PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
1. Phương trình: sin x a .
| a | 1 (hay a  [  1;1] )
+ Nếu
+ Nếu
Khi đó:

thì phương trình vơ nghiệm
| a |1 (hay  1 a 1 )

sin x a
 sin x sin 
 x   k2

  x    k2
VD 01. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin x 0 ;
1
sin x 
2;
c)
e)

sin x 

2
2 ;

h) sin x 1 ;

Lưu ý:

b)

sin x 

1
2;

2
2 ;
d)
3
sin x 
2 ;
f)
sin x 

g)

i) sin x  1 ;

j)

sin x 
sin x 

3
2 ;
2

3;



1
2
3
 0;  ;  ;  ; 1 
2
2
2
 thì ta sử dụng hàm ngược của
(1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt 
hàm sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
sin x a
 x  arcsin a k2

  x   arcsin a k2
(2). Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 

sin x 0  x k

sin x 1   k2
2
cos
x
a .
2. Phương trình:
| a | 1 (hay a  [  1;1] )

+ Nếu

sin x  1  x 

thì phương trình vơ nghiệm
| a |1 (hay  1 a 1 )
+ Nếu
cos x a
Khi đó:
 cos x cos 
 x   k2

  x   k2
VD 02. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos x 0 ;

cos x 0 

b)

cos x 

Trang

1
2;

5



 k2
2


x   k
2


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

c)
e)

cos x 

1
2;

cos x 

3
2 ;

h) cos x  1 ;
Lưu ý:

2
2 ;
d)
3

cos x 
2 ;
f)
1
cos x 
4;
i)
cos x 

g) cos x 1 ;
j) cos x 2 ;



1
2
3
 0;  ;  ;  ; 1 
2
2
2
 thì ta sử dụng hàm ngược của
(1). Nếu a khơng phải là các giá trị đặc biệt 
hàm cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
cos x a
 x  arccos a k2

  x  arccos a k2
(2). Các trường hợp đặc biệt:


cos x 0  x   k
2
cos x 1  x k2



 x   k 
2

tan x a , 
3. Phương trình:
tan x a
 tan x tan 
 x  k
VD 03. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) tan x 0 ;
b) tan x  1 ;
tan x 

cos x 1  sin x 0 
cos x  1  x   k2

x k

c) tan x  3 ;

3
3 ;

e) tan x 1 ;

f) tan x  1, 6 ;


3
 0;  ; 1;  3 
3
 thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan
Lưu ý: Nếu a khơng phải là các giá trị đặc biệt 
(arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
tan x a
 x arctan a k
d)

cot x a , (x k)
cot x a
 cot x cot 
 x  k
VD 04. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cot x 0 ;
b) cot x  1 ;
4. Phương trình:

d) cot x 1 ;

e)

cot x 

3
3 ;


c) cot x  3 ;
6
cot x 
5;
f)



3
 0;  ; 1;  3 
3
 thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan
Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt 
(arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
cot x a
 x arcot a k
Trang

6


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
5. Mở rộng:
Mở rộng 1. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:
VD 05. Giải các phương trình sau:
a) 2sin x  1 0
b) 2 cos x  2 0
Mở rộng 2. (Cung chứa bội):
VD 06. Giải các phương trình sau:

2
cos 3x 
2
a) 3sin 2x  2 0
b)
Mở rộng 3. (Cung chứa tổng):
VD 07. Giải các phương trình sau:
2
2
sin(x  45o ) 
cos(x  60o ) 
2
2
a)
b)
o

d) tan(3x  15 )  3

e)

cot 4x cot

2
c) tan x 3

c)

3
2

c)
1
cot(2x  10o ) 
3
f)

2
7





sin  2x   sin   x 
5

5

g) cos 3x cos12
h)
Mở rộng 4. Phương trình tích (đơn giản):
 A 0

A.B = 0   B 0
b) sin 3x.cot x 0
2
e) 2sin x  3sin x 1 0

x
 2

3

cos(x  300 ) 

o

VD 08. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x.tan x 0
d) sin x.cos x  cos x 0

cot

i)

cos 2 2x 

1
4

c) tan 3x.tan x 1
f) (cos 2x  cos x).(sin x  sin 3x) 0

BÀI TẬP
1) Giải các phương trình:
a) tan(3x  1) 1 ;
1
cos 2x 
3;
d)


1
2;

b) cot 3x  3 ;

c)

e) cos 2x 1 ;

f) sin 2x  1 ;

1

cos  2x   
3
2;

i)




cos  3x   cos  x  
3
5


l)

g) cos(2x  1) cos(2x  1) ;

h) tan 3x tan x ;




tan x tan   2x 
cot 2x cot  x  
4;
4
;

j)
k)
2) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm
2
a) 3sin x  m  1 0 ;
b) 4 cos x m  3 ;
3) Giải các phương trình:
3 







cos  2x   sin   x 
sin  2x   cos   x 
4 
3


2
;

