LờI NóI ĐầU
Thõn ỏi cho cỏc bn v cỏc em học sinh!
Để cùng các em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng hơn là giúp
các em có phương pháp học tốt mơn Tốn 9, tơi soạn cuốn TÀI LIỆU THAM
KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN 9. Hy vọng cuốn tài liệu sẽ giúp các em
nhìn nhận lại một cách tồn diện nội dung chương trình Tốn 9, có phương pháp
giải Tốn tốt hơn, nắm vững một số chuyên đề Toán 9.
NỘI DUNG GỒM:
Phần I: Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản Toán 9:
Phần này trình bày các dạng bài tập cơ bản về Đại số và Hình học thường
gặp trong cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10. Mỗi dạng Tốn có các ví dụ
minh họa có lời giải, tiếp đó là các bài tập tương tự dành cho các em tự luyện.
PhầnII: Tuyển tập một số đề thi theo cấu trúc thường gặp:
Phần này trình bày 10 đề thi mơn Tốn tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc
đề thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết. Với mỗi bài giải có phân bổ biểu
điểm cụ thể để các em tiện đánh giá năng lực bản thân, cũng như nắm vững các
bước giải quan trọng trong một bài toán.
Phần III: Một số đề tự luyện:
Phần này gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp các em
thử sức với đề thi.

1


PHẦN I:
HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9
---***--VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

A. Kin thc cn nh:

A.1. Kiến thức cơ bản

A.1.1. Căn bậc hai

a.Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai sè häc cđa 0
x ≥ 0

- Mét c¸ch tỉng qu¸t: x = a ⇔ 

2
x = a

b.So s¸nh c¸c căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có: a < b a < b
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A
a.Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức
bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu
thức dới dấu căn
- A xác định (hay có nghĩa) A 0
b.Hằng đẳng thức A2 = A
- Víi mäi A ta cã A2 = A
- Nh vËy: + A2 = A nÕu A ≥ 0
+ A2 = − A nÕu A < 0
A.1.3. Liªn hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a.Định lí: + Víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0 ta cã: A.B = A. B
+ Đặc biệt với A 0 ta cã ( A )2 = A2 = A
b.Quy t¾c khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích
của các thừa số không âm, ta có thể khai phơng từng

thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai
của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn
với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a.Định lÝ: Víi mäi A ≥ 0 vµ B > 0 ta có:

A
=
B

A
B

b.Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần lợt
khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho
kết qu¶ thø hai.

2


c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số
a không âm cho số b d¬ng ta cã thĨ chia sè a cho sè b rồi
khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc
hai
a.Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta cã A2 B = A B , tøc là
+ Nếu A 0 và B 0 thì A2 B = A B
+ NÕu A < 0 vµ B 0 thì A2 B = A B

b.Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì A B = A2 B
+ Nếu A < 0 và B 0 thì A B = − A2 B
c. Khư mÉu cđa biĨu thøc lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có
A
=
B

AB
B

d.Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta cã
A
A B
=
B
B

- Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ 0 vµ A ≠ B 2 , ta cã
C
C ( A ± B)
=
A − B2
A±B

- Với các biểu thức A, B, C mà A 0, B ≥ 0 vµ A ≠ B , ta có
C ( A B)
C

=
A B
A B

A.1.6. Căn bậc ba
a.Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a lµ sè x sao cho x 3 = a
- Víi mäi a th× ( 3 a )3 = 3 a3 = a
b.TÝnh chÊt
- Víi a < b th× 3 a < 3 b
- Víi mäi a, b th× 3 ab = 3 a . 3 b
- Víi mäi a và b 0 thì

3

a 3a
=
b 3b

A.2. Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi,
học sinh ôn thi chuyên
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n ( 2 ≤ n ∈ N ) cđa sè a lµ mét sè mµ lịy thõa n b»ng
a
3


b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
ã Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
ã Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng

ã Căn bậc lẻ của số âm là số âm
ã Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
ã Số âm không có căn bậc chẵn
ã Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
ã Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu
là 2k a và 2k a
d. Các phép biến đổi căn thức.
ã
ã

