15 đề và đáp án của trường điện từ ĐH Dien Luc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (373.23 KB, 57 trang )
ĐỀ THI SỐ 1
Môn: Lý thuyết trường điện từ
Thời gian : 90 phút
Hình thức thi : Viết
Câu 1 : (3 điểm)
Trình bày phương trình 1 và 2 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng.
Câu 2 : (3 điểm)
Trình bày về khái niệm về môi trường không đẳng hướng
Câu 3 : (2 điểm)
Cho mợt hình cầu tích điện bán kính là a. Giả sử điện tích phân phố đều trên bề mặt của nó với mật
độ điện tích mặt ρs = Q/4лa2. Tính cường độ điện trường tại những điểm ở ngồi và ở trong hình cầu
Câu 4 : (2 điểm)
−3
Đất khô có ε = 4ε 0 , σ = 10 Ci / m(1 / Ωm) . Hãy tìm giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là
dẫn điện và điện môi.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
1. Phương trình Maxwell thứ nhất.
Bằng cách bổ sung thành phân dòng điện dịch vào vế phải của biểu thức định luật dịng tồn
phần cùng với dịng điện dân phương trình thứ nhất như sau:
∂D
∫l Hdl = ∫S JdS + ∫S ∂t dS (1)
Phương trình (1.1.31) mô tả mối quan hệ giữa các vectơ của trường điện từ ( H , D ) trong mợt
vịng kín bất kì các dịng điện dẫn chảy qua nó, mơ tả nó trong không gian:
∂D
∫l Hdl = ∫S rot HdS = ∫S JdS + ∫S ∂t dS (2)
Vì mặt S là tuỳ ý nên ta nhận được phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân như sau:
∂D
rot H = J +
= J + J dc (3)
∂t
Nếu môi trường có độ dẫn điện riêng σ=0 thì J = σE => J = 0 nên phương trình có dạng:
∂E
rot H = ε 0
= J dco (4)
∂t
Phương trình chỉ ra : Dịng điện dich hay điện trường biến thiên cũng tạo ra từ trường xoáy
tương đương dòng điện dẫn
2.
Phương trình Maxwell thứ hai:
Maxwell cho rằng biểu thức của định luật cảm ứng điện từ áp dụng không chỉ cho mợt vịng
dây dẫn kín mà mà cịn đúng cho bất kì mợt vịng kín nào( khơng nhất thiết dẫn điện) trong khơng
gian. Trong trường hợp tổng quát vịng kín này có thể một phân nằm trong trân không, phân khác
nằm trong điện môi hay trong kim loại. Ta nhân được phương trình sau:
∂B
∫l Edl = −∫S ∂t dS (5)
Nếu áp dụng định lý Grin Stốc cho vế trái với S là tuỳ ý nhân được phương trình sau:
∂B
rot E = −
(6)
∂t
Vậy từ trường biến thiên tạo ra điên trường xoáy
3. Ý nghĩa vật lý của phương trình thứ nhất và thứ hai của Maxwell:
Bất kỳ sự biến thiên nào của điện trường đều gây nên từ trường xoáy(đường sức khép kín) và
ngược lại. Điện trường và từ trường biến thiên không thể tồn tại độc lập với nhau, chúng luôn liên
hệ mật thiết với nhau và liên tục chuyển từ dạng này sang dạng khác tạo nên sóng điện từ truyền lan
với vận tốc ánh sáng.
Câu 2 : (3 điểm)Môi trường đẳng hướng là môi trường mà tính chất của nó ở mọi điểm là như
nhau. Trong các môi trường này các véc tơ H , B và E, D là song song với nhau từng đôi:
B = µ H , D = ε .E
Nếu chiếu các phương trình véc tơ trên x́ng các trục tọa đợ ta được các phương trình vơ
B x = µH x
B y = µH y
hướng:
B z = µH z
D x = εE x
D y = εE y
D z = εE z
Đối với các môi trường bất đẳng hướng mối quan hệ giữa các véc tơ trên được xác định qua các
phương trình:
B x = µ xx H x + µ xy H y + µ xz H z
B y = µ yx H x + µ yy H y + µ yz H z
B z = µ zx H x + µ zy H y + µ zz H z
D x = ε xx E x + ε xy E y + ε xz E z
D y = ε yx E x + ε yy E y + ε yz E z
D z = ε zx E x + ε zy E y + ε zz E z
Các hằng sớ µ , ε có thể được viết dưới dạng như sau:
µ xx
µ = µ yx
µ zx
µ xy
µ yy
µ zy
µ xz
µ yz
µ zz
⇒ B = µH
ε xx
ε = ε yx
ε zx
ε xy
ε yy
ε zy
ε xz
ε yz
ε zz
⇒D =ε E
(2 điểm)
µ gọi là tenxơ độ từ thẩm
ε gọi là tenxơ độ điện thẩm
Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả µ và ε đều mang tính tenxơ.
Môi trường bất đẳng hướng có tenxơ đợ từ thẩm điển hình là pherít được từ hóa bởi từ trường
khơng đổi; cịn mơi trường có tenxơ đợ điện thẩm điển hình là mơi trường ion hóa( môi trường
plasma).
Câu 3 : (2 điểm)
Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân:
∫ Dd S = q
S
Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đới xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau
2
⇒∫ Dd S = D.4πr
(1 điểm)
S
a) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngồi hình cầu(r>a)
Ta có: q = Q
⇒ D.4 л r2 = Q = ρS.4 лa2
⇒ D = ρS.(a2/r2)
b) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r
(2 điểm)
Câu 4 : (2 điểm)
σ
Ta có: ε p = ε − j ( ε p hằng số phức tuyệt đối)
ε
*
*
J dâ n = σ E
J dâ n
σ
*
*
=
J di ch = jωε E ⇒ J
ωε
di ch
( j = 1)
Ty số giữa phần ảo và phần thực của εp chính là ty sớ giữa dịng điện dẫn và dịng điện dịch
(dịng điện dịch chảy trong điện mơi, còn dòng điện dẫn di chuyển trong kim loại).