3
;
a)
b)






sin  x    sin 2x 0
cos  4x   sin  x  
3
3
5;



d)
;
e)
5 

cos  x   sin x
4 


g)
;
sin
x

cos
3x

0
j)
;
4) Giải các phương trình:
a) sin x  cos x 1 ;

sin(2x 1) 

c) 2m sin x  1 3m .


cos 3x  cos  x  
3

c)


sin 3x  sin  2x  
3;

f)


2x  1
1
tan
6
3;
h)
k) tan 3x  tan x 0 ;

i) sin x  cos x 0 ;
l) tan x  cot x 0 .

b) cos 3x.cos 2x cos 5x ;

c) sin 4x.cos x  sin 3x 0 ;

cot

Trang

7


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
d) sin 2x  cos 2x  2 ;
5) Giải các phương trình:
1 1
sin x  
2 2
a)



cot   x  1
4

d)
2
g) tan(x  2x  3) tan 2

e) sin 2x.sin 3x cos 2x.cos 3x

f) cos 2x.cos 5x cos 7x



tan 2  x   3
6

b)



2sin  4x    1 0
3

c)


sin(x 2  x) sin  x  
3


f)

2
e) sin(x  4x) 0
2
h) cos(x  1) 0

2

i) cos(x  x) cos(x  1)




 2 
cos  x   .cos  x   cos  
5
5


 5 
k)

j) cos 3x  4 cos 2x  3cos x  4 0

Đừng bi quan khi mình khơng lối thốt,
Đừng chán nản khi dồn dập khó khăn,
Đừng thờ ơ khi mình mang tủi nhục,
Cố gắng kiên trì tất cả sẽ thành cơng.


.
(KIỂM TRA PHẦN I)

II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1. Phương trình đại số hóa đơn giản:
2
a) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a sin x  b sin x  c 0 , …
Phương pháp:
+ Đặt t sin x (hay cos x, tan x, cot x) .
2
Khi đó ta được một phương trình bậc 2 theo t: at  bt  c 0 .
+ Giải phương trình bậc 2 theo t.
+ Với mỗi giá trị của t ta tìm nghiệm x.
Lưu ý:
Điều kiện của t khi đặt t sin x (hay cos x) là | t |1 .

VD 10. Giải các phương trình sau:
2
a) 2sin x  5sin x  3 0 ;

b) cos 2x  3cos x  4 0 ;
x
cos x  cos  1 0
2
d) cos2x  3sin x 2 ;
e)
;
b) Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác:
Phương pháp:
+ Biến đổi để đưa về dạng phương trình đại số đơn giản.

+ Đặt ẩn t theo mỗi hàm số lượng giác.
+ Giải và kiểm tra lại nghiệm.
VD 11. Giải các phương trình sau:
3
2
2
a) 4sin x  4sin x 3  3sin x ; b) sin 3x  1 2sin x ;
3
2
3
d) tan x  tan x  tan x  3 0 ; e) tan x  tan x 0 ;
2. Phương trình lượng giác cổ điển:
a) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: a sin x  b cos x c .

Trang

8

2
c) 2 cos x  7sin x  5 0 ;
1
 3tan x  1 0
2
f) cos x
.

c) 1 + sin3x – sinx = cos2x;
1



tan 3 x 
 3cot   x  4
2
cos x
2

f)


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
Phương pháp:
+ Thử xem phương trình có nghiệm hay khơng, bằng cách:
2
2
2
Nếu a  b c
phương trình có nghiệm
2
2
2
Nếu a  b  c

phương trình vơ nghiệm
2

2
+ Chia 2 vế của phương trình cho a  b , ta được:
a
b
c

sin x 
cos x 
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
a
b
sin  
cos  
a 2  b 2 thì
a 2  b2 .
+ Đặt
Sau đó áp dụng cơng thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản:
c
sin  sin x  cos  cos x 
2
a  b2
c
cos(x  ) 
a 2  b2

(*)
+ Giải phương trình (*).
VD 12. Giải các phương trình sau:
a) cos x  sin x 1 ;

b) 4cos 2x  3sin 2x 5 ;
c) cos 2x  sin 2x  2 ;
d) cos x  3 sin x  1 0
e) cos 3x 1  sin 3x ;
f) sin 3x  3 cos 3x  2

b) Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng: a(sin x cos x)  b sin x.cos x  c 0 .
Phương pháp:
t2  1
sin x.cos x 
2
2 , sin 2x  t  1
+ Đặt t sin x  cos x,| t | 2 . Khi đó:


t2  1
,sin 2x  (t 2  1) 
 t sin x  cos x,| t | 2. Khi ñoù: sin x.cos x 
2


2
 t  1
at  b  
  c 0
2 

+ Phương trình có dạng
(dạng phương trình bậc 2 theo t)
+ Giải phương trình được nghiệm t.

