Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

MỤC LỤC
1. Mở đầu ................................................................................................................................................................ 2
1.1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................................................... 2
1.2. Điểm mới của đề tài ..................................................................................................................................... 3
2. Nội dung .............................................................................................................................................................. 4
2.1. Điểm Humpty ............................................................................................................................................... 4
2.1.1. Định nghĩa .............................................................................................................................................. 4
2. 1.2. Các tính chất ......................................................................................................................................... 4
2.1.3. Các bài tốn ứng dụng ........................................................................................................................... 8
2.1.3. Các bài tập............................................................................................................................................12
2.2. Điểm Dumpty..............................................................................................................................................13
2.2.1. Định nghĩa ............................................................................................................................................13
2.2.2. Các tính chất ........................................................................................................................................13
2.2.3. Các bài tốn ứng dụng .........................................................................................................................17
2.2.3. Các bài tập............................................................................................................................................21
3. Kết luận .............................................................................................................................................................22
3.1. Ý nghĩa của đề tài.......................................................................................................................................22
3.2. Kiến nghị, đề xuất ......................................................................................................................................22
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................................................23

Trang.1


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong các cuộc thi học sinh giỏi mơn Tốn từ cấp trường, cấp tỉnh, cấp Quốc gia, cấp
khu vực hay là Quốc tế hình học phẳng ln đóng góp một phần rất quan trọng (chiếm gần

30% số điểm trong các cuộc thi). Hình học phẳng là một phân mơn rất khó đối với đa số học
sinh, nhất là các bài tốn hình học phẳng trong các kỳ thi học sinh giỏi. Để giải được các bài
tốn hình học phẳng đòi hỏi người học phải nắm được các kiến thức cơ bản, phải có tư duy
hình học và phải nắm được các bổ đề định lý về hình học phẳng…
Ngày nay, trong các cuộc thi học sinh giỏi người ra đề rất hay khai thác các điểm đặc
biệt trong hình học phẳng như: trọng tâm tam giác; trực tâm tam giác; tâm đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác; điểm Miquel; điểm Nagel; điểm Torricelli; điểm Lemoine;
điểm Gergonne… Mỗi điểm có định nghĩa, các tính chất và một lớp bài tốn ứng dụng địi hỏi
người học phải ghi nhớ và vận dụng tốt.
Trong số các điểm mà các bài tốn trong thi học sinh giỏi có đề cập tới trong các bài
tốn hình học phẳng những năm gần đây là hai điểm Humpty và Dumpty. Như bài 7 trong đề
thi VMO 2021 “Cho tam giác nhọn khơng cân ABC nội tiếp đường trịn (O). Gọi D là giao
điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và C. Đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B cắt
trung tuyến đi qua A của tam giác ABC tại G. Cho BG, CG lần lượt cắt CD, BD tại E, F.
Đường thẳng đi qua trung điểm của BE và CF lần lượt cắt BF, CE tại M, N. Chứng minh rằng
các điểm A, D, M, N cùng thuộc một đường tròn.”.

E

N
A

F

Q

P

G


M
B

C

I

D

Trang.2


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

Ở bài toán này ta thấy G là điểm A-Dumpty của tam giác ABC. Lúc đó, nếu sử dụng các
tính chất của điểm Dumpty thì chúng ta có thể giải quyết bài tốn một cách gọn gàng.
Các bài toán khai thác hai điểm này cũng đã xuất hiện trong các kì thi như: Việt Nam
TST 2016; Iran TST 2018; Turkey TST 2019… Để giúp cho các em học sinh, cũng như giáo
viên có những kiến thức sâu rộng về hai điểm này chúng tôi đã đi nghiên cứu đề tài “Điểm
Humpty – Dumpty và ứng dụng”
1.2. Điểm mới của đề tài
Hiện nay các tài liệu viết về điểm Humpty – Dumpty và các bài tốn ứng dụng rất là ít
và chưa sâu rộng. Trong đề tài này chúng tôi định nghĩa lại một cách chặt chẽ hai loại điểm
này, nêu các tính chất rất quan trọng và nêu ra một lớp bài toán ứng dụng được cập nhật mới
nhất.

