HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình bên

Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 4 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1 .

D. 2 .

Chọn A

Ta có 2 f  x   3  0  f  x   

3
2

3
cắt đồ thị hàm số đã cho tại bốn điểm phân biệt nên phương trình
2
2 f  x   3  0 có bốn nghiệm phân biệt.

Đường thẳng y  

2

Câu 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 2  , f 1  1 và f  2   2 . Tính I   f   x  dx .
1

A. I  3 .

B. I  1 .

7
C. I  .
2
Lời giải

D. I  1 .

Chọn B
2

Ta có I   f   x  dx  f  x  1  f  2   f 1  2  1  1 .
2

1

Câu 3. Biết F  x   x 4 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của

2


 6x  f  x  dx bằng

1

A.

78
.
5

Chọn B

B. 24 .

123
.
5
Lời giải

C.

D. 33 .


2

Ta có

 6x  f  x  dx   3x


2

 x4 

1

2
1

 24 .

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M 1; 4;3  và có một véctơ chỉ phương

là u   5; 4; 2  . Phương trình của d là

x  5  t

A.  y  4  4t .
 z  2  3t


 x  1  5t

B.  y  4  4t .
 z  3  2t


 x  1  5t


C.  y  4  4t .
 z  3  2t


 x  1  5t

D.  y  4  4t .
 z  3  2t


Lời giải
Chọn B

 x  1  5t

Phương trình đường thẳng d là  y  4  4t .
 z  3  2t

Câu 5. Cho cấp số cộng  un  có u1  2, u1  u2  5. Tìm cơng sai d của cấp số cộng trên.
A. d  2 .

B. d 

3
.
2

C. d  3 .

D. d  1 .


Lời giải
Chọn D
Ta có u1  u2  5  u1  u1  d  5  2u1  d  5  d  5  2u1  1 .
2x  3
là đường thẳng có phương trình
x2
B. x  2 .
C. x  2 .
D. y  2 .

Câu 6. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. y  2 .

Lời giải
Chọn B

Tập xác định D   \ 2
Ta có lim
x 2

2x  3
 
x2

Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
Câu 7. Xác định phần ảo của số phức z  18  12i
B. 12 .
A. 12i .


2x  3
là đường thẳng x  2 .
x2

C. 12i .

D. 12 .

Lời giải
Chọn D

Phần ảo của số phức z  18  12i là 12 .
Câu 8. Thể tích V của khối cầu có bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?
1
4
A. V   R 3 .
B. V   R 3 .
C. V  4 R 3 .
D. V   R 3 .
3
3
Lời giải
Chọn B
4
Cơng thức tính thể tích của khối cầu có bán kính R là V   R 3 .
3
5x  9
Câu 9. Cho hàm số y 
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x 1

A. Hàm số nghịch biến trên   ;1  1;    .


B. Hàm số nghịch biến trên   ;1 và  2;    .
C. Hàm số nghịch biến trên R \ 1 ..
D. Hàm số đồng biến trên   ;1  1;    .
Lời giải
Chọn B

Tập xác định D  R \ 1 .
y 

14

 x  1

2

 0, x  D .

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1 và 1;    . Suy ra hàm số nghịch biến trên

  ;1 và  2;    .

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho vectơ OA   3;  4; 5  . Tọa độ điểm
B.   3; 4;  5  .
C.  3; 4;5  .
A.   3;  4;  5  .

A là


D.  3;  4; 5  .

Lời giải
Chọn D



vectơ O A   3;  4; 5   A  3;  4; 5  . .
Câu 11. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm có 8 học sinh?
A. 8.7.6.3 .
B. 3! .
C. C 83 .

D. A83 .

Lời giải
Chọn C

Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm có 8 học sinh là C 83 .
Câu 12. Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là

a3 2
.
A.
4

a3 3
B.
.

12

a3 2
C.
.
12

a3 3
D.
.
4

Lời giải
Chọn C
A

B

D

G
M

C

Vì khối tứ diện đều nên diện tích đáy: SBCD 
Ta có: BM 

a2 3
.

4

a 3
2
2 a 3 a 3
 BG  BM  .

.
2
3
3 2
3
2

a 3
a 6
Trong  A B G vng tại G có: AG  AB  BG  a  
.
 
