HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG
KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

TIỂU LUẬN
Đề tài: “Biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số và
các ứng dụng thực tế”
Giáo viên

: TS. Nguyễn Ngọc Minh

Nhóm học viên

: Nguyễn Thị Hồng
Phạm Văn Thái
Trần Thanh Phong

Lớp

: M21CQTE01-B

Hà Nội – 4/2022


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU..........................................................................................................3
CHƯƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET..............4
1.

GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI WAVELET.................................................4

2. ĐỊNH NGHĨA WAVELET..........................................................................4

3. MỘT SỐ HỌ HÀM WAVELET.................................................................6
3.1 HAAR WAVELET...............................................................................6
3.2 HÀM DAUBECHIES WAVELET.......................................................8
3.3 MỘT SỐ HÀM WAVELET KHÁC......................................................9
CHƯƠNG II. PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
.............................................................................................................. 11
1. BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC...........................................................12
2. BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT).................................................14
3. BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL
WAVELET TRANSFORM).................................................................18
4. SO SÁNH STFT VÀ WT.........................................................................19
CHƯƠNG III. CÁC ỨNG DỤNG VÀ THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG
PYTHON.............................................................................................20
I.MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ...............................................20
1.NÉN TÍN HIỆU.....................................................................................20
1.1 NÉN ẢNH (IMAGE COMPRESSION)......................................................20
1.2

NÉN VIDEO (VIDEO COMPRESSION..........................................21

1.3 NÉN THOẠI VÀ NÉN AUDIO (SPEECH AND AUDIO COMPRESSION)
........................................................................................................................... 22
2. KHỬ NHIỄU........................................................................................23
3. NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH.....................................................24
4. CHI TIẾT HÓA ẢNH KHỐI U TRONG Y HỌC.................................24
5. MÃ HÓA NGUỒN VÀ MÃ HÓA KÊNH............................................24
II. THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON.....................................25
KẾT LUẬN............................................................................................................26
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................27



LỜI MỞ ĐẦU
“Lý thuyết Wavelet” là kết quả của sự nổ lực chung giữa các nhà toán
học, các nhà vật lý và các nhà kỹ thuật … đã mang lại. Sự liên kết này đã tạo
nên luồng ý tưởng vượt ra khỏi việc xây dựng các cơ sở hoặc các phép biến đổi
mới.
Stéphane Mallat
Giải tích wavelet là một phương pháp mới, mặc dù nền tảng tốn học của
nó bắt nguồn từ cơng trình của Joseph Fourier thế kỷ 19. Giải tích Fourier phân
tích các tín hiệu thành tổ hợp các sóng hình sin với nhiều tần số khác nhau. Một
cách tương tự, giải tích wavelet phân tích các tín hiệu thành tổ hợp các phiên
bản của wavelet gốc (wavelet mẹ) với các thang độ (scaling) và trễ (shifting)
khác nhau. Hiểu một cách khác biến đổi wavelet lấy tín hiệu trong một khoảng
thời gian được giới hạn với tần số thay đổi trong khi đó với biến đổi Fourier tín
hiệu được chuyển sang miền tần số với thời gian vô hạn.
Nếu so sánh về số biến trong các công thức biến đổi thì phân tích Fourier
là dạng hàm 1 biến và biến đó là tần số, trong khi đó hàm của biến đổi wavelet
là hàm hai biến lần lượt là tần số và thời gian.
Năm 1909, Alfred Haar được xem là người đầu tiên đề cập đến các
wavelet (các hàm wavelet đầu tiên), ngày nay người ta gọi đó là các Haar
Wavelet. Các hàm này được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật xử lý ảnh.
Biến đổi wavelet được xây dựng, phát triển và ứng dụng một cách nhanh
chóng và hiệu quả trong các công nghệ kỹ thuật xử lý ảnh (nén ảnh, nâng cao
chất lượng ảnh, khu vực hóa khối u trong y học…) với các sự đóng ghóp trình
bày dưới dạng lý thuyết đầu tiên của Jean Morlet và các đồng nghiệp, đóng góp
chính của Y.Meyer và Stephane Mallat. Ngày nay các nhà khoa học có nhiều
cơng trình liên quan đến lý thuyết wavelet có thể kể đến như Ingrid Duabechies
(chủ tịch Hội toán học thế giới hiện nay), Ronald Coifman, và Victor
Wickerhauser.
Lý thuyết wavelet được phát triển nhanh chóng, các bài báo toán học và

ứng dụng về lý thuyết này rất nhiều. Đã có toolbox wavelet của phần mềm
MATLAB, thư viện phong phú trên PYTHON và có Hội wavelet quốc tế.
Trong nội dung tiểu luận “Biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số và các
ứng dụng thực tế” trình bày khái qt về cơ sở lý thuyết tốn học, nguyên lý của
phép biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số, so sánh sự giống và khác nhau với
phép biến đổi fourier. Đồng thời cũng đề cập đến các ứng dụng nổi bật của biến
đổi này trong thực tế. Ngoài ra, tiểu luận cũng giới thiệu về thư viện biến đổi
wavelet Pywavelets trong Python. Bố cục của tiểu luận gồm ba chương như sau:
Chương 1: Cơ sở toán học của phép biến đổi wavelet
Chương 2: Phép biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu số


