TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN


KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh
Sinh viên thực hiện
: Nguyễn Thị Thục Uyên
Lớp
: 13ST

Đà nẵng, tháng 5 năm 2017


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 3
1. Lý do chọn đề tài: ..................................................................................................... 3
2. Phạm vi nghiên cứu: ................................................................................................. 3
3. Cấu trúc của luận văn: .............................................................................................. 3

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ ............................................................ 5
1. Các công thức lượng giác cơ bản: ............................................................................ 5

2. Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài: .............................................. 7
3. Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác: ............................................ 12
4. Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác
hóa: ............................................................................................................................. 15

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH ....................................................... 16
1. Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số.......................................... 16
2. Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức. ............................................. 22
3. Ứng dụng lượng giác để giải phương trình. ........................................................... 30
4. Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình........................................................ 40
5. Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. ............................... 46
6. Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của dãy số. ........ 54

KẾT LUẬN........................................................................................................... 56
1. Nhận xét và đánh giá chung về đề tài ................................................................... 56
1.1 Kết quả đạt được ................................................................................................... 56
1.2 Hạn chế ................................................................................................................. 56
2. Hướng phát triển của đề tài .................................................................................. 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 57

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cơ giáo
Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành.
Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Sinh đã
giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp của
mình.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cơ khoa Tốn, thư viện đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Sau cùng, em xin kính chúc cơ Nguyễn Thị Sinh và q thầy cơ khoa Tốn thật
dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh của mình là truyền đạt kiến
thức cho thế hệ mai sau.

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Để giải một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định đúng đắn đường lối
giải bài tốn đó. Q trình đi từ đường lối đúng đắn đến việc có một lời giải tốt địi hỏi
người học phải biết lựa chọn phương pháp và công cụ thích hợp. Một trong những
phương pháp hay, hữu hiệu thường được áp dụng để giải quyết các bài toán đại số và
giải tích phức tạp đó là ứng dụng lượng giác nhằm đưa ra những phép đặt phù hợp cho
bài tốn hay cịn gọi là phương pháp lượng giác hóa.

Vậy thế nào là phương pháp lượng giác hóa?
Khi giải các bài tốn đại số và giải tích dựa vào những điều kiện bó hẹp của biến,
ta đặt ẩn phụ quy bài toán ban đầu về bài toán lượng giác, sau đó giải bài tốn lượng
giác bình thường, từ kết quả đó ta có kết quả của bài tốn ban đầu. Đó chính là phương
pháp lượng giác hóa.
Bằng cách lượng giác hóa thích hợp sẽ góp phần đưa bài tốn khó giải trực tiếp
về một bài toán gián tiếp đơn giản và dễ giải hơn.
Tuy nhiên, khi nào thì nên sử dụng phương pháp lượng giác hóa và cách thức
lượng giác hóa một bài tốn như thế nào thật là khơng đơn giản. Chúng ta cần phải
nhìn bài tốn một cách tổng quát cũng như phải hiểu kỹ từng nội dung , phương pháp
lượng giác hóa để chuyển bài tốn phức tạp về bài toán đơn giản hơn. Hơn nữa, các
bài tốn đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và các đề tuyển chọn học sinh
giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng sách giáo khoa rất ít bài tập dạng này. Cho nên,
việc hướng dẫn cho học sinh THPT biết cách sử dụng phương pháp lượng giác hóa để
giải một số bài tốn đại số và giải tích phức tạp là điều hết sức cần thiết.
Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy toán trong tương
lai, em nghiên cứu đề tài “Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải
tích” và chọn đó là đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài: “Ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán đại số và giải tích” nghiên
cứu giải các bài tốn đại số và giải tích trong chương trình phổ thơng.
3. Cấu trúc của luận văn:
Luận văn này gồm hai chương:
Chương I: Lý thuyết cơ sở
Chương này gồm có 3 phần:
1. Các công thức lượng giác cơ bản:
SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 4



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Phần này hệ thống lại tất cả các công thức lượng giác cơ bản nhất
để áp dụng vào giải các bài toán trong chương II.
2. Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài:
Phần này chứng minh các hệ thức lượng giác cơ bản thường được
sử dụng trong chương II để khi giải tốn ta chỉ việc áp dụng mà
khơng cần chứng minh lại.
3. Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác:
Phần này nêu các dấu hiệu đặc biệt của bài tốn sử dụng phương
pháp lượng giác hóa cũng như cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa bài
toán cho phù hợp.
4. Các bước giải bài toán đại số và giải tích sử dụng phương pháp
lượng giác hóa.
Chương II: Ứng dụng lượng giác để giải một số bài tốn đại số và giải tích.
Chương này gồm 6 phần liên quan đến việc ứng dụng lượng giác để giải
toán, mỗi phần là các dạng toán và cách giải. Các dạng bài tốn được trình bày
rõ ràng, logic.
1. Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số.
2. Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức.
3. Ứng dụng lượng giác để giải phương trình.
4. Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình.
5. Ứng dụng lượng giác để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
6. Ứng dụng lượng giác để tính giới hạn và tìm số hạng tổng quát của
dãy số.


SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

CHƯƠNG I:
LÝ THUYẾT CƠ SỞ
1.
Các công thức lượng giác cơ bản:
1.1 Các công thức cơ bản:
sin 2   cos 2   1
1

1  tan 2  
;    k , k  Z
2
cos 
2
1
;   k , k  Z
sin 2 
k
tan  .cot   1;  
, k Z
2


1  cot 2  

1.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
cos( )  cos 
tan(  )   tan 
sin( )   sin 
cot(  )   cot 
sin(   )  sin 
tan(   )   tan 
cos(   )   cos 
cot(   )   cot 
sin(   )   sin 
tan(   )  tan 
cos(   )   cos 
cot(   )  cot 




sin(   )  cos 
2

tan(   )  cot 
2

cos(   )  sin 
2

cot(   )  tan 
2






1.3 Công thức cộng:
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a.tan b

cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a.tan b

1.4 Công thức nhân đôi:
sin 2  2sin  .cos 
cos 2  cos 2   sin 2   2cos 2   1  1  2sin 2 
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 

1.5 Công thức hạ bậc:

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 6



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

1  cos 2
2
1  cos 2
cos 2  
2
1  cos 2
tan 2  
1  cos 2

sin 2  

1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos a.cos b  [cos(a-b)+cos(a+b)]
2
1
sin a.sin b  [cos(a-b)-cos(a+b)]
2
1
sin a.cos b  [sin(a-b)+sin(a+b)]
2

1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích:
uv

uv
.cos
2
2
uv
u v
cos u  cos v  2sin
.sin
2
2
x
1.8 Công thức viết theo tan :
2
cos u  cos v  2 cos

sin x 

uv
u v
.cos
2
2
uv
u v
sin u  sin v  2 cos
.sin
2
2

sin u  sin v  2sin


2t
1 t2
2t
x
;
cos
x

; tan x 
(t  tan )
2
2
2
1 t
1 t
1 t
2

1.9 Cơng thức góc nhân ba:
sin 3a  3sin a  4sin 3 a
cos 3a  4 cos3 a  3cos a
tan 3a 

3 tan a  tan 3 a
1  3 tan 2 a

1.10 Phương trình dạng cơ bản:
 x    k 2
sin x  sin   

( k  Z)
 x      k 2
cos x  cos   x    k 2 (k  Z)
tan x  tan   x    k (k  Z)
cot x  cot   x    k (k  Z)

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Các hệ thức lượng giác thường được dùng trong bài:

2.1 tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1         k (k  Z)
2.

2

Chứng minh:
Ta có: tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan 
sin  .sin  sin  .sin  sin  .sin 



cos  .cos  cos  .cos  cos  .cos 
sin  .sin  .cos   sin  .sin  .cos   sin  .sin  .cos 


cos  .cos  .cos 
sin  .sin(   )  sin  .sin  .cos 

cos  .cos  .cos 
 cos(     )  cos  .cos(   )  sin  .sin  .cos 

cos  .cos  .cos 
 cos(     )  cos  .cos  .cos 

cos  .cos  .cos 
 cos(     )

1
cos  .cos  .cos 
Ta có: tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1
 cos(     )  0

        k ( k  Z )
2

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2.2 Với  ,  ,   (0; ), cos2   cos2   cos2   2.cos  .cos  .cos   1        
2

Chứng minh:
Ta có:
cos 2   cos 2   cos 2   2.cos  .cos  .cos   1
1

1
 (1  cos 2 )  (1  cos 2  )  cos 2   [cos( + )+cos(   )].cos   1
2
2
 cos(   ).cos(   )  cos 2   cos(   ).cos   cos(   ).cos   0
 [cos(   )  cos  ].[ cos(   )  cos  ]  0

TH1:
[cos(   )  cos  ]  0
 cos(   )   cos 
 cos(   )  cos(   )