-
Nếu ε >
σ
σ
(hay
< 1) thì đất có tính chất của chất điện môi
ω
ωε
-
Nếu ε <
σ
σ
(hay
> 1) thì đất có tính chất dẫn điện.
ω
ωε
(1 điểm)
Giới hạn theo bước sóng để từ đó xem đất khô là dẫn điện hay điện môilà:
ε=
σ
σ
hay
=1
ω
ωε
hay
Mà
σ
= 60λσ
ωε 0
⇒
σ
=1
ω 4ε 0
60λσ
1
1
=1 ⇒ λ =
=
= (2/3).102(m)
4
15σ 15.10 −3
λ càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn
Từ đây ta có thể kết luận là:
-
Với λ > (2/3).102 m thì đất có tính dẫn điện.
-
Với λ < (2/3).102 m thì đất có tính điện môi.
ĐỀ THI SỐ 2
Môn: Lý thuyết trường điện từ
Thời gian : 90 phút
Hình thức thi : Viết
Câu 1 : (3 điểm)
Trình bày phương trình 3 và 4 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng.
Câu 2 : (3 điểm)
Hãy trình bày về sự phân cực của sóng điện từ
Câu 3 : (2 điểm)
Một điện tích dịng Q phân bớ đều theo thể tích quả cầu có bán kính là a, với môi độ điện thẩm ε đặt
trong khơng khí. Hãy tìm cường đợ điện trường E ở trong và ở ngoài quả cầu đó
Câu 4 : (2 điểm)
Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi đồng nhất đẳng hướng rộng vô hạn có tham số ε =
4ε0; µ = µ 0 ; σ = 0 ; biên độ cường độ điện trường của sóng Em = 10-3 (V/m) và f = 106Hz. Lập biểu
thức giá trị tức thời cường độ từ trường của sóng và mật đợ dịng cơng śt trung bình.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
Maxwell coi định luật Gauss và nguyên lý liên tục của từ thông áp dụng cho cả trường hợp
điện trường và từ trường là tĩnh, không đổi cũng như với trường hợp tổng quát của điện từ trường
biến thiên theo thời gian. Ta có:
D
∫ dS = ∫ ρdV = Q (1)
S
V
div
B
∫ dV = 0 (2)
V
Vì thể tích V là tuỳ ý nên nhận được các phương trình Maxwell thứ 3 và thứ 4 như sau:
divD = ρ (3)
divB = 0 (4)
(1 điểm)
Để tiện cho việc theo dõi, ta viết thành hai dạng sau:
Dạng tích phân:
∂D
∫l Hdl = ∫S J dS + ∫S ∂t dS
∂B
∫l Edl = −∫S ∂t dS
(5)
∫ Ddl = ∫ ρdV = Q
S
V
B
∫ dS = 0
S
Dạng vi phân:
∂D
rot H = J +
∂t
∂B
rot E = −
(6)
∂t
divD = ρ
divB = 0
(2 điểm)
Ý nghĩa vật lý của phương trình 3 và 4 của Maxwell:
− DivD = ρ ≠ 0: ta thấy đường sức của điện trường là những đường cong không khép kín mà có điểm
đầu tại điện tích +q, điểm cuối tại –q.
− DivD = ρ = 0: điện trường sinh ra chỉ do sự biến thiên của từ trường. Đường sức của nó hoặc khép
kín hoặc tiến ra vô cực.
− DivB = 0 ⇒ đường sức của từ trường vừa khép kín vừa tiến xa vô cực.
(3 điểm)
Câu 2 : (3 điểm)
Ta có các loại sóng phân cực cơ bản được sử dụng :
-
Phát hình : Sóng phân cực ngang
-
Phát thanh: Sóng phân cực đứng hoặc ngang
-
Sóng ngắn : Sóng phân cực ngang
-
Sóng FM: Sóng phân đứng hoặc ngang
Sự phụ thuộc hướng của vectơ E vào thời gian và không gian gọi là sự phân cực phân cực.
Sóng điện từ khi truyền lan vectơ cường độ điện trường và từ trường có thể thay đổi cả về chỉ
số và hướng. Vì vậy khi sóng truyền lan nếu quan sát điểm ći của vectơ E thì ta thấy nó vẽ lên
một quỹ đạo nào đó
Xét tại một điểm cố định trong không gian cùng với thời gian điểm cuối của vectơ E thực hiện
một chuyển động tịnh tiến dọc theo mợt đường thẳng thì ta nói sóng điện từ phân cực thẳng(phân
cực tuyến tính). Tương tự nếu điểm cuối của vectơ E vẽ nên mợt hình elip ta có phân cực elip, còn
vẽ nên đường tròn ta có phân cực trịn. Nếu nhìn theo hướng trùn sóng vectơ E quay theo chiều
kim đồng hồ ta có phân cực tròn quay phải, ngược lại có phân cực tròn quay trái.
Giả sử có hai sóng phẳng phân cực tuyến tính vuông góc với nhau ta có:
E1 = x0 E mx cos(ωt − βz )
E 2 = y 0 E my cos(ωt − βz + ϕ )
(1 điểm)
Ở đây Emx, và Emy là biên độ các sóng thành phần, φ là góc lệch pha ban đầu của hai sóng
phẳng
E
Suy ra 1
E mx
2
E2
+
E my
2
− 2 E1 E 2 cos ϕ = sin 2 ϕ
E mx E my
Phương trình này biểu diễn mợt hình elip
(2 điểm)
Elip có trục lớn làm mợt góc φ với trục ox
tg 2ϕ =
2 E mx E my
E 2 mx − E 2 my
cos ϕ ; với Emx > Emy
-
Khi Emx =Emy; φ = ±π/2 thì phân cực lúc này là phân cực tròn.
-
Khi φ = nπ (n = ±1, ±2,...) thì là phân cực thẳng.
Như vậy khi t thay đổi véc tơ E sẽ quay cùng về phía ngược chiều kim đồng hồ, với chu kỳ:
T=
2π
, đầu nút của nó vạch thành đường elíp. Chiều quay của E là chiều quay về phía thành
ω
phần trường chậm pha.