+ Với mỗi giá trị của t ta đi tìm giá trị của x.








sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4,
4
4.




Lưu ý:
VD 13. Giải các phương trình sau:
a) 2(sin x  cos x)  sin 2x  5 0 ;
b) 2(sin x  cos x)  sin 2x 1 0 ;
c) sin 2x  2 2(sin x  cos x)  5 0 ;

d) 2(sin x  cos x)  3sin x cos x  1 0

2
2
c) Phương trình lượng giác đẳng cấp: a sin x  b sin x.cos x  c cos x d .
Phương pháp:

2
Cách 1: + Xét cos x 0 thì sin x 1 . Phương trình trở thành: a d (*)
Nếu (*) đúng thì cos x 0 là nghiệm của phương trình.
Nếu (*) sai thì cos x 0 khơng phải là nghiệm của phương trình.
2
+ Xét cos x 0 , chia 2 vế của phương trình cho cos x , ta được phương trình bậc 2
theo tan x .
(Lưu ý: Ta có thể xét sin x thay cho việc xét cos x ).

Trang

9


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
1
1
1  cot 2 x  2
2
cos x ,
sin x .
Cách 2: + Biến đổi với các công thức:
1  cos 2x
1  cos 2x
sin 2x
sin 2 x 
cos 2 x 
sin x cos x 
2
2

2 .
,
,
Khi đó phương trình trở thành dạng “phương trình bậc nhất đối với sin và cos ”.
+ Giải phương trình mới ta được nghiệm cần tìm.
VD 14. Giải các phương trình sau:
2
2
2
2
a) 2cos x  sin x cos x  2sin x  1 0 ;
b) sin x  sin 2x  cos x  1 0 ;
1  tan 2 x 

2
2
c) cos x  2sin x cos x  sin x 0 ;

BÀI TẬP
1) Giải các phương trình sau:
2
a) sin x  2sin x  3 0 ;
2
d) tan x  5 tan x  6 0 ;
g) cos 2x  4sin x  1 0 ;
2
j) 3cos  5sin x  5 0 ;

m) cos x(tan x  2cos x)  2 0 ;
2) Giải các phương trình sau:

2  cos x
1
a) cos 2x
;
cos 2x  sin x
 1 0
sin x  1
c)
;
3) Giải các phương trình sau:
a) sin 5x  cos 5x 1 0 ;

2
d) sin x  3sin x cos x 1 .

b) cos 2x  sin x  2 0 ;
e) 2 cos 2x  5sin x  2 0 ;
h) cos 4x  2sin 2x  1 0

2
c) 3cos x  2 cos x  5 0 ;
f) cos 2x  7 cos x  1 0 ;
i) 2cos 2x  4sin x  5 0 ;

2
k) sin x  3cos x  3 0 ;
2
 3 tan x  9 0
2
n) cos x

;

2
l) tan x(1  cot x) 2 ;
1
( 2  1) tan x 
2
o) cos x

2 3

sin 2 x  sin x
 2
b) sin x  1
;
2
cos x  cos x  2
 cos x 3
cos x  1
d)
.
b) sin 3x  cos 3x 1 ;
e) sin x  3 cos x 1 ;
h) 4 cos x  3sin x 3 ;

c) 2sin 5x  6  2 cos 5x ;
f) 3 sin 2x  cos 2x 2 ;
i) 3cos 3x  4sin 3x 5 ;

d) 3cos 2x  4sin 2x 1 ;

g) 1  2sin x 2 cos x ;
4) Giải các phương trình sau:
a) 2(sin x  cos x) 4sin x cos x  1 b) sin 2x  3(sin x  cos x)  3 0 c) sin 2x 5(sin x  cos x  1)
d) 2sin 2x sin x  cos x  1 ;
e) 3(sin x  cos x) 2sin 2x ;
f) sin x  cos x sin 2x
5) Giải các phương trình sau:
1
1
sin 2 x  sin x cos x 
4sin x  6cos x 
2
2
2;
cos x
a)
b)
c) 2sin 5x  sin10x  4 cos 5x 3
2
4
4
d) ( 3  1)(sin x  cos x) cos x 1 e) 2sin 2x  sin 4x  2 0 ;
f) cos x  sin x cos 4x
4
4
g) cos x  sin x cos 3x ;
6) Giải các phương trình sau:
a) cos 2x cos x ;

d) cos x  cos 2x sin 3x ;

g) 3 sin x  cos x  2 ;
j)

2 sin x  sin 2x 0 ;

6
6
h) cos x  sin x cos 4x

b) cos 2x  9cos x  5 0 ;
e) sin x cos x  3 sin 2x 0 ;

c) sin x  3 cos x 1 ;
f) cos x  cos 2x  1 0 ;

h) cos8x  sin 4x 0 ;

i) cos 2x  cos x  2 0 ;
2
cos x  sin x 
2 ;
l)

k) sin x  1 ;