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

        k 2

( k  Z)
        k 2
        k 2

        k 2



Mà  ,  ,   (0; ) nên       
2

TH2:
cos(   )  cos   0
 cos(   )   cos   cos(   )
        k 2

( k  Z)
        k 2
        k 2

        k 2


Mà  ,  ,   (0; ) nên không tồn tại  ,  ,  thỏa mãn.
2


Vậy với  ,  ,   (0; ), cos2   cos2   cos2   2.cos  .cos  .cos   1        
2

2.3 tan   tan   tan   tan  .tan  .tan         k (k  Z)
Chứng minh:
Ta có: tan   tan   tan 
sin  sin  sin 



cos  cos  cos 

sin(   ) sin 


cos  .cos  cos 
sin(   ).cos   sin  .cos  .cos 

cos  .cos  .cos 
sin(     )  sin  .cos(   )  sin  .cos  .cos 

cos  .cos  .cos 
sin(     )  sin  .sin  .sin 

cos  .cos  .cos 
sin(     )

 tan  .tan  .tan 
cos  .cos  .cos 
Ta có:
tan   tan   tan   tan  .tan  .tan 
 sin(     )  0
       k ( k  Z )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp
2.4 tan(     ) 


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

tan   tan   tan   tan  .tan  .tan 
1  tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan 

Chứng minh:
Ta có:
tan(     ) 

tan(   )  tan 
1  tan(   ).tan 

tan   tan 
 tan 
1  tan  .tan 

(tan   tan  )
1
.tan 
1  tan  .tan 
tan   tan   tan   tan  .tan  .tan 

1  tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan 
tan   tan   tan   tan .tan .tan 
Vậy tan(     ) 
1  tan .tan   tan .tan  tan .tan 

2.5 Trong ABC ta ln có:
a, tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C
b, cot


A
B
C
A
B
C
 cot  cot  cot .cot .cot
2
2
2
2
2
2

Chứng minh:
a,
Vì A  B  C   nên theo 2.3 ta có:
tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C (đpcm)
b,
Ta có:
A B
 C
 tan(  )
2 2
A
B
tan  tan
2
2  cot C


A
B
2
1  tan .tan
2
2
1
1

A
B
cot
cot
2
2  cot C

A
B
2
cot .cot  1
2
2
A
B
cot .cot
2
2
tan


2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

A
B
 cot
2
2  cot C

A
B
2
cot .cot  1
2
2
A
B
C
A
B
C
 cot  cot  cot  cot .cot .cot

2
2
2
2
2
2
cot

Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.6 Cho ABC có các góc A, B, C nhọn khi đó:
tan A  tan B  tan C  cot

A
B
C
 cot  cot
2
2
2

Chứng minh:
Ta có:
sin A sin B sin A.cos B  sin B.cos A sin( A  B)



cos A cos B
cos A.cos B
cos A.cos B
2sin(  C )

2sin C


cos( A  B)  cos( A  B) cos( A  B)  cos( A  B)

tan A  tan B 

2sin C
2sin C



1  cos( A  B) 1  cos C

C
C
.cos
2
2  2 cot C
C
2
2sin 2
2

4sin

(vì 0  cos( A  B)  1)
A
2
B

tan C  tan A  2 cot
2
A
B
C
 tan A  tan B  tan C  cot  cot  cot (đpcm)
2
2
2
cos( A  B)  1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cos( B  C )  1  A  B  C  60
cos(C  A)  1


Tương tự: tan B  tan C  2 cot

2.7 Cho ABC khi đó: cos 2

A
B
C 9
 cos 2  cos 2 
2
2
2 4

Chứng minh:
Ta có:


cos 2

A
B
C
 cos 2  cos 2
2
2
2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

1  cos A 1  cos B
C

 cos 2
2
2
2
1
C
 1  (cos A  cos B)  cos 2
2

2
A B
A B
C
 1  cos
.cos
 cos 2
2
2
2
A
B
C 9
A B
A B
C 5
 cos 2  cos 2  cos 2   cos
.cos
 cos 2 
2
2
2 4
2
2
2 4
C
A B
C 1
 sin .cos
 sin 2 

2
2
2 4
C
C
A B 1
 (sin 2  sin .cos
)
2
2
2
4
C 1
A B 2 1
A B 1
 [(sin  cos
)  cos 2
]
2 2
2
4
2
4
C 1
A B 2 1 2 A B
 (sin  cos
)  sin
0
2 2
2

