Chirp – Thuật tốn biến đổi z
Tóm tắt
Một thuật tốn tính tốn về đánh giá số lượng biến đổi z của một chuỗi các mẫu N
được thảo luận. Thuật toán này đã được đặt tên là thuật toán chirp biến đổi z (CZT).
Sử dụng thuật toán CZT là một trong những cách hiệu quả có thể đánh giá phép biến
đổi z tại các điểm M trong mặt phẳng z nằm trên vòng tròn hoặc đường viền xoắn ốc
bắt đầu từ bất kỳ điểm tùy ý nào trong mặt phẳng z. Khoảng cách góc của các điểm là
một hằng số tùy ý, và M và N là số nguyên tùy ý.
Thuật toán này được dựa trên thực tế là các giá trị của biến đổi z trên một đường viền
tròn hoặc xoắn ốc có thể được thể hiện như là một chập rời rạc. Vì vậy người ta có thể
sử dụng kỹ thuật chập tốc độ cao nổi tiếng để đánh giá sự biến đổi hiệu quả. Đối với
M và N khá lớn, thời gian tính tốn là khoảng tỉ lệ thuận với (N + M) log 2(N + M) như
trái ngược với tỷ lệ N . M để đánh giá trực tiếp biến đổi z tại các điểm M.
I.

Lời giới thiệu

Trong giao dịch với các dữ liệu lấy mẫu z-transform vận chuyển bởi biến đổi Laplace
tiếp tục đóng vai trị hệ thống thời gian. Một ví dụ về ứng dụng của nó là phân tích
quang phổ. Chúng ta sẽ thấy rằng các tính tốn của mẫu biến đổi z, đã được tạo điều
kiện thuận lợi rất nhiêu của thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) [l], [2], vẫn còn
tiếp tục tạo điều kiện thuận lợi bằng các thuật toán chirp (CZT) biến đổi được mô tả
trong bài báo này.
Biến đổi Z của một chuỗi số xn được định nghĩa là
(1)
một chức năng phức tạp của biến z. Nói chung, cả x n và X (z) đều có thể phức tạp.
Người ta cho rằng tổng trên phía bên phải của (1) hội tụ cho ít nhất là một số giá trị
của z. Chúng ta tự giới hạn với trình tự z-biến đổi chỉ với một N số lượng hữu hạn các
điểm khác 0. Trong trường hợp này, khơng mất tính tổng quát, chúng ta có thể viết lại
(1) :

(2)
trường hợp khoản (2) hội tụ cho tất cả z trừ z = 0.
Phương trình (1) và (2) giống như các biểu thức xác định cho biến đổi Laplace của
một tàu xung cách đều nhau với các biên độ xn. Hãy để khoảng cách của các xung
điện được tand cho tàu xung


Sau đó, biến đổi Laplace là giống như X (z) nếu chúng ta để cho

(3)
Nếu chúng ta đang đối phó với việc lấy mẫu dạng sóng thì mối quan hệ giữa các dạng
sóng ban đầu và tạo sóng xung lực được hiểu rõ hơn qua hiện tượng răng cưa. Do đó,
phép biến đổi z theo trình tự của các mẫu của một dạng sóng thời gian được hiểu là
đại diện của biến đổi Laplace của các dạng sóng ban đầu.
Phép biến đổi Laplace của một chuỗi các xung lặp đi lặp lại các giá trị của nó được
thực hiện trong một dải ngang của mặt phẳng s với chiều rộng là 2 / T ở tất cả các dải
khác song song với nó. Ở các biểu đồ biến đổi z mỗi dải như vậy vào toàn bộ mặt
phẳng s , hoặc ngược lại, toàn bộ mặt phẳng z tương ứng với bất kỳ dải ngang của mặt
phẳng z…-∞ < < ∞, ví dụ như, miền /T < / T tại s= +j
Tương ứng như thế, trên trục jw của các mặt phẳng-s, theo đó chúng ta thường đánh
đồng biến đổi Laplace với biến đổi Fourier, là vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z, và
nguồn gốc của các mặt phẳng-s tương ứng với z = 1.. Phần bên trong của vòng tròn
đơn vị mặt phẳng z tương ứng với nửa trái của mặt phẳng-s, và bên ngoài tương ứng
với mặt phẳng nửa bên phải. Đường thẳng trong mặt phẳng s tương ứng với vòng tròn
hoặc xoắn ốc trong mặt phẳng z. Hình 1 cho thấy sự tương ứng một đường viền trong
mặt phẳng-s với một đường viền trong mặt phẳng z. Để đánh giá biến đổi Laplace của
tàu xung dọc theo đường đồng mức tuyến tính là để đánh giá z biến đổi của dãy dọc
theo đường viền xoắn ốc.