A. xác định với A
2k
A. xác ®Þnh víi ∀A ≥ 0
2 k +1
A2 k +1 = A víi ∀ A
2 k +1

2k

•

A.B = 2 k A .2 k B víi ∀ A, B mµ A.B ≥ 0
A2 k +1.B = A.2 k +1 B víi ∀ A, B

2 k +1
2k

•


A.B = 2 k +1 A.2 k +1 B víi ∀ A, B

2 k +1
2k

•

A2 k = A víi ∀ A

A2 k .B = A .2 k B víi ∀ A, B mµ B ≥ 0
A
=
B

2 k +1

2k

A
=
B

ã

m n

ã

m


2 k +1

A
với A, B mà B 0
2 k +1
B

2k

A

2k

B

víi ∀ A, B mµ B ≠ 0, A.B ≥ 0

A = mn A víi ∀ A, mµ A ≥ 0
m

An = A n víi ∀ A, mµ A ≥ 0

B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.
Bài 1: Tính:
a. A =

3- 3

2- 3 +2 2
b. B = +

c. C = 5. + . +

+

3 +3
2+ 3 - 2 2

HƯỚNG DẪN GIẢI:

4


a. A =

3- 3
2=

+

3 +2 2
2( 3 - 3)

+

3 +3
2+ 3 - 2 2
2( 3 + 3)

.


4- 2 3 +4
4 +2 3 - 4
2( 3 - 3)
2( 3 + 3)
=
+
3 - 1+ 4
3 +1- 4
2
2( 3 - 3) + 2( 3 + 3)2
=
3- 9
24 2
=
=- 4 2
- 6
b. B = + =
= = =3

c. C = 5. + . + = 5. + . +
= + + =3


Bài 2: Cho biểu thức A = 

1

x− x

+



 :
x −1
1

(

x +1

)

x −1

2

a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tim giá trị của x để A =

1
.
3

c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x

a). Điều kiện 0 < x ≠ 1
Với điều kiện đó, ta có:
b). Để A =
Vậy x =


1
thì
3

HƯỚNG DẪN GIẢI:
A=

x

(

x +1

:

) (

x −1

x +1

)

x −1

2

=

x −1

x

x −1 1
3
9
= ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện)
3
2
4
x

1
9
thì A =
3
4

c). Ta có P = A - 9 x =


1 
− 9 x = −9 x +
÷+ 1
x
x


x −1

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x +

Suy ra: P ≤ −6 + 1= −5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x =
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = −5 khi x =

1
x

⇔ x=

1
x

≥ 2 9 x.

1
x

=6

1
9

1
9

5


x +4
. Tính giá trị của A khi x = 36
x +2


Bài 3: 1) Cho biểu thức A =



x

4

 x + 16

+
2) Rút gọn biểu thức B = 
(với x ≥ 0; x ≠ 16 )
÷:
x −4÷
 x +4
 x +2
3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên
để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI:
36 + 4 10 5
=
=
36 + 2 8 4

1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =
2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có :

 x( x − 4) 4( x + 4)  x + 2

(x + 16)( x + 2)
x+2
+
=
÷
=
÷
x − 16  x + 16
(x − 16)(x + 16) x − 16
 x − 16

B = 

3) Ta có: B(A − 1) =

x+2  x+4 
x+2
2
2
.
− 1÷
=
.
=
.
÷
x − 16  x + 2  x − 16 x + 2 x − 16

Để B(A− 1) nguyên, x nguyên thì x− 16 là ước của 2, mà Ư(2) = { ±1; ±2 }
Ta có bảng giá trị tương ứng:

x− 16 1
−1
−2
2
x
17
15
18
14
Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 16 , để B(A− 1) nguyên thì x ∈ { 14; 15; 17; 18 }
Bài 4: Cho biÓu thøc:
P=

x
( x +

y )(1 −

y )

y

−

x +

(

−


) (

y) x +1

xy

)(

x + 1 1− y

)

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút
gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P = 2.
HNG DN GII:
a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0 .
P=

=

=

(

x(1 +

(

x +


x ) − y (1 −

(

) (1 +

x +

y

)(

x −

y

y ) − xy

x +

) (1 − y )

y +x−

y

)

xy + y − xy


=

)

(

)

( x − y ) + x x + y y − xy

(

x +

)(

y 1+

)(

(

x 1−

x +
y

)


y

)

)( y)
x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( 1 + x ) ( 1 − x )
(1 + x ) (1 − y )
x +

)(

x

(

y 1+

x 1−

6


=

x − y + y − y x

(1 − y )

(


y 1+

)(

x +

xy −

x 1−

=

VËy P =

y

(

x1+

(

⇔

) (

y −

)(


x −1 1 +

)

(

−

y 1−

(1 − y )

y

)

=

x +

xy −

y.

y.

b) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0
P = 2 ⇔ x + xy − y. = 2

⇔


)

)

y +1 =1

y =1

Ta cã: 1 + y ≥ 1 ⇒ x − 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và
x=2, y=2 (thoả mÃn).