Câu 3 : (2 điểm)
Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân:
∫ Dd S = q
S
Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau
2
⇒∫ Dd S = D.4πr = q
S
a) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngoài hình cầu(r>a)
Ta có: q = Q
⇒ D.4 л r2 = Q
⇒D=
Q
4πr 2
Môi trường là không khí nên ε = ε0
Q
Q
2 ⇒E =
4πr
4επr 2
Mà D = ε.E =
b) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r
Q
ρ=
Q 3
4
Ta chứng minh được q = 3 .r từ công thức tính mật độ điện tích
và
π.a 3
a
3
4
q = ρ. π .r 3
3
⇒
Mặt khác ta có D =
Mà D = ε.E ⇒ E =
q=
Q
4
Q
. π .r 3 = 3 .r 3
4
a
π .a 3 3
3
q
Q
Q
D=
.r 3 =
r
2 ⇒
2
3
4πr
4πr .a
4π.a 3
Q
r
4πε.a 3
Câu 4 : (2 điểm)
Ta có ℘ =
⇒ Hm =
Em
mà ℘ =
Hm
µ 0 120π
µ
=
=
= 60π (Ω)
ε
4ε 0
2
E m 10 −3
=
( A / m)
∏ 60π
(1)
Biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường:
H = H cos(ωt − kt ) (1)
Với k = ω εµ = 2πf 4ε 0 µ 0 và C =
1
= 3.10 8 (m / s) ⇒ k = 2πf . 1 = 4πf
ε 0 µ0
C 3.10 8
Biểu thức tức thời của mật đợ dịng cơng śt trung bình là:
∏ tb =
1
E m H m , với Hm có biểu thức như (1)
2
ĐỀ THI SỐ 3
Câu 1 : (3 điểm)
Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ
trường trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường.
Câu 2 : (3 điểm)
Hãy trình bày về sóng điện từ phẳng trong mơi trường dẫn điện.
Câu 3 : (2 điểm)
Tính trường và thế tạo ra bởi một trục tích điện có mật độ điện tích dài là ρ L, tại điểm cách trục 1
khoảng r.
Câu 4 : (2 điểm)
Cho tham số điện của đất khô:
Hằng số điện môi tương đối ε ′ = 4ε
Độ dẫn điện riêng δ = 10-3 1/Ωm.
Chứng tỏ rằng đối với sóng cực dài( λ = 104 → 105 m) thì mặt đất có tính dẫn điện tớt hơn, cịn đới
với sóng cực ngắn(λ = 10-3 → 10 m)thì mặt đất có tính dẫn điện kém.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
Áp dụng phương trình Maxwell dạng tích phân cho mợt hình trụ ta được kết quả sau:
( D1 n0, + D2 n0,, ) ∆S + Φ xq = ρ s ∆S
Để xét điều kiện bờ với thành phần tiếp tuyến của E và H ta xét 1 khung chữ nhật nhỏ ABCD
vng góc với mặt phẳng S12. vì ABCD nhỏ nên giao tuyến ab của S12 với ABCD có thể coi là
đường thẳng và trường điện từ có thể coi là không đổi khi đi từ điểm A đến điểm B và từ điểm C
đến điểm D
Các vectơ đơn vị :
l 0 Là vectơ tiếp tuyến với mặt phân cách S12
n0 là pháp tuyến với S12
S 0 Vuông góc với mặt ABCD.
Điều kiện bờ đối với Eζ
∂B
Áp dụng địmh luật hai ở dạng tích phân: ∫ Edl = − ∫ dS
∂t
l
S
Lấy l làm chu vi của ABCD vế trái có thể viết thành :
E
∫ dl =
l
E
∫ 1dl +
AB
E
∫ 12 dl +
BC
E
∫ 2 dl +
CD
E
∫ 21dl
DA
Trong đó: E1 E2 là các vectơ trong môi trường (MT) 1 và môi trường 2
E12 và E21 là các vectơ vừa ở trong MT1 và MT2
Khi ∆h → 0 thì AB → ab và CD → ba
BC và AD → 0
b a b
E
lim ∫ dl = ∫ E1dl + ∫ E 2 dl = ∫ ( E1 − E 2 )dl
Như vậy:
S→ 0
a
l
a
∂B
lim
∫ dS = 0
S →0 S ∂t
vế phải :
Do đó :
b
∫
b
a
b
( E1 − E 2 )dl = 0 ⇒ ∫ ( E1ς − E 2ς )dl = 0 ⇒ E1ς = E 2ς
a
Như vây: Thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ điện trường không thay đổi khi đi qua bề mặt
phân cách giữa hai môi trường. Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm D thay đổi hướng theo ε
khi chuyển qua bề mặt phân cách :
D1ζ = (ε1/ε2)D2ζ
Điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường :
∂D
Ta có : rot H = J d +
∂t
∂D
∫l Hdl = ∫S ( j d + ∂t )dS
∂B
rot E = −
∂t
∂B
∫l Edl = −∫S ∂t dS
divD = 0
∫ DdS = −∫ ρdV
divB = 0
B
∫ dS = 0
Xét phương trình sau:
S
V
S
∂D
H
d
l
=
(
∫l
∫S j d + ∂t )dS
Khi ∆h → 0 làm tươngtự như phần trước ta có:
b
b
H
d
l
=
(
H
−
H
)
d
l
=
(
H
−
H
lim ∫
∫a 1 2
∫a 1 2 )l0 dl ()٭
∆h →0 l
∂D
∂D
Khi đó vế phải phương trình trên là : lim ∫ ( J d + ) dS = lim ∫ J d dS + lim ∫ dS
∂t
∆h →0 S
∆h →0 S
∆h →0 S ∂t
∂D
Do D hữu hạn nên: lim ∫ dS = 0
∆h →0 S ∂t
b
J
Còn lim ∫ d dS = ∫ J dien ()٭٭
∆h →0 S
a
JS là vectơ mật đợ dịng điện mặt từ ( )٭và ( )٭٭ta có :
∫
b
a
b
( H 1 − H 2 )l 0 dl = ∫ J S l 0 dl ⇒ H 1ς − H 2ς = J S
a
Như vậy vectơ cường độ từ trường có thành phần tiếp tuyến thay đổi mợt lượng mật đợ dịng điện
mặt khi đi qua bề mặt phân cách giữa hai môi trường
Câu 2 : (3 điểm)
Trong môi trường dẫn điện thay ε = εp
Trong môi trường dẫn điện k là một sớ phức
σ
k = ϖ ε p µ = ω ε − µ
ω
Đặt k = p-jα
β =ω
Với
εµ
σ2
( 1 + 2 2 + 1)
2
ω ε
εµ
σ2
α =ω
( 1 + 2 2 − 1)
2
ω ε
Biểu thức trường lúc này có dạng:
•
E m = E m .e − jkz = E m .e − j ( β − jα ) z
•
E = E m .e −αz .e − jβz
Dạng phụ thuộc vào thời gian: E = E m .e −αz cos(ωt − βz )
Như vậy sóng điện từ truyền lan trong môi trường dẫn điện biên độ của nó sẽ bị suy giảm theo
quy luật hàm số mũ âm( e −αz ). Tốc độ pha trong trường hợp này là:
v pha =
ω
β
vpha phụ thuộc vào tần số. Môi trường mà vận tốc pha phụ thuộc vào tần số gọi là môi trường
tán sắc(môi trường tán sóng). ω,σ mà tăng thì suy ra α tăng ⇒ suy giảm càng nhiều.