Chương 3: Các ứng dụng và thư viện Pywavelets trong Python
CHƯƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET
1. GIỚI THIỆU BIẾN ĐỔI WAVELET
Chuỗi Fourier lượng giác là một công cụ cực mạnh được sử dụng trong cả
hai trường hợp rời rạc và liên tục những cũng có những nhược điểm đáng kể, đó
là: Các hàm cơ bản
eikt  cos kt  i sin kt

xác định và liên tục trên toàn đoạn [   ;  ] , do đó khơng thích nghi tốt với các
tín hiệu có tính địa phương hóa cao, trong đó giá trị của dữ liệu chỉ tập trung
trong miền tương đối nhỏ. Thật vậy, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ trường hợp hàm Dirac  (t ) có giá trị tập trung tại t  0 . Do đó ta có
các hệ số Fourier
ck 

1
1
 (t )e  ikt dt 

�
2
2

và chuỗi Fourier tương ứng
1
2

�

�e

k �

ikt



1
(...  e2 it  e  it  1  eit  e 2it  ...)
2

là một hàm liên tục, do đó hồn tồn làm mất tính chất địa phương nếu chỉ tập
trung giá trị tại x  0 của hàm Dirac.
Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như
hệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời truyền tải được tính chất địa phương
hóa của các tín hiệu. Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet.
Giống như các hàm lượng giác, các hàm wavelet có bản sao rời rạc nhận
được bằng cách lấy mẫu. Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính tốn một cách
nhanh chóng, do đó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp chẳng hạn các

dữ liệu ảnh nhiều chiều.
2. ĐỊNH NGHĨA WAVELET
Wavelets là các dạng sóng nhỏ với tần số thay đổi có thời gian duy trì tới
hạn với giá trị trung bình bằng 0.
So sánh với sóng hình sin thì sóng hình sin có thời gian vơ hạn – tức thời
gian tồn tại của sóng từ âm vô cùng đến âm vô cùng. Hơn thế, trong khi sóng
hình sin trơn tru và có thể dự đốn được thì sóng wavelet lại bất thường và bất
đối xứng.


Sóng hình sin

Sóng Wavelet

Hình1: Sóng hình sin và sóng wavelet
Phân tích Wavelet chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị trí
(shifting) và tỷ lệ (Scaling) của một hàm đơn hay gọi là hàm wavelet mẹ. Vì vậy
tín hiệu với thay đổi nhanh có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn
là với một sóng sin trơn. Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với các
wavelet.
Số chiều
Phân tích Wavelet có thể áp dụng cho dữ liệu hai chiều (các hình ảnh) và
về nguyên tắc cho dữ liệu có số chiều cao hơn.
Các biến đổi wavelet phổ biến được chia thành 3 loại: biến đổi wavelet
liên tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi wavelet đa phân giải (wavelet
multiresolution-based).
Lợi ích sử dụng khai triển Wavelet:
 Hệ thống wavelet bao gồm các hàm cơ sở, do đó chúng ta có thể biểu
diễn hàm ban đầu theo hệ thống cơ sở mà ta đã chọn.
 Khai triển Wavelet biểu diễn một hàm mang tính chất địa phương.

Điều đó có nghĩa là, năng lượng ban đầu của ảnh có thể biểu diễn với
một vài hệ số aj,k, vì thế chúng ta có thể dễ dàng phát hiện những tính
chất địa phương của một tín hiệu.
 Việc tính tốn hệ số thực hiện hiệu quả hơn so với việc tính tốn hệ
số của biến đổi Fourier, với độ phức tạp khoảng O(N) hay
O(Nlog(N)), tương đương với phép biến đổi Fourier nhanh (DFT).
 Wavelet rất nhẵn và có thể được đặc trưng bởi số moment triệt tiêu.
Số moment triệt tiêu càng cao thì wavelets càng nhẵn. Hơn nữa, ta có


những thuật tốn nhanh và ổn định để tính biến đổi wavelet rời rạc
(DWT) và phép đảo ngược của nó (Inverse DWT).
3. MỘT SỐ HỌ HÀM WAVELET
3.1 HAAR WAVELET
Yêu cầu đối với các wavelet là các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt
như hệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa
phương hóa của các tín hiệu. Bốn hàm cơ bản đầu tiên được Alphre Haar (nhà
tốn học Hungary) giới thiệu năm 1910.

Hình 2. Bốn hàm Haar wavelet

Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), hàm thứ
hai là wavelet mẹ (mother wavelet), hàm wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet
thứ tư là dạng nén của hàm wavelet mẹ, được gọi là các hàm wavelet con
(daughter wavelet).
Theo các chứng minh toán học các hàm wavelet con có tính chất địa
phương hóa cao hơn hàm mẹ.
Sự nén - giãn (scaling)
Sự nén giãn của hàm wavelet được biểu diễn một cách đơn giản là sự kéo
dài hoặc nén lại.



Hình 3. Đồ thị hàm x(t)=sin t ứng với các hệ số phân bậc a=1, a=1/2,
a=1/4

x t   (t )
Hình 4. Đồ thị của hàm  
ứng với các hệ số phân bậc a=1, a=1/2,

a=1/4
Từ hình trên ta thấy hệ số phân bậc càng nhỏ thì hàm càng được nén
nhiều.
Sự tịnh tiến theo thời gian (shifting)
Tính chất tịnh tiến theo thời gian của các hàm wavelet được hiểu là trễ
hoặc đến sớm của tín hiệu. Đây cũng là một phương pháp để biểu diễn các tín
hiệu có tính chất tập trung địa phương.


