chuỗi laurent p-adic

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (367.51 KB, 71 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Nguyên Thanh Hà

CHUỖI LAURENT P-ADIC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUY
Ế
T S
Ố

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình t hư ï c hiện luận văn tôi đã gặp không ít khó khăn do thời
gian không nhiều và kiến thức còn hạn chế, tuy nhiên tôi lu o â n nhận được sự
quan tâm, giúp đỡ và động viên của các thầy cô, bạn bè và gia đình.
Do vậ y tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giá o sư - Tiến só Mỵ
Vinh Quang, thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để trực ti e á p hư ơ ù ng dẫn
tôi không chỉ về nội dung mà còn cả cách trình bày luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Giáo sư William C he rry đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong việc tìm ra cách chứng minh đònh lí về số không điểm của
một chuỗi Laurent p -adic.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Trònh Thanh Đèo đã giúp tôi sử dụng
Latex để soạn thảo luận văn một cách rõ rà ng, s á ng s u û a.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin, đặc biệt
là các thầy cô bộ m o â n Đại số đã trực tiếp trang bò cho tôi không chỉ những
kiến thức Toán mà cả phương pháp tự học và nghiên cứu.
Ngoài ra, để sử dụng cho luận văn, tôi đã tham khảo một số tài liệu và
bài viết, xin cảm ơn các tác giả.

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, anh chò ở phò ng Khoa
học công nghệ sau đại học, gia đình và bạn bè đã luôn động viên và giúp đỡ
tôi khi tôi gặp khó khăn.
Tp.HCM, ngày 25 tháng 5 năm 2010
Tác giả
Trần Nguyên Thanh Hà
1
MỘT SỐ KÍ HIỆU
∗ Q
p
: Trường các số p-adic.
∗ Q
a
p
: Bao đóng đại số của Q
p
.
∗ C
p
: Cái đầy đủ của Q
a
p
- Trư ơ ø ng cá c số phức p-adic.
∗ C
p
[z]: Vành các đa thức trên C
p
.
∗ C
p

[[z]]: Vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên C
p
.
∗ A[r]: Vành các hàm giải tích p−adic trên A[r].
∗ A[r
1
, r
2
]: Vành các chuỗi Laurent p-adic trên hình vành khăn A[r
1
, r
2
] (vành
các hàm giải tích p−adic trên A[r
1
, r
2
]).
∗ |f|
r
: C hu ẩ n cu û a f theo r.
∗ K(f, r): Chỉ số tối đại của f ( tại r).
∗ k(f, r): Chỉ so á tối tiểu của f ( tại r).
∗ N(f, 0, r): Hàm đếm của f tại r.
2
MỤC LỤC
MỘT SỐ KÍ HIỆU 2
MỞ ĐẦU 5
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Đònh nghóa chuẩn phi Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Một số tính chất của chuẩn phi Archimede . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nhóm giá trò, trường thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Tính chất đặc biệt của dãy trong trường với chuẩn phi Archi m e de 9
1.5 Cái đầy đủ của một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Bao đóng đại số của một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Q
p
- Cái đầy đủ của Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Q
a
p
: B ao đóng đại số của Q
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 C
p
: Cái đầy đủ của Q
a
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 XÂY DỰNG CHUỖI LAURENT P-ADIC 16
2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Hàm giải tích p− adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Chuỗi Laurent p− adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Chuẩn của một chuỗi Lau re nt p−adic . . . . . . . . . . 19
3
4
2.1.4 Chỉ số tối đại K(f, r), chỉ số tối tiểu k(f, r) và bán kính
tới hạn (điểm tới hạn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.5 Đa thức r−dominant và đa thức r−extremal . . . . . . 25
2.1.6 Hàm đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Đònh lí Weierstrass cho hàm giải tích p - adic . . . . . . . . . . 46
3 CÁC ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG 47
3.1 Đònh lí chia Euclide cho hàm giải tích p-adic . . . . . . . . . . 47
3.2 Đònh lí chia Euclide cho chuỗi Laurent p-adic: . . . . . . . . . . 51
3.3 Đònh lí Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Một số ứng dụng của đònh lí Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Đònh lí Poisson−Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
KẾT LUẬN 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO 70
MỞ ĐẦU
Giải tích p-adic đứng một chân trong Giải tích cổ điển và chân còn lại
trong Đại số và lý thuyết số, do vậy nó cho ta một cái nhìn thú vò về sự kết
hợp giữa hai lónh lực lớn này của toán học.
Hơn thế, trong 40 năm trở lại đây, nhờ việc phát hiện những mối liên
quan s â u sắc với những vấn đề lớn của số học và hình học đ ạ i số mà giải tích
p-adic được phát triển mạnh mẽ và trở thành m o ä t chuyên ngành độc lập.
Trong giải tích p-adi, các hà m giả i tích p-adi c (tứ c là cá c hàm khai t ri e å n
được thành chuỗi lũy thừa trong một đóa) đã được nghiên cứu rất nhiề u và t hu
được nhiều kết quả đáng kể. Trong khi đó, chuỗi Laurent p-adic tức là các
hàm khai tri e å n đ ư ơ ï c thành chuỗi lũy thừa trên một hình vành khăn) là một mở
rộng khá thú vò của các hàm giải tích p-adic lại chưa được nghie â n cư ù u nhiều.
Vì là mở rộng của các hàm giải tích p-adic nên khi nghiên cứu về chuỗi
Laurent p-adic, một cách tự nhiên, ta sẽ đặt ra các câu hỏi: Nó có những tính
chất gì và l i e ä u nó co ø n giữ lại những tính chất đã biết của hàm giải t ích p-adic
hay không? Không điểm của một chuỗi Laurent p-adic xác đònh như thế nào
và có tính được số không điểm của nó hay không? Có thể đem một chuỗi
Laurent p-adic chia cho một đa thức hay không? Nếu đươ ï c t hì kế t quả sẽ như