Trang.3


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng


2. Nội dung
2.1. Điểm Humpty
2.1.1. Định nghĩa
Cho tam giác ABC. Điểm PA nằm trong tam giác thỏa mãn PA AB = PA BC , PA AC = PACB
được gọi là điểm A-Humpty của tam giác ABC. Định nghĩa tương tự cho các điểm B-Humpty,
C-Humpty.

2. 1.2. Các tính chất
Tính chất 1: PA là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C’) (với (C) đi qua A tiếp xúc với BC
tại B; (C’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C.

Chứng minh: PA AB = PA BC (cùng chắn cung BPA) và PA AC = PACB (cùng chắn cung CPA)
nên PA là điểm A-Humpty.
Tính chất 2: PA là giao điểm thứ hai của hai đường trịn (BHC) và đường trịn đường kính AH
(H là trực tâm của tam giác ABC)

Trang.4


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng
A

E
H

PA
C

B


Chứng minh: Gọi E là giao điểm của CH với AB. Ta có:
PA BC = PA HC = 1800 − PA HE = PA AE = PA AB Tương tự, PACB = PA AC nên PA là điểm A-

Humpty
Tính chất 3: PA thuộc đường trung tuyến AM.
A

E
H
B

PA
C

M

A'

Nhận xét:

+ AM giao với (BHC) thì ABA’C là hình bình hành
+ HA’ là đường kính của (BHC)

Chứng minh: + Gọi A’ là điểm sao cho ABA’C là hình bình hành. Ta có:
BA ' C = BAC = 1800 − BHC nên A’ thuộc (BHC).

+ HBA ' = HBC + CBA ' = 900 − C + C = 900 (Vì BH ⊥ AC và ABA’C là hình bình hành) nên
HA’ là đường kính của (BHC) nên HPA A ' = 900  APA H + HPA A ' = 1800 nên PA thuộc AA’
hay PA thuộc AM.

Trang.5


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

Tính chất 4: PA, PB, PC cùng nằm trên đường trịn đường kính GH (G, H là trong tâm và trực
tâm của tam giác ABC).
Chứng minh: Dễ dàng suy ra từ tính chất 3
Tính chất 5: Gọi AD (D thuộc (O) ngoại tiếp tam giác ABC) là đường đối trung của góc BAC
và P là trung điểm của AD thì:
a) BP, BPA là cặp đường thẳng đẳng giác của góc ABC .
b) D và PA đối xứng với nhau qua BC
A

P

O
PA

B

M

C

D

Chứng minh:
a) Vì AD là đường đối trung của ABC nên ABCD là tứ giác điều hịa. Do đó, BC cũng là đường
đối trung của ABC. Ta có: ABP = CBD (1)

Mặt khác, CBD = CAD = BAM = BAPA = CBPA (2). Suy ra: ABP = CBPA (đpcm).
b) Theo câu a) ta có: CBD = CBPA tương tự: BCD = BCPA nên BCD = BCPA . Do đó, BC
là đường trung trực của DPA.
Tính chất 6: Hai đường phân giác trong của hai góc BAC , BPAC cắt nhau tại một điểm nằm
trên BC.

Trang.6


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

A

Y

X
PA

B

C
K

Chứng minh: + Gọi K, X, Y là tâm của (BCPA), (C), (C’).
+ Xét 2 tam giác PAXK và PABC ta có:
1
1
XKPA = BKPA = BCPA , KXPA = BXPA = BAPA = CBPA nên PA XK PA BC (1). Tương
2
2

KX PA B
tự, ta cũng có: PA KY PA BC (2) . Từ (1), (2) suy ra:
=
(*)
KY PAC
1
1
AXB = ABC , tương tự KYX = AYC = ACB nên
2
2
AB KX
KXY 
=
(**)
AC KY

+ Mặt khác, KXY =
ABC

Từ (*) và (**) suy ra:
Nhận xét:

AB PA B
=
(dpcm)
AC PAC

+ Gọi R, R1, R2 là bán kính của (ABC), (C), (C’) thì ta có: R 2 = R1.R2
+ PA nằm trên đường trịn A-Apollonius của tam giác ABC.


