối với hai biến x, y.
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
+ y 2 + (x + y) u2 = 0
x 2 + 2xy
∂x
∂x∂y
∂y
là phương trình á tuyến tính.
Định nghĩa 1.5. Hệ (u1 , u2 , ..., uN ) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi
thay hệ đó vào (1.1), ta được một đồng nhất thức của các biến độc lập.
Ví dụ 1.4.

u2xx + (uxx − 2)uxy − u2yy = 0


có nghiệm là u(x, y) = x2 + y 2 .

Định nghĩa 1.6. Phương trình tuyến tính cấp một của ẩn hàm u đối
với x1 , x2 , ..., xn là phương trình có dạng:
n

Xi (x1 , x2 , ..., xn , u)
i=1

∂u
= f (x1 , x2 , ..., xn , u)
∂xi

(1.4)

trong đó Xi , i = 1, n, và f là các hàm của x1 , x2 , ..., xn và u.
Nếu (1.4) có dạng:
n

Xi (x1 , x2 , ..., xn , u)
i=1

∂u
=0
∂xi

(1.5)

gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.

Phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.5). Giả sử Xi , i = 1, n, là
các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng của chúng trong một lân cận
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

3


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

v(X 0 ), X 0 = (x01 , x02 , ..., x0n ) và không đồng thời bằng không tại X 0 , chẳng
hạn:
Xn (X0 ) = 0.
(1.6)
Rõ ràng u = C (C là hằng số) là nghiệm của (1.5) gọi là nghiệm hiển nhiên.
Sau đây ta sẽ chứng minh rằng, với những giả thiết thích hợp nào đó, phương
trình (1.5) có vơ số nghiệm không tầm thường.
Tương ứng với (1.5), ta xét hệ phương trình vi phân thường dạng đối xứng:
dxn
dx1 dx2
=
= ... =
X1
X2
Xn

(1.7)


(1.7) gọi là hệ đối xứng tương ứng với (1.5).
Nếu với giả thiết (1.6) thì trong một lân cận nào đó của X 0 hệ (1.7) tương
đương với một hệ dạng chuẩn tắc sau đây:

dx1 X1


=


 dxn Xn
(1.8)
...


dxn−1 Xn−1



=
dxn
Xn

Định nghĩa 1.7. Hàm ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) khả vi liên tục và không đồng nhất
bằng hằng số gọi là tích phân của hệ (1.7) hay (1.8) nếu nó trở thành đồng
nhất bằng hằng số khi ta thay x1 , x2 , ..., xn−1 bởi bất kì nghiệm riêng nào của
(1.7) hay (1.8).

Giả sử ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) là tích phân của (1.8) và (x1 , x2 , ..., xn ), trong đó
xi = xi (xn ), i = 1, n − 1 là một nghiệm riêng của (1.7). Khi đó ta có:

dϕ = C, C là hằng số
hay

n

dϕ =
i=1
n−1
i=1

Vậy

∂ϕ Xi
∂ϕ
+
dxn = 0
∂xi Xn ∂xn
n
i=1

HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

∂ϕ
dxi = 0
∂xi

∂ϕ
Xi = 0
∂xi


(1.9)

4


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

Định lý 1.1. 1. Nếu hàm số ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) là tích phân khả vi liên tục
của hệ (1.7) thì u = ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) là nghiệm của phương trình (1.5).
2. Ngược lại, nếu u = ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) khác hằng số là nghiệm của (1.5) thì
ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) là tích phân của (1.7).
Chứng minh.
1. Theo giả thiết và (1.9) ta suy ra u = ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) là nghiệm của (1.5).
2. Giả sử u = ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) là nghiệm của (1.5). Ta có:
n

dϕ =
i=1

∂ϕ
dxi = 0.
∂xi

Với xi = xi (xn ), i = 1, n, thỏa mãn (1.8) nên
n−1

dϕ =
i=1


hay

∂ϕ
∂ϕ Xi
+
dxn = 0,
∂xi Xn ∂xn
n
i=1

∂ϕ
Xi = 0
∂xi

theo định nghĩa, ϕ (x1 , x2 , ..., xn ) chính là tích phân của (1.7).
Như vậy, việc tìm nghiệm của phương trình (1.5) tương đương với việc tính
tính phân của hệ (1.7). Với giả thiết (1.6) hệ (1.7) tương đương với hệ (1.8)
trong một lân cận nào đó X 0 = x10 , x02 , ..., x0n và giả sử rằng trong lần cận
này hệ (1.8) có (n − 1) tích phân độc lập
ϕ1 (x1 , x2 , ..., xn ) , ϕ2 (x1 , x2 , ..., xn ) , ..., ϕn−1 (x1 , x2 , ..., xn ) .
Khi đó,
u = Φ(ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn−1 )