4
2


Vậy ta có điều phải chứng minh.
A B
 C 1
sin 2  2 cos 2
C  60

 A  B  C  60
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
A  B
sin A  B  0

2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Một số cách đặt để đưa bài toán về dạng lượng giác:
Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa cho bài tốn được xác định thông
qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong bài tốn và thông qua
miền giá trị của chúng. Và sau đây là các dấu hiệu đặc biệt của bài toán sử dụng

phương pháp lượng giác hóa cũng như cách đặt ẩn phụ để lượng giác hóa bài tốn cho
phù hợp:
 

x  a sin t , t  [  ; ]

3.1
Nếu | x | a (a  0), ta đặt:
2 2

x

a
cos
t
,
t

[0;

]

3.

Trong trường hợp riêng:


 x  a sin t , t  [0; 2 ]
 Nếu 0  x  a, ta đặt: 
 x  a cos t , t  [0;  ]


2



 x  a sin t , t  [- 2 ;0]
 Nếu a  x  0, ta đặt: 
 x  a cos t , t  [  ; ]

2

3.2

a
 

 x  sin t , t  [  2 ; 2 ]\{0}
Nếu | x | a (a  0) , ta đặt: 
 x  a , t  [0;  ]\{  }

cos t
2

Trong trường hợp riêng:
a

x

, t  (0;  )


sin t
 Nếu x  a  0, ta đặt: 
 x  a , t  (  ;  )

cos t
2 2
a

 x  sin t , t  ( ;0)
 Nếu x  a  0, ta đặt: 
 x  a , t  (  ; 3 )

cos t
2 2

3.3

 

x  tan t , t  ( ; )

Nếu x không bị ràng buộc x  R ta đặt:
2 2

 x  cot t , t  (0;  )

Trong trường hợp riêng:





 x  tan t , t  [0; 2 )
Nếu x  0, ta đặt: 
 x  cot t , t  (0;  ]

2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp



3.4

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh



 x  tan t , t  ( 2 ;0]
Nếu x  0, ta đặt: 
 x  cot t , t  [  ;  )

2

Nếu x  0, y  0, z  0 thỏa điều kiện:



xy  yz  zx  1



x  y  z  xyz



x  y  z  xyz  1  xy  yz  zx



xy  1, yz  1, zx  1



x

1
1
1
,y
,z  
3
3
3

 x  tan 


Dựa vào 2.1 ta đặt:  y  tan 
 z  tan 


Tùy theo từng trường hợp thì:
 

 ,  ,   [0; ) hoặc  ,  ,   ( ; )
3.5

2 2
2
Nếu x, y, z  0 thỏa điều kiện: x  y  z  1, dựa vào 2.1 ta đặt:




x

tan
.tan

2
2




 y  tan .tan ( ,  ,   (0;  ))
2

2




 z  tan 2 .tan 2


3.6

Nếu 0  x, y, z  1 thỏa điều kiện: x 2  y 2  z 2  2 xyz  1, dựa vào 2.2 ta đặt:
 x  cos 


 y  cos  với 0   ,  ,  
2
 z  cos 


3.7

3.8

Nếu các số a, b, c, d thỏa mãn: a 2  b 2  c 2  d 2  1 thì đặt:
a  sin 
b  cos 

( ,   [0; 2 ])

c


sin


d  cos 
 x  sin 2 

Nếu x  0, y  0 và x  y  1 thì đặt: 
với   [0; ]
2
2
 y  cos 

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

3.9 Các biểu thức thường được lượng giác hóa:
Biểu thức
Cách lượng giác hóa
[f ( x)]2 +[g( x)]2  1

( x   )2 ( y   )2

 R2

2
2
a
b
(a, b, R  0)

 f ( x)  cos t

 g ( x)  sin t

 f ( x)  sin t
, t  [0; 2 ]
 g ( x)  cos t

hoặc 

 x    aR sin t
, t  [0; 2 ] hoặc

 y    bR cos t
 x    aR cos t
, t  [0; 2 ]

 y    bR sin t

xa

c sin t

 x  a

; t  [0; 2 ]

c
cos
t
y 

b
x  a cos t , t  [0;  ]

ax
ax

x  a cos 2t , t  [0;  ] \{ }
2

(ax)2  (by)2  c 2

a2  x2
x2  a2



4 x3  3x

x  sin t , t  [ 

2x2 1

x  sin t , t  [ 


a  bx 2 (a, b  0)

