ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

HOÀNG VĂN HOAN

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN
TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

HOÀNG VĂN HOAN

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN
TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG DÃY SỐ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Hồng Trí

ĐÀ NẴNG - NĂM 2019








MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Ánh xạ

........................................................ 4

1.2. Hàm số

........................................................ 5

1.3. Dãy số

.........................................................6

1.4. Phương trình hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9


CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN
TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÃY
SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Một số định lý và phương pháp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


MỤC LỤC
CHƯƠNG 3. ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN
TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
PHƯƠNG TRÌNH HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Phương pháp
3.2. Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


1


MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Angel đã chỉ rõ :" Đối tượng của toán học thuần túy là những quan
hệ số lượng và hình dạng khơng gian của thế giới khách quan. Do đó tốn
học là một khoa học rất thực tiễn...” . Trong thực tiễn, Toán học có tác
dụng mạnh mẽ đối với đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kỹ thuật
khác, mở ra con đường mới giúp cho khoa học đạt tới mức độ chính xác,
nhất quán cao. Trong nhà trường, việc làm quen với con số và giải những
bài tập Toán từ đơn giản đến phức tạp luyện tập cho các em học sinh khả
năng nhạy bén, tư duy logic.
Từ thực tiễn giảng dạy bộ mơn tốn bậc THPT, đa số các em học
sinh chỉ được tiếp xúc với tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số vào năm
học cuối cấp. Trong khi đó việc ơn thi học sinh giỏi tốn, các cuộc thi tốt
nghiệp, đại học . . . thì các dạng tốn liên quan đến tính đơn điệu, tính
liên tục của hàm số xuất hiện với mật độ thường xuyên. Xuất phát từ nhu
cầu thực tiễn trong việc dạy và học tốn, chúng tơi chọn đề tài "Áp dụng
tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số để giải một số bài dãy


2

số và phương trình hàm" làm đề tài nghiên cứu của mình, qua đó góp
phần cung cấp thêm tài liệu, nội dung chuyên sâu về ý nghĩa và hiệu quả
của việc ứng dụng tính đơn điệu và tính liên tục của hàm số, giúp người
học và quá trình giảng dạy trở nên dễ dàng hơn.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Khai thác tính chất đơn điệu, tính liên tục của hàm số trong dãy số

và phương trình hàm. Thể hiện được ý nghĩa của tính ứng dụng của tốn
cao cấp trong việc giải các bài toán sơ cấp.
Nâng cao năng lực giải các bài toán bằng phương pháp hàm số.
Xây dựng hệ thống phương pháp để giải các bài toán dãy số và phương
trình hàm.
Soạn bài giảng, hệ thống bài tập phục vụ trong công tác dạy và học
trong nhà trường. Phát huy niềm đam mê, kỹ năng tư duy toán học trong
đối tượng học sinh và giáo viên giảng dạy bộ môn.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là của tính đơn điệu, tính liên tục
của hàm số.
Phạm vi nghiên cứu: tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số và ứng
dụng trong giải các bài tốn dãy số và phương trình hàm.


3

4. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp dữ liệu nhằm
chắt lọc dữ liệu quan trọng để rút ra các suy luận logic.
Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết nhằm sắp xếp các
tài liệu khoa học thành hệ thống logic của từng vấn đề, tổng hợp các tài
liệu nghiên cứu thành một lý thuyết hoàn chỉnh, giúp hiểu biết đối tượng
được đầy đủ và sâu sắc hơn.
5. Bố cục luận văn
Ngoài phần MỞ ĐẦU, KẾT LUẬN và TÀI LIỆU THAM KHẢO, nội
dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Áp dụng tính đơn điệu, tính liên tục của hàm số để giải
một số bài dãy số

Chương 3: Áp dụng tính đơn điệu, tính liên tục để giải một số phương
trình hàm


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số định nghĩa, định lý, tính chất về
ánh xạ, hàm số, dãy số và phương trình hàm liên quan đến luận văn.
Trong chương này chúng tôi xét trên không gian các số thực R và
các tập X , Y là tập con của R
Các nội dung trong chương này dựa trên các tài liệu [1], [2], [6], [13],
[14].