Hình 1: Sự tương ứng của một đường viền mặt phẳng z (A) với một đường viền mặt
phẳng s thông qua mối quan hệ

Giá trị của phép biến đổi z thường được tính dọc theo đường tương ứng với trục jw, cụ
thể là vòng tròn đơn vị. Điều này tương đương với biến đổi Fourier rời rạc và có nhiều
ứng dụng bao gồm cả dự toán của quang phổ, lọc, nội suy, và sự tương quan. Các ứng
dụng của tính tốn biến đổi z vịng trịn đơn vị ít hơn, nhưng là một trong những điều
được trình bày ở những phần khác [6], cụ thể là tăng cường cộng hưởng quang phổ
trong hệ thống cho một trong những thứ có sự biết trước của các vị trí của các cực .
Chúng ta chỉ có thể tính tốn (2) cho một tập hữu hạn các mẫu, do đó chỉ thể tính toán
(2) tại một số hữu hạn điểm, zk.

(4)
Các trường hợp đặc biệt mà nhận được sự chú ý nhất là tập hợp các điểm cách đều
nhau xung quanh vòng tròn đơn vị,

(5)
trong đó

(6)


Phương trình (6) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Độc giả có thể dễ dàng
chứng minh rằng, trong công thức (5), giá trị của k chỉ đơn thuần lặp lại giá trị N cùng
z k, đó là nguyên căn của sự đồng nhất Nth. Biên đổi Fourier rời rạc đã được thừa nhận
tầm quan trọng đáng kể, một phần vì tính chất tốt đẹp của nó, nhưng chủ yếu là vì từ
năm 1965, nó đã được biết đến rộng rãi do các tính tốn của (6) có thể đạt đến được,
chứ không phải trong các phép nhân phức tạp N 2 và bổ sung kêu gọi của ứng dụng
trực tiếp (6), nhưng trong một cái gì đó của trật tự các hoạt động log2Ar N nếu N là
một sức mạnh của hai, hoặc N ^ hoạt động nếu các số nguyên yếu tố chính của N.

Một thuật tốn bất kỳ hồn thành được gọi là một FFT. Phần lớn về tầm quan trọng
của FFT là DFT có thể được sử dụng như một bước đệm để tính tốn các sản phẩm có
độ trễ như nếp cuộn, tự tương quan và nếp cuộn chéo nhanh hơn so với trước đây [3],
[4]. Các DFT, tuy nhiên, một số hạn chế mà có thể được loại bỏ bằng cách sử dụng
các thuật tốn CZT mà chúng tơi sẽ mơ tả. Chúng tơi sẽ điều tra tính tốn của biến đổi
z- trên một đường viền tổng quát hơn, có dạng
z k = AW -k , k = 0, 1, • • •, M - 1 (7a)
trong đó M là một số nguyên tùy ý và cả A và W là số bất kỳ phức tạp của dạng:
(7b)
(7c)
(xem hình 2.) các trường hợp A = 1, M-N, W = exp (-j2 / N) tương ứng với các DFT.
Đường viền chung mặt phẳng z bắt đầu với điểm z = A và, tùy thuộc vào giá trị của W,
xoắn ốc hoặc liên quan đến nguồn gốc xuất. Nếu W o = , đường viền là một vòng cung
của một vòng tròn. Khoảng cách giữa các góc của các mẫu là 27r £ o - Đường viền mặt
phẳng s tương đương bắt đầu với điểm