3
 3 
2

2

2


1 a 2 3 a 6 a3 2


Theo công thức, thể tích khối chóp: V 
.
3 4
3
12
Câu 13. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
A.  3;    .
B.  ;  1 .

C.   1; 3  .

D.   2; 2  .

Lời giải
Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: f ( x )  0  x    1; 3  .
Nên hàm số f ( x) đồng biến trên   1; 3  .
2

Câu 14. Tập xác định của hàm số y   x  2  3 là
B. D   \ 2 .
A. D   2;   .

D. D   2;   .

C. D   .
Lời giải


Chọn A
2
  nên điều kiện xác định của hàm số là x  2  0  x  2 .
3

Vì

Vậy tập xác định của hàm số là D   2;   .
Câu 15. Tổng bình phương các nghiệm thực của phương trình 3x
A. 9 .
B. 12 .
C. 11 .

2

 4 x 5

9
D. 10 .

Lời giải
Chọn D

3x

2

 4 x 5


9

 x 2  4 x  5  log 3 9

 x2  4 x  3  0
x  1
 1
 x2  3
 x12  x2 2  12  32  10 .

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   7 x .
x
A.  7 x d x  7  C .

ln x

7

x

dx 



x
x 1
B. 7 dx  7  C .




x
x
C. 7 dx  7 ln x  C .

D.

7 x 1
C.
x 1

Lời giải
Chọn A
x
Ta có:  7 x d x  7  C .

ln x

Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I   2; 0; 3  và bán kính bằng 4 . Phương
trình mặt cầu  S  là:


2
A.  x  2  y   z  3  16 .

2
B.  x  2  y   z  3  4 .

2
C.  x  2  y   z  3  4 .


2
D.  x  2  y   z  3  16 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
2
Ta có:  S  :  x  2  y   z  3  16 .
2

2

Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số f  x   e 2 x  3
A. f   x   2 e 2 x  3 .
B. f   x   e 2 x  3 .


C. f   x    2 e 2 x  3 .

D. f   x   2 e x  3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: f   x   2 e 2 x  3 .
Câu 19. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y   x 4  4 x 2  5
A. x  0 .

B. x  2 .





C.  2; 1 .

D.  0;  5  .

Lời giải
Chọn D

 x  0  y  5
3
Ta có y  4 x  8x  0  
 x   2  y  1
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y   x 4  4 x 2  5 là  0;  5  .
Câu 20. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  


đoạn  0; 2  , khi đó tích M . m bằng:
1
B. .
A. 5 .
9

C.

5
.
3

D.

3 4
x  2 x 2  1 trên
4

1
.
3

Lời giải
Chọn C


2 3
x
 n

3

3
Ta có f   x   3x  4 x  0   x  0  n  , khi đó


2 3
l 
x 
3





f




f 0  1

 max f  x   5

 x0;2
 2 3  1


 
1 .

 min f  x  
 3  3
3
 x0;2
f  2  5

Câu 21. Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .


C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải

Chọn D

Quan sát đồ thị ta thấy:
+) Dựa vào dáng đồ thị suy ra a  0.
+) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương suy ra d  0
+) y '  3ax 2  2bx  c
Do hai điểm cực trị cùng dấu nên suy ra PT y '  0 có hai nghiệm cùng dấu suy ra a, c cùng
dấu.
Vậy c  0
+) y "  6ax  2b
Do điểm uốn có hồnh độ dương nên a, b trái dấu, do đó b  0

Vậy a  0,b  0,c  0, d  0. .
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  5  0 . Vectơ nào dưới đây là một

vectơ pháp tuyến của (P) ?


A. n1 (1;3;2) .





C. n3 ( 1; 3; 2) .

B. n4 (2; 4; 6) .



D. n2 ( 1;3; 2) .

Lời giải
Chọn D


Vectơ pháp tuyến của (P) : n2 ( 1;3; 2) .
Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho M (1; 3;2) và mặt phẳng  P  : x  3 y  5 z  4  0 .Đường thẳng đi

qua M (1; 3;2) và vuông góc với  P  có phương trình là
x 1 y  3 z  2
x 1 y  3 z  2

A.
.
B.
.




1
3
4
1
3
5
x 1 y  3 z  2
x 1 y  3 z  2
C.
.
D.
.