thế nào và nó có còn bảo toàn các tính chất trong phép chia đa thức (như là:
tính duy nhất của thương và dư, bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức
thương, ) hay không?
Triển khai đề tài: Chuỗi Laurent p-adic , luận văn này sẽ lần lượt làm
sáng tỏ những vấn đề nêu trên .
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính củ a luận văn gồm 3
chương:
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bò :
Trình bày các kiến thức cơ bản cần cho các chươ ng sau: Chuẩn phi
Archimede, số phức p-adic, trường số phức p-adic C
p
,
Chương 2 : Xây dựng chuỗi Laurent p-adic :
Trình bày the â m mo ä t số khái niệm: Chuỗi Laurent p-adic, vành các chuỗi
5
6
Laurent p-adic, chuẩn của một chuỗ i Laurent p-adic, chỉ số tối đại, chỉ
số tối tiểu, đa thức r − dominant, đa thức r − extrema l, sau đó qua
các m e ä nh đe à trình bày chi tiết hơn về chuỗi Laurent p-adic: Điều kiện
khả nghòch, số bán kính tới hạn,
Chương 3 : Các đònh lí quan trọng :
Chương này sẽ sử dụng phần kiến thứ c chuẩ n bò ở chương 1 và các tính
chất ở chương 2 để chứng minh những đònh lí quan trọng về chuỗi Lau -
rent p-adic: Đònh l í về phe ù p chia Euclide, đònh lí Weierstrass. Cuối cùng
là một số ứng dụng củ a đònh lí Weierstrass: Đònh lí về số không điể m
và một số ví dụ cụ thể đ e å tính số không điểm của một chu o ã i Laurent
p-adic, đònh lí Poisson - Jensen.
Vì thời gian không nhiề u và kiến thức còn hạn chế nên l u ậ n văn sẽ không
tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô
để luận văn hoàn chỉnh hơn.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản cần cho các chương sau.
Bắt đầu từ Q, như đã biết là không đầy đủ và không đóng đại số, để t hu ậ n
tiện nghiên cứu, ta sẽ xây dựng một trươ ø ng “đẹp” hơn - vừa đóng đạ i số vừa
đầy đủ.
Từ Q xây dựng cái đầy đủ của nó là Q
p
nhưng Q
p
dù đầy đủ lại không đóng
đại số, do vậy tiếp tục xe ù t bao đóng đại số củ a Q
p
là Q
a
p
, tuy nhiên nó lại
không đ ầ y đủ, cuối cùng phải xây dựng cái đầy đ u û của Q
a
p
để được trường số
phức p-adic C
p
“đẹp” như mong muốn.
Q → Q
p
→ Q
a
p
→ C

p
Do vậy , ơ û chương này, ngoài các khái niệm cơ bản như chuẩn phi Archimede ,
nhóm giá trò, trường thặng dư của một trường -đã trang bò trên đó một chuẩn
phi Archimede- và các tính chất của nó, ta sẽ đi xây dựng trường các số p
- adi c Q
p
để sau đó xây dựng trường số phức p-adic C
p
.
Vì phần chính sẽ là chương 2 và đặc biệt là chương 3 nên ở chương 1,
nhiều kết quả chỉ nêu ra chứ không chứng minh hoặc chỉ nêu tóm tắt chứ
không đi vào chi tiết cụ thể.
7
8
1.1 Đònh nghóa chuẩn phi Archimede
Cho F là một vành, một chuẩn phi Archim e de trên F là một ánh xạ:
| | : F → R
+
thỏa các điều kiện:
(i) |a| = 0 ⇔ a = 0.
(ii) |a.b| = |a||b|, ∀a, b ∈ F .
(iii) |a + b| ≤ max{|a|, |b|}, ∀a, b ∈ F .
Nếu F là mộ t trường và | | là một chuẩn phi Archimede trên F thì t a se õ
gọi cặp (F, | |) là trư ơ ø ng phi Archimede.
1.2 Một số tính chất của chuẩn phi Archimede
Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede | |.
Chuẩn phi Archimede có các tính chất cơ bản như trò tuyệt đối thông thường:
| − x| = |x|, |1| = 1, |
1
x