(1.10)

với Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì, sẽ là một tích phân của (1.8). Vậy
u = Φ(ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn−1 ) là nghiệm của (1.5).
Ví dụ 1.5. Xét phương trình
x


HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

∂u
∂u
∂u
+ y + z = 0.
∂x
∂y
∂z

(1.11)

5


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

Hệ đối xứng tương ứng
dx dy dz
=
=
(1.12)
x
y
z
y
z

Dễ thấy ϕ1 (x, y) = , ϕ2 (x, y) = ; (x = 0) là hai tích phân độc lập của hệ
x
x
y z
(1.12). Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) là u = Φ , , với
x x
Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì.
Phương trình tuyến tính khơng thuần nhất
Xét phương trình
n

Xi (x1 , x2 , ..., xn , u)
i=1

∂u
= f (x1 , x2 , ..., xn , u)
∂xi

(1.4)

Giả thiết Xi , 1, n và f liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng
trong một lân cận của điểm X 0 = x01 , x02 , ..., x0n , u0 ngoài ra Xn (X 0 ) = 0. Ta
sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.4) có dạng ẩn:
V (x1 , x2 , ..., xn , u) = 0

(1.13)

∂V 0
u = 0.
∂u

Thật vậy, theo định lí hàm ẩn, hàm u xác định từ (1.13) khả vi và:

trong đó V là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn điều kiện:

∂V

∂u
i
= − ∂x
, i = 1, n.
∂V
∂xi
∂u
Thế vào (1.4) ta được:
n

Xi
i=1

∂V
∂V
+f
= 0.
∂xi
∂u

(1.14)

Như vậy V (x1 , x2 , ..., xn , u) = 0 là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần
nhất (1.14).

Gọi ϕ1 (x1 , x2 , ..., xn ) , ϕ2 (x1 , x2 , ..., xn ) , ..., ϕn−1 (x1 , x2 , ..., xn ) là n tích phân
độc lập của hệ đối xứng tương ứng với (1.14):
dxn du
dx1 dx2
=
= ... =
=
X1
X2
Xn
f
Khi đó nghiệm tổng quát (1.14) có dạng:
V = Φ(ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn ).
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

6


Luận văn thạc sĩ

Khoa Tốn - ĐHSP

trong đó Φ là một hàm khả vi liên tục bất kì. Vậy nghiệm của (1.4) có dạng
V = Φ(ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn ) = 0.
1.3

Nghiệm của bài toán Cauchy

Xét bài toán Cauchy sau đây:
n


Xi (x1 , x2 , ..., xn , u)
i=1

∂u
=0
∂xi

u|xn =x0n = ϕ(x1 , x2 , ...xn−1 )

(1.5)
(1.15)

trong đó Xi , i = 1, n, liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng
trong một lân cận của X 0 = x01 , x02 , ..., x0n và Φ là một hàm khả vi liên tục
của các biến x1 , x2 , ..., xn−1 .
Gọi ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn−1 là n − 1 tích phân độc lập của hệ vi phân (1.7) tương
ứng với (1.5).
Đặt

0

 ϕ1 (x1 , x2 , ...xn−1 , xn ) = ϕ1
...

