BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐH GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG
BÁO CÁO ĐỒ ÁN MÔN HỌC
HỌC PHẦN: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN 2
Mã học phần: 010103311302
Đề tài

Thiết kế và mô phỏng hệ thống quả bỏng và địn bẩy.
Giảng viên hướng dẫn:

Nguyễn Thị Chính

Nhóm thực hiện:

Nhóm 02

Sinh viên thực hiện:
1.

Nguyễn Đình Khiêm

1851050041

TD18

2.

Nguyễn Hữu Đan

1851050020

TD18

3.

Phan Trần Bảo

1851050007

TD18

4.

Trịnh Quang Phú

1851050058

TD18

5.

Trần Ngọc Hải

1851050026

TD18

6.

Quách Kim Nhân


1851050054

TD18

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 04 năm 2022


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1.

Hàm truyền của hệ thống....................................................................2

1.1. Mơ hình hóa hệ thống cân bằng bóng trên thanh..............................................2
CHƯƠNG 2.

Vẽ quỹ đạo nghiệm số.........................................................................5

2.1. Tính tốn và vẽ quỹ đạo nghiệm số..................................................................5
2.2. Tìm k để hệ thống ổn định................................................................................6
CHƯƠNG 3.

Đánh giá chất lượng hệ thống.............................................................8

3.1. Tiêu chuẩn ổn định đại số.................................................................................8
3.1.1.

Điều kiện cần..........................................................................................8


3.1.2.

Tiêu chuẩn ổn định Routh......................................................................8

3.1.3.

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz...................................................................9

3.1.4.

Tiêu chuẩn ổn định Bode......................................................................10

3.2. Xét tính độ ổn định của hàm truyền bằng Matlab...........................................11
3.2.1.

Xét ngõ ra hàm truyền hở của hệ thống................................................11

3.2.2.

Xét ngõ ra hàm truyền kín của hệ thống...............................................13

CHƯƠNG 4.

Thiết kế bộ điều khiên P, PI, PD, PID, FUZZY, PID – FUZZY.........14

4.1. Bộ điều khiển PID..........................................................................................14
4.2. Phương pháp Ziegler - Nichols.......................................................................15
4.2.1.

Phương pháp Ziegler-Nichols 1............................................................15


4.2.2.

Phương pháp Ziegler-Nichols 2............................................................16

4.3. Thiết kế bộ điều khiển PID.............................................................................17
4.3.1.

Chọn phương pháp thiết kế các bộ điều khiển......................................17

4.3.2.

Thiết kế bộ điều khiển P.......................................................................18

4.3.3.

Thiết kế bộ điều khiển PI......................................................................21

4.3.4.

Thiết kế bộ điều khiển PD....................................................................24

4.3.5.

Thiết kế bộ điều khiển PID...................................................................27

4.3.6.

Nhận xét các bộ điều khiển...................................................................31


4.4. Thiết kế bộ điều khiển Mờ..............................................................................33
4.5. Bộ điều khiển PID Fuzzy...............................................................................38
CHƯƠNG 5.

Nhận xét và đưa ra kết quả................................................................40

5.1. Bảng so sánh các bộ điều khiển......................................................................40


5.2. Kết luận..........................................................................................................40
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................41


LỜI NĨI ĐẦU
Mơ hình quả bóng và thanh đỡ được sử dụng trong các thí nghiệm về điều
khiển ở hầu hết các trường đại học kỹ thuật vì nó là một mơ hình dễ xây dựng và là
một ví dụ điển hình về kỹ thuật điều khiển. Hệ thống gồm có một quả bóng, một thanh
đỡ, một động cơ và một số sensor. Một tay quay được gắn vào một đầu của thanh đỡ,
đầu còn lại được gắn vào động cơ. Khi động cơ quay một góc teta (θ), thơng qua tay
quay sẽ làm thanh đỡ quay một góc alpha (α). Khi thanh đỡ thay đổi góc từ vị trí cân
bằng, dưới tác dụng của trọng lực sẽ làm cho quả bóng lăn tự do trên thanh đỡ. Cơng
việc của người điều khiển là phải thiết kế một bộ điều khiển để kiểm sốt được vị trí
của quả bóng trên thanh đỡ. Bằng cách sử dụng các sensor, thông tin về vị trí của quả
bóng được gửi về và được so sánh với giá trị đặt vào trong bộ điều khiển, từ đó bộ điều
khiển sẽ gửi tín hiệu để điều khiển góc quay của động sao cho quả bóng sẽ đạt đúng vị
trí mong muốn trên thanh đỡ.
Trong đồ án sử dụng các định luật vật lý và phương pháp xấp xỉ tuyến tính để
phân tích mơ hình vật lý của hệ bóng và thanh đỡ. Từ đó, ta xác định được hàm truyền
của hệ thống, đó là cơ sở để khảo sát tính ổn định của hệ thống hở.
Đề tài được chia thành 5 chương như sau:

Chương 1: Hàm truyền của hệ thống.
Chương 2: Vẽ quỹ đạo nghiệm số.
Chương 3: Đánh giá chất lượng hệ thống.
Chương 4: Thiết kế bộ điều khiên P, PI, PD, PID, FUZZY, PID – FUZZY.
Chương 5: Nhận xét và đưa ra kết quả.
Với sự nổ lực của các thành viên trong nhóm cũng như sự chỉ bảo tận tình của
giảng viên hướng dẫn, nhóm chúng em đã hồn thành bài tiểu luận đúng thời hạn. Tuy
nhiên với một lĩnh vực tương đối khó và địi hỏi độ chính xác cao mà chỉ tiếp xúc
trong thời gian ngắn chắc chắn báo cáo này còn nhiều điều thiếu sót, chúng em xin
cảm ơn cơ Nguyễn Thị Chính đã tận tình giúp đỡ để nhóm có thể hoàn thành tốt bài
tiểu luận này.
1


2


CHƯƠNG 1. HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỐNG.
1.1. Mơ hình hóa hệ thống cân bằng bóng trên thanh
Quả bóng lăn trên thanh dưới tác động của lực hấp dẫn. Thanh được nghiêng từ
một Momen xoắn bên ngồi để kiểm sốt vị trí của quả bóng trên thanh
Tập hợp các tọa độ tổng qt mơ tả đầy đủ hệ thống:

Hình 1.1. Tọa độ tổng quát của hệ thống
Ta có:

r  t  
q t  

  t  

Trong đó:
r t

: Là vị trí của quả bóng trên thanh.

  t

: Là góc nghiêng của thanh so với phương ngang.

Phương trình Lagrange có dạng là:
L  K U

Động năng của thanh:
K1 

1 &2
J
2

Động năng của bóng:
K2 

1 &2 1
J bb  mvb 2 (1)
2
2

r&
&
b 

R
Với

3


Tính vb theo tọa độ tổng quát ta được:
vb 2  x&2  y&2 (2)

 x  r cos( )

Với  y  r sin( )
x&2  r&2 .cos 2     2rr&
&cos    cos     r 2&2 sin 2   

 3

y&2  r&2 .sin 2     2rr&
&cos    cos     r 2&2 cos 2   

 4

Thay phương trình (2), (3), (4) vào (1) ta được phương trình động năng của quả bóng:
K2 

1 Jb
1
( 2  m)* r&2  mr 2&2
2 R
2


Thế năng của hệ thống:
U  mgr sin( )

Lagrange phương trình hệ thống:
1 J
1
L  ( b2  m)* r&2  (mr 2  J )&2  mgr sin( )
2 R
2

Phương trình vi phân thứ nhất là:
d L L
( )
0
dt r& r
 (

Jb
& mgr sin( )  mr& 0 (5)
 m)r&
R2

Phương trình vi phân thứ hai là:
d L L
( )

dt & 
& 2mrr&
 (mr 2  J )&

& mgr cos( )   (6)

4


Bảng 1. Các kí hiệu của hệ thống cân bằng bóng trên thanh
Ý nghĩa

Ký hiệu

Đơn vị

m

kg

Khối lượng của bóng

R

m

Bán kính của bóng

Jb

kg .m2

Moment qn tính bóng


J

kg .m2

Moment qn tính thanh

g

m / s2

Gia tốc trọng trường



Arc

Góc giữa thanh và phương ngang

b

Arc

Góc quay của bóng



kg .m 2 / s 2

Moment xoắn tác động vào thanh


h
Tuyến tính hóa phương trình (5) này về góc nghiêng của thanh sin    , chúng
ta được xấp xỉ tuyến tính của hệ thống:
(

Jb
 m) &
r& mg
R2

Laplace phương trình trên ta được hàm truyền mối quan hệ giữa vị trí quả bóng và góc
nghiêng của thanh:
G ( s) 

R  s
mg
1  m 

  s  ( J b  m) s 2  rad 
R2

(*)

Ta có hàm truyền đối tượng:
G ( s) 