| =
1
|x|
.
Ngoài ra chuẩn phi Archimede còn có các tính chất sau đây:
Tính chất 1.2: Nếu |x| = |y| thì |x + y| = max{|x|, |y|}.
Tính chất này có thể phát biểu thành lời như sau: Trong F mọi tam giác đều cân.
Thật vậy, giả sử max{|x|, |y|} = |x|, mà |x| = |y| nên
|x| > |y| (1.1)
Theo tính chất của chuẩn phi Archimede và (1.1):
|x + y| ≤ max{|x|, |y|} = |x|
|x| = |(x + y) − y| ≤ max{|x + y|, |y|} = |x + y|
Suy ra: |x + y| = |x|.
9
1.3 Nhóm giá trò, trường thặng dư
Cho F là một trường, | | là một chuẩn trên F , đặt F
∗
= F \ {0}.
Nhóm giá trò của (F, | |) là: |F
∗
| = {|x| : x ∈ F
∗
}
Đặt: A = {x ∈ F : |x| ≤ 1}
Và: M = {x ∈ F : |x| < 1}
Dễ dàng chư ù ng minh được rằng A là một vành con của F và M là mo ä t
ideal tối đại của A.
Do vậy

F = A/M là một trường.

Ta gọi

F là trường thặng dư của F .
1.4 Tính chất đặc biệt của dãy trong trường với
chuẩn phi Archimede
Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede | |. Ta có:
a) (x
n
) là dãy Cauchy khi và chỉ khi (x
n+1
− x
n
) → 0.
Chiều (⇐) là hiển nhiên, ta sẽ chứng minh chiều (⇒).
Giả sử (x
n+1
− x
n
) → 0, khi đó:
∀ε > 0, ∃N : ∀n, n > N ⇒ |x
n+1
− x
n
| < ε (1.2)
Do vậy, ∀m, n, m > N, n > N , giả sử m ≥ n, m = n + k, ta có:
|x
m
− x
n
| = |x

n+k
− x
n
|
= |(x
n+k
− x
n+k−1
) + (x
n+k−1
− x
n+k−2
) + + (x
n+1
− x
n
)|
≤ max{|x
n+k
− x
n+k−1
|, |x
n+k−1
− x
n+k−2
|, , |x
n+1
− x
n
|} < ε

(Do (1.2))
Vậy (x
n
) là dãy Cauchy.
b) (x
n
) là dãy C au chy và x
n
 0 thì dãy |x
n
| là dãy dừng,
nghóa là tồn tại N sao cho: |x
n
| = |x
N
|, ∀n ≥ N
Vì x
n
 0 nên:
∃ε > 0 sao cho ∃(n
k
)
k
để |x
n
k
| ≥ ε (1.3)
Vì (x
n
) là dãy Cauchy nên với ε ở trên, ∃N : ∀m, n, n > N, m > N

| = max{|x
m
− x
n
K
0
|, |x
n
K
0
|} = |x
n
K
0
|.
(Do (1.3), (1.4))
10
c) Cho (F, | |) là một trường phi Archimede, đóng đại số và đầy đủ.
Khi đó, ta có:
Nếu lim
|n|→+∞
|a
n
| = 0 thì
+∞

n=−∞
a
n
hội tụ trong F .

Chứng minh:
 Trước hết ta chứng minh:
+∞

n=0
a
n
hội tụ trong F khi và chỉ khi lim
n→+∞
|a
n
| = 0
Mỗi n > 0, đặt : s
n
=
n

i=0
a
i
.
Do F là đầy đủ và theo nên:
(s
n
)
n
hội tụ ⇔ (s
n
)
n

là dãy Cauchy
⇔ lim
n→+∞
|s
n
− s
n−1
| = 0 (theo b)
⇔ lim
|n|→+∞
|a
n
| = 0
 Tiếp đó, ta chứng minh: Nếu lim
|n|→+∞
|a
n
| = 0 thì
+∞

n=−∞
a
n
hội tụ trong F
Ta có:
+∞

n=−∞
a
n

=
+∞

n=0
a
n
+
−1

n=−∞
a
n
=
+∞

n=0
a
n
+
+∞

m=1
b
m
với m = −n, b
m
= a
−m
= a
n

Do vậy:
lim
|n|→+∞
|a
n
| = 0
⇔ lim
n→+∞
|a
n
| = 0 và lim
m→+∞
|b
m
| = 0
⇔
+∞

n=0
a
n
và
+∞

m=1
b
m
hội tụ trong F
⇒
+∞


n=−∞
a
n
hội tụ trong F
11
1.5 Cái đầy đủ của một trường
Lấy (F, | |) là mo ä t trường phi Archimede.
Đặt S là t ậ p tất cả các dãy Cauchy trong F với chuẩ n | |.
Trên S ta xét một quan hệ 2 ngôi ” ∼ ” như sau:
(x
n
) ∼ (y
n
) ⇔ (x
n
− y
n
) −→ 0 khi n −→ ∞.
Dễ thấy rằng quan hệ ” ∼ ” là một quan hệ tương đương (thỏa các tính
chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu). Quan hệ tương đương này chia S
thành các lớp tương đương.
Kí hi e ä u lớp tương đương chứa dãy (x
n
) là (x
n
).
Đặt: F = {(x
n
) : (x