1
3
5
1
3
4

Lời giải
Chọn C


Mặt phẳng  P  có một vectơ pháp tuyến là n  1; 3;  5  .






Vì d   P  nên đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương u  n  1; 3;  5  .
x 1 y  3 z  2
.


1
3
5
Câu 24. Cho lăng trụ đứng A B C D . A  B C D  có đáy là hình thoi cạnh a ,  B A C  60  . Khoảng cách
từ điểm C đến mặt phẳng  ABAB   bằng

Đường thẳng đi qua M (1; 3;2) và vng góc với  P  có phương trình là

A. 2 a .

B.

a 3
.

2

C. a 3 .

D. a .

Lời giải
Chọn B

Ta có  B A C  60    A B C  60    ABC đều.
Gọi H là trung điểm của AB  CH  AB  CH   ABAB   .
Ta có d  C,  ABAB   CH 

a 3
.
2

Câu 25. Cho vật thể T  được giới hạn bởi hai mặt phẳng x   2 và x  2 . Biết rằng thiết diện của vật





thể bị cắt bởi mặt phẳng vng với góc với trục O x tại điểm có hồnh độ x , x 2: 2 là
4  x 2 . Thể tích vật T  bằng

một hình vng có cạnh
A.  .

B.


32
.
3

C.

32
.
3

D.

8
3

Lời giải
Chọn B
2

Ta có VT    S  x  dx 
2

2

  4  x  dx 
2

2


32
.
3

Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1;  2;1  và mặt phẳng  P  : 3 x  y  2 z  4  0. Mặt
phẳng đi qua A và song song với  P  có phương trình là
A. 3x  y  2z  7  0 .

B. 3x  y  2z  3  0 . C. 3x  y  2z  3  0 . D. 3x  y  2z  7  0 .
Lời giải

Chọn D


Mặt phẳng  Q  song song với  P  nên phương trình  Q  : 3 x  y  2 z  d  0  d  4  .
Điểm A 1;  2;1  thuộc mặt phẳng  Q  suy ra 3  2  2  d  0  d   7 ( thỏa mãn).
Vậy phương trình  Q  : 3 x  y  2 z  7  0 . .
Câu 27. Cho phương trình log2  2x  5  2log2  x  2 . Số nghiệm của phương trình là
2

A. 0 .

B. 1.

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D

x  2
Đkxđ: 
5.
 x  2

x  3
log 2  2 x  5  2log 2  x  2   log 2  2 x  5  log 2  x  2    2 x  5   x  2   
.
x  7
3

2

2

2

2

2

7
So sánh điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt: x  3; x  . .
3
Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm E 1; 3; 2  , F  0;  1; 5  , K  2; 4;  1 và tam giác A B C thỏa

   

mãn AE  BF  CK  0 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác  A B C là
A. G 1; 2; 2  .

B. G   1;  4; 3  .
C. G  2; 2;1 .

D. G 1;1;  3  .

Lời giải
Chọn D

   
      
     
AE  BF  CK  0  GE  GA  GF  GB  GK  GC  0  GE  GF  GK  GA  GB  GC .
   
   
Vì G là trọng tâm tam giác  A B C nên GA  GB  GC  0  GE  GF  GK  0  G cũng là

trọng tâm tam giác  EFK  G 1; 2; 2  .





2
Câu 29. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đạo hàm f   x   x  x  2022 x  4x  4 . Hàm số
f  x  có mấy điểm cực tiểu?

A. 4 .

B. 2 .


C. 3 .
Lời giải

D. 1.

Chọn D
x  0
Giải f   x   0  x  x  2022   x  4 x  4   0   x  2022 .

 x  2
2

Bảng xét dấu:

Hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 30. Cho hình nón có bán kính r  5 và độ dài đường sinh l  9 . Diện tích xung quanh S xq của
hình nón bằng
A. 1 5  .
B. 4 5 .
C. 1 8 0  .
D. 9 0  .
Lời giải
Chọn B


Ta có S xq   rl   .5.9  45 .
Câu 31. Bất phương trình log 1  x  2  log 1  7  2x  có tập nghiệm là
2





5

2




A.  ;  .
3

5

5

B.  2;  .
3





5 7 

C.  ;  .
3





D.  ;  .
3 2 

Lời giải
Chọn B

Bất phương trình đã cho tương đương với

 5
 x  2  7  2x  x 
 5
  3  x   2;  .