Trang

1



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

m)

sin 6 x  cos 6 x  sin 2x 

p) cos 2x  3(sin 2x  1)



3
sin x  sin  x   0
4

4 ; n)
;
4
4
q) sin x  cos x 1 ;

2
2
s) 2 cos x  ( 3  2)sin x  3 2 t) sin 2x (cos x  sin x) ;
1
cos 2 x  sin 2x  sin 2 x 0
2
v)
; w) sin 2x  3 cos 2x  3 ;

7) Cho phương trình: m sin x  3 cos x m  1 .

a) Giải phương trình khi m = 1;
4
4
8) Cho phương trình: cos x  sin x m .
a) Giải phương trình khi m = 1;
9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
a) m sin x  2 cos x 3 ;

5 

cos  x   sin x
2 

o)
;
r) 2(sin x  cos x) 1  2sin 2x
u)

cos 2 x  sin 2 x 

1
2;

x) sin 2x  2 2(sin x  cos x)  3 0

b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm.
b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm.
b) (m  2) cos x  m sin x 3m  2 .

(KIỂM TRA PHẦN II)

III/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT.
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi, các phương pháp giải phương trình đưa phương trình về các
dạng phương trình lượng giác đơn giản, phương trình đại số hóa đơn giản, phương trình lượng giác cơ
bản rồi giải. Có 2 hướng:
Hướng 1: Biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đơn giản.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số đơn giản.
2
VD 15. Giải phương trình: 2 cos x sin x  1
+ Phương pháp hạ bậc để đưa về phương trình có bậc thấp hơn.
2
2
2
VD 16. Giải phương trình: sin 3x  sin 2x  sin x 0
 A 0
A.B 0  
 B 0
+ Phương pháp biến đổi về phương trình tích:
VD 17. Giải phương trình: sin 2x  sin 4x 2 cos x
 A 0
A 2  B2 0  
 B 0
+ Phương pháp tổng các số hạng khơng âm:
2
2
VD 18. Giải phương trình: 2sin x  2 2 sin x  3 tan x  2 3 tan x  2 0
+ Phương pháp đánh giá: Sử dụng điều kiện, pitago, các bất đẳng thức cơsi, bunhiacốpski
VD 19. Giải phương trình: cos x.cos 2005x 1
+ Phương pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để đánh giá phương trình.
cos x
sin x

VD 20. Giải phương trình: 2  2 sin x  cos x
Hướng 2: Chứng minh phương trình vơ nghiệm (khi không thể giải bằng các cách trên).
VD 21. Giải phương trình: sin 2x  cos 2x tan x  cot x
1. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các
phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản. Ngồi các phép đặt trên ra chúng ta còn một số
phép đặt như:
+ Áp dụng công thức lượng giác biểu diễn qua hàm tan của góc chia đơi:
2t
1 t2
2t
x
t tan
sin x 
;
cos
x

; tan x 
2
2
2 . Khi đó:
1 t
1 t
1 t2 .
Đặt
1
1
t
t

sin x hoặc
cos x với điều kiện | t |1 .
+ Đặt
Trang

1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
2
2
+ Đặt t a sin x  b cos x với điều kiện | t | a  b .
+ Dùng ẩn t để đổi biến.
VD 22. Giải các phương trình sau (phương trình thuàn nhất bậc cao đối với sinx và cosx):
3
2
3
4
2
2
3
4
a) 4sin x  3sin x.cos x  sin x  cos x 0 ; b) sin x  3sin x.cos x  4sin x.cos x  3cos x 0 ;


sin 3  x    2 sin x
2
4

c) (tan x  1)sin x 3(cos x  sin x)sin x  3 ; d)

.

VD 23. Giải các phương trình sau (Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx):
a) (tan x  7). tan x  (cot x  7).cot x  14 0 ;
2
2
b) 3(tan x  cot x)  2( 3  1)(tan x  cot x)  4  2 3 0 .
VD 24. Giải các phương trình sau:

a) cot x tan x  2 tan 2x ;
VD 25. Giải các phương trình sau:




sin  2x   5sin  x    cos 3x
3
6


a)
;


8cos3  x   cos 3x
3

c)
;
2. Phương pháp hạ bậc.

Ta áp dụng các công thức sau:
1  cos 2x
sin 2 x 
2
;

4
 5 0
cos x
;



32 cos6  x    sin 6x 1
4

b)
;


2cos  x   sin 3x  cos 3x
6

d)
.