(8)
điểm chung trên đường viền mặt phẳng s

(9)
Từ A và W là số bất kỳ phức tạp, chúng ta thấy rằng điểm sk nằm trên một đoạn đường
tùy ý thẳng chiều dài tùy ý và mật độ lấy mẫu. Rõ ràng các đường viền chỉ ra trong
(7a) không phải là các đường viền chung nhất nhưng nó được coi là tổng quát hơn mà
DFT áp dụng. Trong hình. 2, một ví dụ về đường viền gen-Eral này được thể hiện
trong cả hai mặt phẳng-z và mặt phẳng s.


Hình 2: Minh họa các tham số độc lập của thuật toán C2T . (A): cách đánh giá phép
biến đổi z theo một đường xoắn ốc tại điểm bắt đầu z=A. (B) đường thăng tương ứng
với đường xoắn ốc trên và các tham số độc lập trong mặt phẳng s

Để tính tốn biến đổi z dọc theo đường đồng mức tổng quát hơn này sẽ có vẻ để yêu
cầu các phép nhân NM và bổ sung các đối xứng đặc biệt của tx ^ ijlirk / N) được khai
thác tại nguồn gốc của FFT vắng mặt trong trường hợp tổng quát hơn. Tuy nhiên,
chúng ta sẽ thấy rằng bằng cách sử dụng W chuỗi "2/2 trong các vai trò khác nhau,
chúng ta có thể áp dụng FFT để tính tốn của biến đổi z dọc theo các đường viền của
(7a). Kể từ khi cho W 0= 1, Wn trình tự, 2 là một sinusoid phức tạp của tần số tuyến
tính ngày càng tăng.
Dạng sóng tương tự được sử dụng trong một số hệ thống radar có tên là “chrip”,
chúng ta gọi thuật tốn mà chúng ta đang mơ tả là chrip – phép biến đổi z (C2T) . Vì
C2T cho phép thực hiện phép biến đổi z một cách tổng quát hơn FFT do đó mà C2T
cũng linh hoạt hơn FFT, mặc dù nó được cho là tương đối chậm hơn FFT. Thêm vào
đó C2T cũng có them một số đặc điểm tự do khác như sau:
1. Số lượng thời gian trích mẫu khơng nhất thiết phải bằng với số mẫu của
phép biến đổi z
2. M hay N không cần phải là số tự nhiên


3. Góc khơng gian của zk là bất kỳ
4. Đường bao quanh khơng phải là đường trịn nhưng có thể xoắn vào hay
xoắn ra tương ứng với trạng thái gốc. Ngoài ra, điểm z0 là bất kỳ nhưng
cũng giống như trường hợp với FFT nếu như xn được nhân them với của z0-n
trước khi biến đổi
II. Đạo hàm của phép biến đổi CZT
Cùng với đường bao quanh của (7a),(4) trở thành

(10)
Trong đó, ở lần xuất hiện đầu tiên, dương như yêu cầu NM phép nhân và phép cộng
như chúng ta đã

Hình 3: minh họa các bước liên quan khi tính toán các giá trị của phép biến đổi z khi

sử dụng thuật tóan CZT quan sát. Nhưng, chúng ta hãy sử dụng phép thế một cách
khéo léo, bởi vì Blustein[5]

(11)
Cho các thành phần của W trong (10). Điều này tạo ra một biểu thức rõ ràng là cồng
kềnh hơn nhiều

(12)
Nhưng, thực tế là (12) có thể được coi như một quá trình bao gồm 3 bước
1. Thành lập 1 chuỗi mới yn bằng cách nhân thêm với xn theo công thức sau:

(13)


2. Thu gọn yn lại bằng cách định nghĩa thêm dãy vn:

(14)
Ta thu được dãy gk:

(15)
3.Nhân gk với

để thu được Xk

(16)
Quá trình ba bước được minh họa trên hình 3, trong đó bước 1 và bước 3 tương ứng
yêu cầu N,M phép nhân còn bước 2 là một phép cuốn lại có thể được tính bằng một kỹ
thuật tốc độ nhanh thực hiện bởi Stockham [3], dựa trên cách sử dụng FFT. Bước 2 là
phần chính trong nỗ lực điện toán và yêu cầu 1 thời gian gần như tỷ lệ với
(N+M)log(N+M)

Bluestin đã sử dụng phép thế (11) để chuyển một DFT thành một phép cuộng như
trên hình 3. Các hệ tuyến tính trong đó phép cuộn là tương đương có thể đươc gọi là
một bộ lọc chrip, đơi khi nó được sử dụng để phân tích phổ. Bluestin[5] chỉ ra rằng
với N là một số chính phương, bộ lọc chrip có thể được tổng hợp một cách đệ quy với
bộ nhân và việc tính tốn DFT có thê tỷ lệ với N3/2
Sự linh hoạt và tốc độ của thuật toán CZT lien quan tới sự linh hoạt và tốc độ của
phương pháp của tích chập tốc độ cao FFT. Bạn có thể nhớ lại là tích của DFT của 2
chuỗi là một DFT đường xoắn ốc của 2 dãy và tích chập có thể được tính như tích của
2 DFT , tích của 2 mảng số phức và một phép biến đổi Fourier ngược trên miền gián
đoạn (IDFT) , nó cũng có thể được tính bằng FFT. Tích chập thơng thường có thể
được tính như một đường xoắn ốc bằng cách thêm vào các điểm 0 ở cuối một hoặc cả
2 dãy, do đó câu trả lời bằng số chính xác cho tích chập thơng thường có thể thu được
từ một đường xoắn ốc.
Chúng ta có thể tóm lại chi tiêt của thuật tốn CZT trong đó giả thiết là đã tồn tại một
chương trình FFT ( hay một máy có mục đích đặc biệt) ln sẵn sàng để tính DFT và
IDFT
Bắt đầu với một dạng song với N mẫu xn và tìm M mẫu của Xk trong đó A và W đã
được chọn trước


1. Chọn L là số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng N+M-1 tương thích với
chương trình FFT của chúng ta. Với hầu hết người sử dụng nó có nghĩa L là
một lũy thừa của 2. Chú ý rằng trong khi rát nhiều chương trình FFT sẽ làm
việc với L bất kỳ, chúng sẽ không thể thực hiện cho mọi L. Trong một số rất
nhỏ , L nên là hợp tử cao
2. Thành lập của L điểm thuộc dãy yn từ dãy xn theo cơng thức

(17)
3. Tính L điểm DFT của yn bởi FFT. Gọi chúng là Yr với r=0,1,…,L-1
4. Xác định L điểm DFT của dãy vn theo quan hệ


5.
6.
7.
8.

(18)
Tất nhiên, nếu L = M+N-1 thì miền trong đó vn là bất kỳ sẽ khơng tồn tại. Nếu
miền đó tồn tại một khả năng rõ rang tăng lên M, số điểm mong muốn của
phép biến đổi z mà chúng ta tính tốn, cho tơi khi miền đó khơng tồn tại
Chú ý là vn có thể được chia làm hai nửa với n=M-1 và n=L-N+1 và nếu 2
nửa này tiến đến vùng giáp nhau một cách khác nhau thì dãy kết quả có thể là
một lát của một chuỗi vơ khơng giới hạn
Nó được biểu diễn trên hình 4.
Chuỗi vn được định nghĩa theo cách để buộc đường xoắn ốc cho ta kết quả số
mong muốn của một tích chập thong thường
Tính DFT của vn và gọi nó là Vr, r=0,1,…,L-1
Nhân Vr với Yr tương ứng từng điểm với nhau, cho ta Gr
Gr=VrYr, r=0,1,…,L-1
Tính L điểm IDFT gk của Gr
Nhân gk với cho ta kết quả Xk