3

x  2  0
 x  2




5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  2;  .
3



Câu 32. Cho khối trụ có bán kính r  5 và chiều cao h  9 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. 9 0  .
B. 2 25 .
C. 7 5 .
D. 2 5 .
Lời giải
Chọn B

Thể tích của khối trụ đã cho là V   r .h   .25.9  225 .
Câu 33. Cho số phức z  4  3 i . Mô đun của số phức 1  i  . z bằng
2

B. 5 2 .

A. 10 .

D. 2 5 .

C. 10 .
Lời giải

Chọn B

Ta có 1  i  .z  1  i  4  3i   7  i  1  i  .z  49  1  5 2 .
Câu 34. Cho

 f  x dx  x

2

 3x  C . Tìm


 f  e  dx  e  3e  C .
C.  f  e  dx  2e  3x  C .

A.

x

2 x

x

 f  e  dx .
x

x

 f  e  dx  2e  3x  C .
D.  f  e  dx  2e  3e  C .
B.

x

x

x

x

x


x

Lời giải
Chọn C

 f  x dx  x  3x  C  f  x  2x  3  f  e   2e
Khi đó I   f  e  dx    2e  3 dx  2e  3x  C .
x

2

Từ giả thiết

x

x

x

3

x

Câu 35. Gọi I  t  là số ca bị nhiễm bệnh Covid-19 ở quốc gia X tại ngày khảo sát thứ t . Sau t ngày
khảo sát ta có cơng thức I  t   A.e r  t 1 với A là số ca nhiễm trong ngày khảo sát đầu tiên, r0
0

là hệ số lây nhiễm. Biết rằng ngày đầu tiên khảo sát 500 ca bị nhiễm bệnh và ngày thứ 10 khảo
sát có 1000 ca bị nhiễm bệnh. Hỏi ngày thứ 15 số ca nhiễm bệnh gần nhất với số nào dưới đây,

biết rằng trong suốt quá trình khảo sát hệ số lây nhiễm là không đổi?
A. 1320 .
B. 1740 .
C. 1470 .
D. 2 0 2 0 .
Lời giải
Chọn C
Ngày đầu tiên khảo sát 500 ca bị nhiễm bệnh nên A  50 0 .

Ngày thứ 10 khảo sát có 1000 ca bị nhiễm bệnh nên 1000  500.e9 r0  r0 

ln 2
.
9


ln 2

Ngày thứ 15

số ca nhiễm bệnh bằng I 15  500.e 9

151

 1469,734492 .

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác S . A B C D có đáy A B C D là hình vng cạnh a , cạnh bên S A vng
góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
A.


2a3
.
4

2a3
.
6

B.

2a 3 .

C.

D.

2a3
.
3

Lời giải
Chọn B

1
3

2a3
.
6


1 1
3 2

2
Ta có VS . ABC  .BABC .SA  . a . 2a 

Câu 37. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc vt  8t  m / s  . Đi được 5  s  , người
lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia





2
tốc a  75 m / s . Quãng đường S  m  đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến
khi dừng hẳn gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. S  94, 0  m  .
B. S  166, 7  m  .
C. S  110, 7  m  .
D. S  95, 7  m  .

Lời giải
Chọn C
5

Quãng đường đi được trong 5  s  giây đầu  8t dt  100  m  .
0

Vận tốc tại thời điểm giây thứ 5 là v5  8.5  40  m / s  .




2
Phương trình vận tốc ơ tơ chuyển động chậm dần đều với gia tốc a  75 m / s

v  t   40  75t .

Xe dừng hẳn khi v  t   0  40  75t  0  t 

8
.
15
8
15

Quãng đường ô tô đi được khi bắt đầu hãm phanh

 80  75t  dt 
0

Quãng đường đi được của ô tô 100 

32
 110, 7  m  .
3

ln 2
1  x 2 khi x  3
. Tính tích phân  f 3e x  1 e x dx .
 7  5 x khi x  3

0
94
102
25
B.  .
C. 
.
D.
.
9
33
9



Câu 38. Cho hàm số f  x   
A.

