BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

VÕ TIẾN ĐẠT

ỨNG DỤNG TỐN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

ĐÀ NẴNG - 2019




BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

VÕ TIẾN ĐẠT

ỨNG DỤNG TỐN TÀI CHÍNH

Chun ngành: Tốn Ứng dụng
Mã số: 311044151108

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S. Lê Văn Dũng

ĐÀ NẴNG - 2019




1

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới T.S. Lê Văn Dũng, ngƣời
thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hƣớng nghiên cứu cho em để hoàn thành
luận án này. Qua đây, em cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy
giáo, cơ giáo trong Khoa Tốn trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Đà Nẵng,
những ngƣời đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu tại trƣờng.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận án
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp
q báu của q thầy cơ và các bạn để luận án đƣợc hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!


2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 5
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 8
1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ............................................................................. 8
1.1. Độ đo xác suất ........................................................................................... 8
2. BIẾN NGẪU NHIÊN...................................................................................... 9
2.1. Biến ngẫu nhiên ........................................................................................ 9
2.2. Hàm phân phối xác suất .......................................................................... 9

2.3. Kì vọng ....................................................................................................... 9
2.4. Phƣơng sai và độ lệch chuẩn ................................................................. 10
2.5. Một số phân phối xác suất quan trọng:................................................ 11
2.5.1

Phân bố Bernoulli: ........................................................................... 11

2.5.2

Phân bố nhị thức: ............................................................................. 11

2.5.3

Phân bố Poisson: .............................................................................. 12

2.5.4

Phân bố mũ: ...................................................................................... 12

2.5.5

Phân bố đều: ..................................................................................... 13

2.5.6

Phân bố chuẩn: ................................................................................. 13

2.5.7

Phân bố khi bình phƣơng: .............................................................. 14


2.5.8

Phân bố F .......................................................................................... 15


3

2.6. Hiệp phƣơng sai và hệ số tƣơng quan .................................................. 15
2.6.1

Hiệp phƣơng sai: .............................................................................. 15

2.6.2

Hệ số tƣơng quan: ............................................................................ 16

3. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN:........................................................................ 17
3.1. Q trình ngẫu nhiên ............................................................................. 18
3.2. Chuyển động Brown............................................................................... 18
3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito....................................................................... 18
3.4. Cơng thức Ito .......................................................................................... 20
3.5. Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên ......................................................... 20
4. QUYỀN CHỌN ............................................................................................. 21
4.1. Giá quyền chọn tại thời điểm đáo hạn ................................................. 22
4.2. Công thức cặp đôi mua - bán ................................................................ 23
4.3. Định giá quyền chọn bằng mơ hình nhị thức....................................... 25
4.4. Định giá quyền chọn bằng mơ hình Cox-Ross-Rubinstein................. 27
4.5. Định giá quyền chọn bằng mơ hình Black-Scholes ............................. 30
5. PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BLACK – SCHOLES ............... 31

5.1. Tham số  ............................................................................................. 33
5.2. Tham số



............................................................................................ 34

5.3. Tham số  .............................................................................................. 35
5.4. Mối liên hệ giữa

, 

và  .................................................................. 36


4

CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG TỐN TÀI CHÍNH .................................................... 37
A. BẢO HỘ GIÁ ................................................................................................ 37
1. Khái niệm bảo hộ ....................................................................................... 37
2. Bảo hộ Delta ............................................................................................... 37
3. Delta của một danh mục đầu tƣ ............................................................... 43
4. Gamma của một danh mục đầu tƣ .......................................................... 44
B. TỐI ƢU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƢ ........................................................ 46
1. Tỉ lệ lợi nhuận và tỉ lệ lợi nhuận kì vọng ................................................. 46
2. Hàm thỏa dụng .......................................................................................... 47
3. Tối ƣu hóa danh mục đầu tƣ .................................................................... 50
3.1. Phân tích phƣơng sai bé nhất............................................................. 52
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 56