(ax)2  b2 (a, b  0)
x y
;
1  xy
2x
;
1  x2
1  x2
;
1  x2

x y
1  xy
2x
1  x2
3x  x3
1  3x 2
1
1  x2
a2  x2

 

; ] hoặc x | a | cos t , t  [0;  ]
2 2
|a|
|a|

 

x
, t  [  ; ]\{0} hoặc x 
, t  [0;  ]\{ }
sin t
cos t
2 2
2
x | a | sin t , t  [ 

 

; ] hoặc x  cos t , t  [0;  ]
2 2

 

; ] hoặc x  cos t , t  [0;  ]
2 2

a
a
 
tan t , t  ( ; ) hoặc x 
cot t , t  (0;  )
b
b
2 2
b

 
b
x  tan t , t  ( ; ) hoặc x  cot t , t  (0;  )
a
2 2
a
 x  tan 
 
( ,   ( ; ))

2 2
 y  tan 
x

x  tan t , t  ( 

 

; ) hoặc x  cot t , t  (0;  )
2 2

 

x | a | tan t , t  ( ; ) hoặc x | a | cot t , t  (0;  )
2 2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 15



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

4. Các bước giải bài tốn đại số và giải tích sử dụng phương pháp lượng giác
hóa:
Lượng giác hóa là một phương pháp khá rộng. Với mỗi bài tốn lại có một nét
riêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách nào là hiệu quả với tồn
bộ các bài tốn. Tuy nhiên ta có thể khái qt nội dung của phương pháp sử dụng
lượng giác để giải bài toán đại số và giải tích là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp
với các yêu cầu và giả thiết của bài toán để đưa bài toán đại số và giải tích phức tạp về
bài tốn lượng giác đơn giản hơn và từ đó sử dụng các cơng thức biến đổi lượng giác
quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán.
 Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của
bài toán bằng các giá trị lượng giác đó.
Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặc biệt của
các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thơng qua miền giá trị và hình
thức các cơng thức lượng giác thơng dụng
 Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài tốn
thì ta thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới
với ẩn là các hàm số lượng giác. Giải bài tốn mới bằng cách sử dụng các
cơng thức biến đổi lượng giác đã học.
Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu bài toán
quá “cồng kềnh”
 Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài tốn giải
phương trình, hệ phương trình) rồi kết luận bài toán.
Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo bài
toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác.


SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

CHƯƠNG II:
ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
1. Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số.
Bài 1: Cho ab, bc, ca đều khác 1 . Chứng minh rằng:
a b b c c a a b b c c a



.
.
(1)
1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  ca

Giải:
Cách 1: Phương pháp lượng giác hóa
Đặt:
a  tan 
 

b  tan  ( ,  ,   ( ; ))

2 2
c  tan 


a b
tan   tan 

 tan(   )
1  ab 1  tan  .tan 

Thì:
Tương tự:

bc
 tan(    )
1  bc
ca
 tan(   )
1  ca

(1) trở thành:
tan(   )  tan(    )  tan(   )  tan(   ).tan(   ).tan(   )

(luôn đúng theo 2.3 vì (   )  (    )  (   )  0)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách 2:
a b b c c a a b b c c a




.
.
1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  ca
 (a  b)(1  bc)(1  ca)  (b  c)(1  ab)(1  ca )  (c  a )(1  ab)(1  bc)
 (a  b)(b  c)(c  a)

Ta có:

 (a  b  abc  b 2c)(1  ca )  (b  c  ab 2  abc)(1  ca )  (c  a  abc  a 2b)(1  bc )
 (ab  b 2  ac  bc)(c  a)

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

 a  b  abc  b 2 c  a 2c  abc  a 2bc 2  ab 2c 2  b  c  ab 2  abc  abc  ac 2  a 2b 2c  a 2bc 2  c
 a  abc  a 2b  bc 2  abc  ab 2c 2  a 2b 2c  abc  b 2c  ac 2  bc 2  a 2b  ab 2  a 2c  abc
 b 2 c  a 2c  ab 2  ac 2  a 2b  bc 2  b 2c  ac 2  bc 2  a 2b  ab 2  a 2c
 0  0 (ln đúng)