1  cos 2x
cos2 x 
2
;

3cos x  cos 3x
cos3 x 
4
;

3sin x  sin 3x
4
;
VD 26. Giải các phương trình sau:
17 

sin 2 2x  cos 2 8x sin  10x 

2 ;

a)
sin 3 x 

b)

4 tan 2 x 

tan 2 x 

sin 2 x 1  cos 2x

cos 2 x 1  cos 2x ;

tan 3 x 


sin 3 x 3sin x  sin 3x

cos3 x 3cos x  cos 3x ;

2
2
2
b) sin x cos 2x  cos 3x ;
 1

sin 4 x  cos 4  x   
4 4.

d)

4x
3 ;
c)
3. Phương pháp biến đổi về phương trình tích.
Dùng các phép biến đổi, các công thức để đưa phương trình về dạng phương trình tích:
 A 0
 B 0

A.B... 0   ...
cos2 x cos

VD 27. Giải các phương trình sau:
(Dùng phép biến đổi tổng hiệu thành tích)
a) 1  cos x  cos 2x  cos 3x 0 ;
b) cos x  cos 2x  cos3x  cos 4x 0 ;

2
3
4
2
3
4
c) 1  sin x  cos 3x cos x  sin 2x  cos 2x ; d) sin x  sin x  sin x cos x  cos x  cos x .
VD 28. Giải các phương trình sau:
(Dùng phép biến đổi tích thành tổng, cơng thức nhân đôi)
3
a) 2 cos x.cos 2x.cos 3x  7 7 cos 2x ;
b) 2 cos x  cos 2x  sin x 0 ;
3
c) 2sin x  cos 2x  cos x 0 ;
e) 4sin 2x  3cos 2x 3(4sin x  1) ;

3
3
d) sin x  cos x cos 2x ;
4
6
f) sin x  cos 2x  2cos x 0 .

VD 29. Giải các phương trình sau:
(Luận hệ số, dùng phép nhân thêm hạng tử)
Trang

1



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
a) cos x  cos 3x  2 cos 5x 0 ;
c) 3(cot x  cos x)  5(tan x  sin x) 2 ;

b) 5sin 3x 3sin 5x ;
d) 2sin x  cot x 2sin 2x 1 .
x
x
5x
x
(sin x  3)sin 4  (sin x  3) sin 2  1 0
sin
5cos3 x.sin
2
2
2
2.
e)
; f)
VD 30. Giải các phương trình sau:
2
3
3
3
a) cos x  sin x  cos x 0 ;
b) cos x  sin x sin 2x  sin x  cos x ;
2
3
c) cos10x  2 cos 4x  6 cos 3x.cos x cos x  8cos x.cos 3x .


4. Phương pháp biến đổi về phương trình tổng các số hạng khơng âm.
2
Các đại lượng không âm bao gồm: A , | B | , 1 sin x , 1 cos x .
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng các đại lượng không âm:
A1  A 2  ...  A n 0 với A i 0, i 1, n .
 A1 0
 A 0
 2

 ...
  A N 0
Giải hệ ta được nghiệm cần tìm.
Lưu ý: Sử dụng vịng tròn lượng giác khi giao các nghiệm trên.
VD 31. Giải các phương trình sau:
2
2
2
2
2
2
a) cos 4x  cos 8x sin 12x  sin 16x  2 ; b) 4 cos x  3 tan x  4 3 cos x  2 3 tan x  4 0 .
5. Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f (x) g(x) có tập xác định D. Nếu với mọi x  D mà f (x) k , g(x) k thì:
 f (x) k

f (x) g(x)
 g(x) k .
Ta có thể dùng bất đẳng thức. Với A k, B h thì:
A k


  B h .
A  B k  h
VD 32. Giải các phương trình sau:
(Sử dụng tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác)
a) (sin x  3 cos x)sin 3x 2 ;
b) sin 4x  cos 4x 1  4(sin x  cos x) ;
c) 4 cos x  2 cos 2x  cos 4x 1 ;
d) cos 2x  cos 4x  cos 6x cos x.cos 2x.cos 3x  2 ;
8
8
10
10
e) 4(sin x  cos x) 8(sin x  cos x)  5cos 2x .
VD 33. Giải các phương trình sau:
(Phương trình lượng giác dạng pitago)
1
sin 6 x  cos6 x
(sin10 x  cos10 x)  2
sin 2x  4cos 2 2x ;
a) 4
VD 34. Giải các phương trình sau:
(Sử dụng bất đẳng thức Cauchy)
1
sin 8 2x  cos8 2x 
8;
a)
VD 35. Giải các phương trình sau:
(Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski)
2
2

a) sin x  2  sin x  sin x 2  sin x 3 ;

Trang

5
5
b) cos x  sin x  sin 2x  cos 2x 1  2 .