5

MỞ ĐẦU

Chun ngành Tốn tài chính
Chun ngành tốn tài chính (Mathematical Finance) là một trong những chuyên
ngành sâu của Kinh tế tốn với sự kết hợp giữa Tài chính học và Toán học. Ra
đời vào những năm 50 của thế kỷ XX, chun ngành này đã đóng góp vai trị
quan trọng trong việc hiện đại hố nghiên cứu tài chính, ngân hàng và bảo hiểm.
Hàng loạt các giải thƣởng lớn về kinh tế, đặc biệt là các giải Nobel Kinh tế vào
cuối thế kỷ XX đã đƣợc trao cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này.
Mục tiêu đào tạo của chun ngành
Đào tạo Cử nhân có phẩm chất chính trị, đạo đức và sức khoẻ tốt; nắm vững kiến
thức cơ bản về kinh tế- xã hội; có năng lực chun mơn về kinh tế, có khả năng
phân tích, hoạch định chính sách và giải quyết các vấn đề kinh tế thuộc các lĩnh
vực, các cấp khác nhau của nền kinh tế quốc dân. Các cử nhân có khả năng
nghiên cứu, phân tích và tƣ vấn tài chính trên cơ sở ứng dụng các phƣơng pháp
toán học, xử lý dữ liệu và kỹ thuật tính tốn hiện đại.
Với mục đích đào tạo các chuyên gia kinh tế hiện đại trong lĩnh vực Tài chính về
kiến thức Tốn học sinh viên Tốn Tài Chính đƣợc trang bị một khối lƣợng kiến
thức Toán học tƣơng đối đầy đủ. Về các kiến thức chun ngành Tốn tài chính
trang bị một khối lƣợng kiến thức Tài chính hiện đại dựa trên cơ sở mơ hình hố,
phân tích dữ liệu và dự báo.


6

Tất cả các nội dung của các môn học đƣợc xây dựng trên cơ sở các chƣơng trình

Âu – Mỹ có tính cập nhật cao. Các mơn học và các kỹ năng ứng dụng đƣợc trang
bị cùng các phần mềm chuyên dụng tiêu chuẩn quốc tế ( Eviews, SPSS,
Winstata, Gams, Mathematical…).
Các lĩnh vực tiếp cận
Phân tích đầu tƣ chứng khốn và mơi giới với các lớp mơ hình định lƣợng, ngẫu
nhiên các khả năng dự báo tốt.
Phân tích rủi ro trong các hoạt động ngân hàng đặc biệt là rủi ro tín dụng.
Đầu tƣ tài chính và bảo hiểm.
Mơ hình hố hoạt động tài chính của cơng ty với việc định giá công ty, dự báo
nguồn vốn và hiệu quả hoạt động trong tƣơng lai cũng nhƣ các nguy cơ có thể
xảy ra.
Kinh doanh ngoại hối; các mơ hình kinh tế vĩ mơ khác.
Mơ hình hố và phân tích các q trình kinh tế xã hội.
Phân tích thống kê và dự báo đối với các quá trình kinh tế xã hội.
Thiết lập và giải các bài toán tác nghiệp trong các lĩnh vực kinh tế xã hội.
Sự khác biệt trong hệ thống đào tạo của chuyên ngành này chính là: Hệ thống
kiến thức toán học tƣơng đối đầy đủ, đặc biệt là kiến thức mơ hình hố kinh tế,
phân tích dữ liệu và hệ thống kiến thức kinh tế học, tài chính học hiện đại cho
phép mơ hình hố và tính tốn cụ thể các quan hệ, sự tác động của các nhân tố
kinh tế xã hội và thể chế đến các hoạt động kinh tế nói chung và các hoạt động


7

tài chính nói riêng. Một hệ thống chƣơng trình hiện đại với tiếp cận mở cũng cho
phép các cử nhân tốn tài chính tiếp cận dễ dàng hơn với các loại hàng hố mới
trên thị trƣờng tài chính cũng nhƣ cơ cấu và hình thức hoạt động ngày càng phức
tạp cuả thị trƣờng này.



8

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
1.1.

Độ đo xác suất

Định nghĩa 1.1.
Cho F là một  -đại số trên không gian mẫu  . Hàm tập hợp P : F 

đƣợc

gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
(1) Với mọi A  F , 0  P( A)  1 ;
(2) P ()  1 ;
(3) Nếu A1 , A2 ,..., An ,...  F đôi một xung khắc ( Ai  Aj   với mọi i  j ) thì


P(
n 1



An )   P( An )
n 1


Khi đó, P ( A) đƣợc gọi là xác suất biến cố A . ( ; ; P ) đƣợc gọi là không gian
xác suất.
Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất cơ bản của xác suất nhƣ sau.
Tính chất 1.1.
1) P ()  0
2) P( A)  P( A)  1


9

3) Nếu A  B thì P ( A)  P ( B ) .
4) Cho A1 , A2 ,..., An 
n

P(
i 1

. Khi đó ta có
n

Ai )   P( Ai )   P( Ai1 Ai1 )  (1) r
i 1

i1 i2



i1 i2 ...ir

P( Ai1 Ai1 ... Air )


 (1)n 1 P( A1 A2 ... An )

2. BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1.

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1. Cho không gian xác suất (, , P) . Ánh xạ X :  
gọi là Biến ngẫu nhiên nếu với mọi a

đƣợc

:

X 1 ((; a))  {   : X ( )  a} 
Tập tất cả các giá trị của

2.2.