Nếu môi trường có độ dẫn điện rất lớn thì coi σ = ∞, khi đó
α ≈β ≈
V pha =
ωµσ
2
2ω
µσ
φ ≈ π/4
Câu 3 : (2 điểm)
Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân:
∫ Dd S = q
S
Lấy S là hình trụ thẳng dài vô hạn ⇒ D tại mọi điểm trên diện tích xung quanh(Sxq) của hình trụ như
nhau.
Ta có: Sxq = 2лr.l (l →∞) và q = ρL.l ⇒ D.Sxq = q và D.2лrl = ρL.l ⇒ D =
Mà D = εE ⇒ E =
ρL
2πrε
ρL
2πr
(1 điểm)
∞
∞
ρL
dr
2πεr
M
Thế tại điểm cách trục một khoảng r là: ϕ = ∫ Ed r = ∫
M
Tương tự tại điểm cách trục một khoảng x:
Điện trường: E =
ρL
2πεx
∞
∫
∞
ρL
∫r 2πεx dx
Thế: ϕ = Ed x = +
r
∞
ρ
ρ
1
ϕ = + L ln x = L ln + C
2πε
2πε r
r
Câu 23:
Mật đợ dịng điện dịch chảy qua hai bản tụ là:
J Di ch = ε
J Di ch =
∂E
∂E
= ε0
∂t
∂t
Mà E = U . Từ đây ta suy ra được:
d
ε 0ω
U m cos ωt
d
Mà I di ch
ε 0πr12ω
= J di ch * S1 = J di ch * π .r =
U m cos ωt
d
2
1
Áp dụng định luật dịng điện tồn phần của Ampe
∫ H d l = ∑I
L
Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên
đường cong L là như nhau.
⇒ H .2πr = ∑ I
Còn tổng đại sớ các dịng điện xun qua đường cong L là:
∑I = J
di ch
.S (S là diện tích của đường tròn bán kính r).
J .πr 2 J di ch
ε ω
⇒ ∑ I = J di ch .πr 2 ⇒H = di ch
=
.r = 0 rU m cos ωt
2πr
2
2d
Câu 4 : (2 điểm)
Ta có hằng số điện môi phức tương đối của đất được biểu diễn như sau:
ε p ′ = ε ′ − j 60λσ
ε ′ đặc trưng cho tính chất điện môi
60λσ đặc trưng cho tính chất dẫn điện.
Ta thấy λ càng lớn thì đất càng có tính dẫn điện hơn.
- Với λ = 104m thì 60λσ = 60.10 4.10 −3 = 600 >> ε ′ = 4 . Từ đây ta suy ra được đất có tính dẫn
điện tốt.
Vậy với sóng cực dài λ = 104 → 105 m thì đất có tính dẫn điện tốt.
- Với λ = 10 m ⇒ 60λσ = 60.10.10 −3 = 0,06 << ε ′ = 4 ⇒ đất có tính dẫn điện kém
Vậy với λ = 10-3 → 10 m đất có tính dẫn điện kém.
ĐỀ THI SỐ 4
Câu 1 : (3 điểm)
Hãy xác định điều kiện bờ đối với thành phần pháp tuyến của véc tơ cường độ điện trường và từ
trường trên bề mặt phân cách giữa hai mơi trường
Câu 2 : (3 điểm)
Trình bày sóng phẳng trong môi trường điện môi lý tưởng
Câu 3 : (2 điểm)
Có 1 tụ phẳng không khí tạo thành từ hai bản tròn bán kính r 1 =2cm, và khoảng cách giữa chúng d =
0,5 cm. Tụ điện này là mợt phần của mạch dịng điện. Trên hai bản tụ có một điện áp biến đổi u m
=sinωt; Um = 500V; ω = (2/7).106 rad/s. Hãy tìm dịng điện dịch toàn phần chảy qua hai bản tụ với
bán kính r = 1cm.
Câu 4 : (2 điểm)
Cho cáp đồng trục được tạo bởi hai hình trục dẫn điện, hình trụ trong có bán kính a, trong đó có dao
điện I chảy dọc theo dây. Và hình trụ ngồi có bán kính b, trong đó dòng điện cũng bằng I nhưng
chảy ngược chiều. Hãy tính cường độ từ trường tại các điểm sau: a ≤ r ≤ b, r >b.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
Để xét điều kiện bờ đối với E1n và Hn ta xét hình trụ có đáy S1và S2 nhỏ và độ cao ∆h .