1  m 
2 

J

( b2  m) s  rad 
R
mg

 G ( s) 

0, 058.9,81
1 7, 017
 2
6
13,93.10
s2
s
(
 0, 058)
2
0, 0245

5


CHƯƠNG 2. VẼ QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ
2.1. Tính tốn và vẽ quỹ đạo nghiệm số

 Hàm truyền kín của hệ thống:
Gk  s  

 Với

H  s  1


G  s
1  G  s  .H  s 

ta có PTĐT là:
1 G  s  0
 1 

7, 017
0
s2

 Biểu diễn trên Matlab:

6


Biểu đồ quỹ đạo nghiệm số:

Nhận xét:


Theo quỹ đạo nghiệm số ta thấy có nghiệm kép P=0 nên hệ thống đang nằm
trong biên giới ổn định



Quỹ đạo nghiệm số nằm trên 2 nhánh của trục tung

2.2. Tìm k để hệ thống ổn định

Phương trình đặc trưng của hệ thống:

1  k .G  s   0
7k
0
s2
 s 2  7 k  0
 1 

7


Bảng Routh



2 

1


s2

1

7k

s1

0


0

s1

 0

0

s0

7k

Hệ thống ổn định khi tất cả các phần từ của cột 1 bảng Routh đều dương
 7.k  0
 k  0

=> Vậy k  0 thì hệ thống sẽ ổn định

8


CHƯƠNG 3. ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG
3.1. Tiêu chuẩn ổn định đại số
3.1.1. Điều kiện cần
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc
trưng phải khác 0 và cùng dấu.
Phương trình đặc tính:

1  G ( s)  0

7
 1 2  0
s
 s2  7  0
Ta thấy phương trình đặc trưng của hệ thống các hệ số a 0, a1, a2 khác 0 và cùng
dấu nên hệ thống thỏa mãn điều kiện cần.
3.1.2. Tiêu chuẩn ổn định Routh
Hệ thống có phương trình đặc trưng

a0 s n  a1s n 1  ...  an 1  an  0
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành
lập bảng Routh theo quy tắc:
 Bảng Routh có n+1
 Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn
 Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ
 Xét tiêu chuẩn Routh của hệ thống:
 Phương trình đặc trưng của hệ thống:

1  G (s) H (s)  0

 1
9

7
0
s2


 s2  7  0


Bảng Routh:



2 

1


s2

1

7

s1

0

0

s1

 0

0

s0

7


Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh luôn dương nên hệ thống ổn định.
3.1.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz


Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường

chéo của ma trận Hurwitz đều dương.


Xét tiêu chuẩn Hurwitz cho hệ thống:

1  G(s)  0
 1

7
0
s2

 s2  7  0
2

1

0

 a 0 s  a 1s  a 2 s  0




Ma trận Hurwitz

 a0
0



a2 
1 7 

0 0 
a1 



Định thức của ma trận trên:
10




1 7
0 0

 1.0  7.0  0
Vì định thức con chứa đường chéo tổng của ma trận Hurwitz mang dấu dương
nên hệ thống ổn định.
3.1.4. Tiêu chuẩn ổn định Bode



Xét tính ổn định của hệ thống kín



Tiêu chuẩn Bode
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ

pha dương.

GM  0



M

0


Hệ thống ổn định

Xét tiêu chuẩn Bode của hệ thống trên Matlab
%Tiêu chuẩn ổn định Bode
Num = [7]; % Khai báo tử số
Demo = [1 0 0]; % Khai báo mẫu số
G=tf(Num,Demo) ;% Thành lập hàm truyền
bode(G); % Vẽ biểu đồ Bode
margin(G); % Tìm độ dữ trữ biên và độ dự trữ pha
Ta nhập hàm magrin để tìm độ dự trữ biên và độ dự trữ pha trên Matlab


11


Ta thấy:

GM  1.93e  15 dB  at 2.65 rad/s 



M

0
deg
at
2.65
rad/s




Hệ thống đang ở biên giới ổn định

3.2. Xét tính độ ổn định của hàm truyền bằng Matlab
3.2.1. Xét ngõ ra hàm truyền hở của hệ thống


Hàm truyền hệ thống

G  s 



7
s2

Xét ngõ ra của hàm truyền hở bằng Simulink

12


Hàm truyền vừa tìm khơng ổn định, vì ngõ ra của hàm truyền là hàm dốc. Biên
độ dao động đi theo hàm dốc và tăng dần (bi lăn và rớt ra ngồi thanh).