X

đƣợc gọi là miền giá trị của X và kí hiệu là X ( ) .

Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa 2.2. Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số:

F ( x)  P ( X  x ), x 
đƣợc gọi là hàm phân phối xác suất của X .


2.3.

Kì vọng


10

Định nghĩa 2.3. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên khơng gian xác suất
(,

, P) có hàm phân phối xác suất FX ( x ) . Kì vọng của biến ngẫu nhiên X ,

kí hiệu là E ( X ) , đƣợc định nghĩa:

E ( X )   xdFX ( x)
trong đó tích phân vế phải là tích phân Lebesgue - Stieljes.
Tính chất 2.1.
1) Nếu X  C là hằng số thì E (C )  C.
2) Nếu a, b 

và X , Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian

mẫu  thì:

E (aX  b)  aE ( X )  b và E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )

2.4.

Phƣơng sai và độ lệch chuẩn


Định nghĩa 2.4. Cho biến ngẫu nhiên X . Khi đó, đại lƣợng:
V ( X )  E ( X  E ( X )) 2

đƣợc gọi là phương sai của X , SD( X )  V ( X ) đƣợc gọi là độ lệch chuẩn của

X.
Tính chất 2.2.
1) V ( X )  0 , V ( X )  0 khi và chỉ khi X  C (hằng số).


11

2) V ( X )  E ( X 2 )  ( E ( X )) 2 .
3) V (aX  b)  a 2V ( X ) với mọi a, b  .

2.5.

Một số phân phối xác suất quan trọng:

2.5.1 Phân bố Bernoulli:

Định Nghĩa 2.5. Biến ngẫu nhiên rời rạc
nếu

có phân bố Bernoulli với tham số

có miền giá trị

và hàm xác suất:


{

Kí hiệu:
Tính chất 2.3. Nếu

thì

.

2.5.2 Phân bố nhị thức:

Định nghĩa 2.6. Biến ngẫu nhiên rời rạc
nếu
suất:

Kí hiệu:
Tính chất 2.4.

.

có phân bố nhị thức với tham số

có miền giá trị

và

và hàm xác



12

1) Nếu

thì

và

.

là n biến ngẫu nhiên đọc lập, cùng phân bố xác suất với

2) Nếu

thì biến ngẫu nhiên

có phân bố nhị thức

2.5.3 Phân bố Poisson:

Định nghĩa 2.7. Biến ngẫu nhiên rời rạc
nếu

có miền giá trị

có phân bố Poisson với tham số
và hàm xác suất:

Kí hiệu:
Tính chất 2.5.

1) Nếu

thì

2) Nếu

là

biến ngẫu nhiên đọc lập, cùng phân bố với

thì biến ngẫu nhiên

có phân bố Poisson

2.5.4 Phân bố mũ:

Định nghĩa 2.8. Biến ngẫu nhiên liên tục
nếu cps hàm mật độ
{
Kí hiệu:

có phân bố mũ với tham số


13

Tính chất 2.6. Nếu

thì


,

2.5.5 Phân bố đều:

Định nghĩa 2.9. Biến ngẫu nhiên liên tục

có phân bố đều trên đoạn

nếu có hàm mật độ xác suất:

{

Kí hiệu:
Tính chất 2.7. Nếu

thì

,

2.5.6 Phân bố chuẩn:

Định nghĩa 2.10. Biến ngẫu nhiên liên tục

có phân bố chuẩn với tham số

nếu cps hàm mật độ xác suất:

√
Kí hiệu:
Tính chất 2.8.