- Đối với En
Ta xét phương trình Maxwell dạng vi phân sau đây:
D
∫ dS = ∫ ρdV có thể viết như sau với vế trái của phương trình:
S
V
D
dS
=
D
dS
+
D
1
∫
∫
∫ 2 dS +
S
S1
S2
D
∫ 12 dS xq
Sxq
Khi ∆h → 0 ta có : lim ∫ DdS = ∫ ( D
∆h →0 S
1
− D2 )dS12 =
S 12∗
∫ (D
1
S 12∗
− D2 ) n0 dS12 (1)
S12* là giao tuyến giữa mặt phân cách và hình trụ
Từ vế phải của biểu thức (1) ta có :
lim ∫ ρdV =
∆h →0 V
ρ
n
d
S
S
0
12
∫
S 12
từ đó ta có từ vế trái và vế phải ta được biểu thức sau đây:
D1n - D2n =ρs
ε1E1n - ε2E2n =ρs
ρs là mật độ điện tích mặt
Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm D khi chuyển quabề mặt phân cách 2 môi
trường thay đổi một lượng bằng mật độ điện tích mặt ρs.
- Điều kiện bờ đối với Hn
Xét phương trình Maxwell
B
∫ dS = 0 ⇒ B1n − B2n = 0 ⇒ B1n = B2n
S
µ1H1n - µ2H2n=0
Như vậy thành phần pháp tuyến của vectơ từ cảm B n liên tục khi đi qua bề mặt phân cách hai
môi trường.
Câu 2 : (3 điểm)
Ta khảo sát sóng phẳng E = E m e − jkz
Dạng phụ thuộc vào thời gian(dạng tức thời) như sau:
E = E m cos(ωt − kz )
Trong môi trường điện môi lý tưởng σ = 0 thì k là sớ thực: k = ϖ εµ
Phương trình mặt đồng pha của sóng: ωt − kz = const.
ε
E x (3.5)
µ
Hy =
Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt)
Ở mỡi thời điểm t mặt đồng pha của sóng là mặt phẳng z = const.Vận tốc pha là vận tốc di
dz ω
ω
1
=
chuyển của mặt đồng pha, ký hiệu là v pha = dt = k =
ω εµ
εµ
Trong khơng gian tự do: v pha =
à
=c
ã
E E
H = = m cos(t kz ).
ã
V
1
zc =
à
(2 iờm)
(3 iờm)
Cõu 3 : (2 im)
Mt ụ dũng điện dịch chảy qua hai bản tụ là:
J Di ch = ε
J Di ch =
∂E
∂E
= ε0
∂t
∂t
Mà E = U . Từ đây ta suy ra được:
d
ε 0ω
U m cos ωt
d
Mà I di ch
ε 0πr12ω
= J di ch * S1 = J di ch * π .r =
U m cos ωt
d
2
1
Áp dụng định luật dịng điện tồn phần của Ampe
∫ H d l = ∑I
L
Lấy L là chu vi của đường tròn bán kính r = 1cm. Do tính chất đối xứng nên H tại mọi điểm trên
đường cong L là như nhau.
⇒ H .2πr = ∑ I
Còn tổng đại sớ các dịng điện xun qua đường cong L là:
∑I = J
di ch
.S (S là diện tích của đường tròn bán kính r).
⇒ ∑ I = J di ch .πr 2 ⇒H =
J di ch .πr 2 J di ch
ε ω
=
.r = 0 rU m cos ωt
2πr
2
2d
Câu 4 : (2 điểm)
Áp dụng định luật dịng điện tồn phần của Ampe
n
∫ H d l =∑I i
i =1
L
Xét L là đường tròn có tâm nằm trên trục của cáp đồng trục bán kính r. L vuông góc với trục của
cáp.
Do tính chất đối xứng của cáp nên H tại mọi điểm trên L là như nhau:
n
H .2πr = ∑ I i
i =1
n
-
Trường hợp r>b thì
∑I
i =1
i
= I −I =0⇒ H =0
I
I
n
-
Trường hợp a≤ r ≤b thì
∑I
i =1
i
=I
2b
⇒ H .2πr = I ⇒ H =
I
2πr
ĐỀ THI SỐ 5
Câu 1 : (3 điểm)
Hãy chứng minh và phát biểu định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ. Véc tơ
Poynting.
Câu 2 : (3 điểm)
Hãy trình bày về hiệu ứng bề mặt vật dẫn.
Câu 3 : (2 điểm)
Có dịng điện khơng đổi I chảy theo dây dẫn hình trụ trịng bán kính a. Hãy tìm cường đợ trường tại
điểm bất kỳ cách trục dây dẫn 1 khoảng r cho hai trường hợp r>a và r
Trong nửa không gian ứng với tọa độ z>0 là môi trường dẫn điện, cụ thể là kim loại đồng có độ dẫn
điện riêng σ = 5,8.10 7 (1 / Ωm); µ = µ 0 ; ε 0 = ε 0 , theo phương trục z truyền một sóng thẳng đồng nhất
với tần số f = 105Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng, hệ số suy giảm α và độ
thấm sâu của trường(∆) trong kim loại đồng của sóng. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao
nhiêu lần so với bề mặt kim loại khi sóng đi sâu vào được một khoảng d = 1mm.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất, nên nó cũng tuân theo định luật bảo toàn
năng lượng.
Từ vật lý năng lượng điện từ trong một đơn vị thể tích :
εE 2 µH 2
W = ∫(
+
)dV
2
2
V
H và E thay đổi theo thời gian và không gian, suy ra W cũng thay đổi
Áp dụng phương trình 1 và 2 củ Maxwell :
∂D
rot H = J d +
∂t
;
∂H
rot E = − µ
∂t
∂E
rot H = J d + ε
+ Je
∂t
(1 điểm)
∂E
∂H
+ J e E + µH
Vậy ta có : Erot H − Hrot E = J d E + εE
∂t
∂t
rot H = J d + ε
Ta có Erot H − Hrot E = −div[ E.H ]
∂E 1 ∂E 2
εE
= ε
∂t 2 ∂t
∂H 1 ∂H 2
µH
= µ
∂t 2
∂t
J d = σE
∂ εE 2 µH 2
− div[ E.H ] = (
+
) + σE 2 + J e E
∂t 2
2
Lấy tích phân theo thể tích V 2 vế rồi áp dụng định luật Lý Ơtstrơgratski – Gauss.