Tính chất 7: Cho tam giác ABC có AD là đường đối trung ( D  BC ). Đường thẳng qua D
vuông góc với BC cắt trung tuyến AM tại S; đường thẳng qua S song song với BC cắt AB, AC
tại F, E. Khi đó,  PA = BE  CF .

Trang.7


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng
A
E

S

F

PA

H

B

D

M

C

K=K'

Chứng minh: Gọi PA là điểm A-Humpty; E, F là giao điểm của BPA với AC và CPA với AB; S

là giao điểm của EF với AM; D là hình chiếu vng góc của S lên BC. Ta cần chứng minh: AD
là đường đối trung
Thật vậy,
+ Gọi K là điểm đối xứng với PA qua BC thì AK là đường đối trung của tam giác ABC (tính
chất 5)
+ Gọi K’ là điểm nằm trên AD sao cho K’PA//SD. Theo định lý Blanchet mở rộng thì DS là
phân giác của góc ADPA hay (APASM)=-1 => D(K’PASM)=-1 mà K’PA//SD nên DM đi qua
trung điểm của PAK’. Do đó, PA và K’ đối xứng với nhau qua BC hay K '  K . Vậy AD là
đường đối trung.
2.1.3. Các bài toán ứng dụng
Bài toán 1 (Rumani MO 2016): Cho hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại A, B. Một tiếp
tuyến chung của (C) và (C’) (nằm về phía gần B) tiếp xúc với (C), (C’) lần lượt tại P, Q. Gọi C
là điểm đối xứng của B qua PQ. Chứng minh rằng: CAP = BAQ

A

H

B

P

Q
C

Trang.8


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng


Giải: + B là điểm A-Humpty của tam giác APQ. Nên theo tính chất 4) AC và AB là cặp đường
thẳng đẳng giác trong góc A của tam giác APQ nên CAP = BAQ (đpcm)
Nhận xét: Lời giải đầy đủ như sau
+ Chứng minh B là điểm A-Humpty của tam giác APQ (tức là: BAP = BPQ, BAQ = BQP )
+ B thuộc trung tuyến AM của tam giác (chứng minh như tính chất)
+ B thuộc (BHC) (Chứng minh như tính chất)
+ AC là đường đối trung của tam giác APQ. Thật vậy, Vì B, C đối xứng với nhau qua PQ nên

PCQ = PBQ = PHQ = 1800 − PAQ  C  (O) (1).
Mặt khác, BAP = BPQ = CPQ = CAQ hay AC là đường đối trung của tam giác APQ (đpcm)
Bài toán 2 (Turkey Junior National Olympiad 2015): Cho tam giác ABC. D là trung điểm của
BC. Gọi (C) là đường tròn đi qua D và tiếp xúc với AB tại B; (C’) là đường tròn đi qua D và
tiếp xúc với AC tại C. (C) cắt (C’) tại M (khác D). M’ là hình chiếu của M qua BC. Chứng minh
rằng: M’ thuộc AD.

A

M'
O
B

D

C

M

Nhìn nhận:
+ M’ là điểm A-Humpty của tam giác ABC. Ta cần chứng minh AM là đường đối trung của
BAC.

+ Ta thấy M thuộc (O)
Giải: + Gọi AK (K thuộc (O)) là đường đối trung của tam giác ABC. Ta có: AK cũng là đường
đối trung của góc BKC do đó ta có: BMD = AMC = ABC nên AB là tiếp tuyến của (BDK).
+ Tương tự, AC là tiếp tuyến của (CDK) do đó: K  M . Vậy AM là đường đối trung của tam
giác ABC.
Trang.9


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

+ Theo tính chất của điểm Humpty ta có M’ là điểm A-Humpty của tam giác ABC nên M’
thuộc AD.
Cách giải khác:
+ M là điểm Miquel của tam giác ABC nên M thuộc (O)
+ Ta có: AMB = ABC = CMD (Vì AC là tiếp tuyến). Do đó, MA là đường đối trung của tam
giác MBC. Do đó, ABMC là tứ giác điều hịa hay AM là đối trung của ABC.
Bài toán 3 (Brazil MO 2017): Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi D, E lần lượt là
giao điểm của BH với AC, CH với AB; F là giao điểm thứ hai của (ABC) với (ADE). Chứng
minh rằng: hai đường phân giác trong của góc BFC , BHC và BC đồng quy.