Nh
ư vậy các hàm Haar wavelet đầy đủ trên hình nhận được từ hàm Haar mẹ bằng
phương pháp tịnh tiến và phân bậc giá.
3.2 HÀM DAUBECHIES WAVELET
Hệ các hàm Haar wavelet là các hàm hằng trong các đoạn, vì vậy khi sử
dụng chúng để biểu diễ các tín hiệu liên tục sẽ gặp trở ngại lớn, đây là một yếu
điểm của phương pháp này. Ví dụ với hàm tuyến tính đơn giản x  at  b đòi hỏi
cần nhiều giá trị mẫu, vì vậy cần số lượng lớn các hàm Haar wavelet để biểu
diễn. Đặc biệt với thuật toán nén và khử nhiễu trên cơ sở hàm Haar wavelet hoặc
thiếu chính xá hoặc kém hiệu quả, do đó trong các lĩnh vực này ít được sử dụng
trong thực tế.
Trong một thời gian dài chưa thể tìm được một họ các hàm thỏa mãn cùng

lúc ba tính chất: địa phương hóa cao, tính trực giao và biểu diễn chính xác các
tín hiệu của các hàm đơn giản. Tuy nhiên trong luận án của mình nhà tốn học
Bỉ, Ingrid Daubechies, năm 1988, đã giới thiệu ví dụ thứ nhất một cơ sở gồm
các hàm wavelet thỏa mãn đồng thời ba tiêu chuẩn ở hình dưới. Trong những
năm sau đó, các hàm wavelet đã được phát triển và áp dụng trong ngành cơng
nghiệp cơng nghệ cao.

Hình 5. Hàm “hat” cơ sở


Hình 6. Đồ thị các hàm scaling Daubecchies từ hàm hat cơ sở

Hình 7. Đồ thị của hàm Daubechies scaling  (t ) và wavelet mẹ  (t )
Một số ứng dụng có ý nghĩa của các hàm wavelet sử dụng hàm Daubechies
như nén các dữ liệu vân tay của FBI, format ảnh kiểm mới chuẩn JPEG2000
không giống với chuẩn JPEG đã sử dụng phương pháp Fourier. Cơng nghệ
wavelet cịn được kết hợp chặt chẽ với kỹ thuật nén và khôi phục ảnh.
3.3 MỘT SỐ HÀM WAVELET KHÁC
Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép
biến đổi Wavelet. Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến
đổi thông dụng, và là hàm mức xác định theo miền tần số. Biến đổi này có khả
năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar.
Dạng của hàm với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:


Hình 8: Hàm y (t) của biến đổi Meyer

Một số hàm wavelet khác cũng được phát triển và ứng dụng trong thực tế
như Morlet, Mexican Hat…



CHƯƠNG II. PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG XỬ LÝ TÍN
HIỆU SỐ
Sự biến đổi một hàm hoặc một tín hiệu s(t) là một phép tốn mà kết quả
của nó là sự biểu diễn khác của s(t). Chúng ta đã được nghiên cứu hoặc biết về
biến đổi Fourier và Short Time Fourier Transform như là các phương pháp biến
đổi truyền thống. Hiện nay, người ta đang nghiên cứu và phát triển một phương
pháp biến đổi tín hiệu mới trong cả hai lĩnh vực: tốn học thuần t và khoa học
ứng dụng. Đó là biến đổi Wavelet.
Xét ba phương pháp để biến đổi tín hiệu :
- Biến đổi Fourier (biến dổi tín hiệu thành các sóng cosin)
- Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT (biến đổi tín hiệu thành
các dạng sóng cosin)
- Biến đổi Wavelet.
Trước đây người ta sử dụng phương pháp phân tích tín hiệu thành các hài
cơ bản. Khi đó tín hiệu là một tổng các cosin:
a0 + a1cost + a2cos2t + . . . +
Đây là phép biến đổi Fourier, được Fourier tìm ra cách đây 180 năm ở
Paris. Tất cả các tín hiệu đều có thể được phân tích thành các sóng hài nhờ biến
đổi Fourier. Những người thực hiện nó hầu hết là thực hiện theo bản năng.
Cường độ tín hiệu tại mỗi thời điểm được thay thế bằng biên độ của mỗi
sóng. Từ đó xuất hiện một câu hỏi lớn. Đó là cần phải sử dụng bao nhiêu tần số
cho một tín hiệu có mật độ cao. Có lẽ là phải rất nhiều thì kết quả nén mới tốt
được.
Phương pháp thứ hai là biến đổi Fourier thời gian ngắn. Ở phương pháp
này các đoạn tín hiệu ngắn được biến đổi riêng rẽ, ở trong mỗi đoạn, tín hiệu
được phân tích thành các sóng cosin như ở phương pháp trước. Theo phương
pháp này thì hầu hết các tín hiệu dài đều được chia nhỏ ra và sau đó được biến
đổi theo từng phần một. Nó khắc phục được nhược điểm của biến đổi Fourier, vì
theo Fourier thì nó khơng đúng hồn tồn vì tín hiệu biến đổi phải tuần hồn và