[
]
[
]
∂
εE 2 µH 2
− ∫ E.H dS = ∫ (
+
)dV + ∫ σE 2 dV + ∫ J e EdV (1)
∂t V
2
2
S
V
V
∂W
− ∫ E.H dS =
+ ∫ σE 2 dV + ∫ J e EdV (2)
∂t V
S
V
Xét ý nghĩa:
∫ σE dV
2
V
là công suất tiêu hao dưới dạng nhiệt trong thể tích V kí hiệu Pt
J
∫ e EdV là Cơng śt do nguồn ngồi sinh ra trong thể tích V ký hiệu Pe
V
∂W
là tốc độ biến thiên năng lượng điện từ trong V
∂t
E
∫ .H dS là cơng śt chảy ngồi V qua diện tích S.
[
]
S
Tóm lại: Cơng śt do nguồn ngồi sinh ra trong thể tích V bằng tổng công suất tiêu hao dưới tác
dụng nhiệt trong V, cơng śt chảy ra ngồi V qua diện tích S và công suất làm thay đổi điện từ
trường trong V. Đó chính là định luật bảo toàn năng lượng đối với trường điện từ.
Câu 2 : (3 điểm)
Trong vật dân điện tốt (σ >>1) ta có :
α ≈β ≈
ωµσ
(1)
2
Khi σ rât lớn thì α cũng rất lớn dẫn đến suy giảm càng nhiều, ta thấy biên độ cường độ trường
suy giảm rất nhanh khi truyền vào trong vật dẫn. Nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại ở một lớp rất
mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tớt. Khi cho dịng điện cao tần chảy trong vật dẫn điện tớt người ta
cũng thấy dịng điện này chỉ tồn tại trên mợt lớp theo định luật Ơm.
Jd = σE
đối với dạng khảo sát:
E=Eme-αze-jβz
Jd =σ Eme-αze-jβz =J0e-αze-jβz
(2)
J0 là mật đợ dịng chên bề mặt vật chất J0 = σEm
Mật đợ dịng điện sẽ giảm dần khi đi vào sâu trong vật dẫn theo quy luật giống như biên độ
cường độ điện trường
Hiện tượng sóng điện từ hay sóng điện cao tân khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập chung
ở một lớp rất mỏng trên bề mặt của nó gọi là hiệu ứng bề mặt, hay hiệu ứng Skin
Để đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt người ta đưa vào khai niệm độ thấm sâu của trường hay độ
sâu thâm nhập của trường ∆, đó là khoảng cách mà ứng với nó biên độ cường độ trường suy giảm đi
e lần: e ≈2,718…
E m e −αz
=e
Ta có :
E m e −α ( z + ∆ )
eα∆ = e suy ra ∆ = 1/α
∆=
1
2
=
α
ωµσ
Hiệu ứng bề mặt được áp dụng trong thực tế (mạ vàng, bạc), khi làm giảm tiêu hao khi truyền
sóng điện từ người ta chỉ mạ một lớp mỏng vàng hoặc bạc lên bề mặt kim loại.
Khi tính toán các bài toán người ta thấy khái niệm trở kháng mặt của kim loại: ZS = RS + ρXS
RS là trở đặc trưng cho công suất tiêu hao RS =
ωµ
2σ
XS là cảm kháng của mặt riêng ZS
ω
=
p
Vận tớc pha: V pha =
2ω
µσ
Câu 3 : (2 điểm)
Áp dụng định luật dịng điện tồn phần của Ampe
n
∫ H d l =∑I i
i =1
L
Lấy L là chu vi của đường trịn bán kính r. Do tính chất đới xứng nên H tại mọi điểm trên đường
cong L là như nhau.
n
∫ H d l =H .2πr = ∑I i
i =1
L
n
- Trường hợp r>a: ⇒ ∑ I i = I ⇒H =
i =1
n
- Trường hợp r
∑ I i = J S πr 2 =
i =1
I
2πr
I
r2
Ir
2
π
r
=
I
⇒H =
2
2
πa
a
2πa 2
Câu 4 : (2 điểm)
ωµσ
2πf .4π .10 −7.5,8.10 7
Ta có σ lớn nên α = β ≈
=
= 4782,7
2
Vận tốc pha: v pha
Mà λ =
Và
v pha
f
ZC =
=
2
ω 2πf 2π .10 5
= =
=
= 560,4
β
β
1120,7
560,4
= 5,604.10 −3
5
10
µ0
= 120π
ε0
∆=
2
= 2,09.10 −4
2πf .4π .10 −7.5,8.10 7
Ta có: E = E m .e −αz cos(ωt − βz ) (1) mà trên bề mặt thì z = 0 nên biên đợ của phương trình (1) là Em.
αd
Khi sóng đi sâu mợt đoạn d = 1mm, lúc đó biên đợ của phương trình (1) là E m .e
⇒ biên độ sóng suy giảm:
−3
Em
= e αd lâ n = e10 .α = 119 lần
−αd
E m .e
ĐỀ THI SỐ 6
Câu 1 : (3 điểm)
Hãy trình bày về hệ phương trình Maxwell dạng biên đợ phức.
Câu 2 : (3 điểm)
Trình bày sóng phẳng trong mơi trường điện môi lý tưởng
Câu 3 : (2 điểm)
Áp dụng định luật Biôxava để tính từ trường tạo bởi một dây dẫn mảnh có dịng điện I tại điểm cách
trục mợt khoảng r.