1)

và


14

2)
là các biens ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suất với

3) Nếu
thì:

Và
̅
(

4)
5) Với

)

ta có:
(

*

(

)


2.5.7 Phân bố khi bình phƣơng:

Định nghĩa 2.11. Biến ngẫu nhiên liên tục
tự do nếu có hàm mật độ xác suất:

{

Kí hiệu:

( )

có phân bố khi bình phương

bậc


15

2.5.8 Phân bố F

Định nghĩa 2.12. Cho

là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố khi

bình phƣơng với bậc tự do lần lƣợt là

. Khi đó tỉ số:

Có hàm mật độ xác suất là:

(

)( )

( )

( ) ( )*

+

{
và đƣợc gọi là phân bố

với bậc tự do

.

Kí hiệu:
2.6.

Hiệp phƣơng sai và hệ số tƣơng quan

2.6.1 Hiệp phƣơng sai:

Hiệp phƣơng sai (Covariance) của 2 biến ngẫu nhiên

kí hiệu là

đƣợc định nghĩa rằng:
Tƣơng tự nhƣ cách khai triển của phƣơng sai, ta cũng sẽ thu đƣợc công thức

tƣơng đƣơng nhƣ sau:


16

Nếu

là độc lập thì

nên lúc này ta có

,

nhƣng điều ngƣợc lại chƣa chắc đã đúng
Hiệp phƣơng sai có một số tính chất sau:




với



(∑



∑

∑


)

∑

là hằng số

∑

∑

(
∑ ∑

)
(

)

Hiệp phƣơng sai thƣờng đƣợc tập hợp lại thành 1 ma trận đối xứng gọi là ma
trận hiệp phƣơng sai:
[

]

[

]

2.6.2 Hệ số tƣơng quan:


Nhƣ ta đã biết khi hiệp phƣơng sai bằng 0 thì vẫn chƣa chắc đƣợc rằng chúng là
độc lập mà khi đó ta sẽ đƣa ra khái niệm là chúng không tƣơng quan nhau. Cịn
trƣờng hợp hiệp phƣơng sai khác 0 thì ta nói rằng chúng tƣơng quan với nhau.
Với lý do tƣơng tụ khi đƣa ra độ lệch chuẩn (Standard Deviation), ta cũng sẽ đƣa
ra khái niệm hệ số tƣơng quan (Correlation) đƣợc kí hiệu là
nghĩa nhƣ sau:
√

và định


17

Ta có thể chứng minh đƣợc rằng
có quan hệ tuyến tính tức là:
, cịn nếu

thì

. Khi |
. Nếu

|

thì giữa

thì

. Hệ số tƣơng quan cho ta thấy đƣợc


các biến ngẫu nhiên có quan hệ tuyến tính chặt tới đâu tức là khi 1 biến biến
thiên thì biến cịn lại cũng sẽ biến thiên tƣơng ứng. |
rằng 2 biến có quan hệ tuyến tính càng chặt chẽ.
là thuận biến với nhau, cịn
nhau. Khi

| càng lớn thì ta nói
ám chỉ rằng 2 biến

ám chỉ rằng 2 biến là nghịch biến với

ta nói rằng chúng không tƣơng quan với nhau. Lƣu ý

rằng khi 2 biến độc lập thì chúng khơng tƣơng quan nhƣng điều ngƣợc lại thì
chƣa chắc đúng.

3. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN:
Theo ngơn ngữ toán học, sự biến động theo thời gian của giá cả (nhƣ giá
vàng, giá dầu hỏa, giá cổ phiếu của công ty Intel, v.v.) cũng nhƣ của các số liệu
khác (ví dụ nhƣ mức tăng trƣởng kinh tế, tỷ lệ thất nghiệp, v.v.) đƣợc gọi là các
quá trình ngẫu nhiên (random process), bởi vì nói chung khơng có ai có thể
biết trƣớc đƣợc một cách chính xác giá trị của chúng trong tƣơng lai sẽ ra sao.
Để nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên này, chúng ta sẽ cần dùng đến một bộ
phận của toán học gọi là giải tích ngẫu nhiên (stochastic calculus). Giải tích
ngẫu nhiên là giải tích tốn học (các phép tính giới hạn, vi tích phân, v.v.) áp


18


dụng vào các quá trình ngẫu nhiên, dựa trên cơ sở của lý thuyết xác suất thống
kê.

3.1.

Quá trình ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất

. Nếu với mỗi

là một

) đƣợc gọi là quá trình ngẫu nhiên.

biến ngẫu nhiên thì (

3.2.

,

Chuyển động Brown

Định nghĩa 3.1. Quá trình ngẫu nhiên (

) xác định trên không gian

xác suất đầy đủ đƣợc gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn (hoặc quá trình
Weiner) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1)


h.c.c.