1
(tan x  cot x) n sin n x  cos n x
4
b)
.

b) 2 cos x  2 sin10x 3 2  2 cos 28x.sin x .
1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
6. Phương pháp hàm số.
(Yêu cầu học sinh đã học tính biến thiên của đồ thị hàm số – lớp 12)
7. Chứng minh phương trình vơ nghiệm.
VD 36. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x  cos 5x  3 0 ;
b) cos 3x.cos 5x 10 .
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
3
sin x 
2 ;

a)




sin  2x   sin   x 
5

5
;
d)
g) tan x  1 ;
j) cot 3x 1 ;
3
2 ;
m)
2. Giải các phương trình sau:
2 

sin  x 
 cos 2x
3


a)
;
sin(x  20o ) 

b)


sin x 


 1
cot   x  
3;
4

c)

2
3;

f) cos(2x  1) cos(2x  1) ;
i) tan 2x tan x ;
2x  1
1
cot
tan
6
3;
l)

e) 2 cos x  2 0 ;
o
h) tan 5x tan 25 ;
1
cot 
3;
k)

n)

cos(3x  15o ) 

2
2 ;

o)

tan

x
3
3
;



2cos  x    2 0
6

b)
;
c) 2 cos(x  )  1 0 ;


x






cos   2x   sin  x   0
tan  2x   .tan     1
tan  2x  15o  1
6
4
2
3




d)
;
e)
; f)
;










sin  3x    cos  x   0
tan  3x   .cot(5x  ) 1

sin 2  x   cos 2  3x  
4
3
2
4
2





g)
; h)
; i)




sin  2x   cos  x  
3
3;


j)
k) sin 2x.sin 6x cos x.cos 3x ;
l) cos 7x.cos 6x cos 5x.cos8x
3. Giải các phương trình sau:
2
x
2

sin 3x 
cos 2x 
tan  3
2 ;
2 ;
2
a)
b)
;
c)




3
2sin  x    2 0
tan  2x   1
cot 2x 
4
4


3 ;
d)
e)
;
f)
;




cos  2x   
6
2;

g)




cos  5x   cos  x  
3
6;


j)
m)

sin 2 x 

32
4 ;

5 

3cot  2x    3 0
2 

h)
;



cot  2x   cot x
3

k)
;
sin 4 2x  cos 4 2x 

n)
2
2
2
2
sin
x

sin
2x

cos
3x

cos
4x
p)
;
1  tan x
1  sin 2x
r) 1  tan x

;

l) sin 3x cos 4x ;

1
2;

2
o) sin 5x  sin x  2sin x 1 ;
3
3
q) cos x  sin x sin x  cos x ;
5 

x 
sin  2x    20 cos 2    2 3 sin x cos x  2
2 
 2 12 
s) 



2
3
t) cos10x  2 cos 4x  6cos 3x cos x cos x  8cos x cos 3x
4. Giải các phương trình sau:

Trang






sin  2x   sin  x  
3
4;


i)

1




PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

a)
c)





4sin 2 x  2 1  2 sin x  2 0

 cos 2x 

3 sin 2x




2

;



 5 cos  2x  
3;


x
x

5sin x  4  sin 4  cos 4   6
2
2

0
2 cos x  3
e)
;
g) sin x  3 cos x 1 ;
x
x

4  sin 4  cos 4   3 sin 2x 2
2
2

i) 
;
5. Giải các phương trình sau:
2
2
a) 4sin x  3 3 sin 2x  2cos x 4 ;


cos x 8sin 3  x  
6;

c)
e) sin x  cos x  sin 2x  1 0 ;
1
1
10
sin x  cos x 


sin x cos x 3 ;
g)
6. Giải các phương trình sau:
a) sin x  sin 2x  sin 3x 0 ;

5 
7 


sin  2x    3cos  x 
 1  2sin x

2
2




b)
;
1


cot x  tan x 2 
 2sin 2x 
 sin 2x
;
d)
 x 
3  2 cos x  2sin 2   
 2 4  1
x
4sin 2  1
2
f)
;
x
x
3sin  3 cos x 1  4sin 3
3
3;
h)

1 
1 


4  cos 2 x 
  4  cos x 
  7 0
2
cos
x
cos
x




j)
.





3
3
b) cos x  2sin x  5sin x 0 ;


sin 3 x  cos3 x  2 2 cos  x    1 0
4


d)
;



6 2 sin  x    sin x cos x  6 0
4

f)
;
h)

2  tan 2 x  cot 2 x   5  tan x  cot x   6 0

.

b) cos 2x  cos8x  cos10x 1 ;
sin x  cos x   2  sin 2x  4  sin 5 x  cos 5 x 

4sin
3x
cos
2x

1

sin
3x
c)

;
d)
;
3x
  5x 
  13x 
2 11x
cos2
 cos2  
 cos 2  
 cos

2
2
2 .
4 2 
4
e)
7. Giải các phương trình sau:
3
sin 2 x  sin 2x  2 sin x  0
2
2
2
a) 4sin x  4sin  3cot x  2 3 cot x  2 0 ; b)
;
1
2sin 5x  cos 4x 2  2
2015
2010

sin x ;
c)
d) cos x  sin x 1 ;
2010
2010
e) cos x  sin x 1 ;

f)

1  cos x 

x2
0
2
.