Bi 5:Cho biểu thức M =

2 x 9
x5 x +6

+

2 x +1
x 3

+

x+3
2 x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5

c. Tìm x Z ®Ĩ M ∈ Z.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
M=

2 x −9
x−5 x +6

+

2 x +1
x −3

+

x +3
2− x

a.§K x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
Rót gän M =

2 x −9

0,5đ

(

)(

(


)(

Biến đổi ta có kết quả: M =
M=
x 1

b. . M =5 ⇔

(

x −3

) (

)(

x + 3 x − 3 + 2 x +1
x − 2 x −3

(
(

(

)

x −2

x − x −2
x −2


)(
x −3)(
x +1

)(

x −3

)

)

) ⇔M
x −2)

x −2

=

x +1
x −3

=5

)

⇒ x +1 =5

x −3


⇔ x +1 =5

x −15

⇔16 =4 x
16
⇒ x =
=4 ⇒x =16
4

7


§èi chiÕu §K: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
c. M =

x +1
x −3

=

x −3 + 4
x −3

=1 +

VËy x = 16 th× M = 5
4
x −3


x − 3 là ớc của 4

Do M z nên

x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1;

1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta đợc:
x {1;4;16;25;49} vì x ≠ 4 ⇒ x ∈ {1;16;25;49}

Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1
P=(

a
1 2 a−1
a+1
−
) .(
−
)
2 2 a
a+1
a−1

a a − 1 2 ( a − 1)2 − ( a + 1)2

P=(
).
2 a
( a + 1)( a − 1)
P=(
P=

a − 1 2 a − 2 a + 1− a − 2 a − 1
).
a− 1
2 a

−(a − 1)4 a 1− a
=
4a
a

Vậy P =

1− a
Víi a > 0 và a ≠ 1
a

b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
 P = < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK)
Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) :
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b


HƯỚNG DẪN GIẢI:
8


a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
= - =
= =
b) Khi có a = 3b ta có:

Q= = =

Bài 8: Cho biểu thức
 1
1 
2
1
A = 
+
.
+ +
y  x + y x
 x

3
3
1 x + y x + x y + y
:
y 

x 3 y + xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị
đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
 1
1 
2
1
+
.
+ +
a) A = 

y x+ y x
 x

1
:
y 

 x+ y
2
x + y 
=
.
+
:



xy
xy
x
+
y



(

 2
x + y 
=
+
:
 xy

xy



(
=

x+ y
xy

b) Ta có 



)

2

A=

xy

xy

)

x+

y

x+

=

xy

y

2

y


≥

2

Vậy min A = 1 khi

)

(

x+ y

)

(

x+ y

)

.

y  ≥ 0 ⇔ x + y − 2


x−

x+

)(


x + y x − xy + y + xy

xy ( x + y )

⇔
Do đó

x 3 y + xy 3

y ( x + y)

x+

xy

.

(

x3 + y x + x y + y3

xy
xy

=

x+
2


16
16

xy ≥ 0

y ≥2
=1

xy .

( vì xy = 16 )

 x= y

⇔ x = y = 4.

xy
=
16



9


Bài 9: Cho biểu thức:


1
x − 3  2

x+ 2

P = 
−
 
−

x
−
x
−
1
x
−
1
−
2
2
−
x
2
x
−
x



a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
c) Tính giá trị của P với x = 3 − 2 2 .


b) Rút gọn biểu thức P.

HƯỚNG DẪN GIẢI:




a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 



x > 0
x ≥1
x ≥1


⇔
⇔x ≠ 2
x ≠ 2
x ≠ 3


x ≠ 3
b) Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ 3

P =





=


(

1
x − x −1

(

)(

x −1 ≥ 0
2 − x ≠0
x −1 − 2 ≠ 0


2

−


x −1 − 2  2 − x
x −3

−

x + x −1

x − x −1


x >0

)

x + x −1

(

( x − 3) (

−

) (

x+ 2

2x − x 


x −1 − 2

)

)


2
−


x −1 + 2  2 − x

x −1 + 2

)(

)

x

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  2 x − x − 2
=
−
.
x
−
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
−
2
x 2− x




(

)

(

(

)

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  − 2 − x
.
= 
−
 x 2− x
x −3
 x − x +1


=

(

) − x1 = (

x + x −1 − x −1 − 2 .

c) Thay x = 3 − 2 2 =

P=

2−

(

(

(
)

2 −1

)

2 −1

2

)

(

)

x − 2 .( − 1)
x

=


)

=

2

2−

2 −1

2 −1

=

)

)