1.1. Ánh xạ
Định nghĩa 1.1.1. Cho hai tập hợp X và Y . Một ánh xạ f đi từ X đến

Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử xác
định, ký hiệu f (x) của Y , ta viết f : X −→ Y . Tập hợp X gọi là nguồn
hay miền xác định và tập hợp Y gọi là đích hay miền giá trị của ánh xạ f .
Định nghĩa 1.1.2. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi

x1 , x2 thuộc X mà x1 = x2 kéo theo f (x1 ) = f (x2 ), hay f (x1 ) = f (x2 )
kéo theo x1 = x2 , hay với mọi y ∈ Y có nhiều nhất một x ∈ X sao cho

y = f (x).



5

Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là toàn ánh nếu với
mọi y ∈ Y có ít nhất một x ∈ X sao cho y = f (x).
Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là song ánh nếu nó
vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.

1.2. Hàm số
Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ f : D −→ R được gọi là hàm số xác định
trên tập số thực (gọi tắt là hàm số) nếu D là tập con khác rỗng của R.
Tập D gọi là tập xác định của hàm số f . Tập f (D) gọi là tập giá trị
của hàm số f .
Định nghĩa 1.2.2. Xét hàm số y = f (x) có tập xác định D và tập hợp
con khác rỗng M của D.
Hàm số f được gọi là đồng biến (hay tăng) trên M nếu với hai số
thực x1 , x2 bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Hàm số f được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên M nếu với hai số
thực x1 , x2 bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Hàm số f được gọi là tăng thực sự trên M nếu với hai số thực x1 , x2
bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1 ) < f (x2 ).
Hàm số f được gọi là giảm thực sự trên M nếu với hai số thực x1 , x2
bất kỳ thuộc M thoả mãn x1 < x2 kéo theo f (x1 ) > f (x2 ).


6

Định nghĩa 1.2.3. Hàm số f : D −→ R liên tục tại x0 thuộc D nếu

lim f (x) = f (x0 ).


x→x0

Tính chất 1.1.

Nếu hàm số f đơn ánh và liên tục trên một khoảng nào

đó thì nó đơn điệu trên khoảng đó.
Nếu hàm số f xác định và liên tục trên đoạn [a; b] thì nó có giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [a; b]
Định nghĩa 1.2.4. Cho X và Y là hai tập con của R. Hàm số f : X → Y
là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ X
thì |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L|x1 − x2 |

1.3. Dãy số
Định nghĩa 1.3.1. Dãy số là một hàm số từ tập N∗ (hoặc N hoặc tập
con của N) vào tập hợp R. Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu

un , vn , xn , yn , ...
Bản thân dãy số được ký hiệu tương ứng là {un }, {vn }, {xn }, {yn }, ...
Dãy số được gọi là vơ hạn nếu chúng có vơ số phần tử.
Dãy số được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn.
Nhận xét 1.3.2. Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên
nó có các tính chất của hàm số.
Định nghĩa 1.3.3. Dãy số {xn } (n ∈ N∗ ) được gọi là dãy số tăng nếu


7

xn+1 > xn với mọi n ∈ N∗ .

Dãy số {xn } (n ∈ N∗ ) được gọi là dãy số không giảm nếu xn+1 ≥ xn
với mọi n ∈ N∗ .
Dãy số {xn } (n ∈ N∗ ) được gọi là dãy số giảm nếu xn+1 < xn với mọi

n ∈ N∗ .
Dãy số {xn } (n ∈ N∗ ) được gọi là dãy số không tăng nếu xn+1 ≤ xn
với mọi n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.3.4. Dãy số {xn } (n ∈ N∗ ) được gọi là bị chặn trên nếu
tồn tại số thực M sao cho xn ≤ M với mọi n ∈ N∗ .
Dãy số {xn } (n ∈ N∗ ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực m
sao cho xn ≥ m với mọi n ∈ N∗ .
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị
chặn.
Cách cho dãy số:
Để xác định một dãy số {xn } người ta có thể tiến hành một trong các
cách sau đây:
Cho công thức số hạng tổng quát xn .
Dãy số cho bởi theo công thức truy hồi.
Dãy số xác định theo cách miêu tả.


8

Phương pháp phương trình đặc trưng.
Định nghĩa 1.3.5. Dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới vơ
cùng nếu với mọi

> 0 thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0

ta có |xn − a| < .