IV – Luyện Tập
Bài tập rèn luyện
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1  cos x
y
sin x ;
a) y  3  sin x ;
b)
1  cos x
1  sin x
y
2sin x  2 ;
d) 1  cos x ;
e)

1
tan x
y
y
3 cot 2x  1 .
1  tan x ;
g)
h)
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Trang

1



y tan  2x  
3;

c)
sin(x  2)
y
cos 2x  cos x ;
f)


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
a) y 1  sin x ;
d) y 4sin x .




y 2 cos  x    3
3

b)
;

3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y  2sin x ;
b) y 3sin x  2 ;


y cos  x  
2
4;

d) y sin x.cos x  tan x ;
e)
4. Giải các phương trình sau:

x 
1
sin 4x sin
sin

5;
5
2;
a)
b)

 2

3
cos  x   
tan 3x tan
18  5 ;

5 ;
d)
e)

c)

y  1  sin(x 2 )  1

c) y sin x  cos x ;
f) y tan x  sin 2x .
x
cos 2
2
c)
;
 1
cot 2x cot   
 3
f)
cos

x


cot   20o   3
4

i)
;

o

g) tan(x  15 ) 5 ;
h) tan(2x  1)  3 ;
2
cot 3x tan
5 .
j)
5. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho
1
3
sin 2x 
cos(x  5) 
2 với 0  x   ;
2 với    x   ;
a)
b)
1

cot 3x 
 x 0
o
o
o

3 với 2
c) tan(2x  15 ) 1 với  180  x  90 ;
d)
.
6. Giải các phương trình sau:








sin  2x    sin  3x   0
cos  2x    sin  x   0
4
3
4
4




a)
;
b)
;
sin(

sin

2x)

1
c)
;
d) sin 3x cos 2x ;

 
2

cos  cos  x    
4 
2 ;

2
e)



tan  (sin x  cos x)  1
4

f)
;

6.
sin 2x.cos 3x sin 3x.cos 4x
7.
3 cot 2 x  4cot x  3 0
3

 4 tan x 0
cos 2 x
sin 2 3x  2sin 3x  3 0
4sin 2 2x  8cos 2 x  9 0
3.
4 cos 2 x  cos 3x 6 cos x  2(1  cos 2x)
cos 3x  cos 2x  cos x  1 0
(cos x  1)(cos 2x  2 cos x)  2sin 2 x

4.
Trang

1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
sin 2x  3cos 2x 3
3sin x  3cos x  2
2 2(sin x  cos x) cos x 3  cos 2x

(1  3) sin x  (1 

3) cos x 2

2( 3 sin x  cos x) 3sin 2x  7 cos 2x
2sin x(cos x  1)  3 cos 2x
2(sin x  3 cos x)  3 cos 2x  sin 2x
5.
sin x  cos x  2sin x.cos x  1 0
1  tan x 2 2 sin x

6(sin x  cos x)  sin x.cos x  6 0
4(sin x  cos x)  sin 2x 1

6.
sin 2 x  3sin x.cos x 2
2sin 2 x  sin x.cos x  cos 2 x 1 0
1
3 sin x  cos x 
cos x
7.
cos3 x  sin 3 x cos x  sin x
4sin 3 x  10sin 2 x.cos x  6sin x.cos 2 x  cos3 x 0
4sin 3 x  sin 2 x.cos x  3sin x  3cos3 x 0
2sin 3 x  3sin x  4cos3 x 0
sin 3 x  5sin 2 x.cos x  7 sin x.cos 2 x  2cos3 x 0
sin 2x.sin x  sin 3x 6cos3 x

Bài toán chọn lọc
1. Giải các phương trình sau:


cos  3x  9x 2 160x  800  1
8

a)






 x 8  3x 4  2.sin[ (16x 2  2x)] 0 (ĐH tổng hợp Lômônốp 1982)
1  5sin x  2 cos 2 x 0 , với điều kiện cos x 0 (ĐH CSND 1999)
3cot 2 x  2 2 sin 2 x (2  3 2) cos x
3sin 3x 

3 cos 9x 1  4sin 3 3x

cos 7x.cos 5x 

3 sin 2x 1  sin 7x.sin 5x
 2 6  
x  ; 
3 sin 7x  cos 7x  2 ,
 5 7  (ĐH KTQD 1997)
Trang

1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

(sin x  2 cos x) 4  (sin x  2 cos x)(5  7 sin 2x  7 cos 2 x) cos x  cos4 x 0
sin 3x 2 cos3 x
1  3sin 2x 2 tan x