2 − 1 vào biểu thức P =
2

(



2− x 

x+ 2

2− x

x

2− x
, ta có:
x

2 − 2 +1
2 −1

=

1
2 −1

= 2 +1

Bài 10: Cho biểu thức:
4 x
8x
x −1
2
+
):(
−
)
P =(
4
−
x
2+ x

x −2 x
x
a) Rút gọn P
10


b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x − 3) P > x + 1
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: x − 2 x = x ( x − 2)
x ≥ 0

x > 0
 x ≠0
⇔
• ĐKXĐ: 
x ≠ 4
4 − x ≠ 0
 x −2≠ 0

•

Với x > 0 và x ≠ 4 ta có:
P= (

4 x
8x
x −1
2
−

):(
−
)
2+ x x −4
x ( x − 2)
x

=

4 x ( x − 2) − 8 x
:
( x − 2)( x + 2)

=

4 x − 8x − 8x
:
( x − 2)( x + 2)

=

−4 x −8 x
:
( x −2)( x + 2)

=

x −1 − 2( x − 2)
x ( x − 2)
x −1 − 2 x + 4

x ( x − 2)
− x +3
( Đk: x ≠ 9)
x ( x −2)

−4 x ( x + 2)
x ( x − 2)
.
( x − 2)( x + 2)
3− x

−4 x . x ( x − 2)
=
(3 − x )( x − 2)
4x
=
x −3
⇔

Với x > 0 , x ≠ 4, x ≠ 9 thì P =
4x
x −3

b) P = - 1

4x
= −1 ( ĐK: x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9 )
x −3

⇔ 4x = 3 − x

⇔ 4x − 3 − x = 0

x = y đk y > 0
Ta có phương trình: 4 y 2 − y − 3 = 0

Đặt

Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0
11


⇒ y1 = −1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0),

y2 =

3
( thoả mãn ĐKXĐ y >
4

0)
Với y =

3
9
= x thì x =
( thoả mãn đkxđ)
16
4

Vậy với x =

c) m( x − 3) P > x +1

9
thì P = - 1
16

(đk: x > 0; x ≠ 4, x ≠ 9 )

4x
> x +1
x −3

⇔ m( x − 3)
⇔ m.4 x > x +1

x +1
4x
( Do 4x > 0)
x +1
x
1
1
1
=
+
= +
• Xét
4x
4x 4x
4 4x

Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
⇔m >

⇔

1 1
< ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì
x 9

nhỏ hơn)
1
1
⇔
<
4x
36
1
1
1
1
⇔ +
< +
4
4x
4
36
1
1
5
⇔ +

<
4
4x
18

 5 x +1
>

5
18
4x
⇒m≥
Theo kết quả phần trên ta có : 
18
m > x + 1

4x


Kết luận: Với m ≥

5
, x > 9 thì m( x − 3) P > x + 1
18

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
C©u 1 Cho biểu thức :
12



A=(

1
x −1

+

1
x +1

x2 −1
− 1− x2
2

)2.

1) Tim điều kiện của x để biểu thức A cã nghĩa .
2) Rót gọn biểu thức A .
3) Giải phương tr×nh theo x khi A = -2 .
C©u2 Cho biểu thức : A = (

2 x+x
x x −1

−


x +2 

) : 

x − 1  x + x + 1 
1

a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3
C©u3 Cho biểu thức : A =

x +1

:

1

x x +x+ x x − x
2

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
 1

1

 

1

1




1

+
−
C©u4 Cho biểu thức : A= 
÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
 a a −1 a a + 1 a + 2


ữ
Câu 5 Cho biu thức : A = 
÷:
 a− a a+ a  a2
a. Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.


x 1
2 x

Câu 6 Cho biu thc P = 1 +
ữ:
ữ 1
x

+
1
x
−
1
x
x
+
x
−
x
−
1

 

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để P − x nhậ giá trị nguyên.
 a + a 
a− a 
C©u 7 Cho P = 1 +
÷1 −
÷; a ≥ 0, a ≠ 1
a
+
1
−
1
+
a




a) Rót gọn P.
b) T×m a biết P > − 2 .
c) T×m a biết P = a .

( 1 − 2x )
P=

2

− 16x 2
1
; x≠±
2
1 − 4x
2
−2
a) Chứng minh P =
1 − 2x

C©u 8 Cho

13


b) Tính P khi x =

3

2

2 + 5 − 24
12
 x +1
x −1 8 x   x − x 3
1



Câu 9 Cho biu thc B =
ữ: 
÷
x +1 x −1  x −1
x −1 
 x −1
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 2 2 .
c) Chứng minh rằng B ≤ 1 với mọi gía trị của x thỏa mãn
x ≥ 0; x ≠ 1 .