3.2.2. Xét ngõ ra hàm truyền kín của hệ thống


Xét ngõ ra của hàm truyền kín bằng Simulink

13


Hệ thống đang có sự dao động ở biên giới ổn định, nên cần thiết kế bộ điều
khiển ở hệ thống ổn định hơn.
Ta thấy hệ thống đang có độ vọt lố cao và dao động tương đối lớn nên ta cần
phải thiết kế các bộ điều khiển có thể giảm sai số và làm giảm được thời gian đáp ứng
của hệ thống
Đánh giá hệ thống: từ mô phỏng chúng ta thấy đồ thị ngõ ra của hệ thống kín đã
ổn định hơn hệ thống hở. Đồ thị thay đổi theo dạng hình Cos theo thời gian. Biên độ
giao động thay đổi qua lại quanh vị trí đặt. Biên độ tối đa nhỏ nên viên bi sẽ không rơi
ra khỏi thanh ngang. Thanh ngang thay đổi góc quay với chu kì T=2,4s
Viên bi sẽ khơng rơi khỏi thanh ngang nhưng hệ thống khơng ổn định (vì đồ thị

theo hình Cos). Yêu cầu thiết kế bộ điều khiển
Mặc dù ngõ ra hệ thống phản hồi kín dao động qua lại vị trí đặt, biên độ dao
động tối đa nhỏ nhưng góc quay của thanh ngang thay đổi nhiều và liên tục với chu kì
T=2.4s. Cho thấy hệ thống khơng ổn định với sai số xác lập lớn. Chúng ta cần các bộ
điều khiển để có thể giảm độ vọt lố, giảm sai số xác lập, thời gian đáp ứng nhanh để hệ
thống ổn định nhanh.

14


CHƯƠNG 4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIÊN P, PI, PD, PID, FUZZY, PID –
FUZZY.
4.1. Bộ điều khiển PID
Giải thuật tính tốn PID hay cịn gọi là bộ điều khiển ba khâu, bao gồm:
Proportional (tỉ lệ), Integral (tích phân) và Derivative (đạo hàm). Giá trị tỉ lệ xác định
tác động của sai số hiện tại, giá trị tích phân xác định tác động của tổng các sai số quá
khứ và giá trị vi phân xác định tác động của tốc độ biến đổi sai số. Tổng chập của ba
tác độn này dùng để điều chỉnh q trình thơng qua một phần tử điều khiển. Nhờ vậy,
những giá trị này có thể làm sáng tỏ về quan hệ thời gian: P phụ thuộc vào sai số hiện
tại, I phụ thuộc vào tích lũy các sai số quá khứ và D dự đoán các sai số tương lai, dựa
vào tốc độ thay đổi hiện tại.
Cấu trúc của bộ điều khiển PID

Hình 4.2. Sơ đồ khối của hệ kín có bộ điều khiển PID

Biểu thức giải thuật PID là:
t

u (t )  Kp.e(t )  Ki. e(t ) dt  Kd .
0


de(t )
dt

Phương pháp điều chỉnh Ziegler - Nichols:
Trong phương pháp này, đầu tiên Ki và Kd được đặt bằng 0. Kp sẽ được tăng
đến một giá trị tới hạn Kc, ở đó đầu ra của hệ thống bắt đầu dao động. Kc và chu kỳ
dao động Tgh sẽ được sử dụng để đặt các tham số còn lại như sau:

K p  0,6. K c
K i  2 K p / Tgh
K d  K p . Tgh /
15


4.2. Phương pháp Ziegler - Nichols
Phương pháp Ziegler-Nichols là phương pháp thực nghiệm để xác định
tham số của bộ điều khiển, bằng cách dựa vào đáp ứng quá độ của đối tượng điều
khiển. Tùy theo đặc điểm của đối tượng điều khiển mà Ziegler-Nichols đã đưa ra
hai phương pháp.
4.2.1. Phương pháp Ziegler-Nichols 1
Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng nấc của hệ hở.
phương pháp này áp dụng cho các đối tượng có đáp ứng đối với tín hiệu vào là
hàm nấc có dạng chữ S như điều khiển nhiệt độ, …

Hình 4.3. Sơ đồ khối hệ hở

Sau đó dựa vào đáp ứng ngõ ra xác định các thơng số T1, T2, K.

Hình

4.4.được
Đáp taứng
củavào
hệ hở
Từ các thơng số vừa
tìm
thay
bảng sau để suy ra các hệ số

của bộ điều khiển PID tương ứng.