32
 m .
3

13
.
15



Lời giải
Chọn B


Đặt u  3e x  1 

1
du  e x dx .
3

Đổi cận x  0  u  2 ; x  ln 2  u  5 .
ln 2

Ta có


0

f  3e x  1 e x dx 

5

3

5

1
1
1
94
f  u  du   1  u 2  du    7  5u  du   .

32

32
33
9



là


Câu 39. Cắt hình trụ T  có bán kính bằng R bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một
2

khoảng bằng a  0  a  R  ta được một thiết diện là hình vng có diện tích 16a . Diện tích
xung quanh của hình trụ T  bằng
A. 4 a 2 5 .

B.  a 2 5 .

C. 8 a 2 5 .
Lời giải

D. 16 a 2 5 .

Chọn C

Gọi H là trung điểm AB  OH  d  O ,  ABCD    a .
Ta có: S ABCD  16a 2  AB 2  16 a 2  AB  4 a  AH 
 OAH vuông tại  OA 

AB

 2a .
2

OH 2  AH 2  a 5

S xq  2  R l  2  .O A . A D  2  .a 5 .4 a  8 5 a 2 .

Câu 40. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn.
10
10
1
100
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
21
189
21
189
Lời giải
Chọn A
Gọi số tự nhiên thỏa mãn YCBT là abcdef
n  A106  A95  136080 .


Gọi A : " Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn " .
Nếu tính cả trường hợp a  0 thì số cách lập là: C53 .C53 .6! cách.
Xét riêng trường hợp a  0 thì số cách lập là: C42 .C53 .5! cách.
 n A  C53 .C 53 .6! C 42 .C53 .5!  64800 .

P  A 

nA 10
 .
n 21

e

Câu 41. Cho

  2  x ln x  dx  ae

2

 be  c với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

A. a  b  c .
Chọn A

B. a  b   c .

C. a  b  c .
Lời giải


D. a  b   c .


Ta có:

e

e

e

1

1

1

  2  x ln x  dx   2dx   x ln xdx  2 x 1  I  2e  2  I .
e

Tính I :
1

u  ln x  du  x .dx
Đặt 
2
dv  xdx  v  x

2

e

e

e 2
e
x2
x 1
e2
x
e2  x 2 
e2 e2 1 e2 1
 I  .ln x   . dx    dx         
2
2 x
2 12
2  4 1 2 4 4 4 4
1
1
e

Vậy

  2  x ln x  dx  2e  2 
1

a

e2 1 e2
7

   2e 
4 4 4
4

1
7
; b  2; c   .
4
4

  60 , 
Câu 42. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC , 
ASC  120 , BSC
ASB  90 . Tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng SB và AC .
A. 0 .

B.

3
.
6

 3
.
6

C.

D.


3
.
3

Lời giải
Chọn B

Gọi M là trung điểm AC  SM  AC ; AC  2MC  2.SC.

3
 SC 3 .
2

 

Do 
ASB  90  SB.SA  0 .

  
 
SB. SC  SA
SB. AC
 
Có cos  SB; AC   cos SB; AC    
SB. AC
SB AC






 
SB.SC.cos SB; SC



SB. AC













  
SB.SC  SB.SA
SB. AC



 
SB.SC
SB. AC


SB.SC.cos 60
1
3


.
6
SB.SC 3
2 3

Câu 43. Goị S là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol y  x 2  2 x  1 và các đường thẳng y  m ;
x  0 ; x  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m    4040;  3  để S  2 0 2 1 .
A. 2 0 1 9 .
Chọn D

B. 2 0 2 0 .

C. 2 0 2 1 .
Lời giải

D. 2 0 1 8 .


S là diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol y  x  2 x  1 và các đường thẳng y  m ;
2

x  0 ; x 1 ;
1


Vậy S   x 2  2 x  1  m dx 
0

1

x

2

 2 x  1  m  dx

0

( do g  x   x 2  2 x  1  m không đổi dấu trên  0;1 với m   3 ).
1

 x3

1
 S    x2  x  mx    m .
3
0 3

 m   4040; 3
1

  2021  m  3
Thỏa mãn yêu cầu   m  
. Vậy có 2 0 1 8 giá trị m .
 3

1
 m  
  m  2021
 3

Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  5  0 và mặt cầu  S  có tâm
I 1; 2;  2  . Biết  P  cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  có chu vi 8  . Tìm bán kính
của mặt cầu T  chứa đường tròn  C  và T  đi qua M 1;1;1  .