 1
  1
+ 1 a ữ:
+ 1ữ
Câu 10 Cho M = 
 1+ a
  1− a2

a) Tìm TXĐ

b) Rút gọn biểu thức M.
3
c) Tính giá trị của M tại a =
.
2+ 3

2.Tính Q =

a+ a

 a− a



+ 1 ⋅ 
− 1 ; a ≥ 0, a ≠ 1 .
C©u 11 Cho biểu thức: A = 
a
+
1
a
−
1

 

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2




y

 2 xy

y

:
+
; x > 0, y > 0, x ≠ y .
C©u 12 Cho biểu thức: S = 
 x− y
x
+
xy
x
−
xy


1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.

x +2
x − 2  x +1
⋅
−
; x > 0, x ≠ 1 .
C©u 13 Cho biểu thức: Q = 


x
−
1
x
+
2
x
+
1
x



a. Chứng minh Q =

2
x −1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số ngun.
C©u 14 Cho biểu thức:
 1
A = 
−
 x

  x +2
 : 
−
x − 1   x − 1
1


x +1 
 ; x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 .
x − 2 

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
C©u 15 Rút gọn biểu thức: A =
C©u 16 Cho biểu thức: T =
1. Rút gọn biểu thức T.

a +1
a2 −1 − a2 + a
x+2
x x −1

+

1

+

x +1
x + x +1

a −1 + a
−

+


a3 − a
a −1

; a > 1.

x +1
; x > 0, x ≠ 1 .
x −1

14


2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 ln có T<1/3.
C©u 17 Cho biểu thức: M =
1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 18: Cho biểu thức :

1− x
1− x

−


2mn
2mn 
1
A=  m+
+ m−
1+ 2

2
2 ÷
1+n
1+ n 
n


1−

( x)

3

1+ x + x

; x ≥ 0; x ≠ 1.

với m ≥ 0 ; n ≥ 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với m = 56 + 24 5 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.


a+3 a +2
a+ a  1
1 

−
:

+
Bài 19: Cho biểu thức P =
÷
 a + 2 a −1
a −1   a +1
a −1 


a) Rút gọn P.
1
a +1
b) Tìm a để −
≥1
P
8


x   1
2 x
−
Bài 20: Cho biểu thức P = 1 +
÷: 
÷− 1
x
+
1
x
−
1
x

x
+
x
−
x
−
1

 

a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P − x nhận giá trị nguyên.

(

)(

)

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BC HAI MT N S
A. KIN THC CN NH:
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có
dạng
ax 2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
a0

II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)

∆ = b 2 4ac

*) Nếu > 0 phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :
x1 =

−b + ∆
−b −
; x2 =
2a
2a

*) Nếu = 0 phơng trình có nghiÖm kÐp :
15


x1 = x 2 =

−b
2a

*) NÕu ∆ < 0 ph¬ng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bËc hai ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vµ b = 2b '
∆ ' = b '2 ac

*) Nếu ' > 0 phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :
x1 =

−b '+ ∆ '
−b '− ∆ '

; x2 =
a
a

*) NÕu ∆ ' = 0 phơng trình có nghiệm kép : x1 = x 2 =

b '
a

*) Nếu ' < 0 phơng trình vô nghiƯm.
IV. HƯ thøc Vi - Et vµ øng dơng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
th× :
b

 x1 + x 2 = − a

x x = c
 1 2 a

2. Muốn tìm hai số u và v, biÕt u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
x 2 Sx + P = 0

(Điều kiện để có u và v là S2 4P ≥ 0 )
3. NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) cã hai
nghiÖm :
x1 = 1; x 2 =

c
a


NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) cã hai
nghiÖm :
x1 = −1; x 2 = −

c
a

IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghim thoa món c im cho
trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a
0) có:
1. Có nghiƯm (cã hai nghiƯm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. V« nghiƯm ⇔ ∆ < 0
3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiệm bằng nhau)
=0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiÖm cïng dÊu ⇔ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 vµ P < 0 ⇔ a.c < 0
16


7. Hai nghiƯm d¬ng(lín h¬n 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 vµ P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối
lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối

lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI:
Bµi 1. Giải các phơng trình sau :
a / 2x 2 − 8 = 0

c / −2x 2 + 3x + 5 = 0

b / 3x 2 − 5x = 0

d / x 4 + 3x 2 − 4 = 0
x+2
6
f/
+3=
x −5
2−x

e / x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0

Gi¶i
a / 2x − 8 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 ⇔ x = 2
2

2

2

Vậy phơng trình có nghiệm x = 2
x = 0

x = 0
b / 3x − 5x = 0 ⇔ x(3x 5)

x = 5
3x

5
=
0

3

2

Vậy phơng trình có nghiệm x = 0; x =

5
3

c / −2x 2 + 3x + 5 = 0

NhÈm nghiÖm :
Ta cã : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
5 5
=
2 2
d / x 4 + 3x 2 − 4 = 0
x1 = 1; x 2 =