Ta viết: lim xn = a ⇔ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |xn − a| < .
n→∞

Định nghĩa 1.3.6. Dãy số {xn } có giới hạn là ∞ khi n dần tới vô cùng
nếu với mọi số dương M lớn tùy ý thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với
mọi n > n0 ta có |xn | > M .
Ta viết: lim xn = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |xn | > M .
n→∞

Định nghĩa 1.3.7. Dãy số {xn } hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu
hạn.
Định lí 1.3.8. (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ)
Nếu dãy {xn }, {yn } là các dãy hội tụ và có giới hạn lần lượt là a, b.
Khi đó các dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn .yn },
giới hạn tương ứng là a + b, a − b, a.b,

xn
yn

cũng hội tụ và có

a
(Trong trường hợp dãy số thương
b

ta giả sử yn = 0, ∀n ∈ N∗ và b = 0)
Định lí 1.3.9. (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)
* Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
* Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.



9

Định lí 1.3.10. (Định lý giới hạn kẹp)
Cho ba dãy số {xn }, {yn }, {zn } thỏa mãn lim xn = a, lim yn = a và
n→∞

n→∞

xn ≤ zn ≤ yn . Khi đó lim zn = a
n→∞

Định lí 1.3.11. (Tiêu chuẩn Cauchy)
Dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Tức là ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀m, n > n0 , |xn − xm | <

1.4. Phương trình hàm
Định nghĩa 1.4.1. Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm
số, giải phương trình hàm tức là tìm các hàm số chưa biết đó.
Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần
chính:
* Miền xác định và miền giá trị.
* Phương trình hoặc hệ phương trình hàm.
* Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả
vi,. . . ).
Người ta phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: miền giá
trị và số biến tự do.
Phân loại Có thể chia thành các loại phương trình hàm như sau:
* Phương trình hàm trên N, Z, Q, R.



10

* Phương trình hàm một biến tự do, hai biến tự do,...
* Phương trình hàm trên lớp hàm đơn điệu, lớp hàm liên tục, lớp hàm đa
thức,...


11

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÍNH LIÊN
TỤC CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN DÃY SỐ

Trong chương này trình bày một số định lý, hệ quả của nguyên lý ánh
xạ co về dãy số. Trong phần 2.1 trình bày một số định lý, hệ quả và phương
pháp. Trong phần 2.2 trình bày một số bài tốn điển hình.
Các nội dung trong chương này dựa trên các tài liệu [1], [3], [4], [5], [7],
[8], [11], [12].

2.1. Một số định lý và phương pháp
2.1.1. Một số định lý
Xét các dãy truy hồi cấp một

x1 ∈ R,

xn+1 = f (xn ) (n ≥ 1)


(2.1)

đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đạt được một số kết quả nhất
định. Chẳng hạn, nếu f là một hàm số Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz L thỏa mãn 0 ≤ L < 1 thì phương trình x = f (x) có nghiệm
duy nhất và dãy (xn )∞
n=1 hội tụ đến nghiệm duy nhất của phương trình

x = f (x). Như là một mở rộng tự nhiên, chúng tôi quan tâm xem xét sự


12

hội tụ của dãy truy hồi

x1 ∈ R,
x1 ∈ R,

xn+1 = f (an xn + bn ) (n ≥ 1),

xn+1 = f (an xn + bn ) + g(cn xn + dn ) (n ≥ 1),
x1 ∈ R,

(2.2)
(2.3)

xn+1 = an f (xn ) + bn g(xn ) (n ≥ 1)

(2.4)

xn+1 = f (an xn + bn )g(cn xn + dn ) (n ≥ 1),


(2.5)

và

x1 ∈ R,

và các dãy truy hồi phi tuyến cấp hai có dạng:

y1 , y 2 ∈ R ,

yn+2 = f (an yn+1 + bn ) + g(cn yn + dn ) (n ≥ 1),

y1 , y 2 ∈ R ,

yn+2 = an f (yn+1 ) + bn g(yn ) (n ≥ 1)

(2.6)
(2.7)

và

y1 , y2 ∈ R,

yn+2 = f (an yn+1 + bn )g(cn yn + dn ) (n ≥ 1).

(2.8)

∞
trong đó (an )∞

n=1 và (bn )n=1 là hai dãy số hội tụ, các hàm số f : R → R và

g : R → R là hai hàm số Lipschitz.
∞
Định lí 2.1.1. Cho (an )∞
n=1 và (bn )n=1 là các dãy số thực hội tụ lần lượt

đến a và b. Xét hàm số Lipschitz f : R → R với hằng số Lipschitz L thỏa
mãn |La| < 1. Nếu phương trình x = f (ax + b) có nghiệm thì nghiệm đó
duy nhất và dãy truy hồi (xn )∞
n=1 cho bởi (2.2) hội tụ đến nghiệm duy nhất
của phương trình x = f (ax + b).