tiến ra xa vơ cùng. Tuy nhiên nó cũng có hạn chế lớn, đó là có những điểm cắt
đột ngột gây ra hiệu ứng blocking. Chúng ta có thể nghe thấy hoặc khơng khi
nghe nhạc nhưng ln có thể thấy chúng khi xem các hình ảnh. Hiệu ứng này
làm giảm độ tin cậy của STFT và nó yêu cầu phải có một phương pháp khác
thay thế.
Có một ý tưởng mới trong việc xử lý tín hiệu. Đó là thay vì các sóng cosin
kéo dài đến vơ cùng hoặc là bị cắt đột ngột thì ta sẽ sử dụng các khối xây dựng


mới là các Wavelet (nguyên bản tiếng Pháp là Ondelet). Đó là các sóng nhỏ có
điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Những sóng nhỏ này được xuất phát từ Wavelet
mẹ w(t) - là mức tín hiệu chuẩn ở thời điểm t. Theo phương pháp này thì một tín
hiệu dài được chia nhỏ ra thành một cơ sở của các tín hiệu - đó là các Wavelet.
Các Wavelet xuất phát từ một hàm đơn w(t) nhờ tăng tốc độ lấy mẫu (tăng tần số
lên gấp đôi) và thời gian trễ. Các biên độ được gửi đến bên thu, ở đó nó được
khơi phục lại tín hiệu ban đầu.
Cũng tương tự như biến đổi Fourier thời gian ngắn, biến đổi Wavelet cũng
ánh xạ một hàm thời gian thành một hàm hai chiều của a và x (thay vì của w và
T trong STFT). Tham số a được gọi là tỷ lệ. Nó chia tỷ lệ một hàm bằng việc
nén hoặc dãn nó, và T là tịnh tiến của hàm Wavelet dọc theo trục thời gian.
1. BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC
Định nghĩa:
Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform) của một hàm f(t)
L2(R) được định nghĩa như sau:

Trong đó được gọi là wavelet mẹ.
Và:

(2. 1)


Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) của
một hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet) có thể là
bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục.
Nếu một hàm f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì hàm đó
được khơi phục lại theo cơng thức sau:
(2.2)
trong đó:

Tổng qt hố các cơng thức phân tích / tổng hợp cho hai wavelet khác
nhau: cho phân tích và cho tổng hợp. Nếu hai wavelet thoả mãn:
thì cơng thức khơi phục là:

(2.3)


trong đó:

Trong (2. 3) cho thất rằng a là tham số tỷ lệ. Hệ số tỷ lệ càng nhỏ, Wavelet càng
được nén mạnh.

Hình 2. 1: Các thành phần Wavelet tương ứng với các tỷ lệ và vị trí khác nhau
Khi a > 1: Hàm Wavelet sẽ được trải rộng
Khi 0 < a < 1: Thì hàm sẽ được co lại
Các tính chất của CWT:
Tuyến tính: tính chất tuyến tính của CWT nhận được từ sự tuyến tính của
tích vơ hướng.
Tính chất trễ: Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì
f’(t) = f(t-b’) có biến đổi như sau:
CWTr(a, b) = CWTr(a, b-b’)
Tính chất tỷ lệ:Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWTr(a, b) thì


có biến đổi như sau:
CWTr(a, b) = CWTr(a/s, b/s)
Tính bảo tồn năng lượng: CWT có tính chất bảo tồn năng lượng tương
tự như công thưc Parseval của biến đổi Fourier.
Nếu f(t) L2(R) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a, b) thì ta có:


Tổng qt hố cơng thức bảo tồn năng lượng này gồm tích vơ hướng của hai
hàm theo thời gian và theo miền wavelet. Khi đó trở thành:

Tính chất định vị thời gian: xét xung Dirac ở thời điểm t0, (t-t0), và một
wavelet (t). Biến đổi wavelet liên tục của xung Dirac là:

với tỷ lệ a0 cho trước, nghĩa là một đường ngang trong miền wavelet, thì biến đổi
chính bằng wavelet đã được tỷ lệ (và chuẩn hoá) nghịch đảo trong miền thời
gian và tập trung ở sự định vị của Dirac.
2. BIẾN ĐỔI WAVELET LỜI RẠC (DWT)
Người ta đã chứng minh được là biến đổi wavelet liên tục có nhiều ứng
dụng rất hiệu quả. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng thì biến đổi wavelet rời rạc
lại tỏ ra phù hợp hơn. Có nhiều nguyên nhân:
 Ngược lại vối biến đổi Fourier, biến đổi wavelet liên tục không đưa ra
một sự biểu diễn ngắn gọn nào của tín hiệu x(t) bởi vì nó thay đổi một
tín hiệu một chiều thành một hàm hai chiều. Do đó, sử dụng biến đổi
wavelet liên tục sẽ hướng chúng ta đến việc xử lý tín hiệu mà gồm
nhiều phép tính hơn so với xử lý tín hiệu một chiều.
 Đối với nhiều chuỗi thời gian, biến đổi wavelet liên tục dư thừa theo
cả thời gian và tỷ lệ, nghĩa là sự chênh lệch giữa W(, t) và W(t) khi
nhỏ so với hoặc W(, t) và W(, t’) khi nhỏ so với .
 Với sự tiến dần của các máy tính số hiện đại, hầu hết các tín hiệu đều