A
F
D
E
H

K

Nhìn nhận: Ta chỉ cần cm:


PA

C

B

FB HB
=
FC HC

Giải: + Gọi K là giao điểm của BC với AF; PA là A-Humpty của tam giác ABC. Dễ thấy K, H,
PA thẳng hàng.
FC KC
=
(2) . Suy ra:
AB KA
FB AC.KB
AC PAC
FB KB PAC
. Mà theo tính chất của điểm Humpty ta có:
=
=

=
.
(*)
FC AB.KC
AB PA B
FC KC PA B


+ Ta có: KBF

KAC 

FB KB
=
(1) ; KCF
AC KA

KAB 

+ Mặt khác ta lại xét các cặp tam giác đồng dạng KBH và KPAC, KCH và KPAB ta có:
HB KB PAC
=
.
(**)
HC KC PA B
Từ (1) và (2) ta có:

FB HB
=
FC HC

Bài tốn 4(ELMO Shortlist 2013): Cho tam giác ABC. D là một điểm di động trên đường
thẳng BC. Đường tròn (ABD) cắt AC tại F (khác A); đường tròn (ADC) cắt AB tại E (khác A).
Chứng minh rằng: (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khi D di động.
Trang.10


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

F

A
PA

D

B

M

C

K
E

Nhìn nhận: Điểm cố định là điểm A-humpty của tam giác ABC.
Giải: + Gọi K là điểm Miqel của tam giác ABC với các điểm D, E, F (NX: K là giao điểm của
BF với CE)
+ Gọi PA là điềm A-humpty của tam giác ABC (NX: có thể gọi PA là hình chiếu vng góc của
H trên AM,…). Ta có: BKC = 1800 − A = BHC hay K  ( BPAC ) (1)
+ Ta lại có: DKP = BKP − BKD = 1800 − BCP − BED = 1800 − CAP − C = AMC nên D, M,
A

A

A

A


K, PA cùng thuộc một đường trịn (2)
+ Từ đó ta có: AP K = KDM = BEK = AFK hay PA thuộc (AEF) (đpcm)
A
Bài toán 5 (Iran TST 2018): Cho tam giác ABC nhọn (ABGọi M, N lần lượt là giao điểm của đường phân giác trong của góc A với EF, BC; P là điểm
thỏa mãn PM ⊥ EF , PN ⊥ BC . Chứng minh rằng: AP đi qua trung điểm của BC.
A
E
M
PA

F

P

H

K

B

N

Trang.11

C


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

Nhìn nhận: Điều cần chứng minh tương đường với A, P, PA thẳng hàng
Giải: + Gọi K là giao điểm của BC với EF; PA là điểm A-Humpty của tam giác ABC.
+ Gọi (C) là đường trịn đường kính PK. Lúc đó, M , N  (C )
Bổ đề: K, H, PA thẳng hàng.
Chứng minh bổ đề:
Cách 1: K là tâm đẳng phương của ba đường tròn (AH), (I,BC) và (BHC)
Cách 2: Gọi I là trung điểm của BC. Ta thấy KA là đối cực của H đối với (I, IB) nên IH ⊥ KA
và AH ⊥ IB nên H là trực tâm của AKI. Do đó, KH ⊥ AI (1)
Mặt khác, theo tính chất 2, 3) ta có: HPA ⊥ AI (2). Từ (1), (2) ta có: K, H, PA thẳng hàng.
Trở lại bài tốn: +Theo bổ đề và tính chất ta có: APA K = 900 (*)
+ Theo tính chất 5) ta có PAM là đường phân giác của EPA F (CM: ).
Ta có:

(

)

1
1
KPAM = HPA F + FPAM = HAF + EPA F = 900 − B + 900 − A = 1800 − BAN + B = MNK
2
2

nên PA  (C ) hay KPA P = 900(**) . Từ (*), (**) ta có A, P, PA thẳng hàng hay AP đi qua trung
điểm của BC.
2.1.3. Các bài tập
Bài toán 1(Turkey EGMO TST 2019):Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC. P là một
điểm thuộc đoạn thẳng AD. Gọi Q là giao điểm của hai đường phân giác trong của hai góc
ABP và ACP . Chứng minh rằng: Nếu BQ ⊥ CQ thì Q nằm trên AD.