Đặt t = x 2 (t 0) . Ta có phơng trình : t 2 + 3t 4 = 0

a+b+c=1+3-4=0
=> phơng trình có nghiÖm : t1 = 1 > 0 (tháa m·n);

t2 = −

4
= −4 < 0
1

(lo¹i)
Với: t = 1 ⇔ x 2 = 1 x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm x = ±1

17


e / x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0 ⇔ (x 3 + 3x 2 ) − (2x + 6) = 0 ⇔ x 2 (x + 3) − 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x 2 − 2) = 0
 x = −3
x + 3 = 0
 x = −3
⇔ 2
⇔ 2
⇔
x − 2 = 0
x = 2
x = 2

Vậy phơng trình cã nghiƯm x = −3; x = ± 2
x+2
6

+3=
(§KX§ : x 2; x 5 )
x 5
2x
x+2
6
+3=
Phơng trình :
x −5
2−x
(x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x)
6(x − 5)
⇔
+
=
(x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x)
⇒ (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5)
f/

⇔ 4 − x 2 + 6x − 3x 2 − 30 + 15x = 6x − 30
⇔ −4x 2 + 15x + 4 = 0
∆ = 152 − 4.(−4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; ∆ = 17

=> phơng trình có hai nghiệm : x1 =
x2 =

15 + 17
1
= − (tháa m·n §KX§)
2.( −4)

4

−15 − 17
= 4 (thỏa mÃn ĐKXĐ)
2.(4)

Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham sè m :
x 2 + mx + m + 3 = 0 (1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình. Tính
x12 + x 22 ; x13 + x 32 theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n
: x12 + x 22 = 9 .
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n
: 2x1 + 3x2 = 5.
e/ T×m m để phơng trình có nghiệm x1 = - 3. Tính
nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
không phụ thuộc vào giá trị của m.
HNG DN GII:
a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
x 2 2x + 1 = 0
⇔ (x − 1) 2 = 0
⇔ x −1 = 0
⇔ x =1

VËy víi m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình : x 2 + mx + m + 3 = 0 (1) Ta có:
∆ = m 2 − 4(m + 3) = m 2 − 4m − 12


18


Phơng trình có nghiệm x1; x 2 0
 x1 + x 2 = −m
 x1x 2 = m + 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 

(b)

*) x12 + x 22 = (x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2 = ( −m) 2 − 2(m + 3) = m 2 − 2m − 6
*) x13 + x 32 = (x1 + x 2 )3 − 3x1x 2 (x1 + x 2 ) = (−m)3 − 3(m + 3)(−m) = −m 3 + 3m 2 + 9m
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiƯm x1; x 2 ⇔ ∆ ≥ 0
Khi ®ã x12 + x 22 = m 2 − 2m − 6
Do ®ã x12 + x 22 = 9 ⇔ m 2 − 2m − 6 = 9 ⇔ m 2 − 2m − 15 = 0
∆ '(m) = (−1) 2 − 1.(−15) = 1 + 15 = 16 > 0; ∆ (m) = 4

=> phơng trình có hai nghiệm : m1 =

1+ 4
1− 4
= 5; m 2 =
= −3
1
1


Thư l¹i :

+) Víi m = 5 ⇒ ∆ = −7 < 0 => lo¹i.
+) Víi m = −3 ⇒ ∆ = 9 > 0 => tháa m·n.
VËy víi m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa
mÃn : x12 + x 22 = 9 .
d/ Theo phÇn b : Phơng trình có nghiệm x1; x 2 ∆ ≥ 0
 x1 + x 2 = −m
 x1x 2 = m + 3

(a)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta cã : 

(b)

HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = 5
(c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
x1 + x 2 = −m
3x + 3x 2 = −3m
 x = −3m − 5
 x = −3m − 5
⇔ 1
⇔ 1
⇔ 1

 2x1 + 3x 2 = 5
2x1 + 3x 2 = 5
 x 2 = − m − x1

 x 2 = 2m + 5
 x1 = 3m 5
vào (b) ta có phơng trình :
x 2 = 2m + 5

Thay 

(−3m −5)(2m +5) = m +3

⇔−6m 2 −15m −10m − 25 = m +3
⇔−6m 2 − 26m − 28 = 0
⇔3m 2 +13m +14 = 0
∆( m) =132 − 4.3.14 =1 > 0