 ϕ (x , x , ...x , x0 ) = ϕ
n−1 1 2
n−1 n
n−1
Giải từ hệ này ta được các xi , i = 1, n − 1, trong lân cận của điểm X 0 :



 x1 = ψ1 (ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn−1 )
...

x
n−1 = ψn−1 (ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn−1 )

Hàm số u = ϕ(ψ1 (ϕ1 , ..., ϕn−1 ), ..., ψn−1 (ϕ1 , ..., ϕn−1 )) là nghiệm của bài
toán (1.5) - (1.15).
Thật vậy, theo (1.10), u thỏa mãn phương trình (1.5). Mặt khác,
u|xn =x0n = ϕ(ψ1 (ϕ1 , ϕ2 , ...ϕn−1 ), ..., ψn−1 (ϕ1 , ϕ2 , ...ϕn−1 )) = ϕ(x1 , ...xn−1 )
Ví dụ 1.6. Tìm nghiệm của bài tốn Cauchy sau đây:

 x ∂z + (y + x2 ) ∂z = z
∂x
∂y

z = y − 4, x = 2
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

7


Luận văn thạc sĩ

Khoa Tốn - ĐHSP

dx
dz

dy
=
=
, có hai tích phân độc lập
x
y + x2
z
y − x2
z
ϕ1 (x, y) =
, ϕ2 (x, z) = . Thế x = 2 vào các tích phân độc lập và xét
x
x
hệ:
Hệ vi phân tương ứng:


 y − 4 =ϕ
y = 2ϕ1 +4
1
2
hay
z
 =ϕ
z = 2ϕ2
2 2
Ta có z = y − 4 hay 2ϕ1 + 4 − 4 = 2ϕ2 .
y − x2 z
Suy ra ϕ2 = ϕ1 , tức là:
= .

x
x
2
Vậy z = y − x là nghiệm của bài toán trên.

HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

8


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

Chương 2

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE
CHO BÀI TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI
SỐ MA TRẬN
2.1

Giới thiệu sơ bộ về Maple

Maple là phần mềm toán học kết hợp cơng cụ tốn học mạnh nhất thế giới
với một giao diện làm việc phân tích, khám phá, hình dung và giải quyết các
vấn đề toán học rất dễ dàng.
Maple có thể giải quyết hầu như bất kì nhánh nào của toán học hoặc lĩnh
vực dựa vào toán học, như tích phân, đại số, phương trình vi phân, thống kê,
thiết kế điều khiển, đại số tuyến tính, vật lý, tối ưu hóa...
2.2


Các tính năng của Maple

- Tính tốn nhanh, chính xác với những số lên tới 20.000.000 chữ số.
- Có thể vẽ đồ thị, tính tốn ngay trên cả đồ thị
- Tuyệt hơn là vẽ đồ thị 3D, xoay hình, kiểm tra dễ dàng.
- Giải phương trình, hệ phương trình nhanh chóng, gần chính xác.
- Phân tích thành nhân tử, biến đổi biểu thức, rút gọn nhanh chóng, khai
triển, tính thương và dư của đa thức,...
- Kiểm tra số đó có phải là ngun tố khơng
- Tìm chữ số thứ n.
- Phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

9


Luận văn thạc sĩ

Khoa Tốn - ĐHSP

- Tính tốn với số phức
- Tính tổng nhanh chóng, thuận tiện, nhất là khi cần tính cơng thức tính
tổng qt của một biểu thức
- Và một số tính năng khác...
2.3

Một số hàm thơng dụng trong Maple

Maple có thể xử lý các đa thức một biến hoặc nhiều biến cả ở dạng khai

triển hoặc không khai triển.
>bt:=(x+y)*(2+x+y)**2;
(x + y) (2 + x + y)2
>expand (bt);
x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3 + 4 x2 + 8 xy + 4 y 2 + 4 x + 4 y
trong đó:
** : lũy thừa
* : nhân
/ : chia
:= : gán giá trị (như ngôn ngữ Pascal)
Lưu ý rằng mọi câu lệnh của Maple đều kết thúc bằng dấu chấm phẩy
Nếu kết thúc câu lệnh bằng dấu hai chấm : Maple vẫn tính tốn và ghi nhận
kết quả nhưng khơng hiển thị kết quả ra màn hình.
>a:=expand((x*y/2-y**2/3)*(x-y)*(3*x+y));
a :=

1
1
3 3
x y − 2 x2 y 2 + xy 3 + y 4
2
6
3

Maple không tự động biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành dạng chính tắc:
>b:=a/(x**3-x**2*y-x*y+y**2);
3
2

x3 y − 2 x2 y 2 + 16 xy 3 + 31 y 4

b :=
x3 − x2 y − xy + y 2

Tuy nhiên có thể biến đổi theo yêu cầu:
>normal (b);