n
) ∈ S} là tập tất cả các lớp tương đương của S trên
quan hệ tương đương ” ∼ ”.
Như vậy:
(x
n
) = (x

n
) ⇔ (x
n
) ∼ (x

n
) ⇔ (x
n
− x

n
) −→ 0
⇔ |x
n
− x

n
| −→ 0 khi n → +∞.
Trên
F ta đònh nghóa các phép toán cộng và nhân như sau:
(i) (x
n

) + (y
n
) = (x
n
+ y
n
)
(ii) (x
n
).(y
n
) = (x
n
.y
n
)
• Ta dễ dàng chứ ng minh phe ù p toán cộng và nhân đònh nghóa ở trên là hợp lí.
• Phần tử 0 t ro ng F là lớp các dãy số hội tụ đến 0 trong F, kí hiệu 0.
• Mọi x ∈ F , x = 0, ta chứ ng m i nh rằng x có nghòch đảo trong F .
Thật vậy, giả sử x = (x
n
) = 0 ⇒ x
n
 0.
Theo tính chất 1.3 b, ta có: |x
n
| là dãy dừng, tức là:
∃N : |x
n
| = a, ∀n > N với a > 0.

Suy ra:

1
x
n

n>N
là dãy Cauchy và
(x
n
)

1
x
n

=

x
n
1
x
n

=
1.
Do đó:
x
−1
=


1
x
n

n>N
là nghòch đảo củaxtrong F
Vậy F với hai phép toán cộng và nhân trên lập thành một trường.
12
• Chuẩn phi Archimede trên trường F :
∀x = (x
n
) ∈ F , ta đònh nghóa |x| = lim|x
n
|.
Dễ dàng chứng minh được rằng (F , | |) là một trường phi Archime de
đầy đủ.
Hơn nữa có thể xem F là mộ t trường con của F do phép nhúng:
i : F −→ F
a −→ (a
n
) với a
n
= a, ∀n
Chuẩn phi Archimede trên F được gọi là mở rộng của chuẩn trên F .
Ta go ï i F là cái đầy đủ của F .
1.6 Bao đóng đại số của một trường
Đònh nghó a: Cho F là trường con của trường K, ta gọi trường đóng đại
số nhỏ nhất trong K còn chứa F là bao đóng đại số của F , kí hiệu là: F
a

.
Chuẩn trên F
a
: Lấy bất kì α ∈ F
a
.
Do F
a
là bao đo ù ng đại so á củ a F nên α là nghiệm của một đa thức nào đó tre â n
F [z], ta gọi đa thức có he ä số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa
thức trên F [z] nhận α làm nghiệm là đa thức tối tiểu của α trên F .
Giả sử đa thức tối tiểu của α trên F là f(z) = z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ + a
1
z + a
0
bậc n.
Khi đó ta đònh nghóa chuẩn của α trên F
a
như sau:
|α| = |a
0
|
1/n
với |a

0
| là chuẩn của a
0
trên F .
Ta chứ ng minh được chuẩn đònh nghóa ở trên là một chuẩn trên trường F
a
,
hơn nữa nó là mở rộng của chuẩn trường trên F .
13
1.7 Q
p
- Cái đầy đủ của Q
• Chuẩn phi Archimede trên Q :
Cho p là một số nguyên tố.
 Với n ∈ Z, n = 0 : n = p
α
k với (k, p) = 1, ta đặt: ord
p
(n) = α.
Như vậy: ord
p
(n) = α ⇔ p
α
|n và p
α+1
 n.
Dễ thấy: ord
p
(m.n) = ord
p

(m) + ord
p
(n), ∀m, n ∈ Z.
Hơn nữa: ord
p
(m + n) ≥ min{ord
p
(m), ord
p
(n)}
Thật vậy, giả sử: min {ord
p
(m), ord
p
(n)} = α
⇒ ord
p
(m) ≥ α và ord
p
(n) ≥ α ⇒ p
α
|n và p
α
|m ⇒ p
α
|(m + n)
⇒ α ≤ ord
p
(m + n).
 Với n = 0, ta quy ước ord

p
(0) = +∞.
 Với x ∈ Q, x = 0, giả sử x =
m
n
với (m, n) = 1.
Ta đ ònh nghóa: ord
p
(x) = ord
p
(m) − ord
p
(n).
Tương tự như trường hợp số nguyên, ta có thể chư ù ng minh được:
ord
p
(x.y) = ord
p
(x) + ord
p
(y), ∀x, y ∈ Q.
và ord
p
(x + y) ≥ min{ord
p
(x), ord
p
(y)}
 Đònh nghóa chuẩn phi Archim e de trên Q:
| |