16


Bảng 2. thông số PID theo phương pháp Ziegler-Nichols 1.

4.2.2. Phương pháp Ziegler-Nichols 2
Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng của hệ kín ở biên
giới ổn định. Phương pháp này áp dụng cho đối tượng có khâu tích phân lý tưởng
như mực chất lỏng của bồn chứa, vị trí hệ truyền động dùng động cơ, …

Hình 4.5. Sơ đồ khối hệ kín

Tăng dần Kgh cho đến khi đáp ứng đạt được ở biên giới ổn định thì ta dừng
lại. Chọn Kgh và xác định chu kỳ dao động của tín hiệu Tgh.

Hình 4.6. Đáp ứng của hệ kín

17



Từ các thơng số vừa tìm được ta thay vào bảng sau để suy ra các hệ số
của bộ điều khiển PID tương ứng.

Hình 4.7. Bảng thơng số PID theo phương pháp Ziegler-Nichols 2

4.3. Thiết kế bộ điều khiển PID
4.3.1. Chọn phương pháp thiết kế các bộ điều khiển

Hình 4.8. Sơ đồ khối vịng kín của hệ bóng thanh trục giữa

Nhận xét:

Hình 4.9. Đáp ứng vịng kín khi có Kgh=1
18




Hệ thống chưa xuất hệ dao động



Thời gian đáp ứng của hệ thống chưa được tốt Tgh=4s



Hệ thống có độ vọt lố lớn. Bởi vì ngõ ra của hàm truyền nằm ở biên giới ổn
định, nên theo phương pháp Ziegler Nichols 2 ta có cơng thức như sau:


 Xét thấy QĐNS đã ổn định khi K>0 nên ta sẽ chọn K gh và Tgh để tìm bộ điều
khiển PD, PI, PID.
 Ta chọn thông số Kgh= 6 và Tgh=3s
4.3.2. Thiết kế bộ điều khiển P
Thiết kế bộ điều khiển P trên Simulink khi ta chọ được Kgh=10

Hình 4.10 Sơ đồ mô phỏng hệ thống với bộ điều khiển P
Sau khi có Kgh và Tgh ta tính tốn thơng số cho bộ điều khiển P như sau:

19


K p  0,5.K gh  0,5.6  3s
Ti 

Kp
Ki

   Ki  0

TD  K p .K D  K D  0
Thay các thơng số tìm được vào bộ điều khiển P và tiến hành mô phỏng
Kết quả mơ phỏng:

Hình 4.11. Mơ phỏng hệ thống khi có bộ điều khiển P

20


Hình 4.12. Hệ thống sau khi hiệu chỉnh


Hình 4.13. So sánh ngõ ra bộ điều khiển P trước và sau khi hiệu chỉnh

21


Chú thích:



Đường màu xanh đậm là giá trị đặt viên bi.



Đường màu đỏ: Ngõ ra trước khi hiệu chỉnh.



Đường màu xanh dương: Ngõ ra sau khi hiệu chỉnh.

 Đánh giá:


Ta nhận thấy với bộ điều khiển P làm hệ thống ln dao động quanh vị trí đặt
1 và với biên độ lớn nhất là 0 và 1.9. Đáp ứng của hệ thống dao động, độ vọt
lố cao có nghĩa là quả bóng ln lăn qua lại vị trí cân bằng và khơng thể đứng
n tại vị trí cân bằng.




Khi ta tăng hệ số Kp lên thì hệ thống sẽ dao dộng nhiều quanh vị trí đặt l.



Khi ta giảm hệ số K p xuống dưới 1 thì hệ thống sẽ dao động chậm hơn nhưng
vẫn ổn định quanh vị trí đặt.



Vì vậy chúng ta khơng thể chỉ thiết kế bộ điều khiển P để hệ thống ổn định
giảm được thời gian xác lập mà chỉ làm cho hệ thống dao động nhiều hơn.

4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển PI
Thiết kế bộ điều khiển tích phân tỉ lệ PI trên Simulink và đặt các thơng số KD=0
Tính tốn thơng số cho bộ điều khiển PI:

K p  0,45K gh  0,45.6  2,7



Ti 

K
Kp
2,7
 0,83.Tgh  0,83.3  2,49  K i  p 
 1,08
Ki
Ti
2,49


TD 

KD
 0  KD  0
KP

Sơ đồ khối mô phỏng: Với Kp = 2,7, Ki = 1,08, Kd = 0.

22