13

Chứng minh. Theo giả thiết, phương trình x = f (ax + b) có nghiệm.
Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình này. Khi đó,

|α − β| = |f (aα + b) − f (aβ + b)| ≤ |La||α − β|.
Vì |La| < 1, bất đẳng thức ở trên chỉ xảy ra khi α = β , nghĩa là phương
trình x = f (ax + b) có nghiệm duy nhất.
Ta gọi nghiệm duy nhất này là α.
Cố định q sao cho |La| < q < 1. Vì lim |Lan | = |La| < q nên tồn tại
n→∞

n1 ∈ N sao cho |Lan | < q với mọi n ≥ n1 . Theo giả thiết
|xn+1 − α| = |f (an xn + bn ) − f (aα + b)|
≤ L|an xn + bn − aα − b|
≤ |Lan ||xn − α| + L|α(an − a) + bn − b|

với mọi n ≥ 1.
Đặt un = |xn − α| và vn = L|α(an − a) + bn − b| với mọi n ≥ 1. Khi đó
∞
(vn )∞
n=1 là dãy các số thực không âm hội tụ đến 0 và (un )n=1 là dãy các số

thực không âm thỏa mãn:

un+1 ≤ qun + vn (n ≥ n1 ).

(2.9)

∞
Ta chứng minh dãy (un )∞
n=1 hội tụ về 0 và do đó dãy (xn )n=1 hội tụ đến α

như yêu cầu.


14

Liên tiếp áp dụng bất đẳng thức (2.9) ta thu được
n−n1

un+1 ≤ q

n+1−n1

q j vn−j


un1 +

(2.10)

j=0

với mọi n ≥ n1 .
Với mọi

> 0, vì lim q n+1−n1 un1 = 0 nên tồn tại n2 ∈ N sao cho
n→∞

q n+1−n1 un1 <

(2.11)

3

với mọi n ≥ n2 .
Vì dãy (vn )∞
n=1 hội tụ đến 0 nên tồn tại n3 ∈ N sao cho

vn <

1−q
3

với mọi n ≥ n3 . Do đó
n−n3
j


q vn−j
j=0

n−n3

1−q
<
3

qj <
j=0

3

(2.12)

với mọi n ≥ N3 .
Trường hợp 1: n3 ≤ n1
Suy ra n − n3 ≥ n − n1 , ∀n ≥ n3 . Do đó
n−n1

n−n3
j

q j vn−j <

q vn−j ≤
j=0


j=0

3

Đặt n0 = max{n1 ; n2 }. Khi đó với mọi n ≥ n0 ⇒ n ≥ n2 ; n ≥ n1 ≥ n3 .
Suy ra
n−n1
j=0

q j vn−j < , ∀n ≥ n0
3

q n+1−n1 un1 < , ∀n ≥ n0
3


15

Từ (2.10) ta được

un+1 < , ∀n ≥ n0 .
Do đó lim un = 0.
n→∞

Trường hợp 2: n3 > n1
n
Dãy (vn )∞
n=1 cũng bị chặn trên bởi số thực M > 0 nào đó. Vì lim q = 0
n→∞


nên có n4 ∈ N để cho

qn <

3M (n3 − n1 )

với mọi n ≥ n4 . Đặt n5 = max {N3 , N4 }, khi đó
n−n1
j=n−n3

q j vn−j < , ∀n ≥ n5 .
3
+1

(2.13)

Đặt n0 = max{n1 , n2 , n5 }. Sử dụng (2.11), (2.12) và (2.13) trong (2.10) ta
được

un+1 <
với mọi n ≥ n0 . Do đó lim un = 0.
n→∞

Vậy lim un = 0. Hay lim xn = α.
n→∞

n→∞

∞
∞

∞
Hệ quả 2.1.2. Cho các dãy số thực (an )∞
n=1 , (bn )n=1 , (cn )n=1 và (dn )n=1

hội tụ lần lượt đến a, b, c và d. Xét hai hàm số Lipschitz f, g : R → R
với hằng số Lipschitz L, N thỏa mãn |aL| + |cN | < 1. Nếu phương trình

x = f (ax + b) + g(cx + d) có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất và dãy số
(xn )∞
n=1 được cho bởi (2.3) hội tụ đến nghiệm duy nhất của phương trình