Bài tốn 2 (IMO Shortlist 2008): Cho tam giác ABC có BE, CF là hai đường cao. Hai đường
tròn cùng đi qua hai điểm A, E và tiếp xúc với BC tại hai điểm P, Q sao cho B nằm giữa C và
Q. Chứng minh rằng hai đường thẳng PE và QF cắt nhau tại một điểm nằm trên đường trịn
(AEF).
Bài tốn 3 (ELMO 2014): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và H là trực tâm của tam
giác. Gọi M là giao điểm thứ hai của đường tròn (BOC) với đường trịn đường kính AO; X là
giao điểm của AM với (BOC). N là giao điểm thứ hai của (BHC) với đường trịn đường kính
AH; Y là giao điểm của AN với (BHC). Chứng minh rằng MN || XY .
Bài toán 4 (USA TST 2005):Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm P nằm trong
tam giác ABC thỏa mãn PCB = PAC , PBC = PAB . Gọi Q là giao điểm của BC với trung trực
của đoạn AP. Chứng minh rằng: AQP = 2.OQB
Bài toán 5 (Brazil MO 2015): Cho tam giác ABC khơng đều có H, G lần lượt là trực tâm và
trọng tâm. Gọi X, Y, Z lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB thỏa mãn

Trang.12


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

AXB = BYC = CZA . Gọi P là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (BXZ) và (CXY). Chứng
minh rằng: P nằm trên đường trịn đường kính HG.

Bài tốn 6 (Sharygin 2015):Cho tam giác ABC nhọn (ABlượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi B2, C2 lần lượt là trung điểm của BA1, CA1. Gọi B3, C3
lần lượt là điểm đối xứng của C1 qua B và B1 qua C. Chứng minh rằng: giao điểm của (BB2B3)
và (CC2C3) nằm trên (O).
2.2. Điểm Dumpty
2.2.1. Định nghĩa
Cho tam giác ABC. Điểm QA thỏa mãn QA AB = QACA, QA BA = QA AC được gọi là điểm ADumpty của tam giác ABC. Các điểm B-Dumpty, C-Dumpty cũng được định nghĩa tương tự.
2.2.2. Các tính chất

Tính chất 1: QA là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (C) đi qua A, C và tiếp xúc với AB tại
A và đường tròn (C’) đi qua A, B và tiếp xúc với AC tại A.

Chứng minh: + Gọi QA là giao điểm thứ hai của (C) và (C’). Ta có: QA AB = QACA (cùng
chắn cung AQA). Tương tự, QA BA = QA AC nên QA là điểm A-Dumpty.
Tính chất 2: AQA là đường đối trung của tam giác ABC.

Trang.13


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

F
A

E

O
QA

C

B

P

Chứng minh: + Gọi (C), (C’) như tính chất 1). Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt
(C), (C’) tại E, F; P là giao điểm của BE và CF.
Ta cần CM: A, QA, P thẳng hàng và PB, PC là hai tiếp tuyến của (O)
+ Theo định lý Miquel cho tam giác EFP thì BPCQA nội tiếp

+ Ta có: PBC = PEA = A = AFP = PCB nên tam giác PBC cân tại P.
Do đó, BCFE là hình thang cân nên nội tiếp (1). Ta có: BQA P = BCP = BEF = 1800 − BQA A .
Vậy A, QA, P thẳng hàng (1)
Nhận xét: Có thể chứng minh thẳng hàng bằng định lý Reim (CM: Vì tam giác PBC cân nên
TP//BC hay TP//AE nên theo định lý Reim A, QA, P thẳng hàng)
+ Ta lại có: PBC = BEA = BAC nên PB là tiếp tuyến của (O). Tương tự, PC là tiếp tuyến của
(O) (2).
Từ (1), (2) suy ra: AQA là đường đối trung của tam giác ABC.
Tính chất 3:

QA B AB 2
=
QAC AB 2
A

QA
B

C

Trang.14


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

Chứng minh:
+ Theo định nghĩa điểm Humpty ta có: QA AB

QACA nên

QA B AB QA A AB
QA B AB 2
=
,
=

=
QA A AC QAC AC
QAC AC 2

Nhận xét: AQA là đường phân giác trong của góc BQAC
Tính chất 4: Gọi Q là giao điểm của AQA với (O) thì QA là trung điểm của AQ.

A

Y

O
QA

C

B

X
Q

Chứng minh: + Gọi X là giao điểm của (C’) với BC; Y là giao điểm của XQA với AB. Ta có:
CBQ = CAQ = CAQA = YXB nên BQ//XY (1)

+ Ta có: ABQA = CAQA = BXQA nên AB là tiếp tuyến chung của (C’) và (BXQA) do đó Y là
trung điểm của AB (2)
+ Từ (1), (2) theo định lý Talet ta có: QA là trung điểm của AQ.
Tính chất 5: QA là giao điểm thứ hai của (BOC) và đường trịn đường kính AO (với O là tâm
đường tròn ngoại tiếp ABC).

Trang.15


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

A

Y

O

Z

QA
C

B

D

Chứng minh: + Theo tính chất 4) QA là trung điểm của AQ nên OQA ⊥ AQA  QA  ( AO)
+ Gọi D là giao điểm của AQA với BC. Theo tính chất 3) QAD là đường phân giác của góc
BQAC . Ta có: BQAC = BQA D + CQA D = (QA AB + QA BA) + (QA AC + QACA) = 2 A = BOC .

Do đó, QA  ( BOC )
Vậy QA  ( AO)  ( BOC )
Cách khác: Ta có
BQAC = BQA D + DQAC = QA BA + QA AB + QA AC + QACB = 2 A = BOC  QA  ( BOC )

Nhận xét:
+ Gọi Y, Z lần lượt là trung điểm của AB, AC thì A, QA, O, Y, Z cùng nằm trên một đường tròn.
+ Gọi L là điểm Lemoines của tam giác ABC thì QA, QB, QC nằm trên đường trịn đường kính
OL.
Tính chất 6: Gọi AD là đường cao của tam giác ABC ( D  BC ); M, N lần lượt là trung điểm
của AB, AC. Lúc đó, DQA đi qua trung điểm của MN.

Trang.16


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

Chứng minh:
Cách 1: + Kẻ AY//BC (Y thuộc (O)). Lúc đó, A’, I, Y thẳng hàng.
+ ABDC điều hòa nên Y(ABCD)=-1 mà AY//BC nên Y, D, I thẳng hàng. Do đó, A’, D, I thẳng
hàng suy ra: H, QA, X thẳng hàng.
Cách 2:+ Gọi P là giao điểm của AQA với (BOC). Lúc đó, OP là đường kính của (BOC). Gọi
A1 đối xứng với A qua OP thì A1 thuộc (O). I là trung điểm BC, A’ là điểm đối xứng với A qua
D, X là trung điểm của AI.
Ta có: A 'AA1 = 900 , IA = IA ' = IA1 nên A’, I, A1 thẳng hàng.
Mặt khác: ABEC điều hòa nên A1(ABEC)=-1 mà A1A//BC nên A1E đi qua trung điểm I của BC
hay A’, E, P, I, A1 thẳng hàng. Mà D, QA, X, Y là trung điểm của AA’, AE, AI, AA1 nên DQA đi
qua X.
2.2.3. Các bài toán ứng dụng
Bài toán 1 (Macedonia National Olympiad 2017): Cho tam giác nhọn ABC (AB

(O). Gọi D là hình chiếu vng góc của A lên BC, M là trung điểm của BC. BO và CO lần lượt
cắt AD tại E, F. P là giao điểm thứ hai của (ABE) và (ACF). Chứng minh rằng: đường phân
giác trong của góc PAM đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Trang.17


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

A

F

E
D

B

O

P

C

M

Nhận xét: + Chỉ cần chứng minh AP là đối trung của tam giác ABC
+ P là điểm A-Dumpty của ABC
1
AOC = 900 − ACF mà B = 900 − BAF => ACF = BAF nên AB là tiếp

2
tuyến của (ACF); Tương tự, AC là tiếp tuyến của (ABE). Do đó, P là điểm A-Dumpty của tam
giác ABC.