Với gk mà k M thì bị loại
Hình 4 mơ tả dạng song điển hình (độ lớn được biểu diễn, bỏ qua góc pha) trong
mỗi bước của quá trình


Hình 4: Biểu đồ mơ tả sự biến đổi các chuỗi liên quan trong thuật toán CZT.
(A) chuỗi đầu vào x k với N giá trị (B) chuỗi trọng lượng đầu vào yn. (C) DFT
của yn. (D) giá trị vủa chuỗi vô hạn W. (E) chuỗi vn được tạo xấp xỉ từ mảng

của W. (F) DFT của vn. (G) tích Gr=Yr.Vr. (H) IDFT của Gr. (I) giá trị mong
muốn M của phép biến đổi Z
III. Điểm sau cùng của tính toán


Hoạt động đếm và cân nhắc thời gian.
Một số hoạt động đếm có thể được thực hiện, khoảng từ tám bước như đã trình bày.
Chúng tơi sẽ cung cấp từng bước trong tất cả các bước, dĩ nhiên, nhiều giá trị biến thể
có thể được xem xét.
1) Giả định rằng bước 1, chọn L, là một hoạt động không đáng kể.
2) Hình thành yn từ xn với yêu cầu N là một phép nhân phức tạp, không kể các giá trị
của các hằng số A ~ nWn/2. Các hằng số có thể được prestored, tính tốn khi cần thiết,
hoặc tạo ra đệ quy như cần thiết. Các tính tốn đệ quy sẽ yêu cầu hai phép nhân phức
tạp cho mỗi điểm.
3) L điểm DFT đòi hỏi một thời gian / cFFT L log2 cFFTL cho L một công suất trong
hai, và một chương trình FFT rất đơn giản. Phức tạp hơn (nhưng nhanh hơn) chương
trình có những cơng thức tính tốn với thời gian dài hơn.
4), 5) vn được tính cho hoặc M hoặc N điểm, tùy theo giá trị nào lớn hơn. Đối xứng
trong W-^12 cho phép các giá trị khác của vn mà khơng cần tính tốn. Thêm nữa, vn có
thể được tính đệ quy. FFT mất thời gian tương tự như trong bước 3. Nếu cùng một
đường đồng mức được sử dụng cho nhiều bộ dữ liệu, Vr chỉ cần được tính một lần và
được lưu lại.
6) Bước này đòi hỏi các phép nhân L phức tạp.
7) Đây là phép biến đổi FFT khác và yêu cầu thời gian tương tự như bước 3.
8) Bước này đòi hỏi các phép nhân M khá phức tạp.
Vì số lượng mẫu của xn hoặc Xk rất lớn, thời gian tính toán cho các CZT tăng
dần tới giá trị tiệm cận theo một tỉ lệ thuận từ L tới log2 L. Đây giống như một loại
tiệm cận phụ thuộc của FFT, nhưng tỷ lệ không đổi là lớn hơn cho CZT bởi vì hai
hoặc ba FFT được yêu cầu thay vì một, và bởi vì L là lớn hơn so với N hoặc M. Tuy
nhiên, CZT là nhanh hơn so với việc tính tốn trực tiếp như cơng thức (10) ngay cả

đối với các giá trị tương đối khiêm tốn của M và N, thứ tự của 50.
Giảm trong lưu trữ
CZT có thể được đưa vào một dạng hữu ích cho tính tốn bằng cách xác định
lại việc thay thế cơng thức (11) để đọc

Phương trình (12) có thể được viết lại như sau


Các dạng của phương trình mới tương tự như (12) trong đó các dữ liệu đầu vào x n
trước khi xử lí bằng một chuỗi phức tạp () với một chuỗi thứ hai và sau xử lí bằng
một chuỗi thứ ba để tính tốn đầu ra chuỗi Xk. Tuy nhiên, có sự khác biệt trong các
bước chi tiết để thực hiện CZT. Dữ liệu đầu vào Xn có thể được coi là đã được chuyển
mẫu bên trái N0, ví dụ như, xử lí bởi , thay vì W0. Khu vực mà phải được hình thành,
để có được kết quả chính xác từ quá trình khởi tạo lại, là