8cos3  x   cos 3x
3

1

1
10
 sin x 

cos x
sin x 3
sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x (ĐH Nha Trang 1998)
cos x 

sin 4x tan x (ĐH Y Hà nội 2000)
tan x.sin 2 x  2sin 2 x 3(cos 2x  sin x.cos x)
cos 2x  5 2(2  cos x)(sin x  cos x)




sin  3x   sin 2x.sin  x  
4
4


 3 x  1
  3x 
sin     sin   
 10 2  2  10 2 

Đề thi ĐH CĐ

V – Ơn Tập
Phương trình lượng giác cơ bản


Phương trình lượng giác thường gặp

Trang

1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

Phương trình lượng giác tổng qt

Bài tập tự luyện
1. Giải các phương trình sau:
a) sin( cos 2x) 1
cos( cos 3x) 1
cos( sin x) 1

sin cos(x)
x

  1

cos  cos  x    
4  2

2


tan   cos x  sin x   1

4



cot  (cos x  sin x)  1
4

2.
4(sin 3x  cos 2x) 5(sin x  1)
sin 3x  sin x  2 cos 2 x 0
3.
cos 2 x  3 sin 2x sin 3 x  1
3sin x  3 cos 3x 4sin 3 x  1
2 cos x(sin x  1)  3 cos 2x
2sin 3x  sin 2x  3 cos 2x 0
3 sin 4x  cos 4x sin x  3 cos x
3sin 2x  4 cos 2x  5cos 2003x 0




3 sin  x    sin  x    2sin1972x 0
4
6


1
sin x  (3  3 cos x)
3
(1  3)sin x  (1  3) cos x 2

sin 2x  ( 3  2) cos 2x 1
3cos x  sin 2x  3(cos 2x  sin x)
4.
3(sin x  cos x)  4sin x.cos x 0
12(sin x  cos x)  2sin x.cos x  12 0
(1  sin x)(1  cos x) 2
| sin x  cos x | 4sin 2x 1
| sin x  cos x |  sin 2x 0

Trang

1


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com

1
1

2 2 sin  x   

4  sin x cos x . (ĐH QG Hà Nội – Khối B 1997)

cot x  tan x sin x  cos x
tan x  tan 2 x  cot x  cot 2 x 6

5.
3
1


sin x cos x


2 sin 3  x   2sin x
4


8cos x 

5(sin x  cos x)  sin 3x  cos 3x 2 2(2  sin 2x)
sin 3 x  5sin 2 x.cos x  3sin x.cos 2 x  3cos3 x 0
sin 3 x  3sin x.cos 2 x  cos3 x 0
sin 3 x  sin x.cos 2 x  cos3 x 0
sin 3x  cos 3x  2 cos x 0 (HV Ngân Hàng TPHCM 2000)
4sin 3 x  sin x  cos x 0 (ĐH Y Hà Nội 1999)
sin 3 x  3sin 2 x.cos x  2sin x.cos 2 x  cos 3 x 0
(sin 2 x  4cos 2 x)(sin 2 x  2sin x.cos x) 2 cos 4 x
 
x   0; 
sin x.(2sin x  cos x)(8sin x  8sin x.cos x  cos x) 0 , với
 4
 
x   0; 
6
4
2
2
4
6
 4

64sin x  96sin x.cos x  36sin x.cos x  3cos x 0 , với
2

2

4

2

2

4

1  3sin 2x 2 tan x
1  3 tan x 2sin 2x
6 tan x tan 2x
sin 2x  2 tan x 3
x
cos x  tan 1
2
x
2  cos x 2 tan
2
(1  tan x)(1  sin 2x) 1  tan x

4sin 2 x  3 tan 2 x 1

Trang

2



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
x
 1 0
2
(cos x  sin x)sin x.cos x cos x.cos 2x


sin 3x 2 cos   x 
6

5 

cos 3x 2sin  x  
6 

 3x  
 3 x 
sin 
  3sin   
 2 10 
 10 2 
 3x  
 x
sin 
  3sin   
 2 4
4 2
2 


cos 9x  2cox  6x    2 0
3 

6x
8x
2 cos
 1 3cos
5
5
3sin x  cos x  4 cot

BÀI KIỂM TRA PHẦN I
Giải các phương trình sau:
1
sin x 
3
1)
1
cos2 x 
2
2)




sin  2x    cos  x   0
5
2



3)
sin 3x.cos x  sin 2x 0
4)

(1,0 điểm)
(2,0 điểm)
(2,0 điểm)

5)

cos x  3 sin x

(2,0 điểm)

6)


 

cos   sin  x    1
3 



(1,0 điểm)

Trang

2



PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCGiaovienvietnam.com
BÀI KIỂM TRA PHẦN II
Giải các phương trình sau:
tan 5x  tan x 0
1)
cos 2x  sin 2 x  2cos x 1 0
2)
1
2 cos 2x  8cos x  7 
cos x (ĐH NN 2000)
3)
4)
5)
6)
7)

1,0 đ
1,5 đ
1,5 đ

3 sin 3x  cos 3x  2

1,5 đ

5
3sin x  4 cos x 
2


1,5 đ

2

2 3 cos x  6sin x.cos x 3  3

1,5 đ

2

Cho phương trình: cos x  (2m 1) cos x  m 1 0 .
3
m
2.
a) Giải phương trình với
  3 
 2 ; 2 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc
.
(ĐH Đà Nẵng 1996)

Trang

2

1,0 đ
0,5 đ