được chọn lọc hoặc được giả thiết là một sự chuyển đổi “tương tự
sang số” một lần. Số liệu mà các nhà khoa học sử lý được rời rạc hoá
cho nên cũng cần phải rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục.
 Như đã thảo luận trước đó, biến đổi wavelet rời rạc có ưu điểm lớn
trong thực trạng của chính nó, bởi vì ngược lại với biến đổi wavelet
liên tục, nó là một biến đổi trực chuẩn mà giải tương quan một lớp
quan trọng của các q trình stochastic.
Định nghĩa:
Phân tích wavelet phân tích một tín hiệu thành các bản ảnh tỷ lệ và trễ của
một wavelet gốc (wavelet mẹ). Wavelet (t) có giá trị trung bình bằng khơng sao
cho:


Biến đổi wavelet liên tục CWT(a, b) của một hàm f(t) với một wavelet mẹ
được định nghĩa như sau:

Từ phương trình CWT(a, b) ta thấy các hệ số CWT được biểu diễn như
một hàm của tỷ lệ a và vị trí b. Tỷ lệ thấp tương ứng với một tín hiệu được nén
cho nên tỷ lệ nhỏ thì các chi tiết thay đổi nhanh cịn tỷ lệ lớn thì thay đổi chậm.
Khi đó biến đổi wavelet rời rạc thu được bằng cách lấy mẫu biến đổi wavelet
liên tục ở các tỷ lệ và vị trí là luỹ thừa của hai: a = 2j, b = ka, j, k Z.

trong đó
Biến đổi Wavelet trực giao rời rạc được dùng để phân tích một tín hiệu
thành một số mức phân giải. Sự phân tích đa phân giải được thực hiện nhờ việc
chiếu tín hiệu lên các khơng gian con xấp xỉ và các không gian con chi tiết trực
giao.
Một cách hiệu quả thực hiện DWT là sử dụng bank lọc. Phương pháp này
do Mallat phát triển năm 1988. Sự thực hiện bank lọc của DWT dựa trên tính
chất đa phân giải của nó.

Phân tích đa phân giải và việc thực hiện DWT bằng QMF.
Như tên gọi, phân tích MRA đề cập tới việc phân tích một tín hiệu tại một số độ
phân giải khác nhau. Một phân tích đa phân giải trong L2(R) là một chuỗi tăng
dần của các không gian con kín.
Mỗi khơng gian con Vj được gọi là một khơng gian xấp xỉ, được xác định bởi
công thức: {} →tạo thành một cơ sở trực giao của Vj. Độ phân giải giảm từ
2j xuống 2j+1 vì Vj là khơng gian con của Vj-1 cho nên tồn tại một phần bù trực
giao Wj của Vj trong Vj-1sao cho:

Cũng tồn tại một hàm wavelet mẹ là tạo thành một cơ sở trực giao của
Wj.
Sau đây ta xét đến việc thực hiện bank lọc của Mallat với biến đổi wavelet
rời rạc.
Gọi Vj là một xấp xỉ đa phân giải, (t) là hàm tỷ lệ tương ứng và f(t) thuộc V0, f(t)
thuộc V0 có thể được biểu diễn bằng các hệ số xấp xỉ của nó ở tỷ lệ 20 là:


Định nghĩa S0={Sk0=<f, 0k>} là một chuỗi các hệ số xấp xỉ của f ở tỷ lệ 20.
Hình chiếu trực giao của f trong Vj-1 được phân tích thành tổng của các hình
chiếu trực giao của Vj và Wj. Khi đó có:
.f=.f+.f
Trong đó P là tốn tử chiếu trực giao
: Là xấp xỉ thô của f ở tỷ lệ 21
Là các thành phần tính của f ở tỷ lệ 20
Và
Mỗi được đặc trưng bởi một chuỗi các hệ số xấp xỉ:
Sj= {Skj=<f, kJ>}
Và mỗi được đặc trưng bởi một chuỗi các hệ số chi tiết:
Dj={DkJ=<f, >}
Gọi h là một bộ lọc rời rạc sao cho:


Tương tự gọi g là một bộ lọc rời rạc sao cho:

Với: g(n)=(-l)n. h(-n+l)
h(m-2k)=<mj, kj+1>
g(m-2k)=<mj, kj+1>

với mọi Vj, k thuộc Z Vì Vj-1là hợp của Vj và Wj nên ta có

Việc khơi phục được thực hiện theo cơng thức:
Trong đó h(n) = h(- n) và g(n) = g(-n). h(n), g(n), (n), (n) xác định bộ lọc QMF.
Gọi H() = tương ứng là hàm truyền của g(n) và h(n).


H() là bộ lọc thông thấp và G() là bộ lọc thơng cao. Cả H() và G() đều có đáp
ứng xung hữu hạn và có thể khơi phục hồn hảo.
Các tính chất của Wavelet rời rạc
Biến đổi Wavelet cung cấp một phép phân tích đa phân giải của một hàm.
Bản ảnh dịch và tỉ lệ của hàm cơ sở cho phép sự định vị tần số - thời gian của số
liệu được phân tích. DWT tạo ra sự phân giải tần số tốt hơn cho các tần số cao
và phân giải thời gian tốt hơn cho các tần số thấp.
Biến đổi Wavelet là sự tương quan giữa x(t) và (t’. a). Do đó biến đổi
wavelet phù hợp với các ứng dụng cục bộ nhờ bộ lọc Match.
Biến đổi wavelet tập trung hầu hết năng lượng trong các hệ số tần số thấp
nhất sử dụng hai bank lọc kênh cho phép thực hiện nhanh phép biến đổi wavelet.
Hàm wavelet được thiết kế sao cho có ít điểm triệt tiêu nhất.
3. BIẾN ĐỔI WAVELET HAI CHIỀU (TWO-DIMENSIONAL
WAVELET TRANSFORM)
Phân tích đa phân giải của một tín hiệu hai chiều được tạo ra n tích tensor. Các
cơ sở trực chuẩn của các khơng gian tích tensor thu được từ các tích riêng của

hai cơ sở trực giao. Khi đó nếu Vj là một phân tích đa phân giải thì j = Vj Vj là
một phân tích đa phân giải với cơ sở trực giao:
đối với
đối với .
Trong đó Wj là thành phần trực giao của j trong j+1 và được đặc trưng bởi
ba không gian con trong trường hợp hai chiều. Ba chuỗi chi tiết này:

Theo các hướng ngang, dọc, chéo của f ở tỷ lệ 2j. Khi thực hiện bằng bank
lọc thì biến đổi wavelet hai chiều được coi như là một tầng các phép toán biến
đổi wavelet một chiều. Biến đổi wavelet đầu tiên tính theo hướng ngang, biến
đổi thứ hai tính theo hướng dọc. Sau mỗi giai đoạn phân tích wavelet hai chiều


thì số liệu đầu vào hai chiều được chiếu lên bốn khơng gian con có các tần số
low-low, high-low, low-high, high-high. Các phân tích tiếp theo lại được áp
dụng cho băng con có các tần số low-low.
4. SO SÁNH STFT VÀ WT
WT
• Ở một tần số mang 0 độ rộng
cửa sổ thay đổi nghĩa là dãn hoặc
nén, thì tần số mang trở thành 0/a
với độ rộng cửa sổ thay đổi từ T
đến aT, cịn số chu kỳ trong cửa
số thì vẫn khơng đổi

STFT
• Ở một tần số phân tích của 0,
việc thay đổi độ rộng cửa sổ sẽ
tăng hoặc giảm số chu kỳ của 0
trong cửa sổ


• Ổn định về độ dài thời gian của
các đoạn, nhưng độ dài tần số của
WT thì khơng cố định mà thay
đổi. Nghĩa là f tăng khi t giảm.
• Khác với STFT, biến đổi
wavelet có số lượng các dao động
cố định trong một chu kỳ thời
•gian-tần
Waveletsố.
có một ưu điểm lớn so
với STFT là wavelet tự giới hạn
về thời gian, bởi vậy tín hiệu
động khơng cần được chia thành
các đoạn tĩnh trước khi áp dụng
biến đổi.
• Ở các tỷ lệ tần số cao, biến đổi
wavelet tạo ra sự phân giải thời
gian tốt hơn so với STFT.
Khi tần số trung tâm wavelet
giảm thì độ phân giải tần số tăng
nhưng độ phân giải thời gian
giảm.

• Ổn định về độ dài thời gian và
tần số

• Số lượng các dao động trong
một chu kỳ thời gian tần số không
cố định

• Tín hiệu động trước khi áp dụng
STFT phải được chi thành các
đoạn nhỏ có tính chất tĩnh


CHƯƠNG III. CÁC ỨNG DỤNG VÀ THƯ VIỆN PYWAVELETS
TRONG PYTHON
I.MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ
Lý thuyết và công nghệ wavelet đang trong giai đoạn phát triển quan trọng và
có nhiều ưu điểm hơn so với các phương pháp truyền thống đang tồn tại. Wavelet
và phép biến đổi wavelet được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, trong xử lý tín hiệu,
nén tín hiệu trong cả các ứng dụng xử lý ảnh và âm thanh, là cơng cụ phân tích các
hệ thống động. Các phương pháp xử lý tín hiệu như là các bộ lọc gương cầu
phương (Quadrature Mirror Filter-QMF) kết hợp với kỹ thuật wavelet đang được
nghiên cứu trong nhiều ứng dụng của viễn thông. Các lĩnh vực ứng dụng khác của
lý thuyết wavelet như là vật lý lý thuyết, thăm dị dầu khí, ứng dụng trong y học,
trong các dự đoán, trong việc xây dựng các giải thuật nhanh, các tốn tử tích phân
đều, . . . .
1.NÉN TÍN HIỆU
1.1 NÉN ẢNH (IMAGE COMPRESSION)
Trong thời đại thông tin và đa phương tiện như hiện nay. Khối lượng số liệu
vô cùng to lớn và việc nén thì làm tăng khả thông của mạng và dung lượng của bộ
nhớ. Một bức ảnh màu 24 bit với 256 x 256 điểm ảnh thì cần hơn 0,2 MByte để
lưu. Một chiếc đĩa dung lượng 1, 4 Mbyte có thể chứa được 7 bức ảnh. Nhưng nếu
bức ảnh được nén lại với tỷ lệ 50:1 thì lúc đó cũng với chiếc đĩa trên lại chứa được
350 bức ảnh.
Có nhiều kỹ thuật mã hố ảnh, ngày nay mã hoá băng con (subband coding)
đang là phương pháp thành cơng nhất. Mã hố băng con sử dụng các wavelet
(nghĩa là các bank lọc cấu trúc cây) tránh được hiệu ứng blocking ở tốc độ bit
trung bình, bởi vì các hàm cơ sở của nó có chiều dài thay đổi. Các hàm cơ sở dài

biểu diễn tín hiệu tần số thấp, cịn các hàm cơ sở ngắn thì biểu diễn tín hiệu ở tần
số cao.