Bằng cách lựa chọn N0 = (N-M) / 2, nó có thể được nhìn thấy các giới hạn mà được
đánh giá là đối xứng, nghĩa là, là một chức năng đối xứng trong cả hai phần thực và
phần ảo của nó. ( Do đó mà biến đổi của cũng là đối xứng trong cả hai phần thực và
phần ảo của nó.) Có thể được hiển thị bằng cách sử dụng giá trị này đặc biệt của N0 ,
chỉ (L / 2 +1) điểm của cần phải được tính tốn và lưu trữ và những điểm phức tạp (L /
2 +1) có thể chuyển đổi sử dụng bằng một L / 2 điểm biến đổi.2 Do đó tổng lưu trữ cần
thiết cho biến đổi của là L+2 điểm.
Chỉ sửa đổi khác để các thủ tục chi tiết để đánh giá CZT trình bày trong mục II
của bài viết này là: 1) sau L điểm IDFT bước 7, các dữ liệu của mảng g k phải được
luân chuyển bên trái N0 điểm, và 2) yếu tố trọng số cho các gk là hơn là . Yếu tố bổ
sung đại diện cho một sự thay đổi dữ liệu N0 mẫu bên phải, do đó phần bù sự chuyển
đổi ban đầu và giữ các vị trí của dữ liệu bất biến đối với giá trị của N 0 được sử dụng.
Một ước tính của các lưu trữ cần thiết để thực hiện các CZT bây giờ có thể
được thực hiện. Giả sử rằng tồn bộ q trình sẽ diễn ra trong lõi, lưu trữ được yêu
cầu cho VT trong đó có L +2 điểm; cho yn, trong đó có 2L điểm, và có lẽ đối với một

số lượng khác mà chúng tơi muốn để tiết kiệm, ví dụ, đầu vào, hoặc giá trị của hoặc
Nguyên tắc bổ sung.
Kể từ khi CZT cho phép M N, Có thể là lí do sẽ phát sinh M »N hoặc N >> M. Trong
những trường hợp này, nếu số lượng nhỏ là đủ nhỏ, phương pháp (10) được gọi là
phương pháp trực tiếp. Tuy nhiên, nếu ngay cả số lượng các số nhỏ hơn là nhiều nó có
thể thích hợp để sử dụng các phương pháp phân đoạn được mô tả bởi Stockham [3].
Hoặc là lap-lưu lại hoặc lap-thêm vào phương pháp có thể được sử dụng. Một phần
cũng có thể được sử dụng khi phát sinh vấn đề quá lớn để có thể xử lý trong bộ nhớ
chính. Chúng tơi đã không thực sự gặp phải bất kỳ những vấn đề này và đã khơng
được lập trình CZT với khả năng dự phòng cho bộ phận.
Kể từ khi các đường viền cho các CZT là một đoạn thẳng trong mặt phẳng, rõ
ràng là việc lặp đi lặp lại áp dụng các CZT có thể tính tốn bằng biến đổi Z dọc theo
một đường viền là piecewise xoắn ốc trong mặt phẳng z hoặc piecewise tuyến tính
trong mặt phẳng.