Giải: + Ta có: B =

+ Theo tính chất của điểm Dumpty ta có: AP là đường đối trung của tam giác ABC => đpcm.
Bài toán 2 (IMO 2014): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Lấy P và Q thuộc cạnh BC sao
cho PAB = BCA; CAQ = ABC . Lấy M thuộc AP, N thuộc AQ sao cho P là trung điểm của
AM và Q là trung điểm của AN. Chứng minh rằng: BM và CN cắt nhau tại một điểm nằm trên
(O).

A

L

K

O

X
B

C

P

Q

Y

N

M

Nhìn nhận:
Trang.18


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

+ Qua hình vẽ ta thấy giao điểm Y của BM và CN nghi ngờ là đường đối trung. X là điểm ADumpty của tam giác ABC thì X là trung điểm của AY. Thấy các yếu tố trung điểm nên ta cần
chứng minh P, X, K và Q, X, K thẳng hàng rồi dùng vị tự để giải bài toán.
Giải: + Gọi K, L là trung điểm của AB, AC; X là điểm A-Dumpty của tam giác ABC.
+ Lúc đó, K, L, X thuộc đường trịn đường kính AO (C).
+ Vì ACP = ACB = PAB nên AB là tiếp tuyến của (ACP) nên ( ACP )  ( ACX )  P  ( ACX ) .
Tương tự, Q  ( ABX ) . Do đó, ta có: ( XA, XP ) = ( CA, CP ) = ( LA, LK ) = ( XA, XK )( mod  ) nên
P, X, K thẳng hàng. Tương tự, Q, K, L thẳng hàng. Từ đó suy ra: PK cắt QL tại X thuộc (C).
+ Xét phép vị tự V 2 : (C ) → (O), K → B, L → C , P → M , Q → N suy ra đpcm
A

Bài toán 3 (USA TST 2008): Cho tam giác ABC có trọng tâm G. P là điểm di động trên cạnh
BC. Q, R lần lượt thuộc AC và AB sao cho PQ//AB, PR//AC. Chứng minh rằng: (AQR) luôn
đi qua một điểm cố định khi P di động.
A
Q
R

G
X

B

O

P
C

Giải: + Gọi X là điểm A-Dumpty của tam giác ABC thì X là điểm cố định.
+ Ta có:
AB XB
AXB CXA 
=
(1)
AC XA
+ Mặt khác,
AB RB RB
ABC RBP 
=
=
(2)
AC RP QA
+ Từ (1) và (2) ta có: XB RB và XBR = XAQ nên XBR XAQ . Do đó, XRB = XQA hay
=
XA QA
X thuộc (APQ) (đpcm)
Bài toán 4 (Dutch 2019 IMO): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Q là điểm thuộc (BOC)
sao cho OQ là đường kính. M nằm trên CQ, N nằm trên BC sao ANCM là hình bình hành.
Chứng minh rằng: giao điểm của AQ và MN nằm trên (BOC).

Trang.19

Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng
M

A
I
X
O
B

C

N
D

Q

Giải:
+ Gọi X là điểm A-Dumpty của tam giác ABC. Theo cách chứng minh tính chất 2 thì
X  AQ (1)
+ Ta lại có: AXC = 1800 − CXQ = 1800 − CBQ = 1800 − BBQ = 1800 − AMC nên X  ( ACM ) .
Tương tự, X  ( ABN ) . Do đó, ta có: CMX = CAX = ABX = AN X mà AMCN là hình bình
hành nên CMN = ANM nên X  MN (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Bài toán 5 (IMO Shortlist 2011): Cho tam giác ABC cân tại A và D là trung điểm của AC.
Đường phân giác trong của góc BAC cắt (BCD) tại E (E nằm trong tam giác ABC). Đường
thẳng BD cắt (ABE) tại điểm thứ hai là F. AF cắt BE tại I; CI cắt BD tại K. Chứng minh rằng: I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác KAB.