−13 + 1
= 2
2.3
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
13 1
7
m2 =
=−
2.3
3
Thư l¹i : +) Víi m = −2 ⇒ ∆ = 0
=> tháa m·n.
−7
25
+) Víi m = ⇒ ∆ = > 0 => tháa m·n.
3

9
7
VËy víi m = −2; m = phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mÃn :
3
m1 =

2x1 + 3x2 = 5.
e/ Phơng trình (1) cã nghiÖm
x1 = −3 ⇔ (−3) 2 + m.(−3) + m + 3 = 0 ⇔ −2m + 12 = 0 ⇔ m = 6

19


Khi ®ã : x1 + x 2 = − m ⇔ x 2 = − m − x1 ⇔ x 2 = −6 − (−3) ⇔ x 2 = −3
VËy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiƯm tr¸i dÊu
⇔ ac < 0 ⇔ 1.(m + 3) < 0 ⇔ m + 3 < 0 ⇔ m < 3

Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định
lí Vi-et, ta cã :
 x1 + x 2 = −m
 m = − x1 − x 2
⇔
⇔ − x1 − x 2 = x1x 2 − 3

 x1x 2 = m + 3
 m = x1 x 2 − 3

Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m l: x1.x2 + (x1 + x2 )

3=0
Bài 3:
Cho phơng tr×nh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m ®Ĩ (1) cã nghiƯm duy nhÊt? t×m nghiƯm
duy nhÊt ®ã?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hÃy tìm
nghiệm còn lại(nếu có)?
HNG DN GII:
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 th× (1) cã dạng 2x - 3 = 0 x =

3
2

(là nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bËc hai cã: ∆’=12- (3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
+ KÕt hỵp hai trờng hợp trên ta có: Với m

2
3
2
thì phơng tr×nh
3

cã nghiƯm
b) + NÕu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =

3
2


(là nghiệm)
+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: = 1(-3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm duy nhÊt ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m =

2
(tho¶
3

m·n m ≠ 1)

20


Khi đó x =



1
1
=
=3
2
m 1
1
3

+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
với m =


3
2

2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
3

c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 m =

3
4

Khi đó (1) là phơng trình bËc hai (do m -1 =

3
1
-1= − ≠ 0)
4
4

−3
−3
=
= 12 ⇒ x 2 = 6
Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = m − 1 − 1
4
3
VËy m = vµ nghiệm còn lại là x2 = 6
4


Bài 4: Cho phơng tr×nh: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chøng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi
m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trình
thoả mÃn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc
vào m
f) HÃy biểu thÞ x1 qua x2
HƯỚNG DẪN GIẢI:
2

1
15
a) Ta cã: ∆’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =  m −  +


2

4

2
15
1

> 0 ⇒ ∆ > 0 víi mäi m
Do  m −  ≥ 0 víi mäi m;




2

4

⇒ Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phơng trình có hai nghiệm tr¸i dÊu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0
⇔ m > -3
VËy m > -3
21


c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P =
x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 vµ P > 0
2(m − 1) < 0
m < 1
⇔
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3

VËy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = (m+3)
Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) =

4m2 – 6m + 10
Theo bµi A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
 m ≥ 0

 m ≥ 0
 m ≥ 3

3

2
m
−
3
≥
0
m≥

2



⇔
⇔
⇔
2
 m ≤ 0

m
≤
0




m ≤ 0

3
2m − 3 ≤ 0
 m ≤
2


VËy m ≥

3
hc m ≤ 0
2

e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiÖm
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = 2m 6

Theo định lí Viet ta có:

x1 + x2+2x1x2 = - 8
VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2
không phụ thuéc m
f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔

x1 = −

8 + x2
1 + 2 x2
8+ x

1
2
VËy x1 = − 1 + 2 x
( x2 ≠ − )
2
2
Bµi 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham
số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm x1; x2 tho¶
m·n 3x1+2x2 = 1

22


1

1

2

1

c) Lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1 = x1 + x ; y 2 = x 2 + x với

x1; x2 là nghiệm của phơng trình ở trên
HNG DẪN GIẢI:
a) Ta cã ∆’ = 12 – (m-1) = 2 m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo cña nhau
∆' ≥ 0
2 − m ≥ 0
m ≤ 2
⇔
⇔
⇔
⇔m=2
m
−
1
=
1
m
=
2
P
=
1




VËy m = 2
b) Ta cã ∆’ = 12 – (m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1