A. R  5 .

B. R 

265
.
4

C. R 

5 5
.
4

D. R  4 .

Lời giải
Chọn B

8
 4.

2
Gọi H là hình chiếu của I lên  P  .

Bán kính đường trịn  C  là r 

 x  1  2t
Đường thẳng đi qua I , vng góc với  P  có phương trình  y  2  2t ,
 z  2  t


Khi đó tọa độ điểm H  1  2t ; 2  2t ;  2  t  .
Do H   P  nên 2 1  2t   2  2  2t     2  t   5  0  t   1  H   1; 0;  3  .
Đường thẳng đi qua H , vng góc với  P  chứa tâm J của mặt cầu T  ; có phương trình là:
 x  1  2 m

 m    ; Tọa độ tâm J   1  2 m ; 2 m ;  3  m  .
 y  2m
 z  3  m

2
2
2
2
Ta có JH  9m ; JM   2m  2   2m 1   m  4  R .
2

2

2



2
2
2
2
2
2
Vì JH  r  R  9m 16  JM   2m  2   2m 1   m  4  16  9m
2

2

1
1
 m   R 2  9.    16  R 
4
4

2

2

265
.
4

Câu 45. Cho hàm số y  f ( x) , đồ thị của hàm số y  f  ( x) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ

 2 2




nhất của hàm số g ( x)  f (3 x)  3 x 2  4 x  1 trên đoạn  ;  bằng
3 3

A. f (0) 1 .

B. f (6) .

1
C. f (2)  .
3
Lời giải

D. f (3)  8 .

Chọn C
g ( x )  f (3 x )  3 x 2  4 x  1  g   x   3 f   3 x   6 x  4  3 f   3 x   2  3 x   4

g   x   0  3 f   3x   2  3x   4  0  f   3x  

4 2
  3x 
3 3

 2 2 
;   t   2;2 . Ta được phương trình f   t   4  2 t .
3 3
 3 3


Đặt t  3x, x  

Đặt y  f   t  , d : y 

Bảng biến thiên

4 2
 t
3 3


 2 2



Hàm số g ( x)  f (3 x)  3 x 2  4 x  1 đạt giá trị nhỏ nhất  ; 
3 3
khi 2  3x  x 

2
1
2
 min g  x   g    f  2  .
3  2; 2 
3
3
 3 3

Câu 46. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   0, x 


1

 ;  
2


thỏa

1
và có đạo hàm f   x  liên tục trên khoảng
2

f   x   8 xf 2  x   0, x 

mãn

1
2

f 1 

và

1
.
3

Tính

f 1  f  2   ...  f 1011 .


A.

1 2022
.
.
2 2023

2021
.
2043

B.

C.

2022
.
4045

D.

1 2021
.
.
2 2022

Lời giải
Chọn A
Ta có: f   x   8 xf 2  x   0 


 f  x
 f  x
1
dx   8 xdx 
 8x   2
 4x2  C .
2
f  x
f  x
f  x

1
3

Mà f 1   C  1  f  x  

1 1
1 
 

.
4x 1 2  2x 1 2x  1 
1
2

Ta có:






1
1  1 2022

.
  T  f 1  f  2   ...  f 1011  1 
 .
2  2023  2 2023


1 1
1 

f 1011  

2  2021 2023  

1 1
f 1  1  
2 3
11 1
f  2    
23 5
....










2
2
Câu 47. Cho bất phương trình log5 x  4x  4  m 1  log5 x  2x  3 với m là tham số. Có tất cả

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc
khoảng 1;3 ?