p
: Q −→ R
0 −→ |0|
p
= 0
x = 0, x −→ |x|
p
= p
−ord
p
(x)
Dễ thấy | |
p
thỏa các điều kiện (i), (ii) và (iii ) tro ng đònh nghóa của
chuẩn phi Archimede.
• Chuẩn phi Archimede trên trường Q
p
:
∀x =
(x
n
) ∈ Q
p
, ta đ ònh nghóa |x| = lim|x
n
| (Với | | = | |
p
)
() Dễ thấy | | là một chuẩn phi Archimede trên Q
p

.
() Chuẩn | | trên Q
p
là mở rộng của chuẩn | | trên Q.
Thật vậy, với a ∈ Q, ta xem a =
(a
n
) ∈ Q
p
, t ro ng đ o ù a
n
= a, ∀n.
Mà: |a| = lim|a
n
| = lim|a| = |a|.
14
• Mệnh đề: Mô tả Q
p
:
Mỗi x ∈ Q
p
đều có khai tri ể n duy nhất:
x =
+∞

n=m
b
n
p
n

, m ∈ Z với 0 ≤ b
n
< p, ∀n và b
m
= 0
Và khi đó: |x| = p
−m
.
• Nhóm giá trò, trường thặng dư của (Q
p
, | |) :
Ta có:
Nhóm giá trò của (Q
p
, | |) là: |Q
∗
p
| = {|x| : x ∈ Q
∗
p
} = {p
m
: m ∈ Z}
Đặt: Z
p
= {x ∈ Q
p
: |x| ≤ 1}
Và: M = {x ∈ Q
p

: |x| < 1} = pZ
p
Trường thặng dư của (Q
p
, | |) là:

Q
p
= Z
p
/pZ
p
.
• Mệnh đề: : Q
p
không đóng đ a ï i số.
Do vậy, ta sẽ xây dựng bao đóng đại số cu û a Q
p
là Q
a
p
.
1.8 Q
a
p
: Bao đóng đại số của Q
p
Nhóm giá trò của (Q
a
p

, | |) là: |(Q
a
p
)
∗
| = {|x| : | |x ∈ (Q
a
p
)
∗
} = {p
α
: α ∈ Q}.
Thật vậy:
 Với mọi x ∈ Q
a
p
, t a chứng minh |x| ∈ {p
α
: α ∈ Q}.
Giả sử đa thức tối tiểu của x trên Q
p
là f(z) = z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ +
a

1
z + a
0
.
Khi đó chuẩn của x trên (Q
a
p
)
∗
:
|x| = |a
0
|
1/n
với |a
0
| là chuẩn của a
0
trên Q
p
.
Vì a
0
∈ Q
p
nên |a
0
| ∈ |Q
∗
p

| = {p
m
: m ∈ Z}.
Suy ra: |x| ∈ {p
α
: α ∈ Q}
 Ngược lại, lấy p
α
, α ∈ Q, ta chứng mi nh p
α
∈ |(Q
a
p
)
∗
|.
Ta có α ∈ Q, do vậy α =
m
n
với m, n ∈ Z, n > 0, (m, n) = 1.
Vì |Q
∗
p
| = {p
m
: m ∈ Z} nên ∃b ∈ Q
p
để |b| = p
m
.

Xét g(z) = z
n
− b ∈ Q
p
[z], do Q
a
p
là bao đóng đại số củ a Q
p
nên g(z)
có một nghiệm thuộc Q
a
p
, giả sử là y.
Khi đó: y
n
− b = 0 ⇒ |y|
n
= |b| = p
m
⇒ |y| = p
m/n
= p
α
Suy ra: p
α
= |y| ∈ |(Q
a
p
)

∗
|
15
Mệnh đề: Q
a
p
không đầy đủ.
Do vậy, ta sẽ đi xây dựng cái đầy đủ củ a Q
a
p
.
1.9 C
p
: Cái đầy đủ của Q
a
p
Việc xây dựng C
p
là cái đầy đủ của Q
a
p
tương tự như xây dựng Q
p
là cái đầy
đủ của Q.
Mệnh đề: C
p
vừa đóng đại số vừa đầy đủ.
Nhóm gi á trò, trường thặng dư của C
p

:
Dễ thấy:
Nhóm giá trò của (C
p
, | |) là:
|C
∗
p
| = {|x| : x ∈ C
∗
p
} = |(Q
a
p
)
∗
| = {p
α
: α ∈ Q}
Đặt: O = {x ∈ C
p
: |x| ≤ 1}
Và: M = {x ∈ C
p
: |x| < 1}
Trường thặng dư của (C
p
, | |) là:

C

p
= O/M.
1.10 Một số kí hiệu
Cho các số thực r > 0, r
1
≥ 0, r
2
≥ r
1
A[r] = {z ∈ C
p
: |z| ≤ r}
A(r) = {z ∈ C
p
: |z| < r}
A[r
1
, r
2
] = {z ∈ C
p
: r
1
≤ |z| ≤ r
2
}
A(r
1
, r
2

] = {z ∈ C
p
: r
1
< |z| ≤ r
2
}
A[r
1
, r
2
) = {z ∈ C
p
: r
1
≤ |z| < r
2
}
Chương 2
XÂY DỰNG CHUỖI
LAURENT P-ADIC
Từ những kiến thức chuẩn bò ở chương 1, chương này tiế p tục trình bày
thêm một số khái niệm: Hàm giải tích p-adic, chuỗi Laurent p-adic, vành các
chuỗi Laurent p-adic, chuẩn của một chuỗi Laurent p-adic, chỉ số tối đại, chỉ
số tối tiểu, đa thức r − dominant, đa thức r − extremal, sau đó trình bày
chi tiết hơn về chuỗi Laurent p-adic. Từ mệnh đề 2.2.1 đến mệnh đề từ 2.2.9
sẽ mô tả các tính chất cơ bản của chuỗi Laurent p-adic và các tính chất này sẽ
được sử dụng rất nhiều ở chương 3. Do vậy, các mệnh đề này sẽ được chứng
minh rất rõ ràng, chi tiết.
2.1 Một số khái niệm

2.1.1 Hàm giải tích p− adic
Đặt:
C
p
[[z]] =

f =
n=+∞

n=0
c
n
z
n
| c
n
∈ C
p

Trên C
p
[[z]] ta trang bò phép toán cộng và nhâ n như sau:
Với:
f =
n=+∞

n=0
c
n
z

n
, g =
n=+∞

n=0
b
n
z
n
16
17
thì:
f + g =
n=+∞

n=0
(c
n
+ b
n
)z
n
và:
f.g =
n=+∞

n=0
a
n
z

n
trong đó a
n
=

i+j=n
c
i
b
j
Dễ t hấ y C
p
[[z]] với các phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một vành, ta
thường gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên C
p
.
Cho r là một số thực dương, ta đặt:
A[r] =

f =
n=+∞

n=0
c
n
z
n
| c
n
∈ C

p
, lim
n→+∞
|c
n
|r
n
= 0

Khi đó, A[r] cùng với các phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một vành
con của vành các chuỗi lũy thừa hình thức C
p
[[z]], và được gọi là vành các
hàm giải tích p−adic trên hình cầu A[r].
Mỗi f =
n=+∞

n=0
c
n
z
n
∈ A[r] đươ ï c gọi là một hàm giải tích p− adic trên
A[r].
Tương tự , ta chứ ng minh được:
A(r) =

f =
n=+∞


n=0
c
n
z
n
| c
n
∈ C
p
, lim
n→+∞
|c
n
|r
n
= 0, ∀r < r

Với các phép toán cộng và nhân ở trên lậ p thành một vành con của vành
C
p
[[z]].
2.1.2 Chuỗi Laurent p− adic
Đặt:
A[r
1
, r
2
] =

n=+∞


n=−∞
c
n
z
n
| c
n
∈ C
p
, lim
|n|→+∞
|c
n
|r
n
= 0, ∀r : r
1
≤ r ≤ r
2

Trên A[r
1
, r
2
] ta trang bò phé p t o á n cộng và nhân như sau:
Với:
f =
n=+∞


n=−∞
c
n
z
n
, g =
n=+∞

n=−∞
b
n
z
n
18
Ta đònh nghóa:
f + g =
n=+∞

n=−∞
(c
n
+ b
n
)z
n
và:
f.g =
n=+∞

n=−∞

a
n
z
n
với: a
n
=

i+j=n
c
i
b
j
Dễ dàng chứng minh được rằng A[r
1
, r
2
] cù ng với phép toán cộng và nhân
trên lập thành một vành.
Thật vậ y , với các kí hiệu ở trên, có thể thấy f + g ∈ A[r
1
, r
2
] do bất đẳng
thức tam giác của chuẩn phi Archimede.
Bây giờ ta s ẽ c hứ ng minh rằng f.g ∈ A[r
1
, r
2
]