Hãy cho chúng tôi một thời gian ngắn xem xét các thuật toán CZT cho tất cả
các các trường hợp zk trong vịng trịn đơn vị. Điều này có nghĩa rằng biến đổi Z là
giống như một biến đổi Fourier. Không giống như DFT, mà theo định nghĩa cho điểm
N của biến đổi cho N điểm.
Kỹ thuật để chuyển đổi hai chuỗi thực L điểm đối xứng bằng cách sử dụng một
L/2 điểm FFT đã được chứng minh bởi J. Cooley tại Hội thảo FFT, Arden House,
tháng 10 năm 1968. Một bản tóm tắt của kỹ thuật này được trình bày trong dữ liệu
Phụ lục, CZT không yêu cầu M = N. Hơn nữa, ZK cần không kéo dài trên tồn bộ
vịng trịn đơn vị nhưng có thể được cách đều nhau dọc theo vịng cung. Hãy để chúng
tơi giả định, tuy nhiên, rằng chúng ta đang thực sự quan tâm đến máy tính N điểm
DFT của N điểm dữ liệu. CZT cho phép chúng ta lựa chọn bất kỳ giá trị của N. Một
ứng dụng quan trọng của CZT có thể tính tốn DFT khi N khơng phải là một giá trị
của hai chương trình, thiết bị chuyên dùng cho máy tính của DFT của FFT được giới
hạn trong trường hợp của N một trong hai giá trị.

Ngoài ra cịn có lý do tại sao CZT khơng thể mở rộng trong trường hợp của
biến đổi trong hai hoặc nhiều kích thước với những lí do tương tự. DFT hai chiều trở
thành một chập hai chiều là tính tốn bởi các kỹ thuật FFT.
Chúng tôi cảnh báo người đọc cần lưu ý rằng đối với FFT bình thường, điểm
khởi đầu của đường viền vẫn còn tùy ý; chỉ đơn thuần là nhân xn dạng sóng A n ~ trước
khi sử dụng FFT, và điểm đầu tiên trên đường viền là có hiệu quả chuyển từ z = 1 tới z
= A. Tuy nhiên, đường viền còn nhiều hạn chế để một vịng trịn đồng tâm với cùng 1
gốc. Các góc khoảng cách của zk cho FFT cũng có thể được kiểm soát một số phạm vi
bằng cách phụ thêm các điểm khơng cuối xn trước tính tốn các DFT (giảm khoảng
cách góc của zk) hoặc bằng cách chọn giá trị P chỉ bổ nhiệm xn và thêm với nhau tất cả
các xn đó với n là giá trị tương ứng P, nghĩa là, gói dạng sóng xung quanh một hình trụ
và thêm các mảnh với nhau mà chồng lên nhau (để tăng khoảng cách góc).
IV. Hạn chế
Một hạn chế trong việc sử dụng các thuật toán CZT để đánh giá biến đổi Z trong vòng
tròn đơn vị bắt nguồn từ thực tế rằng chúng tơi có thể được u cầu để tính tốn W 0±
cho n lớn. Nếu W0 khác rất nhiều từ 1,0 có thể trở nên rất lớn hoặc rất nhỏ khi n lớn.
(Chúng tôi yêu cầu một n lớn hoặc M hoặc N lớn hơn, kể từ khi chúng ta cần phải
đánh giá trong phạm vi N mà vượt quá khả năng điểm chính xác duy nhất của hầu hết các máy tính bằng là một
giá trị lớn. Do đó phần đoạn cuối của các hàm W± r,i / 2 có thể được rất nhiều lỗi (tần số
cao) khơng chính xác. Tần số thấp cũng sẽ có một chút lỗi nhưng những sai sót khơng
đáng kể nói chung.


Các giới hạn về khoảng cách đường viền hoặc ra khỏi vịng trịn đơn vị là một
lần nữa do tính toán của . W0 lệch đáng kể từ 1,0, số điểm tới có thể được tính tốn
chính xác. Nó có tầm quan trọng đến ứng suất, tuy nhiên, cho Wo = l, khơng có giới
hạn của loại này từ ln có độ lớn là 1.
Các hạn chế chủ yếu khác trên các thuật toán CZT bắt nguồn từ thực tế rằng hai
điểm L, và L/2 điểm, FFT phải được đánh giá đó L là số nguyên thuận tiện nhỏ nhất