A. 3 0 .

B. 2 8 .

C. 2 9 .
Lời giải

D. Vơ số.

Chọn A
Ta có

log5  x2  4x  4  m 1  log5  x2  2x  3  log5  x2  4x  4  m  log5  5x2 10x 15

4 x 2  14 x  11  m 1
5 x 2  10 x  15  x 2  4 x  4  m
 2
x  1;3   2
x  1;3 .

 x  4 x  4  m  0
 x  4 x  4  m  2 
* Xét f  x   4 x 2  14 x  11 trên 1;3 . Ta có f   x   8 x  14  0 với  x  1; 3  .
Vậy để thoả mãn (1) thì m  f 1  29 .
* Xét g  x   x 2  4 x  4 trên 1;3  . Ta có bảng biến thiên của g  x  trên 1;3


Vậy để thoả mãn (2) thì  m  0  m  0 .
Khi đó 0  m  29 , suy ra có 3 0 giá trị nguyên của tham số m .



  3

x
x
Câu 48. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2  3  8x  3

2x

 m  0 ( với m là tham số

thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m    2021; 2021 để tập hợp S có hai phần tử?
A. 2 0 9 5 .
B. 2 0 9 2 .
C. 2 0 9 3 .
D. 2 0 9 4
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:  3   m  0

2x

Ta có
 2 x  3x  8 x  3  0
2x
 2x
3

m

0

 
 3   m  0

 2 x  3x  8 x  3
Xét

hàm

số

f  x   2 x  3x  8 x  3 ,

ta

có

f   x   2 x ln 2  3 x ln 3  8


;

f   x   2x  ln 2  3x  ln3  0, x   suy ra phương trình f  x   0 có nhiều nhất là 2
2

2

nghiệm
x  1
Ta thấy x  1 và x  2 là hai nghiệm của phương trình, vậy 2 x  3x  8 x  3  0  
x  2
Ta có  3  m  0   3  m .
2x

2x



  3

x
x
Để phương trình 2  3  8x  3

2x

 m  0 có 2 nghiệm thì phương trình  32  m vơ
x

m  1


nghiệm hoặc có nghiệm thuộc 1; 2    
m  1
 1  log 2  log3 m   2

m  1
m  1

.
 m  1

9  m  81


 9  m  81

Vì m    2021; 2021 và m   nên có 2 0 9 5 giá trị m nguyên cần tìm.

Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A   1; 2; 3  và B  3; 2; 5  . Xét hai điểm M và N thay
đổi thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho M N  2023 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A M  B N .
A. 2 17 .
Chọn D

B.

65 .

C. 25 97 .
Lời giải


D. 205 97 .


 

Dựng véc tơ BB  NM , khi đó B N  M B  , B    Q  qua B đồng thời song song với mặt
phẳng  Oxy  . Suy ra  Q   5 .
Vì B B   M N  2023 suy ra B thuộc đường tròn tâm B , bán kính R  2 023 nằm trong  Q  .
Gọi A đối xứng với A qua  Oxy  , ta có A    1; 2;  3  . Ta có AM  BN  A  M  M B   A  B  .
Gọi H   1; 2; 5  là hình chiếu vng góc của A lên  Q  . Suy ra AH  8, HB  4 .
Mặt khác HB   HB  BB   4  2023  2019
Suy ra AM  BN  AB   AH 2  HB  2  8 2  2019 2  205 97 .
Câu 50. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  f   x    x  3  x  4  . Tính tổng các giá trị nguyên của



tham số m    10; 5  để hàm số y  f x 2  3 x  m

A. 5 4 .

B. 9 .

 có nhiều điểm cực trị nhất?

C.  5 2 .

D.  5 4 .

Lời giải
Chọn D

 x  3
.
Ta có f   x    x  3 x  4   0  
x  4



2
Tính đạo hàm, y  f  x  3x  m



x2  3x  m
 2x  3 .
x2  3x  m

3

3

3

x  2
x  2
x  2


 x 2  3x  m  0
 2
 2

  x  3 x  m  0   x  3 x   m 1
y  0  
 x 2  3 x  m  3 VN 
 x 2  3x  m  4
 x 2  3x  4  m  2 



 x 2  3x  m  4
 x 2  3 x  m  4
 x 2  3 x  4  m  3 

Suy ra.
Đặt g  x   x 2  3 x , khảo sát hàm số y  g  x  , ta được bảng biến thiên như bên dưới.


Để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi  m  4 

9
7
m .
4
4

Kết hợp với điều kiện m    10; 5  suy ra tập giá trị m là S   10,  9,  8,...,  2 .
Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng  5 4 .
---------- HẾT ----------