Vậy ta có điều phải chứng minh.
* Nhận xét: Với cách 2 ta quy đồng đẳng thức cần chứng minh rồi khử mẫu và chứng
minh về đẳng thức đúng nhưng để chứng minh về đẳng thức đúng ta phải khai triển đa
thức ra. Cách này khá là dài dịng, mất thời gian. Trong khi đó, bài này chứa các biểu
a b bc

ca
,
và
nên ta nghĩ ngay đến phương pháp lượng giác hóa bằng
1  ab 1  bc
1  ca
a  tan 
 

cách đặt: b  tan  ( ,  ,   ( ; )) rồi chuyển về chứng minh đẳng thức lượng giác
2 2
c  tan 


thức

sẽ dễ dàng hơn nhiều.
Bài 2: Cho a  b  c  abc  1 ab  bc  ca . Chứng minh rằng:
1  a 2 1  b 2 1  c 2 (1  a 2 )(1  b 2 )(1  c 2 )



(1)
a
b
c
4abc

Giải:
Cách 1: Phương pháp lượng giác hóa

Ta đặt:
a  tan 
 

b  tan  ( ,  ,   ( ; ))
2 2
c  tan 

Ta có: a  b  c  abc  1 ab  bc  ca
 tan   tan   tan   tan  .tan  .tan   1  tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan  (2)
 Nếu 1  tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   0 , ta được:


 tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1
       m

(m, n  Z)
2

 tan   tan   tan   tan  .tan  .tan 
      n
(theo 2.1 và 2.3)

Điều này mâu thuẫn.
 Nên 1  tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   0 , vậy

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 18



Khóa luận tốt nghiệp
(2) 

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

tan   tan   tan   tan  .tan  .tan 
1
1  tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan 

 tan(     )  1 (theo 2.4)
    


4

 k ( k  Z )

 2  2   2 

(1) 


2

 l (l  Z)

1  tan 2  1  tan 2  1  tan 2  (1  tan 2  ).(1  tan 2  ).(1  tan 2  )




2 tan 
2 tan 
2 tan 
8 tan  .tan  .tan 

1
1
1
1
1
1



.
.
tan 2 tan 2  tan 2 tan 2 tan 2  tan 2
 tan 2  .tan 2  tan 2 .tan 2  tan 2 .tan 2   1



 2  2  2 


2

 k (k  Z) (ln đúng theo 2.1)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cách 2:
Ta có: a  b  c  abc  1 ab  bc  ca
 (a  b  c  abc) 2  (1  ab  bc  ca ) 2
 a 2  b 2  c 2  a 2b 2 c 2  2ab  2ac  2a 2bc  2bc  2ab 2c  2abc 2
 1  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  2ab  2bc  2ca  2ab 2c  2a 2bc  2abc 2
 a 2  b 2  c 2  a 2b 2 c 2  4ab  4ac  4a 2bc  4bc  4ab 2c  4abc 2  1  a 2b 2  b 2c 2  c 2 a
 1  a 2  b 2  c 2  a 2b 2c 2  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a  4ab  4ac  4a 2bc  4bc  4ab 2c  4abc 2 (1)

lại có: (1  a 2 )(1  b2 )(1  c 2 )  (1  a 2  b2  a 2b2 )(1  c 2 )
 1  a 2  b2  a 2b2  c 2  a 2c 2  b2c 2  a 2b2c 2 (2)

Từ (1) và (2)  (1  a 2 )(1  b2 )(1  c2 )  4ab  4ac  4a 2bc  4bc  4ab2c  4abc2
(1  a 2 )(1  b 2 )(1  c 2 ) 4ab  4ac  4a 2bc  4bc  4ab 2 c  4abc 2

4abc
4abc
2
2
2
(1  a )(1  b )(1  c ) 1 1
1

  a bc
4abc
c b
a
2
2
2
(1  a )(1  b )(1  c )

1
1
1

 (  a )  (  b)  (  c )
4abc
a
b
c




(1  a 2 )(1  b 2 )(1  c 2 ) 1  a 2 1  b 2 1  c 2



(đpcm)
4abc
a
b
c

* Nhận xét: Với cách 2 ta bình phương 2 vế của giả thiết rồi rút thế vào vế phải và
chứng minh bằng vế trái nhưng khi bình phương 2 vế của giả thiết rất dễ nhầm lẫn, sai
sót và phải thực hiện khá là nhiều bước. Trong khi đó, với giả thiết
a  b  c  abc  1 ab  bc  ca thì ta nghĩ ngay đến phương pháp lượng giác hóa bằng
SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 19