 Thật vậy, mỗi n ∈ Z cố đònh, ta sẽ chứng minh a
n
đònh nghóa như tre â n là
hợp lí hay

i+j=n
c
i
b
j
hội tụ.
Chọn r > 0, r
1
≤ r ≤ r
2
, t a có:

i+j=n
c
i
b
j
=
+∞

i=−∞
c
i
b
n−i

Mà |i| → +∞ thì |n − i| → +∞ do n là số cố đònh.
Do đó: Khi |i| → +∞ thì |c
i
b
n−i
| = (|c
i
|r
i
)(|b
n−i
|r
n−i
)r
−n
→ 0
(Vì f, g ∈ A[r
1
, r
2
])
Hay: lim
|i|→+∞
|c
i
b
n−i
| = 0 khi |i| → +∞
⇒


i+j=n
c
i
b
j
hội tụ (theo mệnh đề 1.4).
 Tiếp đó ta sẽ chứng minh: lim
|n|→+∞
a
n
r
n
= 0
Với mọi r : r
1
≤ r ≤ r
2
, t a có:
a
n
r
n
=

i+j=n
(c
i
r
i
)(b

j
r
j
)
Xét i, j mà i + j = n, nếu |n| → +∞ thì |i| → +∞ hoặc |j| → +∞.
Giả sử |i| → +∞, t a có:
|c
i
|r
i
|b
j
|r
j
≤ |c
i
|r
i
|g|
r
→ 0, do f ∈ A[r
1
, r
2
].
19
Trường hợp |j| → +∞ ta cũng có kết quả như t re â n.
Do đó:
|a
n

|r
n
=







i+j=n
(c
i
r
i
)(b
j
r
j
)






≤ max
i+j=n
{|c
i

|r
i
|b
j
|r
j
} → 0 khi |n| → +∞
Phần tử không là:
n=+∞

n=−∞
0.z
n
, vi e á t go ï n l à 0.
Phần tử đơn vò là: 1 +

n∈Z,n=0
0.z
n
, vi e á t go ï n l à 1.
A[r
1
, r
2
] được gọi là vành các chuỗi Laurent p- adic trên A[r
1
, r
2
].
Mỗi f ∈ A[r

1
, r
2
] được gọi là một chuỗi Laurent p - adic trên A[r
1
, r
2
]
hay f là giải tích trên A[r
1
, r
2
] .
Tương tự , ta cũ ng chứ ng minh được:
A(r
1
, r
2
] =

n=+∞

n=−∞
c
n
z
n
| c
n
∈ C

p
, lim
|n|→+∞
|c
n
|r
n
= 0, ∀r : r
1
< r ≤ r
2

A[r
1
, r
2
) =

n=+∞

n=−∞
c
n
z
n
| c
n
∈ C
p
, lim

|n|→+∞
|c
n
|r
n
= 0, ∀r : r
1
≤ r < r
2

với phép toán cộng và nhân trên là các vành .
2.1.3 Chuẩn của một chuỗi Laur ent p−adic
Cho vành A[r
1
, r
2
] và so á r : r
1
≤ r ≤ r
2
.
Khi đó: Với mọi
f =
n=+∞

n=−∞
c
n
z
n

∈ A[r
1
, r
2
]
ta đònh nghóa:
|f|
r
= max
n∈Z
|c
n
|r
n
Ta sẽ chứng minh đònh nghóa trên là hợp lí, vì nếu r = 0 thì max
n∈Z
|c
n
|r
n
= 0
nên chỉ cần chứng minh max
n∈Z
|c
n
|r
n
tồn tại với r > 0.
20
Thật vậy, xét 2 trường hợp:

 Trường hợ p 1: c
k
= 0, ∀k thì max
n∈Z
|c
n
|r
n
= 0.
 Trường hợ p 2 : Giả sử tồn tại k sao cho c
k
= 0 .
Khi đó, do lim
|n|→∞
|c
n
| = 0 nên ∃N > 0 : ∀n, |n| > N ⇒ |c
n
|r
n
< |c
k
|r
k
Suy ra:
sup
n∈Z
|c
n
|r

n
= sup
−N≤n≤N
|c
n
|r
n
= max
−N≤n≤N
|c
n
|r
n
= max
n∈Z
|c
n
|r
n
Như vậy, trong cả 2 trường hợp, ta đều chứng minh được max
n∈Z
|c
n
|r
n
tồn tại.
Ngoài ra, từ chứng minh trên ta cũng suy ra rằng:
Trong trườ ng hợp f = 0 và một trong 2 điề u ki ệ n hoặc r > 0 hoặc f (0) = 0
thì tập {n ∈ Z : |c
n

|r
n
= |f |
r
} chỉ có hữu hạn phần tử.
21
Hơn thế, ta còn có :
Mệnh đề: Nếu f và g là các chuỗi Laurent p-adic trên A[r
1
, r
2
] và v ơ ù i
mỗi r : r
1
≤ r ≤ r
2
thì:
|f + g|
r
≤ ma x{|f |
r
, |g|
r
}
|fg|
r
= |f |
r
|g|
r

Hơn nữa: N ế u r > 0 thì | |
r
là một chuẩn phi Archimede trên A[r
1
, r
2
]
Chứng minh:
Giả sử
f(z) =
n=+∞

n=−∞
a
n
z
n
và g(z) =
n=+∞

n=−∞
b
n
z
n
 Chứng minh |f + g|
r
≤ max{|f|
r
, |g|

r
}
f(z) + g(z) =
n=+∞

n=−∞
(a
n
+ b
n
)z
n
Vậy: |f + g|
r
= max
n
|a
n
+ b
n
|r
n
≤ max
n
{max{|a
n
|, |b
n
|}r
n