(2)
Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3)
Tõ (1) vµ (3) ta cã:
 x1 + x 2 = −2
 2 x + 2 x 2 = −4
x = 5
x = 5
⇔ 1
⇔ 1
⇔ 1

3 x1 + 2 x 2 = 1
3 x1 + 2 x 2 = 1
 x1 + x 2 = −2
 x 2 = −7

ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (tho¶ m·n (*))
VËy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Khi ®ã: y1 + y 2 = x1 + x 2 +

x + x2
1
1
−2
2m
+
= x1 + x 2 + 1
= −2 +

=
x1 x 2
x1 x 2
m −1 1− m

(m≠1)
y1 y 2 = ( x1 +

1
1
1
1
m2
)( x 2 + ) = x1 x 2 +
+ 2 = m −1+
+2=
x2
x1
x1 x 2
m −1
m −1

(m≠1)
⇒ y1; y2 là nghiệm của phơng trình: y2 -

2m
m2
.y +
=0
1 m

m 1

(m1)
Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bµi 1Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phơng trình (1) có
nghiệm nguyên.
23


HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1
* m≠1 :
m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ⇒ x1 = 1 ;

x2 =

m +1
2
= 1+
m −1
m −1

⇒ m − 1 = 1;2 m { 1;0;2;3}

Bài 2: Cho phơng tr×nh x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phơng trình có 2 nghiƯm lµ 3 vµ -2.
HDÉn :


6m − 3n = 6
m = 2


4m + 3n = 14
n = 2

Bài 3: Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiƯm
duy nhÊt lµ

1
:
2

HDÉn :

mx2 + (mn + 1)x + n = 0

m ≠ 0

∆ = 0
m
1
 + ( mn + 1). + n = 0
2
4

 m = −2

⇔

1
n = − 2

Bài 4: Cho hai phơng trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 +
x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Víi mäi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có
nghiệm .
HDÉn : ∆ 1 + ∆ 2 = 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x +
(1)

m
=0
4

vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 =

0 (2)
CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 phơng trình trên có
nghiệm .
HDẫn : 1 = (m − 1)(m − 4) ; ∆ 2 = 16(1 − m)(m − 4)
∆ 1 .∆ 2 = −16(m − 1) 2 (m − 4) 2 ≤ 0 ⇒ có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có Ýt
nhÊt 1 nghiÖm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDÉn : (m -2)x 0 = m - 2 : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2
+ 2x +2 = 0 ( v« nghiƯm)
24



+ m ≠ 2 : x 0 = 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít
nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDÉn : (m - 4)x 0 = m - 4 : + m = 4 : hai phơng trình có
dạng : x2 + 2x +3 = 0 ( v« nghiƯm)
+ m ≠ 4 : x 0 = 1 ; m = -2
Bµi 8 : Gäi x1 và x2 là những nghiệm của phơng trình : 3x2 (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phơng
trình (1) thoả mÃn : 3x1 5 x 2 = 6
4
* ∆ = (3k + 4) ≥ 0 ⇔ k ≠ −
3
2

HDÉn :

k = 0
* 
32
k=−
15


(t/m)

Bµi 9 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. X¸c
x1 , x 2 ta cã hệ thức :

định m để giữa hai nghiệm
3 x1 x 2 − 5( x1 + x 2 ) + 7 = 0
m = 2
4
HDẫn :
*
loại m =
4
m=
3
3

Bài 10: Cho phơng trình x 2 2( m + 2) x + m + 1 = 0 . Gäi x1, x2 lµ hai
7
* ∆ = 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m
4

nghiệm của phơng
trình. Tìm giá trị của m để x1 (1 − 2 x 2 ) + x 2 (1 − 2 x1 ) = m 2

*∆ = m +


HDÉn :

'

2

3

3
 + >0
2
4

m = 0
m = −2

2
* x1 (1 − 2 x 2 ) + x 2 (1 − 2 x1 ) = m 2 ⇔ x1 + x 2 − 4 x1 x 2 = m ⇔ m( m + 2) = 0

Bài 11: Cho phơng tr×nh x 2 − 2( m − 3) x + 2m − 7 = 0 (1)
Gäi hai nghiƯm cđa ph¬ng trình (1) là x1, x2 . hÃy tìm m để
1
1
+
=m
x1 + 1 x 2 + 1

* ∆ = ( m − 4) 2 ≥ 0

HDÉn :
*

1
1
+
= m ⇔ 2m 2 − 7 m + 2 = 0 ⇔ m = 7 ± 33
x1 + 1 x 2 + 1
4


Bµi 11: Cho phơng trình x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. Tìm
các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mÃn: - 225