1 9 x2 − 3 xy − 2 y 2 y
.
6
x2 − y
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

10


Luận văn thạc sĩ

Khoa Tốn - ĐHSP

Ví dụ về tính ước số chung lớn nhất (gcd) và bội chung bé nhất (lcm) của
các đa thức.
>gcd(x**3+1,x**2+3*x+2);
x+1
>p:=55*x**2*y+44*x*y-15*x*y**2-12*y**2:
>q:=77*x**2*y-22*x**2-21*x*y**2+6*x*y:
>gcd(p,q);
11x − 3y

>expand(lcm(15*(x-5)*y,9*(x**2-10*x+25)));
45x2 y − 450xy + 1125y

2.3.1

Thừa số

Maple biết cách phân tích các đa thức trên nhiều miền: miền nguyên, các
trường hữu hạn, và các trường số đại số.
>factor(x**4-2);
x4 − 2

>factor(x**4-2,sqrt(2));

√
√
(x2 + 2)(x2 − 2)

Tham số thứ hai trong factor chỉ miền mở rộng đại số. Tham số này có thể là
các căn thức như trên, hoặc một nghiệm số nào đó. RootOf(x**4-2) dùng
để chỉ một nghiệm của x4 − 2. Lệnh alias được dùng để định nghĩa cho ký
hiệu alpha.
>alias(alpha=RootOf(y**2-2)): >factor(x**4-2,alpha);
(x2 + α)(x2 − α)

Chú ý: Nếu ta dùng tên các biến theo các tên mẫu tự: alpha, beta, delta,
gamma, eta,..., Maple sẽ hiển thị các mẫu tự tương ứng: α, β, δ, γ, η, ...
2.3.2

Các con số trong Maple

Maple tiến hành các phép tốn số học là chính xác đối với các dạng hữu
tỷ:

>1/2+1/3+2/7;
47
42
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

11


Luận văn thạc sĩ

Khoa Tốn - ĐHSP

và các tính tốn bảo đảm số chữ số cần thiết theo yêu cầu:
>p:=1153*(3**58+5**40)/(29!-7**36);
13805075714975527214071994314
5368630657311403714453245983
Các hằng số trong Maple có thể được xấp xỉ bằng các số chấm động với số
số lẽ tuỳ ý, có thể điều chỉnh bằng lệnh Digits (giá trị mặc định là 10), lệnh
evalf sẽ cho giá trị số:
>evalf(p);
2.571433313
Nếu các số nhập vào cho dạng số chấm động, kết quả tự động ở dạng tương
ứng.
>1/2.0+1/3.0+2/7.0;
1.119047619
Các hàm lượng giác tính theo radian:
>h:=tan(3*Pi/7);
h := tan

3

π
7

>evalf(h);
4.381286277
>Digits:=40;
Digits := 40
>evalf(h);
4.381286267534823072404689085032695444160
Maple có thể phân tích thành thừa số nguyên tố, hoặc kiểm tra số nguyên
tố:
>p:=2**(2**6)+1;
p := 18446744073709551617
>isprime(p);
false
>ifactor(p);
(67280421310721) ∗ (274177)

Ngồi ra Maple cịn biết nhiều số đặc biệt khác như các hệ số nhị thức, các
số Bernoulli, Euler, Fibonacci, Bell, Stirling ...
>bernoulli(4);
1
−
30
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

12


Luận văn thạc sĩ


2.3.3

Khoa Tốn - ĐHSP

Các ví dụ trong Giải tích

a) Đạo hàm
Việc lấy đạo hàm trong Maple được thực hiện bằng lệnh diff, tham số thứ
nhất là biểu thức được lấy đạo hàm, tham số thứ hai là biến sẽ lấy đạo
hàm theo:
>diff(sin(x)*cos(x),x);
cos(x)2 − sin(x)2
>diff(sin(x)*x**(x**x),x);
xx

cos (x) x + sin (x) x

xx

xx
x (ln (x) + 1) ln (x) +
x
x

>diff(g(x),x);
diff(erf(x),x);

d
g(x)

dx
2e−x
√
π

2

Muốn biết dạng hàm erf(x) ra sao, ta vẽ đồ thị của nó cùng với cả đồ thị
đạo hàm của nó:
>plot(erf(x),diff(erf(x),x),x=-5..5);

HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

13


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

Đạo hàm cấp cao:
>f:=x**9+3*x**7-x**5+5*x**3+1;

>diff(f,x,x,x);

x9 + 3 x7 − x5 + 5 x3 + 1
504 x6 + 630 x4 − 60 x2 + 30

b) Các hàm số toán học
Trong Maple, các hàm toán học một hay nhiều biến có thể được định nghĩa

theo một cách rất tự nhiên. Các hàm này sau đó có thể nhận biến là số
hay ký hiệu:
>f:=x ->sin(x)/x;
x→

sin (x)
x

>f(2.0);
0.4546487134
>f(u);
sin (u)
u
>g:=(x,y)->x*y*sin(x*y);

>g(1,s);

(x, y) → xy sin (xy)
s sin (s)

>g(1.0,2.0);
1.818594854
Các hàm có thể được đạo hàm bằng toán tử D, kết quả sẽ được một hàm
khác:
> D(sin+cos);
cos − sin

>f:=x->sin(x)/x;

x→


sin (x)
x

>D(f);
x→
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

cos (x) sin (x)
−
x
x2
14


Luận văn thạc sĩ

Khoa Tốn - ĐHSP

Tốn tử D cịn có thể dùng để tính đạo hàm riêng.D[i](h) tương ứng với
đạo hàm của h theo biến thứ i
>h:=(x,y)->x**5-x**2*y-y**2;
> D[2](h);
> D[1, 2](h);

(x, y) → x5 − x2 y − y 2
(x, y) → −x2 − 2 y
(x, y) → −2 x

c) Tích phân

Một khả năng quan trọng của Maple là việc tính các tích phân giải tích,
bằng cách xử dụng int, cú pháp tương tự như lệnh diff
>f:=(x**3+9*x**2+28*x+27)/((x+3)**3*x);
x3 + 9 x2 + 28 x + 27
(x + 3)3 x
>int(f,x);
ln(x) −

1
2(x + 3)2

Lưu ý, tương tự như lệnh Diff là một toán tử hình thức, ta cũng có lệnh
Int
>Int(exp(x**2),x);
2

ex dx
>Int(x*cos(x),x)=int(x*cos(x),x);
x cos (x) dx = cos (x) + x sin (x)
Một khi Maple khơng thể tìm được một đáp số kín cho một tích phân, bất
định hay xác định, nó trả trở về dạng đã nhập vào:
>int(sin(x**2)*exp(x)/x,x);
sin x2 ex
dx
x
Trong ví dụ sau đây, ta sẽ tính chuỗi Taylor của hàm kết quả
>f:=int(exp(x**3),x);
f :=
HVTH: Phan Thị Hồng Thắm


3

ex dx
15


Luận văn thạc sĩ

Khoa Toán - ĐHSP

>taylor(f,x=0,15);
1
1
1 13
1
x + O x16 )
x + x4 + x7 + x10 +
4
14
60
312
d) Tổng
Ngoài ra, Maple có lệnh tính tổng, cú pháp tương tự như lệnh tính tích
phân
int: >sum(i,i=0..n-1);
1 2 1
n − n
2
2
>sum(i**4*7**i,i=1..n-1);

−

70
14
7
70
91 n
7 n + 7n + 7n n2 − 7n n3 + 1/6 n4 7n −
54
81
9
9
81

e) Giới hạn
Maple có thể tính giới hạn của một biểu thức khi một biến nào đó tiến
đến một giá trị đặc biệt:
>r:= (sin(x)-x)/x**3;
sin (x) − x
x3
>limit(r,x=0);
−1
6
>limit(r,x=infinity);
0
2.3.4

Các ví dụ về đại số tuyến tính

Maple có nhiều thư viện chuyên biệt cho các lĩnh vực trong toán học (được

gọi là Package). Ở đây ta xem một số ví dụ về package "linalg", thư viện
các tính tốn trong đại số tuyến tính (linear algebra).
Để gọi thư viện này, ta sử dụng lệnh:
>with(linalg);
[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace,

HVTH: Phan Thị Hồng Thắm

16