lớn hơn so với N + M-1 như đã đề cập trước đây.
Chúng ta cần một FFT và các điểm lưu trữ 2L đối với các biến đổi của xnA-n,
một FFT và L+2 điểm lưu trữ trong biến đổi ; và một FFT cho nghịch đảo của các sản
phẩm của hai biến đổi . Chúng ta không biết một cách để tính tốn các biến đổi của
hoặc đệ quy hoặc bằng một công thức cụ thể (ngoại trừ trong một số trường hợp bình
thường). Như vậy, chúng ta phải tính tốn chuyển đổi và lưu trữ nó trong một L + 2
điểm lưu trữ. Tất nhiên, nếu biến đổi nhiều được thực hiện với cùng một giá trị của L,
chúng ta khơng cần phải tính tốn các biến đổi của mỗi lần.
Chúng ta có thể tính tốn số lượng A-nđệ quy như chúng là cần thiết để giúp
tính tốn và lưu trữ. Điều này có thể dễ dàng nhìn thấy từ thực tế là:
(19)
Nếu chúng ta xác định:
(20)
và
(21)
Sau đó:
(22)
Và
(23)
Đặt A = 1 từ (19) tới (23) cung cấp một thuật toán cho các hệ số cần thiết cho các trình
tự đầu ra. Một cơng thức đệ quy tương tự có thể được lấy để tạo ra các trình tự A-n.
Người dùng được cảnh báo rằng tính tốn đệ quy của các hệ số này có thể là một
nguồn chính của lỗi số, đặc biệt là khi Wo 1, hoặc O.
V. Tóm tắt
Một thuật tốn tính tốn cho số lượng lớn các biến đổi Z của một chuỗi các
mẫu thời gian như đã trình bày ở phần trước. Trong thuật tốn này, cho phép chirp


biến đổi Z thuật toán, cho phép đánh giá của biến đổi Z, khoảng cách điểm đường viền
xoắn ốc trong hay ngồi (nằm trên vịng trịn là một trường hợp đặc biệt) từ một điểm

khởi đầu tùy ý trong mặt phẳng z . Trong mặt phẳng đường viền tương đương là một
đường thẳng tùy ý.
Các thuật tốn CZT có tính linh hoạt tuyệt vời mà không phải N hoặc M là con
số tổng hợp, khoảng cách giữa các điểm đầu ra là tùy ý, đường viền khá chung chung
và N khơng cần phải được tương tự như M. Tính linh hoạt của các thuật tốn CZT là
do việc có thể để diễn tả biến đổi Z trên các đường viền trên như một phép tính chập,
cho phép việc sử dụng các kỹ thuật nổi tiếng chập tốc độ cao để đánh giá.
Các ứng dụng của thuật toán CZT bao gồm tăng cường tính linh hoạt sử dụng
trong phân tích quang phổ, độ phân giải cao, phân tích tần số hẹp, thời gian và nội suy
dữ liệu từ một tỷ lệ lấy mẫu bất kỳ tỷ lệ lấy mẫu khác. Các ứng dụng này được giải
thích chi tiết ở mục [6]. Các thuật toán CZT cũng cho phép sử dụng của một chương
trình FFT cơ số 2 hoặc thiết bị để tính tốn DFT tùy ý số lượng mẫu.Ví dụ minh họa
các thuật toán CZT được sử dụng trong trường hợp cụ thể như thế nào được ghi ở nơi
khác [6]. Đó là dự đốn rằng các ứng dụng khác của thuật tốn CZT sẽ được tìm thấy.

Tài liệu tham khảo :
THE CHIRP Z – TRANSFORM ALGORITHM
LR RABINER, Thành viên Viện kỹ nghệ Điện và Điện Tử
RW Schafer, Thành viên Viện kỹ nghệ Điện và Điện Tử
Tập đoàn Bell Telephone Laboratories
Murray Hill, N. J.
CM Rader, Thành viên Viện kỹ nghệ Điện và Điện Tử
Phịng thí nghiệm Lincoln1
Viện Cơng nghệ Massachusetts
Lexington, Mass.