}
≤ max
n
{max{|a
n
|r
n
, |b
n
|r
n
}}
≤ ma x{max
n
|a
n
|r
n
, max
n
|b
n
|r
n
}
≤ ma x{|f |
r
, |g|
r
}

 Chứng minh |fg|
r
= |f |
r
|g|
r
(f.g)(z) =
n=+∞

n=−∞
c
n
z
n
với c
n
=

i+j=n
a
i
b
j
Đặt: K
1
= K(f, r), K
2
= K(g, r) (2.1)
Nếu f = 0 hoặc g = 0 thì hiển nhie â n ta có t ính chất trên, ta xét trường
hợp f = 0 và g = 0, khi đó: K1, K2 là hữu hạn.

Xét c
K
1
+K
2
=

i+j=K
1
+K
2
a
i
b
j
Trong các số hạng của c
K
1
+K
2
, co ù a
K
1
b
K
2
.
Nếu i > K
1
thì |a

i
|r
i
< |a
K
1
|r
K
1
(do (2.1))
22
và vì: |b
j
|r
j
≤ |b
K
2
|r
K
2
, ∀j ∈ Z
Nên:
|a
K
1
b
K
2
|r

K
1
+K
2
= |a
K
1
|r
K
1
|b
K
2
|r
K
2
> |a
i
|r
i
|b
j
|r
j
⇒ |c
K
1
+K
2
|r

K
1
+K
2
= max
i+j=K
1
+K
2
|a
i
|r
i
|b
j
|r
j
= |a
K
1
||b
K
2
|r
K
1
+K
2
(Tính chấ t của chuẩn phi Archimede).
Tương tự, nếu i < K

1
thì j > K
2
và chứng minh như trên ta cũng có:
|c
K
1
+K
2
|r
K
1
+K
2
= |a
K
1
||b
K
2
|r
K
1
+K
2
Vậy:
|fg|
r
≥ |c
K

1
+K
2
|r
K
1
+K
2
= |a
K
1
||b
K
2
|r
K
1
+K
2
= |f |
r
|g|
r
(2.2)
Hơn nữa, ∀n ∈ Z, c
n
=

i+j=n
c

n
z
n
, t a có:
|c
n
|r
n
=







i+j=n
a
i
b
j
r
n






≤ max

i+j=n
|a
i
||b
j
|r
n
≤ max
i+j=n
|a
i
|r
i
|b
j
|r
j
≤ |a
K
1
|r
K
1
|b
K
2
|r
K
2
= |c

K
1
+K
2
|r
K
1
+K
2
⇒ |fg|
r
≤ |c
K
1
+K
2
|r
K
1
+K
2
= |f |
r
|g|
r
(2.3)
Từ (2.2) và (2.3) s u y ra: |fg|
r
= |f |
r

∈ A[r
1
, r
2
]
Với mỗi r : r
1
≤ r ≤ r
2
Nếu f = 0, ta đònh nghóa:
Chỉ số tối đại K(f, r) = +∞ và chỉ số tối tiểu: k(f, r) = −∞
Nếu f = 0 và một trong 2 điều kiện hoặc r > 0 hoặc f(0) = 0 khi đònh
nghóa | |
r
ta đã chứng minh tập {n ∈ Z : |c
n
|r
n
= |f|
r
} chỉ có hữu hạn
phần tử, do đó:
min{n ∈ Z : |c
n
|r
n
= |f |
r
}
và max{n ∈ Z : |c

n
|r
n
= |f |
r
} tồn tại.
Khi r = 0 hoặc f(0) = 0, ta đònh nghóa:
Chỉ số tối đại:
K(f, r) = max{n ∈ Z : |c
n
|r
n
= |f |
r
}
Chỉ số tối tiểu:
k(f, r) = min{n ∈ Z : |c
n
|r
n
= |f |
r
}
Khi r = 0 và f (0) = 0, ta quy ước:
K(f, r) = min{n ∈ Z : |c
n
| = 0} và k(f, r) = 0
Một bán kính r mà K(f, r) > k(f, r) được gọi là một bán kính tới hạn
(điểm tới hạn).
Nhận xét:

Cho trước
f =
n=+∞

n=−∞
c
n
z
n
∈ A[r
1
, r
2
]
khi đó: K(f, r) không giảm theo r, ∀r ∈ [r
1
, r
2
].
24
Chứng minh:
Giả sử r
1
, r
2
∈ [r
1
, r
2
] và r

1
< r
2
, ta sẽ chứng minh: K(f, r
1
) ≤ K(f, r
2
).
Thật vậy, giả sử ngược lại K(f, r
1
) > K(f, r
2
).
Đặt K
1
= K(f, r
1
), K
2
= K(f, r
2
), ta có: K
1
> K
2
và:
|a
K
1
|r