2) Với mỗi cặp
và phƣơng sai

,

có phân phối chuẩn với kì vọng 0

.

3) có số gia độc lập, tức là với

,các giá số

, là các biến ngẫu nhiên độc lập.
4) với hầu hết

3.3.

là hàm liên tục (quỹ đạo liên tục).

,

Tích phân ngẫu nhiên Ito

Cho khơng gian xác suất đầy đủ

và


là một họ tăng các

-đại số con của .
Với
trên

, kí hiệu

là lớp các hàm ngẫu nhiên

thoả mãn các điều kiện:

xác định


19

là hàm đo đƣợc đối với -đại số tích

1)
2) với mỗi

,

∫

3)

là hàm


.
-đo đƣợc.

.

2
Định lý 3.1. Tồn tại duy nhất ánh xạ I : N (0, T )  L (, , P) sao cho:

1) I là tuyến tính: I (af1  bf 2 )  aI ( f1 )  bI ( f 2 ) .
2) I là ánh xạ đẳng cự:
T

E[ I ( f 2 )]  E[  f 2 (t ,  )dt ].
0

3) I ( I[ s,t ] )   (Wt  Ws ) ,
trong đó  là biến ngẫu nhiên tùy ý đo đƣợc đối với

t

( s  t ) và bình

2
phƣơng khả tích:  L (, t , P) .

Ta sẽ kí hiệu
∫
và gọi là tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên
Định lý 3.2. Cho


.

. Ta định nghĩa

và giả sử
∫

đối với quá trình Weiner

∫

Khi đó ta có
i. ∫

∫

ii. ∫ (
iii.

∫

iv.

∫

∫
)

∫


∫

∫

.


20

3.4.

Cơng thức Ito

Giả sử
∫
. Ta có thể viết dƣới dạng

với

Đẳng thức này gọi là một vi phân ngẫu nhiên.
Tổng quát hơn, giả sử q trình

có dạng
∫

Khi đó ta nói

∫


là một q trình Ito có vi phân ngẫu nhiên

Định lý 3.3. Cho u (t , x) là hàm số xác định trên [0, T ] 

có các đạo hàm riêng

ut, ux , uxx liên tục. Cho X t là một quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên
dX t  adt  bdWt ,

trong đó a  a (t ,  ) và b  b(t ,  ) . Khi đó Yt  u (t , X t ) cũng là một quá trình
ngẫu nhiên Ito với vi phân ngẫu nhiên
u
u 1 2  2u
u
dYt  [  a
 b
]dt  b dWt
2
t
x 2 x
x

3.5.

Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên


21

Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên là phƣơng trình có dạng

dX t  a(t , X t )dt  b(t , X t )dWt

với điều kiện ban đầu X 0  c ( c là hằng số).

4. QUYỀN CHỌN
Trên thế giới có nhiều loại quyền chọn khác nhau, nhƣng chỉ có hai loại
thơng dụng nhất, là quyền chọn kiểu Âu (European-style option) và quyền
chọn kiểu Mỹ (American-style option), và phổ biến nhất là kiểu Mỹ. Phần lớn
quyền chọn của cổ phiếu Châu Âu cũng là quyền chọn kiểu Mỹ. Tìm hiểu các
tính chất cơ bản của các quyền chọn kiểu Âu và Mỹ, các mơ hình định giá
chúng, đặc biệt là mơ hình Black-Scholes, đƣợc Fisher Black và Myron Scholes
xây dựng và Robert Morton phát triển từ năm 1973 cho quyền chọn kiểu Âu, và
mơ hình nhị phân Cox-Russ-Rubinstein đƣợc xây dựng năm 1979. Mơ hình nhị
phân Cox-Russ-Rubinstein có thể áp dụng đƣợc nhiều trƣờng hợp hơn là mơ
hình Black-Scholes, và đƣợc dùng làm phƣơng pháp để tính giá quyền chọn kiểu
Mỹ trên các thị trƣờng chứng khoán trên thế giới, ví dụ nhƣ thị trƣờng chứng
khốn châu Âu Eurex.
Nhắc lại rằng, các quyền chọn mua (call option, gọi tắt Call) là các quyền
cho phép mua, nhƣng không bắt buộc phải mua, các mặt hàng nào đó, tại các
thời điểm nào đó, với giá nào đó theo thỏa thuận từ trƣớc, trong các điều kiện
nào đó. Tƣơng tự nhƣ vậy, các quyền chon bán (put option, gọi tắt Put) là các
quyền cho phép bán với các điều kiện nào đó, nhƣng không bắt buộc phải bán.
Một quyền chọn mua kiểu châu Âu (European Call) là một hợp đồng cho
phép nhà đầu tƣ mua một đơn vị của một hàng hóa hay tài sản