A
E

D'
I

K

D

F A'
B

C

X

Trang.20


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

Giải:
+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua E, D’ là trung điểm của AB. Ta có: AEC = AEI và
FAE = EBF = EBA = ECA . Suy ra, E là điểm A-Dumpty của tam giác AIC => AIA’C là tứ giác

nội tiếp. Do đó: AIC = 900 + BCA ' .
+ Gọi EX là đường kính của (BCD) thì ta có:
AE. AX = AD. AC  2 AE. AX = 2 AD. AC  AA '. AX = AC 2  ACA ' = AXC = BCD ' . Do đó:
1

1
A ' CB = ACE = ABF  AIK = 900 + ABF hay I thuộc đường phân giác trong của góc
2
2

ABK .
+ Tương tự, I nằm trên đường phân giác của góc BAK . Vậy I là tâm đường trịn nội tiếp tam
giác ABK.
2.2.3. Các bài tập
Bài tốn 1 (Greece National Olympiad 2018): Cho tam giác ABC nhọn (AB(O). Lấy D, E lần lượt nằm trên cung nhỏ AC, AB. K là giao điểm của BD với CE; N là giao
điểm thứ hai của (BKE) với (CKD). Chứng minh rằng A, K, N thẳng hàng khi và chỉ khi K
thuộc đường đối trung trong góc A của tam giác ABC.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. T là điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn AT, BT, CT là các
đường đối trung của các tam giác BTC, CTA, ATB. Gọi D, E, F nằm trên các tia AT, BT, CT
thỏa mãn TD=2AT, TE=2BT, TF=2CT. Chứng minh rằng T là tâm đẳng phương của ba đường
tròn (BCD), (ACE), (ABF).
Bài toán 3 (Iran TST 2019): Cho tam giác ABC có A = 600 . Về phía ngồi tam giác ABC
dựng hai tam giác đều ABK và ACL. CK cắt AB tại S, BL cắt AC tại R, BL cắt CK tại T. Chứng
minh rằng tâm đẳng phương của ba đường tròn (BSK), (CLR), (BTC) nằm trên đường trung
tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC.
Bài toán 4 (Serbian National Olympiad 2013): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Giả sử (BOC) cắt (MNP) tại hai điểm X và Y nằm
trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: BAX = CAY
Bài toán 5 (Canada MO 2019): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có H là trực tâm. Gọi
đường trịn (I) có tâm nằm trên đường thẳng AH đi qua A và cắt AB, AC tại hai điểm P, Q sao
cho: AP. AQ = BP.BQ . Chứng minh rằng: (I) tiếp xúc với (BOC).

Trang.21

Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

3. Kết luận
3.1. Ý nghĩa của đề tài
Đề tài “Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng” là một tài liệu bổ ích cho các em học
sinh dùng cho việc ôn thi học sinh giỏi các cấp về hình học phẳng.. Đồng thời đây cũng là một
tài liệu cho thầy cô giáo giảng dạy môn Toán làm tài liệu tham khảo khi dạy về chủ đề hình
học phẳng.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Trong đề tài này chúng tơi mới chỉ nêu một lớp ít bài tốn ứng dụng của điểm Humpty Dumpty. Do đó, sau khi đọc đề tài này quý thầy cô giáo cũng như các em học sinh có thể tìm ra
nhiều hơn nữa các tính chất cũng như các bài tốn ứng dụng về hai điểm đặc biệt này.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình giảng dạy, sẽ
có nhiều thiếu sót mong q thầy cơ đóng góp ý kiến để cho đề tài được hoàn thiện và đi vào
áp dụng.
Xin chân thành cảm ơn!

Trang.22


Điểm Humpty – Dumpty và ứng dụng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Tạp chí Epsilon 14
[2]. Đề thi HSG các nước
[3]. Trang web “mathscope.org”
[4]. Trang web “diendantoanhoc.net”
[5]. Trang web “ />
Trang.23