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

 x  tan 

cách đặt:  y  tan  rồi chuyển bài toán về chứng minh đẳng thức lượng giác sẽ dễ
 z  tan 


dàng hơn nhiều.
 x, y , z  0
. Chứng minh rằng:
 xy  yz  zx  1

Bài 3: Cho 

(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  z 2 )(1  x 2 )
(1  x 2 )(1  y 2 )

y

z
2
1  x2
1 y2
1 z2


x

Giải:
Ta đặt:
 x  tan 


 y  tan  ( ,  ,   (0; ))
2
 z  tan 

xy  yz  zx  1
 tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1

    


2

 k (k  Z) (theo 2.1)



Mà  ,  ,   (0; ) nên      

2

2


Khi đó:
1
1
.
2
(1  y )(1  z )
(1  tan  )(1  tan  )
cos  cos 2 
x

tan


tan

1
1  x2
1  tan 2 
cos 2 
sin 
cos(    ) cos  .cos   sin  .sin 



 1  tan  .tan 
cos  .cos  cos  .cos 
cos  .cos 
2

2


2

2

Tương tự như vậy, ta có:
 (1  z 2 )(1  x 2 )
 1  tan  .tan 
y
1 y2


 (1  x 2 )(1  y 2 )
 1  tan  .tan 
z
1 z2


Do đó,
x

(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  z 2 )(1  x 2 )
(1  x 2 )(1  y 2 )

y

z
1  x2
1 y2

1 z2

 3  (tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan  )  3  1  2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

(1  y 2 )(1  z 2)
(1  z2)(1  x2)
(1  x2)(1  y2)

y

z
2
1  x2
1  y2
1  z2

Vậy x

0  a, b, c  1

Bài 4: Cho 


2
2
2
a  b  c  2abc  1

. Chứng minh rằng:

abc  1  c (1  a 2 )(1  b 2 )  a (1  b 2 )(1  c 2 )  b (1  c 2 )(1  a 2 )

Giải:
Ta đặt:
a  cos 


b  cos  ( ,  ,   (0; ))
2
c  cos 


Khi đó:
a 2  b2  c 2  2abc  1
 cos2   cos 2   cos 2   2.cos  .cos  .cos   1
        (theo 2.2)

Do đó, đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng
cos  .cos  .cos   1
 cos  (1  cos 2  )(1  cos 2  )  cos  (1  cos 2  )(1  cos 2  )  cos  (1  cos 2  )(1  cos 2  )
 cos  .cos  .cos   1  cos  .sin  .sin   cos  .sin  .sin   cos  .sin  .sin 
 cos(   ).cos   sin(   ).sin   1  0

 cos(     )  1  0

 cos   1  0 (đúng)
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 5: Giả sử x1 , x2 , x 3 là nghiệm của phương trình x3  ax 2  x  b  0 (b  0) .
Chứng minh rằng:
( x1 

1
1
1
1
1
1
)( x2  )  ( x2  )( x3  )  ( x3  )( x1  )  4 (1)
x1
x2
x2
x3
x3
x1

Giải:
Từ giả thiết ta có:
 x1 x2  x2 x3  x3 x1  1

 x1 , x2 , x3  0

Đặt:

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

 x1  tan 
 

 x2  tan  ( ,  ,   ( ; ))
2 2
 x  tan 
 3

Do đó, tan  .tan   tan  .tan   tan  .tan   1

        k (k  Z) (theo2.1)
2

Mặt khác,
1
1
1
1
1
1
)(tan  

)  (tan  
)(tan  
)  (tan  
)(tan  
)4
tan 
tan 
tan 
tan 
tan 
tan 
tan 2   1 tan 2   1 tan 2   1 tan 2   1 tan 2   1 tan 2   1

.

.

.
4
tan 
tan 
tan 
tan 
tan 
tan 
1
1
1
1
1

1

.

.

.
1
tan 2 tan 2  tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
 tan 2  tan 2  tan 2  tan 2 .tan 2 .tan 2

(1)  (tan  

 2  2  2    k 2 (k  Z) (theo 2.3)
    


2

 k (k  Z) (đúng với giải thiết)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

2. Ứng dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức.
Bài 1: Cho a, b  1 . Chứng minh rằng:

1
1
2


(1)
2
2
1  a 1  b 1  ab

Giải:
Cách 1: Phương pháp lượng giác hóa
a  tan 
 
Đặt: 
( ,   ( ; ))
2 2
b  tan 
ab  1
 tan  .tan   1
sin  .sin 

1
cos  .cos 
 sin  .sin   cos  .cos   0

 cos(   )  0
2
(1)  cos 2   cos 2  
1  tan  .tan 
2
 cos 2   cos 2  
cos  .cos   sin  .sin 
cos  .cos 
2 cos  .cos 
 cos 2   cos 2  
cos(   )
1  cos 2 1  cos 2  2 cos  .cos 