Hình 9. Bộ mã hóa biến đổi ảnh


Một tính chất rất hấp dẫn của các wavelet là khả năng điều chỉnh chiều dài
của các hàm cơ sở. Một phân tích bốn mức và dãy lọc tương đương của nó có thể
minh hoạ hình trên.
Hàm cơ sở tần số thấp là một chuỗi các bản ảnh nội suy của bộ lọc thơng
thấp H0. Chiều dài của nó rất lớn. Các tần số cao hơn ít được lặp hơn, các hàm cơ
sở trở nên ngắn hơn. Tín hiệu được xấp xỉ bởi một số hàm cơ sở, khi đó hầu hết
năng lượng tập trung ở băng con thấp.

Hình 10. Chất lượng ảnh sử dụng biến đổi wavelet và fourier
1.2 NÉN VIDEO (VIDEO COMPRESSION
Các tín hiệu video là các chuỗi ảnh 2D khoảng 30 khung trên giây, chiều
mới là thời gian, có thể mở rộng việc xử lý trừ 2D —> 3D. Khi đó một hệ
thống nén video nên sử dụng một bank lọc riêng 3D trước khi kết thúc. Các
chuỗi biến đổi được lượng tử hoá và mã hoá entropy và sử dụng giải thuật
định vị bit dựa trên lý thuyết méo nhịp để tìm ra sự phân bố tối ưu.
Một phương pháp khác để tiếp cận với nén video là dựa trên dự đoán sự
chuyển động. Ở tốc độ 30 khung trên một giây, thông tin ở các khung m và
m ±1 được tương quan cao. Giả thiết là có thể dự đốn được các vectơ
chuyển động (motion vector) cho tất cả các điểm ảnh để chỉ ra nơi mà mỗi
phần của bức ảnh di chuyển trong các khung tiếp theo. Khi đó đủ điều kiện
để gửi khung đầu tiên (đã được nén) và các véc tơ chuyển động. Ở dãy lọc
tổng hợp (synthesis bank) khung đầu tiên được khơi phục và các khung tiếp
theo được hình thành nhờ sử dụng các véc tơ chuyển động (cộng thêm sự
liên hệ với ảnh). Chất lượng của ảnh được khôi phục phụ thuộc vào độ chính

xác của các véc tơ chuyển động được dự đoán.
Xét một bộ mã hoá ảnh dựa theo khối 8x8 được biến đổi bằng DCT.
Khung đầu tiên được lượng tử hoá, mã hoá Entropy và phát đi. Khung thứ
hai được biến đổi theo các khối. Đối với một khối xác định (K, L), cần tìm
một giả thuật liên quan đến các khối lân cận (K ± l, L ± l) để dự đoán các


véc tơ chuyển động, cũng được mã hoá và được phát đi. Tuy nhiên, một dự
đốn khơng chính xác sẽ làm giảm chất lượng của khung thứ hai khi được
khôi phục lại. Chuẩn MPEG [MPEG 2] sử dụng cả dự đốn ngược và xi
để dự đốn véc tơ chuyển động.
Các giải thuật tương tự dựa trên biến đổi wavelet cũng đang được phát
triển. Những nơi MPEG xử lý các khối con thì giải thuật wavelet có các khối
với các kích thước khác nhau ở độ phân giải khác nhau. Việc dự đốn sự
chuyển động cũng rất phức tạp vì có nhiều tỷ lệ hơn: đầu tiên dự đoán sự
chuyển động theo một tỷ lệ thơ và sau đó theo các tỷ lệ tinh dần. Các vùng
giá (support regions) cũng phụ thuộc vào chiều dài bộ lọc.
1.3 NÉN THOẠI VÀ NÉN AUDIO (SPEECH AND AUDIO
COMPRESSION)
Trong một hệ thống nén thoại / audio, tín hiệu được biến đổi bằng một dãy
lọc cấu trúc cây. Sự định vị tần số xấp xỉ các băng tới hạn của tai người. Các tần số
fm với cơng suất đáng dể được tìm ra và tính tốn được T(fm, f).
Nén thoại
Nén thoại có một tầm quan trọng lớn để giảm thời gian truyền trong thông
tin di động. Thoại được phân chia thành hai loại có thanh (voiced) và khơng thanh
(unvoiced). Thoại có thanh chủ yếu là ở tần số thấp. Trong CELP (Code Excitation
Linear Predictor) thoại có thanh được mơ hình như là đầu ra của một bộ lọc HR
all-pole với đầu vào là nhiễu trắng. Các hệ số lọc được tìm ra nhờ việc dự đốn
tuyến tính. Bộ lọc này biểu diễn hàm truyền của vùng âm thanh (vocal tract). Thoại
khơng thanh có các thành phần ở tất cả các dải tần số và tương đồng với nhiễu

trắng.
Nén audio:
Xét một tín hiệu âm thanh CD lấy mẫu ở tốc độ 44,1 kHz với độ phân giải là 16
bit. Tốc độ bít tổng cộng là 705,6 kbit/s. Đối với các ứng dụng đa phương tiện thì
cần phải nén lại trong phạm vi từ 64 đến 192 kbit/s (11:1 đến 4:1). Từ việc nén
audio cho thấy khơng có hiện tượng suy hao trong tín hiệu được khơi phục. Điều
này đóng vai trị quyết định trong quảng bá audio số và truyền hình vệ tinh vì ở đó
chất lượng âm thanh là đặc tính quan trọng nhất, ứng dụng của các hệ thống nén
audio là:


Quảng bá audio số
Truyền hình vệ tinh, HDTV
Các đường liên kết phân phối và tập trung
Các thiết bị lưu trữ
Các ứng dụng đa phương tiện
2. KHỬ NHIỄU
Tính chất của biến đổi Wavelet mà chúng ta đã xét tới trong phần ứng dụng
cho nén tín hiệu được mở rộng bởi Iain Johnstone và David Donohos trong các ứng
dụng khử nhiễu cho tín hiệu. Phương pháp khử nhiễu này được gọi là Wavelet
Shrinkage Denoising (WSD). Ý tưởng cơ bản của WSD dựa trên việc tín hiệu
nhiễu sẽ lộ rõ khi phân tích bằng biến đổi Wavelet ở các hệ số biến đổi bậc cao.
Việc áp dụng các ngưỡng loại bỏ tương ứng với các bậc cao hơn của hệ số Wavelet
sẽ có thể dễ dàng loại bỏ nhiễu trong tín hiệu.


3. NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH

Hình 10. Nâng cao chất lượng ảnh sử dụng biến đổi wavelet trong chụp xquang và khối u trong y học


4. CHI TIẾT HÓA ẢNH KHỐI U TRONG Y HỌC

5. MÃ HÓA NGUỒN VÀ MÃ HĨA KÊNH
Sở dĩ Wavelet được ứng dụng trong mã hố nguồn và mã hố kênh vì trong
mã hố nguồn thì chúng ta cần khả năng nén với tỷ lệ nén cao cịn trong mã hố
kênh thì cần khả năng chống nhiễu tốt. Biến đổi Wavelet kết hợp với một số
phương pháp mã hoá như mã hoá Huffman hay mã hoá số học có thể thực hiện
được cả hai điều trên. Vì thế sự sử dụng biến đổi Wavelet trong mã hố nguồn và
mã hố kênh là rất thích hợp.


II. THƯ VIỆN PYWAVELETS TRONG PYTHON
Python là ngôn ngữ lập trình đa năng ra đời năm 1991 do Guido van Rossum
sáng tạo ra. Đây là ngơn ngữ lập trình với những điểm mạnh như dễ đọc, dễ nhớ,
dễ học. Với cấu trúc rõ ràng, thuận tiện nên thu hút khá nhiều người mong muốn
học ngôn ngữ này. Hiện nay Python đang phát triển nhanh, với cộng đồng người
dùng đông đảo đặc biệt với bộ thư viện chuẩn rộng lớn cung cấp các công cụ phù
hợp cho nhiều ứng dụng, ngành nghề khác nhau.
Thư viện được xây dựng cho biến đổi wavelet trong ngơn ngữ lập trình này
là Pywavelets. Bộ thư viện này cung cấp đầy đủ các dạng biến đổi wavelet cụ thể
là:
Các hàm wavelet và tỷ lệ gần đúng, Trình duyệt Wavelet, biến đổi Wavelet
rời rạc, các chế độ mở rộng tín hiệu, biến đổi wavelet rời rạc 2 -D, n-D biến đổi
wavelet rời rạc, biến đổi wavelet tĩnh, CWT…
Để sử dụng bộ thư viện này dùng lệnh pip install pywavelet


KẾT LUẬN
Nội dung tiểu luận đã trình bày lý thuyết về biến đổi wavelet và một số ứng
dụng của phép biến đổi này trong kỹ thuật công nghệ đang được sử dụng rất rộng

rãi trong thực tế ngày nay.
Trong chương đầu tiên đã trình bày tổng quan về cơ sở tốn học phép biến
đổi tín hiệu wavelet và nêu lên một số họ hàm wavelet phổ biến. Nội dung chi tiết
của phép biến đổi wavelet cũng như giải thích nguyên nhân vì sao cần sử dụng
phép biến đổi này mặc dù đã tồn tại các phép biến đổi khác như Fourier…được nêu
trong chương hai. Đồng thời trong chương cuối cùng đã trình bày các ứng dụng
thực tế của phép biến đổi như trong nén tín hiệu, khử nhiễu… Ngồi ra cũng nêu
lên thư viện ứng dụng trong Python là cơ sở để xây dựng chương trình xử lý tín
hiệu số dựa trên phép biến đổi wavelet với bộ thư viện Pywavelet.
Wavelet và phép biến đổi wavelet có nhiều ưu điểm và đã khắc phục được
những hạn chế của phương pháp biến đổi trước đây. Phép biến đổi trải qua quá
trình đóng góp cơng sức của nhiều nhà tốn học, kỹ thuật, công nghệ hiện nay đang
được ứng dụng nhiều trong thực tế. Trong nội dung nghiên cứu tiếp theo nhóm sẽ
tập trung làm rõ ứng dụng của phép biến đổi wavelet trong nâng cao chất lượng
ảnh.
Trên đây là toàn bộ nội dung tiểu luận “Biến đổi wavelet trong xử lý tín hiệu
số và các ứng dụng thực tế”.Do sự hạn chế về kiến thức cũng như thời gian bài tiểu
luận của nhóm cịn thiếu sót, rất mong các thầy cơ và bạn bè xem xét và đóng góp
ý kiến.