Câu 4 : (2 điểm)
Sóng phẳng truyền trong môi trường điện môi đồng nhất đẳng hướng rộng vô hạn có tham sớ ε =
4ε0; µ = µ 0 ; σ = 0 ; biên độ cường độ điện trường của sóng Em = 10-3 (V/m) và f = 106Hz. Lập biểu
thức giá trị tức thời cường độ từ trường của sóng và mật đợ dịng cơng śt trung bình.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
Trong thực tế thường gặp các dao đợng điều hịa. Mặt khác 1 dao đợng điều hịa khơng phải là
điều hịa thì bằng phép biến đổi Fourier bao giờ cũng có thể phân tích thành tổng của các dao đợng
điều hịa. Vì vậy việc nghiên cứu trường điều hịa như mợt tập hợp riêng của trường điện từ là rất
cần thiết. Cho dao đợng điều hịa:
A = A m cos(ωt − ϕ ).
Ta đã biết phương pháp biên đợ phức làm cho phương trình phân tích các dao đợng điều hịa
trở nên đơn giản đi rất nhiều. Sử dụng phương pháp biên độ phức ta đưa vào phương trình tr ên như
sau:
A = Am .e j (ωt −ϕ )
•
A = Am e − jϕ e jωt
•
•
A = Am e jωt
•
Trong đó: A = A m e − jϕ : Biên độ phức của véc tơ A
m
Áp dụng định công thức ơle: e j (ωt −ϕ ) = cos(ωt − ϕ ) + j sin(ωt − ϕ )
Ta có:
•
A = Re( A)
Như vậy đới với trường điều hòa tương ứng với các véc tơ E , D , B , H , J , ρ ta có dạng biên
độ phức tương ứng E m , Dm , B m , H m , J m , ρ m .
Hệ phương trình Maxwell ở dạng biên đợ phức:
-
Phương trình 1:
∂E
rot H = ε 0
+ Jd
∂t
Sử dụng phương pháp biên đợ phức ta đưa vào ký hiệu:
•
•
•
•
•
•
E = E m e jωt
H = H m e j ωt
J d = J m e jωt
Thay vào phương trình 1 của Maxwell ta có:
•
•
j ωt
∂
jωt
rot H m e = ε 0 ( E m e ) + J m e jϖt
∂t
•
•
•
•
⇒rot H e jωt = jωε . E .e jωt + J e jϖt
m
m
m
0
•
⇒ rot H
•
m
-
•
= jωε0 . E m +J m
Tương tự với các phương khác ta có được hệ phương trình Maxwell dạng biên đợ phức:
•
•
•
rot H m = jωε0 . E m +J m
•
•
rot E m = jà. H m
ã
ã
Div D m = m
ã
Div B m = 0
Câu 2 : (3 điểm)
Ta khảo sát sóng phẳng E = E m e − jkz
Dạng phụ thuộc vào thời gian(dạng tức thời) như sau:
E = E m cos(ωt − kz )
Trong môi trường điện môi lý tưởng σ = 0 thì k là sớ thực: k = ϖ εµ
Phương trình mặt đồng pha của sóng: ωt − kz = const.
Hy =
ε
E x (3.5)
µ
Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt)
Ở mỗi thời điểm t mặt đồng pha của sóng là mặt phẳng z = const.Vận tốc pha là vận tốc di
dz ω
ω
1
=
chuyển của mặt đồng pha, ký hiệu là v pha = dt = k =
ω εµ
εµ
Trong khơng gian t do: v pha =
=c
à
ã
E E
H = = m cos(t kz ).
ã
V
1
à
zc =
Cõu 3 : (2 im)
Ap dng định luật Biôxava(Định luật Ampe)
H=
I
4π
∫
[d l.r ]
0
r2
l
[ ]
d
O
Mà ta có d l.r0 = dl sin α .i . Từ đây ra suy ra:
dl sin α
.i
r2
l
d
Từ hình vẽ ta thấy r =
sin α
Idl
H=
⇒
I
4π
H=
∫
I
4π
∫
l
sin α
dl
d 2
(
)
sin α
va cot gα = −
α
(1)
l
1
dl
⇒ − 2 dα = −
d
d
sin α
⇒ dl =
d
dα
sin 2 α
Khi l biến đổi từ -∞ → +∞ thì α biến đổi từ 0 đến л.
Thay (2) vào (1) ta có:
(2)
M
r
H=
I
4π
π
π
sin α
d
I sin α
I
∫0 d 2 . sin 2 α dα = 4π ∫0 d dα = 4π cos α
(
)
sin α
π
=
0
I
2πd
Câu 4 : (2 điểm)
Ta có ℘ =
⇒ Hm =
Em
mà ℘ =
Hm
µ 0 120π
µ
=
=
= 60π (Ω)
ε
4ε 0
2
E m 10 −3
=
( A / m)
∏ 60π
Biểu thức giá trị tức thời của cường độ từ trường:
H = H cos(ωt − kt ) (1)
Với k = ω εµ = 2πf 4ε 0 µ 0 và C =
1
= 3.10 8 (m / s) ⇒ k = 2πf . 1 = 4πf
ε 0 µ0
C 3.10 8
Biểu thức tức thời của mật đợ dịng cơng śt trung bình là:
∏ tb =
1
E m H m , với Hm có biểu thức như (1).
2
ĐỀ THI SỐ 7
Câu 1 : (3 điểm)
Trình bày về hằng sớ điện mơi phức và góc tiêu hao điện mơi trong trường điều hịa.
Câu 2 : (3 điểm)
Trình bày về thế chậm của lưỡng cực điện (dipole điện )
Câu 3 : (2 điểm)
Một điện tích dịng Q phân bớ đều theo thể tích quả cầu có bán kính là a, với môi độ điện thẩm ε đặt
trong khơng khí. Hãy tìm cường đợ điện trường E ở trong và ở ngoài quả cầu đó.