2
2
cos(   )
1
2 cos  .cos 
 1  (cos 2  cos 2  ) 
2
cos(   )
 cos(   ).[1  cos(   ).cos(   )]  cos(   )  cos(   )

Ta có:

 [cos 2 (   )  1].cos(   )  0
 cos(   ).sin 2 (   )  0 (đúng vì cos(   )  0; sin 2 (   )  0 )


cos(   )  0
 ab  1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
sin(   )  0
a  b

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách 2:
1
1
2


2
2
1  a 1  b 1  ab
1  b2  1  a 2
2


2
2
(1  a )(1  b ) 1  ab

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 23



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

 (2  b2  a 2 )(1  ab)  2(1  a 2 )(1  b2 ) (vì a, b  1  1  ab  0,(1  a 2 )(1  b2 )  0 )
 2  a 2  b 2  2ab  a 3b  ab3  2  2a 2  2b 2  2a 2b 2
 2ab  a 3b  ab3  a 2  b 2  2a 2b 2
 a 3b  ab3  2a 2b 2  a 2  2ab  b 2
 ab(a 2  b 2  2ab)  (a  b) 2

 (a  b)2 (ab  1)  0

vì a, b  1 nên ab  1  ab 1  0
mặc khác (a  b)2  0
 (a  b)2 (ab  1)  0 luôn đúng

a  b

Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
 ab  1
* Nhận xét: Với cách 2 ta quy đồng khử mẫu bất đẳng thức cần chứng minh rồi
nhóm, phân tích thành nhân tử, sau đó nhận xét chứng minh bất đẳng thức ln đúng
nhưng bước phân tích thành nhân tử rất khó nhìn thấy. Nó địi hỏi người làm phải tinh,
nhạy biết cách nhóm, phân tích thành nhân tử sao cho phù hợp. Trong khi đó, bài tốn
1
1
,
nên ta nghĩ ngay đến phương pháp lượng giác hóa bằng
2
1  a 1  b2

a  tan 
 
cách đặt: 
( ,   ( ; )) rồi chuyển về chứng minh bất đẳng thức lượng
2 2
b  tan 

chứa biểu thức

giác.
Bài 2: Chứng minh rằng x, y, z  R
| x y|
2008  2007 x 2 . 2008  2007 y 2




| xz|
2008  2007 z 2 . 2008  2007 x 2

| yz|
2008  2007 y 2 . 2008  2007 z 2
(1)

Giải:
Đặt:

x 



y 


z 


2008
tan 
2007
2008
 
tan  ( ,  ,   (  ; ))
2007
2 2
2008
tan 
2007

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 24


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

2008
| tan   tan  |
2007

Ta có:

2008  2007 x 2 . 2008  2007 y 2
2008  2008 tan  2 . 2008  2008 tan  2
| x y|

2008
| tan   tan  |
2007

2008 1  tan 2  . 1  tan 2 


| tan   tan  |
1
1
2007.2008.
.
2
cos  cos 2 

| tan   tan  | .cos  .cos 
2007.2008
| sin  .cos   cos  .sin  |

2007.2008
| sin(   ) |

2007.2008
| yz|

| sin(    ) |

2
2
2007.2008
2008  2007 y . 2008  2007 z


Tương tự ta có:

| xz|
2008  2007 z . 2008  2007 x
(1) | sin(   ) |  | sin(    ) || sin(   ) |
2

2



| sin(   ) |
2007.2008

Mặt khác,
| sin(   ) || sin(       ) |
| sin(   ).cos(    )  sin(    ).cos(   ) |
| sin(   ).cos(    ) |  | sin(    ).cos(   ) |

| sin(   ) |  | sin(    ) | (vì | cos(    ) | 1,| cos(   ) | 1 )

Do đó, ta có điều phải chứng minh.

Bài 3: Chứng minh rằng:
| 4[a 3  (1  a 2 )3 ]  3(a  1  a 2 ) | 2 (1)

Giải:
Điều kiện: | a | 1
Đặt: a  cos t , t  [0;  ]
(1) | 4[cos3 t  (1  cos 2 t )3 ]  3(cos t  1  cos 2 t ) | 2

SVTH: Nguyễn Thị Thục Uyên

Trang 25