nào đó (gọi là


22


underlying asset) với một giá

đã đƣợc cố định, gọi là giá thực hiện (exercise

price hay strike price) tại một thời điểm

trong tƣơng lai cũng đã đƣợc cố

định, gọi là thời điểm đáo hạn (exercise time hay expiry time). Nếu thay chữ
mua bằng chữ bán trong định nghĩa này, thì ta đƣợc một quyền chọn bán kiểu
châu Âu (European Put).
Một quyền chọn mua kiểu Mỹ (American Call) là một hợp đồng cho phép
nhà đầu tƣ mua một đơn vị của một tài sản (underlying asset)
hiện (strike price)

với một giá thực

đã đƣợc cố định tại mọi thời điểm cho đến một thời điểm

đáo hạn (expiry time)

trong tƣơng lai cũng đƣợc cố định. Một quyền chọn

bán kiểu Mỹ (American Put) cũng đƣợc định nghĩa tƣơng tự nhƣ là call option
kiểu Mỹ, nhƣng thay chữ mua bằng chữ bán.
Sự khác nhau giữa quyền chọn kiểu Âu và kiểu Mỹ là quyền chọn kiểu Mỹ
cho quyền mua (nếu là Call) hoặc bán (nếu là Put) vào thời điểm

hoặc mọi thời


điểm trƣớc đó, trong khi đó quyền chọn kiểu Âu chỉ cho quyền mua/bán tại đúng
thời điểm

thơi. Vì sự khác nhau này, việc đánh giá giá trị của quyền chọn kiểu

Mỹ sẽ phức tạp hơn so với quyền chọn kiểu Âu, tuy rằng trong nhiều trƣờng hợp
thì giá của quyền chọn kiểu Mỹ và kiểu Âu sẽ gần nhƣ nhau, thậm chí đúng bằng
nhau.

4.1.

Giá quyền chọn tại thời điểm đáo hạn

Với t  [0; T ] , ký hiệu
Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm t : Ce  Ce (t )
Giá quyền chọn bán kiểu châu Âu tại thời điểm t : Pe  Pe (t )
Giá quyền chọn mua kiểu Mỹ tại thời điểm t : Ca  Ca (t )


23

Giá quyền chọn bán kiểu Mỹ tại thời điểm t : Pa  Pa (t )
Giá tài sản trong kí kết hợp đồng quyền chọn tại thời điểm t : S (t )
Giá thực thi quyền chọn: K .
Định lý 4.1. Kí hiệu

là ở thời điểm t . Nếu các quyền chọn có giá thực thi

K thì tại thời điểm đáo hạn T ta có


Ce (T )  Ca (T )  (S (T )  K )  max{S (T )  K ,0}
và

Pe (T )  Pa (T )  ( K  S (T ))  max{K  S (T ),0}
Chứng minh: Ở thời điểm đáo hạn thì Ce và Ca có giá trị nhƣ nhau, tƣơng tự Pe
và Pa cũng có giá trị nhƣ nhau. Do đó ta chỉ xét Ce (T ) và Pe (T ) .
Nếu S (T )  K thì hiển nhiên Ce (T )  0 vì khơng nhà đầu tƣ nào lại bỏ
tiền mua quyền chọn mua với giá Ce (T )  0 để mua cổ phiếu với giá cao hơn giá
thị trƣờng. Còn nếu S (T )  K thì nhà đầu tƣ có thể mua ngay 1 quyền chọn mua
với giá Ce (T ) để mua 1 cổ phiếu với giá K và bán ngay với giá S (T ) để hƣởng
khoản tiền chênh lệch S (T )  K . Với giả thiết thị trƣờng không có cơ hội kinh
doanh chênh lệch giá thì ta phải có S (T )  K  Ce (T ) . Vì vậy
neu S (T )  K
0
Ce (T )  
 S (T )  K neu S (T )  K
 max{S (T )  K , 0}

Chứng minh tƣơng tự đối với Pe (T ) .

4.2.

Công thức cặp đơi mua - bán

Định lí 4.2.