Câu 4 : (2 điểm)
Trong nửa không gian ứng với tọa độ z>0 là môi trường dẫn điện, cụ thể là kim loại đồng có độ dẫn
7
điện riêng σ = 5,8.10 (1 / Ωm); µ = µ 0 ; ε 0 = ε 0 , theo phương trục z truyền một sóng thẳng đồng nhất
với tần số f = 105Hz. Hãy xác định vận tốc pha, bước sóng, trở kháng sóng, hệ số suy giảm α và độ
thấm sâu của trường(∆) trong kim loại đồng của sóng. Biên độ cường độ trường sẽ giảm đi bao
nhiêu lần so với bề mặt kim loại khi sóng đi sâu vào được một khoảng d = 1mm.
Đáp án:
Câu 1 : (3 điểm)
-
•
•
•
•
Từ phương trình 1 của Maxwell dạng biên độ phức: rot H = jωε . E m + J m + J ngm
m
0
•
Và ta có
•
J m = σ .E m
•
•
•
•
⇒ rot H = jωε . E m +σ. E m + J ngm
m
0
•
•
•
σ
⇒ rot H m = jω (ε 0 − j ) E m + J ngm
ω
•
•
•
•
•
rot H m = J ω ε p . E m + J ngm
Trong đó :
•
εp =ε − j
σ
là hằng sớ điện mơi phức tụt đới của mơi trường
ω
•
•
ε ′p =
εp
σ là hằng sớ điện môi phức tương đối của môi trường.
ε′− j
ε0
ω
ε ′p = ε ′ − j 60λσ (ω = 2πf ; λ =
c
f
•
σ
Có thể chứng minh rằng ty sớ giữa phần ảo và phần thực của ε p là
: là ty số điện dẫn và
ωε
điện dịch, nó đặc trưng cho tiêu hao trong môi trường điện môi.
Đặt tgδ =
σ
; δ là góc tiêu hao điện môi
ωε
Nếu là chất điện môi: tgδ < 0,001
Dẫn điện: tgδ > 100
Bán dẫn 0,01 < tgδ <100
Câu 2 : (3 điểm)
a) Định nghĩa và các giả thiết
Định nghĩa : Lưỡng cực điện là một dạng dây dẫn thẳng, mảnh ngắn trên nó có dòng điện biến đổi
do nguồn ngoài cung cấp. Trong thực tế kỹ thuật, lưỡng cực điện là phần tử cơ bản để cấu tạo nên
các Ăngten dây, Ăngten chấn tử,..
Trường bức xạ của Ăngten này là chồng chất trường bức xạ của tập hợp vô số các lưỡng cực
điện đặt nối tiếp nhau.
Các giả thiết :
-
Môi trường bao quanh lưỡng cực điện là điện mơi lý tưởng (ε,µ= hằng sớ và σ = 0 ).
-
Chiều dài của lưỡng cực l<<λ( bước sóng).
-
Dịng điện ni lưỡng cực điện là điều hồ với tần sớ ω
b) Thế chậm của lưỡng cực điện
Đặt lượng cực điện vào hệ toạ độ cầu, trục của lưỡng cực đặt theo trục OZ
Dịng điện điều hồ ni lưỡng cực có dạng:
• •
I z = z 0 I m .Se iϖt
S là tiết diện ngang của lưỡng cực điện
•
•
•
•
J m = J m .z 0 = J em = J ngm
•
Áp dụng công thức thế chậm ψ (t ) = 1
4π
(1)ta được: ã
Aem
à
=
4
g (t ).e jkr
V r dV (1) cho vộc tơ Aem của phương trình sóng
•
z 0 . J m .e −ikr
∫ r dV
V
•
Vì dịng điện trong lưỡng cực chỉ chảy theo phương trục z nên Aem cũng hướng theo trục z.
Vì V=S*l là thể tích của lưỡng cực điện nên tích phân trên có thể viết dưới dạng gon hn :
ã
à
Aem = z 0
4
ã
J m e ikr
µ
∫V r dV = z 0 4π
•
I m e −ikr (2)
∫l r dl
Vì l rất mảnh và ngắn nên có thể coi dòng tại mọi điểm trên lưỡng cực điện có biên độ và pha
như nhau. Hơn nữa r >> l nờn:
ã
ã
à I m l e ikr
Aen = z 0
.
4πr
r
Vì z 0 = r0 cos θ − θ 0 sin
ã
(3)
ikr
Nờn A = à I m l e (r cos θ − θ sin θ ) (4)
em
0
0
4πr r
Từ biểu thức nếu sử dụng biểu thức H =
1
∂A
rot Ae và E = − e + gradϕ e ta sẽ tìm được các véc
µ
∂t
tơ H , E .
Câu 3 : (2 điểm)
Áp dụng phương trình 3 của Maxwell dạng tích phân:
∫ Dd S = q
S
Lấy S là mặt cầu bán kính a. Do tính chất đối xứng nên D tại mọi điểm trên hình cầu là như nhau
2
⇒∫ Dd S = D.4πr = q
S
c) Xét trường hợp thứ nhất: Điểm M ở ngồi hình cầu(r>a)
Ta có: q = Q
⇒ D.4 л r2 = Q
⇒D=
Q
4πr 2
Môi trường là không khí nên ε = ε0
Mà D = ε.E =
Q
Q
2 ⇒E =
4πr
4επr 2
d) Trường hợp thứ hai: Điểm M ở trong hình cầu(r
Q
ρ=
Q 3
4
Ta chứng minh được q = 3 .r từ công thức tính mật độ điện tích
và
π.a 3
a
3
4
q = ρ. π .r 3
3
⇒
Mặt khác ta có D =
Mà D = ε.E ⇒ E =
q=
Q
4
Q
. π .r 3 = 3 .r 3
4
a
π .a 3 3
3
q
Q
Q
D=
.r 3 =
r
2 ⇒
2
3
4πr
4πr .a
4π.a 3
Q
r
4πε.a 3
Câu 4 : (2 điểm)
ωµσ
2πf .4π .10 −7.5,8.10 7
Ta có σ lớn nên α = β ≈
=
= 4782,7
2
Vận tốc pha: v pha =
Mà λ =
v pha
f
=
2
ω 2πf 2π .10 5
=
=
= 560,4
β
β
1120,7
560,4
= 5,604.10 −3
10 5
